1

A- CÁLCULO PROPOSICIONAL A.1. Proposiciones y valores de verdad A.1.1 Sin pretender dar una definición, una proposición es toda expresión ( o más generalmente, toda sucesión de palabras que tenga significado) a las que se les pueda atribuir un valor de verdad. Los valores de verdad posibles son : verdadero, V, o falso , F . Las proposiciones las designaremos con letras minúsculas : p , q , r , s , etc. Notación : ( )p = V (valor de verdad de p, verdadero) o ( )p = F (valor de verdad de p , falso) A.1.2 Ejemplos : Son proposiciones : p : El perro es un crustáceo q : La Tierra es un planeta del Sistema Solar u : 31 es un número primo s : El otoño precede al invierno t : Hay

101010 2 estrellas en el universo r : 102 es un número impar w : Los grupos abelianos son finitos ( )p = ( )r = F ; ( )q = ( )u = ( )s = V Desconocemos si ( )t = V o ( )t = F , pero ello no significa que no tenga un valor de verdad. Muchas personas pueden desconocer ( )w , y muchas pueden no saber siquiera qué significa esa afirmación, pero ese desconocimiento no impide que ( )w = F No son proposiciones :

- x + 2 es múltiplo de 5 - ¿qué hora es? - ¡ qué bello día ! - tu cuando mesa ser - 16 - dos cuadrados y un triángulo

Hay una diferencia entre la primera y las demás expresiones, ninguna tienen un valor de verdad, pero si en la primera le doy valores a x puedo obtener una proposición, que podrá ser verdadera o falsa; por ejemplo , para x = 3 es verdadera, para x = 4 es falsa. Estas expresiones se denominan esquemas proposicionales , y volveremos a ellas más adelante.

2

A.2 Conectivos lógicos Los conectivos lógicos son las operaciones entre proposiciones. Así como la suma de números enteros es un número entero, el producto de dos números reales da otro número real, con los distintos conectivos lógicos, a partir de dos proposiciones ( en cierto caso, de una ) obtenemos una nueva proposición . Para definir cada operación debemos determinar cuál es el valor de verdad de la proposición obtenida, a partir de los respectivos valores de verdad de las proposiciones que intervienen en la operación, por ello las definiremos mediante las tablas de verdad . Los conectivos lógicas son : conjunción , disyunción , negación , condicional . Todas ellas, excepto la negación, son operaciones binarias , porque a partir de dos proposiciones se obtiene una nueva proposición. A.2.1 Conjunción o producto lógico A.2.1.1 Definición : Se llama conjunción o producto lógico de p y q , y se simboliza p q ( se lee p y q ), a la proposición obtenida a partir de p y de q que toma el valor de verdad verdadero si y sólo si los valores de verdad de ambas son verdaderos. Esto se sintetiza en la siguiente tabla de verdad : La “ tabla de verdad ” expresa que, para que p q sea verdadera es necesario y suficiente que ambas, p y q , lo sean. Veremos algunos ejemplos que nos muestran que esta definición se corresponde con la idea que tenemos de la conjunción “y” en nuestro lenguaje corriente. A.2.1.2 Ejemplos : p : 3 divide a 15 q : 6 divide a 15 r : 5 divide a 15 s : 10 divide a 15 Claramente ( )p = ( )r = V ; ( )q = ( )s = F p q : 3 divide a 15 y 6 divide a 15 ( o lo que es equivalente: 3 y 6 dividen a 15) p r : 3 y 5 dividen a 15 p s : 3 y 10 dividen a 15 s q : 10 y 6 dividen a 15 En estos ejemplos vemos que la única verdadera es p r , donde p y r son verdaderas : ( )p r = V ; ( )p q = ( )p s = ( )s q = F

p q p q V V V V F F F V F F F F

3

A.2.2 Disyunción o suma lógica A.2.2.1 Definición : Se llama disyunción o suma lógica de p y de q , y se simboliza p q ( se lee p o q ), a la proposición obtenida a partir de p y q que toma el valor de verdad falso si y sólo si los valores de verdad de ambas son falsos. Esto se sintetiza en la siguiente tabla de verdad : La “ tabla de verdad ” expresa que, para que p q sea falsa es necesario y suficiente que ambas, p y q , sean falsas. Veremos en los ejemplos de A.2.1.2 que esta definición se corresponde con la idea que tenemos de la disyunción “o” en nuestro lenguaje corriente. p q : 3 divide a 15 o 6 divide a 15 ( o equivalentemente : 3 o 6 dividen a 15 ) p r : 3 o 5 dividen a 15 p s : 3 o 10 dividen a 15 s q : 10 o 6 dividen a 15 En estos ejemplos vemos que la única proposición falsa es s q , en la cual s y q son falsas : ( )p r = ( )p q = ( )p s = V ; ( )s q = F A.2.3 Negación A.2.3.1 Definición : La negación de una proposición p , como la palabra lo indica, es su proposición contraria u opuesta, en el sentido de su valor de verdad. La negación de p, que llamaremos no p , la simbolizaremos p . La tabla de verdad correspondiente a p es la siguiente : A.2.3.2 Ejemplos : Para las proposiciones definidas en A.2.1.2 p : 3 no divide a 15 q : 6 no divide a 15

