Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas...

Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas.

Introducción a las

Estructuras

Capítulo cuatro:

Estática de las fuerzas (2)

Parte DOS

1. Introducción.

General.

En capítulos anteriores analizamos los orígenes y valores de las car-

gas, así también como su ubicación y unidades, pero nada se dijo del com-

portamiento de las cargas en el conjunto estructural de un edificio. Tampo-

co se estudió la influencia de las formas de las piezas estructurales en su

resistencia ante las cargas.

Este capítulo “Estática de las fuerzas” analiza la relación entre las

fuerzas, sus direcciones, magnitudes y posiciones en el elemento estructu-

ral. Con maniobras de matemática elemental se logran establecer ecuacio-

nes y fórmulas que interpretan de manera adecuada el efecto de esas cargas

en la pieza.

En el capítulo siguiente “Estática de las formas” se analiza la super-

ficie y la forma de la sección transversal del elemento estructural y su in-

fluencia en la capacidad resistente de la estructura.


Veamos la ecuación presentada en el capítulo anterior sobre la rela-

ción entre la tensión “σ” (resistencia), la solicitación “M” (fuerzas) y el

módulo resistente “W” (forma de la sección):

En este capítulo “Estática de las fuerzas” se analiza el numerador de

de la expresión, por ejemplo en el caso de una fuerza aplicada en el medio

de una viga simple: M = Pl/4.

En el capítulo que sigue “Estática de las formas” se analiza el deno-

minador del cociente, el “W” que interpreta de manera matemática la jerar-

quía de la forma (sección transversal) de la viga ante el fenómeno de fle-

xión:

Cómo funciona la Estática.

El gráfico es la perspectiva de un entrepiso, que puede ser en su tota-

lidad de madera. Las vigas se componen de tramo (V1) y en voladizo (V2).

Todo el sistema se apoya en las columnas CA y CB.

Es una viga de tramo y voladizo en el extremo derecho. La carga es

transmitida por el entablonado en forma uniforme y distribuida en toda su

longitud. Se conocen las longitudes de cada tramo, así también como la

carga que actúa. Por intuición podemos afirmar que la reacción en el apoyo

B es mayor el A; es el efecto palanca universal. Pero desconocemos el va-

lor de cada reacción. Tenemos una noción cualitativa, pero no cuantitativo.

La estática interpreta a la viga con un esquema simplificado.


La estática es la ciencia que brinda las herramientas para la determi-

nación cuantitativa de esas reacciones ignoradas. en forma práctica y senci-

lla enseña la manera de calcular con precisión las reacciones Ra y Rb que

se materializan en las columnas que sostiene la viga.

No le interesa el origen y generación de las fuerzas; esa tarea es rea-

liza desde el análisis de las cargas. La estática exige que le entreguemos las

cargas de manera precisa; magnitud, sentido, dirección. La mayoría son

gravitatorias de fácil determinación, otras, como vimos más complejas. La

estática es la herramienta que nos entrega las fuerzas que reaccionan para

esa viga se mantenga en equilibrio. Si la entrada de datos a la estática (dis-

tancias y cargas) no son correctas, los resultados serán incorrectos.

Todos poseemos intuición estática. Nuestro cuerpo es una estructura

que puede mantenerse en equilibrio en la medida que nuestros músculos

(tracción) y los huesos (compresión) lo dispongan. También podemos que-

brar el equilibrio de reposo y quietud con las acciones de nuestro sistema

“músculos y huesos”, puntal y tensor, compresión y tracción.

Observar de manera continua el equilibrio o dinámica de nuestro en-

torno, es “pensar en estática”, así se logra una adecuada intuición del pro-

ceder de las fuerzas que luego se las verifica o confirma con la estática.

A la estática se la define como: “el estudio de las condiciones que

deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un sistema para que éste per-

manezca en estado de equilibrio”.

Si revisamos el ejemplo de la viga anterior, el “sistema” es la viga y

las “fuerzas” con las acciones y las reacciones que mantienen la viga en

equilibrio.

Formas de estudio de la Estática.

