1Predicados - Completitud 1Lgica

Completitud en Lgica de Predicados

Predicados - Completitud 2Lgica

Correccin

.

Significa que las derivaciones expresan una consecuencia lgica.

Establece una correspondencia tal que partiendo de nociones sintcticas (derivaciones) se llega a nociones semnticas (los modelos de son modelos de )

Se demuestra por induccin sobre Der.

2Predicados - Completitud 3Lgica

Corolario de Correccin: Condicin Suficiente de Consistencia.

H) tiene modelo ( )T) es consistente.Dem.

Si en el teorema de correccin se considera , obtenemos:

Lo que se puede leer como: Si es inconsistente, entonces no tiene modelo.

El contrarecproco de esto es lo que se quera demostrar.LQQD

Predicados - Completitud 4Lgica

Completitud

Significa que si una frmula es consecuencia lgica de un conjunto de frmulas, entonces hay una derivacin con hiptesis en el conjunto y cuya conclusin es la frmula.

Establece una correspondencia que partiendo de nociones semnticas permite llegar a nociones sintcticas.

3Predicados - Completitud 5Lgica

1. consistente existe * consistente maximal tal que *Resultados Auxilares:

CM para toda PROP: o bien CM para toda , PROP: ssi (si

entonces )

2. consistente existe v tal que v() =1

Completitud para PROP

4. Teorema de Completitud: |= |- 3. Corolario: |- |=

Predicados - Completitud 6Lgica

Prueba para PROP

consistente existe * consistente maximal tal que *

consistente existe v tal que v() =1

Enumeramos PROP: 1,... n,0 =

n {n} si n {n} consistenten si no

= n

{n+1 ====- Tomamos CM tal que

- Definimos 1 si pi 0 si no

- Probamos v() =1- Como luego v( ) =1

{v(pi) ====

4Predicados - Completitud 7Lgica

Completitud para Predicados

|= |- |= (M : M|= : M|=) |- ( D : DDerp : H(D) y C(D)=)

El lema bsico en esto es: consistente existe M tal que M |= Para demostrarlo se construye un modelo. Para construir el modelo se necesita trabajar sobre una

teora Consistente Maximal que incluya a

Predicados - Completitud 8Lgica

Pero antes, deduccin natural

x ( (x) ) (x) [ (x)]2

x (x)

x (x) (I1)

x FV ()

(E)(E*)

(E2**)[x (x)]1

* Correcta, porque x est libre para x en (x) ** Correcta, porque x FV (x ( (x) )) y x FV ()

(x)

5Predicados - Completitud 9Lgica

Otra derivacin

x (x)

[ (x)](x)

x FV ()

x ( (x))

Ejercicio: indique las reglas y realice lasjustificaciones correspondientes.

[]

x (x)

x (x)

Predicados - Completitud 10Lgica

Armando derivaciones

Ejercicio: indique lasreglas, marque lascancelacionesfaltantes, y realice lasjustificacionescorrespondientes.

(x)

[]

(x)x ( (x))

x (x)[ (x)]

x (x) (x)

x ( (x))x ( (x))

x ( (x))

x ( (x))

x ( (x))

6Predicados - Completitud 11Lgica

Armando derivacionesy FV ()

Ejercicio: indique lasreglas, marque lascancelacionesfaltantes, realice lasjustificacionescorrespondientes, ycomplete la pruebacon las reglas quefaltan.

(y)

[x (x)]x (x)

x (x) (y)y (x (x) (y))

[ (x)]

x (x)x (x) (x)

y (x (x) (y))y (x (x) (y))

Predicados - Completitud 12Lgica

Lemas sobre derivaciones (1) Lema 2.8.4 [variables libres y constantes] Sea y una variable que no ocurre en ni en .

Si |- entonces [y/c] |- [y/c]

Cuidado! [y/c] no es la funcin de sustitucin que conocemos.

El lema se demuestra mediante induccion en las derivaciones

7Predicados - Completitud 13Lgica

Lemas sobre derivaciones (2) Lema Sea c una constante que no aparece en ni en

ni en . Si , x (x) -> (c) |- entonces |-

Dem.1. |- (x (x) -> (c)) -> 2. |- (x (x) -> (y)) -> , con y que no aparece en

ni en ni en (Lema 2.8.4)3. ...

