Cálculo de Predicados.

UVGDepartamento de MatemáticaCurso de Lógica Matemática

Cálculo de Predicados

22 de abril de 2009

Por: Dorval Carías S.®

Recordatorio:En Español, la forma estructural más simple de una oración es:

Sujeto + PredicadoPor ejemplo, en la oración “Platón es griego”, el sujeto (Platón) designa a un individuo, mientras que el predicado (es griego) denota una propiedad o acción.Nótese que la oración será “verdadera” en el caso que el individuo en cuestión posea la propiedad o ejecute la acción que se indica.


Considere, ahora, las oraciones:“Platón es filósofo” y “Platón es

griego”por facilidad, podemos denotar la primera oración como “Fp” y la segunda por “”Gp”. Entonces, estas oraciones del lenguaje natural pueden combinarse para formar una nueva oración: “Platón es un filósofo griego”. En términos de notación “lógica”, esta oración se escribiría: FpGp.La oración, “Pitágoras es matemático o filósofo” se denotaría por MpFp.


Es tentador (y usual) tratar la oración “Alfredo vuela” como “Alguien vuela”. Sin embargo, desde el punto de vista de la lógica hay una diferencia significativa entre ambos tratamientos. En efecto, al considerar juntas las oraciones “Alfredo vuela” y “Alfredo es un hombre”, implican que “Alfredo es un hombre que vuela”. Sin embargo, “Alguien vuela” y “Alguien es un hombre” no necesariamente implican que “Alguien es un hombre que vuela”.


Pero Frege lo analiza de una forma diferente.

Gottlob Frege (1848-1925) fue un matemático, filósofo y lógico alemán. Frege esencialmente reconcibió la disciplina de la lógica como un sistema formal que, en efecto, constituyó el primer “cálculo de predicados”.


En su sistema formal, Frege desarrolló un esquema de enunciados cuantificados y formalizó la conceptualización de “prueba” tal y como se acepta en la actualidad. Además, Frege demostró que es posible, en su sistema, resolver algunos enunciados matemáticos en términos de nociones lógicas simples. Frege incluyó en su teoría un axioma con el objeto de generar resultados matemáticos a partir de aspectos puramente lógicos. La teoría resultante se probó inconsistente.


¿Cómo analizó Frege el problema de representar a un individuo por “alguien”? Para Frege “Alfredo vuela” y “Alfredo es un hombre” se deben evaluar en la forma de una propiedad (“vuela”; “Es hombre”) que se asigna a un individuo.La oraciones “Alguien vuela” y “Alguien es hombre” indican que estas propiedades (vuela y es hombre) se deben instanciar (valuar) en elementos de algún conjunto predefinido.


Entonces, en lógica, la forma de describir la posibilidad de instanciar la oración “Alguien vuela” es escribir “Vx”, donde x denota la variable individual a ser instanciada. Esta forma funcional debe ser precedida por el llamado cuantificador existencial , por lo que se propone la notación

(x)Vxpara la oración en cuestión. En forma similar, la oración “Alguien es un hombre que vuela” se denota (x)(Hx Vx).


Por otra parte, para indicar que el universo de los individuos que están en el conjunto predefinido poseen, digamos la propiedad F, utilizamos, para cualquier posibilidad de instanciación, la notación:

(x)Vxpara la oración en cuestión.


El problema de la traducción...Considere los ejemplos a continuación:1.- “Todos los hombres vuelan”. Lo usual es traducirla como

(x)(HxVx)2.- “Cada cosa que vuela es un hombre”. Esta oración se traduce:

(x)(VxHx)3.- “Todo aquello que vuela, o es un hombre o es una mujer”.

(x)(Vx(HxMx))


4.- “Todo aquel que es hombre y mujer vuela”

(x)((HxMx)Vx)5.- “Hay algún hombre que camina o vuela”. Esta oración se traduce:

(x)(Hx(CxVx))6.- “Hay algunos hombres que caminan y vuelan”.

((x)(Hx(CxVx))


Definición:Un lenguaje para el cálculo de predicados está dado por la especificación de dos tipos de objetos:1. Constantes individuales: Desempeñan el papel de los nombres propios, y lo usual es representarlas por letras minúsculas de la primera parte del alfabeto.2. Predicados: Desempeñan el papel de verbos intransitivos, nombres comunes y adjetivos. Lo usual es representarlos por letras mayúsculas.