Puede ser estudiada en forma gráfica o analítica. El gráfico consiste

en resolver los problemas mediante la utilización de dibujos y diagramas

construidos de acuerdo a escalas. Mientras que la resolución analítica se

realiza con la aplicación de fórmulas matemáticas y trigonométricas.

La figura muestra una fuerza “F” inclinada un ángulo α de la hori-

zontal. Deseamos conocer las fuerzas que logren equilibrarla en la direc-

ción “x” e “y” (descomposición de fuerzas).

Resolución gráfica: Trazamos en escala el dibujo y medimos las

equilibrantes Fx y Fy.


Resolución analítica. Aplicamos los conocimientos de la trigo-

nometría: Fx = F.cosα Fy=F.senα

En la realidad el esquema anterior se lo puede interpretar como una

ménsula con tensor “F” y puntal “Fx” con la carga en el extremo “Fy”. Los

datos conocidos son:

a) La resistencia del tensor “F”.

b) El ángulo que forma el tensor con la horizontal (F con Fx).

c) La dirección Fy es horizontal y forma 90º con Fx.

Hace unas décadas atrás, se utilizaba casi en forma exclusiva el mé-

todo gráfico para la resolución de sistemas de fuerzas, dado que la resolu-

ción analítica necesita de cálculos matemáticos largos y complejos. Con la

llegada de las máquinas de calcular mecánicas a principio del siglo pasado,

más tarde con las electrónicas y luego con los ordenadores o computadoras,

las tareas analíticas se hicieron notablemente fáciles. Así desplazan las ma-

niobras gráficas.

A los fines didácticos, es necesario justificar y mostrar todos los

conceptos mediante dibujos. Por ello la parte gráfica de la estática la utili-

zaremos durante todo el estudio como apoyo de la analítica.

Cuerpo rígido y cuerpo elástico.

La estática solo estudia el equilibrio de las fuerzas exteriores (accio-

nes y reacciones), no le interesa lo que sucede dentro de la estructura. Es

una ciencia que hace abstracción de la materia que constituye el sólido cu-

yo equilibrio se estudia. Lo considera rígido e infinitamente resistente.

Esta simplificación, la de considerar los cuerpos rígidos, en algunos

casos es impracticable. Entonces la estática deja de ser útil y debemos bus-

car apoyo en otra ciencia; la “Resistencia de los Materiales” que a diferen-

cia de la estática, le interesa todo lo que sucede en el interior del cuerpo y

analiza sus deformaciones.


Los esquemas superiores ayudan a interpretar mejor la diferencia en-

tre las ciencias “Estática” y “Resistencia de Materiales”. La viga de simple

apoyo es accionada por varias cargas concentradas. La estática analiza solo

los acontecimientos externos: acciones y reacciones.

La figura de la derecha analiza el interior de un trozo de la viga. Nos

metemos dentro de la masa de la viga y la revisamos con la “Resistencia de

los Materiales”; es la ciencia que solo agregando una variable más comple-

ta a la estática. Esa variable es la deformación y su relación con el material

y las fuerzas.

Representación gráfica de las fuerzas.

Las fuerzas quedarán representadas gráficamente mediante cuatro

condiciones:

a) Magnitud: es la intensidad de la fuerza que se define mediante

la longitud de segmento en escala adecuada.

b) Dirección: es la recta indefinida, según la cual apoya la fuerza y

que llamaremos en este caso recta de acción de la fuerza.

c) Sentido: queda establecido por la flecha que indica la orienta-

ción de la fuerza.

d) Punto de aplicación: es el lugar donde se aplica la fuerza.

2. Ley de momentos.

General.

Los entrepisos, las vigas, las columnas, las paredes, las fundaciones,

son elementos, piezas, que componen un edificio. Las cargas los utilizan

para canalizarse y generar en su interior solicitaciones. La posición, forma

y tamaño de esas piezas son variables para la acción de las cargas.

Las cargas pueden ser las mismas, pero los efectos que causan en la

estructura dependen de esas variables. La figura muestra una viga de made-

ra en voladizo y de sección rectangular, una carga adopta diferentes posi-


ciones. Se desplaza hacia el extremo. Desde los esquemas mecánicos teóri-

cos se la representa como el dibujo

que sigue.

