Deducción en la Lógica de Predicados

80
Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón

Transcript of Deducción en la Lógica de Predicados

Page 1: Deducción en la Lógica de Predicados

Deducción en laLógica de Predicados

Roberto Moriyón

Page 2: Deducción en la Lógica de Predicados

Razonamiento

• Recordatorio: El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en deducir las consecuencias de un conjunto de axiomas.

• Las reglas de deducción del Cálculo de Predicados permiten deducir a partir de un conjunto de axiomas cualquier consecuencia de ellos.

Page 3: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción• Axiomas:

– Todas las personas andan– Todo objeto que anda se mueve– Juan no se mueve

Demostrar que Juan no es una persona.• Posible formalización con proposiciones:

Demostrar ~Persona Juan sabiendo que x,(Persona xAnda x),x,(Anda xMueve x) y ~Mueve Juan

Page 4: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, II

• Utilizando las iniciales:– Los símbolos de predicados unarios P, A y M

representan las condiciones ser una persona, andar y moverse respectivamente.

– El símbolo de constante J representa a Juan.– Axiomas:

A = {x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ }

Page 5: Deducción en la Lógica de Predicados

Lenguaje lógico

• Un lenguaje lógico está formado por una colección de símbolos de variables, constantes, funciones y predicados.

• En este curso supondremos que hay al menos una constante, lo que implica que el conjunto de valores posibles de las variables no es vacío.

• Esta hipótesis se puede evitar, pero con demostraciones más complicadas.

Page 6: Deducción en la Lógica de Predicados

Lenguaje lógico, II

• En el ejemplo anterior hay una constante, J, y tres predicados unarios (P, A y M).

• Un lenguaje lógico determina dos lenguajes asociados: términos y fórmulas.

• En el ejemplo anterior hay un solo término, J, e infinitas fórmulas como las que se han mostrado como axiomas.

Page 7: Deducción en la Lógica de Predicados

Lenguaje lógico, III

Otro ejemplo:• Constantes: 0.• Funciones: f (unaria).• Predicados: = (binario infijo).• Términos: fff…f0, fff…fx, etc.• Predicados: f0=ff0, x,fx=0, etc.

Page 8: Deducción en la Lógica de Predicados

Lenguaje Lógico, IV

• Lenguaje de la Aritmética:– Constantes: 0.– Funciones: S (siguiente, unaria), + (suma,

binaria infija) y * (producto, binaria infija).– Predicado: = (binario infijo).– Términos: SS0+S(x*y) etc.

• También abreviadamente: 2+(x*y+1), etc.– Fórmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.

Page 9: Deducción en la Lógica de Predicados

Lenguaje Lógico, V

• Lenguaje de la Semiótica:– Constantes: 0 (cadena vacía).– Funciones: S (anteposición, unaria) y +

(concatenación, binaria).– Predicado: = (binario infijo)– Términos: SaSb0+Sa(x+y), etc.

• También abreviadamente: “ab”+Sa(x+y), etc.

– Fórmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.

Page 10: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, III

Recordamos nuestro ejemplo inicial:• Predicados unarios: P (es persona), A

(anda) y M (se mueve).• Constante: J (Juan).• Axiomas: x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ.

Page 11: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, IV• Dex,(PxAx) se deduce PJAJ• De lo anterior se deduce ~AJ~PJ [*]• De x,(AxMx) se deduce AJMJ• De lo anterior se deduce ~MJ~AJ• Por el modus ponens, de lo anterior y ~MJ

se deduce ~AP.• Por el modus ponens, de lo anterior y [*]

se deduce ~PJ.

Page 12: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, V

• La deducción anterior se escribe habitualmente como sigue:x,(AxUx) [Axioma]APUP [R. de especificación]~UP~AP [R. implicación contrarr.]~UP [Axioma]~AP [Modus Ponens]

Page 13: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, V

x,(MxAx) [Axioma]MPAP [R. de especificación]~AP ~MP [R. implicación contrarr.]~MP [Modus Ponens]

• La única regla nueva en el ejemplo anterior es la de especificación.

