Apuntes MAT 024-Alarcón

Salomon Alarcon Araneda

Apuntes

MAT 024v 11.2013

hola

2

Prefacio

Estimados alumnos, esta es la primera version en formato texto de mis apuntes para un cursoque incluye topicos de calculo vectorial y ecuaciones diferenciales parciales, conocido en nuestraUniversidad como MAT 024.

Agradezco a los Prof. Juan Bahamondes, Leonel Guerrero y Nelson Cifuentes por facilitarmealgunas figuras en la seccion de integracion doble.

Tambien agradezco desde los comentarios de ustedes y sus sugerencias para mejorar estosapuntes, y correguir erratas que puedan existir. Para ello, pueden contactarme por correo e-mail a:

[email protected].

Espero que este material les sea de utilidad.

Atte.

Salomon Alarcon Araneda.

I

mailto:[email protected]

CAPITULO 0. PREFACIO

II

Indice general

Prefacio I

Indice general III

Indice de figuras V

1. Funciones definidas por una integral 11.1. Funciones definidas por una integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Funciones definidas por una integral impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. La integral de Riemann en RN 92.1. Definicion y existencia de la integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. La integral de Riemann en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Evaluacion de integrales multiples de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Evaluacion de integrales dobles sobre rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2. Evaluacion de integrales dobles sobre dominios mas generales . . . . . . . . 182.2.3. Evaluacion de integrales multiples de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Cambio de variable en integrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2. El teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.3. Integracion doble en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.4. Integracion triple en coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.5. Integracion triple en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4. Integracion multiple impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5. Aplicaciones: Centro de masa y momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.1. Centro de masa y momentos de inercia en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.2. Centro de masa y momentos de inercia en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. Curvas en R3 713.1. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2. Curvas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III

INDICE GENERAL

3.2.1. Extension de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.2. Preservacion de la orientacion de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.3. Curvas parametricamentes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.4. Longitud de arco. Parametrizacion natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3. Geometra de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.1. Vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.2. Vector normal y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.3. Torsion y vector Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3.4. Triedro y Formulas de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4. Integral de lnea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4.1. Centro de masa de un alambre, cuerda o resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5. Integral de lnea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.5.1. Funcion Potencial. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.6. El Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4. Superficies en R3 1254.1. Superficies en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.2. Integrales de superficie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.2.1. Masa y centro de masa de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3. Integrales de superficie sobre campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.5. El Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

IV

Indice de figuras

2.1. Particion rectangular P = P1P2 del rectanguloR = [a, b] [c, d], donde P1 = {a =x0, x1, x2, . . . , xm = b} y P2 = {c = y0, y1, y2, . . . , yn = d}. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. El solido S se divide en mn solidos, denominados Sij , asociados a los rectangulosRij , i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. El volumen del solido Sij es aproximado por el volumen de un paraleleppedo debase Rij y que posee altura f(xij , yij). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Mientras menor es la norma de la particion P, mejor sera la aproximacion del volu-men V mediante sumas de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Grafico de la region D = {(x, y) R2 : 0 x 2 x y 2x}. . . . . . . . . . . . 192.6. Grafico de la region D1 D2, donde se han intercambiado los ejes x e y. . . . . . . . 202.7. Grafico de la region D = {(x, y) R2 : 0 x 2 x y 2x}. . . . . . . . . . . . 202.8. Grafico de la region D1 D2 D3, donde se han intercambiado los ejes x e y. . . . . 212.9. Grafico de la region D =

{(x, y) R2 : 1 x 2 0 y lnx

}. . . . . . . . . . . 22

2.10. Grafico de la region D ={

(x, y) R2 : 1 y ln 2 0 x ey}

donde se hanintercambiado los ejes x e y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.11. Grafico del corte transversal de la region R cuando y = 0. Es decir, en el plano xzconsideramos la region entre las graficas de las funciones z = 3 x2 y z = 5 + x2,obteniendose los lmites para z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.12. Grafico de la proyeccion de la region R sobre el plano xy. Es decir, en el plano xyconsideramos la region entre las graficas de las funciones y = 0 y y =

4 x2,

obteniendose los lmites para y, y finalmente para x, aqu 0 x 2. . . . . . . . . . 302.13. Grafico del corte transversal de la region R cuando y = 0. Es decir, en el plano xz

consideramos la region entre las graficas de las funciones z =x2 = |x| y z =

1 x2, obteniendose los lmites para z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.14. Grafico de la proyeccion de la region R sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy es-

tamos considerando la region entre las graficas de las funciones y =

1 2x2

y y =

1 2x2, de donde se deducen los lmites para y, y finalmente para x,aqu 1

2 x 1

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

V

INDICE DE FIGURAS

2.15. Grafico del corte transversal de la region R cuando y = 0. Es decir, en el planoxz consideramos la region del primer cuadrante acotada por la recta z = 2 3x,obteniendose los lmites para z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.16. Grafico de la proyeccion de la region R sobre el plano xy. Es decir, en el plano xyconsideramos la region entre las graficas de las funciones y = 0 y y = 2 3x,obteniendose los lmites para y, y finalmente para x, aqu 0 x 23 . . . . . . . . . . 33

2.17. La transformacion ~T (r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y) transforma el rectangulo D ={(r, ) R2 : 0 r 1 0 2} en el crculo D = {(x, y) R2 : x2 + y2 1}. 35

2.18. Grafico de la Transformacion ~T (u, v) =(u (u+v)

2

4 ,u+v

2

)= (x, y) aplicado a la

region R limitada por las curvas x = 2 y2 2y, x = y2 y x = 2y y2. . . . . . . . 402.19. Grafico de la Transformacion ~T (u, v) =

(u+ v, v u2

)= (x, y) aplicado a la region

D, donde ~T (D) = D, la region limitada por las curvas y = x, y = 1 (x 1)2

y = x 2 y y = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.20. Grafico de la Transformacion ~U(x, y) =

(x+ y, y

2x

)= (u, v) aplicado a la region D

limitada por las curvas y + x = 4, y + x = 12 e y2 = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.21. La transformacion ~T (r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y) transforma el rectangulo D ={(r, ) R2 : 0 r a 0 2} en el crculo D = {(x, y) R2 : x2 + y2 a}. 45

2.22. La transformacion ~T (r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y) transforma el conjunto D ={(r, ) [0, a] [0, 2] : a1 r a2 0 2} en el conjunto D{(x, y) R2 :a21 x2 + y2 a22}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.23. Grafica de la cardiode r = 1 + cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.24. La transformacion ~T (r, , z) = (r cos , r sen , z) = (x, y, z) transforma el rectangu-lo D = {(r, , z) R3 : 0 r 1 0 2 0 z 2} en el cilindroD = {(x, y) R3 : x2 + y2 1 : 0 z 2}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.25. Grafica de r = 4 cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.26. La transformacion ~T (, , ) = ( cos sen, sen sen, cos) = (x, y, z) trans-forma el rectangulo D = {(, , ) R3 : 0 1 0 2 0 }en la bola D = {(x, y) R3 : x2 + y2 + z2 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. Parametrizacion de una recta L que pasa por el punto (x0, y0, z0) en la direccion delvector ~v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2. Parametrizacion de una circunferencia en el plano yz de radio a y centro en el origen. 76

3.3. Cicloide Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4. Cicloide acortada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6. Helice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7. Curva formada por la union de k curvas unidas por sus puntos terminales e iniciales 79

3.8. Circunferencia obtenida al pegar dos curvas en forma de semicircunferencias. . . . 80

VI

INDICE DE FIGURAS

3.9. Trayectorias opuestas de un cuarto de circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10. Hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.11. Aproximacion de la longitud de arco de una curva mediante una poligonal. . . . . . 83

3.12. Sustitucion trigonometrica para la expresion

t2 +

58

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 843.13. Grafico de un paso de la espiral de una Helice de radio a y altura h. . . . . . . . . . . 853.14. Longitud del trozo de Helice de radio basal a que completa un giro hasta completar

el primer paso de altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.15. Cicloide : ~r() = (R R sen ,RR cos , 0); [0, 2]. . . . . . . . . . . . . . . 863.16. s12 (s) =

1 s11 (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.17. El vector velocidad es el vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.18. La circunferencia que mejor aproxima a la curva en el punto ~r0(s) es la circunferencia

de radio R(s) y centro ~c(s) en el plano definido por N(s) y T (s). En el punto deinflexion el vector normal no esta definido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.19. Parametrizacion de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.20. Vectores normal, binormal y tangente a una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.21. Aproximacion de una curva mediante trazos poligonales. . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.22. Centro de masa en un una barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.23. Campo vectorial de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.24. Conjuntos conexos y disconexos (no conexos) en RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.25. Curvas con mismo punto inicial y final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.26.

~F d~r =

~F d~r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.27. Una vecindad sobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.28. Region encerrada por los lados del cuadrado de vertices (1, 0), (0, 1), (1, 0) y (0,1)

recorridos en sentido antihorario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.1. Una region rectangular de R2 que se ha deformado doblandola para que adquieraforma de una S, con ciertas zonas de la superficie paralelas, no tiene la formaz = f(x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2. Region rectangular deR2 que se ha deformado dandole la forma de un tubo cilndri-co circular recto y a partir de el, el manto del toro, obtenido al doblar el tubo en tornoa un eje, hasta pegar sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3. Funcion vectorial ~ sobre una region D R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4. Parametrizacion de una superficie mediante en R3 a una superficie en el plano R2. . 1284.5. Parametrizacion del cilindro x2 + y2 = a2 acotado por los planos z = 2 y z = 2. . . 1294.6. Si S es regular, entonces el campo de vectores normales es continuo, y la superficie

es orientable. Mas aun, la orientacion de la frontera de la curva que encierra la su-perficie y el campo de vectores normales a la superficie se relacionan mediante laregla de la mano derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

VII

INDICE DE FIGURAS

4.7. Parametrizacion de la superficie de un casquete esferico superior de radio R. . . . . 1304.8. Cono circular recto de radio a y altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.9. Particion de una superficie parametrizada, con ~(D) = S y ~(Rij) = Sij , donde

Rij = ui vj , siendo ui = ui ui1 y vj = vj vj1. . . . . . . . . . . . . . . 1374.10. Una pequena rueda con aspas moviendose en el fluido no girara alrededor de su eje

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.11. El rotacional esta asociado a rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.12. Flujo de salida en un punto de la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

VIII

Captulo 1

Funciones definidas por una integral

En esta captulo estudiaremos propiedades de continuidad, diferenciabilidad e integrabilidadde funciones de la forma

F (x) =

If(x, y) dy,

donde f : I J R2 R es una funcion e I, J son intervalos en R.