p q p q V V V V F V F V V F F F

p p V F F V

4

r : 5 no divide a 15 s : 10 no divide a 15 ( )q = ( )s = V ; ( )p = ( )r = F A.2.4 Condicional A.2.4.1 Definición : El condicional es una operación que conecta dos proposiciones mediante las palabras : Si …entonces…. Simbolizaremos el condicional entre p y q de la siguiente forma : p q , y lo leeremos si p entonces q . Definiremos el condicional mediante la siguiente tabla de verdad : De acuerdo con lo que expresado por la tabla de verdad, un condicional p q es falso si y sólo si p es verdadera y q falsa. p se denomina el antecedente y q el consecuente de la proposición p q La idea intuitiva que representa el condicional es que de una proposición verdadera no podemos concluir una falsa, si queremos que éste sea verdadero, mientras que si el antecedente es falso, el consecuente puede ser verdadero o falso y el condicional seguirá siendo verdadero. A.2.4.2 Ejemplos : p : hoy llueve q : hoy voy al cine p q : si hoy llueve entonces hoy voy al cine Obsérvese que si “hoy llueve y voy al cine” , la proposición p q es verdadera; si “hoy llueve y no voy al cine” , la afirmación p q resulta falsa ; en cambio, si “hoy no llueve, yo puedo ir al cine o no” , y en cualquier caso no varía la veracidad de p q , porque el condicional dice lo que haré en el caso en que llueva, pero no dice nada para el caso en que no llueva. A.3 Fórmulas proposicionales Al igual que ocurre en el Álgebra, a partir de dos proposiciones, y un conectivo lógico

p q p q V V V V F F F V V F F V

5

( o de uno, si el conectivo es la negación) obtenemos una nueva proposición, y por tanto, a ésta y otra proposición, podemos aplicarle un conectivo obteniendo así otra diferente, y así sucesivamente, la cantidad de veces que queramos, obteniendo así una fórmula lógica o proposicional, que es la versión lógica de la expresión algebraica . Simbolizaremos las fórmulas lógicas con las letras A , B , C ,D , etc. A.3.1 Bicondicional La primera de las fórmulas proposicionales que daremos es el bicondicional , que es la conjunción de dos condicionales contrarios. A la fórmula : ( p q ) ( q p ) la llamamos el bicondicional y la notamos: p q Veamos cómo es la tabla de verdad del bicondicional. Por lo tanto el bicondicional es verdadero si y sólo si p y q , ambas son verdaderas, o ambas falsas. A.3.2 Ejemplos : Son fórmulas proposicionales A : [ p ( q r )] B : p ( p) C : p ( p) D : (p q ) ( t) A.3.3 Definición : Dos fórmulas A y B se dicen lógicamente equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad, o sea, para cada uno de los posibles valores de verdad de sus componentes primarias, los valores de verdad de ambas fórmulas coinciden. Cuando A y B sean lógicamente equivalentes lo notaremos: A B A.3.3.1 Ejemplos : 1) ( p) p Vamos a demostrarlo

p q p q q p ( p q ) ( q p ) p q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

p p ( p)

V F V

F V F

6

Nótese que p y ( p) son ambas verdaderas o ambas falsas para cada valor de verdad de p. 2) ( p q ) ( p) ( q) Haremos las tablas de verdad para demostrarla. Vemos que las dos últimas columnas coinciden , luego las dos fórmulas son equivalentes. 3) ( p q ) ( p) ( q) Comprobémoslo con las tablas de verdad Vemos que las dos últimas columnas coinciden , luego las dos fórmulas son equivalentes. 4) p q ( p) q

p q p q p p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

Las columnas 3 y 5 coinciden, luego son equivalentes.

p q p q p q (p q) ( p) ( q) V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V

p q p q p q (p q) ( p) ( q) V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V