Page 14: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción

• Todas las de la lógica proposicional, sustituyendo sus átomos por los de la lógica de predicados (con una limitación en la regla de deducción de implicaciones que se describirá enseguida).

Page 15: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, II

• Si permitiéramos lenguajes lógicos sin constantes habría que restringir la utilización del modus ponens para no permitir deducciones como

x=x, x=x y,y=y y,y=y

Page 16: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, III

• Regla de especificaciónEjemplo: a,~Sa=0 ~S(c+SS0)=0

- , [: Cualquier variable]- , / [: Cualquier variable]

[: Término todas cuyas variables son nuevas]Sin la restricción anterior, habría deducciones falsas como a,b,b=Sa b,b=Sb

Page 17: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, IV

• Regla de generalización:Ejemplo:(~x=0 y,x+x=SSy) x, (~x=0 y,x+x=SSy)- ,[: Cualquier variable no ligada en ].Significado: Las variables libres pueden tener valor arbitrario.

Page 18: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, V

Limitación en la regla de deducción de implicaciones (, ):

• La deducción de partida (, ) no puede incluir ninguna generalización sobre ninguna variable libre de .

• Consecuencia: en una deducción auxiliar, no equivalen una fórmula y x,. Se puede aplicar especificación a la última, pero no generalización a la primera.

Page 19: Deducción en la Lógica de Predicados

Deducción de implicación a partir de inferencia

• Si se permitieran generalizaciones en las deducciones que dan lugar a implicaciones, se podrían hacer deducciones falsas como la siguiente:

• Deducción auxiliar:a=0 a,a=0 [Generalización]

Sa=0 [Especificación]• Fórmula deducida: a=0 Sa=0

Page 20: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, VI

• Regla de intercambio:Ejemplo: a,~Sa=0 ~a,Sa=0

- A,~B A~,B [: variable]• Observaciones: x,~ ~x,

Page 21: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, VII

• Comentario a la regla de intercambio:,~ ~,

Se pueden añadir las reglasA,~B A~,B

Page 22: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, VIII

• Regla de existencia:Ejemplos:a) a,~Sa=0 b,a,~Sa=bb) a,~Sa=0 ^ a,~SSa=0

b, (a,~Sa=b ^ a,~SSa=0)

- ,// [: Término en ]

Page 23: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, IX

• Regla de ámbito:Ejemplo:y,(SSy=Sy+S0 vz,Sz=0) (y, SSy=Sy+S0) v z,~Sz=0- ,(v) (,)v[ no libre en ]- ,(^) (,)^[ no libre en ]

Page 24: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, X

• Comentario a la regla de ámbito: Las siguientes deducciones son correctas bajo la hipótesis de existencia de constantes:- ,(^) (,)^- (,)v ,(v)[ no libre en ](pero no en general: las partes derechas pueden ser falsas si el dominio es vacío aunque las partes izquierdas sean ciertas)

Page 25: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, XI

• Comentario a la regla de ámbito: Las siguientes deducciones son correctas en general:- (,)^ ,(^)- ,(v) (,)v[ no libre en ]La demostración se dará más adelante. Podemos aceptar cuatro reglas de deduc-ción correspondientes a estas deducciones.

Page 26: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, XII

• Reglas para la igualdad:R. fundamental: =R. de simetría: = =de Transitividad: =, = =R. de Sustitución: =, //

[, , : Términos]

Page 27: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados:Reglas de deducción, XIII

• Las tres primeras reglas de la igualdad se pueden reescribir de manera natural como axiomas (son la idempotencia, simetría y transitividad de la igualdad).

• En general, todo el sistema de reglas se puede sustituir por un conjunto de axiomas junto con una sola regla: el modus ponens.