1.1. Funciones definidas por una integral definida

Sea f : [a, b] [c, d] R una funcion continua sobre su dominio. Entonces, para cada x fijo en[a, b], la funcion f(x, ) resulta continua y acotada, por lo cual puede ser integrada sobre el intervalo[c, d], obteniendose el numero real d

cf(x, y) dy

que depende del parametro x.

TEOREMA 1.1.1 (Continuidad) Sea U un intervalo abierto de R tal que [a, b] U y sea f : U [c, d] R una funcion continua sobre su dominio. Entonces la funcion F definida por

F (x) =

dcf(x, y) dy

es continua sobre [a, b].

Demostracion. Sea > 0 dado y sea x0 [a, b] fijo, pero arbitrario. Entonces, por continuidad de ftenemos que para cada [c, d], existe = (x0, ) > 0 tal que

((x, y) [a, b] [c, d])(

max{|x x0|, |y |} < |f(x, y) f(x0, )| 0 tal que

((x, y) [a, b] [c, d])(

max{|x x0|} < fx (x, y) fx (x0, y)

< d c).

Por otro lado, para 0 < h < , desde el Lema 1.1.1 obtenemosf(x0 + h, y) f(x0, y) fx (x0, y)h h sup

x[x0,x0+h]

{f

x(x, y) f

x(x0, y)

}< h

d c.

Un resultado analogo se obtiene si < h < 0. De esta forma, independientemente del signo deh, obtenemos

0 < |h| < f(x0 + h, y) f(x0, y) fx (x0, y)h

< |h| d c .Luego,F (x0 + h) F (x0) ( d

c

f

x(x0, y) dy

)h

dc

f(x0 + h, y) f(x0, y) fx (x0, y)h dy

a > 1, entonces

0

ln

(b cosxa cosx

dx

)= ln

(b+b2 1

a+a2 + 1

).

[SUG: Use la relacion,

0

dx

a cosx=

a2 1

a > 1.

]

6 Esta version puede contener errores

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 1.2. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL IMPROPIA

1.2. Funciones definidas por una integral impropia

DEFINICION 1.2.1 Sea f : [a, b] [c,] R una funcion continua sobre su dominio. Diremos quela integral

cf(x, y) dy

converge uniformemente a una funcion F definida sobre [a, b] si:

( > 0) (n = n()) (x [a, b])( > n

F (x) cf(x, y) dx

< )

TEOREMA 1.2.1 (Continuidad) Sea U un intervalo abierto en R que incluye a [a, b], sea f : U [c,[ R una funcion continua sobre su dominio y sea F : [a, b] R la funcion definida por

F (x) =

c

f(x, y) dy.

Si F converge uniformemente sobre todo intervalo compacto de U , entonces F es continua sobre[a, b].

TEOREMA 1.2.2 (Derivabilidad. Regla de Leibnitz) Sea U un intervalo abierto en R que incluye a[a, b], sea f : U [c,[ R una funcion continua sobre su dominio y sea F : [a, b] R la funciondefinida por

F (x) =

c

f(x, y) dy.

Si F converge para cierto x0 U , la funcion fx es continua sobre U [c,[ y la integral c

f

x(x, y) dy

converge uniformemente sobre todo intervalo compacto de U ; entonces la funcion F convergeuniformemente sobre todo intervalo compacto de U y es derivable sobre [a, b]. Mas aun, F verifica

F (x) =

a

f

x(x, y) dy.

TEOREMA 1.2.3 (Integrabilidad) Sea U un abierto enR que incluye a [a, b], sea f : U [c,[ Runa funcion continua sobre su dominio y sea F : [a, b] R la funcion definida por

F (x) =

c

f(x, y) dy.

Si F converge uniformemente sobre [a, b], entonces F es integrable sobre [a, b] y se verifica que baF (x) dx =

ba

( c

f(x, y) dy

)dx =

c

( baf(x, y) dx

)dy.


CAPITULO 1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

EJERCICIOS 1.2.1

1. Sea R. Pruebe que 0

ln(1 + cosx)dx = ln

(1 +

1 22

).

[SUG: Considere F () :=

0

ln(1 + cosx)dx y G() := ln

(1 +

1 22

)y pruebe que

F () = G() y que F (0) = G(0) para concluir.]

2. Sea g : R R \ {0} una funcion de clase C1(R;R \ {0}) y sea f : R R R la funciondefinida por

f(x, y) =

g(x)

sen y

ysi y 6= 0,

g(x) si y = 0.

Para la funcion F : R R definida por

F (x) =

10f(x, y) dy,

encuentre, si es posible, F .


Captulo 2

La integral de Riemann en RN

La integral de Riemann enRN es una extension de la integral de Riemann enR. Por esta razon,es necesario generalizar algunos conceptos, definiciones y teoremas para obtener otros similares alos ya conocidos en el contexto de la integral de Riemann para funciones de una variable real.

2.1. Definicion y existencia de la integral multiple de Riemann

DEFINICION 2.1.1 (Rectangulo en RN ) Sean ai, bi R, i = 1, 2, . . . , N , tales que ai bi para todoi = 1, 2, . . . , N . Llamamos rectangulo en RN a cualquier conjunto R de la forma

R = [a1, b1] [a2, b2] . . . [aN , bN ].

NOTACION 2.1.1 Un rectangulo R = [a1, b1] [a2, b2] . . . [aN , bN ], suele denotarse por

R =[~a,~b

]= {~x = (x1, x2, . . . , xN ) RN : ai xi bi : i = 1, 2, . . . , N},

donde ~a = (a1, a2, . . . , aN ) y ~b = (b1, b2, . . . , bN ). Es usual referirse a ~a y ~b como los extremos delrectangulo. Tambien es usual referirse a un rectangulo en RN como intervalo compacto.

DEFINICION 2.1.2 (Medida de un rectangulo en RN ) Sean ai, bi R, i = 1, 2, . . . , N , tales queai bi para todo i = 1, 2, . . . , N . Llamamos medida o volumen del rectangulo R = [a1, b1] [a2, b2]. . . [aN , bN ] al valor

m(R) = (b1 a1)(b2 a2) (bN aN ).

DEFINICION 2.1.3 (Particion de un rectangulo en RN ) Sean ai, bi R, i = 1, 2, . . . , N , tales queai bi para todo i = 1, 2, . . . , N . Una particion rectangular P del rectangulo R = [a1, b1] [a2, b2]. . . [aN , bN ] es un conjunto de la forma P = P1 P2 . . . PN , donde

Pi = {ai = xi 0, xi 1, . . . , xi (ni1), xi ni = bi}

es una particion de [ai, bi], para algun ni N, i = 1, 2, . . . , N .

9

CAPITULO 2. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN RN [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

OBSERVACION 2.1.1 Notar que toda particion rectangular P de un rectangulo R determina n0 =n1 n2 . . . nN rectangulos Rj , j = 1, 2, . . . , n0, tales que

R =

n0j=1

Rj Rj

Rk = j 6= k,

dondeRi corresponde al producto cartesiano de los intervalos abiertos cuyos extremos son los mis-

mos que los intervalos cerrados que definen al producto cartesiano Ri, para cada i = 1, 2, . . . , n0.

DEFINICION 2.1.4 (Norma de la particion rectangular de un rectangulo en RN ) Sean ai, bi R,i = 1, 2, . . . , N , tales que ai bi para todo i = 1, 2, . . . , N . La norma de la particion rectangular Pdel rectangulo R = [a1, b1] [a2, b2] . . . [aN , bN ] corresponde al valor

P = {P1, P2, . . . , Pn0}

donde Pi = max1jni

{xi j xi (j1)}, i = 1, 2, . . . , n0.

DEFINICION 2.1.5 (Sumas de Riemann) Sea R un rectangulo en RN , sea P una particion rec-tangular de R, y sea f : R R una funcion acotada. Si {Ri}n0i=1 es la descomposicion de Rdeterminada por P, llamamos

i) Suma de Riemann para la funcion f respecto de la particion rectangular P del rectangulo Runa suma de la forma

(f,P, TP) =

n0i=1

f(ci)m(Ri)

donde TP = {c1, c2, . . . , cn0}, con ci Ri, i = 1, 2, . . . , n0.

ii) Suma superior de Riemann para la funcion f respecto de la particion rectangular P delrectangulo R al valor

S(f,P) =

n0i=1

f(xi )m(Ri)

donde f(xi ) = maxxRi{f(x)}.

iii) Suma inferior de Riemann para la funcion f respecto de la particion rectangular P delrectangulo R al valor

s(f,P) =

n0i=1

f(xi )m(Ri)

donde f(xi ) = mnxRi{f(x)}.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.1. DEFINICION Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MULTIPLE

DEFINICION 2.1.6 (Funcion integrable sobre un rectangulo) Sea R un rectangulo en RN y sea f :R R una funcion acotada. Decimos que f es integrable Riemann sobre R si existe I R tal que

( > 0) ( > 0) ((P particion rectangular de R) (P < |(f,P, TP) I| < )) .

DEFINICION 2.1.7 (Integral superior e inferior de Riemman) Sea R un rectangulo en RN y seaf : R R una funcion acotada. Llamamos

i) Integral superior de Riemann de la funcion f al valor realRf = nf

PP(R){S(f,P)},

ii) Integral inferior de Riemann de la funcion f al valor realRf = sup

PP(R){s(f,P)},

donde P(R) = {P : P es una particion rectangular de R}.

TEOREMA 2.1.1 Sea R un rectangulo en RN y sea f : R R una funcion acotada. Las siguientespropiedades son equivalentes:

i) f es integrable sobre R

ii)Rf =

Rf

iii) f satisface la condicion de Riemann en R; es decir

( > 0) (P P(R)) (S(f,P) s(f,P) < ) .

NOTACION 2.1.2 Si f es una funcion Riemann integrable sobre un rectangulo R, escribimos elvalor de la integral de f sobre R como:

Rf

TEOREMA 2.1.2 (Integrabilidad de funciones continuas sobre rectangulos) Sea R un rectangu-lo enRN y sea f : R R una funcion continua sobre su dominio. Entonces f es integrable sobreR.



DEFINICION 2.1.8 (Conjuntos de contenido cero) Sea S RN . Diremos que S tiene contenido ceroen RN si para todo > 0 existe un conjunto finito de rectangulos {Ri}ni=1 tales que:

i) S ni=1

Ri

ii)ni=1

m(Ri) < .

