MATEM%C3%81TICA FINANCIERA MAT - 121

PROGRAMA DEL MDULO I I: IDENTIFICACIN NOMBRE DEL MDULO: MATEMTICA FINANCIERA UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el mdulo los participantes sern capaces de:

Resolver problemas de matemtica financiera en el contexto de la actividad empresarial, utilizando eficazmente calculadora cientfica e interpretar dicha informacin en el marco de situaciones reales.

DURACIN: 72 horas pedaggicas HORAS AULA: 36 horas pedaggicas (2 horas a la semana, clase expositiva) HORAS TALLER 36 horas pedaggicas (2 horas a la semana, trabajo en aula) II: DESCRIPCIN POR REA DE FORMACIN Y PRERREQUISITO rea de formacin: general diferenciada Ubicacin en la malla: 2o semestre Prerrequisito: Matemtica I III: UNIDADES DE APRENDIZAJE 1 Unidad: Fundamentos Funcionales de la Matemtica Financiera Duracin: 24 horas pedaggicas

Objetivos Aprendizajes Esperados Contenidos relevantes Operar con funciones, relacionando su estudio con el mbito de las matemticas financieras, demostrando habilidad en el uso de calculadora cientfica.

-Representan la funcin lineal en forma analtica y grfica, relacionando su estudio a situaciones del mbito financiero y econmico. -Representan la parbola en forma analtica y grfica, relacionando su estudio a situaciones del mbito financiero y econmico. -Analizan fenmenos de crecimiento exponencial en forma analtica y grfica relacionados con el mbito financiero y econmico. -Analizan fenmenos de crecimiento logartmico en forma analtica y grfica relacionados con el mbito financiero y econmico.

- Funcin lineal Caractersticas Ecuacin representativa Grfico Aplicaciones financieras - Funcin cuadrtica. Caractersticas La parbola Elementos Ecuacin general y particular Grfico Aplicaciones financieras - Funcin exponencial: Grficos Aplicaciones financieras - Funcin logartmica: Grficos Aplicaciones financieras

2 UNIDAD: Clculos financieros bsicos Duracin: 48 horas pedaggicas

Objetivos Aprendizajes Esperados Contenidos Relevantes

Operar con fundamentos de inters simple y compuesto, anualidades y amortizaciones, demostrando capacidad para calcular, evaluar y decidir alternativas financieras en casos sencillos, con apoyo de calculadora cientfica.

-Calculan inters simple. -Calculan monto o valor futuro con inters simple. -Calculan valor actual, utilizando tasa de inters simple. -Calculan valor actual, utilizando tasa de descuento. -Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de inters simple. -Resuelven problemas de aplicacin de inters simple financiera y comercialmente. -Calculan valor futuro, valor actual, inters y nmero de perodos en situaciones de inters compuesto. -Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de inters compuesto. -Resuelven problemas de aplicacin de inters compuesto financiera y comercialmente. -Resuelven problemas de clculo de anualidades: vencidas, anticipadas, diferidas, perpetuas. -Comparan tasas de inters de distintas casas comerciales y su impacto en las anualidades. -Confeccionan tablas de amortizacin segn sistema francs. -Identifican particularidades de otros sistemas de amortizacin. - Comparan grficamente las tasas de inters ofrecidas por diversas casas comerciales (mensualmente, trimestralmente, semestralmente etc.) -Construyen tablas de Amortizacin, para diferentes valores de crditos, tasas y perodos.

Inters simple: -Clculo del inters -Clculo de la tasa de inters -Clculo del nmero de perodos -Valor Futuro o Monto -Valor actual -Problemas de inters simple aplicados Inters compuesto: -Clculo de Valor futuro y valor actual con inters compuesto. -Clculo de inters y perodos a inters compuesto. -Comparacin del inters simple y compuesto. Anualidades: -Anualidades Vencidas, Anticipadas, Diferidas, Perpetuas. -Grfico de anualidades. Amortizacin: -Definicin. Distinciones de los Sistemas de Amortizacin y sus caractersticas. -Sistema de amortizacin Francs, Alemn, Americano. Inters y Tablas de Amortizacin:

I. DESARROLLO

PRIMERA UNIDAD:

CLASE 1 y 2

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Representan la funcin lineal en forma analtica y grfica, relacionando su estudio a situaciones del mbito financiero y econmico

Funcin lineal: Caractersticas Ecuacin representativa Grfico Aplicaciones financieras

Una funcin expresa la idea de que una cantidad est determinada o dependa de

otra, es aqu donde decimos que esto est en funcin de lo otro. Por ejemplo:

- El costo mensual de producir un determinado bien depende del nmero de bienes

producidos. Entonces decimos que el costo mensual est en funcin del nmero de

bienes producidos.

- El rea de un crculo depende de la longitud de su radio, es decir, si se conoce la

longitud del radio, podemos afirmar que el rea es una funcin del radio.

Una funcin se define de la siguiente forma:

Sean X e Y dos conjuntos no vacos. Una funcin de X en Y es una regla que se

asigna a cada elemento x pertenece X una nica y Y. Si una funcin asigna y a un x X particular, decimos que y es el valor de la funcin en x.