Cálculo de Predicados (Desarrollo Formal)

Definición:Una fórmula atómica consiste de un predicado seguido de una variable individual, o bien de la variable “x”.Las fórmulas del lenguaje constituye la clase más pequeña de expresiones que:• Contiene las fórmulas atómicas;• Contiene , , , , cuando contiene a & ;• Contiene a , (x)x, (x)x, siempre que contenga a .


Notas:1. Una fórmula se construye a partir de

fórmulas atómicas, de forma única.2. Una subfórmula de una fórmula

particular es una fórmula contenida en la fórmula dada. Una fórmula es subfórmula de sí mísma.

3. Si una ocurrencia de la variable “x” aparece dentro de una subfórmula que contiene a (x) o (x), se dice que la ocurrencia es acotada. En caso contrario, se dice que x es una variable libre.


Notas:4. Una fórmula en que no aparecen

ocurrencias libres de una variable, es una oración.

5. Notación: En el caso en que es una fórmula y c es una constante, escribiremos

para la oración que resulta de sustituir cada ocurrencia libre de x por c en .


cx

Ejemplo 1:En la expresiónla primera ocurrencia de x es libre, mientras que las restantes son acotadas. En caso a esta expresión la denotamos por , entonces

es:


)Jx)x(Gx)(x(Fx

cx

)Jx)x(Gx)(x(Fc

Ejemplo 2:En la expresión

la ocurrencia de x en “Gx” es libre, mientras que las restantes son acotadas. En caso a esta expresión la denotamos por , entonces

es:


))JcHx(Fx)(x()GxFx)x((

kx

))JcHx(Fx)(x()GkFx)x((

Ejemplo 3:Las fórmulas Fc y son oraciones. Ejemplo 4:Si es una fórmula, la expresión es una oración.

Definición: Una interpretación (del lenguaje del cálculo de predicados) es una función definida sobre {}{constantes individuales del lenguaje}{predicados del lenguaje}, que cumple las condiciones siguientes:


Fx)x(

cx

• , también denotada , es un conjunto no vacío llamado universo del discurso o dominio de la interpretación.• Si c es una constante, también denotada

es un elemento de . • Si R es un predicado, también denotado

es un subconjunto de .


)(

)c(c

)R(

R

Notas:• El universo del discurso de una discusión particular, consiste de las cosas sobre las que se está hablando dentro de la citada discusión.

• Para cualquier fórmula existirá un conjunto de miembros del universo de que satisfacen a en . Si este conjunto es no vacío, entonces la oración (x)x será verdadera en .

• Si cada miembro de () satisface en , entonces (x)x será verdadera en .


Notas:

• Si el miembro c de () satisface en , entonces la oración es verdadera en .• En el lenguaje formal del cálculo de predicados, no tiene sentido hablar de la verdad o falsedad absoluta de una oración.• Una oración puede ser verdadera o falsa bajo una interpretación. En el caso de fórmulas con variables libres no tiene sentido hablar de verdad o falsedad bajo una interpretación.


cx

Notas:• Intuitivamente, estamos trabajando con tres nociones semánticas fundamentales: verdad, falsedad y satisfacción.• Una oración expresa un pensamiento que es verdadero o falso, mientras que una fórmula que no es una oración representa una propiedad, mientras que esta fórmula es satisfecha por aquellos miembros del universo del discurso que tienen la propiedad. Por simplicidad, se considerará una extensión de la noción de satisfacción a todas las fórmulas


tengan variables libres o no, estipulando que una oración verdadera es aquella que es satisfecha por todos los miembros del universo del discurso, mientras que una oración falsa no es satisfecha por ninguno.Formalizando,Dada una interpretación , • Una fórmula atómica de la forma Rx es satisfecha por los miembros de (R).• Una fórmula atómica de la forma Rc es satisfecha por cada miembro del universo del discurso, si (c) es miembro de (R). En otro caso, R(c) no es satisfecha por nadie.


• Una fórmula de la forma es satisfecha por aquellos miembros del universo del discurso que satisfacen a y satisfacen a .• Una fórmula de la forma es satisfecha por aquellos miembros del universo del discurso que satisfacen a o satisfacen a .• Una fórmula de la forma es satisfecha por aquellos miembros del universo del discurso que satisfacen a o fallan en satisfacer a .• Una fórmula de la forma es satisfecha por aquellos miembros del universo del discurso que satisfacen a y satisfacen a o por los miembros que no satisfacen a ni a .