7

5) ( q p p ) p q La demostración de esta equivalencia se deja como ejercicio. A.3.3.2 Leyes de De Morgan En los ejemplos 2) y 3) hemos demostrado las Leyes de De Morgan : ( p q ) ( p) ( q) y ( p q ) ( p) ( q) A.3.3.3 Generalización las Leyes de De Morgan 1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n np p p p p p p p 1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n np p p p p p p p A.3.3.4 Ejemplo : ¿A qué fórmula será equivalente ( p q ) ? por lo visto en A.3.3.1, ejemplo 4) p q ( p) q entonces ( p q ) [( p) q ] Por las Leyes de De Morgan, [( p) q ] [ ( p) ] ( q) Por A.3.3.1, ejemplo 1) ( p ) p Luego [ ( p) ] ( q) p ( q) Entonces ( p q ) p ( q) Verifiquémoslo con las tablas de verdad

p q p q ( p q ) q p ( q) V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F

Vemos que las columnas 4 y 6 coinciden, luego las fórmulas son equivalentes. A.4 Tautología y Contradicción A.4.1 Definición : Una Tautología es una fórmula proposicional que toma el valor de verdad verdadero para todos los valores de verdad de sus componentes primarias, y una Contradicción es una fórmula que toma el valor de verdad falso para todos los valores de verdad de sus componentes primarias.

8

A.4.2 Ejemplos : 1) p ( p) es una Tautología Haremos la tabla de verdad para demostrarlo

p p p ( p) V F V F V V

2) p ( p) es una Contradicción Haremos la tabla de verdad para demostrarlo

p p p ( p) V F F F V F

A.4.3 Ejercicios : 1 ) Demostrar que las siguientes fórmulas proposicionales son tautologías: i. A : ( p q ) ( p) ( q) ii. B : ( p q ) ( p) ( q) 2) Demostrar que, en general, si A y B son fórmulas equivalentes, o sea , si A B entonces AB es una tautología 3) Demostrar que A es tautología si y sólo si A es contradicción A.5 Deducciones lógicas Observemos que en la tabla de verdad del condicional

p q p q V V V V F F F V V F F V

9

Hay una única fila en la que ( )p = ( )p q = V , y es aquélla en la que ( )q = V ; luego podemos afirmar que si ( )p = ( )p q = V entonces ( )q = V .

Esta situación se expresa diciendo que q se deduce lógicamente de p y de p q , y se simboliza : p q , p q , y se lee p q y p implican q A.5.1 Definición : Sean A , B , C fórmulas proposicionales. Diremos que C se deduce lógicamente de A y de B si cada vez que (A ) = (B ) = V entonces (C) = V . Simbolizaremos este hecho con : A , B C En general , si A1 , A2 , A3 , …, An , C son fórmulas proposicionales, diremos que C se deduce lógicamente de las A1 , A2 , A3 , …, An si cada vez que (A1 ) = (A2) = = (A3 ) =…= (An ) = V entonces (C ) =V . Lo simbolizaremos : A1 , A2 , A3 , …, An C A.5.2 Ejemplo : p q , p q Observemos la tabla de verdad Veamos que cuando ( )p ( )p q V también ( )q V A.5.3 Si bien notamos que la confección de una tabla de verdad para verificar una inferencia lógica, es un método extremadamente sencillo, también podemos observar que puede ser largo y tedioso si la cantidad de variables primarias que intervienen en las fórmulas es relativamente grande; por ello es conveniente conocer ciertas deducciones lógicas básicas, que nos permitan realizar las inferencias lógicas sin necesidad de confeccionar la tabla de verdad. Inferencias lógicas básicas : 1. modus ponens : A , A B B 2. modus tolens : B , A B A 3. silogismo disyuntivo : A B , A B 4. contrarrecíproco : A B B A 5. simplificación : A B A ( también A B B ) 6. adición : A A B (también B A B ) 7. silogismo hipotético : A B , B C A C

p q p p q V V F V V F F V F V V V F F V F

10

Nota : de A B y C B tendremos A C B de A B obtenemos A C B Demostración : Demostraremos el 2. ( modus tolens ) a modo de ejemplo; los demás se dejan como ejercicios. Partiremos de los distintos valores de verdad de las fórmulas dadas. Para demostrar que la inferencia es verdadera debemos verificar que cada vez que ( B) = (A B) = V también es (A ) = V , por lo tanto sólo nos interesan las filas correspondiente a (B) = F La tabla de verdad muestra que si ( B) = (A B) = V también ( A ) = V, por lo tanto B , A B A . A.6 Métodos de Demostración Los métodos de demostración que veremos son los recursos que podemos utilizar para demostrar que un condicional es verdadero. Ellos son : el método directo, el método indirecto o contrarrecíproco y el método por el absurdo. A.6.1 Los condicionales asociados a un condicional dado p q son: i. q p ii. p q iii. q p A.6.1.1 Ejercicio : Demostrar que p q q p , q p p q y que p q q p Si tengo un condicional B sé que de la única forma en que será falso es si

( ) = V y ( )B = F , y en este hecho deberé basarme para demostrar que B es verdadero.

