Calculo de predicados

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Antonio Reynoso Lobato 2002B 1

Módulo 3, Sección 3

El Cálculo de Predicados


Objetivo de la Sección

Analizar, el lenguaje de representación del conocimiento llamado cálculorden predicados de primer orden.

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Temas

• Antecedentes

• El lenguaje y su sintaxis

• La semántica

• Cuantificación

• Semántica de los cuantificadores

• Representación del conocimiento por medio del lenguaje del cálculo de predicados

• Consideraciones adicionales


Antecedentes

• La principal limitación del cálculo proposicional es que los átomos son cadenas de texto que no disponen de una estructura interna en:

SOBRE_B_C ⊃ ¬LIBRE_C las proposiciones son totalmente diferentes y sin ninguna relación entre ellas

• Necesitamos un lenguaje que disponga de nombres para los objetos acerca de los cuales queremos formular las proposiciones, y de nombres para las proposiciones que queremos formular

Sobre(b,c) ⊃ ¬Libre(c) donde b, c son variables que se pueden referir a cualquier bloque

• Este lenguaje se llama cálculo de predicados de primer orden y dispone de símbolos llamados constantes de objetos, constantes de relaciones y constantes de funciones

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El Lenguaje y su SintaxisCálculo de predicados (versión restringida)

• Componentes:• Constantes de objetos: cadenas de caracteres

alfanuméricos que comienzan con una letra mayúscula o un número. Ejem: Aa, 123, LaTorreEiffel

• Constantes de funciones de todas las “aridades”: cadenas de caracteres alfanuméricos que comienzan con una letra minúscula e indicando con un superíndice la aridad de la función. Ejem: padreDe1, distanciaEntre2

• Constantes de relaciones (predicados) de todas las “aridades”: cadenas de caracteres alfanuméricos que comienzan con una letra mayúscula e indicando con un superíndice su aridad. Ejem:Padre2, B173, Libre1

• También utilizaremos las• Conectivas proposicionales ¬,∧,∨,⊃• Y los delimitadores ( ), [ ] • Y el separador ,


Cálculo de Predicados• Términos:

– Una constante de objeto es un término. Ejem: Sam

– Una constante de función de aridad n, seguida por n términos entre paréntesis y separados por comas, es un término (expresión funcional).

Por lo general omitiremos el superíndice de la aridad siempre que su valor se pueda deducir del contexto

• Ejemplos: padreDe(John, Bill), producto(4, suma(3, 6)),

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Cálculo de Predicados

• fbfs:– Una constante de relación de aridad n, seguida por n términos

entre paréntesis y separados por comas, es una formula atómica (también se le llama átomo).

También omitiremos el superíndice de aridad siempre que su valor se deduzca del contexto (en una constante con aridad 0 se omite el paréntesis). Ejem: Q, MayorQue(7,2), P(A. B, C, D)

– fbfs de predicados: una expresión formada por fbfs del cálculo de predicados (de la misma manera que en el cálculo proposicional). Ejem:[MayorQue(7,2)∧ MenorQue(4,15)]∨¬Hermano(John, Sam) ∨ P

• También utilizaremos las extensiones que hicimos en el cálculo proposicional (conjunciones y disyunciones con mas de dos conjuntores o disyuntores, cláusulas, conjuntos (conjuntivos) de cláusulas, etc.)


La Semántica• Mundos:

– El mundo puede tener un número infinito de objetos, también llamadosindividuos. Estos pueden ser:

• Concretos: Julio Cesar, Bloque A• Abstractos: 7, el conjunto de todos los enteros• Entidades ficticias o inventadas (cuya existencia puede ser cuestionada

por alguien): la belleza, Papá Noel . Si estamos dispuestos a darle un nombre y decir algó de él, podemos pensar acerca del objeto como un individuo real del mundo, acerca del cual queremos hablar

