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1 ghgfhnghn Apuntes de Clases ECONOMÍA FINANCIERA / DECISIONES DE INVERSIÓN (MEF-212-115) Felipe Gormaz Arancibia Campus UNAP Virtual Noviembre, 2015
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Apuntes de Clases
ECONOMÍA FINANCIERA / DECISIONES DE INVERSIÓN
(MEF-212-115)
Felipe Gormaz Arancibia
Campus UNAP Virtual
Noviembre, 2015
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ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 3
1. FUNDAMENTOS DE EVALUACIÓN DE INVERSIONES REALES.......................... 5
1.1 Concepto del Valor Presente (VAN) ......................................................................................... 5
1.2 Tasa Interna de Retorno (TIR) .................................................................................................. 6
1.3 Modelos de Restricción de Capital ........................................................................................... 8
1.4 El Financiamiento y los Impuestos ......................................................................................... 11
2. FUNDAMENTOS DE TEORÍA MODERNA DE PORTAFOLIOS ............................ 13
2.1 Rendimientos históricos: Promedios aritméticos y geométricos .......................................... 13
2.2 Medición del Riesgo: La Varianza y la Covarianza .................................................................. 15
2.3 Cálculo del Riesgo de un Portafolio ........................................................................................ 17
2.4 Efecto de los Títulos individuales sobre el Portafolio: Límites de la Diversificación .............. 18
3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS DE CAPITAL (CAPM) ....................... 20
3.1 Relación entre Riesgo y Retorno ............................................................................................ 20
3.2 Modelo de Precios de Activos de Capital (CAPM); Supuestos y Validez del Modelo ............ 22
3.3 Cálculo y estimación de la Beta: La Beta Apalancada ............................................................ 23
3.4 Presupuesto de Capital y Riesgo: Valoración por Arbitraje ................................................... 25
4. TEORÍA AVANZADA DE CARTERAS DE INVERSIÓN ......................................... 27
4.1 Teoría de Carteras de Inversión de Markowitz ...................................................................... 27
4.2 Supuestos de Análisis de Media-Varianza .............................................................................. 28
4.3 Frontera Eficiente: Teorema de Separación de 2 Fondos ...................................................... 30
4.4 La Hipótesis de los Mercados Eficientes ................................................................................ 32
5. INTRODUCCIÓN A LAS OPCIONES Y LOS INSTRUMENTOS DERIVADOS ...... 34
5.1 ¿Qué son los derivados? Un poco de historia y teoría. .......................................................... 35
5.2 Las opciones financieras: Paridad PUT-CALL .......................................................................... 35
5.3 Futuros y Forwards. ................................................................................................................ 37
5.4 Valorización: Modelo Binomial y Black-Scholes; Arbitraje y Cobertura................................. 39
Bibliografía ................................................................................................................ 41
ANEXO: FÓRMULAS DE UTILIDAD EN FINANZAS ................................................. 42
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INTRODUCCIÓN
Este curso tiene por objetivo entregar a los alumnos una visión global de los
elementos teóricos y prácticos fundamentales en el ámbito de las decisiones de
inversión y financiamiento en la empresa, en particular la administración de carteras
de inversión en instrumentos financieros. Al mismo tiempo, entregará el rol de dichos
elementos bajo una visión global de la función financiera de la empresa.
En el curso se profundizará en materias relacionadas con el premio por riesgo de
mercado, teoría de portafolio o cartera de inversiones, la hipótesis de la eficiencia del
mercado de capitales, calcular el costo de capital accionario mediante los métodos
CAPM y arbitraje, conceptos básicos del mercado de derivados financieros como
futuros, forwards y opciones.
En el primer capítulo se revisan los conceptos básicos de evaluación de proyectos de
inversión. Conceptos claves como VAN, TIR, modelos con restricción de capital, el
efecto del endeudamiento y los impuestos. En el segundo capítulo se inicia el estudio
de las combinaciones de activos financieros, la diversificación y los portafolios. Se
repasan conceptos necesarios de la matemática y la estadística, como promedios
aritméticos y geométricos, varianza, covarianza y correlación. Se estudia como
calcular el retorno y el riesgo de un portafolio y los beneficios y límites de la
diversificación.
El modelo de precios de activos de capital (CAPM) es el tema del capítulo 3, y el
objetivo principal de este curso. Se estudia la relación riesgo y retorno, los supuestos
y la validez del modelo, cálculo de la beta y modelo de valoración por arbitraje. En el
capítulo 4, se profundiza el estudio de las carteras de inversión. Se comienza por el
modelo de carteras de inversión de Markowitz, los supuestos del análisis de media
varianza, la frontera eficiente, el teorema de separación de los dos fondos.
Finalmente se termina con la discusión de la hipótesis de los mercados eficientes.
En el capítulo 5, se presenta una introducción al tema de los derivados financieros.
Un poco de historia y teoría como justificación inicial. Las opciones financieras, la
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paridad PUT-CALL, futuros y forwards, valorización de derivados, modelo binomial,
modelo de Black-Scholes, arbitraje y cobertura con derivados.
Finalmente se incluye en anexo un resumen de las principales fórmulas de finanzas
requeridas y utilizadas en este curso.
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1. FUNDAMENTOS DE EVALUACIÓN DE INVERSIONES REALES
La evaluación de inversiones reales dice, relación con el concepto de eficiencia en
economía es decir la buena administración de recursos financieros limitados. La
evaluación de un proyecto nos debe permitir contestar preguntas tales como: ¿es
conveniente (rentable) ejecutar este proyecto? ¿Cuál de estos proyectos es más
conveniente? ¿Cuánto demorará la recuperación de la inversión inicial? ¿Debo
financiar el proyecto con recursos propios o mediante deuda? ¿Cómo me afectan los
impuestos en la evaluación?
1.1. Concepto del Valor Presente (VAN)
El valor presente es un indicador de la equivalencia de dos flujos en momentos
distintos del tiempo. Por ejemplo: ante la pregunta ¿prefiere recibir un pago de $100
hoy o en 30 días más? La respuesta natural y esperable es: Prefiero recibir los $100
hoy. Sin embargo, si la pregunta es: ¿prefiere recibir $100 hoy día o bien $120 en 30
días más? En este caso el análisis cambia, Probablemente la mayoría escogería
esperar 30 días para recibir la cantidad mayor. Si hacemos la misma pregunta con
distintas combinaciones de cantidad, encontraremos que hay un punto de equilibrio
entre un valor presente y un valor futuro…
( )
Donde el término representa la equivalencia del dinero en el tiempo. Lo podemos
entender como el costo de oportunidad del dinero en el tiempo. Se puede asimilar
con la tasa de interés de mercado. También lo llamaremos tasa de descuento.
