Capítulo 3 Matemática -...

Capítulo 3Matemática

Contrahipótesis - Tomo I134

Indice Temático Capítulo 3: Matemática

1. Los inicios. 1371.1. General. 137

1.2. Comunicación, intercambio, vínculo. 139

1.3. La matemática como arte. 140

1.4. La observación. 141

1.5. Origen y desarrollo. 142

2. La enseñanza. 1442.1. Entrada. 144

2.2. Interpretación matemática de una viga. 146

2.3. Aplicación matemática. 147

3. La belleza. 1514. Matemática, Estática y Resistencia de Materiales. 152

4.1. Entrada. 152

4.2. El modelo aritmético. 153

4.3. El modelo diferencial. 154

4.4. Las contra hipótesis. 155

5. Rotura del material o de la forma. 1565.1. Entrada. 156

5.2. La viga y la columna. 157

5.3. La manera de estudiar este asunto. 158

5.4. Los escalones. 160

5.5. Resumen. 161

5.6. El estudio de la teoría de Euler. 161

6. La matemática empírica. 1646.1. Entrada. 164

6.2. El círculo. 164

6.3. La fisura. 165

7. Los números. 1667.1. La relatividad del número. 166

7.2. El número y las técnicas o tecnologías. 167

7.3. El fenómeno y la unidad. 168

7.4. Un ejemplo del seguimiento de la unidad. 170

8. Los símbolos, el lenguaje. 1718.1. El idioma. 171

8.2. Los símbolos. 171

8.3. Los términos y conceptos. 172

9. Simetría. 1739.1. Suma y resta. 173

9.2. La multiplicación y la división. 173

9.3. Potencia y raíz. 174

9.4. El logaritmo. 175

9.5. Antilogaritmo. 175


9.6. El cero y el infinito. 176

9.7. Ecuaciones. 176

10. La mecánica y la matemática. 17710.1 La mecánica sin la matemática. 177

10.2 La mecánica con la matemática. 178

11. La predicción. 18011.1 Entrada. 180

11.2 La tensión en flexión. 180

11.3 La elástica. 181

11.4 La predicción de Neptuno. 182

11.5 La verificación y el diseño. 182

11.6 La teoría de pandeo. 183

12. Las partes de la matemática. 18412.1. Entrada. 184

12.2. Geometrías. 185

12.3. Algebra. 186

12.4. Geometría analítica. 187

12.5. Geometría diferencial, descriptiva y proyectiva. 187

12.6. Trigonometría. 188

12.7. Cálculo diferencial, derivada e integral. 188

13. La matemática en la forma. 18913.1. Entrada. 189

13.2. El perímetro y la superficie. 190

13.3. La forma en la flexión. 192

14. La matemática en la naturaleza. 19514.1. Entrada. 195

14.2. El rectángulo áureo. 196

14.3. Fibonacci y Bernoulli. 197

14.4. Otra espiral del crecimiento. 198

14.5. Hexágono, pentágono, triángulo. 199

14.6. El cuerpo humano. 201

14.7. Las espirales. 202

14.8. Resumen. 203

Matemática 137

1. Los inicios.

1.1. General.Esta historia que relato de la matemática dentro

de las CC no es completa. Son solo retazos zurcidos. La historia total, apasionante y misteriosa el lector la podrá leer en “Historia de la matemática” de Rey Pastor y Babini.

Al igual que otras ramas de la historia de la ciencia, la historia de la matemática puede concebir-se como una disciplina antigua, tanto como la ciencia misma, o como una disciplina reciente, casi contem-poránea.

“Historia de la matemática” de Julio Rey Pastor y José Babini. Editorial Gedisa. Página 203.

Antigua y reciente. La antigua se remonta en el origen del hombre que al vivir en grupos, en tribus, necesitó la palabra para comunicarse. En ese conjun-to de primitivas palabras estaban los números que en la mayoría de los casos fueron corporales (dedos de las manos, de los pies o partes del cuerpo). Las piezas obtenidas de las cacerías o pescas, debían distribuirse. Allí el número pasa a tener identidad. El acto de “contar” es un suceso aritmético. Hace 25 a 10 mil años atrás los hombres primitivos realizaban marcas en árboles y piedras para medir el tiempo, la cantidad de animales cazados o la de guerreros enemigos abatidos.

“En un sistema de numeración deben distinguirse la base y la lectura. La base está constituida por el número, o los números, mediante cuyas combinaciones aritméticas puede expresarse cualquier número.“


La base son los números simples que constituyen todos los otros números y la lectura es la interpreta-ción que se les da a las diferentes combinaciones.

• Base: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.• Lectura: 7.431 (siete mil cuatrocientos treinta y uno).• Operación: Es el producto de sumar, restar, divi-

dir o multiplicar de los números. “Sin números, la civilización tal como ahora la


conocemos no podría existir. Los números están en todas partes, como sirvientes ocultos que corren de un lado a otro entre bastidores…”

“Historia de las matemáticas” de Ian Stewart. Editorial crítica. Página 12.

En el siglo XIX se descubre uno de los documentos más antiguos referidos a la aritmética. Es el papi-ro de Rhind o Ahmes que se encuentra en el Museo Británico, se lo escribe en el año 1.650 a.C. y se cree que es copia de otro más antiguo.

En la actualidad la base utilizada es la diez. En la antigüedad la base debía ser algún número que fue-ra posible de ser dividido por la mayor cantidad de números menores. Usaron la base 60, que aún hoy perdura en las medidas del tiempo, de los ángulos y del verdulero que vende por docenas. El número 60 puede ser dividido en enteros por 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 3 y 2, que permitían distribuir o negociar sin fracciones.

“Alrededor del perno constituido por la base igual a 10, que es adoptado en la numeración china, hindú, egipicia, griega, se encuentran sistemas de base 5, como la numeración romana; de base 60 como el sistema babilónico, o de base 20, como en la cronología maya”.


Las CC sólo avanzaron cuando la matemática entregaba con cuentagotas los recursos. La matemá-tica, al principio fue un tosco mecanismo. La imagino un rudimentario reloj. En los inicios con fallas, con tremendas insuficiencias de funcionamiento y preci-sión. Las piezas había que cambiarlas cuando surgía algún descubrimiento nuevo. Todo se desarmaba y vuelto armar. Por siglos geometría, otros aritmética, luego álgebra. Perspectiva, otra vez geometría, pero analítica. Atrás como una sombra indefinida el infi-nito y el infinitésimo. Es Newton con Leibniz quienes barren las sombras. Todo se vuelve claro.

“El éxito insuperado de la gravitación que con-juntamente con las leyes de la mecánica newtoniana permiten traducir en ecuaciones diferenciales los mo-vimientos celestes y el cálculo que logra resolverlos, prediciendo el porvenir, el mecanismo que parecía secreto, divino, elevó al hombre a la jerarquía de rey

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del universo”“Historia de la matemática” de Julio Rey Pastor y

José Babini. Editorial Gedisa. Página 243.

Yo agregaría que el hombre se eleva porque descubre que el cosmos, el universo, la naturaleza se ordena sobre una base matemática; desde la órbita de nuestro planeta, hasta la posición de los átomos de hidrógeno en una molécula de agua. Todo comienza a tener un significado y justificación mate-mática.

1.2. Comunicación, intercambio, vínculo. Ahora, nadie puede escapar de ella, por una

simple razón; es el lenguaje universal. Hasta los so-ciólogos deben aplicarla cuando analizan una matriz de datos sobre la conducta de los seres humanos. La aritmética y la geometría fueron las bases del desarrollo de todas las otras ciencias abstractas y exactas.

Antes, en los tiempos que se escribió la Biblia aún no existía este lenguaje, y cuando los hijos de Noé, para alcanzar el cielo quisieron construir una altísima torre, Dios castigó su desatino mezclan-do sus idiomas “trabando sus lenguas” para que no pudiesen entenderse.

Trabar la lengua puede ser una cuestión fisiológica, los sonidos no son entendibles, como también puede ser que los operarios de la gran torre hablen diferentes idiomas, de varios países o continentes. Pero en definitiva, nadie se entiende. Es imposible construirla. La torre trunca.

Ahora, en la actualidad es posible construir torres tan altas como la de Babel. En la cons-trucción no existe desorden ni


confusión, porque todos hablan el mismo idioma; el de la matemática. Los técnicos asiáticos como los americanos entienden un plano y las ecuaciones matemáticas que lo integran.

Se construyen las torres durante años y se las destruyen en minutos. Dos torres iguales, son castigadas por la incomprensión entre los seres humanos. No se entienden. No hay acuerdos…se traban sus lenguas. Lo único en común que existe en esas décimas de segundos entre el avión que se aproxima y la torre es la matemática que se empleó para la construcción y la empleada para la demolición.

1.3. La matemática como arte.Existen dos maneras de hacer matemática; una la

cotidiana que se la estudia y aplica para la solución de problemas reales, fácticos. Es la matemática que emplea el técnico cuando diseña y dimensiona una estructura. Aquí la matemática es real, contundente, posee cuerpo que se la muestra en las memorias de cálculo o en las planillas.

La otra matemática la llamo del arte. Es hacer matemática porque gusta. El arte es la actividad que interpreta la realidad o lo imaginario con diferen-tes recursos. Pueden ser las letras, los trazos en la pintura, las formas en la escultura, la sonoridad en la música y también los algoritmos en la matemática.

El investigador o científico matemático, hace matemática en abstracto. Busca, analiza y descubre combinaciones operativas sin unidades. No sabe quien en el futuro las utilizará y cómo. Es la copa de cristal vacía, está allí creada por los artesanos y apasionados de la sílice, las altas temperaturas y el moldeo. La hacen sin saber que bebida cobijará.

“…el matemático construye algo como un gigan-tesco anaquel o armario en que están almacenados todas las estructuras que puedan concebir, una ciencia formal, si se quiere de crear ciencia ficción…”

“Las desventuras del conocimiento matemático”. G. Klimosky – G. Boido. Az editora.

Aquí la palabra “estructura” se define a todas las

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formas posibles de combinaciones relacionadas con la matemática y la geometría.

Los pitagóricos en el arte griego del abstracto descubren la relación entre los lados de un triángulo, pero esa pasión los lleva a un callejón sin salida. Se encuentran con la desagradable sorpresa del número irracional cuando los catetos del rectángulo son iguales a uno.

Creo que antes del período hele-nístico, la matemática era solo aritmé-tica aplicada. Toma forma de arte y se transforma en matemática cuando es posible manejarla en abstracto; es parte del arte filosófico.

“Durante su larga historia, los matemáticos se han inspirado en estas dos fuentes: el mundo real y el mundo de la imaginación humana ¿cuál es más importante? Ninguno de los dos; lo que importa es la combinación”

“Historia de las matemáticas” de Ian Stewart. Editorial crítica. Página 297.

Esas son las dos matemáticas. Una es la teórica, la abstracta. La otra es la aplicada a las manifesta-ciones naturales. De nada sirve una sierra si no hay madera para cortar. De nada sirve la matemática si no hay fenómenos a interpretar.

22 11 +=c

1.4. La observación.Los conceptos primarios de la geometría resultan

de la observación de la Naturaleza, en especial la orgánica. En ella existen infinidad de formas geomé-tricas regulares. Desde el hexágono utilizado por la mayoría de las avispas y abejas, el pentágono en los pétalos de algunas flores. La esfera en la caída libre de una gota de lluvia o rocío. Las espirales logarítmicas o equiangulares en el crecimiento de las caracolas. De la observación de esa geometría natural, la relación de sus lados, la composición de las figuras dentro del círculo, surgen configuraciones


que luego se transforman en números. La matemática está en marcha.

Es posible que la primera observación del hombre fuera su propia mano y también su cuerpo. La canti-dad de los dedos de la mano y del pie, que luego se transforman en peces cuando los cuenta, en cantidad de enemigos cuando son acechados. La observación y la comparativa se trasforman en cantidad. Creo que el análisis corporal y su identificación con la can-tidad es el primer paso científico que da el hombre primitivo.

En nuestra disciplina de la ingeniería o arquitectu-ra debo separar el antes y el después de la mate-mática. El antes, con la ausencia de la matemática, los fenómenos eran observables pero no explicados. Los edificios se construían según tradiciones; transfe-rencia de costumbres por generaciones. El después, ya con la matemática el ser humano comprendió el comportamiento de todas las piezas de una estructu-ra frente a las fuerzas.

Por milenios, el ser humano sabía que la rama se dobla con el viento, el arco se curva con la cuerda tensada, la viga, la palanca se flexa con la carga. Pero solo con la llegada y el uso de la matemáti-ca, a todas esas manifestaciones sensoriales, se las transforma en una disciplina, en ciencias.

La fase empírica de las ciencias se basa en la observación de un fenómeno. Una vez comprendido, analizado el fenómeno se lo sintetiza, con el razo-namiento matemático. En la actualidad el método científico en las ciencias de la construcción se la obtiene con los dos pasos o fases. El primero con la observación, interpretación y análisis. El segundo con la representación matemática del fenómeno.

1.5. Origen y desarrollo.El principio fue aritmético; contar, restar, sumar

con los dedos de las manos. Luego se avanza a un estado geométrico que es utilizado por los egipcios en la mensura de sus terrenos. La geometría posee representación de todas sus formas, de sus figuras. Líneas, curvas, rectas, paralelas, superficies, volúme-

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nes, todo puede ser representado por la geometría. Casi les puedo decir que la geometría es una ciencia aplicada, real. Las primeras manifestaciones cultura-les del hombre fueron dibujos, geometrías.

La geometría sin embargo está pegada ínti-mamente a las figuras. Por ejemplo el teorema de Pitágoras, su principio fue geométrico; el triángulo rectángulo y los cuadrados desplegados como figu-ras en cada uno de sus lados, demuestran por sí al teorema.

La superficie de S1 es igual a la suma de las superficies S2 y S3. De otra forma: S1 = S2 + S3. Esta es la mejor demostración del teorema, de todas, de las cientos o más que existen. Luego llega la matemática con su podero-sa arma del lenguaje, del idioma. Lo anterior se transforma en algo corto y contundente:

a2 = b2 + c2 La matemática surge cuando ese

fenómeno geométrico puede ser repre-sentado por signos, por símbolos, no por figuras. La matemática se inventa cuando se abstrae de los problemas concretos, reales. Surge la idealización.