– Funciones sobre individuos: podemos tener un número infinito de funciones de todas las aridades que proyectan tuplas de n individuos en un solo individuo. Ejem: una que proyecta los números 10 y 2 en el cociente 5

– Relaciones entre individuos: los individuos pueden participar en un número cualquiera de relaciones ( a la relación de aridad 1 se le denomina propiedad). Ejem: pesado, grande, azul o la relación n-aria estar entre (en la especificación extensional de la relación n-aria debemos listar de forma explicita a los n individuos)

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La Semántica

• Interpretaciones:– Una interpretación de una expresión del cálculo de predicados

es una asignación (o aplicación) :• que a las constantes de objetos les asigna objetos del

mundo• que a las constantes de funciones n-arias les asigna

funciones n-arias• y que a las constantes de relaciones n-arias les asigna

relaciones n-arias– Denotaciones de sus correspondientes expresiones del cálculo

de predicados: así se denomina a las asignaciones anteriores– Dominio de la interpretación: conjunto de objetos sobre los

cuales se establecen las asignaciones de las constantes de los objetos


Concepto de Verdad

• Dada una interpretación para los componentes de una expresión, un átomo tiene el valor Verdadero solo en el caso de que sea sostenible (correcta en el mundo) la relación denotada para aquellos individuos denotados por sus términos

• Si la relación no es sostenible el átomo tiene el valor de Falso

• Los valores de verdadero y falso de las fbfs no átomicas se determinan mediante las mismas tablas de verdad que se utilizan en el cálculo proposional

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Ejemplo • Para marcar la distinción entre los elementos del lenguaje y lo que éstos denotan,

utilizaremos negritas para los objetos, funciones y relaciones del mundo y tipografía normal en los elementos del cálculo de predicados

• Imaginemos que el mundo es una estructura matemática que contiene a los bloques A,B,C, y el Suelo

• También imaginemos las relaciones Sobre y Libre entre estos objetos, supongamos que tenemos la configuración de bloques de la figura siguiente,

podemos definir extensionalmente:– En este mundo la relación Sobre se da por <B,A>, <A,C>, y <C,Suelo>– La relación Libre se da por el elemento <B>


Ejemplo (cont.)• Asignación (aplicación) que hemos elegido para estas expresiones del

cálculo de predicados (una entre muchas de las interpretaciones):

• Según esta asignación podemos determinar el valor de algunas fbfs del cálculo de predicados:

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Semántica • Modelos:

– Muchos conceptos semánticos del cálculo de predicados tienen la misma definición que en el cálculo proposicional:

• Una interpretación satisface una fbf si la fbf tiene el valor Verdadero bajo esa interpretación

• Una interpretación que satisface una fbf es un modelo de ésta• Toda fbf que tiene el valor Verdadero bajo todas las

interpretaciones es una fbf válida• Toda fbf que no tiene ningún modelo es una fbf inconsistente

o insatisfactible• Si una fbf ω tiene el valor Verdadero bajo todas aquellas

interpretaciones para las que cada fbf del conjunto ∆ tiene el valor Verdadero, entonces ω se sigue lógicamente (o es una consecuencia lógica) de ∆ (∆ ╞ ω )

• Dos fbfs son equivalentes si, y solo si, sus valores verdaderos son idénticos bajo todas las interpretaciones (es decir, si, y solo si,cada una de ellas se sigue lógicamente de la otra)


Semántica

• Conocimiento:– Las fórmulas del cálculo de predicados se

pueden utilizar para representar el conocimiento que tiene un agente acerca del mundo

– Al conjunto ∆ formado por este tipo de fórmulas se le llama base de conocimiento del agente

– Si una fórmula ω se incluye en ∆ podemos decir (con cierta impropiedad) que el agente “conoce ω” (sería más acertado decir que el agente “cree ω”)

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Conocimiento acerca del mundo

• Fórmulas que expresan el conocimiento acerca de un posible mundo de bloques:

• Tres situaciones en el mundo de bloques:


Interpretaciones

• La asignación de relaciones en el mundo a constantes de relaciones son diferentes en los tres modelos

• Existen además otros modelos para estas fórmulas distintos de los sugeridos por los nombres mnemotécnicas (incluso: todos los conjuntos consistentes del cálculo de predicados tienen un modelo cuyo dominio es el de los números enteros)

• Entre más formulas tengamos, menor será el conjunto de modelos posibles:

– Si queremos concretar significados de un conjunto de fórmulas para que estas constituyan conocimiento acerca de un mundo en particular, debemos tener suficientes fórmulas que también excluyan aquellos mundos con los que no queremos confundirlos

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Cuantificación

• Supongamos que queremos expresar que todos lo objetos del dominio tiene una cierta propiedad. Para un domino finito bastaría una conjunción como la siguiente:

Libre(B1)∧ Libre(B2) ∧ Libre(B3) ∧ Libre(B4)

• Supongamos que queremos expresar que al menos un objeto del dominio tiene una cierta propiedad. Para un domino finito bastaría una disyunción como la siguiente:

Libre(B1)∨ Libre(B2) ∨ Libre(B3) ∨ Libre(B4)– Pero esto plantea un serio problema para dominios

grandes o infinitos, por lo que vamos a introducir, adicionalmente a las unidades sintácticas ya introducidas, dos nuevos símbolos (variables y cuantificadores) que nos permitirán resolver el problema.


Cuantificación• Símbolos de variables: conjunto infinito compuesto por cadenas de

texto que comienzan con una letra minúscula de la parte final del alfabeto, tales como p,q,r,s,t,...,p1,p2,p3,... ( se distinguirán de las constantes de funciones por su uso en el contexto: f(x, Bob, C17))

• Cuantificadores: ∀ cuantificar universal y ∃ cuantificador existencial

• Si ω es una fbf y ξ es un símbolo de variable, entonces, tanto (∀ ξ) ωcomo (∃ ξ) ω son fbfs.

– A ξ se le denomina variable cuantificada y se dice que esta dentro del ámbito del cuantificador; esta variable estaráincrustada como termino en algún lugar de ω. Si todos los símbolos de variable, además de ξ, están cuantificados en ω, entonces se dice que es una fbf cerrada o sentencia cerrada:(∀ x)[P(x) ⊃ R(x)](∃ x)[P(x) ⊃ (∃ y)[ R(x,y) ⊃ S(f(x))]]

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Propiedades • (∀ x) [(∀ y) ω] ≡ (∀ y) [(∀ x) ω];de esta manera podemos agrupar las

variables cuantificadas universalmente en una sola cadena:– (∀ x y)ω. En este tipo de fórmulas a ω se le llama matriz

• (∃ x) [(∃ y) ω] ≡ (∃ y) [(∃ x) ω];por lo que también podemos agrupar así:– (∃ x y)ω.

• Las combinaciones de cuantificadores universales y existencialesdeben mantener su orden relativo– no es equivalente (∀ x) [(∃ y) ω] a (∃ y) [(∀ x) ω]

• La variable de un cuantificador es del tipo “variable muda”, por lo tanto podemos renombrarla sin cambiar el valor de la fbf.– Así (∀ x) ω ≡ (∀ y) ω ,si todas las ocurrencias de x en ω son

reemplazadas por y

• En el cálculo de predicados de primer orden no se pueden cuantificar los símbolos de función y de relación. En el cálculo de predicados desegundo orden, y de ordenes mayores, se permite la cuantificación de las funciones, pero a expensas del uso de mecanismos de inferencia mucho más complejos


Semántica de los cuantificadores

• Cuantificadores universales:(∀ ξ) ω(ξ) tiene el valor Verdadero (bajo una asignación dada de constantes de objetos, de relaciones y de relaciones a objetos, funciones, y relaciones) en el caso de que ω(ξ) tenga el valor Verdadero para todas las asignaciones del símbolo de la variable ξ a los objetos del dominio