Page 28: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, VI

• Axiomas:– A todos los gatos les gusta el pescado– Todos los gatos comen todo lo que les gusta– Ziggy es un gato

• Demostrar que Ziggy come pescado

Page 29: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, VII

• Constantes:– Ziggy z– Pescado p

• Predicados:– x es un gato g x– A y le gusta z t y z– u come w c u w

Page 30: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, VIII

1. x, g x t x p [Axioma]2. x, y, g x ^ t x y c x y [Axioma]3. g z [Axioma]4. g z t z p [Espec. 1]5. t z p [Modus pon.]6. g z ^ t z p [3, 5]7. y, g z ^ t z y c z y [Espec. 2]8. g z ^ t z p c z p [Espec.]9. c z p [Modus pon.]

Page 31: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicio obligatorio

• [PESC] Deducir que algún lenguado es un desgraciado a partir de los siguientes axiomas:– Todo tiburón se come un lenguado– Todo pez grande y blanco es un tiburón– Algunos peces grandes blancos viven en

aguas profundas– Todo lenguado comido por un pez que

vive en aguas profundas es desgraciado

Page 32: Deducción en la Lógica de Predicados

Universalidad delCálculo de Predicados

• La última demostración es válida independientemente del dominio. Podría ser, por ejemplo, una demostración acerca de números y funciones, alcachofas y caballos o puntos y rectas.

• Esto es cierto en todas las deducciones formales basadas en el Cálculo de Predicados.

• Las personas razonamos en base a unas reglas lógicas fijas, pero guiamos nuestro razonamiento en base a nuestro conocimiento del modelo que tenemos en mente.

Page 33: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, IX

x,(F G) (x,F) (x,G)

x,(F G) (x,F) Gy/x

F G y,((~x,F)vGy/x)[ x,F y,(Gy/xv(~x,F))F (y,Gy/x)v(~x,F)G (~x,F)v(y,Gy/x)Gy/x] (x,F) (y,Gy/x)

Page 34: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, X

x,(F G) (x,F) (x,G)

x,(F G) x,~G~Fy/x

F G (x,G)v(~Fy/x)~G ~F (~Fy/x)v(x,G)[ x,~G y,((~Fy/x)v(x,G))~G (y,~Fy/x)v(x,G)~F (y,Fy/x)(x,G)~Fy/x]

Page 35: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, XI

x, ; ( ) x,• Demostración:x, (x,~)~ x,((x,~)~)[ x, ~ (x,~)x,~~ (x,) x,~~ x,~]

Page 36: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, XII,(FvG) (,F)vG [ no libre en G]• Demostración:

[ ~G[ (FvG)^~GFvG~G~GFF]

Page 37: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, XIII…((FvG)^~G) Fx,((FvG)^~G) x,F [VISTO EN CLASE]((x,FvG)^~G)x,((FvG)^~G) [REGLA DE AMBITO][ (x,FvG)^~G

x,((FvG)^~G) [MODUS PONENS]x,((FvG)^~G) x,Fx,F] [MODUS PONENS]

Page 38: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, XIV

…(x,(FvG))^~Gx,F(x,(FvG))^~Gx,F] [MODUS PONENS]~Gx,F(x,F)vGUFFFF!!!

Page 39: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, XV

x,F, x,G x,F• Demostración:

[ x,~F [[Reducción al absurdo]] ~FFF^~F](x,~F) F^~F(x,~F) (x, F^~F) [General. y ámbito]

Page 40: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de deducción, XVI

…(x,Fv~F) (x,F)Fv~FG (Fv~F)x,G x,(Fv~F) [VISTO EN CLASE]x,G[AXIOMA]x,(Fv~F)x,F [MODUS PONENS]

Page 41: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios obligatorios• [LOB] Se supone que en la lobera hay lobos, que

son carnívoros, y hombres, que pueden ser carnívoros o hervíboros. También se supone que los carnívoros no comen lechuga y que Tom, que está en la lobera, la come. Demostrar que Tom es un hombre.