Aparece como una ciencia deductiva, que arranca con axiomas, con una sucesión lógica de teoremas. Los números y sus operaciones son independientes de los objetos. Una operación se la puede realizar sin necesidad de dar entidad de objetos.

“Así como el contar y los sistemas de numeración contienen en germen las nociones fundamentales de la aritmética, y las medidas de las áreas y volúme-nes representan los primeros rudimentarios de una ciencia geométrica, los orígenes de la tercera rama elemental de la matemática; el álgebra, pueden verse en esa colección de problemas, adivinanzas, recreaciones matemáticas…, que se encuentran en la antología de los pueblos antiguos o en el seno del alma popular…”


En un apretado resumen puedo establecer el


avance de la matemática en los siglos del hombre:

Egipto, Babilonia: 5.000 a 6.000 años atrás. La actividad de contar. La sustracción y la suma. La geometría basada en el hilo tensado como recta, como compás en la circunferencia y como rectángulo en el 3, 4 y 5.

Grecia: 2.500 años atrás. Al princi-pio la matemática como saber filosófi-co. Luego con Euclides, Arquímedes, Tales y otros, se desprende de la filosofía. Surgen el álgebra y los primitivos conceptos de infinitésimo.

Edad media: 1.500 años atrás. Desarrollo de la hindú y árabe. En Europa solo el uso y repetición de los conocimientos griegos. La excepción es Fibonacci con su matemática comparativa con la naturaleza.

Renacimiento: 500 años atrás. Ecuaciones de tercer y cuarto orden. Tartaglia, Cardano, Napier. Logaritmos. Progreso del álgebra, trigonometría.

Siglo XVII - XVIII: 400 años atrás. Matemática moderna. Geometría analítica. Descartes, Fermat. Teoría de los números, matemática probabilística. Los precursores del análisis infinitesimal; Kepler, Barrow, Newton, Leibniz, Bernoulli, Lagrange, Fourier, Euler.

Siglo XIX hasta nuestros días: Geometría no euclidiana. Avance del álgebra abstracta. Elementos finitos, sistemas de matrices. Incorporación de las computadoras; idiomas de interacción entre máquina y hombre.

2. La enseñanza.

2.1. Entrada.La forma, la manera de aprender matemática,

provoca un gran esfuerzo de religiosa fe y esperan-za, que todo eso nos servirá algún día. La matemáti-ca está mal presentada, al final, desagradable por la manera que se enseña. Es lo mismo que mostrar un cuadro o una escultura en la oscuridad o penumbra.

Matemática 145

Apenas se la observa.Las matemáticas se estudian y se aplican sin histo-

ria, como si no tuvieran tiempo pasado. Están allí en el pizarrón o en los libros desde siempre, eternamen-te. Conocer su historia y comprender la forma que se inserta en las diferentes ciencias es realmente intere-sante. En realidad no es interesante; es necesario.

“...Se piensa en ella como algo muy abstracto y alejado de la realidad, y que sólo de manera inci-dental tiene aplicaciones útiles en la vida diaria...Es verdad que ámbitos importantes de la matemática se estudian más bien por su belleza y por la curiosidad intelectual que despiertan, antes que por la posibi-lidad de que se las emplee para satisfacer requeri-mientos concretos de utilización práctica...la matemá-tica a través de sus aplicaciones, sirve para resolver problemas en una amplia gama de cuestiones que atañen a otras disciplinas, científicas y tecnológicas”.

“Las desventuras del conocimiento matemático” de Klimovsky y Boido. Editora aZ. Página 21.

En las aritméticas y análisis matemáticos los profesores enseñan expresiones y demostraciones que giran sobre sí mismas. Se enseñan ecuaciones, series, derivadas, diferenciales o integrales que se arman y se resuelven en su propio ámbito abstrac-to. Se cuenta, se muestra el envase, pero no se dice que contiene. Siendo que las matemáticas y la física coexisten desde el momento que logran interpretar fenómenos reales. Son idiomas, lenguajes especiales técnicos, que sirven para interpretar evidencias del mundo físicas.

La matemática se enseña al revés de su historia. Ella surge de la búsqueda de explicación a fenómenos naturales, físicos, tangibles. Sin embargo se en-seña en la más aséptica de las teorías abstractas, tanto que los alumnos se preguntan: ¿y esto, para qué me sirve?

La verdadera matemática es el fenómeno que se observa, luego con los datos se configuran las hipótesis de inicio. Con muchos esfuerzos se intenta modelarlo, interpretarlo teóricamente hasta que se llega a una expresión o


fórmula final. Luego se efectúan repeticiones y con-trastaciones para reafirmar la teoría.

2.2. Interpretación matemática de una

viga.Aquí el concepto de término es un dato, un an-

tecedente. Puede ser real o ideal. En el caso de un suceso observable, fáctico, lo denomino término observacional (TO). Mientras que si las referencias son ideales o imaginarias los llamo términos teóricos (TT). Por ejemplo en una viga en flexión, la flecha o descenso en su parte media es TO, porque la puedo medir. Mientras que el volumen de tensiones que se producen dentro de la masa del material es un TT, porque me resulta imposible observarlo.

Es interesante distinguir estas diferencias, para entender mejor la configuración de un desarrollo matemático en su marcha hacia la modelación del fenómeno. La matemática para las CC debe ser entendida siempre sobre problemas reales. El esque-ma que sigue posee seis secuencias de las cuales solo dos son reales (TO: términos observacionales), las otras son ideales o teóricas (TT: términos teóricos).

1. Teórico. Esquema de la viga. Es un TT porque no se tiene en cuenta el peso propio, el espe-sor, el ancho, el material, nada. Es una línea recta. Solo se indi-ca la longitud y la idealización teórica de los apoyos.

2. Real. Se aplica la carga que es un TO, puedo medir y controlar la carga en forma y cantidad.

3. Real. En el acto de aplicar la carga surge la elástica, es TO, la puedo medir con un flexíme-tro en cualquier punto.

4. Teórico. Es la curva que mide la variación de la recta tangente que se desplaza sobre la elás-tica. La rotación es máxima en los apoyos y nula en el centro.

Matemática 147

Es una curva de TT.5. Teórico. Desplazo la tangente en la curva an-

terior. Tiene cierta similitud con la curva de la elástica; es nula en los apoyos y máxima en el centro. También es un TT. Es la curva del mo-mento flector.

6. Teórico. Vuelvo a pasarle la recta tangente a la curva anterior. Su variación es una recta inclinada: el esfuerzo de corte.

Todas estas curvas poseen una interpretación física que la matemática la define. En todas utilizo la herramienta de la tangente que “corre” sobre la curva anterior y su inclinación es cuantificada en la curva siguiente. Eso es “derivada” en cálculo infini-tesimal y es la única manera de estudiar un fenóme-no instantáneo y variable como es la elástica de una viga.

Existen dos maneras de estudiar este fenómeno. El “A” desde la viga con su carga y los sucesos si-guientes. El otro el “B” es inverso; se comienza por el último TT y se llega a la curva de la elástica que es un TO. La eficiencia de la matemática es recorrer los caminos en una y otra dirección.

Los protagonistas de este suceso son:1. “l”, la geometría longitudinal

(distancia de apoyos).2. “I”, la geometría transversal

(momento de inercia).3. “q”, la carga distribuida.4. “E”; el material (módulo de elasticidad).5. “CB”; condiciones de borde o apoyo

(libre, articulado, empotrado).6. “y”; la flecha (el descenso en la parte media).

2.3. Aplicación matemática. Avanzo y a la viga anterior la identifico con datos

precisos; es de madera con sección rectangular de valores “b” y “h” y longitud “l”.

Ahora analizo los sucesos entre la elástica (ob-servable) y el momento flector (entidad abstracta). Jamás podré “ver” o “tocar” un momento flector.


Veamos. De la relación del radio de giro, de las deformaciones y la inercia, surge la expresión universal que rela-ciona al momento flector, la rigidez (EI) con la distancia “x” y el descenso “y”.

El signo contrario surge porque mientras la variación de la elástica se anula hacia la parte media, el momento flector aumenta. Una se reduce, la otra crece. De allí el signo contrario.

Le pido al lector que observe las figuras y ecua-ciones que vienen como un cuadro realizado por otros artistas. No es necesario comprender cada expresión. Lo impresionante es el final; se obtiene el descenso en cualquier parte de la viga. Se pronosti-ca la elástica con una ecuación. El desarrollo mate-mático que sigue está en todos los libros que tratan la Resistencia de los Materiales; es un clásico.

Determino el Mx y a partir de allí mediante dos escalones de integrales llego a determinar la flecha o el descenso de la viga en la parte media. Realizo la configuración de la ecuación del momento flector en un punto a distancia “x” del apoyo izquierdo.

A esta ecuación diferencial de segundo orden le aplico el primer escalón de integral y obtengo.

Esta ecuación me da la “aceleración” que sufre la elástica a largo de la viga. Es máxima en el apoyo

M

dxydEI −=2

2

22

222

2

2

2

qxqlxdx

ydEIMx

qxqlxM x

+−==

−=

2464

24

20

64

332

3

32

qlqxqlxdxdyEI

qlC

lxdxdyCqxqlx

dxdyEI

dxdM

++−=

=

=→=++−==

Matemática 149

y se anula en el centro. Es la tangente que recorre la curva del momento flector. Realizo la segunda integración.

Es increíble. Repito, mediante la matemática se ha logrado predecir la flecha máxima de la viga. Quie-ro imaginar a un Arquímedes, Aristóteles, Leonardo o Galileo, frente a este extraordinario y económico desarrollo. Imposible en aquella época. Los imagi-no con la misma expresión de sorpresa mirando un avión o un teléfono móvil allá en los principios del Renacimiento.

En esta hazaña los protagonistas son las deriva-das y las integrales. La enseñanza de la matemática debe ser sostenida con ejemplos directos, contunden-tes, precisos. Hay que enseñar al revés; mostrar la realidad desde la matemática. De ninguna manera enseñar la matemática separada de la realidad, como una cuestión abstracta. En la figura el “q”, el “M”, la “y”, el “Q”, todos emparentados por las secuencias de las derivadas. Repito el dibujo, ahora con las derivadas. Para simplificarlo hago el “EI” igual a menos uno (-1).

Este escalón de esquemas que sigue los puedo interpretar desde la matemática de la siguiente manera:

La condición inicial de la viga, ideal, sin carga, sin peso propio. En este solo y teórico supuesto de carga nula, la elástica ‘’y’’ es nula.

Vuelvo a la realidad en cuanto a cargas y man-

tengo la idealización de la viga como una línea. En el acto que se colocan las cargas la elástica “y” toma la forma de una curva en función de “x”. Se

( )

EIqlylxpara

xlxxlEI

qy

CyxCxqlqxqlxEIy

máx

4

433

11

343

3845

2

224

000242412

=→=

+−=

=→==+++−=


forma una función matemática que en la realidad es la deformada.

A la curva de la elástica le “paso una tangente” en todo su largo. La intensidad de la pendiente de esa tangente en cada punto es la derivada anterior, que también resulta una curva. Tiene valores máxi-mos en los apoyos y resulta nula en el centro.

Con otra derivación obtengo una curva que es el momento flector “Mf” provocado por la carga “q”. Está emparentado con la elástica en los valores máximos y mínimos. Nulos en los apoyos y máximos en el medio.

A la curva del momento flector de nuevo la some-to a derivación y logro una recta inclinada. Tiene la misma pendiente en todos sus puntos. Es el diagrama de esfuerzos de corte “Q”.

Por último a esta recta si la derivo es obvio que me dará una constante, porque su tangente no varía. Es el diagrama que me representa la carga uniforme repartida “q”.

Necesito destacar que esta cascada de funcio-nes matemáticas con sus representaciones gráfi-cas corresponde a un instante, a un segundo de la existencia de la viga. Solo el relámpago de un flash fotográfico. Toda esta secuencia sucede para cada variación de carga durante las horas, durante los días y estaciones. Porque no solo son las cargas que soporta el entrepiso, sino otras que no vemos: dilata-

Matemática 151

ción, contracci6n, viento, diferencial de movimiento, adherencias, confinamiento y tantas otras más. Eso se logra con la matemática, eso logró Newton al deter-minar la posición de cada planeta sobre una curva en función de cada segundo del año.

3. La belleza.

Las palabras que siguen pueden parecer un absurdo y provocar rechazo en los dogmáticos y or-todoxos ingenieros. Pero es un resumen del concepto de varios autores sobre las matemáticas.

Se puede hablar del encanto de una música o la belleza de una pintura o escultura, pero la mate-mática tiene un valor estético tanto o más superior. Expresiones de gran belleza como el binomio de Newton, o la cadencia de la trigonometría. Increíble; de un triángulo salen tantas cosas. La derivada y la integral, con la sensibilidad del estudio de las cur-vas y contra curvas. Todo en abstracto, en absoluta teoría. Intangible, inmaterial.

Hagamos uso de un silogismo: la pintura y la músi-ca son admirables, ambas pueden ser representadas por la matemática; por consiguiente la matemática es un arte perfecto.

Leonardo da Vinci era un apasionado de las ma-temáticas. Quería expresar la naturaleza mediante las matemáticas.

“… El hombre que condena la certeza suprema de las matemáticas, se alimenta de la confusión y no puede acallar nunca las contradicciones de las cien-cias sofísticas, que llevan siempre a conflictos intermi-nables… Cuando no se pueden aplicar matemáticas, no hay seguridad en las ciencias.”

“Leonardo Da Vinci”. Kenneth Clark. Alianza Forma. Página 52.

Para Leonardo, con la ayuda de la matemática, la geometría y la aritmética, se logra la certeza absoluta dentro del ámbito de cada ciencia o arte. Los dibujos de Leonardo están contagiados de una forma matemática que se inicia en el renacimiento; la perspectiva.