• Cuantificadores existenciales:(∃ ξ) ω(ξ) tiene el valor Verdadero (bajo una asignación dada de constantes de objetos, de relaciones y de relaciones a objetos, funciones, y relaciones) en el caso de que ω(ξ) tenga el valor Verdadero para, como mínimo, una de las asignaciones del símbolo de la variable ξ a los objetos del dominio

• Equivalencias:– Leyes de DeMorgan:

¬(∀ ξ) ω(ξ) ≡ (∃ ξ)¬ ω(ξ)¬(∃ ξ) ω(ξ) ≡ (∀ ξ)¬ ω(ξ)

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Semántica de los cuantificadores

• Equivalencias:– Renombrado de variables:

(∀ ξ) ω(ξ) ≡ (∀ η ) ω(η)

• Reglas de inferencia: Además de las reglas de inferencia del cálculo proposicional generalizadas convenientemente agregaremos:

– Eliminación del universal (EU) [instanciación universal (IU)]De (∀ ξ) ω(ξ) podemos inferir ) ω(α), donde:

ω(ξ) es cualquier fbf con la variable ξα es un símbolo de constanteω(α) es ω(ξ) con ξ sustituida por α en todos los puntos en donde

aparece en ω– Introducción del existencial (IE) [generalización universal (GU)]

De ω(α) podemos inferir ) (∃ ξ) ω(ξ)Ejemplo: (∀ x) Q(A, g(A), x) podemos inferir (∃ y) (∀ x) Q(y, g(y), x)


Representación del conocimiento

Conceptualizaciones:• El primer paso en la representación del conocimiento acerca

del mundo es conceptual izarlo en términos de sus objetos, funciones y relaciones. Algunas conceptualizaciones serán más útiles que otras (no necesariamente más correctas)

• El siguiente paso consiste en crear expresiones del cálculo de predicados cuyos significados a los objetos, las funciones y las relaciones definidas

• Finalmente escribiremos fbfs que satisfacen el mundo tal y como lo hemos conceptual izado. Estas fbfs también serán satisfechas por otras interpretaciones; siempre y cuando, no sean interpretaciones que puedan excluir nuestra formalización del conocimiento acerca del mundo

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Conceptualizaciones

• Cuando diseñamos agentes que deben razonar e interactuar en mundos reales (en lugar de imaginarios) es necesario que las conceptualizaciones estén bien asentadas

• Cuando los valores de verdad, como mínimo, de algunos átomos de la base de conocimientos son evaluados a través de mecanismos de percepción conectados al mundo, decimos que el concepto esta bien asentado:

Otros átomos pueden definirse a partir de estos átomos preceptúales primitivos, pero la estructura entera debe de apoyarse en algún tipo de percepción para que las conclusiones generadas por los métodos lógicos tengan relevancia en el mundo en el que el agente actúa.

Las matemáticas, no necesitan asentarse de esta manera, porque las sentencias matemáticas no necesitan referirse al mundo físico


Ejemplos

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Consideraciones adicionales

• En la IA existe una controversia por la disparidad existente entre la rígida semántica de los lenguajes lógicos y las características propias del conocimiento del mundo real con una semántica mucho más fluida y tremendamente dependiente del contexto

• Para resolverlo se emplean lenguajes lógicos (con algunas extensiones) para muchas representaciones y tareas del razonamiento en la IA

• Como muestra: un punto de vista alternativo propone las representaciones indexado-funcionales que establecen una relación causal entre el agente y las entidades del mundo, ejemplo: la entidad la-abeja-que-estoy-cazando está individualizada de manera indexada( esta definida en términos de su relación con el agente) y además está individualizada de forma funcional (definida en términos de la tarea que está realizando el agente) el símbolo puede corresponder a diferentes abejas en diferentes momentos. Mientras que en la representación tradicional el símbolo ABEJA siempre se referirá a la misma abeja

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