Apuntes Mat. Financiera

UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS VERSION: 2 - 2011

APUNTES DOCENTES

PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIERSARMIENTO LUIS JAIME

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS



QU ES MATEMTICAS FINANCIERAS?

Hace algunos aos ste era un tema al que poca importancia se le daba no slo en el mbito delas empresas (sobre todo las medianas y pequeas), sino tambin en las universidades donde enel mejor de los casos era una asignatura electiva.

Hoy podemos ver cmo se le considera materia bsica no solamente en los programas deAdministracin de Empresas, Contadura y Economa, sino tambin en programas de ingeniera.

Las Matemticas Financieras (MF), tambin denominadas "Ingeniera Econmica", recogen unaserie de tcnicas que permiten al ejecutivo manipular un concepto que est presente en la mayorade las decisiones cotidianas: la tasa de inters.

CARACTERISTICASEl dominio de las matemticas financieras permite a quien las utiliza realizar infinidad de anlisisde tipo financiero, entre los cuales podemos mencionar los siguientes:

Determinar el verdadero costo de una alternativa de financiacin, o la verdaderarentabilidad de una inversin.

Disear una poltica de descuentos. Establecer planes de financiamiento a los clientes cuando se vende a crdito. Seleccionar el mejor plan para amortizar deudas, segn los criterios de liquidez y

rentabilidad que tenga la empresa. Calcular el costo de capital. Escoger las alternativas de inversin a corto o largo plazo que sean ms favorables. Seleccionar entre alternativas de costos. Evaluar un proyecto de inversin.

UNIDAD 1: COSTO DEL DINERO

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

El dinero en el tiempo tiene la capacidad de generar ms dinero, es decir, de generar riqueza. Elvalor del dinero est en funcin del tiempo. El dinero es un bien econmico que tiene la capacidadintrnseca de generar ms dinero. Este hecho lo puede constatar cualquier persona, por ejemplo,cuando deposita algn dinero en una cuenta de ahorros de una entidad financiera y despus dealgn tiempo al ir a retirarlos se encuentra con que sus ahorros han crecido, en forma mgica, alrecibir una cantidad de dinero mayor.

Este cambio en la cantidad de dinero en un tiempo determinado es lo que se llama valor del dineroen el tiempo y se manifiesta a travs del inters.

Como conclusin y por las implicaciones econmicas que ste representa, el financiero debe tenerpresente el momento en que suceden los hechos econmicos ya que una misma unidad monetariacolocada en diferentes fechas, desde el punto de vista financiero, es un valor diferente.

Ejemplos:Cuando decimos que hoy cancelamos $ 500.000 y dentro de 3 meses cancelamos $ 500.000, nopodemos decir que hemos cancelado $ 1.000.000 o cuando personas desprevenidas y sin ninguna



formacin financiera afirman que al cancelar 12 cuotas mensuales de $ 100.000 cada una, por elelectrodomstico que adquirieron a crdito, estn pagando $ 1.200.000, Al hacer estaconsideracin se viola el principio del valor del dinero en el tiempo, ya que no se pueden sumarvalores ubicados en diferentes fechas.

INFLACINLa definicin ms tcnica es: Crecimiento de los precios en la economa de un pas. Dicho de otramanera, la inflacin es entendida como el alza generalizada de los bienes y servicios que setransan en una economa y que afecta diariamente el poder adquisitivo de nuestros ingresos, es elenemigo nmero uno de las finanzas personales.

VALOR PRESENTEEs una suma de dinero que se toma o se entrega en prstamo el da de hoy. Generalmente indicauna cantidad de dinero ubicado en el periodo 0; se denomina tambin capital principal y serepresenta con las letras (VP).

VALOR FUTUROEs el valor equivalente de un flujo de ingresos y/o egresos, llevados a un valor futuro determinandomediante la aplicacin de una tasa de inters y un periodo de pago.

Es una suma de dinero, ubicada al final de n periodos de inters, igual al valor present ms elinters. Se representara con las letras (VF).

FLUJO DE CAJATodas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores sepueden registrar sobre una recta que mida el tiempo de duracin de la operacin financiera.

Al registro grfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operacinfinanciera se conoce como flujo de caja o diagrama de lneas de tiempo. Por sentido comn se haadoptado sealar los ingresos con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha haciaabajo.

Para resolver los problemas de matemticas financieras, l primer paso y quizs el msimportante es la elaboracin correcta del flujo de caja, porque adems de mostrar claramente elproblema nos indica las frmulas que se deben aplicar para su solucin. Podemos concluir quetoda operacin financiera es un flujo de caja.

Ejemplo:

Usted adquiri hoy un crdito de $ 1.000.000 con un plazo de un ao, al cabo de los cuales debepagar $ 1.200.000. Elabore el flujo de caja de la operacin financiera.

VP= $ 1.000.000

0 1 n= Aos

VF= $ 1.200.000



INTERS (I)Es el precio que se pago por el uso del dinero durante un periodo de tiempo determinado. Puededefinirse tambin como una utilidad o ganancia que genera un capital o como la rentabilidad deuna inversin.

Si se presta hoy una cantidad de dinero (VP) y despus de un tiempo determinado se recibe unacantidad mayor (VF), la variacin del valor del dinero de (VP) a (VF) se llama valor del dinero en eltiempo, y la diferencia entre (VF) y (VP) es el inters (I). Se identifica con la sigla (I).

Es la medida en trminos monetario de la variacin del dinero en un tiempo determinado.

FRMULAS PARA CALCULAR EL INTERSVPVFI

I = Valor de los InteresesVF = Valor FuturoVP = Valor Presente

inVPI I = Valor de los InteresesVF = Valor Futuron = Nmero de Periodosi = Tasa de Inters

TASA DE INTERS (i)Es el precio que se paga por una cantidad de dinero que ha sido prestada por un periododeterminado.No es comn, cuando se realiza una operacin financiera, expresar el valor de los interesesrecibidos en cifras monetarias. Por ejemplo, no son comunes expresiones como: le prest a unamigo $100.000 durante 1 mes y me gan $ 5.000 de intereses, sino que se utiliza un indicadorexpresado como porcentaje que mide el valor de los intereses, llamado tasa de inters. La palabratasa se deriva del verbo tasar que significa medir. Como expresin matemtica la tasa de inters(i) es la relacin entre lo que se recibe de intereses (I) y la cantidad prestada o invertida (VP). Seidentifica con la sigla (i).

FRMULA DEPARA CALCULAR LA TASA DE INTERS

100VPIi

i = Tasa de IntersI = Valor de los InteresesVP = Valor Presente

Ejemplo:Un amigo le pide prestado $ 100.000 durante un mes, al final del cual le entrega la suma de $105.000. Elabore la simbologa, el flujo de caja y calcule el valor de los intereses ganados y la tasade inters que gnero la operacin financiera.



Simbologa:

VP = $ 100.000n = 1 MesVF = $ 105.000I = $ ?i = ? % Mes

Flujo de Caja

VF = $ 105.000

0 1 n = Meses

VP = $ 100.000

Aplicar Frmula (Inters)VPVFI

100.000105.000I $5.000I

Aplicar Frmula (Tasa de Inters)

100VPIi

100100.000

5.000i

1000.05i 5%Mensuali

INTERS SIMPLESe llama inters simple aqul en el cual los intereses generados en un perodo no ganan interesesen los perodos siguientes, independientemente de que se cancelen o no. nicamente sobre elcapital inicial se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. Laliquidacin de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el saldo del capital nopagado.

CARACTERSTICAS El capital inicial no vara durante todo el tiempo de la operacin financiera ya que los

intereses no se capitalizan. Esta condicin se cumple siempre que no se haga abono alcapital inicial. En caso de pagos sobre el capital inicial, los intereses se calcularn sobre elcapital insoluto.

Como consecuencia de la caracterstica anterior, la tasa de inters siempre se aplicarsobre el mismo capital, es decir, sobre el capital inicial o sobre el saldo insoluto.