A.6.2 Método directo Dadas A y B fórmulas proposicionales, el método directo se basa en analizar los posibles valores de verdad de A . Como para ( ) = F siempre se cumplirá que

( )B = V , sólo nos interesa analizar cuando ( ) = V , si establecemos que ( )B = V , habremos demostrado que ( )B = V.

A.6.2.1 Ejemplo :

A B B A B A V F V F F F F V V V

11

Vamos a definir algunos conceptos para entender el ejemplo. Decimos que para a , b números enteros , a 0 , a divide a b si podemos escribir a b = c.a para algún entero c . Notación : escribiremos, cuando a divida a b , a | b , y cuando a no divida a b , a b . Queremos demostrar que si a | b b | c a | c En este caso A : “ a | b b | c ” , y B : “ a | c ” Suponiendo ( ) = V debemos ver que ( )B = V . Si suponemos ( ) = V , por definición, sabemos que b = k.a , y que c = h.b , donde k, h son números enteros , entonces reemplazando b en la segunda igualdad, tenemos que c = k.h.a y como k.h es también un número entero , por lo tanto a | c y así ( )B = V . Luego ( )B = V A.6.3 Método indirecto o contrarrecíproco Dadas A y B fórmulas proposicionales, este método se basa en analizar los valores de verdad de B . Para ( )B = V , siempre resulta ( )B = V (ver tabla de verdad del condicional!) , así que sólo nos interesa establecer qué ocurre cuando ( )B = F : para que ( )B = V debe ser ( ) = F . A.6.3.1 Ejemplo : Recordaremos algunas notaciones y propiedades:

- Si a es mayor o igual que 1 lo escribiremos : a 1 - Si a y b son distintos, lo escribimos a ≠ b - Si a es un número natural , se verifica que a 1 - Si a es un número natural o es cero lo escribiremos : a 0 - consistencia del orden respecto de la suma : si a b se verifica que

a c b c cualquiera sea el número c - a es menor o igual que b si y sólo si b es mayor o igual que a ; en símbolos :

a b si y sólo si b a Queremos demostrar que si a , b 0 : a + b = 1 a = 0 b = 0 A : “ a + b = 1 ” ; B : “ a = 0 b = 0 ” ; A : “ a + b ≠ 1 ” ; B : “ a ≠ 0 b ≠ 0 ” Si ( )B = F , entonces ( )B = V ; Si ( )B = F (o sea, ( )B = V ) se verifica que a ≠ 0 b ≠ 0 Como a , b 0 , y además a ≠ 0 b ≠ 0 entonces a , b , por lo tanto a 1 b 1 . Por lo tanto, por ser a 1 , se verifica que a + b 1 + b , y por ser b 1 , 1 + b 1 + 1 = 2 > 1

12

Luego a + b > 1 , y por lo tanto a + b ≠ 1 , con lo cual ( ) = V , y por ende ( ) = F

Así ( )B = V Nota : Demostrar ( )B = V por el método indirecto, no es otra cosa que demostrar ( ) B = V por el método directo , y esto es válido porque

B B A.6.4 Método por el absurdo Partimos de la siguiente equivalencia lógica (A.3.3.1 , ejemplo 5): ( B ) B Luego, si quiero demostrar que el condicional B es verdadero, ello es equivalente a demostrar que es verdadero el condicional B ; aplico el método directo para demostrar este último, para lo cual debo ver que si ( B ) = V entonces ( ) = V A.6.4.1 Ejemplo : Si 0 < x < 1 2x < 1 Notaciones y propiedades previas:

- es el conjunto de números reales

- Si x ( si x es un número real) , x ≠ 0 , tiene inverso multiplicativo 1 1xx

- Consistencia del orden respecto del producto por un número positivo : si x, y , z , x ≤ y y z > 0 entonces x.z ≤ y.z - Si x > 0 , entonces 1x > 0 y 2x > 0 - x no es menor que y se simboliza: x y

A : “ 0 < x < 1 ” ; B : “ 2x < 1 ” ; B A : “ 2x 1 0 < x < 1 ” Demostración : Supongamos que ( B ) = V , o sea, 0 < x < 1 y que 2x 1 ;

como 2x > 0 , debe ser 2x 1 . x < 1 entonces 1x

> 1 > 0 , luego, por

consistencia del orden con respecto al producto por números positivos, x = 2x . 1x

1. 1x

> 1 , o sea, no se cumple que 0 < x < 1.