DEFINICION 2.1.9 (Conjuntos de medida cero) Sea E RN . Diremos que E tiene medida cero enRN si para todo > 0 existe una sucesion de rectangulos {Ri}i=1 tales que:

i) E i=1

Ri

ii)i=1

m(Ri) < .

EJEMPLO 2.1.1 Los siguientes conjuntos tienen contenido cero en RN :

El conjunto vaco.

Un conjunto formado por un solo punto de RN .

La union finita de conjuntos de contenido cero.

Cualquier conjunto que posea una cantidad finita de puntos de RN .

Cualquier conjunto acotado de RN que posea una cantidad finita de puntos de acumula-cion.

Cualquier conjunto acotado de dimension menor o igual a N 1. (Por ejemplo: En R, lospuntos tienen medida cero; en R2 los puntos y los segmentos de recta de longitud finita,las lneas curvas continuas; enR3 los puntos, los segmentos de rectas de longitud finita, laslneas curvas continuas y las superficies acotadas de cuerpos con volumen).

EJEMPLO 2.1.2 Los siguientes conjuntos tienen medida cero en RN :

Todo conjunto de contenido cero en RN .

Todo conjunto numerable de RN .

La union numerable de conjuntos de medida cero en RN .

TEOREMA 2.1.3 Si K RN es un conjunto compacto (que equivale a decir que K es un conjuntocerrado y acotado de RN ) y de medida cero, entonces K es de contenido cero.



COROLARIO 2.1.1 Si D RN un conjunto acotado y de medida cero, entonces D es de contenidocero.

A continuacion enunciamos un teorema que extiende el Teorema 2.1.2 de integrabilidad de funcio-nes continuas sobre rectangulos.

TEOREMA 2.1.4 Sea R un rectangulo en RN , sea E un conjunto de contenido cero en RN , y seaf : R R una funcion acotada sobre su dominio y continua sobreR\E. Entonces f es integrablesobre R.

EJERCICIOS 2.1.1 Sea R = [0, 1] [0, 1] y sea f : R R la funcion definida por

f(x, y) =

{0 si (x, y) R \ (QQ)

1 si (x, y) R (QQ)

Es f integrable sobre R? Justifique su respuesta.

Integracion multiple sobre conjuntos mas generales y propiedades de las integrales multiples

DEFINICION 2.1.10 Sea D RN un conjunto acotado, sea R un rectangulo en RN que contiene aD, sea f : D R y sea

f(x) =

{f(x) si x D

0 si x 6 D

Si f es integrable sobre R, entonces decimos que f es integrable sobre D si f es integrable sobre R.En tal caso se define

Df =

Rf .

Propiedades de las integrales multiples

TEOREMA 2.1.5 Si f y g son funciones integrables sobre un conjunto D RN , entonces las fun-ciones f + g, f g, c f , donde c es una numero real, f g y |f | tambien son integrables. Mas aun,

i)D

(f + g) =

Df +

Dg , R.

ii) f g Df

Dg.

iii)Df

D|f |.



TEOREMA 2.1.6 (Teorema del Valor Medio Integral Generalizado) SeaD un subconjunto compac-to y conexo de RN , sea f : D R una funcion continua y sea g : D R una funcion no negativae integrable sobre su dominio. Entonces existe ~x0 D tal que

Dfg = f(~x0)

Dg.

TEOREMA 2.1.7 Sean D1 y D2 subconjuntos de RN tales que D1 D2 tiene contenido cero, y seaf una funcion integrable sobre D1 y sobre D2, entonces

D1D2f =

D1

f +

D2

f.

2.1.1. La integral de Riemann en R2

Consideremos en R2 el rectangulo R = [a, b] [c, d]. Consideremos ademas la particion P1 de[a, b] y la particion P2 de [a, b] dadas respectivamente por:

P1 = {a = x0, x1, x2, . . . , xm = b} P2 = {c = y0, y1, y2, . . . , yn = d}.

Pongamos

xi = xi xi1, i = 1, 2, . . . ,m, yj = yj yj1, j = 1, 2, . . . , n.

Entonces, se determinan mn rectangulos contenidos en R, los que denotaremos por Rij , donde

Rij = [xi1, xi] [yj1, yj ].

Figura 2.1. Particion rectangular P = P1 P2 del rectangulo R = [a, b] [c, d], donde P1 = {a =x0, x1, x2, . . . , xm = b} y P2 = {c = y0, y1, y2, . . . , yn = d}.



De esta forma, obtenemos la particion rectangular P de R, dada por

P = P1 P2 = {R11, . . . , Rij , . . . , Rmn}.

Ahora, sea R = [a, b] [c, d], sea f : R R una funcion continua y positiva, y sea S el solidolimitado superiormente por la superficie correspondiente a la grafica de f e inferiormente por elrectangulo R en el plano xy. Entonces la particion P antes mencionada divide al solido S en mnsolidos, los cuales denotamos por Sij , i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. En particular, el solido Sijtiene por base al rectangulo Rij en el plano xy, y por techo a la superficie correspondiente a lagrafica de f asociada al rectangulo Rij , siendo sus caras laterales regiones planas perpendicularesal plano xy. Notar que si consideramos el conjunto TP = {(x11, y11), (x12, y12), . . . , (xmn, ymn)},

Figura 2.2. El solido S se divide en mn solidos, denominados Sij , asociados a los rectangulos Rij , i =1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n.

donde (xij , yij) Rij (y por lo tanto xij [xi1, xi], j, y yij [yj1, yj ], i), siendo P de normamuy pequena, entonces el paraleleppedo rectangular recto de base Rij y altura f(xij , yij) poseeun volumen ij que se aproxima al volumen Vij del solido Sij . Es decir, ij Vij , o bien

Vij f(xij , yij)xiyj .

Figura 2.3. El volumen del solido Sij es aproximado por el volumen de un paraleleppedo de baseRij y queposee altura f(xij , yij).



De esta forma, el volumen total V del solido S es aproximado por la suma de todos los volume-nes Vij de los solidos Sij , a saber

V nj=1

mi=1

f(xij , yij) xi yj = (f,P, TP),

donde (f,P, TP) es precisamente la suma Riemman para la funcion f respecto de la particionrectangular P del rectangulo R, para la eleccion de puntos TP. Aqu, la medida de los rectangulosRij esta dada por m(Rij) = xiyj .

Es claro que mientras menor es la norma de la particion P, mejor sera la aproximacion delvolumen V del solido S mediante sumas de Riemann.

Figura 2.4. Mientras menor es la norma de la particion P, mejor sera la aproximacion del volumen V me-diante sumas de Riemann.

Para R2, damos una definicion del valor de una integral definida (integral de Riemann).

DEFINICION 2.1.11 Sea P1 una particion de [a, b] con m + 1 elementos y sea P2 una particion de[c, d] con n + 1 elementos. Si f : [a, b] [c, d] R es una funcion integrable sobre R, el valor dela integral de f sobre R se define como el numero real

Rf =

Rf(x, y)dA = lm

m,n

mi=1

nj=1

f(xij , yij) xi yj ,

para cualquier eleccion de puntos TP, donde P = P1 P2, con P n,m

0.

En este momento conviene recalcar que encontrar el valor de la integral de una funcion integrableusando la definicion no parace ser practico. Esto ya suceda para la integracion de funciones deuna sola variable, donde fuimos capaces de evaluar integrales de forma sencilla una vez que seobtuvo el Teorema Fundamental del Calculo y la Regla de Barrows (Segundo Teorema Fundamen-tal del Calculo), que relacionaban el valor de una integral definida (integral de Riemann), con laantiderivada de la funcion integrando.

2.2. Evaluacion de integrales multiples de Riemann

2.2.1. Evaluacion de integrales dobles sobre rectangulosA continuacion, vamos a enunciar un resultado que establece una forma simple y directa de

evaluar integrales de ciertas funciones integrables sobre rectangulos. Este metodo consiste en ex-presar la integral como una integral iterada. El metodo se puede extender a dimensiones mayoresque 2 como veremos mas adelante.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.2. EVALUACION DE INTEGRALES MULTIPLES DE RIEMANN

TEOREMA 2.2.1 (Teorema de Fubini, Primera forma) Sea R = [a, b] [c, d] y sea f : R R unafuncion integrable. Si para todo x [a, b] existe

F (x) =

dcf(x, y) dy,

entonces F es integrable sobre [a, b] y se verifica queRf(x, y) dA =

baF (x) dx =

ba

dcf(x, y) dy dx.

COROLARIO 2.2.1 Sea R = [a, b] [c, d] y sea f : R R una funcion integrable. Si para todox [a, b] existe

F (x) =

dcf(x, y) dy,

y si para todo y [c, d] existe

G(y) =

baf(x, y) dx,

entonces Rf(x, y) dA =

ba

dcf(x, y) dy dx =

dc

baf(x, y) dx dy.

COROLARIO 2.2.2 Sea R = [a, b] [c, d] y sea f : R R una funcion acotada y continua, salvotal vez en un conjunto de contenido cero. Entonces

Rf(x, y)dA =

ba

dcf(x, y) dy dx =

dc

baf(x, y) dx dy.

OBSERVACION 2.2.1 De acuerdo a la teora que hemos desarrollado, si R = [a, b] [c, d], entonces

m(R) = (d c)(b a) = ba

dc

1 dy dx = A(R),

que corresponde al area de la region rectangular R.

OBSERVACION 2.2.2 Tambien de acuerdo a la teora que hemos desarrollado, si R = [a, b] [c, d],entonces el volumen del paralelepdepo rectangular recto P de baseR y altura h, h R+, esta dadopor

V (P ) =

ba

dch dy dx = h(c d)(b a).



2.2.2. Evaluacion de integrales dobles sobre dominios mas generales

PROPOSICION 2.2.1 Sean u, v : [a, b] R dos funciones continuas sobre [a, b] tales que c u(x) v(x) d x [a, b]. Sea R = [a, b] [c, d] y sea D = {(x, y) R2 : a x b u(x) y v(x)}.Si f : R R es una funcion acotada, que ademas es continua sobre su dominio salvo tal vez enun conjunto de contenido cero, entonces f es integrable sobre D y se verifica que

Df =

ba

v(x)u(x)

f(x, y) dy dx.

OBSERVACION 2.2.3 De acuerdo a la teora que hemos desarrollado, si D es el conjunto en laproposicion previa, entonces el volumen del solido S limitado por la superficie z = f(x, y), con(x, y) D, y el plano xy, corresponde al volumen bajo la superficie z = |f(x, y)| 0, con(x, y) D (se entiende que sobre el plano xy), el cual esta dado por

V (S) =

ba

v(x)u(x)

|f(x, y)| dy dx.

