Capítulo 8C – Conservación de energíaCapítulo 8C – Conservación de energía

Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity

Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity

© 2007

Una cascada en el Parque Yellowstone proporciona un ejemplo de energía en la naturaleza. La energía potencial del agua en la cima se convierte en energía cinética en el fondo.

Objetivos: Después de Objetivos: Después de completar este módulo, completar este módulo, deberá:deberá:

• Definir y dar ejemplos de fuerzas Definir y dar ejemplos de fuerzas conservativas conservativas yy no conservativas no conservativas..

• Definir y aplicar el concepto de Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánicaconservación de energía mecánica para fuerzas conservativas.para fuerzas conservativas.

• Definir y aplicar el concepto de Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánica conservación de energía mecánica que explique las que explique las pérdidas por fricciónpérdidas por fricción..

Energía potencialEnergía potencial

La La energía potencialenergía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición.

La La energía potencialenergía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición.

Tierra

mgh

mEjemplo:Ejemplo: Una masa que se mantiene a una distancia h sobre la Tierra.Si se libera, la Tierra puede

realizar trabajo sobre la masa:

Trabajo = mghTrabajo = mgh

¿Este trabajo es + o - ?¿Este trabajo es + o - ?¡Positivo!

Energía potencial Energía potencial gravitacionalgravitacional

La La energía potencial gravitacional Uenergía potencial gravitacional U es igual es igual al trabajo que se puede realizar al trabajo que se puede realizar PORPOR la la gravedad debido a la altura sobre un punto gravedad debido a la altura sobre un punto específico.específico.

La La energía potencial gravitacional Uenergía potencial gravitacional U es igual es igual al trabajo que se puede realizar al trabajo que se puede realizar PORPOR la la gravedad debido a la altura sobre un punto gravedad debido a la altura sobre un punto específico.específico.

U = mghU = mgh E.P. gravitacionalE.P. gravitacional

Ejemplo:Ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial ¿Cuál es la energía potencial cuando un bloque de 10 kg se sostiene a 20 cuando un bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle?m sobre la calle?

U = mgh = U = mgh = (10 kg)(9.8 m/s(10 kg)(9.8 m/s22)(20 )(20 m)m)

U = 1960 J

U = 1960 J

El origen de la energía El origen de la energía potencialpotencial

La La energía potencialenergía potencial es una es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el Ninguno tiene energía potencial sin el otro.otro.

La La energía potencialenergía potencial es una es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el Ninguno tiene energía potencial sin el otro.otro. El trabajo El trabajo

realizado por la realizado por la fuerza de fuerza de

elevación elevación F F proporciona proporciona

energía potencial energía potencial positivapositiva, , mghmgh, , al al sistema Tierra-sistema Tierra-

cuerpo.cuerpo.Sólo fuerzas Sólo fuerzas externas externas pueden agregar o quitar pueden agregar o quitar energíaenergía.

mgh

F

Fuerzas conservativasFuerzas conservativasUna Una fuerza conservativafuerza conservativa es aquella que es aquella que hace trabajo cero durante un viaje hace trabajo cero durante un viaje redondo.redondo.

Una Una fuerza conservativafuerza conservativa es aquella que es aquella que hace trabajo cero durante un viaje hace trabajo cero durante un viaje redondo.redondo.

mgh

FEl peso es El peso es

conservativo.conservativo.El trabajo realizado El trabajo realizado por la Tierra en el por la Tierra en el viaje hacia arriba es viaje hacia arriba es negativo, negativo, - mgh- mghEl trabajo de El trabajo de regreso es regreso es positivo,positivo, +mgh+mgh

Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

La fuerza de La fuerza de resorteresorte

La fuerza ejercida por un La fuerza ejercida por un resorteresorte también es también es

conservativa.conservativa.Cuando se estira, el resorte Cuando se estira, el resorte realiza trabajo negativo, realiza trabajo negativo, - -

½kx½kx22..Al liberarse, el resorte realiza Al liberarse, el resorte realiza

trabajo positivo,trabajo positivo, + ½kx+ ½kx22 Fxm

Fx

m

Trabajo neto = 0 (conservativa)

Trabajo neto = 0 (conservativa)

Independencia de la Independencia de la trayectoriatrayectoria

El trabajo realizado por las El trabajo realizado por las fuerzas fuerzas conservativasconservativas es independiente de la es independiente de la

trayectoria.trayectoria.

El trabajo realizado por las El trabajo realizado por las fuerzas fuerzas conservativasconservativas es independiente de la es independiente de la

trayectoria.trayectoria.

A

C

B

C

A B

Fuerza debida a

la gravedadmg

Trabajo (A C) = Trabajo (A B C) ¿Por qué?Porque sólo el componente vertical

del peso realiza trabajo contra la gravedad.