Si generalizamos para una cantidad indeterminada de períodos, tenemos que la
equivalencia queda como…
( )
Esta es la identidad básica y fundamental de la equivalencia valor futuro y valor
presente. Por tanto, bajo este planteamiento cualquier cantidad de dinero que
invirtiéramos hoy debiera generar una mayor cantidad de dinero en el futuro, como
equivalencia en el tiempo. Por el contrario cuando traemos a valor presente una
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cantidad de dinero en el futuro, el poseedor del dinero adquiere una pérdida
generada por el costo de oportunidad, representado por la tasa de interés perdida
por no haber mantenido ese dinero en el tiempo.
Por ejemplo, si se recibieran $ 5.000 en 5 años más y la tasa de interés de mercado
es del 12% anual. ¿A cuánto equivalen hoy?
( )
( )
( )
El recibir $ 5.000 en 5 años más, sería equivalente a recibir $ 2.837,13 hoy y colocar
esa cantidad a una tasa de interés del 12% por cinco años.
El concepto de Valor Actual Neto mide en términos monetarios cuánto dinero
adicional recibe el inversionista si decide ejecutar el proyecto en vez de colocar su
dinero en una actividad que le dé un retorno equivalente a la tasa de descuento, por
tanto, habrá que llevar todos los flujos futuros a valor presente. El valor actual neto
se define como una generalización del resultado anterior para una corriente de flujos
en el tiempo. Entonces tenemos que el valor presente de los flujos es…
( )
( )
( ) ∑
( )
Donde los representan flujos de efectivo en el tiempo, para una cantidad de
períodos dado.
1.2. Tasa Interna de Retorno (TIR)
La Tasa Interna de Retorno (o Tasa Interna de Rendimiento) intuitivamente es una
aproximación de la rentabilidad esperada del proyecto. Matemáticamente se define
como aquella tasa de descuento que hace que el VAN sea igual a cero, es decir, de
acuerdo a la fórmula del VAN ya vista…
7
( )
( )
( ) ∑
( )
Considerando el primer flujo como la inversión inicial se tiene en forma equivalente
que…
( )
( )
( ) ∑
( )
La TIR es la tasa porcentual que indica la rentabilidad promedio que genera el capital
que permanece invertido en el proyecto.
A medida que la tasa de descuento sea mayor, el resultado del VAN será menor, por
tanto, la TIR será la tasa máxima que se puede exigir al proyecto porque es con esta
tasa donde el VAN es cero.
El criterio de la tasa interna de retorno plantea tres casos:
TIR > Tasa descuento, se ejecuta el proyecto.
TIR < Tasa de descuento, se rechaza el proyecto.
TIR = Tasa de descuento, es indiferente.
Cuando la TIR del proyecto es mayor que la tasa de descuento, el proyecto se
realiza, debido a que entrega una rentabilidad mayor que la que se está exigiendo,
en cambio, en el caso que la tasa de descuento sea mayor que la TIR, significa que
está rentando menos que lo exigido, por tanto, debe rechazarse. En el caso de ser
ambas tasas iguales, el inversionista debe decidir si lo realiza o no.
En algunos casos los proyectos pueden tener más una TIR. Esto se produce al tratar
de resolver la ecuación para calcular se transforma en una ecuación polinomial, por
tanto, puede tener más de una solución, tanto reales como imaginarias. La cantidad
de soluciones viene determinada por los cambios de signo que presente el flujo, si el
signo cambia más de una vez de positivo a negativo o viceversa, tendrá tantas
soluciones como cambios de signo existan.
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Gráfico 1.
Ejemplo de Cálculo de la TIR con más de un resultado:
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3
-4.000 25.000 -45.500 25.000
Fuente: Elaboración propia
En este sencillo ejemplo de un flujo de caja a 3 años, la TIR tiene 3 resultados
distintos: 7,65%, 64,60% y 252,70%.
Si las soluciones son negativas o imaginarias pueden ser ignoradas, pero en el caso
de ser positivas debe utilizarse la más próxima a la tasa de descuento.
La TIR es útil para proyectos que se comportan normalmente, es decir, primero
genera costos y después beneficios. La TIR no es criterio decisional útil por sí solo,
para proyectos mutuamente excluyentes puede suceder que un proyecto A puede
tener una TIR mayor que un proyecto B, pero el VAN del proyecto B puede ser mayor
que el del proyecto A.
1.3. Modelos de Restricción de Capital
En situaciones de la vida real de las grandes empresas, se enfrenta la disyuntiva de
seleccionar proyectos de una cartera de proyectos disponibles. Ya vimos que el
criterio del VAN y el criterio de la TIR nos dan señales económicas de la
conveniencia o no conveniencia de realizar un proyecto. En el caso de una cartera de
proyectos, se trata de seleccionar aquellos que aparezcan como de mayor beneficio
para la empresa, la cual se encuentra sujeta a una restricción del capital máximo
disponible para las inversiones.
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IVAN
Es la relación que existe entre el VAN y la inversión inicial. Consiste en obtener la
relación entre el dinero que genera el proyecto y los dineros necesarios para
ejecutarlo, en otra palabras, representa cuanto se gana por cada peso invertido.
El criterio del IVAN es útil para jerarquizar proyectos cuando existe una restricción
presupuestaria para ejecutar los proyectos.
EJEMPLO DEL IVAN.
Por ejemplo se tienen ocho proyectos que se detallan a continuación:
Proyecto Inversión ( ) VAN
A 15.000.000 18.000.000
B 25.000.000 20.000.000
C 1.000.000 2.000.000
D 3.000.000 8.600.000
E 8.500.000 8.200.000
F 100.000.000 110.000.000
G 6.800.000 9.000.000
H 4.900.000 10.000.000 Fuente: Elaboración propia
El cálculo del IVAN se obtiene dividiendo la columna del VAN por la de la Inversión
como se muestra a continuación…
Proyecto Inversión ( ) VAN IVAN
A 15.000.000 18.000.000 1,20
B 25.000.000 20.000.000 0,80
C 1.000.000 2.000.000 2,00
D 3.000.000 8.600.000 2,87
E 8.500.000 8.200.000 0,96
F 100.000.000 110.000.000 1,10
G 6.800.000 9.000.000 1,32
H 4.900.000 10.000.000 2,04 Fuente: Elaboración propia
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Si se jerarquizan los proyectos se obtienen los siguientes resultados:
Proyecto IVAN
D 2,87
H 2,04
C 2,00
G 1,32
A 1,20
F 1,10
E 0,96
B 0,80 Fuente: Elaboración propia
Supongamos que para el caso del ejemplo que la empresa presenta una restricción
presupuestaria de $ 45.000.000 se podrían realizar los proyectos D, H, C, G y A
quedando, con un excedente de $ 9.300.000 pudiendo realizar el proyecto B pero no
es atractivo, porque tiene un IVAN menor que 1 (aunque su VAN si es positivo).
EL ÍNDICE DE RENTABILIDAD (IR).
Es un índice que al igual que el IVAN permite jerarquizar los proyectos pero
utilizando sólo el valor actual de la inversión (VA). El valor actual de la inversión es
igual al VAN más la inversión inicial.