En particular, si z = h, con h > 0, entonces el solido S con base D y altura h tiene volumen

V (S) =

ba

v(x)u(x)

h dy dx = hA(D),

donde A(D) es el area de la region D.

OBSERVACION 2.2.4 Desde la observacion anterior, si D es el conjunto en la proposicion previa,entonces el valor A(D) dado por

A(D) =

ba

v(x)u(x)

1 dy dx

corresponde al area de la region D.

EJEMPLO 2.2.1 Sea D = {(x, y) R2 : 0 x 1 0 y 2} y sea f : D R la funciondefinida por

f(x, y) =

1 + x si (x, y) D1 = {(x, y) D : x > 2y}1 y si (x, y) D2 = {(x, y) D : x 2y}Halle el volumen del solido limitado por la superficie z = f(x, y), con (x, y) D, y el plano xy.

Solucion. Notar que D = D1 D2 = [0, 1] [0, 2] es un conjunto acotado y que m(D1 D2) = 0,as que D1 D2 tiene contenido cero. Ahora, como f(x, y) > 0 en D1, el volumen bajo la superficiez = |f(x, y)| en D1, sobre el plano xy, esta dado por

V1 =

10

x2

0|f(x, y)| dy dx =

10

x2

0(1 + x) dy dx =

10

x

2(1 + x) dx =

(x2

4+x3

6

) x=1x=0

=5

12.



Por otro lado, como f(x, y) 0 en D2, el volumen bajo la superficie z = |f(x, y)| en D2, sobre elplano xy, esta dado por

V2 =

10

x2

0|f(x, y)| dy dx =

10

2x2

| 1 y| dy dx = 1

0

2x2

(1 + y) dy dx

=

10

(y +

y2

2

) y=2y=x

2

dx

=

10

(4 x

2 x

2

8

)dx

=

(4x x

2

4 x

3

24

) x=1x=0

=89

24.

EJEMPLO 2.2.2 Cambie, si es posible, el orden de integracion de la integral 20

2xx

f(x, y) dy dx.

Solucion. Tenemos

D = {(x, y) R2 : 0 x 2 x y 2x}

={

(x, y) R2 : 0 y 2 y2 x y}{

(x, y) R2 : 2 y 4 y2 x 2}

= D1 D2,

con D1 y D2 acotados ym(D1 D2) = 0.

Figura 2.5. Grafico de la region D = {(x, y) R2 : 0 x 2 x y 2x}.

Luego, 20

2xx

f(x, y) dy dx =

20

yy2

f(x, y) dx dy +

42

2y2

f(x, y) dx dy.



Figura 2.6. Grafico de la region D1 D2, con D1 ={

(x, y) R2 : 0 y 2 y2 x y}

y D2 ={(x, y) R2 : 2 y 4 y2 x 2

}, donde se han intercambiado los ejes x e y.

EJEMPLO 2.2.3 Cambie, si es posible, el orden de integracion de la integral 40

2x

4xx2f(x, y) dy dx.

Solucion. Tenemos

Figura 2.7. Grafico de la region D = {(x, y) R2 : 0 x 2 x y 2x}.

D = {(x, y) R2 : 0 x 4

4x x2 y 2x}

={

(x, y) R2 : 0 y 2 y2

4 x 2

4 y2}

{

(x, y) R2 : 0 y 2 2 +

4 y2 x 4}

{

(x, y) R2 : 2 y 4 y2

4 x 4}

= D1 D2 D3,



con D1, D2 y D3 acotados y tales que

m(Di Dj) = 0, i, j = 1, 2, 3, i 6= j.

Luego, 40

2x

4xx2f(x, y) dy dx =

20

24y2y2

4

f(x, y) dx dy+

20

42+

4y2f(x, y) dx dy+

42

4y2

4

f(x, y) dx dy.

Figura 2.8. Grafico de la regionD1D2D3, conD1 ={

(x, y) R2 : 0 y 2 y2

4 x 2

4 y2}

,

D2 ={

(x, y) R2 : 0 y 2 2 +

4 y2 x 4}

y D3 ={

(x, y) R2 : 2 y 4 y2

4 x 4}

,donde se han intercambiado los ejes x e y.

EJEMPLO 2.2.4 Calcule, si es posible, el valor de 11

y20

(x2 + y) dx dy.

Solucion. f(x, y) = x2 + y es una funcion continua sobre el rectangulo [0, 1] [1, 1]. Luego,obtenemos 1

1

y20

(x2 + y) dx dy =

11

( y20

(x2 + y) dx

)dy =

11

(x3

3+ yx

) x=y2x=0

dy

=

11

(y6

3+ y3

)dy

=

(y7

21+y4

4

) y=1y=1

=

(1

21+

1

4

)(

(1)21

+1

4

)=

2

21.



EJEMPLO 2.2.5 Calcule, si es posible, el valor de 21

lnx0

(x 1)

1 + e2y dy dx.

Solucion. f(x, y) = (x 1)

1 + e2y es una funcion continua sobre el rectangulo [0, 1] [1, 1].Luego, obtenemos

Figura 2.9. Grafico de la region D ={

(x, y) R2 : 1 x 2 0 y lnx}

.

21

lnx0

(x 1)

1 + e2y dy dx =

21

( lnx0

(x 1)

1 + e2y dy

)dx

=

ln 20

( 2ey

(x 1)

1 + e2y dx

)dy por Fubini

=

ln 20

((x2

2 x)

1 + e2y) x=2

x=eydy

= ln 2

0

(e2y

2 ey

)1 + e2y dy

= 12

ln 20

e2y

1 + e2y dy +

ln 20

ey

1 + (ey)2 dy

= 14

52

v dv +

21

1 + u2 du donde v = 1 + e2y y u = ey

Ahora, notemos que 1 + u2 du =

sec3 d

{u = tan

du = sec2 d

1 + u2 =

1 + tan2 = sec .

Siguiendo con algunos calculos directos, obtenemossec3 d = tan sec

sec tan2 d

{u = sec dv = sec2 d

du = sec tan d v = tan

= tan sec

sec3 d +

sec d



Figura 2.10. Grafico de la region D ={

(x, y) R2 : 1 y ln 2 0 x ey}

donde se han intercambia-do los ejes x e y.

2

sec3 d = tan sec + ln | sec + tan |

sec3 d =1

2

(u

1 + u2 + ln1 + u2 + u).

Por lo tanto,

21

lnx0

(x 1)

1 + e2y dy dx = 16v

32

v=5v=2

+

(u

1 + u2 + ln1 + u2 + u)u=2

u=1

=1

6

(2

23 5

23

)+

(2

5 + ln5 + 2) (2 + ln 2 + 1).

EJEMPLO 2.2.6 Mediante el uso de una integral doble, calcule el volumen de un cilindro circularrecto de radio r y altura h.

Solucion. En primer lugar, definimos la region sobre la cual vamos a integrar. Vamos a considerarun cilindro circular recto tal que su base circular esta centrada en el origen. Justamente el crculocentrado en el origen y radio r sera el dominio de integracion de la funcion constante f(x, y) = h.

D = {(x, y) R2 : x2 + y2 r2} =

r x rr2 x2 y r2 x2.23 Esta version puede contener errores


Luego, el volumen V del cilindro circular recto de radio r y altura h esta dado por

V =

rr

r2x2r2x2

h dy dx = 2h

rr

r2 x2 dx

= 2h

(x

2

r2 x2 + r

2

2arc sen

(xr

)) rr

= 2h(r2 arc sen 1

)= r2h.

EJEMPLO 2.2.7 Calcule el volumen del solido limitado por la superficie z = 4 19x2 116y

2, losplanos x = 3, y = 2 y los planos coordenados.

Solucion. En primer lugar, definimos la region sobre la cual vamos a integrar la funcion z =f(x, y) = 4 19x

2 116y2. Tenemos

D =

0 x 30 y 2.Luego, el volumen del solido limitado por la superficie z = 4 19x

2 116y2, los planos x = 3, y = 2

y los planos coordenados es

V =

30

20

(4 1

9x2 1

16y2)dy dx =

30

(4y 1

9x2y 1

48y3) 2

0

dx

=

30

(8 2

9x2 1

6

)dx

= 8x 227x3 1

6x

x=3x=0

= 24 2 12

=43

2.



EJERCICIOS 2.2.1

1. Cambie, si es posible, el orden de integracion de la integral e1

lnx0

f(x, y) dy dx.

2. Reescriba la integral doble Df(x, y) dA,

utilizando lmites de integracion adecuados sobre las regiones D dadas.

a) D = {(x, y) R2 : x2 + y2 1}

b) D = {(x, y) R2 : 1 x2 + y2 2} {(x, y) R2 : y x2}

c) D es el triangulo de vertices (0, 0), (2, 1), (2, 2).

3. Encuentre el area de la region encerrada por las curvas y = x2 y y = 4x x2.

4. Exprese el volumen del solido encerrado por los paraboloides z = x2+y2 y 2z = 12x2y2

mediante una integral doble con adecuados lmites de integracion.

5. Evalue, si es posible, el valor de 40

2x

sen(y3) dy dx.

Soluciones a Ejercicios 2.2.1

1. 1

0

eeyf(x, y) dx dy.

2. a) 11

0

1x2f(x, y) dy dx+

11

1x20

f(x, y) dy dx.

b) 1

1+5

2

2x2x2

f(x, y) dy dx+

10

2x2

1x2f(x, y) dy dx+

1+52

1

2x2x2

f(x, y) dy dx.

c) 02

14x+ 3

2

xf(x, y) dy dx+

20

14x+ 3

2

12x

f(x, y) dy dx.

3.8

3.

4. 22

4x2

4x2

((6 x

2

2 y

2

2

) (x2 + y2)

)dy dx.

5. 0.



2.2.3. Evaluacion de integrales multiples de Riemann

TEOREMA 2.2.2 (Teorema de Fubini, segunda forma) SeaR = [a1, b1] [a2, b2] . . . [an, bn], seai0 {1, 2, . . . , } fijo, y sea f : R R una funcion integrable sobre R tal que existe

F (xi0) =

R

f(x1, x2, . . . , xi0 , . . . , xN )d(x1, x2, . . . , xi01, xi0+1, . . . , xN )

para cada xi0 [ai0 , bi0 ], donde R = [a1, b1][a2, b2]. . .[ai01, bi01][ai0+1, bi0+1] . . .[aN , bN ].Entonces F es integrable en [ai0 , bi0 ] y se verifica que bi0

ai0

F (xi0) dxi0 =

Rf(x) dx.