Generalmente una funcin se denota por f, g, F G. En el siguiente caso

denotaremos con f una determinada funcin. El conjunto X para el cual f asigna una

nica y que pertenece a Y se denomina dominio de la funcin f. Frecuentemente se

indica mediante Df . El conjunto de valores correspondientes a y Y se conoce como rango de la funcin y se anota como Rf

Ejemplo 1: Sea X el conjunto de estudiantes de una clase. Sea f la regla que asigne a

cada estudiante su calificacin final. Dado que cada uno tiene una sola calificacin

final, esta regla define una funcin. En este caso, el dominio es el conjunto de todos

los estudiantes de la clase y el rango es el conjunto de todas las calificaciones

Ejemplo 2: El valor de los activos de una empresa es una funcin del tiempo. Aqu el

dominio es el conjunto de valores del tiempo y el rango de la funcin es el conjunto de

valores de los activos

En sntesis una funcin puede estar definida por casos tales como:

Le regla que asigna a cada persona el nmero de hijos. La regla que asigna a cada persona los nombres de sus hijos. Un diccionario de ingls alemn.

Ejemplo 3: Dada 152)( 2 += xxxf , calcule el valor de )(xf para

41;2;3; ==== xxxax

Solucin: Dado que 152)( 2 += xxxf , con el objetivo de calcular f(a) reemplazamos

x por a en la ecuacin, es decir, 152 2 + aa

Lo mismo para los casos siguientes: 41;2;3 === xxx obteniendo como

resultados: 4, 19 y 19/8 respectivamente.

Ejemplo 4: Consideremos 25,02)( xxf += , el dominio de f es el conjunto de todos lo nmeros reales, ya que podemos evaluar f(x) para cualquier valor real de x. Alguno de

los valores de esta funcin aparecen en la tabla 1, en la cual algunos valores de x

estn listados en el rengln superior y los valores de y = f(x) estn debajo de los

valores correspondiente a x. Los puntos correspondiente a los valores de x e y se

graficaron como puntos en la figura 1. La grfica de la funcin 25,02)( xxf += es una curva con forma de U que pasa por los puntos ya graficados.

Tabla 1

x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

y=f(x) 2 2,5 4 6,5 10 2,5 4 6,5 10

EJEMPLOS

1. El departamento de polica de una pequea ciudad estudia la compra de un

nuevo carro de patrulla. Los analistas de la polica, estiman que el costo del

carro, completamente equipado, es de 18.000 dlares. Han estimado un costo

promedio de operaciones de 0,40 dlares por milla.

a) Determine la funcin matemtica que represente el costo total C de la obtencin y

operacin del carro patrulla, en trminos del nmero de millas x que recorra.

b) Cul es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida til?

c) Cul es el costo proyectado si el carro recorre 100.000 millas en su vida til?

Solucin:

El costo del carro completamente equipado es de 18. 000 dlares.

El costo promedio de operaciones es de 0,40 dlares por milla.

a) Determinar la funcin matemtica que represente el costo total de la obtencin y

operacin del carro patrulla, en trminos del nmero de millas x que recorra.

Solucin:

Como lo que queremos determinar es una funcin en x, primero definimos x.

X = total de millas recorridas.

Entonces la funcin de costo la denotaremos con la letra C y estar en funcin de x,

es decir, el costo estar en funcin del total de millas recorridas.

C(x)

Y como el costo promedio por milla es de 0.40, entonces tenemos

C(x) = 0.40x

Y ahora debemos agregarle el total del costo del carro, que son 18.000 dlares. Por lo

cual la funcin nos queda:

C(x) = 0,40x + 18.000

b) Cul es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida til?

Tendremos que evaluar:

C (50 .000) = 0,40(50.000) + 18. 000

C (50 000) = 20.000 + 18. 000

C (50 000) = 38 000

El costo proyectado del carro si recorre 50.000 millas ser de 38.000 dlares.

c) Si recorre 100.000 millas.

C (100.000) = 0,40(100.000) + 18 000

C (100 000) = 40 000 + 18.000

C (100.000) = 58. 000

El costo proyectado para el carro cuando recorra 100.000 millas ser de 58.000

dlares.

2. Una compaa de seguros cuenta con un mtodo simplificado para determinar la

prima anual de una pliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de 10

dlares por todas las plizas ms 1,5 dlares por cada mil dlares del importe de la

pliza. Por ejemplo, una pliza de 20.000 dlares costar 10 dlares por el cargo fijo

ms 30 dlares, cantidad que corresponde al valor nominal de la pliza. Si p es la

prima anual en dlares y x denota el valor nominal de la pliza (expresado en miles de

dlares), a) a) a) Determine la funcin que puede emplearse para calcular las primas

anuales.

b) Determine el importe de la prima anual si la pliza es de 250.000 dlares.

Solucin:

Se cobra un cargo anual de 10 dlares por todas las plizas.

Se cobra 1,5 dlares por cada mil del importe de la pliza.

X = el valor nominal de la pliza.

El importe de la prima anual de la pliza est en funcin de x, es decir, en funcin del

valor nominal de la pliza. Entonces denotamos como P(x)

Como hay que multiplicar 1,5 por cada mil del importe de la pliza, entonces debemos

dividir X entre 1.000 y luego multiplicarlo por 1,5.

Lo que nos da la siguiente funcin:

101000

5.1)( +

= xxP

Esta es la funcin para determinar el importe de la prima anual de la pliza.