Por lo tanto…
EJEMPLO DEL IR.
Si el ejemplo anterior se utilizara para calcular por el criterio del IR, el resultado sería
el siguiente:
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Proyecto Inversión ( ) VAN VAN + IR
A 15.000.000 18.000.000 33.000.000 2,20
B 25.000.000 20.000.000 45.000.000 1,80
C 1.000.000 2.000.000 3.000.000 3,00
D 3.000.000 8.600.000 11.600.000 3,87
E 8.500.000 8.200.000 16.700.000 1,96
F 100.000.000 110.000.000 210.000.000 2,10
G 6.800.000 9.000.000 15.800.000 2,32
H 4.900.000 10.000.000 14.900.000 3,04 Fuente: Elaboración propia
Por tanto, jerarquizando los proyectos el resultado sería el siguiente:
Proyecto IR
D 3,87
H 3,04
C 3,00
G 2,32
A 2,20
F 2,10
E 1,96
B 1,80 Fuente: Elaboración propia
Que obviamente coincide con la jerarquización equivalente del IVAN.
1.4. El Financiamiento y los Impuestos
En el año 1963, los economistas Franco Modigliani y Merton Miller plantearon un
modelo de una economía imaginaria con impuestos, flexibilizando de esa forma uno
de sus supuestos de su modelo inicial sin la presencia de tributos. Al realizar esto, el
modelo tuvo un cambio en la “irrelevancia” de la política de financiamiento. El
resultado: la existencia de impuestos corporativos (descontables de la utilidad
generada por la empresa) hace que la estructura de capital (o estructura financiera)
sí importe, ya que el tener una u otra estructura de capital va a afectar el valor de la
empresa.
Los resultados de Modigliani y Miller con impuestos a las utilidades sugieren que se
debiera utilizar el mayor nivel de deuda posible, ya que existe un beneficio fiscal de
tener deuda (beneficio que se traduce en un menor pago de impuestos). En este
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modelo simplificado, en que no hay costos de quiebra, la empresa maximiza su valor
en la medida que maximiza su beneficio fiscal de la deuda, lo que la llevaría a tomar
toda la deuda posible. Sin embargo, los supuestos que sustentan este modelo, si
bien tiene una mayor cercanía con lo que pasa en el mundo real, aún siguen siendo
irreales.
Fuente: Elaboración propia
Utilizando el clásico ejemplo de la torta de Modigliani Miller (en realidad de una pizza
en su versión original) si vemos la de la izquierda de una empresa financiada solo
con capital, vemos que quienes tienen derecho al flujo de la empresa son los
accionistas y el fisco a través del pago de impuestos (lo que se considera
simplemente un costo). La torta de la derecha corresponde a una empresa
apalancada (con deuda) donde vemos que el flujo se debe repartir entre los
tenedores del capital (accionistas), tenedores de la deuda (acreedores) y el fisco. El
inversionista debiera seleccionar la torta que tenga el valor más alto.
Suponiendo que el área total de ambas tortas es la misma, el valor de la empresa
alcanzará su máximo nivel en la estructura de capital que paga menos impuestos, lo
que sucede cuando la empresa destina parte de su flujo a pagar la deuda.
Las ecuaciones que respaldan este modelo, y que se conocen como proposiciones
de Modigliani y Miller con impuestos son:
Proposición I (con impuestos)
[
]
( )
13
Proposición II (con impuestos)
( )
( )
Donde son los impuestos corporativos a las utilidades, es el valor económico
de los activos con deuda (empresa apalancada), el término es el valor económico
de los activos sin deuda (empresa no apalancada), es el costo capital
promedio ponderado, es el costo de capital propio (patrimonio) de la empresa sin
deuda, es el rendimiento esperado del capital accionario, es el costo de la
deuda, es el valor de mercado de la deuda, es el valor de mercado del
patrimonio.
El Teorema no toma en consideración posibles costos por costos de quiebra o
“financial distress”, porque no considera siquiera riesgo en la deuda. Tampoco
contempla el efecto de los impuestos personales que son diferentes de los impuestos
corporativos, ni la presencia de problemas de agencia entre accionistas y
acreedores, o entre accionistas y ejecutivos. Por ello, es que con posterioridad a este
modelo del año 1963 se desarrolló otro que flexibiliza algunos de los supuestos, y de
esta forma lo acerca un poco más a la realidad, al tomar en cuenta los costos de
quiebra.
2. FUNDAMENTOS DE TEORÍA MODERNA DE PORTAFOLIOS
La moderna teoría de portafolios hace hincapié en la diversificación para mejorar la
eficiencia económica de una cartera de inversiones financieras. La eficiencia viene
dada por la mejor combinación de niveles de riesgo y retorno. Es decir, para un nivel
dado de riesgo, obtener la mejor rentabilidad. O en forma equivalente, para un mismo
nivel de rentabilidad obtener el menor nivel de riesgo. Para analizar esta situación se
definirán conceptos claves como rentabilidad, riesgo y correlación.
2.1. Rendimientos históricos: Promedios aritméticos y geométricos
La media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un
conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos
cuantitativos objeto de estudio, que parte del principio de la esperanza matemática o
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valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores por decir N
números) dividida entre el número N de sumandos…
( )
∑
La media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir N números) es
la raíz N-ésima del producto de todos los números…
√∏( )
En el análisis histórico de los datos, debe especificarse si el rendimiento anual medio
que se está considerando es una media aritmética o una media geométrica de la
muestra analizada. La distinción no es trivial, puesto que se generan diferencias
numéricas relevantes. Algunos autores argumentan que la media aritmética es una
mejor estimación de la tasa esperada en un entorno de retornos que siguen un
camino aleatorio. En primer lugar, se sostiene Viñola (2002) que usar la media
geométrica supone asumir que el índice analizado ha sido o será constante en el
tiempo. Es decir, se trata de suponer o asumir que el índice será siempre el mismo
en cada momento del futuro, lo cual no necesariamente es cierto. En segundo lugar,
de la misma forma que en el análisis de un proyecto se utiliza la media aritmética de
los distintos escenarios para estimar el futuro, de la misma forma ésta debe ser
considerada al analizar el pasado.
Adicionalmente, algunos autores insisten en recomendar la media aritmética si lo que
se pretende es pronosticar el comportamiento del mercado de valores desde una
perspectiva estrictamente anual, y se acepta que el futuro será como el pasado,
siendo los retornos anuales básicamente independientes.
Sin embargo, otras opiniones se decantan por la media geométrica, que siempre
mostrará cifras inferiores a la aritmética y que refleja de forma más certera la
revalorización media de un patrimonio invertido a largo plazo en acciones. Dicho de
15
otra manera, en un análisis ex post, la media geométrica muestra un dato más
realista de lo que cabe esperar del mercado, incluyendo el escenario en que los
retornos anuales no son independientes, poco estético teóricamente pero más de
acuerdo con la realidad.
¡En realidad no existe un acuerdo en la comunidad académica sobre cuál
alternativa es mejor!
