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1Matemática discreta. Lógica

LógicaMatemática discreta


Lógica:

• rama de las matemáticas– instrumento para representar el lenguaje

natural– proporciona un mecanismo de deducción


Cálculo proposicional y de predicados

Razonamientos

Cálculoproposicional

Sentencias que expresan relaciones entre atributos y cualidades de los objetos

Cálculo de predicados

Establecen propiedades de individuos y relaciones entre estos


ejemplo

p = el dato es de salida

q = el dato es de entrada

{p V q , ¬ p} → q

"si el dato es de entrada o de salida y el dato no es de entrada, entonces es de salida"

"si x es de entrada, entonces x se graba en la memoria"

Px = x es un dato de entrada

Qx = x se graba en la memoriaPx → Qx


Cálculo proposicional

Cálculo proposcionalProposición o enunciado: es toda afirmación u oración

declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o falso.– Todos los procedimientos se han ejecutado correctamente.– ¿Qué hora es?.– (x-y)2=x2-2xy+y2.– ¡Menudo rollo de película!.– Esta frase es falsa.

• Proposiciones simples o atómicas.• Proposiciones compuestas o fórmulas.



Proposiciones simples o atómicas

• No pueden reducirse a otras más sencillas• Símbolos primitivos { }K,,,,,,T srqp⊥=Σ

Símbolos de proposiciónEnunciados atómicos

Constantes lógicas Falsedad

Verdad

⊥

Σ∈K,,,, srqp

T



Proposiciones compuestas o fórmulas• Enunciados bien formados a partir de símbolos

primitivos unidos mediante conectivas.{ }K,,,,L SRQP=Σ

Negación

Conjunción

Disyunción (“o” inclusivo)

Disyunción (“o” exclusivo)

Implicación

Doble implicación

Símbolos auxiliares ( , ) para evitar ambigüedades

Conectivas

¬∧∨∨→↔



Regla de formación de fórmulasΣ∈Σ∈ pLP,PP, 21

)()()()()()(T::P 21212121211 PPPPPPPPPPPp ↔→∨∨∧¬⊥=

Para abreviar se siguen las siguientes directrices:

Omisión de paréntesis externos

Prioridad entre conectivas:

Asociatividad de la implicación: asocia a la derecha

↔→∨∨∧¬ ,,,,,→



ejemplos))(( rqp ↔∨ )( rqp ↔∨lo escribimos

rqp ∧¬→ ))(( rqp ∧¬→es

)( rqp ↔∧rqp ↔∧ es distinto de

rqp →→ ))(( rqp →→es



Semántica del cálculo proposicional• Valoración

• Valor veritativo

• A cada símbolo primitivo se le asigna un valor booleano de verdad o falsedad: 0 falso, 1 verdad.

• A cada fórmula se le asigna un valor veritativo dependiendo de los valores de verdad de los símbolos primitivos que la componen.

α: β→Σ{ }1,0=β

π: β→ΣL

En general, y abusando de la notación, hablaremos de valoración y de valor veritativo indistintamente.



Tablas de verdadRepresentan todos los posibles valores veritativos de las fórmulas básicas.

p q

0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 1 0 1 1

p¬ q¬ qp∧ qp∨ qp∨ qp→ qp↔



Las tablas de verdad son una representación de las funciones

1)1,1(0)0,1(0)1,0(0)0,0(

:

=∧

=∧

=∧

=∧

→×∧

ffff

f βββ

1)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(

:

=∨

=∨

=∨

=∨

→×∨

ffff

f βββ

0)1(1)0(

:

=¬=¬→¬

ff

f ββ

0)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(

:

=∨

=∨

=∨

=∨

→×∨

ffff

f βββ

1)1,1(0)0,1(1)1,0(1)0,0(

:

=→

=→

=→

=→

→×→

ffff

f βββ

1)1,1(0)0,1(0)1,0(1)0,0(

:

=↔

=↔

=↔

=↔

→×↔

ffff

f βββ



Valores veritativosπ(p)= α(p)π( )=0π(T)=1π( )=π( )=π( )=π( )=π( )=π( )=

⊥

P¬ π(P))(¬fπ(Q))π(P),(∧fQP∧

QP∨QP∨

QP →QP ↔

π(Q))π(P),(∨fπ(Q))π(P),(∨fπ(Q))π(P),(→fπ(Q))π(P),(↔f



ejemploSi α(p)=1, α(q)=0, α(r)=1

π( ) r)q(p →∧ =→= ∧ r))π(qπ(p),(f

))π(r),π(q)(π(p),( →∧= ff →∧ ))1,0(1,( ff= =

1)11,( == ∧f

p q r1 0 1 1 1

r)q(p →∧rq →



Satisfactibilidad

Una fórmula P es satisfactible, si existe alguna valoración π que verifique π(P)=1, se dice entonces que π satisface P (π⎥= P), o que π es un modelo de P [π ⊆ Mod(P)].

En caso contrario, se dice que P es insatisfactible.



ejemplop q r

►

►

►

0 0 0 1 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 1 1 01 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1

r)q(p →∧rq →



Tautología, contingencia, contradicción

• Un fórmula P es una tautología si toda valoración es modelo de ella. (Si P es tautología, entonces es satisfactible).

• Un fórmula P es una contingencia si existen algunas valoraciones que son modelos de P y otras que no lo son.

• Un fórmula P es una contradicción si no tiene modelos. (P es contradicción si y sólo si es insatisfactible).



ejemplop q r

0 00000000

contradicción

0001101

contingencia

0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

tautología

r)q(p →∧q)(pp →∨ q)(p(p →∨ )¬



Equivalencia lógica 1

Cuando los valores veritativos de dos fórmulas P y Q son iguales en cualquier valoración, es decir, ∀π π(P)=π(Q), se dice que P y Q son lógicamente equivalentes y se denota P∼Q.

P∼Q ⇔ Mod(P) = Mod(Q).



ejemploqp → qp ∨¬y son lógicamente equivalentes

p q0 0 1 1

101

0 1 11 0 01 1 1

qp → qp ∨¬

qp → qp ∨¬∼



Equivalencia lógica 2

• P∼P.• Si P∼Q, entonces Q∼P.• P∼T si y sólo si ¬ P ∼⊥• P∼T si y sólo si P es

tautología.• P→ Q ∼T si y sólo si todo

modelo de P lo es de Q.• P↔Q ∼T si y sólo si P ∼Q.

• ¬ ¬ P ∼ P.• Si P∼Q y Q∼R, entonces P∼R.• ¬ T ∼⊥ y ¬ ⊥ ∼T• P∼⊥ si y sólo si P es

contradicción.• P→ Q ∼T si y sólo si toda

valoración que no es modelo de Q, tampoco lo es de P.



Teorema de reemplazamiento

Si P∼Q y F(P) es una fórmula que contiene a P como subfórmula, reemplazando una o varias apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una fórmula F(Q) que verifica F(P)∼F(Q).

Lo utilizaremos para simplificar fórmulas complejas.



Leyes de equivalencia lógica 1• Conmutativa: P∧Q ∼ Q∧P

P∨Q ∼ Q∨P• Distributiva: P∧(Q∨R)∼(P∧Q)∨(P∧R)

P∨(Q∧R)∼(P∨Q)∧(P∨R)• De identidad: P∧T ∼P

P∨⊥ ∼P• Tercio excluso: P∨ ¬P ∼T• Contradicción: P∧ ¬P ∼ ⊥• Idempotencia: P∧P ∼ P

P∨P ∼ P



Leyes de equivalencia lógica 2• Acotación: P∧⊥ ∼ ⊥

P∨T ∼T• Absorción: P∧(P∨Q) ∼ P

P∨(P∧Q) ∼ P• Asociativa: P∧(Q∧R) ∼ (P∧Q)∧R

P∨(Q∨R) ∼ (P∨Q)∨R• De Morgan: ¬(P∧Q) ∼ ¬P∨ ¬Q

¬(P∨Q) ∼ ¬P∧ ¬Q• Relación entre conectivas: P→ Q ∼ ¬P∨Q

P↔Q ∼ (P→ Q) ∧ (Q→P)



Razonamiento lógico deductivo 1

• Razonamiento inductivo: se generaliza una situación, a partir de un número relativamente pequeño de hechos particulares u observaciones.