EJEMPLO 2.2.8 Calcule la integral multiple 10

10

11

11

(x2 + y2)(zew) dx dy dz dw.

Solucion. Procedemos de la siguiente forma 10

10

20

11

(x2 + y2)(zew) dx dy dz dw =

10

10

20

( 11

(x2 + y2)(zew) dx

)dy dz dw

=

10

10

20

(1

3x3 + xy2

)(zew)

x=1x=1

dy dz dw

=

10

10

( 20

(2

3+ 2y2

)(zew) dy

)dz dw

=

10

10

(2

3y +

2

3y3)

(zew)

y=2y=0

dz dw

=

10

( 10

(4

3+

16

3

)(zew) dz

)dw

=10

3

10

(z2ew

) z=1z=0

dw

=10

3

10ew dw

=10

3(e 1).

El Teorema a continuacion nos permitira reducir nuestro trabajo para calcular el valor de unaintegral cuando la funcion a integrar puede reescribirse en variables separables en ciertas subre-giones rectangulares de la region rectangular original.



TEOREMA 2.2.3 (Integracion sobre un producto de rectangulos) Sea A un rectangulo en RM , seaB un rectangulo en RN y sea f : A B R una funcion integrable sobre A B. Si E RM unconjunto de contenido nulo y si para todo x A \ E la funcion F (x) =

B f(x, y) dy es integrable,

entonces la funcion G(x) =B f(x, y) dx es integrable sobre A y se tieneAB

f(x, y) d(x, y) =

A

(Bf(x, y) dy

)dx.

COROLARIO 2.2.3 Sean N1, N2 N tales que N1 + N2 = N , sean A y B subconjuntos de RN1 yRN2 respectivamente, y sean g : A R y h : B R funciones integrables sobre sus respectivosdominios. Si f : A B R esta definida por f(x, y) = g(x)h(y) (x, y) A B, entonces f esintegrable sobre AB y se tiene

ABf(x, y) d(x, y) =

(Ag(x) dx

)(Bh(y) dy

).

EJEMPLO 2.2.9 Calcule la siguiente integral multiple usando el Corolario 2.2.3: 10

10

11

11

(x2 + y2)(zew) dx dy dz dw.

Solucion. Procedemos de la siguiente forma

10

10

20

11

(x2 + y2)(zew) dx dy dz dw =

( 20

11

(x2 + y2) dx dy

)( 10z dz

)( 10ew dw

)

=

( 20

(x3

3+ xy2

) x=1x=1

dy

)(z2

2

z=1z=0

)(eww=1w=0

)

=

( 20

(2

3+ 2y2

)dy

)(1

2

)(e 1)

=

((1

3y +

y3

3

) 20

)(e 1)

=10

3(e 1).

Evaluacion de integrales multiples de Riemann sobre dominios mas generales

Por simplicidad, solo enunciaremos la siguiente Proposicion para el caso N = 3.



PROPOSICION 2.2.2 Sean u, v : [a1, b1] R dos funciones continuas sobre [a1, b1] tales que a2 u(x) v(x) b2 x [a1, b1], y sea D = {(x, y) R2 : a1 x b1 u(x) y v(x)}.Sean , : D R dos funciones continuas sobre D tales que a3 (x, y) (x, y) b3(x, y) D, sea R = [a1, b1] [a2, b2] [a3, b3] y sea

D = {(x, y, z) R3 : a1 x b2 u(x) y v(x) (x, y) z (x, y)}

Si f : R R es una funcion acotada, que ademas es continua sobre su dominio salvo tal vez enun conjunto de contenido cero, entonces f es integrable sobre D y se verifica que

Df =

ba

v(x)u(x)

(x,y)(x,y)

f(x, y, z) dz dy dx.

OBSERVACION 2.2.5 Si D es el conjunto en la proposicion previa, entonces el valor V (D) dadopor b

a

v(x)u(x)

(x,y)(x,y)

1 dz dy dx = V (D)

corresponde al volumen de la region D.

EJEMPLO 2.2.10 Sea R la region acotada por los cilindros parabolicos z = y2 y z = x2, y losplanos x = 1, y = 0 y y = x. Calcule

R(x+ 1) dx dy dz.

Solucion. Despues de realizar un simple analisis, concluimos que la region de integracion esy2 z x2

0 y x

0 x 1

y obtenemosR

(x+ 1) dx dy dz =

10

x0

x2y2

(x+ 1) dz dy dx =

10

x0z(x+ 1)

z=x2z=y2

dy dx

=

10

x0

(x3 + x2 + y2x+ y2) dy dx

=

10

(x3y + x2y +

y3x

3+y3

3

) y=xy=0

dx

=

10

(x4 + x3 +

x4

3+x3

3

)dx

=4

3

(x5

5+x4

4

) x=1x=0

=3

5.



EJEMPLO 2.2.11 Sea R la region acotada por los paraboloides circulares z = 3 x2 y2 y z =5 + x2 + y2, y las regiones donde x 0 y y 0. Calcule

Ry dx dy dz.

Solucion. Despues de realizar un analisis cuidadoso, concluimos que la region de integracion es5 + x2 + y2 z 3 x2 y2

0 y

4 x2

0 x 2.

Veamos esto con mas detalle.

Figura 2.11. Grafico del corte transversal de la region R cuando y = 0. Es decir, en el plano xz consideramosla region entre las graficas de las funciones z = 3 x2 y z = 5 + x2, obteniendose los lmites para z.

Los lmites para z son claros y tienen la forma (x, y) = 3x2y2 z 5+x2 +y2 = (x, y).Los lmites para x e y se obtienen a partir de la proyeccion de la regionR sobre el plano xy (o planoz = 0). En este ejemplo, la proyeccion corresponde a la sombra directa sobre el plano xy del cortetransversal de la region R cuyo borde se genera a partir de la interseccion entre los paraboloidescirculares z = 3 x2 y2 y z = 5 + x2 + y2, a saber

3 x2 y2 = 5 + x2 + y2 x2 + y2 = 4.

Luego, la region proyectada sobre el plano xy corresponde a un cuarto del crculo x2 + y2 4, elque esta ubicado en el primer cuadrante; y podemos escoger como integrar sobre esta region.



Figura 2.12. Grafico de la proyeccion de la region R sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy consideramosla region entre las graficas de las funciones y = 0 y y =

4 x2, obteniendose los lmites para y, y finalmente

para x, aqu 0 x 2.

Aqu, consideramos u(x) = 0 y

4 x2 = v(x) y 0 x 2, de dondeRy dx dy dz =

20

4x20

3x2y25+x2+y2

y dz dy dx =

20

4x20

yz

z=3x2y2z=5+x2+y2

dy dx

=

20

4x20

(8y 2x2y 2y3) dy dx

=

20

(4y2 x2y2 y

4

2

) y=

4x2

y=0

dx

=

20

(8 4x2 + x

4

2

)dx

=

(8x 4x

3

3+x5

10

) x=2x=0

=128

15.

EJEMPLO 2.2.12 SeaR la region acotada por el cono circular recto z2 = x2 +y2, el cilindro circularrecto x2 + z2 = 1, y la region donde z 0. Calcule

Rxy dx dy dz.

Solucion. Despues de realizar un analisis cuidadoso, concluimos que la region de integracion esx2 + y2 z

1 x2

1 2x2 y

1 2x2

12 x 1

2

Veamos esto con mas detalle.Los lmites para z son claros y tienen la forma (x, y) =

x2 + y2 z

1 x2 = (x, y).

Los lmites para x e y se obtienen a partir de la proyeccion de la region R sobre el plano xy (o



Figura 2.13. Grafico del corte transversal de la region R cuando y = 0. Es decir, en el plano xz consideramosla region entre las graficas de las funciones z =

x2 = |x| y z =

1 x2, obteniendose los lmites para z.

plano z = 0). En este ejemplo, la proyeccion corresponde a la sombra directa sobre el plano xy dela superficie del cilindro x2+z2 = 1 ubicada en la region z 0, que esta acotada por su interseccioncon el cono z2 = x2 + y2, a saber

x2 + z2 = 1 z2 = x2 + y2 2x2 + y2 = 1.

Figura 2.14. Grafico de la proyeccion de la region R sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy estamosconsiderando la region entre las graficas de las funciones y =

1 2x2 y y =

1 2x2, de donde se

deducen los lmites para y, y finalmente para x, aqu 12 x 1

2.

Luego, la region proyectada en el plano xy es la region elptica 2x2 +y2 1; y podemos escogercomo integrar sobre esta region.



Aqu, consideramos u(x) =

1 2x2 y

1 2x2 = v(x) y 12 x 1

2, de donde

Rxy dx dy dz =

12

12

12x2

12x2

1x2x2+y2

xy dz dy dx

=

12

12

12x2

12x2xyz

z=

1x2

z=x2+y2

dy dx

=

20

12x2

12x2xy(

1 x2 x2 + y2

)dy dx

=

20x

(y2

2

1 x2 1

3(x2 + y2)

32

) y=

12x2

y=

12x2dx =

20

0 dx = 0.

EJEMPLO 2.2.13 Sea R la region del primer octante acotada por el plano 3x+ y + z = 2. CalculeRx dx dy dz.

Solucion. Despues de realizar un analisis simple, concluimos que la region de integracion es0 z 2 (3x+ y)

0 y 2 3x

0 x 23.

Veamos esto con mas detalle.

Figura 2.15. Grafico del corte transversal de la region R cuando y = 0. Es decir, en el plano xz consideramosla region del primer cuadrante acotada por la recta z = 2 3x, obteniendose los lmites para z.

Los lmites para z son claros y tienen la forma (x, y) = 0 z 2 (3x + y) = (x, y). Loslmites para x e y se obtienen a partir de la proyeccion de la region R sobre el plano xy (o plano



z = 0). En este ejemplo, la proyeccion corresponde a la sombra directa sobre el primer cuadrantedel plano xy, que se genera por la interseccion entre los planos z = 2 3x y y z = 0, a saber

z = 2 3x y z = 0 3x+ y = 2.

Figura 2.16. Grafico de la proyeccion de la region R sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy consideramosla region entre las graficas de las funciones y = 0 y y = 2 3x, obteniendose los lmites para y, y finalmentepara x, aqu 0 x 23 .

De acuerdo a nuestra informacion, la region proyectada en el plano xy es la region triangularencerrada por los ejes coordenados y la recta y = 23x. Entonces uno puede escoger como integrarsobre esa region en R2.Aqu, consideramos u(x) = 0 y 2 3x = v(x) y 0 x 23 , de donde

Rxy dx dy dz =

23

0

23x0

23xy0

x dz dy dx =

23

0

23x0

xz

z=23xyz=0

dy dx

=

23

0

23x0

x (2 3x y) dy dx

=

23

0

(2xy 3x2y xy

2

2

) y=23xy=0

dx

=

23

0

(2x 6x2 + 9

2x3)dx

= x2 2x3 + 98x4x= 23x=0

=4

9 16

27+

2

9

=2

27.



