Cálculo de Predicados

Fundamentos

Inteligencia ArtificialLuis Villaseñor Pineda

Algunas características deseables

Verificabilidad La representación debe permitirnos determinar el valor de verdad

de lo representado Evitar la ambigüedad

No hay manera de encontrar una interpretación alterna Cuidado: la vaguedad no es ambigüedad

Quiero comer comida china

Forma canónica Nos ayude a evitar expresar el mismo contenido de diferentes

maneras

Representando el conocimiento

El lenguaje es el instrumento ideal pero su uso es imposible (?) por medios automáticos

Estudiaremos otra representación y buscaremos los medios para ir del conocimiento “real” a esta nueva representación Dado que el conocimiento “real” es fácilmente expresado por el

lenguaje ¿porqué no retomar las nociones de su estructura ? Así que esta transformación la veremos como una traducción del

contenido del lenguaje (su contenido semántico) a otra representación

Llevando del lenguaje a CP

Básicamente nos apoyaremos en la estructura Predicado-Argumento Capturan las relaciones de los conceptos subyacentes de los

constituyentes de una oración Se dice algo de alguien

Ejemplos de esta estructura Oración declarativa Determinadores Preposiciones

Ejercicio

restringe verbo sus un argumentos

Ejercicio

restringe verbo sus un argumentos

¿Cuáles son los argumentos? ¿Cuál es la relación existente entre ellos?

Ejercicio

restringe verbo sus un argumentos

¿Cuáles son los argumentos? ¿Cuál es la relación existente entre ellos?

Sin embargo, no se trata de una transferencia directa es sólo una sugerencia depende de nuestro objetivo final

Cálculo de Predicados

Cálculo de predicados de primer orden Flexible Bien entendido Computacionalmente tratable Satisface muchos de los requerimientos que vimos Su principal atractivo: facilidad de representar el mundo

El mundo consiste de objetos, propiedades de los objetos y relaciones entre objetos

Fundamentos

Término: el elemento más básico Constantes – los objetos de nuestro dominio

Cachivache Predicados – las relaciones o propiedades de los objetos

quiere(Luis, Cachivache) Funciones – mapean de objetos a objetos

casa-de(Luis) Variables

Predicados Fórmula Atómica: predicados simples Fórmula: predicados o predicados complejos

Términos

Constantes: objetos específicos del mundo (letras mayúsculas o palabras en mayúsculas) El mismo concepto que en un lenguaje de programación Pedro - Puebla

Funciones: conceptos expresados por su descripción Convenientes para cuando tenemos muchos objetos nombrados y

todos ellos con un concepto asociado común La casa de Pedro - LaCasaDe(Pedro) CUIDADO: tienen la apariencia de predicados pero son Términos

se refieren a objetos únicos

Términos

Variables: mecanismo para referirse a objetos del mundo (usaremos las letras minúsculas) Con ellas podemos realizar afirmaciones y realizar inferencias

sobre objetos sin tener una referencia a un objeto en particular

Predicados

Es el mecanismo para establecer relaciones entre objetos

Son símbolos que se refieren a relaciones que se presentan sobre un número fijo de objetos en un dominio dado. Tengo cinco pesos

O propiedades de un objeto La luna es un satélite

Antes de seguir recordemos

Un predicado siempre tiene un valor de verdad ¿Estas expresiones tienen un valor de verdad?

La casa de Manuel La casa de Manuel está hasta el quito infierno El perro de mi amigo

La Zanahoria es un restaurante vegetariano La Zanahoria es un buen restaurante vegetariano

Más ejemplos

Este lugar es un paraíso Todos los perros me muerden

Está lloviendo a cántaros en Puebla Mañana lloverá a cántaros en Puebla

Ejemplos ¿?

quiere(Luis, mascota-de(Luis)) quiere(Luis, mascota-de(Luis)) Y

quiere(Luis, auto-de(Pedro))

quiere((Luis, mascota-de(Luis) Y auto-de(Aurelio))

Regresando

Los predicados se pueden asociar a través de conectores lógicos y calificar sus términos a través de cuantificadores Un predicado sin conectores ni cuantificadores es llamado

fórmula atómica

Semántica de FOPC

¿Cómo determinamos el valor de verdad de una fórmula lógica?

Consideremos un enfoque de “base de datos” para determinar el valor de verdad Las fórmulas atómicas serán consideradas verdaderas si éstas

están presentes en la base de conocimiento o pueden inferirse de otras fórmulas que están presentes en la base de conocimientos

Las interpretaciones de las fórmulas con conectores se basan en el significado de sus componentes y el significado de los conectores.

Variables y cuantificadores

Variables nos sirven para: Referirse particularmente a un objeto anónimo Referirse genéricamente a todos los objetos en la colección

Cuantificadores Existencial – debe haber al menos una substitución que resulte en

una interpretación verdadera Universal – debe ser verdadera bajo cualquier substitución posible

Ejemplos

Todo restaurante vegetariano sirve comida vegetariana x RestauranteVegetariano(x) Sirve(x,ComidaVegetariana)

La Zanahoria es un restaurante vegetariano RestauranteVegetariano(Zanahoria)

Ejemplos ¿?

