CLCULO DE PREDICADOS

RESUMEN DE RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS VISTOS HASTA AHORA

Silogismo categrico vlido: Todos los seres humanos son mortales Alguna matemtica es un ser humano Por tanto, alguna matemtica es mortal.

Razonamiento vlido usando lgica proposicional

Si Mara es buena alcaldesa, entonces la ciudad mejorar.

Mara fue buena alcaldesa Por tanto, la ciudad debi de mejorar

Jorge es hijo de Ins. Anglica es hija de Jorge. Los hijos del hijo de una persona son sus nietos. Por tanto Anglica es nieta de Ins. s: Jorge es hijo de Ins p: Anglica es hija de Jorge q:El hijo del hijo de una persona es el nieto de esta r: Anglica es nieta de Ins P1: s P2: p P3: q C: r

CLCULO DE PREDICADOS

Predicados unarios y binarios Jorge es hijo de Ins. 2 es mayor que 3 Scrates es mortal Shakira es cantante Cali est a menor altura sobre el nivel del mar

que Bogot.

Ser mortal es una relacin unaria, que la podemos representar simblicamente por:

M (x): x es mortal La x es una variable que puede referirse a

distintos tipos de individuos: Ejemplo: M(Scrates): Scrates es mortal M( Seres humanos): Los seres humanos son

mortales.

Otros ejemplos de predicados unarios: Juan es deportista Predicado: es ser deportista Sujeto: Juan Simbolismo: D(x): x es deportista Quin satisface el anterior predicado? Todos aquellas personas que son deportistas.

Jorge es hijo de Ins Predicado: ser hijo de Es una relacin de dos individuos Simbolismo: H(x, y): x es hijo de y H(Jorge, Ins): Jorge es hijo de Ins. H(Mara, Ins): Mara es hija de Ins H( Anglica, Jorge): Anglica es hija de Jorge

Juana es hermana de Mauro H (x,y): x es hermano de y Cundo el predicado anterior es verdadero? Cuando los dos individuos que se reemplazan por x y

y satisfacen el parentesco de hermandad. Es falso en caso contrario. 2 es menor que 3: m (x,y): x es menor que y m( 3, 4): es un predicado verdadero m(4, 3) : es un predicado falso. x

Alfabeto del clculo de predicados

Las primeras letras del alfabeto: a,b,c,d,e; denotan elementos fijos del dominio

Las letras finales: x,y, z, w, t denotan variables. Las letras maysculas seguidas de un

parntesis con smbolos de variable o constante denotarn un predicado.

H(x, Juan): x es hermano de Juan A(x,y): x es ms alto que y

Conectivos lgicos: {,^,~, ,v} Cuantificadores: universal: Cuantificador existencial: Smbolos de puntuacin: los parntesis se usan

para evitar ambigedades.

P(x,y): x es el padre de y H (x, y ): x es el hermano de y T(x, y): x es el to de y {P(x, y) ^H(z,x)}T(z,y) M(x, y ): x es mayor que y {M(x,y) ^M(y,z) }M(x,z)

El Dominio en el clculo de predicados

I(x): x es impar Dominio: D: Z: Los nmeros enteros I(3) es la proposicin verdadera 3 es un nmero

impar I(4) es falsa I( ) carece de sentido pues no pertenece al

dominio D

En el mismo ejemplo anterior si el dominio se toma as:

D={0,1,2,3,4,5} I(0), I(2), I(4) son falsas I(1), I(3), I(5) son verdaderas.

P(x,y): x es padre de y D:= Los seres humanos P(x,y) es una proposicin verdadera si x y y

satisfacen el hecho de que x es el padre de y en ese orden.

D:= N Definamos el siguiente predicado: D(x,y): x divide a y D(3,6) es una proposicin verdadera D(6,3) es una proposicin falsa, pues 6 no divide

a 3

CUANTIFICADORES CUANTIFICADOR UNIVERSAL Todo paramdico sabe primeros auxilios Cmo llevar este enunciado al clculo de

predicados? 1. Hay una afirmacin que habla sobre la

totalidad de un cierto dominio. 2. Ser paramdico es una condicin suficiente

para saber primeros auxilios.