EJERCICIOS 2.2.2

1. Sea R la region acotada por el plano xy, el cono 9x2 + z2 = y2 y el plano y = 9, con z 0.Calcule la integral

Rz d(x, y, z).

2. Calcule la integral triple Rz dx dy dz,

donde

R =

{(x, y, z) R3 : x 0 y 0 z 0 x

2

a2+y2

b2+z2

c2 1}.

3. Exprese el volumen del solido acotado por el paraboloide z = 1x2y2 y el plano z = 1ycomo una integral triple, y calcule el volumen.


1.729

2

2.1

16abc2

3.

32

2.3. Cambio de variable en integrales multiples

2.3.1. Transformaciones

Una funcion vectorial ~T : D RN RN transforma una region D en RN en otra regionD contenida en RN . Es decir, ~T (D) = D. En general, cuando el objetivo es geometrico, a talesfunciones vectoriales las llamamos Transformaciones.

EJEMPLO 2.3.1 Sea D R2 el rectangulo definido por

D = {(r, ) R2 : 0 r 1 0 2},

y sea ~T : D R2 la transformacion definida por(r

)7 ~T

(r

)=

(r cos

r sen

)=

(x

y

).

Si D = ~T (D), encuentre D.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MULTIPLES

Solucion. Estudiemos los bordes del rectangulo D, e interpretemos como se transforman ellosmediante ~T .

Lado I: = 0 0 r 1 (r creciendo) ~T

(r

0

)=

(r

0

)=

(x

y

)

el Lado I se transforma en el trazo 0 x 1 (x creciendo) y = 0.

Lado II: 0 2 ( creciendo) r = 1 ~T

(1

)=

(cos

sen

)=

(x

y

)

el Lado II se transforma en la circunferencia x2 + y2 = 1 (recorrida en sentido antihorario).

Lado III: = 2 0 r 1 (r decreciendo) ~T

(r

2

)=

(r

0

)=

(x

y

)

el Lado III se transforma en el trazo 0 x 1 (x decreciendo) y = 0.

Lado IV: 0 2 ( decreciendo) r = 0 ~T

(0

)=

(0

0

)=

(x

y

)

el Lado IV se transforma en el origen, es decir en el punto

(0

0

).

En conclusion, se observa que

D = ~T (D) = {(x, y) : x2 + y2 1}.

Figura 2.17. La transformacion ~T (r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y) transforma el rectangulo D = {(r, ) R2 : 0 r 1 0 2} en el crculo D = {(x, y) R2 : x2 + y2 1}.



DEFINICION 2.3.1 Una funcion ~T : D RN RN es inyectiva en D si

(~u,~v D)(~u 6= ~v ~T (~u) 6= ~T (~v)

)o, equivalentemente

(~u,~v D)(~T (~u) = ~T (~v) ~u = ~v

),

donde ~u = (u1, u2, . . . , uN ), ~v = (v1, v2, . . . , vN ).

EJEMPLO 2.3.2 Muestre que la funcion ~T : [0, 1] [0, 2] R2 definida por(r

)7 ~T

(r

)=

(r cos

r sen

)=

(x

y

)

no es inyectiva, pero s lo es su restriccion a (0, 1] (0, 2].

Solucion.

Ya vimos que (r

0

)=

(r

2

)r [0, 1]

~T no es inyectiva.

Ahora, veamos que sucede en (0, 1] (0, 2].

~T

(r1

1

)= ~T

(r2

2

)

(r1 cos 1

r1 sen 1

)=

(r2 cos 2

r2 sen 2

)

{r1 cos 1 = r2 cos 2

r1 sen 1 = r2 sen 2

r21(cos2 1 + sen2 1) = r22(cos2 2 + sen2 2)

r21 = r22

r1 = r2 pues r (0, 1]

1 = 2 pues ~F () := (sen , cos ) es inyectiva en (0, 2]

(representa un unico punto de la circunferencia unitaria).

(r1

1

)=

(r2

2

)

~T es inyectiva.



2.3.2. El teorema del cambio de variable

Partimos recordando que si f : [a, b] R es una funcion integrable y g : [c, d] [a, b] es unafuncion diferenciable y sobreyectiva, entonces el teorema del cambio de variable para integralesde funciones de una variable establece que b

af(x) dx =

dcf(g(u))g(u) du donde g(c) = a g(d) = b.

OBSERVACION 2.3.1 El diagrama a continuacion representa la composicion f g. Notar que gtransforma [c, d] en [a, b].

[a, b]f R

g f g

[c, d]

Nos interesa obtener una formula para aplicar cambio de variable en integrales multiples. Ne-cesitamos algunos ingredientes.

DEFINICION 2.3.2 Sea ~T : RN RN una transformacion de clase C1 en un abierto U RN

definida por ~T (~u) = ~x. Llamamos Jacobiano de la transformacion ~T , a J~T (~u), que corresponde aldeterminante de la matriz jacobiana asociada a ~T ; es decir

J~T (~u) =

x1u1

x1u2

. . .x1uN

x2u1

x2u2

. . .x2uN

. . . . . . . . . . . .xNu1

xNu2

. . .xNuN

.

NOTACION 2.3.1 Las notaciones mas usadas para referirse al determinate del Jacobiano de unatransformacion ~T tal que ~T (~u) = ~x, son

J~T (~u) =(x1, x2, . . . , xN )

(u1, u2, . . . , uN )= J

(x1, x2, . . . , xNu1, u2, . . . , uN

),

y cuando no produzca confusion, simplemente podemos escribir J~T .

DEFINICION 2.3.3 Sea U un abierto de RN , y sea ~T : U RN una transformacion. Diremos que~T es regular en U si:

i) ~T es inyectiva en U ,

ii) ~T C1(U),

iii) J~T (~u) 6= 0 u U .



EJEMPLO 2.3.3 Sea

~T

(u

v

)=

(u vu+ v

)=

(x

y

).

Muestre que ~T es regular en R2.

Solucion.

Notar que p(u, v) = u v y q(u, v) = u+ v son polinomios en R2, luego ~T C1(R2).

Por otro lado,

~T

(u1

v1

)= ~T

(u2

v2

)

(u1 v1u1 + v1

)=

(u2 v2u2 + v2

)

{u1 v1 = u2 v2u1 + v1 = u2 + v2

2u1 = 2u2 2v1 = 2v2

u1 = u2 v2 = v2

(u1

v1

)=

(u2

v2

)

~T es inyectiva.

Finalmente, tenemos

J~T =

x

u

x

vy

u

y

v

=

1 1

1 1

= 2 6= 0 (u

v

) R2.

EJEMPLO 2.3.4 Sea

~T

(u

v

)=

(eu cos v

eu sen v

)=

(x

y

).

Muestre que ~T no es regular en R2.

Solucion. Notar que

~T

(u

v + 2k

)= ~T

(u

v

)k Z.

~T no es inyectiva.

Se concluye de inmediato que ~T no es regular en R2.



TEOREMA 2.3.1 (Teorema del cambio de variable) Si ~T : G RN RN es una transformacionregular en el interior de G, con ~T (G) = R, y si f : R R es integrable, entonces

Rf =

~T (G)

f(~x) d(~x) =

Gf(~T (~u))|J~T (~u)| d(~u)

donde ~T (~u) = ~x RN .

EJEMPLO 2.3.5 CalculeR x d(x, y) donde R es la region limitada por las curvas

i) x = 2 y2 2y

ii) x = y2

iii) x = 2y y2

introduciendo las nuevas variables

x = u (u+ v)2

4 y = u+ v

2.

Solucion. Primero intersectamos las ecuaciones originales:

i) x = 2 y2 2yii)x = y2

} 2 2y = 0 x = 1 y = 1; (1, 1) i) ii).

i) x = 2 y2 2yiii)x = 2y y2

} 2 4y = 0 x = 3

4 y = 1

2;

(3

4,1

2

) i) iii).

ii) x = y2

iii)x = 2y y2

} x = 0 y = 0; (0, 0) ii) iii).

Ahora transformamos las ecuaciones originales a ecuaciones en las nuevas variables.

i) u (u+ v)2

4= 2 (u+ v)

2

4 2(u+ v)

2 u = 2 u v 2u+ v = 2.

ii) u (u+ v)2

4= (u+ v)

2

4 u = 0 v.

iii) u (u+ v)2

4= 2

(u+ v)

2 (u+ v)

2

4 u = u+ v v = 0 u.

Continuamos calculando el Jacobiano de la transformacion, que claramente es de clase C1 en R:

J~T (u, v) =

x

u

x

vy

u

y

v

=

1 u+ v2

u+ v2

1

2

1

2

=1

2 u+ v

4+u+ v

4=

1

26= 0.



Figura 2.18. Grafico de la Transformacion ~T (u, v) =(u (u+v)

2

4 ,u+v2

)= (x, y) aplicado a la region R

limitada por las curvas x = 2 y2 2y, x = y2 y x = 2y y2.

Veamos ahora que ~T (u, v) =(u (u+v)

2

4 ,u+v

2

)= (x, y) es inyectiva sobre cualquier abierto conte-

nido en la region dada. Tenemos

~T

(u1

v1

)= ~T

(u2

v2

)

(u1 (u1+v1)

2

4u1+v1

2

)=

(u2 (u2+v2)

2

4u2+v2

2

) u1 = u2 v1 = v2

(u1

v1

)=

(u2

v2

).

Finalmente estamos en condiciones de evaluar la integral.Rf =

Rx d(x, y) =

~T (G)

x d(x, y)

=

G

(u (u+ v)

2

4

) 1

2d(u, v)

=1

2

10

22u0

(u (u+ v)

2

4

)dv du

=1

2

10

(uv (u+ v)

3

12

) v=22uv=0

du

=1

2

10

(2u 2u2 (2 u)

3

12+u3

12

)du

=1

2

(u2 2

3u3 +

(2 u)4

48+u4

48

) u=1u=0

=1

48.