En que difieren estos dos ejemplos: x Restaurante(x) Sirve(x,ComidaVegetariana) x Restaurante(x) Sirve(x,ComidaVegetariana)

f. (gato(f) gusta(Luis, f) ) Cuidado:

gusta( Luis, f.gato(f) )

Inferencia

Conjunto de reglas que nos permiten llegar a concluir el valor de verdad de un predicado en función de otros

Regla modus ponens

Ejemplo

Dado estos axiomas

Concluir:

Ejemplo

Forward chaining

Cada vez que agregamos un predicado a nuestra base de conocimientos, usamos modus ponens para disparar todas las reglas asociadas. Al disparar las reglas el nuevo conocimiento generado es añadido

a nuestra base de conocimientos Este proceso continua de forma exhaustiva

Siempre contamos con todo el conocimiento derivado

Backward chaining

Funciona a la inversa, en este caso tenemos un query que deseamos probar Primero revisamos si se encuentra en la base de conocimientos Si no es el caso, buscamos por reglas de implicación presentes

en la base de conocimientos que involucren el query como consecuente

Probaremos el consecuente si podemos probar el antecedente

Demostración

Lo que acabamos de hacer es una demostración

A partir de un conjunto de premisas concluimos un nuevo predicado con ayuda de una regla de inferencia

Fórmula bien formadas

Objetos (A)

Variables (x)Términos

Predicados (Vuela) Formulas atómicas

(Vuela (x))

Formulas atómicas

Negación () Literales

Conectivos (,,,)

Cuantificadores (,)

Formulas bien formadas

x(Vuela(x) Pájaro(x))

Demostración

Una secuencia de FBFs {w1,w2,…,wn} se

denomina demostración de wn a partir de un

conjunto de premisas (FBFs) sii cada wi de la

secuencia pertenece a las premisas, o puede ser

inferida utilizando las reglas de inferencia.

Reglas de inferencia

Reglas de inferencia (de remplazo)

Resolución

En particular es de interés para IA una regla de inferencia llamada Resolución

Dado que B no puede ser tanto verdadera como falsa, el valor de verdad recae sobre las otras premisas o podemos verla como la transitividad de la implicación

La regla de Resolución

De forma más general tenemos Donde dj = ai

Usando resolución

Para utilizar resolución

Es necesario dejar las formulas en una forma normal

O en un forma más estricta, una cláusula de Horn

Ejemplo

Si la casa de Juan es grande entonces es mucho trabajo mantenerla, a menos que tenga servicio de limpieza y no tenga jardín.grande(H) y casa(H,J) muchotrabajo(H) o ( servico(H,A) y no( jardín(H)) )

no( grande(H) y casa (H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) y no( jardín(H))no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) y no( jardín(H))[no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) ] y [no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o no( jardín(H)) ][no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) ] [no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o no( jardín(H)) ]no ( grande(H) y casa(H,J) ) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) no( (grande(H) y casa(H,J) y jardín(H) ) o muchostrabajo(H)grande(H) y casa(H,J) (muchostrabajo(H) o servicio(H,A))grande(H) y casa(H,J) y jardín(H) muchostrabajo(H)

Unificación

¿Qué hacer con las variables? Necesitamos un mecanismo de substitución,

si tenemos variables debemos tener un modo de asociarlas a individuos

Para ello tendremos una lista de ataduras Una lista de ataduras es un conjunto de entradas s de la forma

v=e donde v es una variable y e es un objeto en nuestro dominio. Mascota(X, luis) | s == Mascota(barril, luis) donde s ={X=barril}

Unificación

Dadas dos expresiones p y q, un unificador de p y q es una lista de ataduras s tal que p|s = q|s P(X,c) - Q(z,V) ¿Cuál es su unificador?

Si s1 y s2 son dos listas de ataduras, s1 es más general que s2 si para cada expresión p, p|s2 es una instancia de p|s1

f(X) s2={X=2} s1={X=Y} f(X) s1={X=f(G)} s2={X=f(2)} c(H,X) s1={H=3, X=f(G)} s2={X=f(2)}

La unificación es el proceso de búsqueda del unificador más general para p y q.

Para calcular el mgu “most general unifier” para dos expresiones p y q:

Si p o q son ya sea un objeto constante o una variable, entonces: Si p=q, p y q unifican y podemos regresar {}. Si alguna de las dos, p o q es una variable, regresamos el resultado de atar esa variable

a la otra expresión. Si p es diferente de q, p y q no unifican, regresamos fracaso.

Si ni p ni q son objetos constantes o variables, entonces deben estar compuestos de expresiones de algún tipo –conjunciones, disyunciones, expresiones relacionales o funcionales. En ese caso, el tipo de la expresión debe ser el mismo y deben ser de la misma aridad, en caso contrario regresar fracaso. Para cada argumento p1...pn y q1...qn, Sea s={} Invoque el algoritmo recursivamente para encontrar el mgu de pi|s y qi|s. Añada las

nuevas ataduras a s añadiendo el nuevo mgu calculado a s, repita para cada argumento i. Si fallamos al unificar pi|s y qi|s fracaso.

Ejemplos

Dé el mgu para p y q p == X q == juan p ==X q == casa_de(Juan) p == gusta(X,chocolate) q == gusta(pepe, Y) p == f(x,y) q == f(y,a)

Resolución c/unificación Donde ai y dj unifican con el mgu

Resolución con UnificaciónProposición Ataduras

1 work(X) F Query negado

2 big(H5) ٨ house(H5, P5) work(H5)

3 big(H5) ٨ house(H5, P5) F Resolve 1,2 X = H5

4 T house(house_of(P3), P3)

5 big(house_of(P3)) F Resolve 3,4 H5 = house_of(P3), P5 = P3

6 house(H4,P4) ٨ rich(P4) big(H4)

7 house(house_of(P3),P4) ٨ rich(P4) F Resolve 5,6 H4= house_of(P3)

8 rich(P3) F Resolve 7,4 P4 = P3

9 lawyer(P2) rich(P2)

10 lawyer(P3) F Resolve 8, 9 P2=P3

11 T lawyer(Juan)

12 T F Resolve 10, 11 P3=Juan

Para la forma normal con variables