Imaginamos una carga F1 que

se desplace sobre la viga. El efecto

que causa es diferente según la posi-

ción. Muy próxima del apoyo, del

empotramiento, es muy pequeña la

flexión que produce. En la longitud

media la carga genera una elástica

pequeña. Luego en el extremo, en la

punta, es el mayor efecto en el des-

censo.

Cuando se acerca la carga al ex-

tremo, la elástica aumenta. Con esta simple observación puedo elaborar

uno de los razonamientos elementales: la importancia de la fuerza F1 se in-

crementa en la medida que su punto de aplicación se aleja. De allí surge la

Ley de Momentos: El momento de una fuerza respecto de un punto, es

el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia que la separa

de ese punto.

Vale ahora una pausa para reflexionar sobre la palabra “momento”.

En el vocabulario vulgar, común, significa tiempo muy corto. Puede ser un

instante, un segundo, un minuto. Pero ahora ya estamos metidos en una

ciencia, ella modifica el significado de la palabra. Ahora “momento” signi-

fica la jerarquía, el grado de una fuerza respecto de un punto.

Así, la fuerza F1, según su ubicación, produce tres momentos dife-

rentes:

En la posición (1): M1 = F1 . d1



En el caso que actúen dos fuerzas F1 y F2 simultáneas sobre la viga,

la resultante en magnitud y posición es R. Con estos conceptos de momen-

to y resultante, puedo extender la Ley de Momentos, una definición más

general:

El momento que produce la resultante de un sistema de fuerzas

respecto de un punto, es igual a la suma de los momentos de las com-

ponentes respecto de ese mismo punto.

En la figura las fuerzas son: F1 y F2, en este caso iguales (F1=F2).

La resultante es R = F1 + F2

El punto de referencia será el del arranque del voladizo; el punto O.

Las distancias: d1 para F1, d2 para F2 y dr para R

Momento que produce la Resultante:

Mr = R.dr


Momento que producen las componentes:

Mc = F1.d1 + F2.d2

La ley de momentos según lo establecido anteriormente resulta:

Mr = Mc

O también: R.dr = F1.d1 + F2.d2

Si damos valores a cada uno de éstos términos y expresiones resuel-

vo numéricamente la cuestión:

F1 = 4,50 kN (450 kg) F2 = 4,50 kN (450 kg)

R = 9,00 kN (900 kg).

d1 = 3,00 metros d2 = 1,00 metros dr = 2,00 metros

Mr = dr . R = 2,00m . 9,00 kN = 18 kNm (1.800 kgm)

Mc = F1.d1 + F2.d2 = 3,00m . 4,50 kN + 1,00m . 4,50 kN = 18 kNm (1.800

kgm)

La Ley de Momentos parece una obviedad. Fácil de interpretarla,

pero posee una amplio campo de aplicación tanto en la Estática como en el

estudio del Equilibrio. La bibliografía que analiza este tema, lo hace más

extenso y sobre bases matemáticas estrictas. No creemos necesario exten-

derlo si el concepto, la noción de la Ley de Momentos fue comprendido.

Galileo.

Este análisis tiene una antigüedad superior a los cuatrocientos años.

Las imágenes que siguen fueron realizadas por Galileo cuando estudiaba el

efecto de las cargas.

La primera es una carga que la representa por un

bloque de piedra que cuelga de un cilindro de már-

mol.

Es la forma que representa el efecto de la tracción, lo

hace con dibujos de la realidad. En esa época el len-

guaje de la matemática, los símbolos de la física y

los gráficos simplistas de la Estática no existían.

También estudia la palanca con una rama que mueve una piedra.

Realiza por primera vez una demostración matemática de la relación de

las tres fuerzas de la palanca (peso, apoyo y acción) con las distancias

que las separa.

Luego comienza con los estudios de las vigas. Lo hace con un voladizo

de madera empotrado en un muro, también le cuelga una piedra.


Aquí estudia una viga en voladizo con una carga concentrada en el ex-

tremo, imaginamos que el ensayo lo hace en los patios de su prisión en

Arcetri. Este sabio es considerado “el padre de la física y de la astro-

nomía moderna”.