• Razonamiento deductivo: consiste en obtener una conclusión a partir de ciertas sentencias ciertas.

• Un argumento es un conjunto de proposiciones en las que hay una, la conclusión Q, que se justifica a partir de las otras, las premisas {Pi}.



Razonamiento lógico deductivo 2

Dado un conjunto de fórmulas {Pi}• π es un modelo de {Pi} si π(Pi)=1 ∀i.• {Pi}es satisfactible si ∃ π que sea modelo de {Pi}. En

caso contrario, es insatisfactible.• Si A∼B, {Pi, A} y {Pi, B} tienen los mismos modelos.



ejemplo{q→r, p→(r∨q)} y {¬p∨q∨r, ¬q∨r} tienen los mismos modelos.

p q r q→r p→(r∨q) p q r ¬p∨q∨r ¬q∨r►►

►

►

1

►

100000

1

01

1

1

1

1

011

10

0

01

011

01

1

11

101

101

0111

11110111

►►

►

►

►

0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1



Razonamiento lógico 3• Q es consecuencia lógica de {Pi}, {Pi}⎥= Q, si todo

modelo de {Pi}, lo es también de Q.• Decir que una consecuencia lógica es válida, {Pi}⎥= Q,

es lo mismo que P1∧P2∧..∧Pn→Q es una tautología, o que {Pi, ¬Q} es insatisfactible.

• Para probar la validez de un argumento se pueden utilizar tablas de verdad, leyes de equivalencia lógica o reglas de inferencia.



ejemploConsecuencia lógica no válida,

razonamiento incorrecto:{p→q, ¬p}⎥≠ ¬q

Consecuencia lógica válida, razonamiento correcto:

{p→q, p}⎥= q

conclusiónpremisas

0101¬ q

0011¬ p

►►

111001110100

p→qqp

premisas conclusiónp q p→q p q

0 0101

011►

0 0 10 1 11 0 01 1 1



Reglas de inferencia• Modus ponens:{P→Q,P}⎥= Q

• Modus tolens:{P→Q, ¬Q}⎥= ¬P

• Silogismo: {P→Q,Q→R}⎥= P→R

• Silogismo disyuntivo: {P∨Q, ¬Q}⎥= P

• Simplificación: {P∧Q}⎥= P

{P}⎥= P∨Q{P,Q}⎥= P∧Q

• Regla de la cadena: si {Pi}⎥= Q1 y {Pi ,Q1}⎥= Q son válidas, también lo es {Pi}⎥= Q



Cálculo de predicados• Introduce los elementos necesarios para manejar

razonamientos en los que intervienen propiedades de

individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son

los predicados que pueden ser verdaderos o falsos en

función de sus argumentos.

• Alfabeto AΣ.

• Términos y fórmulas LΣ .



Alfabeto 1• símbolos de constante: C={c, t, ...}∈AΣ

• símbolos de predicado: P={P, Q, ...}∈AΣ

– de aridad 1: propiedad de un individuo.Px “ x es par”P4 “4 es par”

– de aridad 2: relación entre individuos.Pxy “x es más alto que y”

P Ana Juan “Ana es más alta que Juan”.



Alfabeto 2• constantes lógicas: {⊥ ,Τ}∈AΣ

• conectivas: {¬, ∧ ,∨ , →, ↔}∈AΣ

• cuantificadores: {∀, ∃}∈AΣ.– Se usan acompañados de variables y con ellos se

cierran los enunciados.– El radio de acción de la cuantificación K en KxF es F.– Tienen más prioridad que cualquier conectiva.