Predicados - Completitud 14Lgica

Lemas sobre derivaciones (2)

(x (x) -> (y)) ->

y ((x (x) -> (y)) -> )

y (x (x) -> (y)) -> (x (x) -> y (y)) -> y (x (x) -> (y))

x (x) -> y (y)

2. pruebe que es teorema

1. pruebe que es unaderivacin correcta

3. verifique que ya vimosesto

4. arme todo

8Predicados - Completitud 15Lgica

Lemas sobre derivaciones (2)Version 1.2b

(x (x) -> (y)) ->

y ((x (x) -> (y)) -> )

y (x (x) -> (y)) -> y (x (x) -> (y))

1. pruebe que es unaderivacin correcta2. verifique que ya vimosesto

3. arme todo

Predicados - Completitud 16Lgica

1. consistente existe * consistentemaximal tal que *

2. consistente existe v tal que v() =1

3. Corolario: |- |= 4. Teorema de Completitud: |= |-

Completitud para PROP

9Predicados - Completitud 17Lgica

1. T teoria consistente existe Tm consistentemaximal tal que T Tm (extension conservativa)

2. consistente existe M tal que M |= 3. Corolario: 4. Teorema de Completitud: |= |-

Completitud para Predicados

Predicados - Completitud 18Lgica

TeorasNotacin: Cons() = { | |- }Def 3.1.2 [teoria, conjunto de axiomas] Un conjunto T SENT es una teora si es cerrado bajo

derivacin (es decir, T |- T) Dada una teora T, decimos que es un conjunto de

axiomas para T si T= Cons()Def 3.1.3 [extensin, extensin conservativa]Sean T una teora en el lenguaje L y T una teora en L.T es una extensin de T si T TT es una extensin conservativa de T si TL=T

10

Predicados - Completitud 19Lgica

Teoras de Henkin

Def 3.1.2 (iii) [teora de Henkin] Una teora T es de Henkin si para toda sentencia

xSENT existe un smbolo de constante c tal que x [c/x] T. c se llama testigo de x.

Lema 3.1.8 [ser de Henkin se preserva en extensiones] Si T es una teora de Henkin y T es una extensin de T,

en el mismo lenguaje, entonces T es de Henkin. Como no se cambia el lenguaje, no aparecen nuevos

existenciales, y no preciso incorporar nuevos testigos

Predicados - Completitud 20Lgica

Operador *

Def 3.1.4 [L*, T*] Sea T una teora con lenguaje L. L* es la extensin de L que se obtiene agregando un

smbolo c para cada sentencia x (x) L. T* = Cons(T

{x(x) (c) | x(x)SENT con testigo c })

11

Predicados - Completitud 21Lgica

Completitud: Paso 1

T teora consistente existe Tm consistentemaximal tal que T Tm (extensin conservativa) T* conservativa con respecto a T con idea de ser de

Henkin (pero no se sabe si llega a serlo). Tw conservativa con respecto a T y de Henkin Tm De Henkin, Conservativa respecto a T y CM.

T T* Tw Tm

Predicados - Completitud 22Lgica

Teoras de Henkin II

Lema 3.1.5 T* es conservativo con respecto a T (T*L=T).

La idea es probar que: , x [c/x] |- T|-

Qu bueno, ya lo probamos!

12

Predicados - Completitud 23Lgica

Teoras de Henkin IIILema 3.1.6 [Tw] Definimos:

T0 = T Tn+1 = (Tn)* Tw = Tn

Luego Tw es una teoria de Henkin y es conservativa con respecto a T.

Predicados - Completitud 24Lgica

Demostracion

1. Cada Tn es conservativa sobre T2. Tw es teoria3. Tw es de Henkin4. Tw es conservativa sobre T

13

Predicados - Completitud 25Lgica

Demostracion

L y Tw |-

L y ( k :: Tk |- )

L y T |- Parte 4

x Lw

( k :: x Lk)

( k,c :: x -> (c) Tk+1)

(c :: x -> (c) Tw)

Parte 3

Tw |- (Def. |-)(1,...n Tw:: 1,...n |- ) (Def. Tw, y encajonamiento)( k, 1,...n : 1,...n Tk : 1,...n |- ) (Teoria)( k :: Tk) (Def. Tw) Tw.

