Introducción a las Estructuras -...

Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo seis - Resistencia de Materiales 2.

Introducción a las

Estructuras

Capítulo seis:

Resistencia Materiales DOS

6. Ley de Hooke

6.1. Desarrollo.

Los estudios realizados durante siglos sobre la conducta de los mate-

riales frente a las fuerzas, hubo un científico inglés, Roberto Hooke que en

1678, publica una ley con vigencia actual, la denominada ley de Hooke. La

preocupación inicial de Hooke no se hallaba centrada en los materiales de

la construcción, sino en el comportamiento de los resortes de los relojes de

aquella época, que debían experimentar grandes deformaciones dentro del

período elástico, es decir, debían recuperar su forma a medida que dismi-

nuyera la fuerza que los sometía.

Todos los cuerpos son deformables en mayor o menor medida por la

acción de las fuerzas exteriores, aún cuando estas resulten pequeñas. Ve-

remos ahora la relación que existe entre las deformaciones y los esfuerzos

actuantes.

Para ello analicemos una barra metálica de sección constante “S” y

de longitud “l”. Si la sometemos a una fuerza axial “F” variable y medimos

las deformaciones que se producen en la barra a medida que aumenta la

fuerza, podremos dibujar un diagrama donde en el eje de las ordenadas “y”,

colocamos los valores de las tensiones y en el eje de las “x” las deforma-

ciones relativas.


A la izquierda aparece la imagen de la barra longitudinal sometida a

tracción y su alargamiento. A la derecha los ejes de las ordenadas con las

tensiones y el eje de las abscisas con las deformaciones relativas. Datos pa-

ra el ensayo:

Datos antes del ensayo:

Utilizaremos los dos sistemas de unidades, el antiguo y el

actual, por cuestiones didácticas y de apreciación de las

magnitudes de las fuerzas y tensiones.

l: largo de la barra (metros).

S: sección de la barra (m2). Luego se lo reduce a cm2 para

facilitar las operaciones.

Datos durante el ensayo:

F: fuerza de tracción.

δl: alargamiento en metros. Luego lo reducimos a centíme-

tros.

Proceso después del ensayo:

ζ: tensión de tracción.

( )

(

)

ε = δl/l deformación relativa (adimensional).

Durante el ensayo en cada escalón de carga medimos el alargamien-

to de la barra. En la fase inicial del ensayo observamos que los puntos don-

de se encuentra el valor de la tensión con el correspondiente de la deforma-

ción, forman una línea recta; es el período de cargas denominado elástico.

Es propio y característico de cada material.

Dibujo e interpretación de la gráfica.

Construimos el diagrama de tenso deformación. Las partes de la cur-

vas se pueden explicar:

D: ζa, tensión admisible de cálculo (14 Mpa).

A: final de la proporcionalidad de tensión con deformación.

B: entrada al período de fluencia (plástico). Con línea hori-

zontal: período de fluencia.

C: valor máximo de resistencia en zona plástica.

Luego de alcanzar el punto “C” la barra sigue su deforma-

ción con disminución de carga. La rotura se produce a un

valor de carga inferior al del punto “C”.


En la recta del período elástico se cumple la proporcionalidad entre

las tensiones y las deformaciones, ese fenómeno se lo expresa con la ma-

temática:

“C” es la constante de proporcionalidad, que luego de varios expe-

rimentos se demostró que es particular de cada material y se lo denomina

“E” (módulo elástico del material), es algo así como las huellas digitales

del material.

1.1. Módulo de elasticidad “E”.

General.

Como vimos, la relación de proporcionalidad se mantiene hasta la

tensión límite ζp. Superado ese valor se ingresa al período plástico. A partir

del punto “A” de la curva se acelera la deformación y luego del punto “B”

aparece una extraño fenómeno; para la carga constante en ese punto el ma-

terial sigue alargándose, solo, sin ser exigido con aumentos de cargas. Es la

fase donde los cristales del hierro modifican su posición relativa.

Con un aumento mayor de carga se llega a la tensión máxima de re-

sistencia ζr, pero no rompe en ese punto. El material sigue alargándose con

reducción de la carga hasta que rompe a una tensión menor.