La tercera es una viga sin carga puntual, no le cuelga nada; analiza solo

el efecto del peso propio.

En el estudio anterior analiza el efecto de la carga concentrada en el

extremo. Con este nuevo experimento estudia el peso propio de la viga

en la flexión.

Observamos sus dibujos y podemos imaginar la dificultad para ex-

presarse y explicar estos fenómenos físicos. Galileo fue un gran escritor y

mejor dibujante. Sus gráficos muestran siempre objetos reales en perspec-

tiva, este genio estudiaba y ensayaba desde la realidad. Ahora esas vigas se

muestran con una línea recta y la carga de piedra con un vector. Estos aná-

lisis tienen una antigüedad superior a los cuatrocientos años.

Galileo en la época que escribe su último

libro “Discurso sobre dos nuevas ciencias”.


3. Fuerzas concurrentes en el plano.

Composición.

Las fuerzas concurrentes son las que se encuentran e interceptan en

un punto. La más elemental es el sistema de dos fuerzas concurrentes.

Las fuerzas F1 y F2 son conocidas y debemos hallar la fuerza única

(resultante) que pueda sustituirla en la acción.

Resolución gráfica.

Gráficamente podemos resolver la composición mediante el método

del paralelogramo, tal como muestro en la figura superior. Trazamos rectas

paralelas a las fuerzas por los extremos de las mismas. En la intersección

de esas paralelas se encontrará el final de la resultante y su magnitud la ob-

tenemos de medir la recta OR en escala.

Resolución analítica.

Necesitamos posicionar las fuerzas en el plano. Hacemos uso de un

sistema de ejes cartesianos. Una vez colocadas, las proyectamos como

sombras en las dos direcciones. La herramienta para hacerlo es la trigono-

metría.

Sobre el eje horizontal (abscisas) aparecen las F1x y F2x, sobre el eje

vertical (ordenadas) las F1y y F2y. Así logramos ordenar el sistema original

de fuerzas, ahora están proyectadas sobre ejes perpendiculares. Las fuerzas

son concurrentes, pero además forman un ángulo de 90° entre ellas.

F1 se compone de F1x y de F1y.

F2 se compone de F2x y de F2y.

Podemos obtener las resultantes en cada uno de los ejes:

Rx = F1x + F2x Ry = F1y + F2y

tenemos un rectángulo; Rx y Ry son los lados. Para obtener la diago-

nal, en definitiva la resultante final, aplico el teorema de Pitágoras.

√


La inclinación la obtenemos de:

Práctica de visualización:

Resolvemos gráfica y analíticamente una composición de dos fuerzas concurrentes.

Gráficamente:

Los datos:

F1 = 50 kN (5.000 kg) α1= 15°

F2 = 70 kN (7.000 kg) α2= 50°

Analíticamente:

F1x = 50kN.cos15° = 50.0,97 = 48,29 kN (4.829 kg)

F1y = 50kN.sen15° = 50.0,26 = 12,94 kN (1.294 kg)

F2x = 70kN.cos50° = 70.0,64 = 45,00 kN (4.500 kg)

F1y = 70kN.sen50° = 70.0,77 = - 53,62 kN (5362 kg)

Sumando las fuerzas sobre cada uno de los ejes

Rx = F1x + F2x = 48,29 + 45,00 = 93,29 kN (9.329 kg)

Ry = F1y + F2y = 12,94 – 53,62 = 40,68 kN (4.068 kg)

Magnitud de la resultante:

√

√

El ángulo de inclinación de la resultante respecto del eje x:

= 0,44 α = 23,74

La composición de más de dos fuerzas concurren-

tes, requiere una metodología basada en la compo-

sición reiterada de las dos fuerzas. En la figura las

fuerzas concurrentes a un punto son tres: F1, F2 y

F3. Realizamos la composición de F1 con F2 y ob-

tenemos R1. Luego componemos R1 con F3 para

conseguir la resultante final del sistema.