Por la misma razn, puede decirse que los intereses sern siempre iguales en cadaperodo, o menores si hay abonos al capital inicial.FRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE INTERS SIMPLE

CLCULO DEL VALOR FUTURO

in1VPVF VF = Valor FuturoVP = Valor Presenten = Nmero de Periodosi = Tasa de Inters Simple

CLCULO DEL VALOR PRESENTE

in1VFVP

VP = Valor PresenteVF = Valor Futuron = Nmero de Periodosi = Tasa de Inters Simple

CLCULO DEL TIEMPO

1VPVF

i1n

N = Nmero de Periodosi = Tasa de Inters SimpleVF = Valor FuturoVP = Valor Presente

iVPIn

n = Numero de PeriodosI = Valor de los InteresesVP = Valor Presentei = Tasa de inters Simple

CLCULO DE LA TASA DE INTERS

1VPVF

n1i

i = Tasa de Inters Simplen = Nmero de Periodos



VF = Valor FuturoVP = Valor Presente

nVPIi

i = Tasa de inters SimpleI = Valor de los InteresesVP = Valor Presenten = Nmero de Periodos

CLCULO DEL INTERS

VP-VFI

I = Valor de los InteresesVF = Valor FuturoVP = Valor Presente

NOTA: La tasa de inters (i) se trabaja en funcin del periodo de tiempo de la (n).

Ejemplo:

Calcular el valor futuro a pagar al cabo de un semestre, por un crdito adquirido el da hoy por$ 500.000. Con una tasa de inters de financiacin del 4% semestral simple.

Simbologa:

VF = $ ?n = 1 SemestreVP = $ 500.000i = 4 % Semestral = 4/100 = 0.04

Flujo de Caja

VP = $ 500.000i = 4% Semestral

0 1 n = Semestre

VF = $ ?

Aplicar Frmula (Valor Futuro a Inters Simple)

in1VPVF 0.0411500.000VF 1.04500.000VF

$520.000VF



INTERS COMPUESTOEl inters compuesto (llamado tambin inters sobre inters), es aquel que al final del periodocapitaliza los intereses causados en el periodo inmediatamente anterior. En el inters compuesto elcapital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital inicialpara formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses.

CARACTERSTICAS El capital inicial cambia en cada periodo porque los intereses que se causan se capitalizan

o sea se convierten en capital. La tasa de inters siempre se aplica sobre un capital diferente.

Los intereses peridicos siempre sern mayores.

FRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE INTERS COMPUESTOCLCULO DE VALOR FUTURO

ni1VPVF VF = Valor FuturoVP = Valor Presenten = Nmero de Periodosi = Tasa de Inters

CLCULO DEL VALOR PRESENTE

ni1VFVP

VP = Valor PresenteVF = Valor Futuron = Nmero de Periodosi = Tasa de Inters

CLCULO DEL TIEMPO

i1log

VPVFlogn

N = Nmero de PeriodosVF = Valor FuturoVP = Valor Presentei = Tasa de Inters

CLCULO DE LA TASA DE INTERS

1VPVFi n1

i = Tasa de IntersVF = Valor FuturoVP = Valor Presenten = Nmero de periodos



CLCULO DEL INTERS

1i1VPI n I = Valor de los InteresesVP = Valor Presentei = Tasa de Intersn = Nmero de Periodos

VP-VFI I = Valor de los InteresesVF = Valor FuturoVP = Valor Presente

NOTA: La tasa de inters (i) se trabaja en funcin del periodo de tiempo de la (n).

Ejemplo:Usted necesita disponer de $ 1.500.000 dentro de 12 meses para el pago de su matrculauniversitaria. Si una entidad financiera le reconoce el 1.5% mensual por sus ahorros, Cuntodebe depositar hoy para lograr su objetivo?

Simbologa:VF = $ 1.500.000n = 12 Mesesi = 1.5 % Mensual = 1.5/100 = 0.015VP = $ ?

Flujo de Caja

VF = $ 1.500.000i = 1.5% Mensual

0 12 n = Meses

VP = $ ? Aplicar Frmula (Valor Presente a Inters Compuesto)

ni1VFVP

120.01511.500.000VP

1.19561.500.000VP

VP = $ 1.254.581,133



ECUACIONES DE VALOR O FECHA FOCALLas Ecuaciones de Valor es una igualdad que se establece entre un conjunto de pagos pactadosinicialmente y otro conjunto de pagos que reemplazara al conjunto inicial; aplicando el concepto delvalor del dinero en el tiempo, no se pueden comparar estos valores sino se colocan en una mismafecha para convertirlos en pesos del mismo poder adquisitivo. Es necesario trasladarlos a unafecha comn llamada fecha focal (f.f.), para poderlos comparar. La fecha focal es una fechaelegida arbitrariamente que, nicamente, nos permite plantear la ecuacin de valor. Por medio delas ecuaciones de valor se pueden cambiar planes de pago, refinanciar deudas, decidir entrediferentes posibilidades financieras para determinar la alternativa ms conveniente, etc.

Tambin se observa que hay valores que estn antes de la fecha focal y otros que estn despusde la fecha focal.

Los valores que se encuentran a la derecha de la fecha focal son valores futuros y los que seencuentran a la izquierda son valores presentes, con respecto a la fecha focal.

Ejemplo:Usted se comprometi a pagar una obligacin financiera con los siguientes pagos: un pago en elda de hoy por $ 100.000, un pago dentro de 6 meses por valor de $ 200.000 y un pago dentro de8 meses por $ 500.000. Calcular el valor inicial de la obligacin, si lata de financiacin es del 2%mensual.

Simbologa:

X = $ ? n = 0 MesesP1 = $ 100.000 n = 0 MesesP2 = $ 200.000 n = 6 MesesP3 = $ 500.000 n = 8 Mesesi = 2 % Mensual = 2/100 = 0.02f.f = n = 0 Meses

Flujo de Caja

VP= $ Xi = 2% Mensual

0 6 8n = Meses

P1 P2 P3

f.f



Aplicar Frmula (Valor Presente a Inters Compuesto en Ecuaciones de valor)

ni1VFVP

nnn i1P3

i1P2

i1P1X

860 0.021500.000

0.021200.000

0.021100.000X

56426.745,1864177.594,27100.000X 2704.339,46$X

TASA DE INTERS NOMINALEs la tasa que expresada para un perodo determinado (generalmente un ao) es liquidable enforma fraccionada durante perodos iguales. Como su nombre lo indica, la tasa nominal es unatasa de referencia que existe slo de nombre, porque no nos dice sobre la verdadera tasa que secobra en una operacin financiera; simplemente, expresa la tasa anual y qu parte de ella se cobraen cada perodo.

FORMAS DE EXPRESAR LA TASA NOMINALPara bancos comerciales, compaas de financiamiento comercial y corporaciones financieras:

20% Nominal Anual con Capitalizacin Trimestral 20% Anual Capitalizable Trimestralmente 20% Capitalizable Trimestralmente 20% Trimestre Vencido

FORMULA

mJ

ip

ip = Tasa de Inters PeridicaJ = Tasa de Inters Nominal Anualm = Numero de Capitalizaciones de la Tasa Nominal Anual

Nota: Esta Formula Siempre Aplica Cuando la Tasa de Inters Nominal seLiquida peridicamente. (Por Naturaleza la Tasa de Inters es Vencida.)



Ejemplo:Calcular la tasa de inters en trminos mensuales equivalente a una tasa de inters del 24%capitalizable mensualmente.

mJ

ip

120.24

ip

1000.02ip 2%Mensualip

Calcular la tasa de inters en trminos trimestrales equivalente a una tasa de inters del 30%capitalizable trimestralmente.

mJ

ip

40.30

ip

1000.075ip tral7.5%Trimesip

TASA DE INTERS EFECTIVAEs la tasa que mide el costo efectivo de un crdito o la rentabilidad efectiva de una inversin yresulta de capitalizar la tasa nominal. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el conceptodel inters compuesto, porque refleja la reinversin de intereses.