Fuerzas no conservativasFuerzas no conservativas

El trabajo realizado por El trabajo realizado por fuerzas no fuerzas no conservativasconservativas no se puede restaurar. La no se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar.energía se pierde y no se puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!¡Es dependiente de la trayectoria!

El trabajo realizado por El trabajo realizado por fuerzas no fuerzas no conservativasconservativas no se puede restaurar. La no se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar.energía se pierde y no se puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!¡Es dependiente de la trayectoria!

Las Las fuerzas de fricciónfuerzas de fricción son fuerzas no son fuerzas no conservativas.conservativas.

B

Af f

m

A B

El trabajo de las fuerzas El trabajo de las fuerzas conservativas es independiente conservativas es independiente

de la trayectoria:de la trayectoria:

A

B

C

Para fuerza Para fuerza gravitacional:gravitacional:(Trabajo)(Trabajo)ABAB= -= -

(Trabajo)(Trabajo)BCABCA

Trabajo neto ceroTrabajo neto ceroPara fuerza de Para fuerza de

fricción:fricción:(Trabajo)(Trabajo)AB AB --

(Trabajo)(Trabajo)BCABCA

El trabajo realizado contra la fricción El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más es mayor para la trayectoria más

larga (BCD).larga (BCD).

El trabajo realizado contra la fricción El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más es mayor para la trayectoria más

larga (BCD).larga (BCD).

Energía potencial Energía potencial almacenadaalmacenadaEl trabajo realizado por una fuerza El trabajo realizado por una fuerza

conservativa seconservativa se almacenaalmacena en el sistema en el sistema como energía potencial.como energía potencial.

m

xox

F(x) = kx para comprimir El desplazamiento

es x

La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte:

La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte:

Energía potencial de resorte

comprimido:

221 kxTrabajoU

Conservación de energía Conservación de energía (Fuerzas conservativas)(Fuerzas conservativas)

En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema.

En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema.

vf

vy mg

v = 0h

0

En lo alto: Uo = mgh; Ko = 0

En y: Uo = mgy; Ko = ½mv2

En y=0: Uo = 0; Ko = ½mvf 2

E = U + K = Constante

E = U + K = Constante

Energía total constante Energía total constante para un cuerpo que caepara un cuerpo que cae

vf

v

y

K = 0h

0

ARRIBA: E = U + K = ARRIBA: E = U + K = mghmgh

En cualquier y:En cualquier y:E = mgh + ½mvE = mgh + ½mv22

mgh =mgh = mgy + ½mvmgy + ½mv2 2 = = ½mv½mvff

22 La E total es la misma en La E total es la misma en cualquier punto.cualquier punto.

U = 0

Fondo: E = ½mvFondo: E = ½mv22

(Desprecie la fricción del aire)

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una bola de Una bola de 2 kg2 kg se libera se libera desde una altura de desde una altura de 20 m20 m. ¿Cuál es su . ¿Cuál es su velocidad cuando su altura disminuye a velocidad cuando su altura disminuye a 5 5 mm??

vv5m5m

v = 0v = 020m20m

00

mgh = mgy + ½mvmgh = mgy + ½mv2 2

2gh = 2gy + v2gh = 2gy + v22

vv22 = 2g(h - y) = = 2g(h - y) = 2(9.8)(20 - 2(9.8)(20 - 5)5)

v = v = (2)(9.8)(15)(2)(9.8)(15) v = 17.1 m/sv = 17.1 m/s

Earriba total = E total a 5 m

Earriba total = E total a 5 m

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de Una montaña rusa cae de una altura máxima de una altura máxima de 100 ft100 ft. ¿Cuál . ¿Cuál es la rapidez cuando llega a su punto es la rapidez cuando llega a su punto más bajo?más bajo?

Suponga fricción cero:Suponga fricción cero:

Arriba: Arriba: U + K = mgh + 0U + K = mgh + 0

Abajo: Abajo: U + K = 0 + ½mvU + K = 0 + ½mv22

La energía total se La energía total se conservaconserva

v = v = (2)(32 ft/s(2)(32 ft/s22)(100 ft))(100 ft)

mgh = mgh = ½mv½mv22

v = 80 ft/sv = 80 ft/s

v = 2ghv = 2gh

Conservación de energía en Conservación de energía en ausencia de fuerzas de ausencia de fuerzas de

fricciónfricción

Comienzo: Comienzo: (U + K)(U + K)oo = Fin: = Fin: (U + K)(U + K)f

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte¿Resorte??

¿Velocida¿Velocidad?d?

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte?¿Resorte?

¿Velocida¿Velocidad?d?

La energía total es constante para un La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad sistema conservativo, como la gravedad o un resorte.o un resorte.

La energía total es constante para un La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad sistema conservativo, como la gravedad o un resorte.o un resorte.

