Tema 6 - El cálculo de proposiciones y de predicados

8/13/2019 Tema 6 - El clculo de proposiciones y de predicados

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EL CLCULO DE PROPOSICIONES Y DE PREDICADOS

Contenido

1. CALCULO DE PROPOSICIONES ................................................................................... 4

1.1 Smbolos formales ........................................................................................................ 5

1.1.1 Negador ................................................................................................................. 5

1.1.2 Producto lgico ...................................................................................................... 6

1.1.3 Suma lgica ........................................................................................................... 7

1.1.4 Implicador .............................................................................................................. 8

1.1.5 Coimplicador ....................................................................................................... 10

1.2 Reglas bsicas del clculo de proposiciones .............................................................. 10

1.2.1 Reglas bsicas de implicacin ............................................................................. 11

1.2.2 Ley de identidad .................................................................................................. 14

1.2.3 Reglas bsicas de conjuncin .............................................................................. 151.2.4 Reglas bsicas de disyuncin .............................................................................. 17

1.2.5 Reglas bsicas de la negacin .............................................................................. 18

1.2.6 La regla TEOREMA ............................................................................................ 18

1.3 Reglas derivadas del clculo de proposiciones .......................................................... 19

1.3.1 Reglas derivadas de implicacin ......................................................................... 19

1.3.2 Reglas derivadas de conjuncin y disyuncin ..................................................... 20

1.3.3 Reglas derivadas de negacin .............................................................................. 21

1.3.4 Reglas adicionales de conjuncin y disyuncin .................................................. 221.3.5 Reglas de coimplicacin ...................................................................................... 23

1.3.6 Intercambio .......................................................................................................... 24

1.3.7 Leyes de interdefinicin ...................................................................................... 28

1.3.8 Leyes de De Morgan............................................................................................ 28

2. CALCULO DE PREDICADOS ....................................................................................... 29

2.1 Smbolos formales ...................................................................................................... 29

2.1.1 Generalizador....................................................................................................... 30

2.1.2 Particularizador .................................................................................................... 302.2 Reglas del clculo de predicados ................................................................................ 30

2.2.1 Regla de eliminacin de generalizador ................................................................ 30

2.2.2 Regla de introduccin de generalizador .............................................................. 31

2.2.3 Introduccin de particularizador .......................................................................... 32

2.2.4 Eliminacin de particularizador .......................................................................... 32


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2.2.5 Intercambio cuantificacional ............................................................................... 33

2.2.6 Definicin del particularizador ............................................................................ 33

2.2.7 Definicin del generalizador ............................................................................... 33

2.2.8 Negacin del generalizador ................................................................................. 33

2.2.9 Negacin del particularizador .............................................................................. 33

3. La lgica de clases ............................................................................................................ 34

3.1 La nocin de "clase" ................................................................................................... 34

3. Mtodos de prueba ........................................................................................................... 35

3.1 Deduccin ................................................................................................................... 37

3.2 Deduccin formal ....................................................................................................... 38

3.3 Resolucin de argumentos .......................................................................................... 38

3.4 Mtodos automticos de prueba ................................................................................. 39

3.4.1 Mtodo de las tablas de verdad............................................................................ 39

Se llama "lgica simblica" o "lgica formal" a la lgica moderna que, mediante el

simbolismo lgico, o mediante un lenguaje formal, se ocupa de la forma lgica de losenunciados y sus relaciones, es decir, los razonamientos. La lgica simblica recibe

tambin el nombre de lgica matemtica. Con este nombre se denomina a la lgica

moderna, que se basa en el desarrollo de lenguaje simblicos y lenguajes formales y un

grado elevado de matematizacin. Sus orgenes se remontan a G. W. Leibniz, a quien seatribuye haber usado por primera vez la expresin "lgica matemtica", pero su

formulacin propiamente inicial se debe a G. Boole y G. Frege.

La lgica matemtica o simblica no es sustancialmente diferente de la lgica formal de

Aristteles. En efecto, ste, para resaltar las relaciones y prescindir de los contenidos

concretos, materiales, usaba variables. La lgica matemtica o formal pretende, sinembargo, llevar ms adelante el mtodo simblico de Aristteles. As, no slo simboliza

sujetos y predicados, sino tambin las cpulas o conectivas. Adems, se dedica

primordialmente a la lgica proposicional, parte de la lgica prcticamente ausente en losmanuales de lgica tradicionales.

Hemos dicho que la formulacin inicial de la lgica matemtica se debe fundamentalmente

a Frege. La gran aportacin de Frege fue inventar un sistema de smbolos mediante el cuallos lgicos pudieron formular tanto los tipos de inferencia estudiados por la lgica

proposicional de Aristteles como aquellos a los que los mtodos aristotlicos no pueden

ser aplicados. El anlisis aristotlico tena su fundamento en la divisin de lasproposiciones contenidas en la inferencia en sujeto y predicado. As, una inferencia vlida

en el sistema aristotlico podra ser esta:

Todos los manchegos son europeos (todo S es P)


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Todos los europeos son fascistas (todo P es G)

Por tanto, todos los manchegos son fascistas (todo S es G)

Sin embargo, hay muchas inferencias vlidas que no se adecuan a este esquema de

razonamiento, y que no pueden ser analizadas en el sistema aristotlico. Por ejemplo:

Si esta tarde hace sol, el R. Madrid ganar la Champions League

Esta tarde har Sol

Por tanto, el R. Madrid ganar la Champions League

La validez de esta ltima inferencia no depende de la constitucin interna de lasproposiciones contenidas en ella, sino que depende ms bien de las relaciones entre las

proposiciones tomando cada una de stas como un todo. Por tanto, para analizar esta

inferencia no debemos analizar la estructura de las proposiciones en ella contenidas, sinover cuales son las relaciones entre estas proposiciones. Esto se consigue formalizando

nuestra inferencia como:

Sipentonces q;

Yp.

Por tanto q.