3. Hay dos predicados unarios: D:= Seres humanos P(x): x es paramdico S(x): x sabe primeros auxilios Sea x un elemento arbitrario del dominio: Si x es paramdico, entonces x sabe primeros

auxilios.

Para todo x, si x es paramdico, entonces x sabe primeros auxilios.

Para todo x, si P(x) entonces S(x) Ahora simbolicemos en el lenguaje de la lgica

de predicados. ))()()(( xSxPx

La notacin: Se utiliza para afirmar que A es verdadera para

cada valor de x en un dominio D previamente establecido. Si esta no se cumple, aun cuando sea para un solo valor de A, entonces la frmula es falsa

xA

xA

Representar en el clculo de predicados las siguientes afirmaciones:

Todo entero par es divisible por 2 Los abogados estudian Derecho laboral y Derecho

penal Las palabras graves tienen tilde slo si no terminan

en vocal, n o s. Todas las guilas vuelan

Cuantificador existencial

Existen mujeres machistas Cmo escribir esta proposicin en el clculo de

predicados? D= conjunto de seres humanos M(x): x es mujer C(x): x es machista Existe por lo menos un x tal que x es mujer y

x es machista

Existe por lo menos un x tal que M(x) y c(x) Simbolizacin en el clculo de predicados:

La frmula:

Representa la afirmacin de que existe un

elemento que satisface A

))()(( xCxMx

xA

Ejemplos: Existen nmeros primos pares Sea D= nmeros naturales Pr(x): x es primo P(x): x es par D=nmeros primos

))()(Pr( xPxx

)(xxP

Representar en el clculo de predicados las siguientes afirmaciones:

1. Existe por lo menos un cuadriltero que tiene iguales sus lados y sus ngulos.

D= conjunto de todos los polgonos C(x): x es un cuadrilatero L(x): x tiene iguales sus lados A(x): x tiene iguales sus ngulos

))()()(( xAxLxCx

D=El conjunto de los cuadrilateros 2. Jos tiene padre: Existe una persona que es

el padre de Jos P(x, y): x es padre de y D= El conjunto de seres humanos

))()(( xAxLx

),(( JosxPx

3. Jos es el padre de alguien 4. Jos no tiene hijos. 5. Todos los hijos de Jos son varones Enuncie la afirmacin representada en cada uno

de los puntos siguientes, en los cuales los predicados tienen los significados que se indican:

P(x,y): x es el padre de y; M(x,y): x es la madre de y

P(Jacob, Jos) ^M(Rebeca, Jacob) Qu relacin hay entre Rebeca y Jos?

Puede afirmarse que francisco y Claudia

tienen un hijo en comn?

Francisco y Claudia son los padres de alguna persona?

Francisco y Claudia tienen hijos? Francisco tiene hijos. Claudia tambin

)],(),([ xClaudiaMxFranciscoPx

],([)],([ xClaudiaMxxFranciscoPx

Uso combinado de cuantificadores universal y existencial

. Todo ser humano tiene una madre. Cada nmero natural tiene un sucesor. Todo estudiante aprecia a alguno de sus

compaeros. Los nmeros naturales no tienen un ltimo

elemento Hay un primer nmero natural Existe un ajedrecista que vence a todos los

dems

Sean los siguientes predicados y frmulas: P(x,y): x es el padre de y H(x,y): x es la hermana de y T(x,y): x es la tia paterna de y

))],(),((),([()],()),(],([(

zyPyxHyzxTzxzyTxyHzxPzyx

Representacin simblica de un argumento en el clculo de predicados

Jorge es hijo de Ins Anglica es hija de Jorge El hijo del hijo de una persona es el

nieto de esta Anglica es nieta de Ins En primer lugar expresemos las

anteriores proposiciones en trminos de predicados:

H(x, y): x es hijo de y N(x, y): x es nieto de y P1: H(Jorge, Ins) P2: H(Anglica, Jorge) P3: C: N(Anglica, Ins)

)],()),(),([( yzNxzHyxHzyx

Interpretaciones en el clculo de predicados

Dada una formula en el clculo de predicados, es una terna formada por:

1. Un dominio D en el cual estn los valores que pueden tomar las variables y las constantes.

2. Un valor para cada smbolo de constante, si aparece en la frmula.

3. Un significado para cada predicado presente en la frmula.

Ejemplos: 1. A:= D=los nmeros primos P(x): x es par En esta interpretacin A expresa que todos los nmeros primos

son pares. A es falsa para esta interpretacin. D= Seres humanos P(x): x es honorable En esta interpretacin A expresa que todas las personas son

honorables. A es falsa para esta interpretacin. D= {0, 2, 4, 6} P(x): x es par En esta interpretacin A expresa que todos los nmeros del

dominio son pares. A es verdadera en esta interpretacin.