Ejemplo 3.Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada El agua en el fondo de una cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. 35 ft.

hhoo = 35 m; v = 35 m; vff = 30 = 30 m/sm/s22

¿Cuál es la rapidez del ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la agua en lo alto de la cascada?cascada?

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte?¿Resorte?

¿Velocidad¿Velocidad??

Sí (35 m)

No

Sí (vo)

Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada. Suponga y = 0 en el fondo para punto de

referencia.

Ejemplo 3 (Cont.)Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. después de caer 35 ft.

hhoo = 35 m; v = 35 m; vff = 30 = 30 m/sm/s22

¿Cuál es la rapidez del ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la agua en lo alto de la cascada?cascada?

mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte?¿Resorte?

¿Velocidad¿Velocidad??

No (0 m)

No

Sí (vf)

Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada:

Ejemplo 3 (Cont.)Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. después de caer 35 ft.

hhoo = 35 m; v = 35 m; vff = 30 = 30 m/sm/s22¿Cuál es la rapidez del ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la agua en lo alto de la

cascada?cascada?

Energía total arriba = Energía total Energía total arriba = Energía total abajoabajo

2 2 2 20 2 (25.8 m/s) 2(9.8 m/s )(33.2 m)fv v gh

2 20 14.9 m /sv vo = 3.86 m/svo = 3.86 m/s

2 202 fgh v v 2 21 1

02 20 fmgh mv mv

Ejemplo 4.Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad Una bicicleta con velocidad inicial inicial 10 m/s10 m/s sube hasta una altura neta sube hasta una altura neta de de 4 m4 m. ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si . ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si

desprecia la fricción?desprecia la fricción?

4 m

vf = ?

vo = 10 m/s

E(arriba) = E(abajo)E(arriba) = E(abajo)

EEarribaarriba = mgh + = mgh + ½mv½mv22

EEabajoabajo = 0 + ½mv = 0 + ½mvoo22

2 21 102 2fmv mgh mv 2 21 1

02 2fv v gh 2 2 2 2

0 2 (10 m/s) 2(9.8 m/s )(4 m)fv v gh

2 221.6 m /sfv vf = 4.65 m/svf = 4.65 m/s

Ejemplo 5:Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30plano inclinado de 30oo, el bloque de 2 kg , el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.

sshh

3030oo

IniciInicioo

FinFinmghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

½kx½kxoo22 = mgh = mghff

Conservación de Conservación de energía:energía:

2 20

2

(2000 N/m)(0.08m)

2 2(2 kg)(9.8 m/s )

kxh

mg h = 0.327 mh = 0.327 m

Ejemplo (Cont.):Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30plano inclinado de 30oo, el bloque de 2 kg , el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.

sshh

3030oo

IniciInicioo

FinFinContinúa:Continúa:hh = 0.327 m = 32.7 = 0.327 m = 32.7

cmcm

sensen 30 30oo = =hh

ss

ss = = = =hh

sen sen 3030oo

32.7 32.7 cmcm

sen 30sen 30oo

s = 65.3 cms = 65.3 cm

Conservación de energía y Conservación de energía y fuerzas no conservativas.fuerzas no conservativas.

Se deben explicar las Se deben explicar las fuerzas de fuerzas de fricciónfricción. La . La energía todavía se energía todavía se conserva, pero conserva, pero nono es es reversible.reversible.

Se deben explicar las Se deben explicar las fuerzas de fuerzas de fricciónfricción. La . La energía todavía se energía todavía se conserva, pero conserva, pero nono es es reversible.reversible.

f

Conservación de energía Conservación de energía mecánicamecánica

(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

Estrategias para resolución Estrategias para resolución de problemasde problemas1. Lea el problema; dibuje y etiquete el 1. Lea el problema; dibuje y etiquete el

bosquejo.bosquejo.

2. Determine los puntos de referencia para 2. Determine los puntos de referencia para energía potencial gravitacional y/o energía potencial gravitacional y/o resorte.resorte.

3. Seleccione un punto de inicio y un punto 3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y plantee tres preguntas en cada final y plantee tres preguntas en cada punto:punto:

a. ¿Hay altura?a. ¿Hay altura?

U = mghU = mgh

b. ¿Hay velocidad?b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2K = ½mv2

c. ¿Hay un resorte?c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2U = ½kx2

Resolución de problemas Resolución de problemas (continuación)(continuación)

4. Aplique la regla para conservación de 4. Aplique la regla para conservación de energía.energía.

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

+Trabajo Trabajo contra contra

fricción: fricción: ffkk x x

5. Recuerde usar el valor absoluto (+) 5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)energía)

Ejemplo 6Ejemplo 6: : Una masa Una masa mm se conecta a una se conecta a una cuerda de longitud cuerda de longitud LL y se mantiene y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto la velocidad en el punto BB? (d = 12 m, L = 20 ? (d = 12 m, L = 20 m)m)

BL vc

rd

1. Dibuje y etiquete.

2. Comience en A y termine en B.

3. Referencia U = 0.

U = 0(U + K)o =(U + K)f + pérdida

0

mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc2 (Multiplique por 2,

simplifique)

2gL - 4gr = vc2 Luego encuentre r de la

figura.