Esta conducta tan especial de las barras de acero es una de las mejo-

res cualidades que existen entre todos los materiales de la construcción y es

aprovechada de diversas maneras.

Valores del “E”.

De acuerdo a las expresiones matemáticas anteriores el “E” resulta

del cociente entre la tensión y la deformación relativa.

La relación anterior es la tangente que forma la línea de proporciona-

lidad con el eje x-x. Desde esta consideración podemos imaginar la incli-

nación de las diversas rectas en función del tipo de material:

material “E” (Mpa)

Acero 210.000

Cobre 130.000

Madera dura 11.000

Madera blan-

da

7.000

Hormigón 21.000

Distintas curvas.

Cada material posee su propia curva de tenso deformación. Las ca-

racterísticas se definen por la inclinación de la recta del período elástico y

el valor de rotura.


En el caso de los aceros, todos tienen el mismo módulo de elastici-

dad “E”, lo podemos observar en la figura de la derecha. Se muestran los

tres acero más utilizados en la construcción de edificios, todos tienen la

misma inclinación de la recta, los tres poseen

igual “E”.

El acero común de barras lisas que traba-

ja dentro de las piezas de hormigón armado o

perfiles de hierro en valores aproximados de los

140 Mpa, este acero entra a rotura en valores de

370 Mpa.

Luego le sigue el acero conformado en

frío que se lo utiliza en valores de los 240 Mpa

para el diseño y en rotura llega hasta los 500

Mpa.

Por último el acero de alta resistencia,

éste es empleado en los sistemas de pretensado

o postensado. Sus valores de esfuerzos son de

unos 1.200 Mpa y los de rotura llegan a los

2.000 y más.

1.2. Identificación.

Está ya generalizada la identificación de las barras; al frente se indi-

ca el nombre el fabricante, en el caso de la figura es “Acindar” y al dorso

se establece la tensión de fluencia (420 Mpa) y el diámetro de la barra en

milímetros.

Diseño estructural.

De acuerdo a lo anterior se plantean criterios de diseño que aparen-

tan ser insólitos. Por ejemplo en algunas estructuras muy comprometidas

con la seguridad de las personas es conveniente que en caso de falla resulte

más conveniente utilizar materiales dúctiles (hierro común) que materiales

más resistentes pero frágiles (acero alta resistencia).

En las estructuras de hierro común la falla no es abrupta, antes que

aparezca el colapso existen grandes deformaciones de las piezas en perío-

dos elásticos, ese proceso tiene su tiempo y permite que las personas pue-

dan alejarse del lugar. Las magnitudes de esas deformaciones antes de la

rotura la estudiamos en los puntos siguientes.

Rigidez inercial a la deformación longitudinal.

El producto del módulo de elasticidad “E” por la sección transversal

“S” de la barra, nos da la rigidez a la deformación longitudinal.

(

) ( )


Con la utilización de este factor, se pueden calcular alargamientos.

Por ejemplo, el que sufre un tensor que soporta los esfuerzos de tracción en

los extremos de una cercha triangular.

En efectos de tracción o compresión “puros” interesa solo la sección

de la pieza, veremos más adelante que en la flexión el parámetro es la for-

ma, además de la sección.

T: carga de tracción = 7.000 kg.

L: longitud de la barra = 8,00 metros.

S: sección transversal = 4,90 cm2.

E: módulo de elasticidad = 2.100.000.

Ejemplo:

Supongamos la estructura elemental de la figura superior. El tensor

se constituye con barra de hierro de diámetro 25 mm (2,5 centímetros).

La tensión de trabajo de la barra:

El alargamiento será:

Es un valor muy pequeño que no afecta las condiciones de borde en

los apoyos. Pero si imaginamos una situación crítica donde las fuerzas que

actúan puedan llevar a la barra a la rotura final, en ese caso el alargamiento

del tensor sería un 20 % de su longitud original.

Longitud original: 8,00 metros = 800 centímetros.

Alargamiento en rotura: 800 . 1,20 = 960 centímetros. La barra se

alargó 1,60 metros antes del colapso. En ese caso la cabreada de la figura

se deforma tanto que las personas del lugar pueden apreciar el fenómeno y

retirarse.

Rigidez inercial a la flexión.