2.2. Medición del Riesgo: La Varianza y la Covarianza
En estadística y teoría de probabilidades, la Varianza Matemática (que suele
representarse como ) de una variable aleatoria es una medida de dispersión
definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto
a su media…
[( ) ]
Se calcula numéricamente como…
∑( )
(
∑
)
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable
mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La
desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión
alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de
estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.
Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores
atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias
tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de
dispersión más robustas.
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Propiedades de la varianza:
( )
( ) ( )
√ √
En finanzas el riesgo se considera equivalente a la volatilidad o dispersión de los
valores en el tiempo de un índice. La estimación del riesgo en el sentido económico
se determinará mediante la desviación estándar. En adelante, se entenderá
equivalente hablar de riesgo o desviación estándar.
En probabilidad y estadística, la Covarianza es un valor que indica el grado de
variación conjunta de dos variables aleatorias. Es el dato básico para determinar si
existe una dependencia entre ambas variables y además es el dato necesario para
estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta
de regresión.
La covarianza entre dos distribuciones conjuntas de variables aleatorias reales, por
ejemplo los retornos de A y B, se define como…
( ) [( )( )] [( )( )]
Se calcula numéricamente como…
∑( )( )
(
∑
)
Cuando a grandes valores de una de las variables suelen mayoritariamente
corresponderles los grandes de la otra y lo mismo se verifica para los pequeños
valores de una y la otra, se corrobora que tienden a mostrar similar comportamiento
lo que se refleja en un valor positivo de la covarianza.
17
Por el contrario, cuando a los mayores valores de una variable suelen corresponder
en general los menores de la otra, expresando un comportamiento opuesto, la
covarianza es negativa.
El signo de la covarianza, por lo tanto, expresa la tendencia en la relación lineal entre
las variables. La magnitud requiere un esfuerzo adicional de interpretación, no tiene
interpretación intuitiva. La versión normalizada de la covarianza, el coeficiente de
correlación indica la magnitud de la especificidad de la relación lineal (utilizado en los
métodos de regresión lineal).
Propiedades de la covarianza:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2.3. Cálculo del Riesgo de un Portafolio
El enfoque propuesto por Harry Markowitz, sobre la conformación de portafolios de
inversión, revolucionó el campo de las finanzas, entregando principios, como el de
portafolios eficientes, que están presentes en una gran cantidad de modelos de
construcción de carteras, conservando de esta forma la esencia de la propuesta
inicial.
Un portafolio eficiente, según Markowitz, es aquel que tiene un mínimo riesgo, para
un retorno dado o, equivalentemente un portafolio con un máximo retorno para un
nivel de riesgo dado.
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Una de las formas de encontrar este conjunto de portafolios eficientes es a través del
siguiente modelo, que sólo considera la minimización de la varianza del portafolio y
que corresponde al siguiente esquema de programación no lineal…
( ) ( )
∑
∑
Donde…
∑∑
Y los valores son los pesos específicos de cada activo en la cartera, es decir el
porcentaje o fracción que representa dentro de la cartera diversificada.
Una vez que el problema es resuelto con alguna técnica de programación
matemática, se logra obtener la proporción de cada activo dentro de la cartera de
inversiones y que satisfacen las restricciones planteadas en el modelo, sin considerar
las condiciones de no negatividad para las ponderaciones de los activos. En general
se resuelve el problema por medio de la técnica de los Multiplicadores de Lagrange.
Excel ofrece una herramienta para la resolución del problema general de
optimización a través de la aplicación SOLVER.
2.4. Efecto de los Títulos individuales sobre el Portafolio: Límites de la
Diversificación
Los puntos que son solución al problema de optimización conforman la llamada
Frontera Eficiente. La frontera eficiente es el conjunto de puntos del plano de
retorno-riesgo, en la cual están todas las carteras de inversión que tienen un mínimo
riesgo para un retorno esperado dado.
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En el siguiente gráfico de ejemplo se muestra el efecto de la diversificación con dos
activos: Las acciones de Slowpoke y Supertech. La correlación entre los dos activos
es de .
Fuente: (ROSS S. W., 2012)
En el gráfico se muestran las diversas combinaciones de ambos activos. El punto
indicado MV es el punto de mínima varianza. La eficiencia económica del portafolio
depende de la correlación entre los activos. Gráficamente…
Fuente: (ROSS S. W., 2012)
Si la correlación es perfectamente positiva (+1) no hay beneficio de la diversificación
¿por qué? Dado que se trata de dos instrumentos que se comportan como si fueran
20
uno. El caso extremo se da con la correlación perfectamente negativa (-1). En ese
caso, teóricamente, se podría obtener un portafolio con un nivel de riesgo cero.
3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS DE CAPITAL (CAPM)
El Modelo de Valoración del Precio de los Activos Financieros o Capital Asset Pricing
Model (conocido como modelo CAPM) es una de las herramientas más utilizadas en
el área financiera para determinar la tasa de retorno requerida para un cierto activo.
En la concepción de este modelo trabajaron en forma simultánea, pero
separadamente, tres economistas: William Sharpe, John Lintner y Jan Mossin, cuyas
investigaciones fueron publicadas en diferentes revistas especializadas entre 1964 y
1966. La inquietud que los atrajo por este tema fue el desarrollo de modelos
explicativos y predictivos para el comportamiento de los activos financieros. Todos
habían sido influenciados por la Teoría del Portafolio de Harry Markowitz (1952). En
ella, Markowitz plantea las ventajas de diversificar inversiones para de esta manera
reducir el riesgo. Cabe señalar que la idea de "cartera de inversiones" había sido
planteada en 1958 por James Tobin con una medida para predecir el aumento o la
caída de la inversión, tema clave para determinar el nivel de empleo y la producción.
Markowitz en cambio, captó las potencialidades de esta idea en los modelos
financieros.
3.1. Relación entre Riesgo y Retorno
Una de las características más importantes para diferenciar una alternativa de
inversión de otra, es el nivel de riesgo que supone. La capacidad de generar
rendimientos se conoce como rentabilidad.
Definición de riesgo
En el sentido más básico, riesgo es la posibilidad de pérdida financiera. Los activos
que tienen más posibilidades de pérdida son considerados más arriesgados que los
que tienen menos posibilidades de pérdida. En un sentido más formal, los términos
riesgo e incertidumbre se usan indistintamente para referirse al grado de variación de
los rendimientos relacionados con un activo específico. Un bono gubernamental de
1.000 dólares que garantiza a su tenedor 5 dólares de interés después de 30 días, no
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tiene ningún riesgo porque no existe ningún grado de variación relacionado con el
rendimiento. Una inversión de 1.000 dólares en acciones comunes de una empresa,
que durante los mismos 30 días puede ganar de 0 a 10 dólares, es muy riesgosa
debido al alto grado de variación de su rendimiento. Cuanto más seguro es el
rendimiento de un activo, menor es su grado de variación y, por lo tanto, menor es el
riesgo.