El modo en que la proposicin que se sustituye por "p" se divida, por ejemplo, en sujeto y

predicado, o si se divide o no en absoluto, es irrelevante. En la lgica simblica de Frege seda un lugar central a esta clase de inferencias, que son tratadas mediante el uso de dos clase

de smbolos: una clase designa lasproposiciones(a travs de las "letras proposicionales": p,

q, r, s, etc.), y la otra designa a las conectivasque unen dichas letras (si... entonces, etc.)

Si nuestra inferencia es vlida en funcin de las relaciones que mantienen entre s las

diversas proposiciones contenidas en ella, todas las inferencias cuyas proposiciones tenganentre s las mismas relaciones que tienen las proposiciones de nuestro ejemplo sern,

tambin, vlidas. Se alude a esto diciendo que las inferencias que tengan esa forma

sonnecesariamente vlidas.

Frege desarroll su clculo lgico centrndose en las llamadas verdades lgicas de este

gnero, y exponindolas de forma parecida a la de un sistema aritmtico. Frege muestra un

nmero pequeo de tales verdades comoaxiomas, esto es, como un principio intuitivo yevidente-y, por tanto, que no necesita ser demostradoy, adoptando la regla de inferencia

"dado A", y "si A entonces B", inferir B", muestra cmo se pueden derivar de ellas un

nmero ilimitado de otras verdades lgicas.


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Sin embargo, la aportacin ms importante de Frege a la lgica es su tratamiento de los

tipos de inferencia que Aristteles haba formalizado. Para ello introdujo un artificio

matemtico denominadofuncin.

En lgebra, la expresin "x2+ 1" representa una funcin de la variable "x". Es una funcin

dexporque su valor depende de aquello por lo que sustituyamos la variable x. El nmeropor el que sustituimos la variablexrecibe el nombre de "argumento".

Frege tom este artificio matemtico y lo aplic a las proposiciones. Por ejemplo, sea laproposicin "Scrates es un filsofo griego". En lugar de hablar de "Scrates" como sujeto

y de "es un filsofo griego" como predicado, podemos hablar de "x es un filsofo griego"

como lafuncina la que Scrates proporciona el argumento. En otros trminos, tratamos alpredicado por analoga con "x

2+ 1" y tratamos a "Scrates" por analoga con el nmero

(por ejemplo, el 2), por que sustituimos ax.

En matemticas, el valor resultante de sustituir en una funcin los argumentos de la misma(las variables) por valores y realizar los clculos aritmticos indicados en la funcin. Cul

es, en lgica, el valor de una funcin? Frege dijo que el valor era o lo verdaderoo lofalso.

Si se suministra un argumento para "x es un filsofo griego", se obtiene una proposicinque es verdadera o falsa, un "valor de verdad". As, si la funcin "x es un filsofo griego"

tiene por argumento a "Scrates", es verdadera; si tiene por argumento a "el seor Felipe

Gonzlez" es, obviamente, falsa.

1. CALCULO DE PROPOSICIONESUno de los rasgos que distinguen al hombre de sus antepasados antropoides es el uso del

lenguaje. Y un rasgo tpico del lenguaje humano es el uso de argumentos.

Un argumentoes un segmento lingstico de cierta complejidad en el cual, de la posicin

de trozos o subsegmentos iniciales, se sigue necesariamente la posicin de un trozo osubsegmento final.

Las principales partes o unidades lingsticas que integran un argumento son los

enunciados. Unenunciadoes un segmento lingstico que tiene un sentido completo y que

puede ser afirmado con verdad o falsedad. Los enunciados iniciales de un argumento

reciben el nombre depremisas, y el enunciado final el deconclusin.

El empleo de argumentos tiene lugar tanto en la vida cotidiana como en el ejercicio de las

tareas cientficas. La utilidad de este instrumento lingstico es la siguiente: su empleopermite pasar, por la sola reflexin, de la aceptacin de unos enunciados a la aceptacin de

otros. Con ello queda rebasado el mbito del conocimiento inmediato y de algn modo

ampliada nuestra informacin sobre el mundo.

La lgica es la ciencia que se dedica al clculo de argumentos; es, como se afirma desde

Aristteles, la teora del razonamiento. El ideal del que parte es que, si partimos de
http://nota1%28%29/http://nota1%28%29/http://nota1%28%29/


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premisas que son verdaderas, y utilizamos reglas adecuadas para pasar de unos argumentos

a otros, la conclusin que extraigamos ser indudablemente verdadera. Una forma ms

sencilla de expresar esto es decir quede la verdad siempre se sigue la verdad. No ocurre lo

mismo con la falsedad; en efecto, si nosotros partimos de unas premisas falsas, puedeocurrir que, independientemente de que el paso de unos argumentos a otros lo hagamos de

modo correcto o incorrecto, arribemos a conclusiones que pueden ser bien verdaderas, bienfalsas. Una manera ms corta de expresar esto es decir que de la falsedad se siguecualquier cosa.

1.1 Smbolos formales

Los smbolos de un lenguaje formal, realizado con vistas al clculo lgico, se dividen

enlgicosy no lgicos. Los primeros son las constantes lgicas. Los segundos son las letras

referentes a enunciados, a predicados, y a individuos, divididas estas en variables yconstantes.

Nuestro lenguaje lgico constar de los siguientes smbolos formales:

A. Smbolos lgicos.1. Juntores: , , , ,

B. Smbolos no lgicos.2. Letras enunciativas: p, q, r, ..., p1, q1, r1,...3. Letras predicativas: P, Q, R, ..., P1, Q1, R1,...4. Letras individuales:

a. Variables: x, y, z, ...b. Constantes: a, b, c, ...

5. Letras functoriales: f, g, h,...C. Smbolos auxiliares.

6. Parntesis: (,)1.1.1 Negador

El smbolo "" recibe el nombre de negador, y puede ser considerado como la traduccinal lenguaje formal de la partcula "no" del lenguaje ordinario. Al adosar el negador a una

expresin enunciativa cualquiera, el resultado es la negacin de esta: si un enunciado es

verdadero, su negacin es falsa; y si un enunciado es falso, su negacin es verdadera. Suscondiciones de verdad se pueden resumir en una tabla del siguiente modo:


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p

p

V

F

F

V

1.1.2 Producto lgico

El smbolo recibe el nombre de conjuntor, y puede ser considerado como la versinformal de la partcula del lenguaje ordinario "y".