Nota: La relacin que existe entre la tasa nominal y la tasa efectiva, es la misma que existe entreel inters simple y el inters compuesto.

Lo anterior significa que la tasa nominal trabaja como inters simple y la tasa efectiva como interscompuesto.

FORMULAS

1ie)(1ie n

ie = Tasa Efectiva.n = Numero de periodos.

Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza de una Efectiva Pequea a una Efectiva Grande.



Ejemplo:Calcular la tasa de inters en trminos trimestrales equivalente a una tasa de inters del 2%mensual.

1ie)(1ie n

10.02)(1ie 3 1-1.0612ie 1000.0612ie

stral6.12%Trimeie

Calcular la tasa de inters en trminos semestrales equivalente a una tasa de inters del 4%trimestral.

1ie)(1ie n

1ie)(1ie n 10.04)(1ie 2

11.0816ie 1000.0816ie

tral8.16%Semesie

FORMULAS

1ie)(1ie n1

ie = Tasa Efectiva.n = Numero de periodos.

Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza de una Efectiva Grande a una Efectiva Pequea.

Ejemplo:Calcular la tasa de inters en trminos mensuales equivalente a una tasa de inters del 18%anual.

1ie)(1ie n1

1i0.18)(1ie 121

11.0139ie 1000.0139ie

al1.39%Mensuie



Calcular la tasa de inters en trminos bimestrales equivalente a una tasa de inters del 5%trimestral.

1ie)(1ie n1

1i0.05)(1ie 1.51

11.0331ie 1000.0331ie

tral3.31%Bimesie

TASA DE INTERES ANTICIPADAEs aquella tasa que se cobra al inicio del periodo, la cul puede ser mensual, bimestral, etc.Generalmente esta tasa va acompaada del periodo de capitalizacin y la palabra anticipada.

Como se haba mencionado anteriormente, todas las transacciones comerciales y bancarias setrabajan con tasa efectivas. Algunas instituciones trabajan con tasas anticipadas haciendo sucosto financiero ms alto. De ah que se hace necesario encontrar relaciones de equivalenciaentre tasas anticipadas y vencidas.

FORMULAS

mraip

ip = Tasa de Inters Peridicara = Tasa de Inters Nominal Anual Anticipadam = Numero de Capitalizaciones de la Tasa Nominal Anual Anticipada

Nota: Esta Formula Siempre Aplica Cuando La Tasa de Inters Nominal seLiquida peridicamente en Forma Anticipada. (Al Principio de Cada Periodo).

Ejemplo:Calcular la tasa de inters en trminos bimestrales anticipados equivalente a una tasa de intersdel 30% capitalizable bimestralmente en forma anticipada.

mraip

60.30ip

1000.05ip Anticipadal5%Bimestraip



Calcular la tasa de inters en trminos mensual anticipada equivalente a una tasa de inters del24% capitalizable mensualmente en forma anticipada.

mraip

120.24ip

1000.02ip Anticipada2%Mensualip

FORMULAS

ia1

iaie

ie = Tasa Efectiva.ia = Tasa Efectiva con Aplicacin de Inters en Forma Anticipada.

Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza de una Efectiva Peridica a unaEfectiva Peridica. (Con Relacin Uno a Uno, Esto Quiere Decir queEstn en la Misma Unidad de Tiempo.)

Ejemplo:Calcular la tasa de inters en trminos semestrales equivalente a una tasa de inters del 6%semestral anticipada.

ia1

iaie

0.061

0.06ie

1000638.0ie tral6.38%Semesie



Calcular la tasa de inters en trminos bimestrales equivalente a una tasa de inters del 4%bimestral anticipada.

ia1

iaie

0.041

0.04ie

1000417.0ie Anticipadatral4.17%Bimesie

FORMULA

ie1

ieia

ie = Tasa Efectivaia = Tasa Efectiva con Aplicacin de Inters en Forma Anticipada

Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza de una Efectiva Peridica a unaEfectiva Peridica. (Con Relacin Uno a Uno, Esto Quiere Decir queEstn en la Misma Unidad de Tiempo.)

Ejemplo:Calcular la tasa de inters en trminos trimestrales anticipados equivalente a una tasa de intersdel 5% trimestral.

ie1

ieia

0.0510.05

ia

1000.0476ia Anticipadastral4.76%Trimeia

Calcular la tasa de inters en trminos mensuales anticipados equivalente a una tasa de intersdel 2.50% mensual.

ie1

ieia

0.025010.0250

ia

1000.0244ia Anticipadaal2.44%Mensuia



TASA DE INTERES COMPUESTA O CONJUGADAEs la que resulta de la aplicacin simultanea de dos tasas de inters, as estas operen encondiciones diferentes. Tambin se puede definir como la tasa que resulta de reconocer sobre unaunidad monetaria (Dlar) o unidad contable (UVR), cuyo valor aumenta con el tiempo, una tasa deinters. Son ejemplos de tasas compuestas las resultantes de las operaciones de ahorro yprstamo en el sistema de financiacin de vivienda UVR, en las que operan simultneamente latasa remuneratoria y la inflacin; y de las operaciones con monedas extranjeras en las queintervienen al mismo tiempo la tasa de inters pagada en el exterior y la tasa de devaluacin.

FORMULA PARA EL CLCULO DEL COSTO DEL CRDITO EN MONEDA EXTRANJERA

iExtiDeviExtiDevie

ie = Tasa EfectivaiDev = Tasa de DevaluaciniExt = Tasa de Inters Externa

Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza en trminos Efectivos y las tasas deben estar en laMisma unidad de Tiempo.

FORMULA PARA EL CLCULO DE LA TASA DE INTERS DE LOS CRDITOS DEVIVIENDA

iCrediInfiCrediInfie

ie = Tasa EfectivaiInf = Tasa de InflaciniCred = Tasa de Inters del Crdito.

Nota: Esta Formula Siempre se Utiliza en trminos Efectivos y las tasas deben estar en laMisma unidad de tiempo y la UVR se trabaja con la tasa de inflacin.

Ejemplo:Calcular el costo efectivo anual de un crdito de vivienda, si la tasa de financiacin pactada fue deUVR+12% efectiva anual. Inflacin promedio anual igual al 5%.

iCrediInfiCrediInfie

0.120.050.120.05ie 0.00600.17ie

1001760.0 iel17.60%Anuaie



UNIDAD 2: SERIES UNIFORMES Y SERIES VARIABLESCRECIENTES Y DECRECIENTES

QUE ES SERIE UNIFORME O ANUALIDADUna anualidad es un conjunto de pagos iguales, hechos a intervalos iguales de tiempo. El terminoanualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente, en Matemticas Financierasanualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales,semestrales, trimestrales, bimestrales, mensuales, quincenales, diarios y otrosEl estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones porque esel sistema de amortizacin ms comn en los crditos comerciales, bancarios y de vivienda. Estesistema de pagos permite que el financiador cada vez que recibe el pago de la cuota recupereparte del capital prestado.

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA ANUALIDADPara que un conjunto de pagos se considere una anualidad debe cumplir con las siguientescondiciones:

Todos los pagos deben ser iguales. Todos los pagos deben ser peridicos. El nmero de pagos debe ser igual nmero de periodos. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie, a la misma tasa, a un valor

equivalente, es decir la anualidad debe tener un valor presente equivalente y un valor futuroequivalente.

CLASES DE ANUALIDADES:Las clases de anualidades ms comunes son las siguientes:

Anualidad Vencida Anualidad Anticipada Anualidad Diferida

ANUALIDAD VENCIDASe llama anualidad vencida aquella en la que el pago se hace al final de cada periodo.

Son Ejemplos: El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en laadquisicin de vehculos o de electrodomsticos por un sistema de financiacin.

VALOR PRESENTEEs un valor ubicado un periodo antes al pago de la primera cuota de la anualidad, equivalente auna serie de pagos peridicos e iguales.

VALOR FUTURO



Es un valor ubicado en el mismo momento en que se paga la ltima cuota de la anualidad,equivalente a una serie de pagos peridicos e iguales.

FRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE ANUALIDADES VENCIDAS

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

n

n

i1i1i1AVP

VP = Valor PresenteA = Valor de la Cuotai = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

VALOR DE LA CUOTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIN DEL VALOR PRESENTE

1i1i1iVPA n

n

A = Valor de la CuotaVP = Valor Presentei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD VENCIDAEN FUNCIN DEL VALOR PRESENTE

i1log

iVP-Alog-logAn

VALOR DE LA CUOTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIN DEL VALOR FUTURO

i1i1AVF

n

VF = Valor FuturoA = Valor de la Cuotai = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

VALOR DE LA CUOTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCIN DEL VALOR FUTURO

1i1iVFA n



A = Valor de la CuotaVF = Valor Futuroi = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD VENCIDAEN FUNCIN DEL VALOR FUTURO

i1log

logAAiVFlogn

NOTA: La tasa de inters (i) y el periodo de tiempo de la operacin financiera (n) se trabajanen funcin del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A)

Ejemplo:Una obligacin financiera se est cancelando con 4 cuotas mensuales iguales de $ 262.623,7527cada una y la tasa de inters de financiacin 2% mensual. Calcular el valor inicial de la obligacin.

Simbologa:

A = $ 262.623,7527n = 4 Cuotas Mensuales Igualesi = 2 % Mensual = 2/100 = 0.02VP = $ ?

Flujo de Caja

VP = $ ?i = 2% Mensual

0 1 2 3 4 n = Meses

A = $ 262.623,7527

Aplicar Frmula (Valor Presente Anualidad Vencida )

n

n

i1i1i1AVP

44

0.0210.0210.02127262.623,75VP



$1.000.000VP Ejemplo:Usted realiza depsitos al final de cada bimestre de $ 500.000, durante un ao en una entidadfinanciera que reconoce una tasa de inters del 4.2% bimestral. Calcule el valor acumulado en lacuenta al final del tiempo.

Simbologa:A = $ 500.000n = 1 Ao = 6 Bimestresi = 4.2% Bimestral = 4.2/100 = 0.042VP = $ ?

Flujo de Caja

VF = $ ?i = 4.2% Bimestral

0 1 2 3 4 5 6 n = Bimestres

A = $ 500.000

Aplicar Frmula (Valor Futuro Anualidad Vencida )

i1i1AVF

n

0.04210.0421500.000VF

6

,060$3.333.205VF

ANUALIDAD ANTICIPADAEs aquella en la cual los pagos se hacen al principio de cada periodo.

Son Ejemplos: El pago del canon de arrendamiento de un bien inmueble y algunos crditoscomerciales en los que se le manifiesta al cliente que no se le cobrara cuota inicial, pero en elmismo momento en que se hace la negociacin se le exige el pago de la primera cuota delconjunto de cuotas que tiene que pagar.



FRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

n

n

i1i1i1i1AVP

VP = Valor PresenteA = Valor de la Cuotai = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

VALOR DE LA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIN DEL VALOR PRESENTE

n

n

i1i1i1i1

VPA

A = Valor de la CuotaVP = Valor Presentei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIN DEL VALORPRESENTE

1 i1log

A-VPi-Alog-logAn

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

ii1i1AVF

1n

VF = Valor FuturoA = Valor de la Cuotai = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas



VALOR DE LA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIN DEL VALOR FUTURO

ii1i1

VFA 1n

A = Valor de la CuotaVF = Valor Futuroi = Tasa de Inters Peridican = Nmero de Cuotas

NUMERO DE CUOTAS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCIN DEL VALOR FUTURO

11

i1log

AiVFlog

ni

NOTA: La tasa de inters (i) y el periodo de tiempo de la operacin financiera (n) se trabajanen funcin del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A)

Ejemplo:Una obligacin financiera se est cancelando con 4 cuotas mensuales iguales pagaderas en formaanticipada de $ 262.623,7527 cada una y la tasa de inters de financiacin 2% mensual. Calcularel valor inicial de la obligacin.

Simbologa:

A = $ 262.623,7527n = 4 Cuotas Mensuales Iguales Anticipadasi = 2 % Mensual = 2/100 = 0.02VP = $ ?

Flujo de Caja


0 1 2 3 n = Meses

A = $ 262.623,7527



Aplicar Frmula (Valor Presente Anualidad Anticipada )

n

n

i1i1i1i1AVP

44

0.0210.0210.0210.02127262.623,75VP

$1.020.000VP

Ejemplo:Usted realiza depsitos al inicio de cada bimestre de $ 500.000, durante un ao en una entidadfinanciera que reconoce una tasa de inters del 4.2% bimestral. Calcule el valor acumulado en lacuenta al final del tiempo.

Simbologa:A = $ 500.000n = 1 Ao = 6 Bimestresi = 4.2% Bimestral = 4.2/100 = 0.042VP = $ ?

Flujo de Caja

VF = $ ?i = 4.2% Bimestral

0 1 2 3 4 5 6 n = Bimestres

A = $ 500.000

Aplicar Frmula (Valor Futuro Anualidad Anticipada )

ii1i1AVF

1n

0.0420.04210.0421500.000VF

16

,673$3.473.199VF

ANUALIDAD DIFERIDAEs aquella que se caracteriza por tener un periodo de gracia o periodo muerto entre el momentoen que queda formalizada la operacin financiera llamado momento de convenio y el pago de laprimera anualidad, cuota o pago y existen dos casos.



CASOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS

Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses causados no secancelan peridicamente, sino que se van capitalizando. En este caso al final del periodode gracia el capital habr aumentado y por lo tanto para calcular el valor de la anualidad,cuota o pago se debe tener en cuenta este valor equivalente.

Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses se paganperidicamente. En este caso al final del periodo de gracia el capital inicial permanececonstante sobre el cual se calculara el valor de la anualidad, cuota o pago.

Es un Ejemplo: De una anualidad diferida, un prstamo bancario en el que el pago de las cuotasse inicia un ao despus de recibir el desembolso del prstamo.

Ejemplo:Usted recibe un crdito hoy para pagarlo con 4 cuotas mensuales iguales de $ 250.000 cada una,pagando la primera tres meses despus y una tasa de inters de financiacin del 1.5% mensual.Calcular el valor inicial de la obligacin, si durante el periodo de gracia no pago los intereses.

Simbologa:

n = 4 Cuotas MensualesA = $ 250.000A1 = $ 250.000 n = 3 mesi = 1.5% Mensual = 1.5/100 = 0.015VP = $ ?

Flujo de Caja

VP = $ ?i = 1.5% Mensual

0 1 2 3 4 5 6 n = Meses

A = $ 250.000

Aplicar Frmula (Valor Presente Anualidad Diferida )

nn

n

i1i1i

1i1AVP



24

4

0.01510.01510.015

10.0151250.000VP

1,030219963.596,16VP

355$935.325,9VP

Ejemplo:Usted recibe un crdito hoy para pagarlo con 4 cuotas mensuales iguales de $ 250.000 cada una,pagando la primera tres meses despus y una tasa de inters de financiacin del 1.5% mensual.Calcular el valor inicial de la obligacin, si durante el periodo de gracia pago los intereses.

Simbologa:

n = 4 Cuotas MensualesA = $ 250.000A1 = $ 250.000 n = 3 mesi = 1.5% Mensual = 1.5/100 = 0.015VP = $ ?

Flujo de Caja


0 1 2 3 4 5 6 n = Meses

A = $ 250.000

Aplicar Frmula (Valor Presente Anualidad Diferida )

nn

n

i1i1i

1i1AVP

24

4

010.01510.015

10.0151250.000VP

119963.596,16VP

619$963.596,1VP



QUE ES SERIE VARIABLE O GRADIENTESe llama gradientes a una serie de pagos peridicos que tienen una ley de formacin.

Esta ley de formacin hace referencia a que los pagos pueden aumentar o disminuir, con relacinal pago anterior en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje.