4. Descomposición. En los sistemas reticulados, las fuerzas internas en esas vigas, se en-

cuentran materializadas por las barras (cordones, montantes y diagonales) y

para lograr calcular y dimensionarlas es necesario conocer la magnitud de

cada una de esas fuerzas. Esta solución la realizamos mediante la “des-

composición” de fuerzas. Es la herramienta más útil para resolver vigas re-

ticuladas o trianguladas.

Imaginamos el reticulado de la figura. Es una viga en voladizo ele-

mental. Se compone de dos barras articuladas en sus extremos. Se sostie-

nen desde la rígida pared. La fuerza “P” que cuelga del extremo acciona las

barras creando esfuerzos de tracción y compresión en ellas que debo de-

terminarlos

Resolución gráfica:

La fuerza “P” la descomponemos en las direcciones (1) y (2). Dibu-

jamos en escala la fuerza y trazamos por su extremo una paralela a (2). Por

su origen una paralela a (1).

En escala determinamos las incógnitas

Barra (1): (tracción) = 90 kN (9.000 kg)

Barra (2): (compresión) = 78 kN (7.800 kg)

Resolución analítica:

Al problema lo podemos resolver de manera analítica. Antes hace-

mos un repaso de trigonometría:

tg α = (cateto opuesto) / (cateto adyacente)

sen α = (cateto opuesto) / (hipotenusa)

tg α = P / (2) (2) = P / tg α

sen α = P / (1) (1) = P / sen α

tg α = tg 30º = 0,566 sen α = sen 30º = 0,500

(1): barra (1) = 45 kN / 0,500 = 90 kN = 9.000 kg


(2): barra (2) = 45 kN / 0,577 = 78 kN = 7.800 kg

Valores coincidentes con los determinados de manera gráfica.

5. Fuerzas no concurrentes en el plano.

Composición.

Debemos establecer los parámetros (magnitud, dirección, sentido y

ubicación) que definen la resultante del sistema de fuerzas F1, F2, F3 y F4

de la figura. Otra vez utilizaremos los métodos gráficos y analíticos.

Composición gráfica.

Usamos el método del Polígono de Fuerzas y del Polígono Funicu-

lar. Se dibujan las fuerzas de tal manera que el extremo de una resulte el

origen de la siguiente, en forma secuencial.

Magnitud, dirección y sentido:

Uno el origen de F1 con el extremo de F4. Obtengo la resultante R

en escala. Además la dirección y el sentido.

Ubicación:

Es algo más complejo encontrar donde se ubica la resultante dentro

de conjunto de fuerzas. Ahora usaremos el Polígono Funicular. Ubicamos

un punto cualquiera “O”, próximo al Polígono de Fuerzas y descompone-

mos cada una de las fuerzas en dos direcciones.

Hay una particularidad: las componentes internas del Funicular se

superponen, coinciden, pero de sentido contrario y se anulan. En definitiva

quedan solo el primer y último rayo.

Así procedo para la descomposición:

F1: en las direcciones (rayos) I y II.

F2: en las direcciones (rayos) II y III.

F3: en las direcciones (rayos) III y IV.


F4: en las direcciones (rayos) IV y V.

Si observamos la figura, las nuevas fuerzas, II, III y IV, se anulan

entre si. Permanecen solo la I y la V. La primera y la última, que ahora son

las nuevas componentes de la resultante.

Posición de la Resultante.

Dibujado el Polígono Funicular con sus “rayos” y la Resultante, pro-

cedo a establecer su ubicación dentro del conjunto de las fuerzas menores.

Dibujamos una paralela al I y en el punto donde corta a la dirección de F1

trazo la paralela a II. Donde ésta corta a la F2, trazo la paralela a III y así

sigo. Hasta el último rayo que en mi caso es el V.

Como dije, los únicos “rayos” que permanecen sin anularse son el

primero (I) y el último (V). Entonces prolongo las direcciones de estas rec-

tas, donde se cortan, en ese punto pasa la Resultante del sistema de fuerzas

original.