La combinacin de dos expresiones mediante el conjuntor es la conjuncinde ellas, y se lee"p y q". Una conjuncin afirma la verdad de sus componentes. Es verdadera, pues, cuando

sus dos componentes son verdaderos; cuando uno de ellos es falso, y por tanto, cuando los

dos son falsos, la conjuncin es falsa. Esto se representa, en una tabla, as:

pq

p q

V

V

V

VF

F

FV

F

F

FF


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1.1.3 Suma lgica

El smbolo recibe el nombre de producto lgico, y se le puede considerar como la

traduccin al lenguaje formal, aunque slo parcial e incompleta, de la partcula del lenguajeordinario "o". Su significado es el siguiente: la disyuncin de dos proposiciones esverdadera cuando al menos una de esas dos proposiciones es verdadera; es falsa, en

cambio,slo cuando ambas son falsas. Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

p q

VVV

V

F

V

F

VV

F

F

F

El significado del disyuntor coincide slo parcialmente con el significado de la partcula"o" del lenguaje ordinario.

La partcula "o" en el lenguaje ordinario tiene dos sentidos: a) uno de ellos, llamado

exclusivo, segn el cual la disyuncin establece que unos de sus miembros es verdadero y elotro falso, con lo que se excluye, por tanto, la posibilidad de una simultnea verdad de

ambos. b) Otras veces, "o" no excluye la verdad simultnea de los miembros de una

disyuncin. Es decir, al combinar dos proposiciones mediante la referida partcula, seindica que una al menos de esas dos proposiciones es verdadera, pero no se dice nada con


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respecto de la otra, con lo cual no se excluye la posibilidad de que esa otra sea tambin

verdadera. Este segundo uso se denomina inclusivo. Es este uso el que se utiliza en lgica.

1.1.4 Implicador

El smbolo recibe el nombre de implicador, y puede ser considerado como unaformalizacin, aunque slo parcial e incompleta, de la partcula del lenguaje ordinario "si...,entonces...". La expresin que precede al implicador se denomina antecedente, y la que le

sucede, consecuente. Su sentido es el siguiente: una implicacin es verdadera siempre que

no se d el caso de que el antecedente es verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando

ese sea el caso. Su tabla de verdad es la siguiente:

pq

p q

V

V

V

VF

F

F

V

V

F

FV

Un condicionales una afirmacin tal que eso y eso -el consecuente- est condicionado aesto y esto -el antecedente- o, dicho de un modo ms comn,

eso y eso, si esto y esto

si esto y esto, eso y eso

si esto y esto entonces eso y eso


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eso y eso, dado que esto y esto

Etc.

Por ejemplo:

El suelo est mojado si llueve.

Si llueve, el suelo est mojado.

Si llueve entonces el suelo est mojado.

El suelo est mojado, dado que llueve.

Es importante reconocer de un modo correcto la diferencia radical entre la afirmacin

condicional misma y la afirmacin aislada del consecuente, la diferencia en nuestro

ejemplo entre decir que el suelo est mojado si llueve y afirmar directamente que el sueloest mojado. Es fcil confundir estas dos afirmaciones, pero no reconocer la diferencia

entre ellas es un error que puede conducirnos a un mal razonamiento.

La diferencia entre el antecedente de un condicional y su consecuente es tambin

importante. Es cuestin de orden lgico - no es, como en las anteriores oraciones, unacuestin de orden lingstico. La palabra "si" (o cualquier de sus sinnimos) introduce el

antecedente, independientemente de que est al principio o al final de la frase. El smbolo

de la implicacin, '', est colocado entre el antecedente, que va a la izquierda, y elconsecuente, que va a la derecha. Usando las abreviaturas 'r' para "est lloviendo" y 'w' para

"el suelo est mojado", las cuatro oraciones anteriores se escriben simblicamente como:

r w

Lo importante en una afirmacin condicional es el uso que queramos darle. Si tenemos

razones para creer que tal y tal (el antecedente, aqu "est lloviendo"), entonces tenemosrazones para creer que cual y cual (el consecuente, aqu: "el suelo est mojado"); si

suponemos que tal y tal, estamos autorizados a suponer que cual y cual. (Tngase en cuenta

que estasafirmaciones son condicionales.) Hemos justificado el paso de tal y tal a cual y

cual, del antecedente al consecuente.

Esta es la forma de hablar de la calle. Aunque el condicional de que estamos hablando no

diga:

tal y tal, condicional de cual y cual

o

si cual y cual entonces tal y tal (si el suelo est mojado, est lloviendo)


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esto no justifica el razonamiento en la direccin contraria, de tal y tal a cual y cual.

Tomadas juntas, el par de afirmaciones:

Si tal y tal entonces cual y cual. (Si llueve el suelo est mojado)

Cual y cual. (El suelo est mojado)

no autoriza cualquier conclusin (distinta de la mera repeticin de las afirmaciones ya

hechas); no dice nada sobre si tal y tal (si est lloviendo). Esta asimetradel condicional esalgo que tendremos que tener presente a lo largo de nuestro trabajo.

1.1.5 Coimplicador

El smbolo recibe el nombre de coimplicador, y puede ser considerado como una

formalizacin de las partculas "si y slo si", "cuando y solamente cuando" o "equivale". Su

sentido es el siguiente: una coimplicacin es verdadera cuando sus dos componentes tienen

el mismo valor de verdad; y falsa en caso contrario. Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

p q

V

VV

V

F

F

F

VF

FF

V

1.2 Reglas bsicas del clculo de proposiciones


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1.2.1 Reglas bsicas de implicacin

1.2.1.1 Regla de eliminacin del implicador

MODUS PONENS: de una afirmacin condicional, tomada junto con su

antecedente, se sigue su consecuente como una conclusin.