Utilizamos una maniobra aritmética de multiplicación cuando

deseamos conocer la resistencia de una pieza a la deformación por flexión.

En este caso debemos multiplicar el momento de inercia “I” (dato de la

forma) con el módulo elasticidad “E”, dato mecánico del material.

(

) ( ) ( )

La unidad de la rigidez (MNm2) es difícil de comprender, relaciona

una fuerza (MN) con forma directa con una superficie (m2). Podríamos


pensar que es el producto de la “inercia de forma (I)” por la “inercia a la

deformación (E)”

Ejemplo descenso de elástica:

Si utilizamos las unidades antiguas podremos tener una idea de lo

elevado que resulta este valor, por ejemplo para un perfil doble te IPN 120:

E = 2.100.000 kg/cm2

I = 328 cm4

EI = 688.800.000 kgcm2 es un valor muy grande.

Pero al aplicar las fórmulas de las elásticas, por ejemplo, el caso del

descenso máximo de una viga simple apoyo con carga repartida:

Longitud entre apoyos: 5,00 metros = 500 centímetros.

Carga repartida uniforme: 300 kg/m = 3,00 kg/cm

La fórmula que relaciona el valor máximo de la elástica con el EI es:

No es necesario en este momento desarrollar o explicar el origen de

la fórmula, lo haremos más adelante. En el numerador surge también un

valor muy elevado, la distancia entre apoyos está elevada a la cuarta poten-

cia.

Caso de una viga de 6,00 metros (600 centímetros) de luz.

Este valor divido por el EI del perfil metálico utilizado: f = 3,5 cm

Ejemplo ángulo de giro en el apoyo:

También con la rigidez EI se puede establecer el ángulo de giro en

los apoyos. El ángulo que forma la tangente de la elástica en los extremos.

Analizamos la viga anterior:

Que corresponde a un ángulo de α = 13º

Ejemplo comparativo de posición de la sección.

Si observamos la fórmula que nos entrega el valor del descenso en el

medio de la viga podemos determinar de manera inmediata el valor de la

flecha en caso de colocar el perfil acostado.

Perfil IPN 120 Ixx = 328,00

Perfil IPN 120 Iyy = 21,50

Relación: 328/21,50 ≈ 15


Si la viga fuera colocada en posición “acostada” la flecha se incre-

mentaría 15 veces.

2. Valores de las tensiones en el hormigón.

2.1. General.

El hormigón es uno de los materiales de mayor dificultad para obte-

ner tensiones de rotura uniformes. Esto se debe a la cantidad de materiales

que participan en su elaboración (agua, cemento, arena, piedra, aditivos) y

por otro lado la inseguridad que existe de un posterior curado en el fragüe.

Los resultados se obtienen de métodos estadísticos mediante los va-

lores que arrojan los ensayos de rotura a compresión de probetas cilíndricas

normalizadas.

En el gráfico aparecen las tensiones con la denominación antigua, la

correspondencia:

500 kg/m2 = 50 Mpa

370 kg/m2 = 37 Mpa

250 kg/m2 = 25 Mpa

190 kg/m2 = 19 Mpa

El valor de la resistencia del hormigón no solo depende de la dosifi-

cación de la mezcla, de la calidad del cemento y del proceso de mezclado.

En gran parte es función del cuidado que se brindó en el tiempo de curado,

en ese período de endurecimiento suceden procesos químicos que afectan

la calidad última.

La resistencia de los hormigones se caracteriza por la siguiente tabla:

2.2. Ejemplo de incertidumbre.

Cuando en capítulos anteriores hicimos referencia a los coeficientes

de seguridad, también tuvimos que analizar los grados de incertidumbre en

las fases de la construcción. Ahora vemos la situación planteada en la cons-

trucción de un tanque de agua elevado con una capacidad de 70 metros cú-

bicos.

Se calculó y construyó con una calidad de hormigón

del tipo H-30. Luego de terminado se realizaron ensayos de

esclerometría (resistencia del hormigón por resonancia) y se

descubre que en una las columnas soportes existía una re-

gión de baja resistencia.