)(xxP

Establecer una interpretacin para la siguiente frmula y establecer su veracidad o falsedad:

D= Seres vivos Para todo x y y en los seres vivos, si x es un ser

humano y y es padre de x, entonces y es familiar de x.

)],(),()([ xyFxyPxSyx

Definir dos interpretaciones para la siguiente frmula:

1. D= N P(x):= x es mltiplo de 8 Q(x):= x es mltiplo de 2. Interpretacin: Para todo nmero natural x, si x es mltiplo de 8

entonces x es mltiplo de 2.

))()(( xQxPx

D:= conjunto de seres humanos P(x): x es Premio Nobel de literatura Q(x): x es buen lector Interpretacin: Para todo ser humano x, si x es Premio Nobel de

Literatura, entonces x es buen lector. En estos dos casos la interpretacin es

verdadera.

Si una frmula A del clculo de predicados es verdadera para una interpretacin se dice que es satisfacible y que la interpretacin es un modelo para la frmula.

Dos frmulas A y B del clculo de predicados son lgicamente equivalentes si y slo si tienen los mismos modelos. Es decir si un modelo hace verdadera a A, este modelo tambin hace verdadera a B y si un modelo hace falsa a A, entonces este mismo modelo hace falsa a B.

Una frmula es vlida si es verdadera para toda interpretacin, esto es, si cada interpretacin es un modelo. En este caso escribimos: I=A

Ejemplos:

A es una frmula vlida. Simblicamente I=A Intuitivamente podemos decir que si cada x tiene las propiedades P y Q, entonces

cada x tiene la propiedad P y cada x tiene la propiedad Q

)]()([)]()([: xxQxxPxQxPxA

)]()([)]()([ xxQxxPxQxPx

Las formulas siguientes no son lgicamente equivalentes:

)()()]()([)()(:

)]()([:

xxQxxPxQxPxxxQxxPB

xQxPxA

NEGACIN DE CUANTIFICADORES

Negar los siguientes enunciados: 1. Todos los nmeros primos son impares. El anterior enunciado es falso, por tanto su

negacin debe ser verdadera. Posibles enunciados de negacin de 1: No es cierto que todos los nmeros primos

sean impares. Algunos nmeros primos no son impares Negacin de 1:Existen nmeros primos que son

pares Notemos que este enunciado es verdadero

Llevemos lo anterior al lenguaje del clculo de predicados: D=N

Pr(x): x es un nmero primo P(x): x es un nmero par I(x): x es un nmero impar Enunciado 1 y su negacin:

))()(Pr())()((Pr())()(Pr(pares.son que

primos nmerosExisten imparesson no que primos nmeros ))()(Pr(

imparessean primos nmeros los todosque cierto es No:

))()(Pr(

xPxxxIxxxIxx

ExistenxIxx

NegacinxIxx

La negacin de un cuantificador universal

Ejemplo: Negar el enunciado: Todo es perfecto No todo es perfecto Existen cosas que no son

perfectas Algunas cosas son imperfectas. D= Universo P(x): x es perfecto Todo es perfecto:=

AxAx )(

))(( xPx

No todo es perfecto:= Negar los siguientes enunciados: Todas las sociedades son intolerantes frente a la

diversidad sexual Existen sociedades que aprueban la diversidad

sexual. Todas las personas creen en un Dios Existen personas que no creen en un Dios Existen personas ateas.