La explicación y enseñanza del Polígono de Fuerzas y del Polígono

Funicular, es tediosa y larga. Además, en la vida real, en especial en los

edificios, son muy raras las ocasiones donde las fuerzas que actúan tienen

tan diferentes direcciones y sentidos. Porque las fuerzas primarias que do-

minan en la tierra son las de gravedad: verticales y paralelas. Pero hay ca-

sos muy especiales esta herramienta es la más eficiente para resolverlos.

El método es realmente admirable y simple. Desconocemos su ori-

gen, menos aún el hombre, el genio que lo descubre. Creemos que estas

maniobras geométricas fueron creciendo a lo largo de los siglos, de los mi-

lenios.

Composición analítica.

A todas las fuerzas que integran el conjunto las referimos a un solo

sistema de ejes cartesianos (x, y). Una vez proyectadas sobre los mismos

logramos tener ordenadas a todas las fuerzas solo en dos direcciones nor-

males. Hacemos la sumatoria en cada uno de los ejes; así conocemos las

Rx y Ry.

Aplicamos Pitágoras para establecer la magnitud y tangente para co-

nocer la inclinación y por fin usamos la ley de momentos para conocer su

ubicación. Cuestiones que ya las analizamos en puntos anteriores.

Visualización práctica.

En los soportes múltiples de tensores para antena pueden presentarse

varias fuerzas de acción, materializadas por los tensores que llegan y otras

fuerzas reactivas por la manera que el suelo reacciona. Las regiones en

sombra son los triángulos teóricos reactivos del suelo, las “R” son las re-

sultantes de cada uno de los diagramas. Todas las fuerzas de acción y reac-

ción actúan en un mismo plano.


Descomposición de una fuerza en dos direcciones.

Analizamos la descomposición de una fuerza F1, en dos direcciones

no concurrentes “a” y “b”. En este caso el punto de intersección de estas

direcciones se encuentra fuera de los límites del dibujo.

Descomposición gráfica.

Trasladamos las paralelas de las direcciones a los extremos de F1 y

obtenemos las magnitudes y sentidos de Fa y Fb.

Descomposición de una fuerza en tres direcciones.

Para esta situación utilizamos una recta auxiliar. La fuerza a des-

componer es F1 en las direcciones (a), (b) y (c). El procedimiento es el que

sigue:

Fuerza a descomponer: F1.

Direcciones dadas: “a”, “b” y “c”.

Recta auxiliar: “z”.

1. Descomponemos la fuerza F1, en una de las direcciones

dadas y en otra dirección auxiliar “z”, que está dada por

la recta que une los puntos A y B.

2. Luego descomponemos la fuerza “z”, en las direcciones

restantes, (b) y (c).

Si las tres direcciones fueran concurrentes en un punto, no sería po-

sible la descomposición por cuanto la dirección auxiliar coincidiría con una

de las direcciones dadas (en nuestro caso con la dirección “b”). Es por esto

que la descomposición de una fuerza en tres direcciones concurrentes re-

sulta indeterminada.


6. Fuerzas paralelas. El tema que iniciamos ahora trata la composición y descomposición

de fuerzas paralelas que resulta el sistema más común en las estructuras de

los edificios.

Composición fuerzas paralelas.

La fuerza de gravitatoria es la más frecuente de las producidas en las

cargas de los edificios; tiene una dirección definida, es vertical. Las cargas

por peso propio, las sobrecargas y algunas acciones variables poseen todas

las mismas direcciones, la vertical y por tal razón son paralelas.

Las columnas de un edificio tienen direcciones paralelas y verticales;

fueron construidas para resistir las gravitatorias. Distinguimos los sistemas

según posean ejes de simetría, tanto de carga como de forma.

Sistema simétrico.

Con simetrías de fuerzas y de formas, obtenemos la resultante y las

reacciones de manera inmediata, es intuitivo. Todo debe seguir siendo pro-

porcionado a la simetría original.

Imaginamos la viga principal de un entrepiso que soporta las vigas

secundarias (clavadoras). En la parte superior dibujamos la realidad, con

los espesores de cada una de las piezas. En parte inferior el esquema utili-

zado por la Estática, la viga se la representa mediante una recta y las cargas

de las vigas secundarias mediante vectores. La resultante queda definida

por:

La ubicación: en el eje de simetría.