Ahora determinemos el valor de la prima anual cuando la pliza es de 250.000

dlares.

10000.1

000.2505,1)000.250( +

=P

10000.1

000.2505,1)000.250( +

=P

( ) 102505.1)250000( +=P 10375)000.250( +=P

385)250000( =P El valor anual de la prima de una pliza de 250.000 dlares ser de 385 dlares.

CLASE 3 y 4

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Representan la funcin cuadrtica en forma analtica y grfica, relacionando su estudio a situaciones del mbito financiero y econmico

Funcin cuadrtica: Caractersticas Ecuacin representativa Grfico Aplicaciones financieras

Funcin Cuadrtica

Una funcin de la forma )0()( 2 ++= acbxaxxf Con a, b y c constantes, se denomina funcin cuadrtica. El dominio de f(x) es el

conjunto de todos los nmeros reales.

La funcin cuadrtica ms simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo

caso obtenemos 2)( xaxf = Las grficas ms comunes de esta funcin en los casos en que a es positiva o negativa son:

El punto ms bajo de la grfica cuando a > 0 ocurre en el origen, mientras que este

mismo es el punto ms alto si a < 0, a cada una de estas se les denomina parbolas.

El origen que es el punto ms bajo o alto en los dos casos se denomina vrtice.

La funcin cuadrtica general )0()( 2 ++= acbxaxxf tiene una grfica idntica

en tamao y forma a la correspondiente a 2)( xaxf = ; la nica diferencia es que el

vrtice de )0()( 2 ++= acbxaxxf est trasladado fuera del origen.

EJEMPLOS

1.-Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno

rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. Cul es

el rea mxima que puede cercarse?

Solucin:

Denotemos los lados del terreno con x e y como se indica en la figura, con el lado y el

paralelo ya existente. Se sigue que la longitud de la nueva cerca es:

2x +y = 200

Comparando la expresin anterior con cbxaxxf ++= 2)( , advertimos que A es una funcin cuadrtica de x, con a=-2, b=200 y c=0. Por lo tanto, dado que a

El rea mxima que puede encerrarse es de 5.000 metros cuadrados. Las

dimensiones de esta rea mxima son x=50 e y=100 metros.

CLASE 5

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Analizan fenmenos de crecimiento exponencial en forma analtica y grfica, relacionando su estudio a situaciones del mbito financiero y econmico.

Funcin exponencial: Grficos Aplicaciones financieras

FUNCIN EXPONENCIAL

Se llama funcin exponencial de base a, siendo a un nmero real positivo y distinto de

1, a la funcin:

+ IRIRf :

Antes de dar un ejemplo de funcin exponencial, conviene recordar algunas

propiedades de las potencias:

Ejemplos de funciones exponenciales

1. La funcin xy 2= es una funcin exponencial de base 2. Algunos de los valores

que toma esta funcin + IRIRf : son:

Algunos de los valores que toma esta funcin + IRIRf : son:

Propiedades de la funcin exponencial xay =

1. Para x = 0, la funcin toma el valor 1: f (0) = 10 =a

2. Para x = 1, la funcin toma el valor a: f (1) = aa =1

3. La funcin es positiva para cualquier valor de x: f(x)>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de

base positiva da como resultado un nmero positivo.

4. Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la funcin es creciente.

5. Si la base de la potencia es menor que 1, a 1

Para cualquier x, la funcin es creciente y siempre positiva

Como caso particular se representa la funcin xy 2= .

B) 0 < a < 1

Para cualquier x la funcin es decreciente y siempre positiva.

CLASE 6

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Analizan fenmenos de crecimiento logartmico en forma analtica y grfica relacionados con el mbito financiero y econmico

Funcin logartmica: Grficos Aplicaciones financieras

Se llama funcin logartmica de base a a la funcin xxf alog)( = , siendo a > 0 y a

1.

Ejemplo:

Son funciones logartmicas xxf 2log)( = , xxf 10log)( = (logaritmo decimal), xxh ln)( =

(logaritmo neperiano).

El dominio de las funciones logartmicas es (0, + ) y las grficas son similares,

dependiendo del valor de a:

Si 0 < a < 1, la funcin xxf alog)( = es siempre decreciente y su grfica es del tipo:

Si a > 1, la funcin xxf alog)( = es siempre creciente y su grfica es del tipo:

SEGUNDA UNIDAD:

CLASES 7, 8 y 9.

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Calculan inters simple Calculan monto o valor futuro con inters simple Calculan valor actual, utilizando tasa de inters simple Calculan valor actual, utilizando tasa de descuento Analiza y comparan valor futuro a distintas tasas de inters. Resuelven problemas de aplicacin de inters simple financiera y comercialmente.

Inters simple: Clculo del inters Clculo de la tasa de inters Clculo del nmero de perodos

Matemticas Financieras

Son aplicaciones a las operaciones comerciales que realiza la empresa de manera

que a partir de una base matemtica y un lenguaje tcnico y simblico podamos

interpretar las variables que participan en la evaluacin del dinero a travs del tiempo.

Estas variables son:

- Capital (c): suma de dinero prestado o invertida.

- Tiempo (t): perodo durante el cual se usa el capital.