Luego ( ) = V , lo que resulta una contradicción ya que supusimos que ( B ) = V , lo que significa que ( ) = V ; esto es un absurdo que proviene de suponer ( B ) = V , con lo cual ( B ) = F , y así la implicación

B resulta verdadera, y con ella también ( )B = V

13

B-CÁLCULO DE PREDICADOS B.1 Esquemas proposicionales Cuando definimos proposición, hicimos mención a cierto tipo de expresiones en una o varias variables, que por sí mismas no poseen un valor de verdad, pero si se le asigna “valores” a la/las variable/s se transforman en proposiciones, con su correspondiente valor de verdad. B.1.1 Ejemplos : i) “ x es un número primo ” ii) “ x divide a 24 ” iii) “ x divide a y ” iv) “ x es hijo de Juan ” v) “ x es hijo de y ” vi) “ 4 divide a x ” vii) “ 3x ” viii) “ x + y ” Nótese que ninguna de ellas es proposición, porque no se puede decir que sean verdaderas o falsas. Las expresiones i), ii), iv) y vi) se convierten en proposición en cuanto le demos algún valor apropiado a la variable x ; las iii) y v) requieren que le demos valores apropiados a dos variables : x e y ; y las vii) y viii) no se convierten en proposición aunque le demos valores apropiados a la o las variables. Las expresiones del tipo i,ii,iii,iv,v,vi se denominan esquemas proposicionales , y ellas pueden ser en una o más variables. El conjunto de objetos sobre el que tomamos los elementos para darle valor a las variables de un esquema, para que éste se transforme en una proposición, lo denominamos universo . La notación que corresponde a los esquemas proposicionales es la siguiente: F[x] : x es un número primo G[x] : x divide a 24 H[x, y] : x divide a y T[x] : x es hijo de Juan L[x, y] : x es hijo de y N[x] : 4 divide a x Si A designa al universo sobre que se evaluarán determinados esquemas proposicionales, y aA ( esto quiere decir que a es un elemento de A ) , simbolizaremos con F[a] la proposición que se obtiene del esquema F[x] al reemplazar x por a . Nota : Dado un esquema proposicional, para transformarlo en una proposición debemos reemplazar la/las variable/s por nombres pertenecientes a cierto “universo” en el cual la expresión tenga sentido; así, para reemplazar x por algún nombre en F[x] , debemos elegir un universo dentro del conjunto de números naturales o enteros, no tiene sentido si el universo está constituido por personas o por cuadriláteros, por dar algunos ejemplos.

14

Cuando los esquemas son en más de una variable, cada una de ellas debe evaluarse en un universo adecuado para que la expresión tenga sentido. Por ejemplo el esquema proposicional : S[x, y] : x usa calzado nº y claramente las dos variables deben evaluarse en universos distintos, porque no tendría sentido evaluar x en un universo de números, ni tampoco y en uno constituido por personas. Para el universo A ( conjunto de números naturales), F[5] : 5 es un número primo F[56] : 56 es un número primo H[5, 20] : 5 divide a 20 Las tres son proposiciones, dos de ellas verdaderas y la otra falsa; es más : ( F[5]) = ( F[19]) = ( F[53]) = V ( F[25]) = ( F[56]) = ( F[14]) = F ( G[4]) = ( G[12]) = ( G[1]) = V ( G[5]) = ( G[25]) = ( G[13]) = F ( H[12, 36]) = ( H[2, 6]) = ( H[4,12]) = V ( H[7, 5]) = ( H[5, 16]) = ( H[11, 13]) = F Para el universo ' , , , , ,Juan Cristina Andrés Mariela Laura EstebanA ( T[Laura]) = V ; ( T[Esteban]) = F pero no tiene sentido F[Laura] , por ello tampoco se le puede asignar un valor de verdad. B.2 Cuantificadores Reemplazar la o las variables por elementos de un universo conveniente, no es la única forma en que podemos obtener de un esquema proposicional una proposición. Por ejemplo, si decimos: i. “ Para todo x , x es un número primo” , o bien ii. “ Existe un x tal que x es un número primo” , o iii. “ Para todo x y para todo y , x divide a y ” , o iv. “ Para todo x existe un y tal que x divide a y ” , o v. “ existe un x tal que para todo y , x divide a y ” todas ellas son proposiciones, y así podríamos construir otras con el esquema H[x, y] . Para analizar el valor de verdad de esas expresiones, en primer término hay que estar en un contexto razonable, o sea, pensarlo en un universo adecuado , luego teniendo distintos universos, aunque sean adecuados, el valor de verdad de cada una de ellas podría cambiar. Una vez fijado el universo adecuado, por ejemplo A , podremos decir que i. , iii. son falsas, mientras que las restantes son verdaderas. Vamos a ocuparnos de esas locuciones que introdujimos : “para todo…” , “existe..” ; ellos se denominan cuantificadores u operadores , que al anteponerlos a un esquema proposicional lo transforman en una proposición.