En una inversión, los rendimientos futuros no son seguros. Pueden ser grandes o
pequeños, pueden no producirse, e incluso puede significar perder el capital
invertido. Esta incertidumbre se conoce como riesgo. No existe inversión sin
riesgo. Pero algunos productos implican más riesgo que otros. La única razón para
elegir una inversión con riesgo ante una alternativa de ahorro sin riesgo, es la
posibilidad de obtener de ella una rentabilidad mayor.
Tener siempre presente que, un inversionista “racional” determina que…
A iguales condiciones de riesgo, se debe optar por la inversión con mayor
rentabilidad.
A iguales condiciones de rentabilidad, se debe optar por la inversión con menos
riesgo.
Cuanto mayor el riesgo de una inversión, mayor tendrá que ser su rentabilidad
potencial para que sea atractiva a los inversores. Cada inversor tiene que decidir el
nivel de riesgo que está dispuesto a asumir en busca de rentabilidades mayores.
Cuanto más riesgo se asume, más rentabilidad se debe exigir. Igualmente, cuanta
más rentabilidad se pretende obtener, más riesgo hay que asumir.
¡Cuidado! Riesgo y rentabilidad van unidos, pero aceptar un mayor riesgo no
es ninguna garantía de obtener mayores rendimientos.
La idea de diversificar inversiones implica distribuir los recursos en diversas áreas,
como por ejemplo: industria, construcción, tecnologías, recursos naturales, I+D,
salud, etc. A esto Markowitz lo llamó cartera o portafolio, y la tesis era que mientras
mejor diversificado estuviera ese portafolio, estaría mejor preparado para enfrentar
22
los riesgos. El CAPM dio un paso más adelante al buscar la maximización del retorno
de cada acción y obtener con ello un portafolio aún más rentable.
3.2. Modelo de Precios de Activos de Capital (CAPM); Supuestos y Validez
del Modelo
El modelo CAPM ofrece de manera amena e intuitiva una forma sencilla para
predecir el riesgo de un activo separándolos en riesgo sistemático y riesgo no
sistemático. El riesgo sistemático (riesgo de mercado o riesgo no diversificable) se
refiere a la incertidumbre económica general, al entorno, a lo exógeno, a aquello que
no podemos controlar. Por otro lado, el riesgo no sistemático (riesgo propio o
riesgo diversificable) en cambio, es un riesgo específico de la empresa o de nuestro
sector económico. Es decir es nuestro propio riesgo.
Para la construcción del Modelo CAPM se asumen los siguientes supuestos:
1. Los inversionistas son personas adversas al riesgo.
2. Los inversionistas cuidan el equilibrio entre el retorno esperado y la variabilidad
asociada para conformar sus portafolio
3. No existen fricciones o fallas en el mercado
4. Existe una tasa libre de riesgo a las cuales los inversionistas pueden endeudarse
o colocar fondos
5. No existe asimetría de la información y los inversionistas son racionales, lo cual
no implica que todos los inversionistas tienen las mismas conclusiones acerca de
los retornos esperados y de las desviaciones estándar de los portafolios factibles.
Estos supuestos estaban presentes en los tres autores desde que elaboraron el
modelo en los años 60. Con el tiempo, algunos de estos supuestos (3 y 5,
especialmente) se consideraron irrelevantes.
La forma en que se presenta el modelo es la siguiente…
( )
Donde representa la rentabilidad del activo libre de riesgo, el término
representa la rentabilidad promedio del mercado. Por último, el término (el beta
23
del activo “A”) es el “corazón” del modelo CAPM. Se puede definir como la
sensibilidad del activo específico en relación al mercado. Matemáticamente es un
término estadístico, que se calcula como…
( )
( )
La representación gráfica del modelo CAPM sería la siguiente…
Fuente: (ROSS S. W., 2012)
Los activos con un beta mayor que uno, son muy sensibles a las variaciones de
mercado y se les denomina “agresivos”. Los activos con beta menor que uno son
poco sensibles a las variaciones de mercado y se les denomina “defensivos”. El
mercado tiene un beta igual a uno, mientras que el activo libre de riesgo tiene un
beta igual a cero por definición.
3.3. Cálculo y estimación de la Beta: La Beta Apalancada
Una compañía tiene, en general, cuatro tipos de betas: la beta del activo cuando
carece de deudas, la beta del activo cuando tiene deudas, la beta de los recursos
propios (patrimonio) y la beta de la deuda. Es evidente que la beta del activo de la
empresa debe ser la misma que la del pasivo, por ello cuando la compañía carece de
endeudamiento la beta del activo y la de los recursos propios coinciden. Por otro
lado, cuando la empresa está endeudada la beta del activo debe coincidir con la beta
del pasivo; ésta última se obtiene a través del promedio de las betas de los recursos
propios y de la deuda ponderadas por la proporción de ambos en el pasivo de la
empresa (el pasivo es una cartera formada por los recursos propios y por la deuda).
24
Gráficamente…
Fuente: Mascareñas (2007)
Partiendo del modelo de valoración de empresas de Modigliani Miller (1963)…
( ) ( )
Además tomando en consideración que el beta de los activos debe ser igual al
promedio ponderado del beta del patrimonio y del beta de la deuda…
( )
[ ( )]
Con un poco de álgebra se llega a la beta patrimonial (fórmula de Rubinstein)…
[
( )]
( )
Si se asume que la deuda es libre de riesgo entonces y se obtiene el beta
patrimonial (fórmula de Hamada)…
[
( )]
Esta última representación es la más utilizada en la práctica por analistas
profesionales y evaluadores de inversiones.
25
3.4. Presupuesto de Capital y Riesgo: Valoración por Arbitraje
La Teoría de Valoración por Arbitraje o en inglés Arbitrage Pricing Theory (APT) dice
que el retorno esperado de un activo financiero cualquiera, puede ser representado y
modelado como una función lineal de diversos factores macroeconómicos, donde la
sensibilidad a cambios en cada factor es representada por un factor específico, el
coeficiente beta. La tasa de rentabilidad que se deriva de este modelo será utilizada
para estimar correctamente el precio del activo analizado. Es decir, el precio del
activo debe igualar el precio esperado al final del periodo descontado a la tasa dada
por el modelo. Si el precio diverge del precio de equilibrio, el arbitraje debe regresarlo
al precio adecuado. Esta teoría fue creada por el economista Stephen Ross1 en la
década de los setenta.
Si la forma APT se cumple, entonces el retorno de un activo debe satisfacer la
siguiente relación…
( )
( ) es la tasa de retorno esperada del activo,
es el retorno esperado de un activo libre de riesgo,
es el factor macroeconómico “ ”,
es la sensibilidad del activo al factor “ ”,
y es el término de error de media cero del activo de riesgo analizado.
Lo anterior significa que la tasa de retorno incierta de un activo es una relación lineal
entre factores. Adicionalmente, se considera que cada factor es una variable
aleatoria con media cero.