Por tanto,

pq

q

-------------

q MP

dondepes cualquier afirmacin, verdadera o falsa, simple o compuesta; q, igualmente, es

cualquier afirmacin, no necesariamente distinta de p; p q es el condicional: si pentonces q; significa 'por tanto'; y la barra separa las premisas de la conclusin. La regla de

Modus Ponens nos dice que, dada cualquier afirmacin condicional(por ejemplo, p q)

como una premisa y, como segunda premisa, el antecedente de tal condicional (p), eslegtimo extraer como conclusin el consecuente de tal condicional (i.e., q).

La regla Modus Ponens ha sido expuesta aqu en castellano. La representacin simblica no

es la regla o parte de ella; es un ejemplo, una ayuda que nos permite ver la estructura de la

regla. La regla misma es dada por la representacin en lengua castellana que precede a los

smbolos.

Usaremos smbolos de dos clases: smbolos lgicos (llamados a veces "constantes lgicas")

para las diferentes conectivas, necesarios para eliminar la ambigedad (la flecha en nuestrocaso), y "variables", letras que abrevian sentencias, o frases nominales o frases predicativas.

Cuando construyamos afirmaciones (condicionales, por ejemplo), esto es, afirmaciones

extradas de otras afirmaciones por medio de conectivas lgicas, expresadas en smbolos",las afirmaciones resultantes sern denominadas "frmulas".

El uso de estos smbolos nos permite brevedad y claridad de pensamiento, ayudndonos a

dejar a un lado los detalles irrelevantes y a centrarnos en la estructura del razonamiento.

El uso de la regla Modus Ponens no tiene restricciones; es legtimo en cualquier caso, estoes, cualquier afirmacin en cualquier contexto puede ponerse en lugar de 'p' y 'q'. El uso

correcto del Modus Ponens depende de la lectura correcta del condicional; 'p q' no debe

confundirse con 'q p'. La segunda premisa en este esquema de argumento debe serexactamenteel antecedente del condicional que estamos usando, y la conclusin debe serexactamenteel consecuente de tal condicional.


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Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos convencidos que si Jorge est en Madrid ( h)

Jorge est en Barcelona (c). Sabemos que Jorge est en Madrid, visitando a su hermana.

Podemos concluir que Jorge est en Barcelona. El argumento que hemos usado es algo

parecido a esto:

h c

h

-------

c

que es vlido, de acuerdo con el principio de modus ponens.

Debe ser obvio, por otro lado, que es absurdo argir del siguiente modo:

h c

c

----------

h

Esto es, si estamos convencidos de que si Jorge est en Madrid entonces est en Barcelona

y sabemos que Jorge est en Barcelona, no tenemos razones para afirmar que Jorge est en

Madrid. El segundo "argumento" es una instancia de la falacia de la afirmacin delconsecuente, que es la "falacia correspondiente" al modus ponens. (En el modus ponens

afirmamos el antecedente como nuestra segunda premisa.) Hay ocasiones en que nos

sentimos tentados a usar el segundo patrn de argumentacin por el primero.

Otro aspecto sobre el significado del condicional. Tal y como usamos el condicional, 'p

q', o 'q, si p', o 'eso y eso, si esto y esto' no nos dice por qu esto es as, lo nico que nos

dice es queocurre. En el "mundo real", cuando tenemos razones para creer un condicional,(ordinariamente al menos) tenemos razones para creer que hay una conexin de alguna

clase entre el antecedente y el consecuente, como en los siguientes ejemplos:

Si Mara cruza la calle con el semforo en rojo, Mara est en peligro (c d)

Si Luis est en la habituacin, Luis est en la casa (k h)

Alicia se mojar si llueve (r h)

etc.


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No obstante, el condicional noinforma sobre estas conexiones; el condicional omite -en su

forma abstracta- las razones que nos llevan a l. De este modo tenemos ms seguridad en

nuestro razonamiento. Podemos hacer diferentes consideraciones que aumenten nuestra

confianza en que la conclusin se cumpla, pero esto no es necesario.

Al usar el modus ponens no estamos estableciendo una conexin causal entre elantecedente y el consecuente; dependemos solo del hecho (o suposicin) de que, de un

modo u otro, el consecuente viene dado por el antecedente. Y todo esto a pesar de que,

tanto en filosofa como en la vida social, las razones que fundamentan una afirmacin son

ms importantes o ms interesantes que la afirmacin misma. En el razonamientodeductivamente ordenado, los condicionales con los que trabajamos estn desprovistos de

un significado causal, o propositivo, o cualquier otro, limitndose simplemente a extraer

afirmaciones.

1.2.1.2 Regla de introduccin del implicador

Veamos ahora la segunda regla para el condicional, la regla de la prueba condicional. Al

usar esta regla no usamoscondicionales; los establecemos. Los establecemos en el contexto

del trabajo cientfico, histrico, lgico o de cualquier otra disciplina.

Prueba condicional: el proceso de derivar una conclusin vlida, de un modo correcto, de

una premisa o conjunto de premisas justifica la afirmacin del correspondiente condicional:si la(s) premisa(s), entonces la conclusin.

Esquemticamente,

donde p es una premisa y los puntos abrevian un conjunto de reglas de razonamiento.

Este patrn de argumento puede tener lugar aisladamente, o en el contexto de un argumento

ms complicado, donde tambin intervienen otras premisas. Lo que resulta de una correcta

derivacin de una conclusin (q) a partir de una premisa (p) es la conclusin resumen(p q), esto es, la afirmacin condicional correspondiente a la derivacin.

El ejemplo anterior muestra que el rbol vertical es una forma de abreviar una regla no

especificada de razonamiento.

Adems, qu nos permite introducir la premisa (p)? Ante esta pregunta, podramos

argumentar qu lo prohibe? Muchos sistemas, libros de textos, programas de ordenador,

etc., usan algo denominado una "rule of premises" que nos dice que se puede introducircualquier premisa, de cualquier clase, en cualquier parte de cualquier argumento. Esto escorrecto, y es necesario afirmarlo explcitamente y usarlo a veces. Pero no es una regla.