• Una fórmula de la forma es satisfecha por aquellos miembros del universo del discurso que fallan en satisfacer a .• Si cada miembro del universo satisface , entonces cada miembro del universo satisface (x)x.• Si algún miembro del universo falla en satisfacer , entonces ningún miembro del universo satisface (x)x.• Si algún miembro del universo satisface , entonces cada miembro del universo satisface (x)x.


• Si ningún miembro del universo satisface , entonces ningún miembro del universo satisface (x)x.Definición: Una oración que es satisfecha por cada miembro de () bajo una interpretación , se dice es verdadera bajo . Una oración que no es satisfecha por ningún miembro de () bajo una interpretación , se dice es falsa bajo .


EjemploSi A es una fórmula bien formada (fbf) del cálculo proposicional, cada posible asignación simultánea de valores de verdad (v ó f) a sus átomos es una interpretación para A.Nótese que, en este caso, el número de interpretaciones posibles es finito (si A tiene n átomos, entonces se tienen 2n interpretaciones).

En el caso del cálculo de predicados, la situación es diferente, pues en este sistema una interpretación para la fórmula A es un conjunto


Ejemplo (cont…)de valores formado por:1.Un dominio, en el cual están todos los posibles valores de las variables y las constantes;2.Un valor para cada símbolo constante, si aparece en la expresión;3.Un significado para cada símbolo de predicado presente en la expresión;4.Un significado para cada símbolo de función.


Ejemplo (cont…)Entonces, sea A la expresión (x)Px (otra notación usual: xP(x)). El problema es establecer el valor de a para la interpretación I, la cual tiene como dominio el conjunto

D={2,7,17,23,47}y como significado para el predicado Px: x es número primo. Esta interpretación para A equivale a la afirmación que cada elemento del conjunto D es un número primo, lo cual es efectivamente cierto. En consecuencia, A es verdadera para esta interpretación I.


Ejemplo (cont…)Alternativamente, para la interpretación II, que tiene como dominio

D={2,7,8,17,23,47}y el mismo significado para el predicado Px, la fórmula A es falsa, ya que 8 está en el dominio y no es un número primo.

En el caso de un ejemplo en el que el conjunto D es el de los seres humanos y Bx y Mx denotan “x es bondadoso” y “x es mortal”, respectivamente, entonces se tiene que


Ejemplo (cont…)(x)Bx es falsa, mientras que (x)Mx es verdadera.Interpretaciones y ValidezComo en el caso del cálculo de proposiciones, en el cálculo de predicados la verdad o falsedad de una fórmula depende de la interpretación.Es fácil concluir que, aún para una fórmula tan sencilla como (x)Px existen infinitas interpretaciones, ya que, con una pequeña modificación en el dominio se obtiene una nueva interpretación.


Asimismo, si se asigna un nuevo significado al predicado P, se tiene una interpretación diferente. Es evidente la dificultad para concluir que una fórmula en el cálculo de predicados es verdadera para todas las interpretaciones posibles pues, obviamente, queda descartada la posibilidad de hallar exhaustivamente el valor de verdad de la fórmula, para cada interpretación posible.De esa cuenta, dada una fórmula A y una interpretación I para A, diremos que I satisface A, o es un modelo para A, si A es verdadera para


Tal interpretación. En tal caso, decimos que A es satisfacible.Por otra parte, decimos que A es insatisfacible o contradictoria, si no tiene modelo. Adicionalmente, decimos que una fórmula es universalmente válida ( o simplemente, válida), si es verdadera para toda interpretación, i.e., si cada interpretación es un modelo.Nota:Las tautologías son casos particulares de fórmulas válidas. Sin embargo, el término tautología se reserva únicamente para las fórmulas válidas de la lógica proposicional.


Definición: Una asignación normal de verdad (NTA), es una función que asigna a cada oración un número, 0 ó 1, sujeta a las condiciones siguientes:• A una conjunción se le asigna 1 ssi ambas oraciones conjuntantes tienen asignado 1.• A una disyunción se le asigna 1 ssi al menos una de las oraciones tiene asignado 1.• A una negación se le asigna 1 ssi la oración que se niega (el negatum) tiene asignado 0.• A un condicional se le asigna 1 ssi el antecedente tiene asignado 0 ó si el consecuente tiene asignado 1.