4. Matemática, Estática y Resistencia de Materiales.

4.1. Entrada.La frase es de Galileo “El idioma de la naturaleza

es la matemática”. Lo veremos en extensión cuando analicemos la forma y el tamaño. La revolución cien-tífica comenzada en el Renacimiento, hace posible por sobre todas las ciencias el avance y desarrollo de la matemática. Gracias a ella la Estática tuvo posibilidades de mostrar las formas. Cualidades de las formas que resultan imposibles de describir con lenguaje común, cotidiano.

La Estática la descubre Galileo. Genial, aún sin disponer de la sofisticada y poderosa matemática actual, Galileo logra explicar los principios de la Estática en un diálogo entre personajes. Dentro del diálogo y con figuras elementales de segmentos organiza la Estática con la matemática rudimentaria de su época.

Galileo es el fundador de la mecánica moderna que establece los principios de las ciencias de la construcción. Su mayor mérito reside en la organiza-ción aritmetico matemática de sus explicaciones que sirvieron de base para otras demostraciones.

A diferencia de otros genios del renaci-miento analiza los fenómenos con la experi-mentación. Ensaya, busca, observa y luego la desesperada ansiedad por explicarlo en términos matemáticos. En una época donde ella, la matemática, comenzaba con sus primeras sílabas. Repito conceptos de otros autores; la matemática abstracta es una copa, un envase vacío. El líquido que lo llenará serán los acontecimientos fácticos.

Galileo tenía en sus manos una cantidad extraordinaria de “acontecimientos”, pero la mate-mática que disponía en su época era elemental. Le faltaba el gran envase para contenerlos, le faltaba la matemática del infinitésimo, la del límite, la de la integral y la derivada, que recién toma vuelo univer-sal con Newton y Leibnitz.

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4.2. El modelo aritmético. Hay un modelo perfecto para mostrar la relación

entre las fuerzas (Estática) y los materiales (Resisten-cia de los Materiales); es la fórmula del espejo (σ = M/W) que se llega mediante un escalón anterior a la matemática. Se utiliza la aritmética y la geometría. Mediante la necesaria igualdad entre efectos ex-teriores (momento flector) y resistencia del material (cupla interna). El patrón de estudio sigue siendo una viga con carga uniforme y apoyos simples.

En este modelo el TO incluye la car-ga, las condiciones de borde, la forma y la longitud de la viga. También el W, módulo resistente que surge de la altura (h) y del ancho (b). Todos antece-dentes que los puedo observar y medir.

Mientras que la tensión, el momento flector y el corte con sus variaciones en el interior del material son TT porque no la puedo precisar de manera directa.

El modelo matemático surgirá de efectuar la igualdad entre las acciones externas (Me) y la cupla interna resistente (Mi).

Aquí la matemática empleada es

solo aritmética; productos y divisiones, combinada con la geometría de líneas, superficies y volúmenes. Fue posible ha-cerlo de esta manera porque la sección de la viga es rectangular.

WM

WbhbhMi

hzhbhbCT

zTzCMiqlMe

MiMe

=

==⋅=

⋅=⋅⋅

=⋅⋅⋅==

⋅=⋅==

=

σ

σσσ

σσ

6122

32

421

2

8

22

2


4.3. El modelo diferencial.Para otras secciones irregulares es necesario el

infinitésimo, el diferencial. Mediante la utilización de la integración se puede obtener la sumatoria de las pequeñas cuplas internas. En fin, la matemática tiene diferentes caminos para llegar al mismo resultado.

En este caso se utiliza una lámina infinitamente fina, con un espesor “dy”. El área de dicha franja imaginaria será

dA = b.dy

Son dos formas de interpretar el suceso. El prime-ro, un caso particular de sección rectangular median-te la geometría y la aritmética elemental; utiliza vo-lúmenes de tensiones y baricentros de triángulos. En el segundo puede ser extendido a cualquier sección, utiliza la integración del momento que produce una fuerza diferencial “dF”. En este caso el TT es también la proporcionalidad en-tre tensiones y distancias al eje neutro.

WM

Wbhyyh

bdyyh

bMi

dyyh

ybdyybydAMi

hyhy

dAdFydAdMdybdA

h

h

h

h

h

h

h

hy

h

hy

yy

yy

=

⋅=⋅=

−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅==

⋅=⋅⋅=⋅=

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫ ∫∫

σ

σσσσ

σσσ

σσσσ

σσ

63322

2

2

2

22

2

332/

2/

2

2/

2/

2/

2/

2/

2/

Matemática 155

4.4. Las contra hipótesis. En ambos casos anteriores fueron utilizadas hi-

pótesis o supuestos ideales que se cumplirán antes, durante y después del fenómeno. Las enumero para destacarlas en cualidad y cantidad. Es notable la cantidad de hipótesis para elaborar el pastel.

• Material homogéneo: no debe tener imperfec-ciones, como los nudos en la madera.

• Material isótropo: debe resistir por igual a la compresión y tracción.

• Material uniforme: debe tener la misma densi-dad y composición en toda su masa.

• Material elástico. Deformaciones proporcionales a las tensiones.

• Sección constante: el ancho y alto deben perma-necer invariables.

• Carga aplicada en el eje: las cargas se aplican en un plano que contine el eje de la viga.

• Sección plana: durante la flexión la sección transversal permanece plana.

• Barra recta: la viga debe poseer un eje recto.• Apoyos articulados perfectos: la articulación no

debe producir ninguna resistencia al giro.• Un apoyo móvil: uno de los apoyos debe des-

plazarse al flechar la viga.• Temperatura constante: igual temperatura per-

manente en las fibras superiores e inferiores a lo largo de toda la viga.

La matemática nos asombra como una precisa he-rramienta, pero vemos que necesita de cierta ficción para ser aplicada. Idealización completa en el caso de una viga de madera. Le pregunto al lector ¿Se cumplen todas y cada una de las hipótesis en la rea-lidad? No, no se cumplen. Esta es la singularidad de la matemática en las CC; exige y reclama hipótesis falsas. Entonces, la realidad se configura por las con-tra hipótesis. Para mantener su belleza nos demanda frascos llenos de conjeturas y supuestos. Es cosmética y maquillaje que esconde algunas imperfecciones. Este estudio de contra hipótesis es un intento de ver el rostro de las CC limpio, natural, real.


5. Rotura del material o de la forma.

5.1. Entrada.Hay dos maneras de conceptualizar la rotura, una

es el colapso del material y la otra es la rotura de la forma. Los pedazos en el piso granítico de la caída de una copa de cristal es fractura total, mientras que la abolladura de un jarro de aluminio en la misma caída es quiebre de la forma. Además se suma una cuestión de existencia, la copa luego de la caída deja de serlo, mientras que el jarro golpeado segui-rá en servicio.

En este espacio haré un análisis de la fuerza que posee la matemática sobre la conducta de los hombres que hacen las CC. Utilizo una vez más el caso estudiado y resuelto por Euler: el pandeo de columnas esbeltas. Es tan intensa la atracción que produce esa ideal teoría de pandeo que fue apli-cada por muchos años a columnas de hormigón armado, que no sufren de pandeo. En realidad son atacadas por un mal peor: la flexo compresión. Frente a una herramienta pode-rosa y además con elevada estética, es condición del hombre utilizarla. Se siente atraído hacia ella. Esto sucedió por largas décadas, se utilizó la teoría de Euler en columnas sin pandeo.

Además de ese equívoco se sumó otro en la academia, donde se dice que una columna que haya ingresado en pandeo se la debe considerar colap-sada. No es así. Si el lector toma una delgada regla de dibujo, y la somete a compresión, verá que en un momento dado se quiebra la forma. Entró en pan-deo, pero no se rompe el material, es más puede seguir resistiendo cargas mayores. En realidad el caso de pandeo y colapso juntos se dan solo para columnas de materiales extremadamente rígidos como puede ser el yeso, el cerámico o el hormigón simple, sin armaduras.

Matemática 157

5.2. La viga y la columna. En los esquemas siguientes dibujo el mismo ele-

mento pero girados 90 grados uno respecto del otro. El primero es una viga, mientras que el segundo es una columna. Son entidades iguales, solo difiere su orientación; una horizontal y la otra vertical. Cuando aplico una carga vertical en ambos se produce una elástica y es aquí donde surge la diferencia.

La viga que por destino tiene sostener cargas verticales, la elástica no afecta la configuración re-sistente. Seguirá la flexión como solicitación principal en todo momento. Mientras que la columna además de compresión aparece un efecto de flexión; la flexo compresión.

Pero incluso en las columnas metálicas o de ma-dera, esa flexión no se origina por la elástica pro-ducida por pandeo, sino surge en el instante de la aplicación de la carga porque existen irregularida-des imposibles de salvar tanto en la uniformidad del material, en su eje y el más común, en el centrado de la carga. Es decir que las columnas reales de las CC (no las teoricas de Euler) poseen una excentricidad congénita que contagia a todo su cuerpo de flexión, además de la compresión. En los esquemas intento mostrar algunas situaciones reales que producen las excentricidades de las fuerzas, como se verá, son casi inevitables.


5.3. La manera de estudiar este asunto.Antes de entrar a la matemática de Euler en el

fenómeno, quiero mostrar las diferentes presentacio-nes que hacen los autores del tema. Para no abundar elijo solo dos, los más clásicos. Uno de ellos es el efectuado por Schreyer/Ramm/Wagner en “Estática de las Estructuras” Editorial Blume (página 225), con el título de “Pandeo de barras rectas y elásticas”. Atienda lector los títulos que utilizan los autores.

El otro estudio es el realizado por Timoshenko en “Resistencia de los materiales”, editorial Espasa Calpe (página 233) con el título “Cargas excéntricas en piezas esbeltas y en uno de sus planos principa-les”. Hasta aquí, con la sola lectura del título vemos la enorme distancia que hay en el bautismo del tema: el primero es teórico, idealista, mientras que el segundo es real, fáctico.

1. Mala praxis en la colocación del hormigón, hue-cos en uno de sus lados.

2. Desviación de las barras longitudinales. Sola-pes, yuxtaposición.

3. Estribos y barras descentradas.4. Desviación entre columnas superior e inferior.5. Colocación de cañerías descentradas de sanita-

rios o electricidad.6. Llegada de viga de distinta altura.7. Columnas de medianera.8. Barras de diferentes diámetros en posición

asimétrica. 9. Nudos en columnas de madera.Cada uno de los casos anteriores responde a

una CB (condición de borde) distinta. La matemática no puede tenerlos en cuenta en forma simultánea a todos, por eso justifico la teoría simplista e ideal en algunos casos.

Pero cualquiera de los errores anteriores en forma individual o conjunta es una realidad. Entonces la excentricidad inevitable de las cargas en columnas también lo es. Con esto refuerzo mi idea de la flexo compresión.

Matemática 159

Agrego además los esquemas mecánicos ele-mentales utilizados para el inicio del estudio. En el Schreyer utiliza el dispositivo que represento en el esquema.

Es de corte teórico neto. No conozco una co-lumna que tenga desliza-deras lubricadas y ade-más un perno o rótula de articulación. Algo así como el pistón que se desliza en el cilindro del motor con el perno y la biela, que en este caso sería la columna. Un esquema que esconde una elevada cantidad de hipótesis idealistas, ade-más de “…la modificación posible es una flecha “y” a izquierda o derecha que no es fácil determinar”, ha-bría que agregar y porque qué no una flecha nula en el centro, ni de derecha ni de izquierda.

En el caso de Timoshenko el esquema es más sencillo y no muestra tantos supuestos falsos de partida. Elige una columna empotrada en la base y con una carga actuando en un pequeño voladizo en el extremo superior que representa la excentricidad inevitable.

Ambos desarrollos llegan al mismo resultado que es la expresión matemática final de Euler. Pero la conceptualización en el estudio resulta por lejos más ventajosa la de Timoshenko porque plantea la reali-dad desde el inicio “…la flecha “δ” no puede despre-ciarse al lado de la excentricidad “e”…”.

Creo estar haciendo una manipulación epistemo-lógica de esta cuestión al presentar un análisis de las maneras que las CC pueden interpretarse y trans-mitirse. Las teorías físicas expresadas en términos matemáticos deben ser analizadas no solo desde la conclusión final, sino desde las hipótesis de partida, de esa manera se logra establecer la distancia que separa una teoría de las CC respecto de la reali-dad.

En “Structural Design in Architecture” de Salvadori


and Levy (Editorial Prentice-Hall) en la página 102 se trata al elemento con el nombre de “vigas colum-nas”, con lo cual se acerca a la realidad. Analiza al elemento estructural con cargas de flexión, pero que también influenciado por cargas de compresión excéntricas.

5.4. Los escalones.A la viga columna se le puede aplicar las siguien-

tes expresiones matemáticas según la configuración de su forma y las características de las cargas. Si es muy robusta, con reducida esbeltez y solo con cargas de compresión:

σ = P/SSi posee moderada esbeltez y la carga de com-

presión es reducida respecto a la carga de flexión:σ = P/S + M/W Si la esbeltez es elevada y no existe cargas de

flexión, donde no hay excentricidad ni imperfeccio-nes:

σ = Eπ2/λ2

Matemática 161

5.5. Resumen.Realizadas todas estas consideraciones creo

poder entrar a analizar la asombrosa teoría eule-riana que se metió dentro de las CC en los años del cientificismo como un método de cálculo. Que incluso hasta pocas décadas atrás fue utilizada en el hormi-gón armado utilizando los históricos coeficientes “ω”. Siendo que sus columnas, por el tipo de material, por las imperfecciones de sus armaduras, por las cargas no centradas, por sus secciones lejos están del fenó-meno particular e individual de pandeo.

5.6. El estudio de la teoría de Euler. La rareza.

Lo intriga el valor de esa fuerza Pc (carga rotura) que en una milésima de segundo quiebra la configu-ración. Euler fue uno de los hombres más inteligentes en el arte de la representación matemática de un evento real. No da descanso a su mente en la bús-queda del camino para encontrar esa misteriosa carga.

Como vimos, la forma de sección transversal (mo-mento de inercia o módulo resistente) condiciona la conducta del elemento estructural en flexión. Desde la matemática también fue posible demostrar que la forma longitudinal (esbeltez) lo subordina en la com-presión, esta demostración o prueba solo fue posible con la utilización del concepto de diferenciales, deri-vadas e integrales. Lo hizo Euler en el siglo XVIII unos años después que Newton y Leibniz terminaran de ordenar el análisis matemático del “paso al limite”.La derivada segunda de “y”.