A

Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.): : Una masa Una masa mm se conecta a una se conecta a una cuerda de longitud cuerda de longitud LL y se mantiene y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto velocidad en el punto BB? (d = 12 m, L = 20 m)? (d = 12 m, L = 20 m)

2gL - 4gr = 2gL - 4gr = vvcc

22

r = L - dr = L - d

r = 20 m - 12 m = 8 r = 20 m - 12 m = 8 mm

BL vc

rd

U = 0

A

vvcc22 = 2(9.8 m/s = 2(9.8 m/s22)[20 m - (2)(8 )[20 m - (2)(8

m)]m)]

vvcc2 2 =2gL - 4gr = 2g(L - =2gL - 4gr = 2g(L -

2r)2r)

vvcc = = 2(9.8 m/s2(9.8 m/s22)(4 )(4 m) m)

vvcc = 8.85 = 8.85 m/sm/s

vvcc = 8.85 = 8.85 m/sm/s

Ejemplo 7Ejemplo 7: : Una masa Una masa mm de de 2 kg2 kg ubicada ubicada 10 m10 m sobre el suelo comprime un resorte sobre el suelo comprime un resorte 6 6 cmcm. La constante de resorte es . La constante de resorte es 40,000 40,000 N/mN/m y y kk = 0.4 = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando . ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?llega al fondo?

hh

2 kg2 kg

ss

3030oo mgmg

ff nnmg sen mg sen

3030oomg cos mg cos

3030oo3030oo

InicioInicio

FinFin

Conservación:Conservación: mgh + ½kxmgh + ½kx22 = ½mv = ½mv22 + + ffkkxx (trabajo)(trabajo)ff = ( = (kknn) x = ) x = ((mg cos mg cos

3030oo)) xx continúa . . .continúa . . .

Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.): : Una masa Una masa mm de de 2 kg2 kg ubicada ubicada 10 m10 m sobre el suelo comprime un sobre el suelo comprime un resorte resorte 6 cm6 cm. La constante del resorte es . La constante del resorte es 40,000 N/m40,000 N/m y y kk = 0.4 = 0.4. ¿Cuál es la rapidez . ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?cuando llega al fondo?

hh

2 2 kgkg

xx

3030oo

10 m10 m

ffkkx = x = ((mg cos 30mg cos 30oo)) xx

mgh + ½kxmgh + ½kx22 = ½mv = ½mv22 + + ffkkxx

ffkkxx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J

x = = 20 m10 m

sin 30o

mgh = (2 kg)(9.8 m/s2)(10 m) = 196 J

½kx½kx22 = ½= ½(40,000 N/m)(0.06 m)(40,000 N/m)(0.06 m)22 = = 72.0 J72.0 J

Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.):: Una masa Una masa mm de de 2 kg2 kg ubicada ubicada 10 m10 m sobre el suelo comprime un sobre el suelo comprime un resorte resorte 6 cm6 cm. La constante de resorte es . La constante de resorte es 40,000 N/m40,000 N/m y y kk = 0.4 = 0.4. ¿Cuál es la rapidez . ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?cuando llega al fondo?

h

2 kg

x

30o

10 m

mgh + ½kxmgh + ½kx22 = ½mv = ½mv22 + + ffkkxx

ffkkxx = 136 J= 136 J

mghmgh = 196 J= 196 J ½kx½kx22 = 72.0 = 72.0 JJ

½mv½mv22 = mgh + ½kx = mgh + ½kx22 - - ffkkxx

½½(2 kg) (2 kg) vv22 = = 196 J + 72 J - 136 J = 132 J 196 J + 72 J - 136 J = 132 J

v =11.4 m/sv =11.4 m/s

Resumen: Resumen: Ganancias o pérdidas de Ganancias o pérdidas de

energíaenergía

U = mghU = mgh

212U kx 212U kx

Energía potencial gravitacional

Energía potencial gravitacional

Energía potencial de resorte

Energía potencial de resorte

Fricción contra trabajoFricción contra trabajo Trabajo = fx

Trabajo = fx

Energía cinéticaEnergía cinética 212K mv 21

2K mv

Resumen:Resumen:Conservación de energíaConservación de energía

Regla básica para conservación de energía:

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

+Trabajo Trabajo contra contra

fricción: fricción: ffkk x x

Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

CONCLUSIÓN: Capítulo 8CCONCLUSIÓN: Capítulo 8CConservación de energíaConservación de energía