EJEMPLO 2.3.6 Sea D = {(u, v) R2 : 0 u 1 0 v 1} un dominio en el planocartesiano uv y sea ~T : R2 R2 la funcion definida por(

u

v

)7 ~T

(u

v

)=

(u+ v

v u2

)=

(x

y

).

a) Pruebe que ~T es regular en el interior de D.

b) Mediante un analisis adecuado, realice un bosquejo de la transformacion ~T .

c) Es f : ~T (D) R definida por f(x, y) = 1yx1 integrable sobre ~T (D)? Justifique su

respuesta.

d) Sea D = ~T (D). CalculeD

1yx1dx dy.

Solucion.

a) Tenemos:

~T

(u1

v1

)= ~T

(u2

v2

)

(u1 + v1

v1 u21

)=

(u2 + v2

v2 u22

)

{u1 u2 = v2 v1u22 u21 = v2 v1

u1 u2 = u22 u21

u1 = u2

v1 = v2 (pues u1 u2 = v2 v1)

~T es inyectiva en el interior de D.

Claramente ~T es de clase C1 sobre D, pues los polinomios son continuos.

J~T (u, v) =

x

u

x

vy

u

y

v

=

1 1

2u 1

= 1 + 2u 6= 0 (u, v) en el interior de D. ~T es regular en el interior de D.

b) Analizamos cada vertice y lado (con direccion) del cuadrado D y los transformamos en loscorrespondientes puntos y lados (con direccion) en terminos de x e y.

Tenemos:

(u, v) = (0, 0) corresponde a (x, y) = (u+ v, v u2)(u,v)=(0,0)

= (0, 0)


= (1,1)


= (2, 0)


= (1, 1)



El lado del cuadrado D que une el punto (u, v) = (0, 0) con el punto (u, v) = (1, 0),esta contenido en la recta v = 0. Luego,

(x, y) = (u+ v, v u2)v=0

= (u,u2) x2 = u2 = y y = x2.

La curva que une los puntos (0, 0) y (1, 0) en el plano uv, se transforma mediante ~T

en una curva del plano xy contenida en la parabola de ecuacion y = x2.

El lado del cuadrado D que une el punto (u, v) = (1, 0) con el punto (u, v) = (1, 1),esta contenido en la recta u = 1. Luego,

(x, y) = (u+ v, v u2)u=1

= (1 + v, v 1) x 1 = v y + 1 = v y x+ 2 = 0.


en una curva del plano xy contenida en la recta de ecuacion y x+ 2 = 0.

El lado del cuadrado D que une el punto (u, v) = (1, 1) con el punto (u, v) = (0, 1),esta contenido en la recta v = 1. Luego,

(x, y) = (u+v, vu2)v=1

= (u+1, 1u2) x1 = u 1y = u2 y = 1 (x1)2.


en una curva del plano xy contenida en la parabola de ecuacion y = 1 (x 1)2.

El lado del cuadrado D que une el punto (u, v) = (0, 1) con el punto (u, v) = (0, 0),esta contenido en la recta u = 0. Luego,

(x, y) = (u+ v, v u2)u=0

= (v, v) x = v = y y x = 0.


en una curva del plano xy contenida en la recta de ecuacion y x = 0.

Figura 2.19. Grafico de la Transformacion ~T (u, v) =(u+ v, v u2

)= (x, y) aplicado a la region D, donde

~T (D) = D, la region limitada por las curvas y = x, y = 1 (x 1)2 y = x 2 y y = x2.



c) Notar que f(x, y) = 1yx1 en~T (D), equivale a f(x(u, v), y(u, v)) = 1

vu2uv1 = 1

u2+u+1

en D, que es una funcion continua y acotada en D, pues es un cuociente entre funcionescontinuas que no se anula en el denominador, evaluada sobre una region acotada (la funcionconstante y los polinomios son funciones continuas).

d)

D

1

y x 1dx dy =

D

1

u2 + u+ 1(1 + 2u) dv du

= 1

0

10

1

u2 + u+ 1(1 + 2u) dv du

= 1

0

1

u2 + u+ 1(v + 2uv)

v=1v=0

du

= 1

0

1

u2 + u+ 1(1 + 2u) du

= ln(u2 + u+ 1)u=1u=0

= ln(3).

PROPOSICION 2.3.1 Sea ~T una transformacion diferenciable tal que

J~T (~u) =(x1, x2, . . . , xN )

(u1, u2, . . . , uN )6= 0.

EntoncesJ1~T

(~u) =1

(x1,x2,...,xN )(u1,u2,...,uN )

=(u1, u2, . . . , uN )

(x1, x2, . . . , xN )= J~T1(~x).

OBSERVACION 2.3.2 La importancia de la Proposicion 2.3.1 radica en el hecho que a veces es masfacil calcular

uixi

en vez de calcularxiui

i = 1, 2, . . . , N.

EJEMPLO 2.3.7 CalculeD

(2x+y)(x+y)y3

dA donde D es el conjunto limitado por las curvas y2 =2x, x+ y = 4 y x+ y = 12.

Solucion. Partimos analizando las intersecciones entre las curvas que encierran nuestra region deinteres.

y2 = 2x x+ y = 4 (4 x)2 = 2x x2 10x+ 16 = (x 8)(x 2) = 0

Los puntos de interseccion entre las curvas y2 = 2x x+ y = 4 son (2, 2) y (8,4).

y2 = 2x x+ y = 12 (12 x)2 = 2x x2 26x+ 144 = (x 18)(x 8) = 0

Los puntos de interseccion entre las curvas y2 = 2x x+ y = 12 son (8, 4) y (18,6).



Ahora, notando que la curva y2 = 2x esta compuesta de dos ramas: y =

2x e y =

2x, vamosa considerar la transformacion ~U : R2 \ {(0, y) : y R} R2 definida por(

x

y

)7 ~U

(x

y

)=

(x+ yy2x

)=

(u

v

).

El trozo del borde de D que une los puntos (8,4) y (18,6) en el pano xy, esta contenidoen la curva y =

2x, que en el plano uv se transforma mediante ~U en la recta v = 1.

El trozo del borde de D que une los puntos (18,6) y (8, 4) en el pano xy, esta contenido enla recta y + x = 12, que en el plano uv se transforma mediante ~U en la recta u = 12.

El trozo del borde de D que une los puntos (8, 4) y (2, 2) en el pano xy, esta contenido en lacurva y =

2x, que en el plano uv se transforma mediante ~U en la recta v = 1.

El trozo del borde en D que une el punto (2, 2) y (8,4) en el pano xy, esta contenido en larecta y + x = 4, que en el plano uv se transforma mediante ~U en la recta u = 4.

Figura 2.20. Grafico de la Transformacion ~U(x, y) =(x+ y, y

2x

)= (u, v) aplicado a la region D limitada

por las curvas y + x = 4, y + x = 12 e y2 = 2x.

Ahora calculamos el Jacobiano de ~U . Obtenemos:

J~U (x, y) =

u

x

u

y

v

x

v

y

=

1 1

y2

2

1

x32

12x

=12x

( y2x

+ 1)6= 0 (u, v) en el interior de D.

Luego,

J~U1(u, v) = (2x)32

1

(2x+ y).

Se sigue queD

(2x+ y)(x+ y)

y3dA =

D

(2x+ y)(x+ y)

y3(2x)

32

1

(2x+ y)d(u, v) =

10

10

u

v3du dv =

3

4.



EJERCICIOS 2.3.1

1. CalculeR x d(x, y) dondeR es la region limitada por las curvas x(1y) = 1, x(1y) = 2,

xy = 1 y xy = 3.

2. Sea a > 0. Calcule el valor de la integralR f , donde R =

{(x, y) R2 : x

23 + y

23 a

23

}y f(x, y) =

(a

23 x

23 y

23

)2. [SUG: Si lo estima conveniente, use el cambio de variable

x = u cos3 v e y = u sen3 v].


1. 2

2.3a

103

80.

2.3.3. Integracion doble en coordenadas polares

La siguiente transformacion en R2

~T : (0,) (0, 2] R2(r

) ~T

(r

)=

(r cos

r sen

)=

(x

y

).

transforma coordenadas rectangulares a polares.

Dado un punto del plano cartesiano, su representacion en coordenadas polares es un par or-denado de primera coordenada igual a la distancia del punto al origen y de segunda coordenadaigual al angulo formado entre el eje horizontal y el trazo que une el origen con el punto dado.

Figura 2.21. La transformacion ~T (r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y) transforma el rectangulo D = {(r, ) R2 : 0 r a 0 2} en el crculo D = {(x, y) R2 : x2 + y2 a}.



Ahora, como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesi-tamos calcular su Jacobiano:

J~T (r, ) =

x

r

x

y

r

y

=

cos r sen

sen r cos

= r(cos2 + sen2 ) = r.Luego, para toda funcion continua f : D R2 R, donde D es la imagen por ~T de D, deacuerdo al Teorema 2.3.1 del cambio de variable se tiene que

Df(x, y) d(x, y) =

Df(r cos , r sen ) r d(r, ).

EJEMPLO 2.3.8 Si D es una corona circular de radio menor a1, radio mayor a2, entre los angulos1 y 2; y si f : D R2 R es una funcion continua, entonces

Df(x, y) d(x, y) =

a2a1

21

f(r cos , r sen ) r d dr.

Figura 2.22. La transformacion ~T (r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y) transforma el conjunto D = {(r, ) [0, a] [0, 2] : a1 r a2 0 2} en el conjunto D{(x, y) R2 : a21 x2 + y2 a22}.

EJEMPLO 2.3.9 Si D es el crculo de radio a y centro en (x0, y0) y si f : D R2 R es unafuncion continua , entonces se tiene que

Df(x, y) d(x, y) =

a0

20

f(x0 + r cos , y0 + r sen ) r d dr.

En particular, si D es el crculo de radio a y centro en el origen, entoncesD

(x2 + y2) d(x, y) =

a0

20

r3 d dr = a2

2.

EJEMPLO 2.3.10 Calcule el area encerrada por la cardiode r = 1 + cos



Solucion. SeaA el area de la cardiode, y sea ~T (D) = D la region encerrada por la cardiode, donde~T es la transformacion de coordenadas rectangulares a polares. Entonces

A =

Dd(x, y) =

Dr d(r, ) =

20

1+cos 0

r dr d =

20

r2

2

r=1+cos r=0

d

=1

2

20

(1 + cos )2 d

=1

2

20

(1 + 2 cos + cos2 ) d

=1

2

20

(1 + 2 cos +

1

2+

cos(2)

2

)d

=1

2

(3

2 + 2 sen +

sen(2)

4

) =2=0

=3

4.

Figura 2.23. Grafica de la cardiode r = 1 + cos .

EJERCICIOS 2.3.2

1. Mediante el uso de una integral doble, calcule el volumen del solido en el primer octantelimitado por el cono z = r y el cilindro r = 3 sen .