El volumen de hormigón de baja resistencia no al-

canzaba a un metro cúbico (parte de una columna y dos

vigas de riostra). Los resultados de los ensayos indicaron

que la resistencia del hormigón, en esa zona era de un H-20.


La paradoja; por la geometría de la estructura y la ubicación del

hormigón cuestionado se presenta lo siguiente: el tanque fue calculado con

resistencia de H-30 pero si un pequeño tramo de una de las columnas es de

H-20, es suficiente para plantear que el coeficiente de seguridad de todo el

tanque se reduce. Porque la jerarquías de columnas son iguales y altas. La

falla de una cualquiera provocaría el colapso, situación diferente a la de

una estructura con numerosas columnas.

En este caso, la falla fue en la ejecución del hormigón en ese sector.

Fue una falla del control de obra. En estos casos hay dos soluciones:

a) Reforzar con estribos externos de planchuelas de acero la zona

afectada (confinar al hormigón).

b) Reducir la cantidad de agua en depósito mediante válvulas con

flotantes y construcción de gárgolas de desborde, en caso de fa-

llas de las válvulas de seguridad. Esta última es una solución con

alto riesgo en el tiempo porque requiere mantenimiento y con-

trol.

3. Tensiones en planos inclinados.

3.1. General.

Hasta ahora hemos estudiado las tensiones que se producen en el

material en secciones perpendiculares a la dirección de las fuerzas. Hemos

definido las tensiones en un plano 1-1 normal al eje.

Un plano oblicuo podría ser cualquiera que no forme 90º con el eje

longitudinal.

En este capítulo estudiaremos las tensiones en planos oblicuos a la

dirección de las fuerzas (sean de compresión o tracción). Los planos 2-2, 3-

3 o 4-4 son algunos de los infinitos planos oblicuos que pasan por el punto

“O”.

Para el estudio consideramos

un plano cualquiera, por ejemplo el

2-2, y analizamos las fuerzas que

actúan sobre dicha superficie obli-

cua. Analizamos solo la parte iz-

quierda de la pieza.

La fuerza “P” de tracción

la descomponemos según el án-

gulo de inclinación del plano;

una fuerza “N” normal a la sec-

ción oblicua y otra fuerza “T”

tangencial.


Llamamos:

S1: sección de la pieza, normal al eje longitudinal.

S2: Sección de la sección oblicua, plano 2-2.

P: carga de tracción que actúa según eje longitudinal.

N: componente de fuerza normal al plano oblicuo.

T: componente de fuerza tangencial al plano oblicuo.

α: ángulo entre la sección normal y la oblicua.

Resolvemos:

Tensión normal sobre el plano oblicuo:

(

)

Tensión tangencial sobre el plano oblicuo:

(

)

3.2. Análisis en planos principales.

Estudiamos los planos principales para determinar las tensiones

normales y tangenciales en cada uno de ellos. Supongamos una barra a la

compresión, analizamos tres casos de planos respecto del eje longitudinal:

a) Plano con ángulo de 90º.

b) Plano con ángulo de 0º.

c) Plano con ángulo de 45º.

Caso a): α = 90º

Porque el coseno de 0º es nulo, es igual a cero.


Conclusión: las tensiones en el plano 2-2 coincidente con el eje de la

pieza son nulas. Es por ello que algunas columnas pueden ser diseñadas

como compuestas, es decir separadas en la parte media longitudinalmente,

mediante presillas, quedando un vacío en el medio.

Esta posibilidad de separar las partes de la columna favorece el dise-

ño ante el efecto de pandeo.

Caso b): α = 0º

Es la sección 2-2 normal al eje longitudinal. La tensión normal será

igual a:

En este plano principal, la tensión normal es

igual a la tensión principal y la tensión de tangencial

es nula.

Es el caso de una columna realizada con pie-

dras superpuestas, tal como las ejecutaban los anti-

guos constructores. Cada una de las juntas es un

plano principal donde solo existen esfuerzos norma-

les. No se presentan esfuerzos tangenciales.

Caso c): α = 45º

Es la sección 2-2 que forma un ángulo de 45º con

el eje longitudinal.