Debe notarse que existen una serie de supuestos y requisitos que se deben cumplir
para que esto último sea correcto: Debe existir competencia perfecta en el mercado,
1 Autor de variados libros de finanzas corporativas, que se encuentran entre los libros de texto de finanzas más
utilizados a nivel universitario y académico en el mundo.
26
y el número de factores nunca debe ser mayor al número total de activos (esto con el
fin de evitar problemas de singularidad en la matriz).
El modelo APT describe el mecanismo por el cual el arbitraje efectuado por los
inversionistas lleva a la convergencia del precio desequilibrado de un activo en su
precio esperado, de acuerdo con el modelo. Hay que notar que bajo un verdadero
arbitraje, el inversor está garantizando una ganancia, mientras que bajo el arbitraje
APT, el inversor está garantizando una ganancia esperada. Por lo tanto el modelo
APT asume un "arbitraje de las expectativas" - por ejemplo: que el arbitraje generado
por los inversores logre modificar el precio de tal forma que este en línea con los
retornos esperados por el modelo.
Tal y como sucede con el modelo CAPM, los betas se hallan vía una regresión lineal
de los retornos históricos del activo con respecto al factor en cuestión. Al contrario
del CAPM, el modelo APT, sin embargo, no revela por sí mismo la identidad de estos
factores - es muy probable que el número y la naturaleza de estos factores cambien
con el tiempo y entre distintas economías. Como resultado, este problema es de
naturaleza empírica.
Roll y Ross (1980) han identificado los siguientes factores macroeconómicos como
significativos a la hora de explicar los retornos de los activos financieros:
sorpresas en la inflación;
sorpresas en el PIB;
sorpresas en la confianza del inversionista;
sorpresas en cambios en la curva de rendimientos.
El modelo APT junto con el Capital Asset Pricing Model (CAPM) es una de las dos
teorías más influyentes en el estudio de la fijación del precio de los activos. El
modelo APT difiere del CAPM en que sus supuestos son menos restrictivos. Esto
permite que sea un modelo explicativo del retorno de los activos. Este asume que
cada inversor tendrá una cartera única con un vector único de betas, contrario a la
cartera idéntica al mercado que sugiere el modelo CAPM. En algunos casos se
puede considerar que el modelo CAPM es un caso especial del modelo APT.
27
No obstante todo lo anterior, el aparato teórico sobre el que se sustenta el APT
resulta de mayor complejidad que el correspondiente al CAPM, lo que unido al hecho
de que su contrastación empírica es más compleja y su utilización práctica mucho
menos accesible, hacen del APT un modelo “promesa”, que todavía se resiste a ser
una realidad. En este sentido, es necesario poner de manifiesto que el APT no
establece nada sobre cuáles deben ser los factores comunes explicativos de la
rentabilidad de los títulos, ofreciendo a los gestores de inversiones y a los
intermediarios la oportunidad de decidir cuáles son los más importantes, pero
dejando abierto un problema para la investigación académica y su aplicación en el
ámbito profesional.
Por último, el APT puede utilizarse para similares aplicaciones que las del CAPM,
tanto en el ámbito inversor como en la toma de decisiones en el seno empresarial.
4. TEORÍA AVANZADA DE CARTERAS DE INVERSIÓN
En el modelo básico de conformación de carteras, la clave estaba en diversificar el
riesgo para disminuir el riesgo propio de cada activo riesgoso. El paso siguiente es
encontrar una “cartera óptima” y combinarla con un activo libre de riesgo, con lo cual
se consigue (como se verá en esta unidad) una combinación que domina la frontera
eficiente obtenida inicialmente.
4.1. Teoría de Carteras de Inversión de Markowitz
En el modelo de selección de carteras de Harry Markowitz todos los activos que
integraban las carteras eficientes eran activos con riesgo (acciones, básicamente).
Además, si tuviésemos dos inversores A y B cada uno con una cartera eficiente no
podríamos saber quién tiene la mejor cartera, porque ambas son similares (al
inversor A le gustaría la suya y a B le pasaría lo mismo pero, objetivamente, no
podríamos saber cuál es mejor). Supongamos ahora, que los inversores pueden
colocar su dinero en activos financieros libres de riesgo como, por ejemplo, en Bonos
del Tesoro. Esto introduce un elemento de distorsión en nuestra teoría, puesto que
nuestros inversores A y B podrán destinar parte de su presupuesto a invertirlo en
dicho activo sin riesgo, manteniendo el resto en sus carteras óptimas respectivas. De
28
tal manera que el rendimiento esperado ( ) y el riesgo ( ) de la nueva cartera del
inversor A, será…
( )
Un portafolio eficiente, según Markowitz, es aquel que tiene un mínimo riesgo, para
un retorno dado o, equivalentemente un portafolio con un máximo retorno para un
nivel de riesgo dado.
4.2. Supuestos de Análisis de Media-Varianza
El enfoque propuesto por Harry Markowitz, sobre la conformación de portafolios de
inversión, revolucionó el campo de las finanzas, entregando principios, como el de
portafolios eficientes, que están presentes en una gran cantidad de modelos de
construcción de carteras, conservando de esta forma la esencia de la propuesta
inicial. Un portafolio eficiente, según Markowitz, es aquel que tiene un mínimo riesgo,
para un retorno dado o, equivalentemente un portafolio con un máximo retorno para
un nivel de riesgo dado.
Una de las formas de encontrar este conjunto de portafolios eficientes es a través del
siguiente modelo, que sólo considera la minimización de la varianza del portafolio y
que corresponde al siguiente esquema de programación no lineal.
∑
∑
29
∑∑
Una vez que el problema es resuelto con alguna técnica de programación
matemática, se logra obtener la proporción de cada activo dentro de la cartera de
inversiones y que satisfacen las restricciones planteadas en el modelo, sin considerar
las condiciones de no negatividad para las ponderaciones de los activos. El modelo
de Markowitz necesita entradas o inputs, los retornos esperados de los activos que
integrarán la cartera y la matriz de varianza-covarianza entre los retornos de los
activos. El rendimiento o retorno promedio, es la estimación del retorno esperado y
que se expresa como:
∑
donde…
: es el retorno del activo al tiempo .
: es el período o ventana de tiempo sobre la cual se está considerando el
rendimiento o retorno promedio.
La matriz de varianza covarianza representa toda la variabilidad y, por ende, el
riesgo de los activos financieros. Su estimación precisa es fundamental en la
determinación de la cartera eficiente en el modelo de media-varianza, ya que
contiene la información acerca de la volatilidad de los activos financieros, así como
de los “co-movimientos” entre los mismos.
Una de las críticas al modelo es que no considera la volatilidad de una serie
financiera suponiendo que la varianza es constante en el tiempo (homocedasticidad),
por el contrario es muy frecuente la heterocedasticidad, es decir, la varianza tiene
cambios sistemáticos en el tiempo.