• [ARD] Resolver el ejercicio anterior suponiendo que en la lobera también puede haber ardillas, que son hervíboras, y que los hombres también pueden ser omníboros, así como que los herví-boros no comen carne, que los omníboros comen carne y lechuga y que Tom come carne y lechuga. Es innecesaria alguna de las hipótesis?

Page 42: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales

[TAUT] Demostrar que las siguientes fórmulas lógicas son tautologías:

• (x,y,P x y) (y,z,(P 0 y ^ P y z)• (P (Q^R)) ((P Q) ^ (P R))• ((P Q) ^ (P R)) (P (Q^R))• ((x, R x v Q x) ^ x,~R x) x,Q x

Page 43: Deducción en la Lógica de Predicados

Interpretación: Definición formal

• Recordatorio: En los sistemas formales que hemos estudiado una interpretación asigna objetos de un conjunto a partes de la palabra de partida.

• En la Lógica de Predicados una interpretación asigna objetos de un conjunto a los términos y afirmaciones acerca de esos objetos a los predicados.

• El conjunto de objetos asociado a una interpretación se llama su dominio (puede ser vacío).

Page 44: Deducción en la Lógica de Predicados

Interpretación:Definición formal, II

• Una interpretación I de un lenguaje lógico consiste en un conjunto D (su dominio) y:– Para cada variable , un elemento de D, I.– Para cada constante c, un elemento de D, cI.– Para cada símbolo de función n-aria f, una

funciónfI: DxDx…xD D.

– Para cada símbolo de predicado n-ario P, un subconjunto PI DxDx…xD.

Page 45: Deducción en la Lógica de Predicados

Interpretación:Definición formal, III

• En la definición anterior las operaciones se consideran funciones binarias.

• La interpretación de los símbolos de un lenguaje formal se extiende a todos los términos y todas las fórmulas del lenguaje:– Los términos se interpretan como elementos

del dominio. Si un término tiene la formaf(1, …, n), su interpretación es fI(1I, …, nI).

– Las fórmulas se interpretan como booleanos.

Page 46: Deducción en la Lógica de Predicados

Interpretación:Definición formal, IV

• Las fórmulas se interpretan …– Si una fórmula tiene la forma P(1, …, n), su

interpretación es (1I, …, nI) PI.– Las fórmulas compuestas se interpretan como en el

cálculo de proposiciones. Por ejemplo, F^G se interpreta como FI^GI.

– Las fórmulas con cuantificador se interpretan como sigue:x,F es cierta si xD,FI.x,F es cierta si xD,FI.

Page 47: Deducción en la Lógica de Predicados

Teorema de coherencia delCálculo de Predicados

• Si una fórmula F se deduce a partir de un conjunto de fórmulas A, es consecuencia de dicho conjunto de fórmulas.

• Demostración:Es consecuencia de que en cada regla de deducción, si todas fórmulas de su cabecera son ciertas en una interpretación, su cuerpo también es cierto.

Page 48: Deducción en la Lógica de Predicados

Teorías lógicasDeducción como sistema formal

• Una teoría lógica está formada por un lenguaje lógico, un cálculo lógico (sistema formal) y un conjunto de axiomas, que son fórmulas cerradas. Las fórmulas deducidas de los axiomas se denominan teoremas.

• El conjunto de axiomas de una teoría lógica puede ser infinito, pero tiene que ser recursivo.

Page 49: Deducción en la Lógica de Predicados

Deducción y consecuencia

• En una teoría lógica basada en el Cálculo de Predicados, dada cualquier deducción que utilice los axiomas Ai para demostrar un teorema T, la fórmula A1^A2^…^AN T es una tautología.Demostración:Es consecuencia del teorema de coherencia para el Cálculo de Predicados.

Page 50: Deducción en la Lógica de Predicados

Modelos

• Un modelo es una interpretación de una teoría lógica en la que todos los axiomas son ciertos (y por lo tanto los teoremas también).