- Tasa de inters (i): es el precio que se paga por usar el dinero.

Inters Simple

En general se da en perodos de corto plazo.

La tasa de inters se aplica siempre sobre el mismo capital durante un perodo de

tiempo.

Los intereses se capitalizan al final del perodo en el cual se contrajo esa obligacin.

ticI = Inters

Comercial

Inters Real

Ao = 360 das

Mes = 30 das

Ao = 365 das

Mes = 28, 30 30 das

Ejercicios

1. Determine el inters pagado por un prstamo de $2.000.000 a una tasa de inters

de 4% trimestral durante 2 meses.

c = 2.000.000

i = 4% trimestral

t = 2 meses

I= 2.000.000 * 0.04 * (2/3)

I = 53.333//

2. Calcular la cantidad de dinero prestada, si se paga por ella un inters de $15.000

con una tasa de inters semestral de 3,5% durante 145 das.

i = 3, 5 % semestral

t = 145 das

I = 15.000

15.000 = c * 0.035 * (145/180)

c = $532.020

3. Determine la tasa de inters mensual aplicada a un capital de $550.000 si ste

genera un inters de $6.500 en 7 meses.

c = 550.000

t = 7 meses

I = $6.500

6.500 = 550.000 * i * 7

i = 0.0016883116883 * 100 i = 0.17%

4. En cuantos meses, un capital de $200.000 genera un inters de $80.000 con una

tasa de inters de 5% semestral?

I = $80.000

c = $200.000

i = 5% semestral

80.000 = 200.000 * 0.05 * (t/6)

t = aproximadamente 50 meses

5. Se deposita un 60% de un capital al 3% de inters simple y el resto se deposita al

3,5% de inters simple durante 8 meses con lo cual se genera un inters de $45.000,

calcular el capital.

I = $45.000

i = 3% anual

t = 8 meses

45.000 = (0, 6 c * 0,03 * (8/12)) + (0,4 c * 0.035 * (8/12))

c = $2.109.375

Monto Simple

Es la suma del capital y los intereses.

ICM +=

Reemplazando la frmula de Inters simple tenemos

)( tiCCM += Luego

)1( tiCM += Capital (c) Inversin o Prstamo de la empresa.

Capitalizar calcular Valor Futuro, Valor Final, Monto Futuro o Monto Final.

Monto

Monto Capital

Valor Futuro Valor Final

Ejercicios

a) Calcular el monto de un capital de $1.800.000 a una tasa de inters de 4% por un

perodo de 245 das.

c = 1.800.000

i = 4% trimestral

t = 245 das

+=90

24504,01 1.800.000M

000.996.1$=M b) Calcular el valor actual de $500.000 pagaderos en 8 meses y 10 das a una tasa de

inters del 5,22% semestral.

M = 500.000

i = 5,22% semestral

t = 8 meses, 10 das

+=180

2500522,01 000.500 c

200.466$=c c) Calcular la tasa de inters aplicable a un capital de $2.600.000 para obtener un

monto de $2.800.000 durante 11 meses y 25 das. (Cuando nada se dice se entiende

que la tasa es anual)

c = 2.600.000

M = 2.800.000

t = 11 meses, 25 das

+=3603551 000.600.2000.800.2 i

%8,7=i

Tiempo

En cuanto tiempo un capital de $1.200.000 depositado al 4% de inters un monto de

$1.236.000?

c = 1.200.000

i = 4%

M = 1.236.000

[ ]t+= 04,01 000.200.1000.236.1 dast 270=

CLASES 10

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Calculan valor futuro, valor actual, inters y nmero de perodos en situaciones de inters compuesto. Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de inters compuesto.Resuelven problemas de aplicacin de inters compuesto financiera y comercialmente.

Inters compuesto: Clculo de Valor futuro y valor actual con inters compuesto Clculo de inters y perodos a inters compuesto. Comparacin del inters simple y compuesto.

Inters Compuesto

En cada perodo de tiempo se agregan los intereses al capital, con lo cual se forma un

nuevo capital.

( ) )11( += nicI n = tiempo

c = capital

Ejercicios

Si usted deposita hoy $1.950.000 a un tasa de 4,25% durante 3 aos Cul es el

monto de inters que recibir?

( )[ ]10425,01 1.950.000 3 +=I 341.259$=I

Monto Compuesto con capitalizacin Anual

Indica que los intereses se transforman en capital en forma anual.

( )nicM += 1

Monto

Cunto dinero se recibir dentro de 5 aos si hoy se deposita $2.500.000 a un tasa

de 3,75%?

( )50375,01 .500.0002 +=M 250.005.3$=M

Monto Capital

Capitalizacin

Actualizacin

Capital

Cunto tiene que depositar hoy a inters compuesto de un 5,25% anual para obtener

$4.200.000 en 3 aos?

( )30525,01 000.200.4 += c 326.602.3$=c

Tasa de inters (usaremos races)

Un depsito de $550.000 produce un monto de $685.000 durante 4 aos, determine la

tasa de inters aplicada al depsito.

( )41 000.550000.685 i+= %64,5=i

Tiempo (usaremos Log)

Cunto tiempo debe transcurrir para obtener un monto de $1.200.000 si hoy se

deposita $1.000.000 a una tasa de i de 3,65%?