30
4.3. Frontera Eficiente: Teorema de Separación de 2 Fondos
La frontera eficiente es el conjunto de puntos del plano de retorno-riesgo, en la cual
están todas las carteras de inversión que tienen un mínimo riesgo para un retorno
esperado dado. Cuando se usa optimización para obtener la frontera eficiente, se
debe resolver el problema de optimización, para cada nivel de retorno elegido
por el inversionista.
Fuente: Bodie (2014)
Teorema de Separación de Fondos
Todas las carteras eficientes en el sentido media-varianza pueden construirse como
el promedio ponderado de dos carteras (fondos) cualesquiera eficientes.
El Teorema de Separación de Fondos nos indica que todas las combinaciones
posibles de carteras de inversión se pueden construir a partir de dos carteras
eficientes que pueden ser cualquiera.
31
Fuente: (Bodie, Kane, & Marcus, 2014)
La cartera implica seleccionar la cartera más eficiente en el sentido de Sharpe.
ℎ
( )
Fuente: (Bodie, Kane, & Marcus, 2014)
La combinación del activo libre de riesgo con el portafolio tangente genera la línea
CAL (P) la cual domina en términos de eficiencia a todas las demás carteras del
mercado.
Teorema de Separación de Fondos con Activo Libre de Riesgo
32
Demostrado por J. Tobin (1958) y W. F. Sharpe (1964): La cartera óptima formada
por activos individuales con riesgo no depende de la actitud frente al riesgo de los
inversores individuales, sino que es la misma para todos los inversores.
En otro contexto, Irving Fisher formuló (1930) el denominado también Teorema de la
Separación: Cuando los mercados de capitales son perfectos, las decisiones de
inversión dependen únicamente del rendimiento esperado y del tipo de interés, sin
que en ellos tenga ninguna incidencia las circunstancias personales del inversionista.
4.4. La Hipótesis de los Mercados Eficientes
En 1953, Maurice Kendall, un estadístico británico, presentó un controvertido ensayo
sobre la conducta de los precios de las acciones y de las mercancías. Esperaba
encontrar ciclos regulares de precios, pero para su sorpresa éstos parecían no
existir. Cada serie parecía ser “errática”, casi como si una vez a la semana el
Demonio de la Suerte sacara un número al azar... y lo agregara al precio actual para
determinar el precio de la semana siguiente.
En otras palabras, los precios de las acciones y las mercancías parecían seguir una
ruta aleatoria también llamado “paseo aleatorio”.
Mercado Eficiente
Mercado con las siguientes características: muchos inversionistas pequeños, todos
con la misma información y expectativas con respecto a los valores; ninguna
restricción a la inversión, ningún impuesto ni costos de transacción e inversionistas
racionales, que ven los valores de manera similar y tienen aversión al riesgo, por lo
que prefieren mayores rendimientos y menor riesgo.
Es frecuente que los economistas definan tres niveles de eficiencia del mercado,
que se distinguen por el grado de información reflejado en los precios de los valores.
En el primer nivel, los precios reflejan la información contenida en el registro de los
precios pasados. Esto se conoce como la forma débil de eficiencia. Si los
mercados son eficientes en un sentido débil, entonces es imposible obtener
33
consistentemente utilidades superiores con el estudio de los rendimientos previos.
Los precios seguirán una ruta aleatoria.
El segundo nivel de eficiencia requiere que los precios actuales reflejen no sólo los
pasados, sino toda la otra información publicada, como la que se podría obtener de
la lectura de la prensa financiera. Esto se conoce como la forma semifuerte de
eficiencia de mercado. Si los mercados son eficientes en este sentido, entonces los
precios se ajustarán de inmediato a la información pública, como el anuncio de las
utilidades del trimestre anterior, una nueva emisión de acciones, una propuesta de
fusión de dos compañías, etcétera.
Por último, podríamos visualizar una forma fuerte de eficiencia, en la que los
precios reflejen toda la información que se puede adquirir mediante un cuidadoso
análisis de la compañía y de la economía. En dicho mercado, observaríamos
inversionistas afortunados y desafortunados, pero no encontraríamos ningún
administrador de inversiones de nivel superior que pudiera ganarle constantemente
al mercado.
Para probar la forma fuerte de la hipótesis se han examinado recomendaciones de
analistas profesionales de valores y se han observado fondos mutuos o de pensiones
de los cuales se podría esperar que tuvieran mejor desempeño que el mercado.
Algunos investigadores han encontrado una persistente y ligera mejora de
desempeño, pero una cantidad similar ha concluido que los fondos administrados
profesionalmente no recuperan los costos de su administración.
Sería sorprendente que no hubiera algunos administradores más inteligentes que
otros, que pudieran obtener rendimientos superiores. Pero parece difícil detectarlos,
y los administradores que tuvieron el mejor desempeño en un año tienen una
probabilidad similar a la de los demás de caerse de bruces el año siguiente.
Tal evidencia sobre la eficiencia en su forma fuerte ha resultado ser lo bastante
convincente como para que muchos fondos con administración profesional hayan
abandonado la búsqueda de un desempeño superior. Estos fondos simplemente
34
“compran el índice” que maximice su diversificación y minimice los costos de manejo
del portafolio.
Supongamos por el momento que los mercados con frecuencia son ineficientes.
¿Cómo podrían sobrevivir las ineficiencias en un mundo en el que huestes de
inversionistas racionales y enérgicos están listos para perseguir cualquier
oportunidad de utilidades desusadas? La primera explicación es que hay límites al
arbitraje, es decir, límites a la capacidad de los inversionistas racionales para
explotar los mercados ineficientes. Los límites al arbitraje abren la puerta a los
estudios de las finanzas conductistas, que plantean que los inversionistas
individuales tienen sesgos propios y errores de percepción que empujan los precios
lejos de sus valores fundamentales.
Las “burbujas bursátiles” también evidencian que los precios se pueden desconectar
de los principios esenciales. Las burbujas pueden surgir cuando el precio de los
activos sube con rapidez y más y más inversionistas entran al juego suponiendo que
los precios seguirán subiendo. Las burbujas pueden ser autosostenibles por un
tiempo. Puede ser racional unirse a una burbuja mientras se tenga la certeza de que
habrá tontos todavía mayores que vendrán después, a los que se les podrá vender,
pero recuerde que se perderá mucho dinero, tal vez propio, cuando la burbuja
finalmente estalle.
5. INTRODUCCIÓN A LAS OPCIONES Y LOS INSTRUMENTOS DERIVADOS
Los Mercados de derivados han adquirido una importancia cada vez mayor en el
mundo de las finanzas y las inversiones. Los Mercados de Futuros se remontan a la
Edad Media. En un principio existían para satisfacer necesidades de agricultores y
negociantes. Los Mercados de Opciones de Venta y de Compra comenzaron en
Europa y Estados Unidos desde el siglo 18. El Contrato de Opción Compra (Venta)
otorga al tenedor el derecho a comprar (vender) un activo en una fecha específica a
cierto precio. El Contrato de Futuros es un acuerdo para comprar o vender un activo
en una fecha específica en el futuro a un precio determinado.