La dirección: paralela al resto de las fuerzas.

El sentido: igual a las otras fuerzas.

La magnitud la suma de todas las fuerzas.

Mientras que las reacciones se definen por:

La ubicación: en cada uno de los apoyos, columnas.

La dirección: paralela al resto de las fuerzas.

El sentido: contrario a todas las fuerzas.

La magnitud: la mitad de la resultante.


Sistema asimétrico.

En caso de asimetría, la resolución puede realizarse mediante méto-

dos gráficos o analíticos.

F1, F2, F3: Fuerzas actuantes.

R: Resultante.

d1, d2, d3: distancia de las fuerzas al eje.

dr: distancia de la resultante al eje.

Los parámetros a resolver son: dirección, sentido, magnitud y ubica-

ción de la resultante.

Método gráfico.

La resolución gráfica es similar a la estudiada anteriormente, con la

diferencia que el Polígono de Fuerzas aquí es rectilíneo y todas las fuerzas

se encuentran sobre la misma vertical.

Lo explicamos dando valores a las fuerzas:

F1 = + 8,0 kN F2 = + 2,0 kN F3 = - 3,5 kN

d1 = 4,40 metros d2 = 3,10 metros d3 = 2,10 metros.

El gráfico de la izquierda el Polígono de Fuerzas; obtenemos la

magnitud de la resultante. El de la izquierda es el Polígono Funicular y

ubicamos la posición de la Resultante en el sistema.

Método analítico.

El ejemplo siguiente es de una viga que apoya sobre paredes, nos in-

teresa conocer la resultante y las reacciones.

Determinamos el valor de la resultante:

R = - F1 - F2 + F3

R = 8,00 + 2,00 – 3,50 = 6,5 kN = 650 kg

Luego aplicamos la ley de momentos.

R.dr = F1.d1 + F2.d2 – F3.d3

Signos: la regla de los signos es arbitraria. En este escrito establecemos que las

fuerzas que se dirigen hacia arriba son positivas, mientras que las de sentido con-


trario son negativas. En cuanto al giro que producen: el momento de la fuerza; si

giran según las agujas del reloj: positivas. Caso contrario, negativo.

Posición y sentido.

dr = (8,00 . 4 + 2,00 . 3 – 3,50 . 2,1) / 6,5 = 5,24 metros.

En el dibujo representamos a la viga: está colgada por los tensores de apoyo F1 y F2

y las cargas actuantes hacia abajo son la R y la F3.

Descomposición fuerzas paralelas.

Necesitamos descomponer una fuerza “F” en dos o más direcciones.

En el caso de dos direcciones la situación está representada por una fuerza

que actúa sobre una viga de apoyo simple. El problema es determinar la

magnitud de las reacciones Ra y Rb en los apoyos.

Datos.

Los datos son:

F = 95 kN da = 3,50 metros db = 5,00 metros

Método gráfico.

Trazamos una recta horizontal de referencia que corte a F.

A derecha de la dirección “b” prolongamos en escala la distancia

“da” (3,50 metros) y a la izquierda de la “a”, la distancia “db” (5,00 me-

tros). Unimos estos puntos con los extremos de F.

Las nuevas rectas cortan a las direcciones en los puntos “c” y “d” y

en los “e” y “f”. Midiendo en escala dichos segmentos obtenemos las mag-

nitudes de Fa y Fb.


Método analítico.

En este caso una fuerza F debemos descomponerla en dos direccio-

nes. Otra vez aplicamos la ley de momentos.

Los datos son las distancias (ubicación) y la magnitud de F: aplica-

mos ley de momentos desde el punto 1 por donde pasaría Fb:

F.db = Fa (da + db) Fa = F.db / (da +db)

Conocida Fa, resuelvo Fb:

Fb = F – Fa

Fa = 95 . 5,00 / 8,5 = 55,88 kN = 5.588 kg

Fb = 95,00 – 55,88 = 39,12 kN = 3.912 kg

7. Cuplas o par de fuerzas. Dos fuerzas paralelas de igual intensidad y de sentido contrario,

constituyen un sistema especial de fuerzas denominado par de fuerzas o

cuplas. La resultante de éstas fuerzas es nula, pero producen un giro cuyo

efecto se lo denomina “momento de cupla”.