( )n0365,01 000.000.1000.200.1 += dasn 1831=

Monto compuesto con capitalizacin anual y tiempo fraccionario

Regla Comercial

A inters compuesto se trabaja perodo anual.

A inters simple se trabaja perodo fraccionario.

( ) ( )fiicM n ++= 11 Con f = meses

Perodo Anual Perodo Fraccionario

Calcular el monto de una deuda de $3.500.000 pagaderas en 3 aos, 5 meses a una

tasa de 4,35%

( )

++=1250435,010435,01 000.500.3 3M

988.048.4$=M

Monto compuesto con perodos de capitalizacin

mn

mjcM

+= 1

j = tasa nominal anual

m = perodo de conversin o capitalizacin dentro el ao

E F M A M J J A S O N D

Perodo de conversin

Ejercicios (gua de ejercicios)

Gua ejercicios de Inters compuesto con capitalizacin.doc

Monto

1.- Cul es el monto de un capital de $300.000 depositado a una tasa de inters del

3% mensual y que se capitaliz mensualmente durante un ao?

c = 300.000

j = 3% mensual

m = 12

n = 1

( )103,01 000.300 +=M 728.427$=M

Anual m = 1 Semestral m = 2 Trimestral m = 4 Cuatrimestral m = 3 Bimestral m = 3 Mensual m = 12

2.- Cul ser el monto que se obtiene por un capital depositado a 5 aos plazo y

una tasa del 6% capitalizable trimestralmente, si el capital es de

$ 371.235?

c = 371.235

j = 6%

m = 4

n = 5

45

406,01 235.371

+=M

000.500$=M 3.- Ud. necesita obtener un prstamo por $400.000 a 4 aos. En el mercado de

capitales existen las siguientes ofertas:

a) 15% de inters capitalizable trimestralmente

44

415,01 000.400

+=M 891.720$=M

b) 15,375% de inters capitalizable semestralmente

24

215375,01 000.400

+=M

891.723$=M c) 15,5% de inters simple

( )4155,01 000.400 +=M 000.648$=M

Es ms rentable la opcin b.

4. Calcular monto con los siguientes datos:

c = 100.000

j = 8% semestral

m = 2 (perodos de capitalizacin)

n = 3 aos

( ) 2308,01 000.100 +=M 687.158$=M

Monto

5.- Qu cantidad de dinero se deposito hace 2 aos, con una tasa de inters del 5%

trimestral capitalizable trimestralmente, si hoy se convirti en $ 30.458?

j = 5% trimestral

m = 4 capitalizable trimestral

n = 2 aos

M = 30.458

( ) 4205,01 458.30 += c 615.20$=c

6.-Calcule el Valor Presente de $360.000 pagaderos dentro de 3 aos al 5%

capitalizable semestralmente

j = 5%

m = 2 capitalizable semestral

n = 3 aos

M = 360.000

23

205,01 000.360

+= c

427.310$=c

Tasa de inters

7.- A qu tasa de inters semestral estuvo invertido un capital de $220.000, si al

cabo de 2 aos se convirti en $364.174, habindose capitalizado semestralmente?


n = 2 aos

M = 364.174

c = 220.000

( ) 221 000.220174.364 += j %43,13=j

Tasa nominal anual

8.- Determine la tasa nominal anual para:

a) $125.000 se transformen en $237.650 en 15 aos con capitalizacin trimestral

n = 15 aos

M = 237.650

c = 125.000


415

41 000.125650.237

+= j

%31,4=j

b) $250.000 se transformen en $275.391 en 4 aos con capitalizacin mensual

n = 4 aos

M = 275.391

c = 250.000

m = 12 capitalizable mensual

124

121 000.250391.275

+= j

%42,2=j Tiempo

9.- Durante cunto tiempo estuvo depositado un capital de $250.000, que con

capitalizaciones semestrales y a una tasa del 10% semestral se convirti en

$442.890?

M = 442.890

c = 250.000

j = 0.01


( ) n+= 21,01 000.250890.442 dassemestresn 5403 =

10.-Determine el tiempo que es necesario esperar para que:

a) $ 85.000 se transformen en $150.000 al 15% capitalizable semestralmente

M = 150.000

c = 85.000

j = 15% capitalizable semestral

m = 2

n

+=2

215,01 000.85000.150 dassemestresn 7079,3 =

b) $47.500 se transformen en $104.700al 14% capitalizable mensualmente

M = 104.700

c = 47.500

j = 14% capitalizable mensual

m = 12

n

+=12

1214,01 500.47700.104

dasmesesn 17067,5 =

Monto compuesto con perodos de capitalizacin y tiempo fraccionario

Recordemos que:

( )fjmjcM

mn

+

+=

11 Con f = meses

Perodo Anual Perodo Fraccionario

11- Calcule el valor presente de $280.000 pagaderos en 3 aos 2 meses a la tasa de

5% capitalizable trimestralmente.

M = 280.000

j = 5%


n = 3 aos

f = 2 meses

+

+=

12205,01

405,01000.280

34

c

229.239$=c

Tasa de inters Efectiva Tasa de inters Nominal

Tasa Efectiva (i): que NO tiene perodos de capitalizacin dentro del ao.