2. Sea a > 0 y sea R la region del primer cuadrante acotada por la circunferencia x2 + y2 = a2

y los ejes coordenados. Calcule el valor deR e(x2+y2)d(x, y).

3. Calcule el area del interior de una hoja de la rosa r = cos(3).

Soluciones a Ejercicios 2.3.31. 2

2.

4(1 ea2)

3.

12.



2.3.4. Integracion triple en coordenadas cilndricas


~T : (0,) (0, 2] (,) R3 rz

~T r

z

= r cos r sen

z

= xy

z

.transforma coordenadas rectangulares en cilndricas.

Figura 2.24. La transformacion ~T (r, , z) = (r cos , r sen , z) = (x, y, z) transforma el rectangulo D ={(r, , z) R3 : 0 r 1 0 2 0 z 2} en el cilindro D = {(x, y) R3 : x2 + y2 1 : 0 z 2}.

Ahora, como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesi-tamos calcular su Jacobiano:

J~T (r, , z) =

x

r

x

x

zy

r

y

y

zz

r

z

z

z

=

cos r sen 0

sen r cos 0

0 0 1

= r(cos2 + sen2 ) = r.

Luego, para toda funcion continua f : D R3 R, donde D es la imagen por ~T de D, deacuerdo al Teorema 2.3.1 del cambio de variable se tiene que

Df(x, y, z) d(x, y, z) =

Df(r cos , r sen , z) r d(r, , z).

EJEMPLO 2.3.11 Calcule el volumen del solido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 16 y elcilindro (x 2)2 + y2 = 4.



Solucion. Usando coordenadas cilndricas obtenemos

x2 + y2 + z2 = 16 r2 + z2 = 16

y

(x 2)2 + y2 = 4 x2 + y2 4x = 0 r2 = 4r cos r = 4 cos .

Ahora, vamos a encontrar lmites de integracion adecuados.

r2 + z2 = 16 z2 = 16 r2 z =

16 r2.

16 r2 z

16 r2.

Por otro lado, tenemos

0 r 4 cos .

Finalmente debemos calcular los lmites de integracion para . En este caso, conviene observar cui-dadosamente la proyeccion del cuerpo sobre el plano xy, que corresponde precisamente al crculo(x 2)2 + y2 4. En resumen, los lmites de la region D sobre la cual vamos a integrar son

Figura 2.25. Grafica de r = 4 cos .

D :

16 r2 z

16 r2

0 r 4 cos

2

2

Por lo tanto, si V es el volumen de la region ~T (D) = D, donde ~T es la transformacion de coorde-nadas rectangulares a cilndricas, obtenemos



V =

Dd(x, y, z) =

Dr d(r, , z) =

2

2

4 cos 0

16r2

16r2r dz dr d

= 4

2

0

4 cos 0

rz

z=

16r2

z=0

dr d

= 4

2

0

4 cos 0

r

16 r2 dr d

= 2

2

0

2

3(16 r2)

32

r=4 cos r=0

d

= 43

2

0

((16 16 cos2 )

32 16

32

)d

= 4 643

2

0

((1 cos2 ) sen 1

)d

= 4 643

( cos + cos

3

3 ) =2

=0

= 4 643

(

2+ 1 1

3

)=

128

9(3 4).

EJERCICIOS 2.3.3

1. Sea R la bola unitaria en R3. Calcule el valor de

R zex2+y2+z2d(x, y, z).

2. Sea D el solido acotado por el cilindro x2 + y2 = 4, el paraboloide z = x2 + y2 y el planoxy. Calcule

D z d(x, y, z).


1. 0

2.32

3.

2.3.5. Integracion triple en coordenadas esfericas


~T : (0,) (0, 2] (0, ] R3

~T

= cos sen sen sen

cos

= xy

z

.transforma coordenadas rectangulares en esfericas.



Figura 2.26. La transformacion ~T (, , ) = ( cos sen, sen sen, cos) = (x, y, z) transforma elrectangulo D = {(, , ) R3 : 0 1 0 2 0 } en la bola D = {(x, y) R3 :x2 + y2 + z2 1}.

Como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesitamoscalcular su Jacobiano:

J~T (, , ) =

x

x

x

y

y

y

z

z

z

=

cos sen sen sen cos cos

cos sen cos sen sen cos

cos 0 sen

= 2 sen.

Luego, para toda funcion continua f : D R3 R, donde D es la imagen por ~T de D, deacuerdo al Teorema 2.3.1 del cambio de variable y dado que sen 0 (0, ], se tiene que

Df(x, y, z) d(x, y, z) =

Df( cos sen, sen sen, cos) 2 send(, , ).

EJEMPLO 2.3.12 Calcule el volumen del solido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4z y el conox2 + y2 = z2, contenido en la region z 0.

Solucion. Usando coordenadas esfericas obtenemos

x2 + y2 + z2 = 4z 2 = 4 cos = 4 cos

yx2 + y2 = z2 z 0 x2 + y2 + z2 = 2z2 cos2 = 1

2 cos = 1

2 =

4.

Ahora, los lmites de integracion para la region D sobre la cual vamos a integrar son:

D :

0 4 cos 0 20

4



Por lo tanto, si V es el volumen de la region ~T (D) = D, donde ~T es la transformacion de coorde-nadas rectangulares a esfericas, obtenemos

V =

Dd(x, y, z) =

4

0

20

4 cos0

2 send d d

=

4

0

20

3

3sen

=4 cos=0

d d

=

4

0

20

64 cos3

3send d

=

4

0

(64 cos3

3sen

)

=2=0

d

=2 64

3

4

0cos3 send

= 2 643

(cos4

4

) =4=0

= 8.

EJERCICIOS 2.3.4

1. Sea R la bola unitaria en R3. Calcule el valor deRe(x

2+y2+z2)32 d(x, y, z).

2. Sea D la bola de R3 de radio a y centro en el origen. Encuentre su volumen.


1. 43(e 1)

2.4 a3

3.

2.4. Integracion multiple impropia

Hasta el momento hemos estudiado Df

bajo el supuesto que f es acotada sobre D y el supuesto que D es acotado.Nos interesa extender la definicion de integral multiple al caso en que uno de los supuestosanteriores no se cumple, en cuyo caso hablamos de integral multiple impropia.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.4. INTEGRACION MULTIPLE IMPROPIA

EJEMPLO 2.4.1 Sea D = [1,) [1,) y sea f : D R definida por

(x, y) 7 f(x, y) = 1(x2 + y2)2

,

y considere para cada n N, Rn = [1, n] [1, n]. Es claro que

n=1

Rn = D Rn Rn+1 n N

Rn

f(x, y) d(x, y)

Rn+1

f(x, y) d(x, y).

Es posible definirD f(x, y) d(x, y)?

Solucion. Parece razonable esperar que, de poder definirse la cantidadD f(x, y) d(x, y), se de-

biese verificar Df(x, y) d(x, y) = lm

n

Rn

f(x, y) d(x, y).

Sin embargo,

Como garantizamos que tal lmite existe?

Tengamos en cuenta el siguiente hecho: Toda sucesion {an}nN creciente y acotada superiormente poseelmite cuando n; mas aun, su lmite es igual a su supremo.

De esta forma, si nuestra sucesion de integrales fuese acotada, entonces debiese existir tal lmitey ademas debiese ser igual a su supremo.

Veamos que efectivamente se tiene que existe M > 0 tal queRn

f(x, y) d(x, y)

< M n N.Notemos que Rn Dn = {(x, y) R2 : 2 x2 + y2 2n2}; y pasando a coordenadas polares,obtenemos

0 0 (x, y) R2, p R; se tiene que I o bien converge o biendiverge a +. Consideremos los conjuntos

An = {(x, y) R2 : x2 + y2 n2} n N.

Entonces, considerando

An = {(r, ) : 0 2 : 0 r n}, n N,

mediante el uso de la transformacion ~T de coordenadas rectangulares en coordenadas polares,podemos escribir ~T (An) = An. Notar ahora que

In =

An

d(x, y)

(1 + x2 + y2)p=

20

n0

r

(1 + r2)pdr d =

p 1

(1 1

(1 + n2)p1

)si p 6= 1

ln(1 + n2) si p = 1

Luego,

I = lmn

In =

p 1si p > 1,

si p 1.

EJEMPLO 2.4.3 Evalue, si es posible,D

d(x,y)3

(xy)2sobre el cuadrado

D = {(x, y) R2 : 0 x 1 0 y 1}.

Solucion. Notar que la integral es impropia pues sobre un trozo de la recta x = y en R, la funcionf(x, y) = 1

3

(xy)2no esta definida. Entonces, para cada n N conviene condiserar las regiones

R1,n =

{(x, y) : x+

1

n y 1 : 0 x 1 1

n

} R2,n =

{(x, y) : 0 y x 1

n< 1 :

1

n x 1

}.

Notar que para 0 x < 1 se verifica que

R1,nR2,n R1,n+1R2,n+1 6=R n N

n=1

(R1,nR2,n) = R\{(x, y) [0, 1] [0, 1] : x = y};

siendo {(x, y) [0, 1][0, 1] : x = y} un conjunto de contenido cero enR2. De esta forma, cualquierpunto de la union de las regiones R1,nR2,n estalejosde los puntos de la recta x = y en la region



R. Ahora integramos sobre cada una de estas regiones, y a su vez pasamos al lmite:

I1 = lmn

R1,n

13

(x y)2dA = lm

n

1 1n

0

1x+ 1

n

13

(x y)2dy dx

= lmn

(3

1 1n

0(x y)

13

y=1y=x+ 1

n

dx

)

= 3 lmn

1 1n

0

((x 1)

13

( 1n

) 13

)dx

= 3 lmn

(3

4(x 1)

43 +

(1

n

) 13

x

)x=1 1nx=0

= 3 lmn

(3

4

( 1n

) 43

+

(1

n

) 13(

1 1n

) 3

4(1)

43

)

=9

4.

Analogamente,

I2 = lmn

R2,n

13

(x y)2dA = lm

n

11n

x 1n

0

13

(x y)2dy dx

= lmn

(3

11n

(x y)13

y=x 1ny=0

dx

)

= 3 lmn

11n

((1

n

) 13

x13

)dx

= 3 lmn

((1

n

) 13

x 34x

43

)x=1x= 1

n

= 3 lmn

((1

n

) 13

34(

1

n

) 43

+3

4

(1

n

) 43

)

=9

4.

Por lo tanto

I = I1 + I2 =9

2.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.4. INTEGRACION MULTIPLE IMP

Apuntes MAT 024-Alarcón

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