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UN GRADIENTE: Los pagos tiene que tener una ley de formacin. Los pagos deben ser peridicos. La serie de pagos debe tener un valor presente equivalente y un valor futuro

equivalente. El nmero de periodos debe ser igual nmero de pagos.

CLASES DE GRADIENTES:

Las clases de gradientes ms comunes son las siguientes. Gradiente Lineal o Aritmtico Gradiente Geomtrico o Exponencial Gradiente Escalonado.

GRADIENTE LINEAL O ARITMTICO CRECIENTE VENCIDOEs una serie de pagos peridicos tales que cada pago es igual al anterior aumentando en unacantidad constante en pesos.

Es un Ejemplo: Si una obligacin financiera se est cancelando con cuotas mensuales quecrecen o aumentan cada mes en $5.000, la serie de pagos que se origina es un gradiente lineal oaritmtico creciente vencido.

GRADIENTE LINEAL O ARITMTICO DECRECIENTE VENCIDOEs una serie de pagos peridicos tales que cada pago es igual al anterior disminuido en unacantidad constante en pesos.

Es un Ejemplo: Si una obligacin financiera se est cancelando con cuotas mensuales quedecrecen o disminuyen cada mes en $5.000, la serie de pagos que se origina es un gradientelineal o aritmtico decreciente vencido.

FRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DEL GRADIENTE LINEALCRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO

nn

n

1 i1n

i1i1i1

iG

i1i1i1AVP n

n



VP = Valor PresenteA1 = Valor de la Primera Cuota de la Seriei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTEVENCIDO EN FUNCIN DEL VALOR PRESENTE

n

n

i1i1i1

i1n

i1i1i1

iGVP

Ann

n

1

A1 = Valor de la Primera Cuota de la SerieVP = Valor Presentei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEALCRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO

G1NACN 1

CN = Valor de la Cuota NN = Nmero de Cuota.A1 = Valor de la Primera CuotaG = Variacin de Cada Cuota

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO

n

i1i1

iG

i1i1AVF

nn

1

VF = Valor FuturoA1 = Valor de la Primera Cuota de la Seriei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota



VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTEVENCIDO EN FUNCION DEL VALOR FUTURO

i1i1

ni

1i1i

GVF

A n

n

1

A1 = Valor de la Primera Cuota de la SerieVF = Valor Futuroi = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEALCRECIENTE O DECRECIENTE VENCIDO

G1NACN 1

CN = Valor de la Cuota NN = Nmero de Cuota.A1 = Valor de la Primera CuotaG = Variacin de Cada Cuota

NOTA: La tasa de inters (i) y el periodo de tiempo de la operacin financiera (n) se trabajanen funcin del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A) y el Gradiente (G), quedeben estar en el mismo periodo y en las frmulas de gradientes se trabaja con signopositivo el gradiente cuando sea creciente y con signo negativo cuando sea decreciente.

Ejemplo:Una obligacin financiera se est cancelando con 4 cuotas mensuales de $ 200.000 cada una,que aumentan cada mes en $ 5.000 y la tasa de inters de financiacin es del 2% mensual.Calcular el valor inicial de la obligacin.

Simbologa:

n = 4 Cuotas MensualesA1 = $ 200.000 Mensualesi = 2 % Mensual = 2/100 = 0.02G = $ 5.000 Mensuales CrecientesVP = $ ?



Flujo de Caja


0 1 2 3 4 n = Meses

G G G G = $ 5.000A1

$ 200.000 G1NACN 1

Aplicar Frmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmtico Creciente Vencido )

nn

n

1 i1n

i1i1i1

iG

i1i1i1AVP n

n

444

0.0214

0.0210.0210.021

0.025.000

0.0210.0210.021200.000VP 4

4

0,1123250.0003,8077200.000VP 628.086,74897761.545,73VP

884$789.632,4VP

Ejemplo:Una obligacin financiera se est cancelando con 4 cuotas bimestrales de $ 500.000 cada una,que disminuyen cada bimestre en $ 2.000 y la tasa de inters de financiacin es del 3.5%bimestral. Calcular el valor inicial de la obligacin.

Simbologa:

n = 4 Cuotas BimestralesA1 = $ 500.000 Bimestralmentei = 3.5 % Bimestral = 3.5/100 = 0.035G = $ 2.000 Bimestralmente DecrecienteVP = $ ?

Flujo de Caja

VP = $ ?i = 3.5% Bimestral

0 1 2 3 4 n = Bimestres

G G G G = $ 2.000



A1 G1NACN 1 $ 500.000

Aplicar Frmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmtico Decreciente Vencido )

nn

n

1 i1n

i1i1i1

iG

i1i1i1AVP n

n

444

0.03514

0.03510.03510.0351

0.0352.000

0.03510.03510.0351500.000VP

4

4

0,1873157.142,8573,6731500.000VP 610.703,4456041.836.539,VP

,159$1.825.836VP

Ejemplo:Usted realiza depsitos al inicio de cada trimestre de $ 500.000 cada uno, que aumentan cadatrimestre en $ 10.000, durante un ao en una entidad financiera que reconoce una tasa de intersdel 4.8% Trimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

Simbologa:

A1 = $ 500.000 Trimestralmente AnticipadaG = $ 10.000 Trimestralmente Crecientesn = 1 Ao = 4 Trimestresi = 4.8 % Mensual = 4.8/100 = 0.048VF = $ ?

Flujo de CajaVF = $ ?

i = 4.8% Trimestral0 1 2 3 4 n = Trimestres

G G G G = $ 10.000A1

$ 500.000 G1NACN 1

Aplicar Frmula (Valor Futuro Gradiente Lineal o Aritmtico Creciente Vencido )

n

i1i1

iG

i1i1AVF

nn

1

4

0.04810.0481

0.04810.000

0.04810.0481500.000VF

44



0,297333208.333,334,2973500.000VF 061.943,0402962.148.663,VF

,336$2.210.606VFEjemplo:Usted realiza depsitos al inicio de cada semestrales de $ 1.000.000 cada uno, que disminuyencada semestre en $ 50.000, durante dos ao en una entidad financiera que reconoce una tasa deinters del 6 semestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

Simbologa:

A1 = $ 1.000.000 Semestralmente AnticipadaG = $ 10.000 Semestralmente Crecientesn = 2 Ao = 4 Semestresi = 6 % Semestral = 6/100 = 0.06VF = $ ?

Flujo de Caja

VF = $ ?i = 6% Semestral

0 1 2 3 4 n = Semestres

G G G G = $ 50.000A1

$ 1.000.000 G1NACN 1

Aplicar Frmula (Valor Futuro Gradiente Lineal o Aritmtico Decreciente Vencido )

n

i1i1

iG

i1i1AVF

nn

1

4

0.0610.061

0.0650.000

0.0610.0611.000.000VF

44

0,374633833.333,334,37461.000.000VF 312.1804.374.616VF

$4.062.436VF

GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADOEs una serie de pagos peridicos tales que cada pago es igual al anterior aumentando en unacantidad constante en pesos, pero el primer pago se realiza en el mismo momento en que se hacela operacin financiera.

Es un Ejemplo: Si una obligacin financiera se est cancelando con cuotas al inicio de cada mesque crecen o aumentan cada mes en $5.000, la serie de pagos que se origina es un gradientelineal o aritmtico creciente anticipado.



GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO DECRECIENTE ANTICIPADOEs una serie de pagos peridicos tales que cada pago es igual al anterior disminuido en unacantidad constante en pesos, pero el primer pago se realiza en el mismo momento en que se hacela operacin financiera.Es un Ejemplo: Si una obligacin financiera se est cancelando con cuotas al inicio de cada mesque decrecen o disminuyen cada mes en $5.000, la serie de pagos que se origina es un gradientelineal o aritmtico decreciente anticipado.