Tensión normal:

Tensión tangencial sobre el plano oblicuo:

( )

La tensión principal se desdobla, existiendo iguales tensiones norma-

les y tangenciales. Es el caso de máximas tensiones tangenciales y es por

ello que la mayoría de los materiales se rompen en ángulos aproximados a

los 45º, porque algunos resisten menos las fuerzas internas tangenciales

que las principales.


Imaginemos un absurdo: en un pilar de bloques de piedras super-

puestas, una de las juntas fue construida con un ángulo de 45º respecto al

eje de la columna, tal como muestra la figura. De manera intuitiva sabemos

que la columna colapsará en esa junta. En general las

tensiones tangenciales son las causas de la mayoría de

roturas de los materiales.

Esto se comprende a diario en los laboratorios

de hormigón, cuando se someten las

probetas de ensayos a compresión de

rotura y cuando colapsa, lo hacen

mediante configuraciones como la

figura de la izquierda. Formando dos

conos de inclinación aproximada de 45º.

Cuando se empalman dos piezas de madera traccio-

nadas (cordón inferior de cabreada), es necesario colocar

pernos o bulones pasantes que absorban las tensiones tan-

genciales que se crean en los planos de empalme.

3.3. Círculo de Mohr.

Todo lo anterior se realizó con análisis de matemática, geometría y

trigonometría. Ahora estudiamos la posibilidad de justificar y comprobar

los estudios anteriores mediante el método gráfico. No se lo utiliza en la

actualidad porque existen herramientas electrónicas, máquinas de calcular

y computadoras que resuelven el problema de manera rápida.

Pero es conveniente incluirlo en este libro porque es un ejercicio

mental para interpretar la manera que varían las tensiones en función de la

inclinación del ángulo de la sección considerada.

Ensayamos una probeta de hormigón que tiene la forma de la figura

de la izquierda. Sobre ella actúa la carga “P” de acción y reacción. Pode-

mos imaginar una prensa hidráulica que aprieta a la pieza.

Marcamos en el centro “O” de la probeta los ejes normales de refe-

rencia:

Al eje “y-y” lo denominamos “η”.

Al eje “x-x” lo denominamos “ζ”.

S1: sección normal a la dirección de la carga.

P: carga de ensayo de compresión.

Calculamos la tensión normal (en este caso igual a la principal) que

actúa sobre la sección transversal:


En escala trazamos un círculo con diámetro “ζP” y que resulte tan-

gente al eje “y”. Si trazamos cualquier plano inclinado, en escala y desde el

gráfico podemos conocer los valores de las tensiones normales y tangencia-

les.

Analizamos cualquier plano inclinado de sección, en este caso la rec-

ta OA es la elegida, que forma con la horizontal un ángulo “α”. Formamos

el triángulo “OAB” y le aplicamos los principios de la trigonometría.

Según el eje “x”:

Demostramos que el valor de la tensión normal a la sección “OA” es

el segmento “OB”.

Según el eje “y”:

Demostramos que el valor de la tensión tangencial a la sección “OA”

es el segmento vertical “AB”. Analizamos los diferentes casos:

Caso a): α = 90º

De la figura observamos que nos ubicamos en el punto “O”, no hay

segmentos para medir. En este caso tenemos que:

Caso b): α = 0º

Veamos otras virtudes del círculo de Mohr; supongamos que el

plano 2-2 se mueve a la posición 1-1 (ahora la sección no es inclinada por-

que coincide con el eje normal al eje de la pieza).

El ángulo α = 0: de manera directa, observando el círculo tenemos:

Caso c): α = 45º

Colocamos el plano inclinado en α = 45º.

Vemos en el círculo que la tensión tangencial es máxima para el

plano a 45º.

Vemos que desde la gráfica es posible establecer de manera inme-

diata los diferentes valores de las tensiones según la inclinación del ángulo

de la sección.


4. Visualización práctica.

4.1. General.

Reiteramos que estamos trabajando con unidades de tensiones del

sistema antiguo (kg/cm2) y el actual (Mpa). Resolvemos una estructura

simple. Supongamos un reticulado como el de la figura. Los cordones in-

clinados superiores de madera y el tensor inferior de hierro común.

Suponemos que solo actúa la carga en la cumbrera “P”. Mediante los

conocimientos de la estática, la fuerza “P” se desdobla en las direcciones

“1” y “2”, que corresponden a los ejes de los cordones superiores.