• Ejemplo: En una lógica con un sólo símbolo de función f y un único axioma,

A = { x,y,f x = f y x = y },cualquier conjunto D con una aplicación inyectiva f:DD es un modelo.

Page 51: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios obligatoriosDar modelos para los siguientes conjuntos de axiomas suponiendo que el lenguaje lógico que se considera no tiene constantes:

• [MOD1] { x,y,x=y }• [MOD2] { x,x=x }• [MOD3] { x,~x=x }• [MOD4] { x,~x=x }• [MOD5] { x,y,x=y }• [MOD6] { y,x,x=y }• [MOD7] { x,y,(~x=y ^ z,(x=z v y=z)) }

Page 52: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con un modelo numérico: Axiomas

x,~Sx=0x,0+x=xx,y,Sx+y=S(x+y)x,x.0=0x,y,x.Sy=(x.y)+xx,y,(Sx=Sy x=y)• Nota: x,y,(x=y Sx=Sy) es un

teorema, consecuencia de la regla genérica de sustitución.

Page 53: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con modelo numérico: Axiomas, II

• Inducción (conjunto infinito de axiomas)Ejemplo:0+0=0 ^ x,(x+0=xSx+0=Sx)

x,(x+0=x)- 0/, ,( S/) , [F: Fórmula; V: Variable]Es un conjunto infinito (recursivo) de axiomas, que se pueden utilizar como reglas de deducción.

Page 54: Deducción en la Lógica de Predicados

Utilización de inducción para demostrar un teorema

• Para demostrar en la lógica de predicados con modelo numérico un teorema de la forma x,F mediante inducción, hay que demostrar dos cosas:– A F0/x

– A x,(FFSx/x)• Una vez demostrado lo anterior, se tiene que

AF0/x^x,(FFSx/x), y por la regla del modus ponens y el axioma de elección para la fórmula F, Ax,F.

Page 55: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo sencillo de demostración por inducción sobre números

• Queremos demostrar por inducción que x,(x+0=x) . Tenemos que ver que:– 0+0=0 x,(x+0=xSx+0=Sx)

• Lo primero es un axioma• Lo segundo se demuestra mediante la

regla de deducción de implicaciones

Page 56: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo sencillo de demostración por inducción sobre números, II

x, (x+0=xSx+0=Sx)0+0=0 0+0=0 ^x,y,Sx+y=S(x+y) (x, (x+0=xSx+0=Sx))y,Sx+y=S(x+y) (0+0=0 ^Sx+0=S(x+0) x,(x+0=xSx+0=Sx))[ x+0=x x,(x+0=x)

Sx+0=Sx] x,(x+0=x)x+0=xSx+0=Sx

Page 57: Deducción en la Lógica de Predicados

Modelo numérico

• La interpretación(D =, 00, SS, ++, ..)

es un modelo de la teoría lógica anterior.• Hay más modelos: D = x {0} Z x Q+, con

S(x, y) = (Sx, y)(x, y) + (p, q) = (x+p, y+q)(n, 0) . (x, p/q) = (x, p/q) . (n, 0) = (x.n, n.p/q)(x, p/q) . (y, r/s) = (x.y, p.r/(q.s))

Page 58: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con modelo numérico: Ejemplo de deducción

• Teorema: S0+S0=SS01 x,y,Sx+y=S(x+y) [Ax. 3]2 y,S0+y=S(0+y) [Espec. x 0]3 S0+S0=S(0+S0) [Espec. y S0]4 x,(0+x)=x [Ax. 2]5 (0+S0)=S0 [Espec. a S0]6 S(0+S0)=SS0 [Adición suces.]7 (S0+S0)=SS0 [Transitiv (3, 6)]

Page 59: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de demostración numérica por inducción

x,y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)• Caso x=0:

Partimos del teorema vistoS0+S0=SS0x,~Sx=0 [Axioma 1]~S0=0 [Espec, x0]~S0=0 ^ S0+S0=SS0 [Agrup. Conj.]~S0=0 ^ ~S0=0 ^ S0+S0=SS0 [Agrup. Conj.]z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^ S0+z=SS0) [Existencia]y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^ y+z=SS0) [Existencia]