Parte 2

InduccionT0 = TTn+1 = Tn*, que es conservativa sobre TSer conservativa sobre T es unaequivalencia

Parte 1

Predicados - Completitud 26Lgica

Un poco de orden (1) Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es

una estructura (U, ) tal que ( a :: a a) ( a, b : a b, b a : a = b) ( a, b, c : a b, b c : a c) por ejemplo, (Pot (Nat), )

Un subconjunto C U es una cadena si C y ( a, b :: a b b a) por ejemplo, {{}, {1}, {1,2}, {1,2,3}}

14

Predicados - Completitud 27Lgica

Un poco de orden (2) Un elemento a U es una cota superior de C

U si ( c C :: c a) por ejemplo, {1,2,3,4,5} es cota superior de {{}, {1},

{1,2}, {1,2,3}} la union tambien es una cota superior

Un elemento m U es maximal si ( a U : m a : a = m) por ejemplo, Nat

Predicados - Completitud 28Lgica

Un poco de orden (3) Lema de Zorn

Sea U un poset. Luego, si toda cadena de U tiene una cota superior en U entonces U tiene un elemento maximal.

15

Predicados - Completitud 29Lgica

Completitud: Parte I (cont.)Lema 3.1.7 [ Lindenbaum ] Si T es una teora consistente, entonces existe

Tm consistente maximal tal que T Tm1. Sea A := {T : T es extension consistente de T}2. Toda cadena {Ti : i I} tiene una cota superior:

{Ti : i I}3. Existe una extension consistente maximal que

llamamos Tm (Lema de Zorn)

Predicados - Completitud 30Lgica

Qu tenemos hasta ahora? Partimos de consistente. Tomamos T = Cons(), que tambin es consistente Definimos Tw que es una extensin conservativa (luego

consistente) de T y es de Henkin (lema 3.1.6) Tw puede extenderse a una teora maximal Tm (lema

3.1.7) Tm es de Henkin (lema 3.1.8: no cambiamos el lenguaje)

y tambin una extensin conservativa maximal de T

16

Predicados - Completitud 31Lgica

Lema 3.1.1 [consistencia existencia de modelo]Si es consistente,

entonces existe M tal que M |= Esquema de la prueba:

Sea T= Cons() Consideramos Tm una teora de Henkin tal que es

extensin consistente maximal de Tw. (Lm es el lenguaje de Tm) Construimos un modelo.

Completitud: Paso 2

Predicados - Completitud 32Lgica

A := { t Lm | t es cerrado} Para cada smbolo de constante cLm se define la

constante c^ :=c Para cada smbolo de funcin n-ario fLm se define la

funcin f^: An A como: f^(t1..tn) = f(t1,..tn) Para cada smbolo de predicado p-ario PLm se define

la relacin P^ Ap comoP^ = { | Tm |- P(t1tp) }

~ := { (t,s) A2 | Tm |- t=s }~ es de equivalencia ([t] denota la clase de t)

Construccin del modelo sintctico

17

Predicados - Completitud 33Lgica

Construccin del modelo sintctico (II)

Se construye M :M =< A/~, P1Pn, f1, fm, {ci | iI}> (modelo sintctico)ci := [ci^]fj ([t1],..[taj]) = [fj^ (t1,taj)] Pi := { | Pi^ }

est bien definido pues = es una conguencia!

~ ~ ~ ~

~

~

~

Se prueba : ( Tm :: M |= ). O sea, M |= Tm

Predicados - Completitud 34Lgica

Modelos y TeorasDef [Mod]Mod() = {M | M|= para toda }

tambin escribimos M|= por M od() Sea K una clase de estructuras para un tipo de similaridad:Def [Th]Th(K) = { | M|= para todo M K}Propiedades: Th(Mod()) K Mod(Th(K)) Cons() = Th(Mod())

18

Predicados - Completitud 35Lgica

Fin

Predicados - Completitud 36Lgica

Prueba para Predicados

T teora consistente existe Tm consistente maximal tal que T Tm (extensin conservativa)

consistente existe M tal que M |=

Aplica el lema de Zorn para obtener Tm(El lenguaje puede no ser numerable debido a lossmbolos de constante a)

(1) Definimos _ (2) T0 = Cons() (3) Tm CM Tm es de T n+1 = (Tn)* Tw Tm HenkinTw = Tn

(i) Tomamos Tm CM tal que T Tw Tm (donde T=Cons()) (ii) Definimos la estructura M (se utiliza la definicin de Tm)(iii) Probamos M |= TmComo Tm luego M |=

}