( )nicM += 1 Monto compuesto con capitalizacin anual

Tasa Nominal (j): que SI tiene perodos de capitalizacin dentro del ao.

mn

mjcM

+= 1 Monto compuesto con perodos de capitalizacin en el ao.

Igualando

( ) cmjcic

mnn

+=+

11

( ) ( )nmn

n

mji 111

+=+

Nos queda

m

mji

+=+ 11

Tasa Efectiva Tasa Nominal

Tasa Efectiva

Ejercicios

1- A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de 4% capitalizable

trimestralmente?

4

404,011

+=+ i

%06,4=i

2- A que tasa nominal anual capitalizable semestralmente equivale una tasa

efectivamente anual de 8,16%?

2

210816,01

+=+ j

%8=j

Tasa de inters Nominal - Tasa de inters Nominal

21

21

11mm

mj

mj

+=

+

Tasa Nominal ( 1m )

Tasa Nominal ( 2m )

Ejercicios

1- Que tasa nominal anual capitalizable trimestralmente es equivalente a un 5%

nominal anual capitalizable mensual?

124

1205,01

41

+=

+ j

%02,5=j 2- A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de

6,25% capitalizable semestralmente?

2

20625,011

+=+ i

%35,6=i 3- Qu tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente equivale a una tasa

efectiva anual de 5,75%?

3

310575,01

+=+ j %64,5=j

4- Qu tasa nominal anual capitalizable bimestralmente es equivalente a un

4,45% nominal anual capitalizable trimestral?

46

40445,01

61

+=

+ j %44,4=j

Tasa de inters Equivalente

Dos tasas de inters son equivalentes no iguales si aplicadas sobre el mismo capital

durante el mismo tiempo generan intereses iguales.

Ejemplo

1- Si tenemos una tasa de 15% anual y la queremos convertir en tasa mensual

Inters Simple

mensualii %25,11215,0 ==

Inters Compuesto

( ) ( )ae ii +=+ 11 lenteTasaEquivaie =

TasaAnualia =

( ) ( )15,011 12 +=+ ei mensualie %17,1=

Tasa Equivalente

Mensual ( ) ( )ae ii +=+ 11 12 Trimestral ( ) ( )ae ii +=+ 11 4 Cuatrimestral ( ) ( )ae ii +=+ 11 3 Semestral ( ) ( )ae ii +=+ 11 2 Bimestral ( ) ( )ae ii +=+ 11 6 Anual ( ) ( )ae ii +=+ 11

Ejemplo

mensualie = anualia %8=

( ) ( )08,011 12 +=+ ei %64,0=ei

Tasa de inters Equivalente con perodos de capitalizacin

Mensual ( )ae ii +=

+ 112

112

Trimestral ( )ae ii +=

+ 14

14

Cuatrimestral ( )ae ii +=

+ 13

13

Semestral ( )ae ii +=

+ 12

12

Bimestral ( )ae ii +=

+ 16

16

Anual ( ) ( )ae ii +=+ 11

6.- Con las siguientes tasas:

1.- 12,4% anual

2.- 7,5% trimestral con capitalizacin quincenal

3.- 14% anual con capitalizacin mensual

Calcule las tasas:

a.- Equivalente mensual

b.- anual con capitalizacin trimestral

c.- efectiva anual capitalizacin anual

d.- efectiva trimestral

1.a) ( ) ( )124,011 12 +=+ ei

%98,0=ei

1.b) ( )124,01414

+=

+ ei

%86,11=ei

1.c) ( ) ( )124,011 +=+ ei %4,12=ei

1.d) ( ) ( )124,011 4 +=+ ei %97,2=ei

2.a) ( )64

12

6075,011

+=+ ei

%52,2=ei

2.b) 644

6075,01

41

+=

+ ei

%95,30=ei

CLASES 11,12, 13 y 14

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Resuelven problemas de clculo de Anualidades Vencidas Comparan tasas de inters de distintas casas comerciales y su impacto en las anualidades

Anualidades: Vencidas Grfico de anualidades

Rentas o Anualidades

Corresponde a una serie de cuotas iguales que pueden ser percibidas o pagadas en

intervalos iguales de tiempo las cuales incluyen intereses determinados con inters

compuesto.

Clasificacin:

De acuerdo a la certeza de la renta.

Cierta: existe la certeza absoluta de que ser percibida o pagada. Ej.: Sueldo.

- Incierta: es aquella que ocurrir solamente si se provoca un evento que no es

controlable. Ej.: seguro de vida.

De acuerdo al agotamiento de capital.

Temporal: el capital se agota, la duracin del pago se fija. Ej.: Prstamo.

Perpetua: el capital no se agota, la duracin de pagos es indefinida. Ej.: pensin

vitalicia.

De acuerdo a la recepcin de la renta:

Vencida: percibida o pagada al final del perodo de renta. Ej.: sueldo.

Anticipada: percibida o pagada al inicio del perodo. Ej.: mensualidad escolar.

Segn convenio o contrato:

Inmediatas: percibidas o pagadas por la sola aceptacin del contrato.

Diferida: percibida o pagada despus de existir un cierto rendimiento. Ej.: perodo de

gracia, pago diferido.

Valor Presente de una serie de flujos

( )

( )

++= n

n

i1i1i1RP

P = valor presente.