Adems, podemos introducir, o suponer, cualesquiera premisas que deseemos; lo que es

importante es que, una vez que las hemos introducido, estemos pendientes de ellas yveamos a dnde nos conducen.


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El razonador ordenado es libre de hacer cualquier suposicin, o coger cualquier premisa, en

cualquier punto de su trabajo. No es cuestionable el "derecho" a coger una premisa,

cualquier premisa, por mor del argumento; lo que debemos preguntarnos es si merece la

pena. Y merecer la pena si pretendemos establecer un condicional mediante el principio deprueba condicional. (Esto tambin tiene sentido para la prueba indirecta, o reductio ad

absurdum, y para su uso en un dilema). Si, sobre la suposicin de que tal y tal, hemoslogrado probar que cual y cual, hemos establecido que si tal y tal, entonces cual y cual. Si,sobre la base de un conjunto de premisas, o alguna suposicin de que tal y tal, logramos

probar que cual y cual, hemos mostrado que, sobre la base de estas premisas, que

ordinariamente no incluyen tal y tal, si tal y tal entonces cual y cual.

En cualquier parte de un razonamiento sistemtico, un cierto nmero de premisas puede ser

puesto en juego: tenemos ciertas premisas; estamos trabajando con ellas, intentamos

descubrir adnde nos llevan. (Notacionalmente, debemos dejar claro qu premisas estn enjuego en cada paso de nuestras deducciones, indicando a la izquierda de cada paso su

nmero, denotando cada premisa con una marca.) La regla de la prueba condicional es una

regla de descargade premisas.

Un trozo de razonamiento vlido se mueve de la premisa pa la conclusin q; CP nos dice

que este razonamiento garantiza la conclusin condicional p q. En consecuencia,pno esnecesario (como una premisa); hemos visto adnde conduce y hemos resumido la

informacin en el condicional 'p q'. La premisa p no es usada; es descargada. La

conclusin sigue siendo vlida sin ella.

Recapitulando, y marcando cada paso en los argumentos en los que la premisa p est siendo

usada:

No hay asterisco en la conclusin; la premisa pque fue introducida con la marca ha sidodescargada.

1.2.2 Ley de identidad

REGLA DE IDENTIDAD: a lo largo de una deduccin siempre es legtimorepetir una premisa que se haya usado, o un paso en la prueba que ya se haya

usado.

Este uso de un paso en una prueba -con independencia de que sea una premisa o un paso

derivado de una premisa- est legitimado si y slo si el paso en cuestin est siendo usado

(no ha sido descargado).

Usamos este principio para derivar lo que los griegos denominaron "ley de identidad" -una

de sus tres "leyes del pensamiento": identidad, no-contradiccin, y tercero excluido-: el

teorema 'p p'.

Un teoremaen lgica, como en geometra, es una afirmacin segura, vistos los hechos. Esvlido en cualquier caso, y no hay ningn conjunto de circunstancias en donde podamos ver


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que es falso. Su prueba no contiene premisas sin descargar. (Ocasionalmente, omos a los

lgicos decir que un teorema es una afirmacin "demostrable sin premisas" -pero esto es

una elipsis de "demostrable sin premisas que no hayan sido descargadas". Es imposible

encontrar una prueba sin un punto de partida para la misma).

La ausencia de asteriscos en la ltima lnea de esta derivacin marca a tal lnea como unteorema: verdadero independientemente de cualquier premisa o suposicin, establecido

solamente sobre fundamentos lgicos. Ejemplos de la ley de identidad son:

Si llueve, llueve

que es verdadera tanto si llueve como si no.

Si a Mara le gustan las zanahorias, a Mara le gustan las zanahorias

que tambin es verdadera en cualquier circunstancia. Etc.

El principal punto de inters de la ley de identidad no es su utilidad, sino, la restriccin

explcita de su uso. Un paso en una prueba debe repetirse si y slo si su premisa est siendo

usada. La violacin de esta restriccin (la "falacia de la repeticin ilcita") puede llevarnos

a una horrible confusin. Supongamos, por ejemplo, que hemos aadido una lnea (paso 7 opaso 7') a nuestra derivacin:

Esto es un sinsentido! La conclusin extrada en los pasos 7 o 7' a partir de nuestras

premisas (1 y 2) es equivalente a la que se sigue de 1, 2 y 3. Despus del paso 6, donde la

premisa 3 es descargada y el asterisco asociado con la premisa 3 eliminado, los pasos 3, 4 y

5 ya no estn disponibles, ni para volver a afirmarlos ni para ninguna otra cosa.

1.2.3 Reglas bsicas de conjuncin

1.2.3.1 Regla de introduccin del conjuntor

PRODucto: de cualesquiera dos afirmaciones usadas en cualquier parte enuna deduccin, su conjuncin se sigue como una conclusin.

Simblicamente,

La primera advertencia que hay que hacer es que las afirmaciones unidas en una disyuncin

deben estar "disponibles" cuando son conjuntadas; esto es, si son premisas, deben estarsiendo usadas, y, si no son premisas, sus premisas deben estar siendo usadas (vase ms

arriba la restriccin de la regla IDENTIDAD).

En segundo lugar, la conjuncin debe construirse correctamente. "O Mara y Luis estn

interesados en la msica o la soportan" no es la conjuncin de "Mara est interesada en la

msica o la soporta" y "Luis est interesado en la msica o la soporta", ni es la conjuncinde "Mara est interesada en la msica" y "Luis est interesado en la msica o la soporta";


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no es la conjuncin de ninguna de ellas. Hay muchas sentencias que contienen "y" que no

son conjunciones.

Una afirmacin est disponible, para su repeticin o para cualquier otro uso (en este caso,

producto) si el paso en que va y el paso citado, o no son suposiciones, o la suposicin no ha

sido cerrada. La siguiente deduccin es, segn esto, falaz:

1.2.3.2 Regla de eliminacin del conjuntor

SIMPlificacin: Un componente conyuntivo de una conjuncin se sigue de

la conjuncin.