FRMULAS PARA CALCULAR LAS VARIABLES DEL GRADIENTE LINEALCRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO

1-n1-nn

11 i1

n

i1i

1i1

i

G

i1i

1i1AVP n

n

VP = Valor PresenteA1 = Valor de la Primera Cuota de la Seriei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTEANTICIPADO EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE

1n

1n1n

n

1

i1i1i1

i1n

i1i1i1

iGVP

A n

A1 = Valor de la Primera Cuota de la SerieVP = Valor Presentei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEALCRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO

G1NACN 1 CN = Valor de la Cuota NN = Nmero de Cuota.A1 = Valor de la Primera CuotaG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota



VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO

i1ni

1i1i

Gi

1i1AVFnn

1

11

VF = Valor PresenteA1 = Valor de la Primera Cuota de la Seriei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE O DECRECIENTEANTICIPADO EN FUNCION DEL VALOR FUTURO

i1i1

i1ni

1i1i

GVFA

n

n

1 1

1

A1 = Valor de la Primera Cuota de la SerieVF = Valor Presentei = Tasa de Inters Peridican = Nmero de CuotasG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

VALOR DE CUALQUIER CUOTA DIFERENTE A LA PRIMERA DE UN GRADIENTE LINEALCRECIENTE O DECRECIENTE ANTICIPADO

G1NACN 1

CN = Valor de la Cuota NN = Nmero de Cuota.A1 = Valor de la Primera CuotaG = Constante en que Aumenta o Disminuye Cada Cuota

NOTA: La tasa de inters (i) y el periodo de tiempo de la operacin financiera (n) se trabajanen funcin del periodo de tiempo de la Anualidad, Cuota o Pago (A) y el Gradiente (G), quedeben estar en el mismo periodo y en las frmulas de gradientes se trabaja con signopositivo el gradiente cuando sea creciente y con signo negativo cuando sea decreciente.

Ejemplo:Una obligacin financiera se est cancelando con 4 cuotas mensuales anticipadas de $ 200.000cada una, que aumentan cada mes en $ 5.000 y la tasa de inters de financiacin es del 2%mensual. Calcular el valor inicial de la obligacin.



Simbologa:

n = 4 Cuotas Mensuales AnticipadasA1 = $ 200.000 Mensuales Anticipadosi = 2 % Mensual = 2/100 = 0.02G = $ 5.000 Mensuales CrecientesVP = $ ?

Flujo de Caja


0 1 2 3 n = Meses

G G G G = $ 5.000A1

$ 200.000 G1NACN 1

Aplicar Frmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmtico Creciente Anticipado )

1-n1-nn

11 i1

n

i1i

1i1i

G

i1i

1i1AVP n

n

1-41-44

1 0.021

4

0.0210.02

10.0210.02

5.000

0.0210.02

10.021200.000VP 4

4

0.1146250.0003,8839200.000VP 628.648,48345776.776,65VP

381$805.425,1VP

Ejemplo:Una obligacin financiera se est cancelando con 4 cuotas bimestrales de $ 500.000 cada una,que disminuyen cada bimestre en $ 2.000 y la tasa de inters de financiacin es del 3.5%bimestral. Calcular el valor inicial de la obligacin.

Simbologa:

n = 4 Cuotas Bimestrales AnticipadasA1 = $ 500.000 Bimestralmente AnticipadosI = 3.5 % Bimestral = 3.5/100 = 0.035G = $ 2.000 Bimestralmente DecrecienteVP = $ ?



Flujo de Caja

VP = $ ?i = 3.5% Bimestral

0 1 2 3 n = Bimestres

G G G G = $ 2.000

A1 G1NACN 1 $ 500.000

Aplicar Frmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmtico Decreciente Anticipado )

1-n1-nn

1n

n

1 i1n

i1i1i1

iG

i1i1i1AVP

1-41-44

14

4

0.03514

0.03510.03510.0351

0.0352.000

0.03510.03510.0351500.000VP

0,1939157.142,8573,8016500.000VP 211.078,0664901.900.818,VP

,424$1.889.740VP

Ejemplo:Usted realiza depsitos al inicio de cada trimestre de $ 500.000 cada uno, que aumentan cadatrimestre en $ 10.000, durante un ao en una entidad financiera que reconoce una tasa de intersdel 4.8% Trimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

Simbologa:

A1 = $ 500.000 Trimestralmente AnticipadaG = $ 10.000 Trimestralmente Crecientesn = 1 Ao = 4 Trimestresi = 4.8 % Mensual = 4.8/100 = 0.048VF = $ ?

Flujo de Caja

VF = $ ?i = 4.8% Trimestral

0 1 2 3 4 n = Trimestres

G G G G = $ 10.000A1

$ 500.000 G1NACN 1



Aplicar Frmula (Valor Presente Lineal o Aritmtico Creciente Anticipado )

i1ni

1i1i

Gi

1i1AVFnn

1

11

0.048140.048

10.04810.048

10.0000.048

10.0481500.000VF44 11

0,311633208.333,334,5036500.000VF 964.916,3051342.251.799,VF

,440$2.316.715VF

Ejemplo:Usted realiza depsitos al inicio de cada semestre de $ 1.000.000 cada uno, que disminuyen cadasemestre en $ 50.000, durante dos ao en una entidad financiera que reconoce una tasa deinters del 6 semestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

Simbologa:

A1 = $ 1.000.000 Semestralmente AnticipadaG = $ 10.000 Semestralmente Decrecienten = 2 Ao = 4 Semestresi = 6 % Semestral = 6/100 = 0.06VF = $ ?

Flujo de CajaVF = $ ?

i = 6% Semestral0 1 2 3 4 n = Semestres

G G G G = $ 50.000A1

$ 1.000.000 G1NACN 1

Aplicar Frmula (Valor Presente Lineal o Aritmtico Creciente Anticipado )

i1ni

1i1i

Gi

1i1AVFnn

1

11

0.06140.06

10.0610.06

50.0000.06

10.0611.000.000VF44 11

0,397133833.333,334,63711.000.000VF 00330.910,809604.637.092,VF

,160$4.306.182VF



GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO DIFERIDOEs una serie de pagos peridicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuidoen una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es positiva se genera elgradiente aritmtico creciente. Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradientearitmtico decreciente, se caracteriza por tener un periodo de gracia o periodo muerto entre elmomento en que queda formalizada la operacin financiera llamado momento de convenio y elpago de la primera cuota..

Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses causados no secancelan peridicamente, sino que se van capitalizando. En este caso al final del periodode gracia el capital habr aumentado y por lo tanto para calcular el valor de la anualidad,cuota o pago se debe tener en cuenta este valor equivalente.

Cuando durante el periodo de gracia o periodo muerto los intereses se paganperidicamente. En este caso al final del periodo de gracia el capital inicial permanececonstante sobre el cual se calculara el valor de la anualidad, cuota o pago.

Es un Ejemplo: De una gradiente lineal o aritmtico diferido, un prstamo bancario en el que elpago de las cuotas se inicia un ao despus de recibir el desembolso del prstamo.

Ejemplo:Usted recibe un crdito hoy para pagarlo con 5 cuotas mensuales de $ 300.000 cada una, queaumentan cada mes en $ 20.000, pagando la primera cuatro meses despus y una tasa de intersde financiacin del 1.8% mensual. Calcular el valor inicial de la obligacin, si durante el periodo degracia no pago los intereses.

Simbologa:n = 5 Cuotas MensualesA1 = $ 300.000 Mensuales n = 4 Mesesi = 1.8 % Mensual = 2/100 = 0.02G = $ 20.000 Mensuales CrecientesVP = $ ?

Flujo de Caja


0 1 2 3 4 5 6 7 8 n = Meses

G G G G G = $ 20.000A1

$ 300.000 G1NACN 1



Aplicar Frmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmtico Creciente Diferido )

nnn

n

n

n

1

i1i1

ni1i

1i1i

Gi1i

1i1AVP

355

5

5

5

0.01810.0181

50.018010.018

10.01810.018

20.0000.01810.018

10.0181300.000VP

1,0550

0,167611111.111.111,4,7409300.000VP

1,055080186.255,123801.422.283,VP

1,05505081.608.538,VP

,088$1.524.713VP

Ejemplo:Usted recibe un crdito hoy para pagarlo con 5 cuotas mensuales de $ 300.000 cada una, queaumentan cada mes en $ 20.000, pagando la primera cuatro meses despus y una tasa de intersde financiacin del 1.8% mensual. Calcular el valor inicial de la obligacin, si durante el periodo degracia pago los intereses.