• A un bicondicional se le asigna 1 ssi ambas oraciones tienen asignado el mismo valor.

Definición: Una oración es tautológica si a esta se le asigna el valor de 1 para cada NTA. Una oración es válida si es verdadera para cada NTA.

Nota:En el cálculo de proposiciones, “tautología” y “válido” son sinónimos. En el cálculo de predicados, la noción de validez es la importante, aunque la tautología tendrá importancia eminentemente técnica.


Prop: Cada tautología es válida, pero el converso, en general, no es válido.Dem: Supóngase que es una tautología, y que tomamos una interpretación . Considere una NTA, por medio de

Entonces, ()=1. De lo anterior, es verdadera bajo . Dada la arbitrariedad de se deduce la validez de cada tautología. Nótese que la fórmula válida (x)FxFx no es tautológica.


casootro,0

bajoverdadera,1)(

Nota:• Una oración tautológica es una oración válida, cuya validez está determinada por la estructura funcional de verdad de la oración.• Si, por otra parte, la validez de la oración depende del significado de los cuantificadores, la oración podría no ser tautología.• Es posible evaluar cuándo una oración es tautología utilizando el método de tablas de verdad. En este caso, habría que considerar cada posible asignación de valores de verdad a los componentes de la estructura funcional de verdad de la oración.


Nota (cont...):• Alternativamente, se puede evaluar la oración por el método de la búsqueda del contraejemplo.

Definición:Una oración es una consecuencia lógica de un conjunto de oraciones ssi es verdadera bajo cada interpretación bajo la cual todos los elementos de son verdaderos. La oración es una consecuencia tautológica de un conjunto de oraciones ssi a se le asigna el valor 1 por medio de cada NTA que asigne el valor 1 a cada elemento en .


Un razonamiento análogo al utilizado en la propiedad anterior, conduce al siguiente resultado:

Prop: Cada consecuencia tautológica de un conjunto de oraciones es una consecuencia lógica. El converso no necesariamente es válido.

El cálculo de predicados constituye una extensión “natural” del cálculo de proposiciones. De esa cuenta, se proponen las siguientes definiciones y resultados:


Definición:i) Una oración es contradictoria (o

inconsistente) ssi es falsa para cada interpretación.

ii) Una oración es indeterminada ssi es verdadera bajo algunas interpretaciones y falsa bajo otras interpretaciones.

iii)Una oración implica a una oración ssi es verdadera bajo cualquier interpretación bajo la cual es verdadera.

iv) Las oraciones y son lógicamente equivalentes ssi ambas son verdaderas bajo exactamente las mismas interpretaciones.


Definición (cont...):v) Un argumento es válido ssi la conclusión es verdadera bajo cada interpretación, y bajo la cual cada una de las premisas es verdadera.vi) Un conjunto de oraciones es consistente ssi existe al menos una interpretación bajo la cual todos sus elementos son verdaderos.

Prop: Una oración es válida ssi su negación es contradictoria.


Prop: Una oración es contradictoria ssi su negación es válida.

Prop: Una oración es indeterminada ssi su negación es indeterminada.

Prop: Una conjunción es válida ssi cada una de las oraciones en ella es válida.

Prop: Si una de las oraciones en una conjunción es contradictoria, entonces la conjunción es contradictoria.


Prop: Si una de las oraciones en una disyunción es válida, entonces la disyunción es válida.

Prop: Una disyunción es contradictoria ssi cada una de las oraciones en ella son contradictorias.

Prop: Un condicional es contradictorio ssi su antecedente es válido y su consecuente es contradictorio.

Prop: Dos oraciones son lógicamente equivalentes ssi su bicondicional es válido.


Prop: () es lógicamente equivalente a ().

Prop: () es lógicamente equivalente a ().

Prop: implica ssi el condicional es válido.

Prop: Una contradicción implica a cada oración.


Prop: Una oración válida es implicada por cada oración.

Prop: Dos oraciones son lógicamente equivalentes ssi cada una de las oraciones implica la otra.

Prop: Un argumento es válido ssi la conjunción de las premisas implica la conclusión.

Prop: Un argumento es válido ssi el condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión es válido.


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