Si yo se que a Mara le gustan las zanahorias y que a Luis le gustan los guisantes, puede

asegurar que a Luis le gustan los guisantes; del mismo modo, puedo asegurar que a Mara

le gustan las zanahorias.

Simblicamente,

Cualquier componente conyuntivo de una conjuncin se sigue de la conjuncin misma.

Esto es, creo, intuitivamente claro. Pero el lenguaje se desarrolla secuencialmente, bien en

el tiempo, o bien en una pgina escrita (de izquierda a derecha, de arriba abajo, etc.) y estono est de acuerdo con la radical simetra (o direccionalidad) de la conectiva "y", que

simbolizamos por ''. Sabemos, por supuesto, que si pronuncio cualquiera de las siguientes

frases

A Mara le gustan las zanahorias, y a Luis los guisantes.

Emilio es pobre, pero honesto.

La nieve es blanca, y la hierba verde.

no importa cul de las sentencias de cada uno de los pares menciono primero. Pero debomencionar una primero; no puedo decirlas simultneamente o escribirlas unas encima de

otras y hacerme entender.

As, nosotros entenderemos que la ley de simplificacin nos permite derivar de una

conjuncin cualquiera de sus componentes conyuntivos, independientemente del orden en

que sean presentados, sobre la base de que el orden de presentacin no es importante.

Pero, se podra objetar, hay muchas sentencias en donde el orden de presentacin es

importante. "Mara ve a Luis y sale de casa" parece que dice algo bastante distinto a "Marasale de casa y ve a Luis". Ambas sentencias pueden, por supuesto, interpretarse a nuestra

conveniencia, en vez de como una simple conjuncin, y seguramente as seran

interpretadas si apareciesen en una novela. (Quizs Mara tiene miedo de Luis o, por otraparte, est ansiosa de estar con l; quizs Luis est escondido detrs del granero, etc.) Para

nuestros propsitos, no obstante, tales diferencias no son importantes. La conectiva lgica


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'y', o '', igual que '', hace abstraccin de las conexiones, causales o de otro tipo, entre las

afirmaciones que une. De cualquiera de nuestras dos sentencias podemos derivas "Mara ve

a Luis" por simplificacin; tambin, "Mara sale de la casa". Y cualquiera de ellas ser

verdadera si Mara hace ambas cosas, independientemente del orden, por cualesquierarazones.

1.2.4 Reglas bsicas de disyuncin

1.2.4.1 Regla de introduccin del disyuntor

Dada una frmula cualquiera, A, es lcito en el clculo pasar a una frmula nueva por el

procedimiento de adicionarle mediante disyuntor el miembro que nos plazca, B (el cual

puede ser cualquiera, incluso otra vez A, o tambin la negacin de A).

El fundamento intuitivo de esta regla es el siguiente: supngase que A es verdadera;

entonces nada se pierde con aadirle mediante disyuntor otra frmula B, cualquiera que

sta sea, porque la disyuncin obtenida ser tambin una frmula verdadera. Y si A fuerafalsa, entonces tampoco se perdera nada con la adicin de B, cualquiera que fuese su valor

de verdad. A esta regla la denominaremos Ado adicin. Esquemticamente:

1.2.4.2 Regla de eliminacin del disyuntor

Su sentido es el siguiente: supuesta inicialmente una disyuncin, entonces no se est en

principio autorizado a pasar a la afirmacin de alguno de sus extremos en particular. Lo que

en principio se infiere de la noticia de la verdad de una disyuncin es, que uno al menos de

sus componentes, no se sabe cul, es verdadero. Para determinar cul sea el queefectivamente cumple tal condicin o si ambos la cumplen se requiere nueva informacin.

Sin embargo, aun cuando no se pueda pasar lgicamente de la verdad de una disyuncin a

la verdad de ninguno de sus extremos en particular, cabe apelar a un recurso que consiste

en suponer cada uno de esos extremos con carcter provisional o subsidiario y por

separado. Si del anlisis de cada una de esas dos suposiciones se obtuviese un mismoresultado, ello querra decir que tal resultado se sigue lgicamente de la disyuncin inicial,

aunque continuemos careciendo de informacin precisa acerca de cul sea el componente

de sta que cumpla la condicin de ser verdadero. Y como la conclusin as obtenida esindependiente de esa informacin, los supuestos subsidiarios al efecto pueden ser

cancelados.

Este razonamiento se apoya en un conocido mtodo de prueba informal: la prueba porcasos, cuya marcha puede resumirse as:

Dada una disyuncin: A B

Supngase A: entonces se sigue C

Supngase B: entonces se sigue c.


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Por consiguiente, se sigue C

El esquema de esta regla es el siguiente:

Los supuestos son subsidiarios y deben ser cancelados, por consiguiente, antes del

establecimiento de la conclusin. A esta prueba se la denominar Casoprueba por casos.

1.2.5 Reglas bsicas de la negacin

1.2.5.1 Introduccin de negador

Se basa en la idea central del clculo de que una contradiccin es inadmisible; todaproposicin que d lugar a ella debe ser negada. La denominaremos Abs o absurdo.Esquemticamente:

1.2.5.2 Eliminacin de negador

Se basa en el dato de que negar doblemente algo es tanto como afirmarlo. Ladenominaremos DNo doble negacin. Esquemticamente:

1.2.6 La regla TEOREMA

TEOREMA. Cualquier instancia de un teorema, una declaracin que ha sido

establecida sobre fundamentos lgicos, puede introducirse como un paso unaprueba en cualquier punto de una deduccin.

Ya hemos visto un cierto nmero de teoremas, entre ellos p q, p p, p (q p),

p (p q), (p p) q. Ciertamente sera estpido intentar probar estos teoremasuna vez y otra cuando queramos usarlos, o intentar probar sus ejemplificaciones, como por

ejemplo, (r s) (r s) o (a b) (a b). Podemos ahorrarnos este trabajoinnecesario recordando los resultados del trabajo ya hecho; citamos un teorema como un

atajoen una deduccin.