Page 60: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de demostración numérica por inducción, II

• Paso de inducción:y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx) u,w,(~u=0^~w=0^u+w=SSSx)

[ ~y=0^~z=0^y+z=SSx~y=0^~z=0y+z=SSxSy+z=SSSx [Modus ponens]~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx]

(~y=0^~z=0^y+z=SSx)(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [D.I.I.]

z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [Ej.V]y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)y,z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx)x,y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx) [Inducción]

Page 61: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo: Demostración más sencilla

x,y,Sx+y=S(x+y) ~Sx=0y,S0+y=S(0+y) ~S0=0 ^ ~Sx=0 ^S0+Sx=S(0+Sx) S0+Sx=SSxx,0+x=x z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^0+Sx=Sx S0+z=SSx)S0+Sx=SSx y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^x,~Sx=0 y+z=SSx)~S0=0 x, y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^

y+z=SSX)

Page 62: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales[NUM1] Demostrar las siguientes afirmaciones:• ~S0+SS0=S(S0+0)+SSS(S0+S0)• 6 es un número par• 2 no es el cuadrado de ningún número• 25 es la suma de dos cuadrados• Hay números impares que no son el cuadrado de

otro número• Si t1 y t2 son términos cerrados de la lógica de la

aritmética, o bien t1=t2 es un teorema o ~t1=t2 es un teorema.

Page 63: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales

[NUM2] Demostrar las siguientes afirmaciones:• Si un número es mayor que otro no nulo, hay un

múltiplo de éste que es mayor que el primero• No todos los números son iguales a 4• Ningún número, salvo el 0 y el 1, es igual a su

cuadrado.• Dos números distintos tienen siguientes

distintos.• No todo número x es una potencia de 2.

Page 64: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios obligatorios

[NUM3] Demostrar cada una de las siguientes fórmulas, o su negación:

• ~x,y,(SSO.y)=xx,y,~(SSO.y)=xx,~y,(SSO.x)=yx,y,~(SSO.x)=y

Page 65: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios obligatorios

[IND] Demostrar por inducción las siguientes afirmaciones:- Todo número distinto de cero es el siguiente a otro número- El producto de números naturales es distributivo con respecto a la suma- Todo múltiplo de cuatro es un múltiplo de dos

Page 66: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales

• [PRDEDN] Escribir un programa que hace deducciones lógicas sobre predicados numéricos a partir de un conjunto de axiomas.

• [PRDEDNUS] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas sobre números a partir de un conjunto de axiomas.

Page 67: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con modelo numérico: Observación

• La afirmación[T] ~z=0~z=x.x.x+y.y.yes un caso particular del Teorema de Fermat, y por lo tanto es un teorema.

• Sin embargo, entre los siglos X y XVIII no se sabía si era un teorema o no. Nadie dudaba entonces que o bien era un teorema o su negación lo era. Sin embargo, no era imposible que ni [T] ni su negación fueran teoremas. Los matemáticos generalmente hacen este tipo de suposiciones.

Page 68: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con modelo de cadenas: Axiomas

x,~Sx=0 []x,0+x=xx,y,Sx+y=S(x+y) []

• Sx=Sy x=y [] (elimin.)

• ~Sx=Sx [,, ]• Nota: x,y,(x=y Sx=Sy) es un teorema,

consecuencia de la regla genérica de sustitución.

Page 69: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con modelo de cadenas: Axiomas, II

• InducciónEjemplo: F x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)(y,z,(0+y)+z=0+(y+z) ^(x,(y,z,(x+y)+z=x+(y+z) y,z,(Sx+y)+z= Sx+(y+z))) x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)

• Axioma:F0/V, V,<FFS.V/V> [] V,F

• Es un conjunto infinito de axiomas que se pueden utilizar como reglas de deducción.