Simbologa:n = 5 Cuotas MensualesA1 = $ 300.000 Mensuales n = 4 Mesesi = 1.8 % Mensual = 2/100 = 0.02G = $ 20.000 Mensuales CrecientesVP = $ ?

Flujo de Caja


0 1 2 3 4 5 6 7 8 n = Meses

G G G G G = $ 20.000A1

$ 300.000 G1NACN 1



Aplicar Frmula (Valor Presente Gradiente Lineal o Aritmtico Creciente Diferido )

nnn

n

n

n

1

i1i1

ni1i

1i1i

Gi1i

1i1AVP

355

5

5

5

010.0181

50.018010.018

10.01810.018

20.0000.01810.018

10.0181300.000VP

1

0,167611111.111.111,4,7409300.000VP

1

80186.255,123801.422.283,VP

1

5081.608.538,VP

,508$1.608.538VP

UNIDAD 3: EVALUACIN ECONMICA DE PROYECTOS DEINVERSIN

EL VALOR PRESENTE NETO VPNEs una cifra monetaria que resulta de comparar el valor presente de los ingresos con el valorpresente de los egresos. En trminos concretos, el valor presente neto consiste en comparar losingresos con los egresos en pesos de la misma fecha. Por convencionalismo, se ha determinadoel momento cero para hacer esta comparacin, pero es perfectamente vlido hacerla encualquiera otra fecha.

No basta con que las empresas generen utilidades, ya que esto no garantiza su permanencia enel mercado, las utilidades, por si solas, son una medida engaosa sobre su desempeo, porqueno tienen en cuenta el monto de la inversin que las genera. En una economa capitalistasolamente sobreviven en el largo plazo las empresas rentables y liquidas. Cmo se sabe si unaempresa es rentable? Aparentemente, cuando al comparar las utilidades obtenidas en un periodocontable con la inversin que las genera, el resultado obtenido (rentabilidad operativa) es almenos igual al costo de la inversin. Pero esta medida es esttica. Las finanzas modernas evitanla trampa de las medidas estticas, buscando ndices dinmicos de desempeo que consideren elvalor del dinero en el tiempo y cuyo clculo se apoye en los flujos netos de efectivo. De estosndices uno de los ms utilizados es el valor presente neto que se calcula comparando, en unamisma fecha, la inversin inicial con los flujos netos de efectivo.



VP(I) = Valor presente de ingresos, representa en la ecuacin el valor actualizado de todos losflujos netos de efectivo.VP(E) = Valor presente de egresos, representado en la ecuacin por la inversin principal.TO = Tasa de oportunidad del inversionista.

FORMULA PARA CALCULAR EL VALOR PRESENTE NETO

VPE-VPIVPN T.O

VPN = Valor Presente NetoT.O = Tasa de OportunidadVPI = Valor Presente de los IngresosVPE = Valor Presente de los Egresos

CRITERIOS PARA SELECCIONAR ALTERNATIVAS USANDO EL VPN.

Cuando el VPN es mayor de cero la alternativa se debe aceptar. Cuando el VPN es igual a cero es indiferente aceptar o no la alternativa. Cuando el VPN es menor de cero la alternativa se debe rechazar.

QUE MUESTRA EL VPN?Generalmente se presentan confusiones en la interpretacin del valor presente neto, que a su vez

conducen a tomar decisiones de inversin equivocadas.

Analicemos los ms relevantes:

El rendimiento que el inversionista exige no se recibe sobre la inversin inicial, si no sobreel saldo de la inversin no recuperado.

Si el valor presente neto es igual a cero, el inversionista gana lo que quera ganar despusde recuperar la inversin.

Si el valor presente neto es mayor de cero, el inversionista gana ms de lo que queraganar. El VPN le muestra en pesos del presente cuanto ms gano sobre lo que queraganar.

Si el valor presente neto es menor de cero, esto no indica ninguna perdida, si no la cantidadde dinero en pesos de hoy que falto para que el inversionista ganara lo que quera ganar.

CONCLUSIONES SOBRE EL VPN

Es un mtodo de fcil aplicacin.

La inversin y los beneficios futuros (flujo de efectivo), se transforman en pesos de hoy yas se puede ver si los ingresos son mayores que los egresos.

Considera el valor del dinero en el tiempo.



Se necesita conocer la tasa de descuento para poder evaluar los proyectos. Este es elfactor determinante en la aplicacin del mtodo. Cualquier error en su determinacinrepercute en la decisin de aceptar o rechazar un proyecto.

Mide la rentabilidad de un proyecto en cifras monetarias.

Ejemplo:Un amigo te propone el siguiente negocio: invertir $100.000 hoy en un negocio que le genera lossiguientes flujos de efectivo al final de cada mes as: $ 20.000 dentro de 1 mes, $ 40.000 dentro de2 meses, $ 65.000 dentro de 3 meses y 50.000 dentro de 4 meses. Si su tasa de oportunidad esdel 2,5% mensual, debes aceptar el negocio o no?.

Simbologa:Inv. Inc. = $ 100.000 n = 0 MesIng. 1 = $ 20.000 n = 1 MesIng. 2 = $ 40.000 n = 2 MesesIng. 3 = $ 65.000 n = 3 MesesIng. 4 = $ 50.000 n = 4 MeseT.O = 2.5% Mensual = 2.5/100 = 0.025

Flujo de Caja

40.000 20.000 65.000 50.000

0 1 2 3 4 n = MesesT.O = 2.5% Mensual

100.000 Aplicar Frmula (Valor Presente Neto )

VPE-VPIVPN T.O

IncInv.

i1

VF

i1

VF

i1

VF

i1

VFVPN

nnnnT.O

100.000

0.0251

50.000

0.0251

65.000

0.0251

20.000

0.0251

40.000VPN 4321

100.000245.297,532760.358,961919.036,287239.024,390VPN

100.00021163.717,17VPN

21$63.717,17VPN

RTA: Si es favorable aceptar el negocio.



TASA INTERNA DE RETORNO TIRAl analizar el valor presente se pudo observar que sus resultados dependan fundamentalmente dela tasa de descuento.

Podemos definir entonces, la TIR como la tasa de inters que hace el VPN = 0, o tambin, la tasade inters que iguala el valor presente de flujos descontados con la inversin.

La TIR es la mxima tasa de inters a la que un inversionista estara dispuesto a pedir prestadodinero para financiar la totalidad del proyecto, pagando con los beneficios (flujos netos de efectivo)la totalidad del capital y de sus intereses, y sin perder un solo centavo.

La TIR es la tasa de inters que rinden los dineros que an permanecen invertidos en un proyectoy no sobre la inversin inicial.

SIGNIFICADO DE LA TIRCuando se realiza una operacin financiera, generalmente, se cree que la tasa de inters obtenida(TIR) representa el rendimiento o costo sobre la inversin inicial. La TIR es la tasa de interspagada sobre los saldos de dinero tomado en prstamo o la tasa de rendimiento ganada sobre elsaldo no recuperado de la inversin.

Podemos concluir que la TIR es la tasa de inters a que rinden los dineros que permaneceninvertidos en un proyecto de inversin. En una forma ms amplia, la TIR es la tasa de interspagada por un crdito, cualquiera sea su naturaleza pero no sobre su valor inicial sino sobresaldos insolutos.

CRITERIOS DE SELECCIN DE ALTERNATIVAS USANDO LA TIR

Cuando la TIR es mayor que la tasa de oportunidad, el proyecto se debe aceptar. Elinversionista obtiene un rendimiento mayor del exigido.

Cuando la TIR es igual a la tasa de oportunidad, es indiferente emprender o no el proyectode inversin.