La relación de la variación de la elástica (d2y/dx2) la conoce muy bien porque ha participado en su estudio. Entonces la aplica. La elástica la interpreta como una viga y utiliza la fórmula diferencial de la flexión:

Le pido al lector que siga la lectura en forma continua, no se detenga. No estoy haciendo el desa-

M

dxydEI −=2

2


rrollo teórico de la teoría de pandeo. Estoy tratando de mostrarle el encanto, el brillo de la matemática y el genio de Euler en esta cadencia de símbolos, silogismos, fintas y giros.Condiciones de borde.

Las condiciones de borde en ambos extremos son iguales; apoyos articulados y en los puntos x = 0 y en y = 0, la elástica es nula. El momento flector instantáneo.

En el instante de la deformación se produce un momento que es el producido de la fuerza “P” y la elástica “y”.

La astucia y la ecuación diferencial.Ahora tiene la ecuación. El problema es encon-

trar la manera de llegar a P. Utiliza un artificio, una finta.

Es una ecuación diferencial y la solución se reali-za con una función trigonométrica seno coseno. Euler sigue, está bien orientado porque “y” responde a la forma sinusoidal de la elástica real, fáctica. La resolución.

La resolución de la ecuación diferencial anterior:

Es la ecuación de la elástica. Euler ahora cono-ce la expresión matemática de la configuración de pandeo. La prueba.

Tiene que probar que la ecuación anterior es realmente la solución. Para ello se toma el trabajo de derivarla una vez y otra vez, hasta llegar a la derivada segunda.

Es correcta la ecuación

diferencial utilizada como solución. Euler lo demuestra en la segunda derivada que le da como resultado cero.

02

2

=+EIPy

dxyd

02

2

22 =+= y

dxyd

EIP αα

xCxsenCy ⋅⋅+⋅⋅= αα cos21

0)cos(

)cos.(

cos.

.cos

212

2122

2

2

22

212

2

21

=⋅⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅⋅−=+

⋅⋅−⋅⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅⋅=

xCxsenC

xCxsenCydx

yd

xCxsenCdx

yd

xsenCxCdxdy

ααα

αααα

αααα

αααα

Matemática 163

Las condiciones de borde.Los únicos datos que cuenta son los acontecimien-

tos en los apoyos articulados superior (x=l) e inferior (x=0). En ambos casos la elástica es nula.

x = 0; y = 0 x = l; y = 0

La búsqueda del C1, C2 y alfa.Desconoce C1, C2 y α. Para descubrirlos hace uso

de la conducta de la ecuación de la elástica en los extremos, allí la ecuación es igual a cero:

Aplica un silogismo y dice:

Ahora la ecuación se reduce y para x=l:

Euler descarta la solución trivial C1 = 0 porque sería el caso de una barra recta que no le interesa, él busca la situación de la barra doblada.El final.

Entonces debe ser: sen (α.l) = 0Que se cumple para α = π/l; 2π/l; 3 π/l; 4 π/l;…

Euler llama al valor de P “carga crítica de pandeo”. Hace más de 250 años logra una haza-ña matemática. Interpreta al fenómeno de pandeo encontrando la carga crítica sin utilizar esfuerzos (tensiones) ni secciones transversales (superficies). Lo hace utilizando tres conceptos o entidades. Desde la Resistencia de los Materiales el “E”, desde la forma transversal el “I” y de la forma longitudinal el “l”.

1cosº0cos0º00cos21

=====⋅⋅+⋅⋅=

ππαα

sensenxCxsenCy

01cosº0cos0cos

2

2

=→===⋅⋅=

CxCy

πα

lsenCxsenCy ⋅⋅==⋅⋅= αα 11 0

2

2

2

22

22

2

2

2

2

22

00

lEIP

EIP

l

ydx

ydEIPy

dxyd

ll

ππα

α

παπα

=∴==

=−+=+

==


Las contra hipótesis.Para aplicar el arte de la teoría de Euler es ne-

cesario colocar fuertes fronteras para proteger a la matemática. Son las hipótesis de partida de la teo-ría. Además de la docena de supuestos indicadas en la flexión, ahora se agrega la más difícil de todas.

Carga centrada: las cargas se aplican en el bari-centro de la sección transversal. Que también es un imposible.

“Los experimentos realizados comprimiendo columnas muestran que, por más precauciones que se tomen para aplicar la carga centrada, siempre existe una pequeña excentricidad accidental. Debido a ello la carga P, en dichos experimentos, produce no sólo compresión, sino flexión adicional.”

“Resistencia de materiales”. S. Timoshenko. Editorial Espasa Calpe. Página 239.

Estas sentencias llevan a plantear una contra hipótesis mayúscula: la compresión simple no existe. Es fuerte la frase. Pero revisando todos los sucesos, fenómenos y experimentos reales no queda otro camino que aceptarla. En este caso de las columnas esbeltas, fue la matemática que con una jugada ma-gistral de Euler metió el concepto de pandeo como prioritario en lugares donde juega la flexo compre-sión.

6. La matemática empírica.

6.1. Entrada.Existen expresiones o fórmulas matemáticas que

no responden a un desarrollo teórico con principio y final. Que no contienen hipótesis de partida, sencilla-mente porque no hay partida. Son expresiones que muestran un hecho fáctico directo.

6.2. El círculo.Es la matemática que nos da fórmulas de períme-

tros, superficies y volúmenes. Como ejemplo simple y cotidiano es la expresión del perímetro y la superfi-cie del círculo:

Matemática 165

Son expresiones que surgen de medir durante

siglos la relación que existe entre el diámetro, perí-metro y volumen de una circunferencia o esfera. Aquí aparece un irracional; el número π no tiene final.

6:

4:

:

3

2

desferavolumen

dárea

dperímetro

π

π

π

6.3. La fisura.Una de las contra hipótesis más generalizada

de la Resistencia de Materiales es considerar las tensiones en el interior del material como constantes (compresión o tracción simple), sin analizar las imper-fecciones que puede tener la pieza.

A principios del siglo pasado, hace unos 100 años, otro curioso e inquieto científico estudia la re-lación de las fisuras o entalladuras de una chapa en tracción y su relación con la tensión. Es Inglis que lo hace y llega a una expresión matemática sencilla:

σe: tensión en el extremo interno de la entalladura.σ: tensión en el resto de la chapa.l: longitud de la entalladura.r: radio de la muesca.

Es una fórmula que Inglis la descubre luego de cientos de ensayos y pruebas. Una proposición matemática que repre-senta un fenómeno ante la presencia de una irregularidad del material. Si la entalladura posee un radio igual a 1 (uno), la longitud también será 1 (uno). En ese caso particular la tensión de extremo es 3σ.

…este hecho era conocido…por los que hacen entalladuras en las tabletas de chocolate…un sastre hace una incisión en los bordes de un rollo de tela

+=

rl

e 21σσ


antes de rasgarla…“Estructuras o porque las cosas no se caen”.

J.E. Gordon. Editorial Celeste. Página 70.

Esta expresión matemática empírica explica la elevadísima velocidad de avance de una fisura en una pared de mampostería. Casi en forma instantá-nea disipa la energía interna porque el “r” es muy pequeño, mientras que aumenta el “l”.

7. Los números.

7.1. La relatividad del número.El número pareciera ser una de las entidades

más concretas de la matemática. Sin embargo en la ingeniería o la arquitectura, a veces, el número es subjetivo. Se cuenta que el General Belgrano desde el cerro Mbaé (Fantasma) cercano de Paraguari en el Paraguay, mientras el capitán Machain observaba con el catalejo las tropas enemigas del General Ve-lazco, le pregunta: ¿Cuanto son? Machaín le respon-de “300 y pico”. Belgrano insiste: “cuantos el pico”, a lo que Machaín contesta “Como mil”. En el senti-miento de Machaín, luego de meses de travesía en la expedición del Paraguay, tantas eran los deseos de entrar en lucha que el número 300 era mayor que 1.000.

Los animales, lo hacen de otra manera. Establecen la cantidad mediante su hambre. Una vaca desvali-da y hambrienta puede ver un montón de pasto con una intensidad tan grande como 1.000, pero luego de satisfecha, harta, al montón de pasto lo puede ver como cero.

Esto puede decir algo de la relatividad de los números. Las palabras mucho, poco, más o menos, son en definitiva grupos de números indefinidos que nos dicen de una magnitud imprecisa, pero donde “mu-cho” es mayor que “poco”. El momento flector de una viga puede tener una magnitud de 20 tonelametros, pero no tiene significado si desconocemos la confi-guración de la viga. Tendrá diferentes consecuencias

Matemática 167

según el tamaño, la forma y la escala de la viga. En la ingeniería y la arquitectura estas palabras

que definen grupos de números relativos, imprecisos, no pueden ser utilizadas. Los números necesariamen-te deben transformarse en un lenguaje, en un idioma donde la subjetividad desaparece, para eso está la escala y la unidad que son los términos de compara-ción.

7.2. El número y las técnicas o tecnologías. Las CC aplicadas necesitan de manera perma-

nente del número así como yo necesito del aire. Con los tiempos los procedimientos para maniobrarlos ha ido cambiando de manera notable.

En los principios las operaciones se efectuaban de manera manual o con la ayuda de ábacos. El lápiz, el papel y la mente rápida del operador eran lentos pero suficientes. Con los primeros años de la revolución industrial aparece un artefacto mecánico que podía sumar y restar. Más adelante el asombro de otro dispositivo que además multiplica y divide. Había que suministrarle energía humana para que funcione; estas máquinas operaban con el impulso de una gran tecla o con una palanca giratoria.

Luego de los logaritmos que transforman una suma en multiplicación aparece la superposición de reglillas con escala logarítmica y nace así la regla de cálculo, compañera leal de los ingenieros y arqui-tectos hasta mediados del siglo XX.

Queda desplazada por la máquina de calcu-lar electrónica, miles de veces más rápida que la mecánica y sin necesidad de impulsos, palancas o manivelas. Solo había que cambiarles las pilas y darle al teclado de nuevo. Maquinitas que se fueron perfeccionando hasta llegar a un artefacto gigantes-co; las primeras computadoras fijas, grandes, caras y pesadas como una catedral.

En menos de una década ese elefante se reduce al tamaño de una máquina de escribir y también se reduce el costo. Aparecen las computadoras per-sonales, las de todas las oficinas, las de todos los


hogares. Junto con ella llegan las planillas de cálculo que desplazan en parte a la calculadora electrónica. Cada vez más rápido y cómodo la operación con los números.

Llego a la actualidad donde el número en las CC prácticamente desaparece, es desalojado por los gráficos, dibujos, esquemas que entrega la pantalla o el papel que sale de la impresora. El ingeniero o arquitecto ya no opera, tampoco usa la escuadra o escalímetro, menos el lápiz y el deleite de sus trazos sobre un papel en blanco. Placer que transmuta en el click de la tecla “enter” y el zumbido de la impre-sora al expulsar la página impresa. Solo queda en ocasiones la tarea numérica de secuenciar las hojas de una memoria de cálculo.

7.3. El fenómeno y la unidad.La historia tiene fronteras que son marcadas por

descubrimientos, huellas, rastros, señales dejadas por antiguas civilizaciones que muestran costumbres, usos y hábitos milenarios. El lenguaje, el idioma, así como los números no fueron hitos o descubrimientos pun-tuales. Ellos se formaron lentamente y resulta difícil conocer sus orígenes.

Durante siglos, el hombre ha dejado indicios del uso de unidades con las cuales operaba. Es posible que el sistema decimal haya surgido por la cantidad de dedos de las manos. La docena por los meses, éstos por las lunas. Los años por los cambios de las estaciones. El día está dividido en dos docenas que terminan entregando 24 horas. A las 12 en punto. Así los números integran grupos con principio y fin. La centena termina en 100. El ser humano fue clasifi-cando al número en diferentes niveles.

Es posible que el hombre, en sus inicios, la primera operación inteligente fue la de contar. Con cualquier tipo de numeración u orden; la decena, la docena. Cada grupo tiene su propia aritmética. Así es cos-tumbre utilizar la operación más simple del sistema decimal: dos más dos igual a cuatro. Pero cambia en el sistema horario; 24 + 1 = 1. Porque el día solo

Matemática 169

tiene 24 horas, no existe para ese grupo el número 25.

Otros números no se puede sumar, por ejemplo las revoluciones, las vueltas por minuto del eje de un motor; está girando a 1.000 vueltas por minuto, lue-go al cabo de un tiempo comienza a girar a 2.000 vueltas. No sirve la suma de 1000 + 2000. Nada dice. Porque la unidad en este caso está formada por la variable de tiempo instantánea.

En las ciencias de la construcción, tanto la estática como la resistencia de los materiales tuvieron tam-bién que crear registros y grupos. Los grupos pueden ser la comunidad de números que representan las re-sistencias de roturas de algunos materiales. De 0,05 a 0,6 para los suelos. De 2 a 10 para las paredes. Entre 20 a 70 para los hormigones. Los aceros entre los 240 a 1.800. Todos valores aproximados de rotura en Mpa. Son grupos o registros que de alguna manera identifican al material.

La matemática abstracta puede manipularse sin unidades, pero una vez que se aplican a algún fenómeno concreto y real, debe poseerlas y ser identificada. Con una escasa o nula aritmética y sin un orden en las unidades es imposible efectuar inicio alguno de las ciencias.

Las longitudes, el peso, la presión, las distancias, las velocidades, son todos fenómenos o expresiones físicas que se establecen en nuestro intelecto desde una temprana infancia, de una manera fácil y natu-ral. Porque todas poseen unidades; el metro, el kilo-gramos, los kilómetros por hora, o los kilogramos por centímetro cuadrados que se aplican en el inflado de una cubierta.

Una vez que las matemáticas se inician lenta-mente obligan que se establezcan las unidades. La unidad puede ser una calabaza, una oveja. Pero cuando el hombre intenta comparar dos calabazas similares, inventa la unidad del peso. Las matemáti-cas y las unidades comienzan a apuntalar la ciencia que lentamente luego llega; la mecánica, la estática y la resistencia de los materiales.