35
5.1. ¿Qué son los derivados? Un poco de historia y teoría.
Un derivado es un instrumento financiero cuyo valor depende de los valores de otros
activos más básicos, llamados activos subyacentes.
Ejemplos de Derivados Financieros:
Opciones financieras
Contratos de Futuros
Contratos de Forwards (Contrato a Plazo)
Contratos de SWAPS
5.2. Las opciones financieras: Paridad PUT-CALL
Una opción de comprar es una CALL. Una opción de vender es una PUT. Una opción
europea se puede ejercer sólo a la fecha de vencimiento. Una opción americana se
puede ejercer en cualquier momento.
Posición LARGA en CALL (comprador de la opción de compra)
Posición CORTA en CALL (vendedor o emisor de la opción)
Posición LARGA en PUT (comprador de la opción de venta)
Posición CORTA en PUT (vendedor o emisor de la opción)
Posición LARGA en CALL (comprador de la opción de compra)
Fuente: (Hull, 2013))
36
Posición CORTA en CALL (vendedor o emisor de la opción)
Fuente: (Hull, 2013)
Posición LARGA en PUT (comprador de la opción de venta)
Fuente: (Hull, 2013)
Posición CORTA en PUT (vendedor o emisor de la opción)
Fuente: (Hull, 2013)
Ahora determinaremos una importante relación entre p (precio de la opción de venta)
y c (precio de la opción de compra). Considere las dos carteras siguientes:
37
Cartera A: una opción de compra europea más un monto de efectivo igual a la
cantidad de
Cartera C: una opción de venta europea más una acción
Ambas valen ( ) al vencimiento de las opciones. Como las opciones son
europeas, no pueden ejecutarse antes de la fecha de vencimiento. Por lo tanto, las
carteras deben tener valores idénticos hoy. Esto significa que…
Esta relación se conoce como paridad entre opciones de venta y de compra. Muestra
que el valor de una opción de compra europea con determinado precio de ejercicio y
fecha de ejercicio puede deducirse del valor de una opción de venta europea con el
mismo precio y fecha de ejercicio y viceversa.
5.3. Futuros y Forwards.
Las empresas pueden protegerse con contratos forward y de futuros. Un contrato
forward es una orden anticipada de compra o venta de un activo. El precio forward se
fija hoy, pero el pago no se hace sino hasta la fecha de entrega al final del contrato.
Los contratos de futuros y forwards se pueden utilizar para inmovilizar el precio futuro
de mercancías (commodities) como el petróleo, el cobre o el cacao. Los contratos de
futuros y forwards financieros permiten que la empresa asegure el precio de activos
financieros como las tasas de interés o los tipos de cambio.
Cuando un contrato estandarizado de forwards se negocia en una bolsa de valores,
se le llama contrato de futuros —mismo contrato, pero con diferente etiqueta—. La
bolsa se llama mercado de futuros. La distinción entre “futuros” y “forwards” no se
aplica al contrato en sí, sino a la forma en la que el contrato se negocia.
38
Posición Larga en Futuros
Fuente: (Hull, 2013)
Posición Corta en Futuros
Fuente: Hull (2013)
Cuando compra o vende un contrato de futuros, el precio se fija hoy, pero el pago no
se hace sino hasta después. Sin embargo, se le pedirá que pague un margen en
forma de efectivo o certificados de Tesorería para demostrar que tiene el dinero para
cumplir con su parte de la operación. Mientras gane suficiente interés en los valores
depositados como margen, no hay costo.
Para las mercancías (commodities), el precio de los futuros para periodos más
adelante es…
( )
39
5.4. Valorización: Modelo Binomial y Black-Scholes; Arbitraje y Cobertura.
El Método Binomial, se empieza por reducir los posibles cambios en el precio de la
acción en el siguiente periodo a sólo dos: un movimiento “alcista” y uno “bajista”.
Fuente: Elaboración propia
Podríamos seguir de esta forma e ir dividiendo el periodo en intervalos cada vez más
cortos, hasta que llegáramos finalmente a una situación en la que el precio de la
acción cambiara en forma constante y haya un continuo de posibles precios futuros
de la acción.
Cuando la cantidad de intervalos tiende a infinito, se obtiene una solución continua,
conocida como el Modelo de Black-Scholes.
Modelo de Black-Scholes, supuestos:
1. El comportamiento del precio de la acción es log-normal.
2. No hay costos de transacción ni impuestos.
3. No hay dividendos sobre la acción durante la vida de la opción.
4. No hay oportunidades de arbitraje libres de riesgo.
5. La negociación de valores es continua.
6. Se pueden adquirir o prestar a la tasa libre de riesgo .
7. La tasa de interés libre de riesgo es constante.
Fórmula de Black-Scholes para una opción de compra europea.
( ) ( )
( ) ( )
Donde…
40
( ⁄ ) ( ⁄ )
√
( ⁄ ) ( ⁄ )
√ √
( )
ℎ ℎ
ℎ
( )
La función ( ) es la función de probabilidad acumulativa para una variable normal
estandarizada. En otras palabras, es la probabilidad de que una variable con una
distribución normal estándar, ( ), sea menor que x.
Fórmula de Black-Scholes para una opción de venta europea.
( ) ( )
( ) ( )
41
Bibliografía
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Católica de Chile, Santiago, Chile.
42
ANEXO: FÓRMULAS DE UTILIDAD EN FINANZAS
1. Valor Presente, Valor Actualizado o Valor Descontado (VP)
Valor descontado de T flujos de efectivo futuros…
( )
( )
( ) ∑
( )
2. Valor Actualizado Neto o Valor Presente Neto (VAN)
Valor actualizado menos costos iniciales…
∑
( )
3. Tasa Interna de Retorno o Rendimiento (TIR)
( )
( )
( ) ∑
( )
4. Media Aritmética de los Retorno Históricos
∑
5. Media Geométrica de los Retorno Históricos
√∏( )
6. Medición del riesgo de activos individuales
( ) (
) ( )
( ) √ ( )
( ) [( )(
)]
[( )(
)]
( ) ( )
43
7. Retorno esperado sobre un portafolio de dos activos
8. Varianza de un portafolio de dos activos
9. Beta de un instrumento financiero
( )
( )
10. Modelo de precios de activos de capital (CAPM)
(
)
11. Beta de una empresa con deuda (Modelo de Hamada)
[
( )]
12. Razón de Premio por Riesgo a Desviación Estándar (“precio” del riesgo de
un portafolio)
ℎ
13. Diferencial de Rentabilidad por sobre el Activo Libre de Riesgo (“precio” del
riesgo de un portafolio)
14. Paridad entre opciones de venta y de compra
15. Fórmula de Black-Scholes para una opción de compra europea
( ) ( )
16. Fórmula de Black-Scholes para una opción de venta europea
( ) ( )