15

B.2.1 Cuantificador u Operador Universal para esquemas en una variable: La locución “Para todo x… ” se denomina cuantificador u operador universal en x , y lo simbolizaremos con x. En términos generales, si se tiene un esquema proposicional F[x] , se puede obtener de él una proposición mediante la adjunción de un operador universal : x : F[x] B.2.1.1 Ejemplos : 1. “ x : x es un número primo ” , o “ x : F[x] ” 2. “ x : x divide a 24 ” , o “ x : G[x] ” B.2.2 Cuantificador u Operador Existencial para esquemas en una variable Llamamos cuantificador u operador existencial en x a la locución “ existe un x tal que…” , y la notaremos : x En general, si se tiene un esquema proposicional F[x], se puede obtener de él una proposición mediante la adjunción de un operador existencial : x : F[x] B.2.2.1 Ejemplos : 1. “ x : x es un número primo ” , o “ x : F[x] ” 2. “ x : 4 divide a x ” , o “ x : N[x] ” B.2.3 Reglas de deducción para proposiciones con cuantificadores Las reglas de deducción para proposiciones con cuantificadores son: Para aA , F[x] esquema proposicional 1. x : F[x] F[a] , cualquiera sea aA 2. F[a] x : F[x] B.2.4 Negación de los cuantificadores Dada una proposición, tenemos determinada la proposición contraria, su negación. Por ejemplo , si tenemos la proposición: Todo número es primo su negación será: No todo número es primo o bien : Algunos números no son primos o también : Existe un número que no es primo Estas tres últimas expresiones son equivalentes en el lenguaje coloquial porque expresan el mismo concepto, pero la última podemos traducirla simbólicamente, así que cuando tengamos : ( :x x es primo)

16

estaremos diciendo : x : x no es primo En lenguaje formal : ( : )x F x [ ] es :x F[x] Definición : definiremos ( : )x F x [ ] como “ :x F[x] ” Ahora, si tenemos la proposición: Existe un número que es primo su negación será: No existe un número que sea primo o bien : Ningún número es primo o también: Todos los números son no primos Como antes, las últimas tres expresiones son equivalentes en el lenguaje coloquial, pero sólo la última, quizás la que menos usaríamos, es la que puede simbolizarse lógicamente. Cuando decimos: ( :x x es primo) estamos diciendo: x : x no es primo o sea que: ( :x F[x] ) es :x F[x] Definición : definiremos ( :x F[x] ) como “ :x F[x] ” B.2.5 Cuantificadores en esquemas de dos o más variables Volvamos al esquema H[x, y] : x divide a y Si le damos un valor a x o a y , y sólo a uno, no tendremos una proposición, sino un esquema proposicional en una variable: Q[x] = H[x, 26] : x divide a 26 J[y] = H[13, y] : 13 divide a y Para obtener una proposición debemos darle valor a ambas variables : H[12, 35] : 12 divide a 35 Igualmente, no basta con adjuntarle un solo cuantificador para obtener una proposición : “ Para todo x , x divide a y ” , o “ x : x divide a y” , o “ x : H[x, y]” “ existe un x tal que x divide a y ” , o “ x : x divide a y” , o “ x : H[x, y]” “ Para todo y , x divide a y ” , o “ y : x divide a y” , o “ y : H[x, y] ” “ existe un y tal que x divide a y ” , o “ y : x divide a y” , o “ y : H[x, y]” Ninguna de ellas es proposición , sino esquema proposicional en una variable. Para obtener una proposición de esos esquemas proposicionales en una variable, podemos darle un valor a la variable, o bien adjuntarle un cuantificador: Si S[y] : x : x divide a y S[45] : x : x divide a 45 , es una proposición y es falsa para el A También es proposición : y : ( x : x divide a y )

17

que expresa que “ existe un número natural que es divisible por todo número natural ” , proposición que es falsa, pero es proposición ( siempre en el universo A ) Para el esquema T[x] : y : x divide a y T[13] : y : 13 divide a y , es proposición y es verdadera, para A