Así surgen nuevas unidades como el “tm” (tone-


lámetro) para el momento flector, o el Mpa (mega pascal) para las tensiones. Otros más difíciles de interpretar el “cm3”, pero no del volumen sino del módulo resistente W. Más complejo el “cm4” de la inercia de una sección transversal.

En el mismo instante del transcurso de una fórmu-la, el ingeniero o arquitecto debe ir colocando las unidades. Es una costumbre que además de buena, es necesaria. En varias ocasiones son las unidades que nos ilumina de la sombra de un error cometido en la expresión matemática del fenómeno.

7.4. Un ejemplo del seguimiento de la

unidad.En la muestra que sigue intento demostrar la defi-

nición de unidad. Como la virtud de una entidad que no se puede dividir o cambiar, sin destruir su esencia. La unidad es algo sólido, firme y definido. Puede ser solo nombre (cm), también nombre y apellido (kgm) o incluso con doble apellido (kg/cm2). Es una entidad que fluye dentro de un conjunto de otros elementos, que se desplaza dentro de un laberinto de diferentes paredes. Debe salir limpia, sin contagios, sin compromisos de otras unidades.

Uno de los pronósticos más útiles en el diseño de las piezas estructurales es la determinación de su elástica. Solo se llega a ella mediante las rutas de los diferenciales o paso al límite, porque la elástica es una curva que modifica en forma continua su tan-gente. Resulta compleja si no se utilizan las unidades. Del laberinto de unidades debe salir solo el centímetro.

Tanta expresión para llegar sólo a un humilde “cm”. Justamente, esas fintas y vueltas que da una extraordinaria fórmula encierran la belleza y la precisión de la matemática, pero solo controlada y comprendida con el cuidadoso uso de las cuatro diferentes unidades.

( )cmfcmIcmkgEcmlcmkgqf ==

)()()()(

3845

42

44

Matemática 171

8. Los símbolos, el lenguaje.

8.1. El idioma.En el primer lenguaje, el dibujo, el ser humano

dejó rastros de imágenes, de cerámicas, de toscas esculturas. Luego el dibujo se perfecciona con sím-bolos que mezclados surge un idioma, la escritura. El tercero, el otro, el más asombroso es el lenguaje de las matemáticas.

En cualquier texto que traten de las ciencias de la construcción, existe un relato escrito. Se lo acompaña con gráficos y dibujos y todo se termina expresan-do con una fórmula matemática. Es notable, dentro de esa fórmula estará metido el gráfico y toda la literatura necesaria para explicarla.

La aritmética, la geometría, el análisis matemático es un idioma; una lengua global, cosmopolita. Tan universal que los signos que se grabaron en una pla-ca de oro colocada en una nave espacial enviada al espacio, poseía como idioma principal ecuaciones matemáticas. Para la eventualidad que otros seres del universo la observaran y descifraran nuestra civilización.

8.2. Los símbolos.Otros de los avance sucede a fines del 1.591.

Más que avance fue un acuerdo. Cada uno de los creadores de la matemática usaba sus propios sím-bolos, signos y escrituras. Todas diferentes; un caos. En esa fecha llegan a un concierto, a un arreglo. Se establece algo así como los símbolos internacionales, algo parecido al metro patrón.

El signo mas “+”, el menos “–“ o el más democrá-tico el igual “=”, sufrieron idas y venidas seculares hasta estabilizarlos en la actualidad y nosotros dis-frutarlos y usarlos libremente.

En el año 1.530 Recorde utiliza por primera vez el signo “=”, antes en el 1.490 Widmann emplea el “+” y el “–“. Otra historia cuenta que los mercaderes de la época marcaban en los bultos signos “+” y “–“


según la mayor o menor cantidad de mercadería estipulada. El signo “x” (cruz de San Andrés) surge a mediados del siglo XVII. En el 1.550 aparece el “√” de la raíz cuadrada. Los indicativos de menor y mayor “< y >” los aplica Harriot en el 1.600.

8.3. Los términos y conceptos.Cuestiones simples actuales, como tensión, momen-

to flector, corte o módulo de elasticidad, necesitaron siglos para afirmarse como conceptos y adquirir una palabra o corta frase para su distinción. Para enten-der la dificultad que tenían los estudiosos de aquella época es interesante la lectura de “Discurso sobre dos nuevas ciencias” de Galileo.

El caso de la palabra “tensión”. El concepto lo describe Galileo allá por 1.638, en su “Discurso”, establece que una barra que trabaja a tracción su resistencia es proporcional a su sección. Es nada más que el concepto; hay algo entre la fuerza y la sec-ción. Tuvieron que pasar 200 años para que alguien, Cauchy en 1.840 efectuara la operación más simple: divide la fuerza por la sección. En ese instante el concepto de tensión es definido por una expresión matemática (P/S) y una unidad (kg/cm2). La expre-sión “P/S”; engloba todas las tensiones, presiones, compresiones, tracciones, torsión o corte que existan. En ésta, la forma aporta nada más que su superficie “S,” que no servirá para la flexión.

Resulta difícil comprender las dificultades por las que atravesaron las ciencias de la construcción. No sólo en el descubrimiento de los fenómenos, de sus relaciones, sino en la unificación de criterios, unida-des y expresiones matemáticas.

También existen conceptos muy propios de estas ciencias. Por ejemplo; qué palabra utilizar para demostrar la cualidad de una forma ante la flexión: puede ser, inercia, letargo, estatismo. No, ninguna sirve. Allí, sin embargo aparece la aritmética con una “palabra”: bh3/12.

Es una palabra con dos variables “b” (lado base) y “h” (lado altura), pero con la prodigiosa maestría

Matemática 173

de resultar útil para todas las formas rectangulares. Es la “inercia” que posee la viga al deformarse. En todas las disciplinas que tratan y analizan la condi-ción universal de viga, tienen el idioma de las mate-máticas. Ninguna ciencia se puede montar sin poseer un idioma preciso para manifestar un fenómeno; esa es la matemática.

9. Simetría.

Los escritos que siguen contienen cierta obviedad tan elemental que tuve dudas de transcribirlos. Pero creo dentro de este concepto de simetría puedo ex-plicar algunas operaciones elementales.

En la matemática es necesario que exista simetría en las operaciones para la posibilidad del regreso, al origen de la operación. Así en aritmética;

Suma ↔ RestaProducto ↔ Cociente

Cero ↔ InfinitoPotencia ↔ Raíz

Logaritmo ↔ AntilogaritmoIntegral ↔ Derivada

9.1. Suma y resta.Creo que el ser humano, desde el inicio de sus

comunicaciones, desde el principio del lenguaje más primitivo, supo o logra sumar o restar, el producto de una cacería, la cantidad total de presas obtenidas y luego la distribución en la tribu, fueron arcaicas sumas y restas. La cantidad de flechas que disponían antes de la cacería. El número de guerreros.

9.2. La multiplicación y la división. Me parece que primero fue la división, la parti-

ción, las fracciones. Cortar un fruto en partes iguales. Marcar dibujos, tanto en la cerámica como en las


paredes de la roca, logran mediante “el corte” del espacio representar figuras planas divididas.

Con este razonamiento la “división” fue anterior. La multiplicación sustituye la suma repetida cuando la unidad se mantiene. La divisibilidad por cualquier número lo estableció el genial francés Blas Pascal (1.623-1.662). La multiplicación se obtiene por un ingenioso ardid de potencias “el producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”. En esos siglos era más fácil sumar o restar potencias que multiplicar números distintos. Lo explico con un ejemplo:

Producto: 10 x 6 = 60Promedio (10+6)/2= 8Semidiferencia (10 – 6)/2 = 2El producto: el cuadrado del prome-

dio, menos el cuadrado de su semidife-rencia: 82 – 22 = 64 – 4 = 60

Cuadrados 8 y 2

Otro ejemplo:Producto: 15 x 7 = 105Promedio (15+7)/2= 11Semidiferencia (15 – 7)/2 = 4El producto: el cuadrado del prome-

dio, menos el cuadrado de su semidife-rencia: 112 – 42 = 121 – 16 = 105

Cuadrados 11 y 4

Ahora, con el método actual y sin la ayuda de la calculadora electrónica se procede de otra manera. Siete por quince: Siete por cinco, treinta y cinco, pongo el cinco y me llevo tres. Siete por uno, siete, más el tres, igual a 10. Pon-go el diez. Resultado: ciento cinco.

9.3. Potencia y raíz.Aquí hay un juego de productos del mismo núme-

Matemática 175

ro. Cuando el número se repite multiplicado por sí mismo, aparece la potencia.

La inversa es encontrar el número donde cociente y resultado resulten iguales: Estas son potencias cua-dráticas y sus raíces. También es aplicada a potencia más altas (las cúbicas por ejemplo). Son operaciones que simplifican la multiplicación o división cuando el número es siempre el mismo. Para valores reducidos de potencia y multiplicación se utilizaba los rectán-gulos o cuadrados constituidos por lados iguales a los factores.

4545025.2

025.245

45025.24545 2

=

=

==⋅

9.4. El logaritmo.Es una adivinanza racional, precisa. Se inventan

en el siglo XVII. Log3 81 = x: el logaritmo de 81 en base 3 igual a “x”. La incógnita es la potencia que debe ser elevada la base 3 para que el resultado sea 81. En este caso dicha potencia es x = 4.

3 . 3 = 99 . 3 = 2727 . 3 = 8134 = 81Con el logaritmo se levanta el nivel

matemático; un escalón más. También encierra un juego de productos y divi-siones. De potencias y raíces, pero en otro orden.

9.5. Antilogaritmo.Otra vez las inversas: Log3 N = 4: el

antilogaritmo es el número N que resul-ta de elevar a la base “3” a la cuarta potencia. N = 81.


9.6. El cero y el infinito.Al principio fue una cuestión filosófica; la nada

y el todo. El vacío el lleno. El inicio y el fin. Fue un lento descubrimiento para que estos números queden incorporados a la aritmética.

No fue fácil interpretar estas dos entidades. Es tan complejo el cero como el infinito.

Cuando se mezclan ambos surgen conceptos como “indeterminados” que nadie se anima a defi-nirlos:

Hay una singularidad con estas operaciones, una de ellas es “una cantidad diferente de cero elevada a una potencia cero es igual a la unidad entera y positiva”

Por ejemplo: 30 = 1, increíble.

0/33/0/33003 =∞∞=∞∞=∞=∞⋅=⋅

000/0/0 ∞∞⋅∞

9.7. Ecuaciones.Una ecuación es la relación entre variables que

juntas configuran un resultado. Puede ser individual o de conjunto. En la estática el conjunto más conoci-do de sistemas de ecuaciones es la que nos permite detectar el equilibrio en una viga simple.

Geometría y aritmética que mezcla las fuerzas que actúan sobre la viga con las reacciones que la sostienen. Tres ecuaciones para tres incógnitas.

Las incógnitas:

Las ecuaciones para determinarlas:

La matemática logra con los sistemas de ecuacio-nes relacionar incógnitas. Le pone nombre a cuestio-nes desconocidas, las encadena y luego les quita su misterio.

BvAvAh RRR

∑∑∑∑ ∑∑

=−=

=−+=

=−=

===

0

0

0..

000

1

hh

vvv

vv

PRAFh

PRBRAFv

lPlRBM

FhFvM

Matemática 177

Ya para grandes conjuntos de ecuaciones se de-termina una matriz. Es un ordenamiento de términos llamados elementos. Su uso principal es para facili-tar el estudio de problemas en los cuales la relación entre varios elementos es fundamental. Con la ayuda de las computadoras, capaces de resolver grandes sistemas de ecuaciones con la velocidad del rayo, se obtienen métodos de cálculo envasados. Listos para consumir.

10. La mecánica y la matemática.

10.1 La mecánica sin la matemática. Ejercer o practicar cada una de las ciencias de la

mecánica sin la matemática es una acción empírica; es el ejercicio o la práctica sin la teoría, sin hipóte-sis. Sin la necesidad de la pregunta del porqué. El antepasado que utiliza el garrote como arma de defensa o ataque no le interesa el tipo de energía que desarrolla en el golpe. Mata o defiende sin nin-guna pregunta científica o filosófica. Ese primitivo y originario ser humano ejerció y practicó la mecánica solo en su aspecto empírico.

Primero la aplica en sus cobijos, y luego casi en forma inmediata y paralela como herramienta que satisface una de sus necesidades de base; la caza para la alimentación. El cobijo y la caza es una ac-ción que responde a los principios de la mecánica.

Esta consideración sirve para marcar un origen de la mecánica desde el aspecto que interesa a las ciencias de la construcción. La mecánica primitiva que se inicia con el ser humano mismo. El tronco apoyado sobre dos piedras para cruzar un vado es mecánica, es estática, es equilibrio. Pero es una acción similar al de los animales; instinto. Apenas vestigios de un ra-zonamiento. Cuando se intenta contestar las pregun-tas del equilibrio, mediante la matemática, se inicia otra historia, la de la ciencia de la construcción.


10.2 La mecánica con la matemática.La mecánica logra nivel de ciencia cuando la

matemática avanza junto a ella, la sostiene y explica cada uno de los fenómenos. La mecánica empírica se transforma en mecánica científica.

Es Galileo en 1.638 cuando publica su libro de la estática. Confinado por la Iglesia, privado de todos sus instrumentos astronómicos, del querido y propio telescopio, así cautivo. Prisión domiciliaria. Allí genera una nueva ciencia. Allí aprisionado, sin más que las paredes y el techo, allí en las vigas y cabios encuentra algo para pensar, para meditar; encuen-tra a la estática.

Prólogo del Dr. Teófilo Isnardi: “Galileo Galilei (Pisa, 1.564; Arcetri, 1.642) no fue solamente uno de los más grandes físicos de todas las épocas por sus descubrimientos en esta ciencia, sino más bien el fundador de la física y el creador de su método. Suele atribuirse, especialmente en Inglaterra, este último mérito a su contemporáneo Francisco Bacon…pero el método propuesto por Bacon, que podría denominarse empirismo, difiere fundamentalmente del de Galileo, que es el método de la física…”

“Diálogo acerca de dos nuevas ciencias”. Galileo. Editorial Losada. Página 7.