• símbolos auxiliares: {'(', ')'}∈AΣ



Alfabeto 3• variables: V={x, y, z, ...}∈AΣ

– Representan individuos anónimos, generales.– Una variable está ligada si está en el radio de acción

de algún cuantificador, Kx F[x], y está libre en otro caso.

– Una fórmula está abierta si tiene variables libres. Si no tiene variables libres está cerrada.



ejemplo∀x ∃y (Mx ∨ Q(x,y))

Fórmula cerrada.La variable y está ligada por el cuantificador existencial y

la variable x por el cuantificador universal.

F≡ ∀x (Mx ∨ Q(x,y))Fórmula abierta.

La variable y está libre [y∈lib(F)] y la variable x estáligada por el cuantificador universal.



Fórmulas y términos• Términos: T=C∪V∈AΣ.• Fórmulas: palabra formada a partir del

alfabeto aplicando las reglas:LΣ conjunto de fórmulas del alfabeto AΣ.

t1,..., tn∈T F, F1, F2∈ LΣ x∈lib(F1) F::=⊥| Τ|P(t1,...,tn) |(F1#F2), #∈{∧ ,∨ , →, ↔}

|¬F1 | (∃x F1) | (∀x F1).


Semántica del cálculo de predicados


• Un dominio o universo de discurso es un conjunto formado por personas, ideas, símbolos, datos, o cualquier otra opción que afecte al argumento lógico que se estáconsiderando.

• A los elementos del dominio se les llama individuos. Las constantes identifican de modo único a individuos particulares.



InterpretaciónI={D, ci , Pi}• Dominio D≠∅.• A cada símbolo de constante c se le asigna

un elemento del dominio D: c• A cada símbolo de predicado P de aridad n se

le asigna una función booleana P:Dn→{0,1}.

Dn ={(x1 ,...,xn) / xi ∈ D}


ejemploI={N, c0, c2, c3, c5, P, Q, R, S, }

• ∃x R(x,x,y) “y es un cuadrado perfecto”.• ∀x ∃y P(x,y) “todo natural tiene un sucesor”.• ∀x S(x,c0) “todos los naturales son mayores o

iguales que 0”.• Q(c2,c3,c5) “5=2+3”

c0 ≡ 0 c3≡3 P(x,y) ≡ y=x+1 Q(x,y,z) ≡ z=x+y

c2 ≡2 c5≡5 R(x,y,z) ≡ z=xy S(x,y) ≡ x ≥ y



Valores veritativos

π(T)=1π(⊥)=0π(¬F)=f¬(F)π(F1#F2)= f# (π(F1), π(F2)) #∈{∧ ,∨ , →, ↔}π(P(t1,...,tn))= P(t1,..., tn)π(∃x F)=1 si ∃ c∈D / π(F[x/c])=1π(∀x F)=1 si ∀ c∈D / π(F[x/c])=1



Satisfactibilidad

Una fórmula F es satisfactible, si existe alguna interpretación I en la que el valor veritativo de F sea 1. Se dice que I es un modelo de F (I⎥= F).

En caso contrario, se dice que F es insatisfactible.



Equivalencia lógica

Cuando los valores veritativos de dos fórmulas F1 y F2 son iguales en cualquier interpretación, se dice que F1 y F2 son lógicamente equivalentes y se denota F1∼F2

F1∼F2 ⇔ Mod(F1) = Mod(F2).



Leyes de equivalencia lógica 1

• ∀x F[x] ∼ ∀y F[y]• ∃x F[x] ∼ ∃y F[y]• ¬∀x F[x] ∼ ∃x ¬F[x]• ¬ ∃ x F[x] ∼ ∀x ¬F[x]• ∀x F[x] ∧ ∀x G[x] ∼ ∀x [F[x] ∧ G[x]]• ∃ x F[x] ∨ ∃ x G[x] ∼ ∃ x [F[x] ∨ G[x]]• Las de la lógica de proposiciones si no

interfieren los cuantificadores.



Tautología, contradicción

• Un fórmula F es una tautología si cualquier interpretación es modelo de ella.

• Un fórmula F es una contradicción si no tiene modelos

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