R= renta o cuota

i = tasa de inters

n = N de cuotas

Ejemplo

Una persona solicita un prstamo y debe cancelar la deuda en 2 aos con cuotas

mensuales iguales de $24.000. Cul es el valor hoy del prstamo si la tasa de

inters es del 1% mensual?

( )( )

++= 24

24

01,0101,0101,01000.24P 841.509P =

Valor Futuro de una serie de flujos

Corresponde a la de los valores futuros de cada uno de los flujos que componen la

renta.

( )

+=

i1i1RF

n

Ejemplo1

Cunto se obtiene al depositar durante 6 meses la suma de $150.000 si al final de

cada mes se deposita la cuota y la tasa de inters es de 1,25% mensual compuesto?

( )

+=0125,0

10125,01000.150F5

598.928F =

Renta, calcular la cuota

Ejemplo2

Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un prstamo de $1.200.000

pagadero en 12 cuotas mensuales considerando 1,8% de inters con capitalizacin

mensual.

+

+=

1208,01

1208,0

11208,01

R000.200.1

12

029.97R =

Renta Cierta Temporal Inmediata Anticipada

Se pagan o perciben al INICIO del perodo de renta. De ella se calcula:

Valor Presente (Sumatoria de valores presentes de cada uno de los flujos de renta

( )( )

++= n

n

i1i1i1RP

Ejemplo

Calcular el valor de contado (valor de hoy, valor presente) de una propiedad vendida a

11 aos plazo con pago de $350.000 mensuales por mes anticipado a una tasa de

inters de 8% convertible mensual.

+

+=

131

1211

1208,01

1208,0

11208,01

000.350P 612.864.30P =

Valor Futuro (Sumatoria de valores futuros de cada uno de los flujos de renta)

( )

+=i

1i1RFn

Ejemplo

Una persona arrienda una casa en $250.000 pagaderos por mes anticipado. Si tan

pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que paga el 1,5% mensual.

Cul ser el monto de sus ahorros al final del ao?

( )

+=015,0

1015,01000.250F12

303.260.3F =

Renta (Cuota)

Qu suma debe depositarse al principio de cada ao en un fondo que abona el 6%

para proveer la sustitucin de mquinas, cuyo costo es de $2.000.000 con una vida

til de 5 aos y un valor residual estimado de 10% del costo.

000.000.2Vbien = 000.200Vresidual =

aos5VidaUtil = %6i =

000.800.1VV residualbien =

( )( )

++= 4

5

06,0106,0106,01R000.800.1 126.403R =

CLASES 15 y 16

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Confeccionan Tablas de Amortizacin segn sistema francs Identifican particularidades de otros sistemas de amortizacin - Comparan grficamente las tasas de inters ofrecidas por diversas casas comerciales (mensualmente, trimestralmente, semestralmente etc.) - Construyen tablas de Amortizacin, para diferentes valores de crditos, tasas y perodos

Amortizacin: Definicin. Distinciones de los Sistemas de Amortizacin y sus caractersticas. Sistemas de amortizacin Francs, Alemn, Americano Inters y Tablas de Amortizacin

Amortizacin

Extinguir una deuda, pagando una cuota que se compone por los intereses ms el

capital amortizado.

Es la devolucin a travs de una serie de pagos o plazos regulares del capital

prestado pagando tambin los intereses que sobre ella (deuda) se devengan.

En este sistema cada pago amortiza una parte de la deuda y el inters

correspondiente al perodo. Las cuotas incluyen inters y amortizaciones del capital y

por lo general de igual monto.

Ejemplo

Se obtiene un prstamo de $20.000.000 se acuerda pagar 48 cuotas mensuales con

una tasa del 12% anual capitalizable mensual.

Tasa mensual

2. Calcular la cuota (o renta) (R)

+

+= 48

48

12012,01

12012,0

112012,01

R000.000.20 677.526R =

3. Tabla Amortizacin para los ltimos 4 meses.

PERIODO CUOTA INTERES CAPITAL

AMORTIZADO

DEUDA

RESIDUAL

2.055.074

45 526.677 20.551 506.126 1.548.948

46 526.677 15.489 511.188 1.037.760

47 526.677 10.378 516.299 521.461

48 526.677 5.215 521.461 (+1)

* Para calcular la Deuda Residual:

( )( )

++= 4

4

06,0101,0101,01677.526P 074.055.2P =

* Para calcular el capital amortizado:

rtizadoCapitalAmoInteresCuota = * Para calcular el Inters:

Deuda Residual intereses mensuales. Ejercicios

1.- Si Ud. al comprar se compromete a pagar 10 cuotas mensuales de $150.000.

Determine el valor contado del artculo si la tasa de inters del crdito es del 2,8%

mensual efectiva.

R= 150.000

i = 2,8% mensual

n = 10 cuotas mensuales

ntaVencidaRe

esentePrValorlValorActuadoValorConta ==

( )( )

++= 10

10

028,01028,01028,01000.150P 690.292.1P =

2.- Cunto se obtiene al depositar durante 5 meses la suma de $100.000. Si al final

de cada mes se deposita la cuota y la tasa de inters es del 3% mensual compuesta.