Galileo descubre el método de investigación de la física con la experimentación y el sustento mate-mático.

También el celebrado “Discurso del método”, de Descartes (1.637), suele considerarse como el fun-damento de la ciencia moderna…Descartes intentó el último sistema racionalista y sintético para la inves-tigación de la naturaleza; Galileo fundó el método experimental.


Con esto quiero celebrar a Galileo como el des-cubridor de nuestras ciencias de la construcción, es él quien incorpora la matemática a sus ensayos y expe-rimentos. Copio lo expresado por Lidia Peradotto

(Descartes, ob.cit, página 193): “En Galileo se aúnan Bacon y Descartes, supe-

rándose así la “ceguera” del puro empirismo y los “extravíos” del puro racionalismo”.

Cuando hablo de matemática, quiero expresar la

Matemática 179

geometría, la aritmética, el álgebra, la trigonome-tría, la geometría descriptiva, el análisis matemático (diferenciales, derivadas, integrales). Todo lo que el lector, con cierto desagrado, leve en algunos casos, fuerte en otros, le produce el sólo nombre: matemá-tica.

El pobre Galileo avanza sin disponer de la es-pectacular herramienta descubierta por alguien que nace en el año de su muerte: Newton. El cálculo infi-nitesimal, el diferencial, la derivada, la integral son descubiertas por Newton y Leibniz en forma simultá-nea, independiente. Con ese invento, la matemática puede analizar el movimiento, la elástica de una viga. Galielo escribe en su libro una profecía:

Creo, verdaderamente…las propiedades…condu-cen a innumerables actos más recónditos, así también las producidas y demostradas en este breve tratado, cuando cayera en las manos de otros ingenios espe-culativos, serían el camino hacia otras y otras más maravillosas…


El viejo no se equivocó. Sus papeles, sus libros realmente cayeron en manos de otros genios y abrieron el camino de las ciencias de la construcción.

Galileo muere en el año 1.642 a los 78 años. Descarte fallece a los 52 años en el 1.650. Estas referencias me indican que en una época el joven Descartes fue contemporáneo de Ga-lileo. Me pregunto si entre ellos hubo alguna comunicación o intercambio de conocimientos. Porque ambos inauguran la Metodología de la Investigación, el ensayo, el experimento para fijar un conocimiento. Descartes con una pro-fundidad filosófica mayor que la de Galileo. Mientras que éste utiliza una pragmática asombrosa.


11. La predicción.

11.1 Entrada.Desde el comienzo, los filósofos entendían sobre

un principio aritmético y geométrico para explicar los hechos. Pero luego cayeron en el embrujo de la matemática como el presagio de un pronóstico certero. Acertar en el futuro fue una de las cuestiones que más buscó el ser humano en su historia. Brujerías. Similar al deseo de transformar cualquier cuerpo en oro; alquimia. La astrología en un principio, luego la matemática la transforma en astronomía.

De esa ansiedad por conocer la conducta futura, no escapó la estática ni la resistencia de los mate-riales. Es más, sobre esa ansiedad logra una notable velocidad en el avance de los descubrimientos. Los fenómenos físicos de los elementos estructurales pue-den ser pronosticados por expresiones matemáticas. La secuencia del diseño y cálculo de una estructura, en definitiva, es un pronóstico, una conjetura del comportamiento futuro antes de la aplicación de las cargas.

La matemática es la liga, la unión de las diferen-tes ciencias para lograr dicho supuesto. Es el único idioma que permite relacionar a la Estática con la Resistencia de los Materiales, la Elástica con la Plástica. Cito episodios en el campo científico que me asombran en cuanto a la relación de la matemática con el vaticinio.

11.2 La tensión en flexión.La viga, preocupó e intrigó a muchos primitivos

científicos. Por siglos no pudieron avanzar porque no tenían las herramientas, ni el lenguaje matemático para entenderla. Estuvo allí como tantos cotidianos misterios. Luego con la afirmación de la física, la me-cánica y otras ciencias aportan recursos para deve-lar los misterios que encierra.

El ser humano necesita correr el velo del enigma. Lo hace porque una vez descubiertos los utiliza como

Matemática 181

predicción. La ciencia racional, metó-dica, experimental, cuando obtiene, prueba y comprueba sus resultados, los transforma en una bola de cristal. Porque la ciencia es predicción. Un estu-dio, una fórmula es válida, es científica cuando mediante su aplicación logra-mos establecer un acontecimiento futuro.

La dimensión de una viga a flexión es un pronóstico. Con esas dimensiones se comportará bien.

Esta fórmula es hechizo en la flexión. Con ella el ser humano pronostica la tensión, el esfuerzo interno que se producirán en las fibras extremas cuando divide las acciones M (momento flector) por la forma W (módulo resistente). Bueno, no es para sorprender-se tanto, décadas antes también se obtiene la tensión en la compresión dividiendo la acción P (carga), por la sección transversal S (superficie).

WM

=σ

11.3 La elástica.Elijo la más simple de las profecías. Vea lector, si

dibuja en una hoja la viga de hierro, con su forma, su sección, sus dimensiones, su carga, sus condiciones de borde. Elija usted cualquiera. Así, como dicen los magos; elija cualquier carta.

Con una sola expresión matemática usted puede pronosticar la deformada de la viga. La flecha o el descenso instantáneo. Es repentina; se aplica la car-ga y surge la flecha hasta que otra carga la modi-fica. Esa situación efímera quien la pudo interpretar fue el cálculo infinitesimal a través de la derivada. Notable, de esa viga que aún no existe, que solo está en el papel de su escritorio, usted predice su deformación.

Lector, tenga sólo el cuidado de colocar bien las unidades. El resultado le indica en centímetros el des-censo que se producirá en el medio de esa viga. Esto es una simple demostración de la fuerza que posee la matemática en nuestras disciplinas; el presagio.

EIqlCf

4

=


11.4 La predicción de Neptuno.

No tiene nada que ver con las Ciencias de la Construcción, pero es uno de los triunfos más espec-taculares de la matemática. El descubrimiento de Neptuno, a diferencia de los otros planetas, se reali-zó gracias a matemática, lápiz y papel. Sin telesco-pio, sin instrumentos astronómicos. No fue un hecho observacional, sino un presentimiento, una sospecha.

Luego del descubrimiento de Urano, los científicos, los astrónomos, le realizan un seguimiento permanen-te y descubrieron cierta irregularidad en su movi-miento. Surgieron las dudas: si un cometa golpeó al planeta, existía otro satélite cercano de gran masa, fallaban las leyes de Newton o la última, si existía otro planeta que perturbara el movimiento de Ura-no. Pero no se lo veía.

En 1.842 se ofreció un premio (Academia de Ciencias de Gottingen) a quien explicara el fenóme-no. El astrónomo Leverrier estudió matemáticamente el movimiento de Urano; en 1.846 completa sus cál-culos y predice, que en un lugar determinado del cie-lo existía otro planeta que causaba la irregularidad del movimiento de Urano. Solicita que los telescopios apunten hacia ese lugar. Cinco días después se des-cubre un nuevo planeta: Neptuno.

Este acontecimiento, único por su importancia en la astronomía elevó a la matemática como esencial herramienta de estudio.

11.5 La verificación y el diseño.La matemática tiene dos direcciones. Una de

ellas se utiliza desde la observación hacia un resul-tado. Contar camellos en una caravana es buscar un resultado, conocer la magnitud de la caravana. También observar y anotar los resultados obtenidos en un laboratorio cuando se estudia la fractura de un material es buscar y conocer la resistencia de ese material. Eso es verificación.

El otro camino es el de la predicción; el diseño. El cálculo o dimensionado de las estructuras de los puentes o edificios se realiza antes de su ejecución.

Matemática 183

Se predice su conducta, su comportamiento ante las diversas fuerzas que actuarán. Aplicar una fórmula en las ciencias es afirmar un presentimiento. La fle-cha, la elástica o deformada que tendrá una viga es pronosticar a futuro su conducta.

Así la matemática tiene una ida y otra vuelta. La ida se la obtiene con las ciencias empíricas, de la observación, del laboratorio, de los ensayos a una fórmula general, abarcativa. La vuelta es la utili-zación de esas fórmulas para prevenir, pronosticar, calcular.

También, gracias a la aritmética, se pronostica la cantidad necesaria de camellos para llevar toda la carga. Quien lo sabe posee poder; el jefe de la caravana. Calcula la cantidad de camellos necesa-rios, pronostica.

11.6 La teoría de pandeo. Una y otra vez volveré sobre el pandeo. Repetiré

conceptos anteriores. Una de las maravillas obteni-das por la matemática; la representación de un fe-nómeno físico complejo. Una columna puede romper de dos formas; por rotura del material (Resistencia de los materiales) o por rotura de su configuración (Inestabilidad de forma).

Este descubrimiento, si lo observamos más allá de la mecánica tradicional, veremos que es una de las primeras y más extraordinarias expresiones mate-máticas que predice la rotura de una columna, sólo en función de la forma y material. La fórmula final tiene por variables la altura de la columna (l), la inercia de la sección transversal (I) y el módulo de elasticidad (E).

La columna posee dos conductas, dos persona-lidades. Es la matemática como un psicoanálisis de la mano de Euler quien descubre la perturbación. Otra vez la sombra de Galileo; no es el material ni la sección. Es la forma quien modifica o cambia la gestión.

En un caso (la robusta; una probeta de hor-migón) es la fuerza que actúa para su rotura. Se


determina por el producto entre la tensión de rotura y la superficie transversal de la columna:

Pr = σr. SLas columnas esbeltas, como la delgada regla de

la figura es una cuestión que desvelaba a Euler. El cambio brusco de la posición recta de la columna a una posición curva. Observaba que esa curva tenía mucho de sinusoide.

Comienza con la ecuación de la elástica (también una extraordinaria expresión):

d2y/dx2 = - M/EIEn esta ecuación diferencial sustituye el M por la

flexión que causa la excentricidad: M = Py. Estable-ce la ecuación que soluciona esta diferencial y llega a determinar que el P máximo, límite que produce el cambio de configuración es:

Pr = π 2 EI/l2 Con este descubrimiento matemático Euler di-

ferencia la rotura del material de la rotura de la forma. Con ella se puede establecer los límites de las alturas de las columnas para determinada carga (esbeltez máxima).

Aquí cabe una contra hipótesis cotidiana de la teórica academia “cuando se llega a la carga crítica la columna colapsa”. No es así, quien se rompe es la configuración, la geometría, pero en la mayoría de los casos cuando el material posee cierta elasticidad, la columna, a pesar de ingresar en pandeo sigue resistiendo, o por lo menos se mantiene. Otro error es considerar a la columna pandeada en situación de equilibrio “indiferente”. La columna sigue en equi-librio “estable” pero con la novedad de la flecha transversal con los cambios de cargas.

12. Las partes de la matemática.

12.1. Entrada.En los párrafos que siguen hago un apretadísimo

resumen de las diferentes partes de la matemática. Sólo las más utilizadas en nuestras ciencias de la

Matemática 185

construcción. Es una rápida enumeración de las prin-cipales disciplinas dentro de la misma matemática. También marca de alguna forma su historia.

12.2. Geometrías.Es la ciencia que estudia la extensión considerada

bajos sus tres dimensiones: línea, superficie y volu-men.

Se le atribuye a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya no como forma de contemplación, sino de cálculo. Ellos, los antiguos, necesitaban medir sus tierras, debido a las inundaciones del Nilo que las borraba en cada una de sus crecientes anuales. La palabra geometría significa “medida de tierras” (geo, tierra y metría, medición). Utilizaban y practi-caban el cálculo de áreas y volúmenes. Efectuaban operaciones con la semejanza de triángulos.

También es analizada por los filósfos griegos, Sócrates, Platón, Aristóteles, Pitágoras. Los primeros cinco teoremas de la geometría elemental lo estable-ce Thales de Mileto (640-560 a.C.).

• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

• Un círculo es bisectado por algún diámetro. • Los ángulos entre dos líneas rectas que se cor-

tan son iguales. • Dos triángulos son congruentes si ellos tienen

dos ángulos y un lado igual. • Todo ángulo inscripto en una semicircunferencia

es recto.Lo sigue Platón, con su influencia en la matemáti-

ca helénica. Consideraba imposible el estudio de la filosofía sin el conocimiento previo de la matemática. En la entrada de la Academia colocó la frase: “No entres aquí si no eres geómetra”. También la afirma-ción de “los números gobiernan al mundo”; estaba influenciado por las teorías Pitagóricas.

Arquímedes crea la geometría de la medida, establece las relaciones existentes entre superficies de esferas y sus diámetros. Es el primero que esta-blece con rigor el número π y le asigna un valor de


3,1408. En el cálculo de superficies esféricas plantea métodos anticipados del cálculo integral 2.000 años antes de Newton y Leibniz.

Toma estatus de ciencia cuando aparece el trata-do más importante de la historia de la geometría y matemática: “Los Elementos” de Euclides (matemático griego del siglo III a.C). En estos libros se establecen los postulados que servirán de partida para el desa-rrollo de la nueva geometría. La discusión secular de “Elementos” se ubica en el quinto enunciado o axio-ma “el de las paralelas”; dos rectas paralelas no se cortan nunca. En el siglo XIX surge la geometría no euclidiana que rebate este postulado. Las rectas se cortan en el infinito. Con posterioridad a Euclides y Arquímedes se modifican la matemática y la geome-tría, pero luego se detiene el conocimiento por siglos.

A mediados del siglo XIX surgen científicos que cuestionan los axiomas de Euclides y promueven una revisión de los conceptos originales. Esta idea en un principio fue rechazada por parte de la sociedad científica, que consideraba inamovibles los postula-dos de Euclides.

12.3. Algebra.Con el álgebra se inicia la parte “abstracta” de

la matemática, se utilizan símbolos y letras sin iden-tidad, sin unidad. El álgebra prepara y construye el recipiente que luego será llenado por las ciencias. Estudia la cantidad de modo general y se vale de letras para representarla. Tiene por objeto abreviar y generalizar la solución de los problemas matemá-ticos.

La matemática se desprende de los números ente-ros y puede ser representada por letras; se inicia el álgebra. Aparecen los casos generales de binomios, polinomios, ecuaciones, matrices.