La regla TEOREMA nos autoriza a usar cualquier teorema, una vez demostrado, y nosindica como debe hacerse esto. Introducimos una instancia de un teorema como un paso en

una prueba, bien al principio de la deduccin o en cualquier momento que lo necesitemos.

Si lo introducimos al principio, no necesita asteriscos; en cualquier otro punto llevar los

asteriscos adecuados a la posicin que ocupa (no se aaden asteriscos).

Los teoremas de la lgica proposicional y sus instancias son ordinariamente denominados

"tautologas". Una afirmacin es "tautolgica", o una tautologa, si puede demostrarse quees verdadera, independientemente de los hechos, mediante los mtodos de la lgica

proposicional.

Hagamos un inciso para discutir lo que entendemos por una "instancia" de un teorema.

Hemos usado la nocin de instanciacin, o derivacin de instancias, informalmente


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principalmente en conexin con el uso de reglas. 'p q' es una instanciade una afirmacin

condicional. As 'Si llueve, uso mi paraguas' y 'Uso paraguas si llueve o nieva' y '(p q)

(q p)', etc.; son todas instancias de 'p q'. El Modus Ponens nos dice que de cualquier

afirmacin condicional, tomada junto con su antecedente, se sigue su consecuente, esto es,

que qpuede derivarse de p q junto conp, en lugar de p y q podemos poner cualesquiera

afirmaciones, sin que importe de que tratan, cul es su complejidad, o si son diferentes osimilares. Todo principio de inferencia afirma que todos los argumentos que todos los

argumentos que son sus instancias son vlidos. Estos principios de inferencia, en otras

palabras, hacen afirmaciones generales.

Tambin los teoremas hacen afirmaciones generales. Puesto que previamente ya se hademostrado que todo teorema es vlido, puede suministrarse una prueba similar de validez

para cada instancia de l. Sustituimos por las variables de la formulacin original las

variables relevantes o afirmaciones que aparecen en la instancia actual y la prueba se

realiza del mismo modo que antes. Esto puede hacerse siempre que el ejemplo haya sidoconstruido correctamente, esto es, siempre que el teorema original, digamos po q, sea un

ejemplo de sustitucin depy q.

La sustitucin uniforme es una garanta de que los ejemplos se construyen correctamente.

Cuando una variable est repetida en el original su sustituto debe repetirse en la

ejemplificacin, de modo que todo lo que aparece en el original y en la ejemplificacin sealo mismo - en otro caso habremos "cambiado el tema" ilcitamente. Por ejemplo, es un error

pensar que 'p (p q)' es una instancia de 'p p', aunque ambos sean teoremas, porque

en 'p (p q)' el antecedente y el consecuente no son iguales. Cualquier prueba de 'p

(p q)' debe ser bastante diferente de la prueba de 'p p'. En cambio, '(p q) (p q)'

s que es una instancia de 'p p'; 'p q' ha sido uniformemente sustituido por 'p' tanto en

el antecedente como en el consecuente. Las pruebas para los dos teoremas deben ser

idnticas, como puede verificar el lector. En la argumentacin ordinaria, cuando usemosuna regla o afirmacin general, usamos ejemplificaciones intuitivamente y, la mayor parte

de las veces, correctamente. No obstante es importante realizar esto con cuidado. Como

hemos visto, 'p p' es una instancia de 'p q', pero 'p q' no es una instancia de 'p p'.

'(p q) r' es una instancia de '(q p) s', y viceversa. '(p q) p' es una instancia de

'p q', pero no de 'p q'. Etc. Mediante la prctica aprendemos a hacer este tipo desustituciones de un modo fiable.

1.3 Reglas derivadas del clculo de proposiciones

Las ocho reglas anteriores son por s solas suficientes para resolver todo problema dededuccin formal que se presente dentro de la lgica de proposiciones. En la prctica, sinembargo, la resolucin de argumentos con la exclusiva ayuda de estas reglas resulta

demasiado lenta. Es conveniente, por ello, utilizar reglas derivadas, las cuales no son otra

cosa que "combinaciones de aplicaciones de reglas bsicas"

1.3.1 Reglas derivadas de implicacin


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Silogismo (Sil)

A B

B > C

A C

Mutacin (Mut)

A (B C)

B (A C)

Id

A

A

Cpr

A

B

1.3.2 Reglas derivadas de conjuncin y disyuncin

1.3.2.1 Propiedad conmutativa

CCA

B A

CDA B

BA

1.3.2.2 Propiedad asociativa

AC(AB)C

A(BC)

AD(AB)C


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A(BC)

1.3.2.3 Propiedad distributiva

DCA(BC)

(AB)(AC)

DDA (B C)

(AB)(AC)

1.3.2.4 Propiedad de idempotencia

IdCAA

A

IdDA A

A

1.3.2.5 Ley de absorcin

AbsCA (AB)

A

AbsDA

1.3.3 Reglas derivadas de negacin

1.3.3.1 Contraposicin y "modus tollens"

CpA B

B A

MTA B

B

A


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1.3.3.2 Introduccin de doble negador y "ex contradictione quodlibet"

IDNA

A

ECQAA

B

1.3.3.3 Principios de no contradiccin y de tercero excluido

PNCPTEA

1.3.4 Reglas adicionales de conjuncin y disyuncin

1.3.4.1 Leyes de importacin y exportacin

ImpA(BC)

ABC

ExpABC

A(BC)

1.3.4.2 Silogismo disyuntivo

SD1 AB

B

A

SD2AB

A

B

1.3.4.3 Dilemas

Dil1AB


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AC

BC

C

Dil2AB

CA

CB

C

Dil3AB

AC

BD

CD

Dil4A B

CA

DB

CD

1.3.5 Reglas de coimplicacin

ICOAB

BA

AB

ECO1AB

AB

ECO2AB

BA


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1.3.5.1 Consecuencias de la definicin de coimplicador

AB

A

B

AB

B

A

1.3.5.2 Propiedades del coimplicador

Reflexividad

AA

Simetra

AB

BA

Transitividad

AB

BC

AC

1.3.6 Intercambio

La regla de intercambio es una regla que permite operar directamente sobre subfrmulas sin

necesidad de sacarlas primero de ese contexto en el curso de la deduccin.

