Bisectrices de un triángulo

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo, en dos ángulos iguales.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.

El incentro se expresa con la letra I.

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del triángulo.

Cálculo de la bisectriz que pasa por A.

Cálculo de la bisectriz que pasa por B.

Cálculo de la bisectriz que pasa por C.

Incentro

El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

Área de la circunferencia inscrita

El incentro es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es decir, tangente a los tres lados del triángulo. Por tanto el radio es la distancia del incentro a cualquier lado.

Halle la ecuacion de la circunferencia!!!?Esta inscrita en el triangulo cuyos lados estan sobre las rectas 4x+3y=24, 3x-4y=18 y 4x-3y=-32 ... TE DOY UNA PISTA : Sea el triángulo ABC de lados:AB 4x+3y=24BC 3x-4y=18CA 4x-3y=-32.El incentro O(a,b) del triángulo (centro de la circunferencia inscrita en el mismo) se encuentra en la intersección de dos de sus bisectrices:Bisectriz AB-BC (4x+3y-24)/√(4²+3²) = (3x-4y-18)/√(3²+4²); x-7y-6 = 0Bisectriz BC-CA (3x-4y-18)/√(3²+4²) = -(4x-3y+32)/√(4²+3²); 7x-7y+14 = 0, (signo - en 2º miembro ya que + da bisectriz ángulo externo, en este caso). Resolviendo el sistema anterior resulta el incentro:O(-1,1).La distancia de O a AB es el radio R de la circunferencia inscrita:R = |4*(-1)+3*1-24|/√(4²+3²) = 25/5 = 5Ecuación de la circunferencia: (x-a)²+(y-b)²=R²;(x+1)²+(y-1)² = 25

Hallar la ecuacion de la circunferencia inscrita en triangulo A (-1,0), B (2, 9/4), C (5,0)?El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo. También es el punto de corte de las tres bisectrices. Por lo tanto calcularemos dos de las bisectrices y el punto de corte será el incentro

Primero calculamos las ecuaciones de las rectas que forman los lados.

De AB se tiene 3x - 4y + 3 = 0De AC se tiene y = 0De BC se tiene 3x + 4y - 15 = 0

Espero que sepas calcular ecuación de la recta dados 2 puntos, para lo anterior, si no andas muy mal

Calculamos dos bisectrices. Por facilidad obtendrema la bisectriz en A y en C, por la fórmula de bisectrices, usando la definición de bisectriz que dice que la distancia de un punto de la bisctriz a un lado del triangulo es igual a la distancia del otro lado.

| 3x - 4y +3 ||-----------------| = |y||...√(9+16)...|

Resolviendo eso te dan 2 ecuaciones, pz un angulo tiene 2 biscetrizes y luego escoges la que necesitamos, la interna, en este caso es 3x - 9y + 3 = 0.......(1)

Ahora la de C| 3x - 4y - 15||-----------------| = |y||...√(9+16)...|

y nos da resolviendo 3x - 9y -15 = 0................(2)

Ahora las bisectrices se cruzan en el incentro, por lo tanto la intersección de esas rectas nos dará el incentro, o sea el centro del la circunferencia circunscrita.

Reolviendo 1 y 2

3x - 9y + 3 = 03x - 9y -15 = 0

Nos da x=2 y y= 1

..................Por lo tanto nuestro incentro es (2,1)

Ahora calculamos el radio, que es la distancia del incentro a cualquiera de los lados del triángulo.

Escojemos el lado AC cuya ecuación es y = 0.Usamos otra vez la formula distancia punto recta:

y/√0+1 .......Como y = 1 por el punto (2,1) se tiene

1/1 = 1. Donde la distancia es 1 y por lo tanto r = 1.

Ahora sustituimos el centro y el radio y nos quedará

===========================(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1Que es nuestra ecuación de la circunferencia