Fracois Viete (1.540 – 1.603) establece por primera vez un orden en los símbolos. Conecta los conceptos y conocimientos trigonométricos con los algebraicos y crea el álgebra lineal.

El Islamismo ha tenido relevancia en esta disci-

Matemática 187

plina durante el primer milenio del cristianismo. La expansión del Islam con su conquista que culmina en el siglo VIII, permite integrar diferentes geografías y civilizaciones. Persia, Siria, India, España, Egipto. Es una dominación que respeta al conocimiento, al sa-ber de los hombres que poseían libros. Se admite el debate, el cambio de opiniones. Las cortes protegen y ayudan a los generadores de conocimiento. Ejer-cen el mecenazgo no solo en el arte de la música, la pintura, la escultura, sino también en las ciencias.

12.4. Geometría analítica. Al principio las matemáticas se las interpretaba

mediante la geometría. Cuando aparece el álgebra y se la combina con la geometría, surge la geome-tría analítica, que permite un notable avance en las matemáticas. Fue Descartes quien las combina en su libro “El discurso del método”. Estas ciencias permi-ten que se afiance la Estática y la Resistencia de los Materiales en forma combinada.

Surge en el siglo XVII y los responsables son los científicos René Descartes y Pedro de Fermat. Rela-cionan las expresiones del álgebra a la geometría, mediante la utilización de sistemas de coordenadas en el plano. Identifican mediante expresiones mate-máticas la hipérbola, la parábola, la circunferencia y la elipse. La geometría analítica dio entrada, fue la puerta de ingreso, del análisis infinitesimal y se convirtió en la herramienta para la mecánica de Newton, Lagrange y Euler.

La cónica es una de las figuras más estudiadas de todos los tiempos. Se forma en la intersección de un plano con un cono. Del juego de intersecciones surge la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbo-la, la recta y el punto.

12.5. Geometría diferencial, descriptiva

y proyectiva.La descriptiva, estudia los cuerpos en el espacio,

por medio de sus proyecciones sobre determinados planos. La diferencial, estudia las curvas o las enti-


dades geométricas, pero utilizando los métodos del cálculo diferencial. Las curvas planas se las inter-pretan mediante el análisis infinitesimal. Luego se continúa con las curvas espaciales y las superficies. En esta disciplina es otra vez Euler quien realiza los mayores logros.

La proyectiva, mediante los trabajos de Monge, permite la aplicación práctica de las geometrías anteriores por métodos de proyección.

12.6. Trigonometría.Las relaciones que se forman entre

los lados de un triángulo inscripto en un círculo o circunferencia es la trigonome-tría. En general estudia a los triángulos rectángulos. El lector puede imaginar todos los triángulos posibles. Todos fueron analizados por esta parte de la matemática, es una de las ramas más estudiada, más antigua.

Es posible que la expresión universal más brillante de la interpretación del triángulo rectángulo haya sido la relación que existe entre su diagonal y los lados. Es Pitágoras quien lo descubre. Con el rectán-gulo surge la noción de potencia y raíz.

Del análisis del triángulo y la circunferencia se hizo posible establecer fórmulas que conducen luego al cálculo de las áreas y volúmenes de las distintas formas y espacios regulares.

Con la aparición de la estática y la resistencia de los materiales, como ciencias, fue necesario crear otras entidades abstractas de las figuras, tales como el módulo resistente y el momento de inercia.

12.7. Cálculo diferencial, derivada e

integral.Sobre una curva en el plano podemos hacer

“correr” una recta tangente, de manera tal que nos mida la pendiente en cada uno de sus infinitos puntos. Esa pendiente, en ese punto infinitesimal, se denomina “derivada” de la curva.

Tiene muchas aplicaciones en especial en las

Matemática 189

situaciones donde se exige medir la “velocidad” del cambio de una magni-tud, es el caso citado de la elástica de una viga.

Por ejemplo, en la parábola del diagrama de “Mf” es máxima en los apoyos y nula en el centro. Nos indica la “velocidad” del crecimiento instantá-neo del momento flector.

El valor de la primera, derivada de una función, tiene una interpretación geométrica; es la pendiente de la tangente a la curva en un punto cualquiera que se considere. La integral es la inversa de la deri-vación. Ambas contienen los conceptos universales; una misma operación, por ejemplo, la derivada o la integral puede se utilizada en biología como en economía.

Para llegar a ella fue necesario establecer el con-cepto de “paso al límite” o del “infinitésimo”.

Los vértices del polígono, durante la rotación es-tán fijos por algún tiempo, es decir cada uno durante una fracción del tiempo…en los círculos, las demoras de los vértices de sus infinitos lados son instantá-neas….


Galileo utiliza el infinito para indicar la cantidad de lados de un círculo pero lo transforma en infini-tésimo cuando quiere medir el tiempo que demora un lado y otro durante el giro. Mezcla distancias y tiempos con un “paso al límite” que tienden a cero. Son instantáneos.

13. La matemática en la forma.

13.1. Entrada.De tangente, de fisgona, las CC obtienen migajas

para alimentarse y correr detrás de las otras cien-cias. Es la matemática que la ayuda a interpretar lo observado. Lo dijo Galileo, otra vez lo repito; “el lenguaje de la Naturaleza es la matemática”. Así, en la historia de las ciencias, en la medida que las


matemáticas avanzan, desde el hombre primitivo, hasta nuestros días, fue posible encontrar ecuacio-nes o términos matemáticos a distintas formas de la naturaleza. Cada vez más se demuestra que desde la configuración en espiral de una galaxia, hasta la caracola más pequeña, existe una afinidad aritméti-ca.

Me pregunto que utilidad tiene el análisis de las formas desde la matemática. Me respondo en forma inmediata; si la matemática no interpretara las formas no existiría la estática, la resistencia de los materiales. Es más, no sería posible el cálculo.

Es necesario saber que existen relaciones no sólo aritméticas, geométricas y también logarítmicas en la interacción entre el hombre y su entorno. Ese saber, ese conocimiento, evita la distracción frente al uni-verso. Cualquiera sea el universo; el de los edificios, el de las plantas o los animales. También sirve para una vez más justificar a la aritmética, la matemática y la geometría como base de conocimientos.

Empleando la misma palabra, el mismo concep-to “tensión”, la matemática nos ofrece tres distintas expresiones según las condiciones de borde. Del diccionario: “Tensión: Reacción de un cuerpo elástico ante las fuerzas que tienden a deformarlo”. Hay tres expresiones según la forma y las acciones.

En la primera, puede corresponder a un trozo corto de tacuara sometido a tracción o compresión. En la segunda, al mismo trozo sometido a flexión. La tercera y última, la esbelta tacuara en la posibilidad del pandeo. Tres tensiones de diferente origen. Sólo descubiertas por la matemática. En la primera como superficie, en la segunda como módulo resistente y en la tercera como esbeltez.

2

2

λπσσσ E

WM

SP

===

13.2. El perímetro y la superficie.Mediante símbolos expresan algo; el perímetro o

la superficie de un círculo la comunicamos mediante

Matemática 191

una expresión matemática. El cuadrado, el rectángu-lo o el triángulo mediante la suma de los lados.

Es común describir literalmente la forma de cual-quier elemento mediante expresiones como circular, rectangular, cuadrado o triangular, sólo para indicar los más usuales.

Cada una de estas formas posee una extensión de perímetro, de superficie y de volumen que se las obtienen con fórmulas matemáticas. Por ejemplo la forma circular tiene expresiones propias.

Perímetro: π.d (cm).Superficie: π.d2/4 (cm2).Volumen: (π.d3/4)l (cm3).Momento de inercia: π.d4/64 (cm4). Módulo resistente: π.d3/32 (cm3).

Son expresiones geométricas; con sólo dos datos obtengo cinco resultados. Las tres primeras son útiles para determinar superficies, componer volúmenes, resistencias de tracción o compresión. Pero no sirven para determinar las resistencias a flexión.

Por ejemplo en caso de una sección rectangular, por intuición sabemos que una tabla de canto (rec-tángulo en alto) resiste a la flexión mucho más que la misma tabla puesta apaisada (rectángulo en bajo). En ambos casos el perímetro, la superficie y el vo-lumen siguen siendo iguales, pero tenemos ahora la novedad que una forma resiste más que otras. Para diferenciarlas llegan los conceptos matemáticos de “Momento de inercia” y el “Módulo resistente” que son las dos últimas.

Si analizo la sección de la tabla. Para la tracción o compresión, la superficie será de 15.3 = 3.15 = 45 cm2. Los “lados” no alteran al producto.

La tabla puede estar de canto o acostada; la su-perficie mantendrá el mismo valor. Este valor puede ser utilizado en los esfuerzos lineales de la mecánica como la tracción o la compresión. No importa la for-ma, solo interesa la sección, la superficie.


13.3. La forma en la flexión.Rectángulo.

Pero en la flexión la cosa se altera. No es lo mis-mo colocar la tabla “acostada” que de “canto”, sin embargo la superficie es la misma. Entonces llega la matemática y resuelve el problema luego de siglos de discusiónes.

Dos expresiones, primas hermanas; el momento de inercia y el módulo resistente. Estas dos expresiones (“palabras” del idioma matemático) son las que se utilizarán para vaticinar la resistencia de la viga a flexión. La tabla rectangular, ahora tiene un eje con máxima resistencia y otro de mínima.

En ambas sólo están presentes las base (b) y la altura (h), cambian las potencias y el divisor. Uso la sección de la tabla anterior y la refiero a dos ejes el “W”, primero al xx y luego al yy, es notable la diferencia.

En pandeo esa “viga tabla” tiene 25 veces más posibilidades de pandear en el eje “yy” respecto del “xx”. En la flexión, la deformada será 5 veces mayor en la tabla de plano que de canto. Estos son los datos que nos provee la forma desde la matemá-tica.

El origen de estas expresiones las encuentro en los escritos de Galileo (¡otra vez!) cuando intenta explicar la relación del “tamaño” y “forma” de los elementos estructurales. Otra ciencia más joven que las CC está interesada en el efecto tamaño; es la

6.

12. 23 hbWhbI ==

35,226315

6.

35,1126153

6.

75,3312

31512.

75,84312153

12.

22

22

433

433

cmbhW

cmhbW

cmbhI

cmhbI

yy

xx

yy

xx

=⋅

==

=⋅

==

=⋅

==

=⋅

==

Matemática 193

Mecánica de Fracturas que analiza la resistencia de los sistemas estructurales desde la energía.

Antes de terminar me pregunto ¿Cuál sería el rectángulo más eficiente para la flexión? Se podría contestar, aquel de mayor canto. Donde la altura es muchas veces superior al ancho, al espesor. Pero sur-ge un problema. El pandeo en el cordón superior, las fibras comprimidas superiores no tienen rigidez para sostener la forma. Se quiebra la forma, mientras que las fibras inferiores permanecen rectas por la acción auto correctiva de la tracción. De tanto observar vigas macizas de madera o de hormigón, he compro-bado que la relación que más se repite es h/b =1,6.

Un tirante o viga de madera en general tiene las dimensiones de base igual a 3 pulgadas (7,5 centí-metros), mientras que la altura es 5 pulgadas (12,5 centímetros). La relación h/b = 12,5/7,5 = 1,66. En las vigas de hormigón para anchos de 30 se dan al-tos de 50, la misma relación (50/30 = 1,66). Esto lo intento explicar más adelante con la serie de Fibo-nacci o el rectángulo áureo.

Círculo.A diferencia del rectángulo no tiene dos ejes prin-

cipales. Posee infinitos ejes. Cualquier diámetro lo es. Los árboles lo han elegido por todas las direcciones de las fuerzas del viento. En el caso del círculo, la flexión es indistinta. Cualquier posición de un tronco perfectamente circular tendrá la misma resistencia.

Pero es necesario el concepto de inercia de esta forma, en especial si utilizamos algunas de las solu-ciones de la naturaleza.

Corresponde a un circunferencia maciza de diá-metro “D”. Con un solo dato, el diámetro obtengo el momento de inercia y el momento resistente.

El círculo hueco.Cuando la masa es escasa, ella inventa otra

forma. El círculo hueco; de elevada resistencia a la

3264

34 DWDI ⋅=

⋅=

ππ


flexión y al pandeo. Una maravilla. Otra vez, la matemática ofrece la única herramienta para interpretarla.

La forma hueca adquiere notable resistencia respecto de la misma forma llena, maciza. Dos modelos, la circunfe-rencia y la sección anular. Para destacar la influen-cia de la forma con la expresión matemática del módulo resistente “W”, hago una comparativa entre una sección circular y otra hueca.

Sección circular:Diámetro: 9,6 cmSección, superficie: 73 cm2Módulo W: 88 cm3

Sección hueca circular:Diámetro mayor: 12 cmDiámetro menor: 10 cmSección, superficie: 34,54 cm2Módulo W: 88 cm3

Con la sección hueca optimi-zo la eficiencia, me aproximo al mínimo estructural, porque utilizando apenas la mitad de la sección tengo igual módulo resistente W.

Hice la comparativa tomando la sección de una tacuara (bambú) que ha diseñado una forma tan especial. Empleando una reducida masa obtiene elevadas resistencias. Lo mismo lo hace el largo tallo de la hoja del mamón.

No sólo la sección transversal como forma. En la longitudinal la tacuara coloca nudos distanciados entre 20 a 25 cm que impiden el pandeo de las fibras longitudinales en las paredes del cilindro comprimido o flexo comprimido.

( ) ( )D

dDWdDI3264

44

244

2−

=−=ππ

Matemática 195

14. La matemática en la naturaleza.

14.1. Entrada.La Naturaleza por cotidiana pareciera que pres-

cinde de la matemática, sin embargo todas sus mani-festaciones terrenales o universales se corresponden con ecuaciones matemáticas.

El libro de la naturaleza nos dice el gran sabio italiano (Galileo), está escrito en caracteres matemá-ticos. Sin ellos es humanamente imposible comprender una sola palabra y solo se conseguirá vagar por un oscuro laberinto.

“La desventura del conocimiento matemático” G. Klimosky – G. Boido. Az editora. Página 21.