Sean A y B dos frmulas cualesquiera del clculo. Sea C otra frmula que contiene por lo

menos una ocurrencia de A como subfrmula; especificaremos esto escribiendo CA, esdecir: la frmula C, en la que se destaca provisionalmente una determinada ocurrencia de

una determinada subfrmula A. Sea CBel resultado de cambiar en C la referida ocurrencia

de A por b.


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A esta operacin se le da el nombre de intercambio. A la frmula C la llamaremos frmula

inicial; a las frmulas A y B, subfrmulas intercambiadas, o ms especficamente,

subfrmula reemplazadaa la primera ysubfrmula reemplazantea la segunda; a la frmula

CBla llamaremosfrmula final.

La regla de intercambio se puede formular as: dadas dos frmulas equivalente A y B, ydada una tercera frmula C que contiene como subfrmula la ocurrencia de una de ellas,

puede cambiarse en C dicha ocurrencia de esa subfrmula por la ocurrencia de su

equivalente. En forma abreviada: AB, CACB. Esta regla permite cambiar una frmula por

su equivalente dentro del contexto de cualquier premisay sin necesidad de descomponerprimero a esa premisa. La validez de esta regla depende de la demostracin del teorema de

intercambio.

Teorema de intercambio. Lo demostraremos por induccin matemtica.

Este teorema consta de una hiptesis: A B y de una tesis: CACB.

Base. G(CA) =0. Esto quiere decir que CAes atmica. Pero entonces CAes A y A es B, y

por tanto, CACB.

Paso. Se supone que para cualquier grado nde CA, CACB. Y se ha de probar que para

una frmula D de grado lgico n+1 y tal que englobase inmediatamente a C A, valiese el

intercambio: si CAse cambia por CBen el seno de D, el resultado D+ser tal que D D

+.

La frmula D ha de tener forzosamente la estructura: (1) de una negacin, y entonces D

CA; (2) de una conjuncin, y entonces D AE; (3) de una disyuncin, y entonces D CA

E; o de (4) una implicacin, y entonces o bien (4.1) D CAE, o bien (4.2) D E CA.

Caso (1): D CA. Hay que demostrar CACB.

1 CACBhiptesis de la induccin

2 CBCAECO21

3 CACBCp2

4 CACBECO11

5 CB CACp4

6 CACBICO4,5

Caso (2): D CAE. Hay que demostrar CAE CBE.

- 1 CAE


26/40

2 CASimp11

3 CACBHip. induc.

4 CBECO33

5 E Simp21

6 CBE Prod 4,5

- 7 CBE

8 CBSimp17

9 CACB Hip. induc.

10 CAECO49

11 E Simp27

12 CAE Prod 10,11

Caso (3): D CAE. Hay que demostrar CAE CBE.

1 CAE

2 CACBHip. induc.

3 CACBECO12

4 CA

5 CBMP3,4

6 CBE Ad15

7 E

8 CBE Ad27

9 CBE Cas,1,4-6,7-8

10 CB

11 CACBHip. induc.


27/40

12 CBCAECO211

13 CB

14 CAMP 12,13

15 CAE Ad114

16 E

17 CAE Ad216

18 CAE Cas 10,13-15,

16-17

Caso (4.1) DAE. Hay que demostrar (CAE)(CBE).

- 1 CAE

2 CACBHip. induc.

3 CBCAECO22

4 CBE Sil 3,1

- 5 CBE

6 CACBHip. induc.

7 CACBECO16

8 CAE Sil 7,5

Caso (4.2): DECA. Hay que demostrar (ECA)(ECB).

- 1 ECA

2 CACBHip. induc.

3 CACBECO12

4 ECBSil 1,3

- 5 ECB


28/40

6 CACBHip. induc.

7 CBCAECO26

8 ECASil 5,7

1.3.7 Leyes de interdefinicin

1.3.7.1 Definiciones de

DI1AB

(AB)

DI2AB

AB

1.3.7.2 Definiciones de ,

DfC1AB

(AB)

DfC2AB

(AB)

DfD1AB

AB

DfD2AB

(AB)

1.3.8 Leyes de De Morgan

DM1(AB)

AB

DM2(AB)

AB


29/40

2. CALCULO DE PREDICADOSLos enunciados compuestos o moleculares hasta ahora definidos se han basado en la

combinacin de enunciados preexistentes mediante el empleo de juntores. As, el enunciado

compuesto "llover o no llover" es el resultado de combinar mediante la partcula "o" elenunciado atmico "llover".

Un tipo distinto de enunciados compuestos son los que se basan en el empleo de laspartculas todo y alguno. Las proposiciones que se fundan en el empleo de la partcula

"todo" se denominan universales, y las que se fundan en la partcula "alguno" se denominan

particulares.

La introduccin de estos elementos es debido a que hay argumentos que no pueden ser

resueltos con la sola ayuda de la lgica de proposiciones. Un ejemplo de un argumento de

este tipo podra ser:

Todo griego es europeo. (p)Todo ateniense es griego. (q)

Por tanto, todo ateniense es europeo. (r)

Este argumento es concluyente, porque la verdad de sus premisas es incompatible con la

falsedad de su conclusin. Sin embargo, no hay ninguna ley en lgica de juntores que

permita concluir rpartiendo depy q. Ello es debido a que en este argumento se utiliza lapalabra todo que, junto con la palabra alguno, rebasa el mbito de la lgica de

proposiciones.

La parte de la lgica que se ocupa del uso de la partcula "todo" o "alguno" es la lgicacuantificacional o lgica de predicados.

Las operaciones del clculo de proposiciones se reducen a:

a. abrir las frmulas cerradas por cuantificadores, suprimiendo o desmontandoprovisionalmente a stos;

b. aplicar las tcnicas de lgica de proposiciones a las frmulas resultantes, yc. restituir o reponer al trmino de las operaciones los cuantificadores que se haban

suprimido.

Tema 6 - El cálculo de proposiciones y de predicados

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