Las reacciones en los apoyos, por existir simetría de forma y de car-

gas, son RA = RB = P/2. Determinamos los esfuerzos en cada una de las

piezas, para luego obtener sus dimensiones adecuadas, según la resistencia

del material.

4.2. Datos.

P = 10 kN l = 600 cm α = 25º

Cordones superiores de madera (sección cuadrada).

Cordón inferior de acero (sección circular).

Tensión admisible de la madera ζm = 0,60 Mpa = 60 kg/cm2

Tensión admisible del hierro: ζh = 140 Mpa = 1.400 kg/cm2

senα = 0,42

tgα = 0,47

Adoptamos una tensión admisible de la madera porque suponemos

que podría tener nudos que cortan o desplazan la dirección de las

fibras. Las dimensiones del cordón

4.3. Determinación de los esfuerzos, método gráfico.

Descomponemos la reacción en las direcciones de los cordones su-

perior e inferior.

Mediante escala obtenemos el Cs y el Ci.

4.4. Determinación de los esfuerzos, método analítico.

Reacción en los apoyos:

RA = RB = P/2 = 5,0 kN = 500 kg


Fuerza en el cordón superior:

Fuerza de compresión en el superior: 1.190 kg = 11,9 kN

Fuerza en el cordón inferior:

Fuerza de tracción en el inferior: 1.064 kg = 10,6 kN

4.5. Dimensionado.

Cordón superior:

Suponemos que no existe efecto de pandeo.

Sección del cordón: S = P/ζ = 1190 kg / 60 kg/cm2 = 19,83 cm2

Lados del tirante cordón superior:

√

Adoptamos h = b = 5,0 cm.

Cordón inferior:

Este es tensor de hierro común:

S = 1064 kg / 1400 = 0,76 cm2

Diámetro de la barra:

√

Adoptamos un tensor de hierro de diámetro 1,0 cm (10 mm).

Empalme cordón superior:

El tirante está sometido a una carga de com-

presión de P = 1.190 kg. Imaginamos de debemos

empalmarlo, tal como indica la figura:

Debemos determinar las fuerzas que actúan en

el plano normal y tangencial del empalme:

El

ángulo

de empalme es de α = 30º.

Tensión principal:

Tensión normal:


Tensión tangencial:

Los esfuerzos son bajos. Las maderas se pueden unir mediante dos

bulones de diámetro 10 mm (con un elevado coeficiente de seguridad).

Si el empalme se hubiera realizado a 45º la tensión tangencial sería

máxima: η = 24 kg/cm2.

Así demostramos que el segmento vertical “AB” es la tensión tan-

gencial.

Alargamiento del tensor inferior.

En construcciones especiales es necesario controlar el desplazamien-

to de los apoyos de la pieza estructura, que pueden ser por la acción de

fuerzas o por diferenciales térmicos. En este caso calculamos el motivado

por la fuerza que actúa en el cordón inferior.

Aplicamos la ley de Hooke:

Es un valor de longitud con apariencia de pequeño, pero si el sistema

estructural se apoya sobre paredes de mampostería común y está ajustado,

confinado, esos casi 4 mm se transformarán en una fisura o grieta del mis-

mo espesor en la pared más débil.

5. Dimensionado. Estamos avanzando en el análisis de las diversas características que

componen una pieza estructural. Ya conocemos:

Las deformaciones.

Las tensiones.

La matemática de las formas (W) e (I).

La resistencia del material.

Es ahora, con esos conocimientos básicos donde la palabra “dimen-

sionar” adquiere real significado. Es un verbo, es una acción que realiza el

técnico para indicar las sec-

ciones y el material que debe

ser construida la pieza estruc-

tural con un determinado

coeficiente de seguridad.

En la figura se muestra

la sección de una viga de

madera y otra de acero. En


ambos casos es posible mediante operaciones matemáticas simples y con la

ayuda de la Estática y la Resistencia de los Materiales establecer las di-

mensiones transversales de la pieza.

Nos falta estudiar la manera de interpretar los esfuerzos externos que

actúan sobre la pieza que se dimensionará, el capítulo que sigue “Solicita-

ciones” trata el tema.

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