x : ( y : x divide a y ) es una proposición que dice que “cualquiera sea el número natural x siempre existirá un número natural y tal que x divida a y ” , proposición que también es verdadera ( A ) . Volvamos al esquema H[x, y] ; por adición de dos cuantificadores podemos obtener las siguientes proposiciones : i. x : ( y : H[x, y] ) ii. y : ( x : H[x, y] ) iii. x : ( y : H[x, y] ) iv. y : ( x : H[x, y] ) v. y : ( x : H[x, y] ) vi. x : ( y : H[x, y] ) Vamos a traducir al lenguaje coloquial lo que expresamos en cada una de las proposiciones: i. “ Para todo número natural x existe un número natural y tal que x divide a y ” . ii. “ Existe un número natural y tal que para todo número natural x se verifica que x divide a y ” . iii. “ Para todo número natural x y todo número natural y , x divide a y ” . iv. “ Existe un número natural y , y existe un número natural x, tal que x divide a y ” v. “ Para todo número natural y existe un número natural x tal que x divide a y ” vi. “ Existe un número natural x tal que para todo número natural y , x divide a y ” Todas esas proposiciones son diferentes pues todas ellas expresan conceptos distintos. ( para A ) : i. es verdadera pues todo número divide a algún número, en particular se divide a sí mismo. ii. es falsa porque no hay ningún número que sea divisible por todos los números iii. es falsa porque no es cierto que todos los números sean divisibles por todos los números iv. es verdadera porque hay un número para el cual existe un número que lo divida. v. es verdadera porque cualquiera sea el número natural elegido siempre hay un número natural que lo divida. vi. es verdadera porque hay un número natural, el 1, que divide a todo número natural También observamos que los cuantificadores no son intercambiables : i. x : ( y : H[x, y] ) y ii. y : ( x : H[x, y] ) expresan conceptos muy diferentes; y tampoco son intercambiables, en general, las variables : i. x : ( y : H[x, y] ) y v. y : ( x : H[x, y] )

18

Solamente podemos intercambiar, y por lo tanto no nos interesará en qué orden los pongamos, en el caso en que los cuantificadores en ambas variables sean del mismo tipo, o ambos universales o ambos existenciales:

x : ( y : H[x, y] ) , dice que todo número natural es divisible por todo número natural, lo mismo que dice y : ( x : H[x, y] ) , por ello lo escribimos generalmente x , y : H[x, y] Análogamente con y : ( x : H[x, y] ) , que dice que existen números x e y tales que x divide a y , por lo cual es equivalente a escribir x : ( y : H[x, y] ) , por lo que lo escribiremos: y , x : H[x, y] Si tenemos un esquema en tres variables, por ejemplo: Q[x, y, z ] : x es máximo común divisor de y y z Podemos reflexionar como antes; si evaluamos el esquema en una de las variables, tendremos un esquema en dos variables : P[y, z ] = Q[2, y, z ] : 2 es máximo común divisor de y y z R[x, z ] = Q[x, 6, z ] : x es máximo común divisor de 6 y z M[x, y ] = Q[x, y, 13 ] : x es máximo común divisor de y y 13 Si lo evaluamos en dos, tendremos un esquema en una : S[ z ] = Q[10, 4, z ] : 10 es máximo común divisor de 4 y z L[ x ] = Q[x, 3, 7 ] : x es máximo común divisor de 3 y 7 N[ y ] = Q[5, y, 8 ] : 5 es máximo común divisor de y y 8 y si lo evaluamos en tres, tendremos una proposición: Q[4, 12, 16 ] : 4 es máximo común divisor de 12 y 16 También podemos usar los cuantificadores para los esquemas de una variable: x : L[x ] ; y : N[y ] ; z : S[z ] x : L[x ] ; y : N[y ] ; z : S[z ] y dos cuantificadores para los de dos variables: x : ( z : R[x, z ] ) ; y : ( x : M[x, y ] ) ; z : ( y : P[y, z ] ) , etc. Si adjuntamos cuantificadores al esquema en tres variables Q[x, y, z ] : x : Q[x, y, z ] ; y : Q[x, y, z ] ; z : Q[x, y, z ] x : Q[x, y, z ] ; y : Q[x, y, z ] ; z : Q[x, y, z ] obtenemos, en todos los casos, esquemas en dos variables. Si ahora adjuntamos dos cuantificadores : O[ z ] : x : ( y : Q[x, y, z ] ) ; V[ z ] : x : ( y : Q[x, y, z ] ) ; B[ x ] : z : ( y :Q[x, y, z ] ) ; U[ y ] : z : ( x : Q[x, y, z ] ) ; etc.

19

Obtenemos esquemas proposicionales en una variable, que, como dijimos para cualquier esquema, podemos transformarlo en una proposición dándole valores a la variable o adjuntándole un cuantificador :

z : [ x : ( y : Q[x, y, z ] ) ] ; z : [ x : ( y : Q[x, y, z ] ) ] ; x : [ z : ( y :Q[x, y, z ] ) ] ; y : [ z : ( x : Q[x, y, z ] ) ] ; etc.