Cuando la TIR es menor que la tasa de oportunidad, el proyecto se debe rechazar.

Tanto el VPN como la TIR son indicadores que permiten evaluar proyectos de inversin.Cuando empleamos el VPN estamos calculando en pesos del presente el rendimiento delos dineros involucrados en el proyecto. La TIR mide tambin la rentabilidad de unproyecto sobre los dineros que todava permanecen invertidos en el, pero expresada comotasa de inters. Aunque el clculo del VPN es mucho ms sencillo que el de la TIR estaltima es ms comprensible.

En el clculo del VPN la variable determinante es la tasa de descuento. Podemos decirque el VPN es una funcin de esta tasa. A medida que esta cambia, el VPN tambincambia. No podemos calcular el VPN si no est si no est determinada con anterioridad latasa de descuento, mientras que la TIR no depende de esta tasa para su clculo. Su nicadependencia es solo como tasa de referencia o comparacin para decidir si se acepta o noel proyecto. Son muchos los inversionistas que prefieren el criterio de la TIR sobre el VPN,para evaluar proyectos de inversin.



RELACION BENEFICIO COSTOLa relacin costo beneficio toma los ingresos y egresos presentes netos del estado de resultado,para determinar cules son los beneficios por cada peso que se sacrifica en el proyecto.

Para calcular la relacin beneficio costo:

Se toma como tasa de descuento la tasa social en vez de la tasa interna de oportunidad.

Se trae a valor presente los ingresos netos de efectivo asociados con el proyecto.

Se trae a valor presente los egresos netos de efectivo del proyecto.

Se establece la relacin entre el VPN de los Ingresos y el VPN de los egresos.

Es un mtodo complementario, utilizado generalmente cuando hacemos anlisis de valoractual y valor anual. Utilizado para evaluar inversiones, adems de su uso para determinarla viabilidad de los proyectos con base a la razn de los beneficios a los costos asociadosal proyecto.

La relacin Beneficio/costo est representada por la relacin:

IngresosEgresos

En donde los ingresos y los egresos deben ser calculados utilizando el VPN o el CAUE, deacuerdo al flujo de caja.

El anlisis de la relacin B/C toma valores mayores, menores o iguales que uno, esto significa que:

B/C > 1 los ingresos son mayores que los egresos, entonces el proyecto es aconsejable. Siesta razn es mayor que la unidad, significa que el valor presente neto del proyecto espositivo.

B/C= 1 los ingresos son iguales que loe egresos, entonces el proyecto es indiferente. Si seobtiene una Razn Beneficio-Costo igual a la unidad, ello equivale a que el valor presenteneto del proyecto es igual a cero.

B/C < 1 los ingresos son menores que los egresos, entonces el proyecto no esaconsejable.

La relacin B/C solo entrega un ndice de relacin y no un valor concreto. El indicador quese obtiene es til para determinar si el proyecto es bueno o no, pero no sirve para elegirentre proyectos, dado que no toma en cuenta el tamao del proyecto y adems, elresultado depender de si los costos de operacin del proyecto son deducidos de losingresos brutos en el numerador o bien adicionados a los costos de construccin en eldenominador de la fraccin.

Este criterio slo es apropiado utilizarlo para decidir si un proyecto se debe ejecutar o no, apartir de que la regla de decisin es que si la Razn Beneficio-Costo es igual o mayor quela unidad su ejecucin es conveniente, ya que el valor presente neto del proyecto espositivo.



COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)El flujo de caja de un proyecto de inversin convencional esta conformado por una inversin inicialy unos beneficios en el futuro. Tambin existen proyectos que requieren inversiones adicionalesdurante su vida til. Una condicin indispensable para que exista una TIR es que los beneficiossea iguales o mayores que la inversin inicial.

El CAUE consiste en convertir los egresos e ingresos asociados al proyecto en cantidades anualesiguales equivalentes, lo que equivale a convertir esas partidas en cuotas (A) de una anualidadvencida.

El termino costo anual por lo general se refiere a cuotas anuales, pero en la realidad estas puedenexpresarse para cualquier periodo. Se puede decir que el CAUE es cada una de las partes anualesiguales que se reparten en el VPN, a la tasa de descuento utilizada para calcularlo. Esto equivale acalcular la cuota (A) de una anualidad vencida conocidos:

El valor presente (VP): En este caso es el VPN. La tasa de inters (i): Corresponde a la tasa de descuento. El numero de cuotas (n): Numero de aos de vida til del proyecto.

El CAUE es importante ya que con su aplicacin podemos tomar una decisin sobre unainversin en proyectos que producen slo gastos o aquellos en los cuales es muy difcil oimposible, determinar los beneficios; tambin se aplica para los proyectos que tienenexplcitos los ingresos.

El mtodo de CAUE se aplica para las siguientes situaciones:

1. En el anlisis y evaluacin de proyectos individuales: cuando son conocidos los ingresos yegresos.

S el CAUE es positivo, se recomienda el proyecto: Este criterio de aceptacin o rechazo deun proyecto individual es razonable ya que al ser el CAUE la distribucin del VPN en cuotasanuales iguales equivalentes o para cualquier otro periodo, si el calor del este ultimo espositivo, tambin lo sern las partes iguales en que se reparte que corresponden al CAUE.

Si el VPN es positivo, el CAUE tambin ser positivo y por lo tanto el proyecto se acepta.

Si el CAUE es negativo el proyecto se debe rechazar. El VPN y el CAUE se puedenconsiderar como un mismo indicador, afectado por un factor de escala.

2. Seleccin de alternativas que permitan ingresos y egresos: En este caso se elije la demayor CAUE, que equivaldra a aceptar la de mayor VPN.

3. Seleccin de alternativas que solo presentan egresos: En este caso se escoge laalternativa de menor CAUE.

4. Seleccin de alternativas con vidas tiles diferentes.

Existen varios mtodos para calcular el CAUE, independientemente de cual se lassituaciones mencionadas anteriormente se presenten:



1. MTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIN DE SALVAMENTO: Mediante este mtodo elcosto inicial se convierte en un costo anual uniforme equivalente, calculando la cuota (A) deuna anualidad vencida. Se resta a esta cantidad del valor de salvamento, una vezconvertido en un CAUE mediante el clculo de la cuota (A) de una anualidad vencidaconocido el VF. A esta diferencia se le suma cualquier otro costo anualizado.

2. MTODO DEL VALOR PRESENTE DE SALVAMENTO: El valor presente de salvamentose resta del costo de inversin inicial o costo inicial y a la diferencia resultante se le calculala cuota anual uniforme. A este ltimo resultado se le suma cualquier otro costo anualizado.

3. MTODO DE LA RECUPERACIN DE CAPITAL MAS INTERESES: Se le resta al costoinicial el valor de salvamento y a la diferencia se le calcula la cuota anual uniforme. Semultiplica la tasa de inters por el valor de salvamento y se suma este valor con la anteriorcuota anual uniforme. Si existen otros costos anuales uniformes se el aaden al resultadoanterior.

4. MTODO DEL VALOR PRESENTE NETO VPN: Mediante este mtodo se calcula elVPN para el flujo de caja y se convierte este VPN en una serie anual uniforme equivalente,utilizado en todos los casos como tasa de descuento la tasa de oportunidad de la empresao inversionista. Por su simplicidad es el mtodo ms utilizado para calcular el CAUE.

RESUMEN DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Por el solo hecho que transcurra el tiempo el dinero cambia de valor, medido a travs de supoder adquisitivo.

Valores ubicados en diferentes fechas no se pueden sumar.

La variacin del dinero en un tiempo determinado se llama valor del dinero en el tiempo.

El valor del dinero en el tiempo se mide por medio de los intereses.

La tasa de inters mide el valor de los intereses.

Valores diferentes ubicados en diferentes fechas son equivalentes si producen el mismoefecto econmico.

El concepto de equivalencia es relativo ya que depende de las expectativas de rendimientode cada inversionista.

Apuntes Mat. Financiera

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