))(())(( xPxxPx

Negar el siguiente enunciado en el clculo de predicados:

Todos los adolescentes se sienten incomprendidos:

D=Conjunto de seres humanos A(x): x es un adolescente I(x): x se siente incomprendido

))()(())()(())()((:

))()((

xIxAxxIxAxxIxAxNegacin

xIxAx

Negar los siguientes enunciados: Existen nmeros perfectos impares Negacin: No existen nmeros perfectos impares Todos los nmeros perfectos son pares D=N T(x): x es un nmero perfecto P(x): x es par I(x): x es impar Existen nmeros perfectos impares=

))()(( xIxTx

Conclusin:

AxxAAxxA

Negar el siguiente enunciado del clculo de predicados:

D=N

)( yyxyx =+

AyxyAxyxyyxyxyyx

+=+ )()(

Negar el enunciado: Todo ser humano tiene una madre D=seres humanos M(x,y): x es madre de y No todo ser humano tiene una madre: Existen seres humanos que no tienen madre

),( yxxMy

)),(()),(( yxMxyyxMxy

VALIDEZ DE RAZONAMIENTOS EN EL CLCULO DE PREDICADOS

REGLA DE PARTICULARIZACIN UNIVERSAL (PU): Sea el siguiente enunciado verdadero: D=Nmeros primos distintos de 2 I(x): x es impar De lo anterior, podemos inferir que las siguientes

proposiciones son verdaderas: I(5), I(7), I(13),

))(( xIx

Si un enunciado se satisface para todo individuo de un cierto dominio, se satisface para alguien en particular de ese dominio.

Cmo expresamos lo anterior en el clculo de predicados?

[ ]txCxA

:

Escribir el siguiente enunciado en el clculo de predicados y especificar la regla de particularizacin universal (PU) para un individuo particular del dominio:

Todos los mltiplos de 8 son pares D=Z M(x): x es mltiplo de 8 P(x): x es par Sea x= 24=8.3, entonces

))()(( xPxMx

)8()8( PM

P1: C: Establecer la validez del razonamiento, Todos los seres humanos son mortales Scrates es un ser humano Entonces, Scrates es mortal D= Seres vivos H(x): x es un ser humano M(x): x es mortal

))()(( xPxMx

)24 P1,en (PU )24()24( xPM

P1: Premisa P2: H(scrates) Premisa C: M(Scrates) Conclusin P1: Premisa P2: H(scrates) Premisa P3 P4M(Scrates) (MP 2,3)

))()(( xMxHx

))()(( xMxHx

Scrates) x1,en ( )()( PUScratesMScratesH

LA REGLA DE PARTICULARIZACIN EXISTENCIAL (PE)

Sea el enunciado siguiente Existe un nmero primo par D=Nmeros primos P(x): x es par La regla de particularizacin establece que existe un

elemento del dominio que satisface el predicado, efectivamente P(2) es verdadera

))(( xPx

En este caso escribimos: Establecer la validez del siguiente

razonamiento: Si todos los humanistas son filsofos y existen

los humanistas, entonces existen los filsofos.

][: axACxA

D= Seres humanos H(x): x es un humanista F(x): x es un filsofo

l)existenciacin generaliza de (Regla )(:'

3,4) (MP )(:'a](PU,1[x )()(:'

a][x 2, (PE, )(:'Premisa )(:Premisa ))()((:

6

5

4

3

2

1

xxFPaFP

aFaHPaHP

xxHPxFxHxP

Regla de generalizacin existencial (GE)

Establecer la validez del siguiente razonamiento: Algn columnista de la prensa escrita no est

vinculado a grupos de opinin. Es un hecho que todos los militantes polticos estn vinculados a grupos de opinin. Ms an: toda persona es militante poltico o est interesada en temas generales. En consecuencia, algn columnista de la prensa escrita est interesado en temas generales.

xACaxA

:][

CLCULO DE PREDICADOSRESUMEN DE RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS VISTOS HASTA AHORANmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4CLCULO DE PREDICADOSNmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Alfabeto del clculo de predicadosNmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12El Dominio en el clculo de predicadosNmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16CUANTIFICADORESNmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Cuantificador existencialNmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Uso combinado de cuantificadores universal y existencialNmero de diapositiva 30Representacin simblica de un argumento en el clculo de predicadosNmero de diapositiva 32Interpretaciones en el clculo de predicadosNmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40NEGACIN DE CUANTIFICADORESNmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44Nmero de diapositiva 45Nmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49VALIDEZ DE RAZONAMIENTOS EN EL CLCULO DE PREDICADOSNmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Nmero de diapositiva 55Nmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58