Page 70: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo sencillo de demostración por inducción sobre cadenas

0+y=y [Axioma de inducción]y+z=y+z x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)(0+y)+z=y+z0+(y+z)=y+z(0+y)+z=0+(y+z)[ x+(y+z)=(x+y)+z

Sx+(y+z)=S(x+(y+z))…Sx+(y+z)=(Sx+y)+z]

(0+y)+z=0+(y+z) ^ x+(y+z)=(x+y)+zSx+(y+z)=(Sx+y)+z)

Page 71: Deducción en la Lógica de Predicados

Modelo de cadenas

• La interpretación(D=*, 00, SS, ++)

es un modelo de la teoría lógica anterior.

Page 72: Deducción en la Lógica de Predicados

Lógica de predicados con modelo de cadenas: Ejemplo de predicado

• sinCorchete 0C,sinCorchete CsinCorchete SC

– [, ] . [, ].

• Definición sin utilizar un símbolo nuevo:x,y,

((C=x+y ^ ~y=0)z,(y=Saz v y=Sbz))

Page 73: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios obligatorios

Demostrar las siguientes afirmaciones:

• [STR1] Si dos palabras tienen descomposiciones idénticas como concatenación de otras dos, son iguales

• [STR2] Si dos palabras tienen descomposiciones diferentes como concatenación de otras dos, no tienen por qué ser iguales

• [STR3] La palabra “101010” no es la concatenación de otra palabra consigo misma

Page 74: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales

Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones o su negación:

• [STR4] ~x,y,(SaSbO+y)=x• [STR5] x,y,~(SaSbO+y)=x• [STR6] ~x,y,(SaSbO+x)=y• [STR7] x,~y,(SaSbO+x)=y• [STR8] x,y,~(SaSbO+x)=y

Page 75: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales[LENGTH] Se define la longitud de una cadena de

caracteres mediante la función L tal queL0 = 0 ^ LSaw=Saw ^ LSbw=Saw.

Demostrar quex,y,u,v,(Lx=u^Ly=vL(x+y)=u+v)

[MENOR] Definir el predicado < sobre cadenas, que significa que la segunda cadena contiene a la primera al comienzo, y demostrar que

x,y,u,v,L(x,u)^L(y,v)^x<y u<vy la negación de la implicación contraria.

Page 76: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejercicios opcionales

• [PRDEDCH] Escribir un programa que hace deducciones lógicas sobre predicados sobre cadenas a partir de un conjunto de axiomas.

• [PRDEDCHUS] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas sobre cadenas a partir de un conjunto de axiomas.

Page 77: Deducción en la Lógica de Predicados

Teoría de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF)

• Extensionalidad (mismos elementos igualdad)

• Regularidad

• Especificación [: Fórmula] ({xy|})

• Emparejamiento ({x,y})

• Unión ({y|yx})

Page 78: Deducción en la Lógica de Predicados

Teoría de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF), II

• Reemplazamiento (imagen de función)

• Infinito [: y,~(yx). S(y): y{y}, xz(x=y)v(xy)]

• Potencia [zx: yzyx] ({y|yx})

• Elección [well-orders: …]

Page 79: Deducción en la Lógica de Predicados

Ejemplo de teorema de la teoría de conjuntos

X, X { y | yy }[ y,(yx~yy) xx^~xx

xx~xx ~y,(yx~yy)]~xx v ~xx (y,(yx~yy))

~xx ~y,(yx~yy)~xxxx ~y,(yx~yy) vxx v xx ~y,(yx~yy)xx ~y,(yx~yy)

Page 80: Deducción en la Lógica de Predicados

Teoría lógica de Zermelo-Fraenkel: Incompletitud

• La afirmación(x,xyz,zx)(u,x,xyz,zx^zu)se conoce como axioma de elección.• En la segunda mitad del siglo XX, Paul

Cohen demostró que el axioma de elección es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

• Ello se debe a que en algunos modelos de la teoría es cierto y en otros no.