En los escritos que siguen hago solo unas pocas referencias entre la matemática y la Naturaleza. En hojas anteriores analicé la forma desde las secciones transversales del elemento. Es aquella que me intere-sa para el estudio de la flexión o del pandeo. Pero hay otras disposiciones que nos muestra la naturale-za, que no son transversales. Son configuraciones del crecimiento. Ingresar a descifrarlo no es fácil. Antes recomiendo mirar el umbral para evitar el tropezón. Existen miles de ejemplos, es más, existe una discipli-na que estudia las formas o el proceso universal de la creación, sea natural o artificial. Se llama Diner-gía.

El umbral que debe mirar el lector es bajo, corto y complejo. Es un número. En realidad dos. Dos irra-cionales dentro de los infinitos. Tienen una cualidad; los decimales del directo son iguales al inverso.

0, 6180...1, 6180...Por ejemplo, divida 233 por 377, le dará el

primero, el de arriba. Ahora le pido que divida al revés: 377 dividido por 233 le dará el segundo. Cuanto más grandes los números, mayor aproxima-ción entre los cocientes. Es un número rarísimo. Eso de la igualdad después de la coma es extraño. Sin embargo es el número que mejor responde a la mayoría de las creaciones. De a poco me meto en el tema. Ahora le pido otro favor, busque su carnet de


conductor, su cédula de identidad o cualquier naipe y relacione el ancho con el alto; le dará el mismo número anterior. Algo anticipe de la relación que más se repite en las secciones de vigas de madera y hormigón; es algo más, algo menos o igual a ese número. Es la relación del rectángulo áureo.

14.2. El rectángulo áureo.Comenzaron los griegos con el estudio. Lo llama-

ron áureo. Del oro, por su valor. Ese rectángulo o cualquier otra figura que tenga uno o varios ángulos rectos; es un invento del hombre. Pero la relación de los lados del áureo es un descu-brimiento de la Naturaleza. Ella, tan natural fabrica una entidad irracional.

Desde la geometría los griegos lo dibujaron formando un cuadrado de lados iguales a la unidad, luego la circunferencia con radio igual a la diagonal del rectángulo medio, tal como muestro en la figura.

…los pitagóricos de la Grecia antigua, a quienes se les reconoce el mérito de haber descubierto, en el siglo VI a.C., la naturaleza infinita de los números irracionales, experimentaron tal sorpresa, temor y reverencia ante su descubrimiento que trataron de mantenerlo en secreto y decretaron la pena de muer-ta para quienes osaran divulgarlo…

“El poder de los límites” de Gyorgy Doczi. Editorial Troquel. Página 5.

No lo divulgaron, pero lo usaron en las formas de sus esculturas, monumentos y edificios. La relación del lado menor, res-pecto del mayor, en ese rectángulo es de 0,618…La mariposa cebra tiene 21 mm de largo tomando como eje el cuerpo y un ancho de alas de 34 mm (21/34=0,618).

Es aproximado, siempre tendrá un aumento en sus decimales. Nunca se expresa por completo. Es un número infinito en sí mismo. En los patrones de cre-cimiento orgánico la proporción de la sección áurea revela que existe un lado infinito e intangible de nuestro mundo.

Matemática 197

Los griegos pueden haber medido los lados secuenciales de una espiral, como muestro en la figura.1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233½ = 2/3 = 3/5 = 5/8 = 8 / 13 =….= 0,618

Cualquier número de esa serie divi-dido por el siguiente también da algo irracional: 0,618…

Expresión que se puede expresar geométrica-mente mediante la espiral. Se forma por la sucesiva construcción de rectángulos; del más grande hasta el más pequeño posible. El lado menor del anterior será el lado mayor del siguiente. La presencia de la matemática desde el principio de los siglos estuvo en la naturaleza misma.

14.3. Fibonacci y Bernoulli. Luego a más de un milenio y medio, en el siglo

XIII, un observador de la Naturaleza de sobrenom-bre Fibonacci (Leonardo de Pisa) introduce en Euro-pa una secuencia de números; una serie. Es la Na-turaleza en su crecimiento que le muestra esa serie. Cómo se reproducen los conejos. La ubicación de las semillas en la flor del girasol. La configuración del fruto del pino. La espiral de la caracola.

Este número está relacionado a muchas entidades del crecimiento de la naturaleza vegetal o animal, también lo utiliza el hombre sin conocer su origen.

La matemática llega. Ayudando a la geometría y a la serie, con una simple operación nos dice todo:

A/B = B/(A+B) = 0,618 “Este número derivado de la serie de Fibonacci,

forma un puente entre los productos de la mano, el ojo y la mente del ser humano, por un lado y del diseño natural el otro”.

“Los orígenes de la forma”. Christopher Williams. Editorial Gili. Página 7.

Lo dicho antes pareciera cosa fácil, pero se nece-sitaron siglos para hacerlo. El avance de las mate-máticas mediante su preciso lenguaje, tomó centenas


de años antes que lograra interpretar y unir dos fenómenos totalmente distintos; la serie de Fibonacci y el rectángulo áureo. En el tiempo, ambos están se-parados por cerca de dos mil años. Quien los junta, los interpreta y los describe como una misma armo-nía es Jacob Bernoulli a finales del siglo XVII.

14.4. Otra espiral del crecimiento.La espiral del crecimiento se la observa en las

manifestaciones físicas de una caracola, en el di-námico vórtice del remolino de viento o agua y muchas más. Pero también se forma en fenómenos incorpóreos secuenciales. La Naturaleza efectúa su crecimiento mediante una continua suma de partes. Adiciona moléculas según cierto orden de extraordi-naria armonía. El crecimiento no solo son moléculas unidas unas a otras, también son entidades indivi-duales separadas, como pueden ser los integrantes de una familia de conejos.

Otra sorpresa, bueno, no tanto ya que fue des-cubierta hace más de ochocientos años es la serie de Fibonacci, ya nombrada en puntos anteriores. El análisis del orden del crecimiento de la naturaleza. El primer ejemplo fue el de la reproducción de los conejos. Nada que ver con la construcción, pero es el dato inicial.

Lo imagino a Fibonacci pensando en los conejos, así de una nimiedad, surge uno de los números más universales. El cuento es así; una pareja que inicia su procreación y al cabo de cierto tiempo se tiene:

Mes 1: 1 pareja.Mes 2: 2 parejas.Mes 3: 3 parejas.Mes 4: 5 parejas.Mes 5: 8 parejas.Mes 6: 13 parejas.Mes 7: 21 parejas.Mes 8: la suma de los dos anteriores: 34 parejas.…Mes doce: 233 parejas.El lector con seguridad leyó el libro más publi-

cado, con más ediciones, con más ejemplares y que

Matemática 199

generó toda suerte de especulaciones y enfrenta-mientos “El código Da Vinci”. Allí dentro de la trama de la novela aparece el número de Fibonacci.

1+2= 32+3=53+5=85+8=138+13=2113+21=3421+34= 55El asunto no sólo de la reproducción de estos

animales, sino también la disposición de las ramas de un alto pino, la posición de los pétalos de las flores, las espirales del caracol. Toda la naturaleza acepta como la forma más conveniente de crecimiento una expresión matemática.

La espiral es una configuración geométrica que puede ser precisa, variable, amplia o densa. Entre todas ellas hay una que se llama espiral logarítmi-ca, espiral equiangular o espiral de la proporción áurea. La línea curva que aumenta su radio a media que circunda un centro es una espiral como las dibu-jadas en hojas anteriores. La velocidad del aumento de su tamaño es lo interesante.

La relación de las distancias de los radios que cruzan la línea curva en la espiral logarítmica tiene otra sorpresa; siempre es la relación 0,618034.

14.5. Hexágono, pentágono, triángulo. Repetido hasta el cansancio, desde la escuela pri-

maria. El hexágono llama la atención por su equili-brio por la posibilidad de juntarlos sin dejar espacio. Por la facilidad de cons-truirlo desde un círculo. Tal como muestro en la figura.

Y por haberlo adop-tado la naturaleza como figura constructiva. El panal de abejas es lo común. Hay otros, miles de ejemplos donde está pre-


sente esta figura geométrica, precisa y exacta, en lo orgánico e inorgánico. Por ejemplo, el más repetido. Está ahí, no-más, bajo los pies del lector. Los anillos hexagonales que forman los cristales de la arcilla con sus átomos de silicio, oxígeno, magnesio y oxidrilos. Las imá-genes muestran los ángulos que forman las líneas de fractura de la arcilla al secarse y la disposición de sus átomos en proyección. Conformando ángulos de 120° entre las fracturas.

Otras entidades poseen formas que tienen como base el pentágono o el triángulo. La imagen corresponde a la flor del árbol “Lluvia de oro” que res-peta la configuración del pentágono en sus pétalos. No así la de la “Santa Rita” que con el triángulo tiene una forma más modesta

En la figura el triángulo dibujado tiene también la relación 3:4:5 y otra vez la relación de 0,6…=3/5. El trián-gulo pitagórico lo utilizan en la actuali-dad los albañiles. También los antiguos egipcios lo tuvieron como herramienta de construcción. Es el triángulo que logra en uno de sus vertices el ángulo

Matemática 201

recto. La recta de la estrella inscripta mide 2,618. El valor 1,00 los laterales y el 0,618 le corresponden al sector medio. Es la matemática quien des-cubre la disciplina de las formas. Sin ella podríamos solo decir “parecido”, “semejante”, pero con sus herramien-tas se logran establecer leyes, regu-laridades que se repiten de manera asombrosa.

14.6. El cuerpo humano. El repetido dibujo es el análisis de las proporcio-

nes de la figura humana metidas en lo que se conoce como la cuadratura del círculo. Trata de demos-

trar que las proporciones humanas se corresponden con figuras geométricas simples.

En este trabajo se establece un sistema matemático que permite al artista contemplar y componer la figura humana. “La divina proporción parte del teorema conocido como sección áurea, que consiste en una línea recta que se divide en dos partes desiguales: cuando la relación de la parte menor con respecto a la mayor es igual a la relación de la mayor con respecto a la longitud de toda la línea, nos encon-tramos ante sección áurea. Los análisis


realizados demuestran que algunas partes de la figura de Leonardo comparten proporciones dentro de la sección áurea”.

El círculo y el cuadrado, o también la cuadratura del círculo. Lo estudió Leonardo hace más de 500 años. Durante siglos se ha ensayado sobre la rela-ción de la figura del cuerpo del ser humano. En la relación de las longitudes de los miembros se obtiene la relación del 0,61.

No es tema de este libro abundar sobre las dis-tintas formas que se abordó el estudio del cuerpo humano. El lector interesado sobre el tema lo encon-trará en cualquier trabajo sobre la serie de Fibonac-ci, el rectángulo áureo y el cuerpo humano.

14.7. Las espirales.Las galaxias tienen la misma espiral de crecimien-

to que una pequeña caracola. Lo espantosamente grande, increíble, tiene relación con la miniatura de un caracol. Esto es parte de la teleología, las rela-ciones que existen entre las formas del universo.

En la ciudad de Formosa hay una vivienda que tiene una de sus paredes recubrieta con lajas. En tres de esas lajas hay rastros de antiquísimas mo-luscos. En una las aletas de un pez. En la segunda encuentro la impronta de una caracola de 10 cm de diámetro, en la tercera figura aparece el Nautilus con la espiral logarítmica.

Esta figura quedó impresa en la piedra por un acontecimiento similar al moldeo de un material fluido plástico. En este caso la caracola fue el molde y el fluido la lava de una violenta erupción volcáni-ca. La edad de esta impronta se fija en millones de años atrás.

“…la circunferencia de su círculo infinitesimal es un ángulo perpetuo. Las formas ascienden ordena-damente. De la más baja a la más alta…Luego la espiral origen medida de las formas…la naturaleza enroscada en una espiral perpetua. Ruedas que nunca se paran. Ejes que nunca se rompen…”.

“Yo el supremo”. Agusto Roa Bastos. . Editorial Cátedra. Página 162.

La figura de la espiral, desde la geometría se la

Matemática 203

puede construir con triángulos isósceles o rectángulos áureos. En el caso de la figura construyo varios trián-gulos todos en la misma relación. Cada uno se mete dentro del otro formando cada vez triángulos más pequeños. Uniendo los ángulos, los puntos extremos de todos los triángulos, desde el más pequeño, apa-rece una espiral equiangular. El ángulo que forman con los radios es siempre el mismo. Otra manera de construirla es con rectángulos (relación de lados 0,618). La tangente a los vértices forma una curva que responde también a una espiral.

14.8. Resumen.La aritmética, la matemática y la geometría, son

lenguajes, idiomas no vulgares. Son los únicos que nos pueden decir o interpretar algunos de los fenó-menos que nos rodean. Mediante símbolos expresan algo; el perímetro o la superficie de un círculo la comunicamos mediante una expresión matemática.

Así, en la historia de las ciencias, en la medida que las matemáticas avanzan, desde Euclides, hasta nuestros días, fue posible encontrar ecuaciones o términos matemáticos a distintas formas de la natu-raleza. Cada vez más se demuestra, que desde la configuración en espiral de una galaxia, hasta la ca-racola más pequeña, existe una afinidad aritmética.


En el estudio de las formas de las estructuras tanto naturales como las realizadas por el hombre, surge un orden que sólo puede ser expresado mediante términos matemáticos.

En el libro “On growth and form” de D´arcy Thompson explica con términos matemáticos las for-mas de las células, las leyes del crecimiento de plan-tas y animales. Las formas y su eficiencia mecánica.

Los fenómenos naturales se pueden expresar mediante razonamientos filosóficos o místicos. Otros se logran realizar mediante métodos racionales y expresados con idioma matemático. En el caso de la astronomía, las nuevas teorías son aceptadas de manera definitiva por la sociedad científica cuando las órbitas de los astros se logran expresar matemá-ticamente.

En muchos aspectos se contrapone la fe a la ra-zón; es una frase utilizada permanentemente por la filosofía. Pero en realidad quien se opone o destruye a la fe es la matemática. La teoría geocentrista era una creencia, un dogma, donde la tierra estaba in-móvil. Cuando las matemáticas de Copérnico, Kepler, Galileo y por último para rematar con Newton, de-muestra otra cosa. Entonces nada queda por discutir.

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