F1 = - F2

Momento de la cupla:

Mc = F1. z = F2. z

Es positivo por producir un giro según rotación horaria.

Cuplas de la naturaleza.

Este par de fuerzas tan simple, es universal. Está presente en todas

las vigas. En las hojas, en las ramas, en los troncos, todos en voladizos

construidos por la naturaleza. En flexión por la gravitatoria o por los vien-

tos. También se encuentra en cada elemento a flexión construido por el

hombre. Diríamos que la estructura soporte de un gran edificio, todas sus

partes, de alguna y otra manera contienen cuplas. También la esbelta co-


lumna frente a la inevitable excentricidad de la carga (posición descentra-

da).

El hueso con el músculo. La cupla de hueso

en compresión y músculos en traccón.

El tronco del árbol circular, para equilibrar

las fuerzas externas del viento: fibras en tracción a

barlovento y compresión a sotavento. Recordemos

que además el tronco sostiene el peso propio del

árbol.

La extensa hoja del banano en voladizo. Las

finas fibras superiores en tracción y la masa infe-

rior a compresión.

Siempre fuerzas paralelas tienen sentido contrario. De compresión y

tracción. Cuando estas fuerzas son casi constantes, la naturaleza modifica

las características de las fibras de tracción respecto a las de compresión.

Cuplas de las ciencias de la construcción.

En las piezas construidas por el hombre se forman las cuplas según

el diseño estructural. En las piezas de material macizo y homogéneo como

las vigas de madera o de perfiles de acero las cuplas se forman según los

esquemas de las figuras.

Las vigas ejecutadas con perfiles me-

tálicos tipo IPN (doble T) las fuerzas de la

cupla se ubican donde hay mayor masa: en

las secciones superiores e inferiores.

En las vigas reticuladas, el cordón su-

perior en compresión y el inferior a tracción,

los montantes y diagonales tendrá uno u otro

esfurzo, según la disposición geométrica.

En la viga maciza de madera, surgen

los volúmenes de tensiones que forman

imaginarios prismas en su interior, de esa

manera se genera la

cupla interna.

En las vigas de hormigón armado los volúme-

nes de tensiones se distribuyen de acuerdo a la forma

de la sección transversal y la ubicación de las barras.

Mostramos dos vigas de hormigón armado, una de

sección rectangular y la otra de tipo placa donde la lo-

sa, el entrepiso, también de hormigón colabora en la

cupla de compresión.


Momento externo y cupla interna.

La Estática posee capítulos enteros que tratan de la traslación, com-

posición y descomposición de cuplas. Tratamos de mostrar el funciona-

miento de las cuplas y su aplicación en los elementos estructurales a fin

despertar la intuición frente a los fenómenos que se crean en el interior de

las vigas.

Supongamos una viga que se apoya sobre dos columnas. Soporta

cargas concentradas.

Posee simetría de cargas y de formas. Los máximos esfuerzos suce-

den en longitud media (l/2). Suponemos la viga de madera y de sección

rectangular. En su interior se conforman estados tensionales creando en su

conjunto una cupla resistente.

C: Esfuerzo resultante de la sumatoria de todas las fuerzas de compresión

que actúan por unidad de área (tensiones).

T: Esfuerzo resultante de la sumatoria de las fuerzas de tracción.

Z: Distancia que separa las fuerzas. También denominado “brazo elástico”.

Acción externa:

Cortamos la viga en el centro de su longitud. La parte izquierda: las

fuerzas F (acciones) y la R (reacciones), son las externas que producen fle-

xión. En su interior la viga responde con la más simple y elemental con-

formación de fuerzas: la cupla C.z = T.z.

Momento externo: Me = R . (l/2) – F . l1

Cupla interna: Mi = C.z = T.z

Para el equilibrio: Me = Mi. Cuando analice el capítulo de equilibrio,

nos detendremos en el estudio detallado de este fenómeno: acciones exter-

nas y esfuerzos internos.

Libro: Capítulo cuatro (2) - Estática de fuerzas...

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