Todas ellas son proposiciones. De forma análoga podemos transformar en proposición, esquemas proposicionales en cualquier cantidad finita de variables. B.2.6 Negación de los cuantificadores en esquema de más de una variable Si tenemos un esquema en dos variables M[x, y] , y le adjuntamos un cuantificador obtenemos un esquema en una variable : i. L[ x ] : y : M[x, y] ii. S[ x ] : y : M[x, y] iii. Q[ y ] : x : M[x, y] iv. R[ y ] : x : M[x, y] Por ser todos ellos esquemas en una variable, al adjuntarle un cuantificador lo transformamos en una proposición: i. x : ( y : M[x, y] ) ii. x : ( y : M[x, y] ) iii. x : ( y : M[x, y] ) iv. x : ( y : M[x, y] ) v. y : ( x : M[x, y] ) vi. y : ( x : M[x, y] ) vii. y : ( x : M[x, y] ) viii. y : ( x : M[x, y] ) Por lo que ya vimos, los cuantificadores no son intercambiables a menos que sean del mismo tipo, por lo tanto x : ( y : M[x, y] ) es equivalente a y : ( x : M[x, y] ), como así también lo son x : ( y : M[x, y] ) y y : ( x : M[x, y] ) . Para negar aquellas proposiciones debemos aplicar, en cada caso , la definición de la negación de cuantificadores. Veámoslo en los casos anteriores ( eliminamos los casos v. y vii. por ser coincidentes con el i. y el iv. respectivamente) : i. [ x : ( y : M[x, y] ) ] x : ( y : M[x, y] ) x : ( y : M[x, y] ) ii. [ x : ( y : M[x, y] ) ] x : ( y : M[x, y] ) ] x : ( y : M[x, y] ) iii. [ x : ( y : M[x, y] )] x : ( y : M[x, y] ) x : ( y : M[x, y] ) iv. [ x : ( y : M[x, y] )] x : ( y : M[x, y] ) x : ( y : M[x, y] ) vi. [ y : ( x : M[x, y] )] y : ( x : M[x, y] ) y : ( x : M[x, y] ) viii. [ y : ( x : M[x, y] )] y : ( x : M[x, y] ) y : ( x : M[x, y] ) Si el esquema es de más variables , el razonamiento que se emplea para su negación es el mismo que el que aplicamos en dos variables, pero repetido tantas veces cuanta sea la cantidad de variables. B.2.6.1 Ejemplo : Daremos previamente algunas notaciones clásicas :

20

“ x menor que y ” se simboliza “ x < y ” “ x no es menor que y ” se simboliza “ x y ” P[x, y] : x < y i. x , y : P[x, y] o x , y : x < y “ Cualesquiera sean los números x e y se verifica que x < y ” Negación : x , y : P[x, y] o x , y : x y “ Existen números x e y tales que x y ” ii. x : ( y : P[x, y] ) o x : ( y : x < y ) “ Para todo número x existe un número y tal que x < y ” Negación : x : ( y : P[x, y] ) o x : ( y : x y ) “ Existe un número x tal que para todo número y , x y ” iii. y : ( x : P[x, y] ) o y : ( x : x < y ) “ Para todo número y existe un número x tal que x < y ” Negación : y : ( x : P[x, y] ) o y : ( x : x y ) “ Existe un número y tal que para todo número x , x y ” Observación : Nótese la diferencia de las afirmaciones ii. e iii. que se obtienen al intercambiar las variables en los cuantificadores. Si el universo es A , ii. es verdadera e iii. es falsa , si el universo es A o

A ambas son verdaderas, pero dicen cosas diferentes. iv. y : ( x : P[x, y] ) o y : ( x : x < y ) “ Existe un número y tal que para todo número x se verifica que x < y ” Negación : y : ( x : P[x, y] ) o y : ( x : x y ) “ Para todo un número y existe un número x tal que x y ” Observación : Aquí también se percibe la diferencia entre ii. e iv. que tienen intercambiados los cuantificadores. En este caso, cualquiera sea el universo A ,

A o A , iv. es falsa. v. x : ( y : P[x, y] ) o x : ( y : x < y )

21

“ Existe un número x tal que para todo número y se verifica que x < y ” Negación : x : ( y : P[x, y] ) o x : ( y : x y ) “ Para todo número x existe un número y tal que x y ” Ejercicio : Analizar la veracidad o falsedad de esta proposición en los universos :

A , A , A vi. x , y : P[x, y] o x , y : x < y “ Existen números x e y tales que x < y ” Negación : x , y : P[x, y] o x , y : x y “ Para todos x e y se verifica que x y ” Ejercicio : Analizar la veracidad o falsedad de esta proposición en los universos :

A , A , A