R= 100.000

i = 3%

n = 5 meses

ntaVencidaRe

oValorFutur

( )

+=03,0

103,01000.100F5

914.530$F =

3.-Si Ud. solicita un prstamo de 200 UF pagaderas en 32 cuotas iguales de pago

vencido. Si la tasa de inters efectiva del perodo es de 2,1778%. Cul es el valor

de la cuota a cancelar?

R =?

i = 2,18%

n = 32 cuotas

P = 200 UF

esentePrValorlValorActuadoValorConta == ntaVencidaRe

( )( )

++= 32

32

0218,010218,010218,01R200 UF75,8R = (valor cuota)

Agregado en clases oValorFutur

( )

+=0218,0

10218,0175,8F32

UF399F =

4.- Una persona deposita $200.000 al final de cada ao, durante 15 aos en una

cuenta de ahorros que paga el 8% de inters. Hallar el monto al efectuar el ltimo

pago.

ntaVencidaRe

P = 200.000

n = 15 aos

i = 8%

( )

+=08,0

108,01000.200F15

423.430.5F =

5.- A cuanto deben ascender los ahorros previsionales de una persona que jubilara

dentro de 12 aos. Si la AFP ofrece una rentabilidad anual y se deja una pensin

mensual de 32 UF por 14 aos

ntaVencidaRe

12UF32R mensual = anualUF384R =


( )( )

++= 14

14

034,01034,01034,01384P 75,221.4P =

6- Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un prstamo de $1.200.000

pagaderas en 144 cuotas mensuales, considerando un 8% de inters con

capitalizacin mensual.

ntaVencidaRe

P =12.000.000

n = 144

i = 8% (/12)

+

+= 144

144

1208,01

1208,0

11208,01

R000.000.12 894.129R =

Agregado en clases oValorFutur

+=

1208,0

11208,01

894.129F

144

671.240.31F =

7.- Halle el monto y el valor actual de una anualidad de $50.000 pagadera

semestralmente durante 7 aos y 6 meses al 8,6% capitalizable semestralmente


R =50.000

n = 7 aos y 1 semestre

i = 8,6% (/2 son semestres)

( )( )

++= 15

15

043,01043,01043,01000.50P 437.544P =

oValorFutur

( )

+=043,0

1043,01000.50F15

793.023.1F =

8- Una persona viaja fuera de la ciudad deja una propiedad en arriendo por 5 aos

con la condicin que se pague $900.000 por trimestre vencidos que sern

consignados en una cuenta de ahorro que paga el 8% anual nominal. Halle el monto

en los 5 aos y el valor actual del contrato de arriendo

ntaVencidaRe


R =900.000

n = 5 aos (*4 son trimestres)

i = 8% (/4 son trimestres)

( )( )

++= 20

20

02,0102,0102,01000.900P 290.716.14P =

oValorFutur

( )

+=02,0

102,01000.900F20

633.867.21F =

III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

1. Problemas de Inters Simple

Formulas de Inters Simple

I = C * t * i

VF =C (1 + i * t)

C =VF (1 + i * t)-1

VF = C + I

I = inters; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el inters simple comercial de:

a $2.500 durante 8 meses al 8%.

C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08

133$08,0128500.2 ==I

b. $60.000 durante 63 das al 9%.

I =$60.000 t =63 das i =0,09

945$09,036063000.60 ==I

c. $12.000 durante 3 meses al 8 %.

C =12.000 t =3 meses i =0,085

255$085,0123000.12 ==I

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre.

Del mismo ao.

C =$15.000 i =0,10 t =167 das

696$10,0360167000.15 ==I

Calcular el inters simple comercial de:

a. $5.000 durante 3 aos 2 meses 20 das al 0,75% mensual.

C = 5.000 i = 0,0075 t =38,67 meses

3aos *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses +

3020 meses = 38,67 meses

I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta

Nota: Fjese que en este ejercicio la tasa esta expresada en meses por lo que debe

transformarse el tiempo tambin a meses

b. $8.000 durante 7 meses 15 das al 1,5% mensual.

C = $8000 t =7,5 i = 0,015

mesesmeses 5,730157 =+

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900.

1.2 Un seor pag $2.500,20 por un pagar de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996

a una tasa del 41/2 % de inters. En qu fecha lo pag?

VF = 2.500,20

C =2.400

i = 0.045

t =?

VF = C (1 + i * t)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

0,04175=0,045 t

t = 0,9277 aos Respuesta 10 de marzo de 1997

Un inversionista recibi un pagar por valor de $120.000 a un inters del 8% el 15 de

julio con vencimiento a 150 das. El 20 de octubre del mismo ao lo ofrece a otro

inversionista que desea ganar el 10%. Cunto recibe por el pagar el primer

inversionista?

000.12436015008,01000.120 =

+=VF

201.122360531,01000.124

1

=

+

Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de inters. Si el pagar

tiene como clusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que

exceda al plazo fijado qu cantidad paga el deudor, 70 das despus del

vencimiento?

280.1412308,01000.14 =

+=VF

558.14$3607010,01280.14 =

+=VF (Valor de mora)

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagar de $ 20.000 con vencimiento para el

13 de agosto y recibe $19.559,90. A qu tasa de descuento racional o matemtico

se le descont el pagar?

)1( tiVPVF +=

)360901(90,559.19000.20 += i

i =0, 09 o 9%

Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8

meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6

meses y un ao, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagars al 8% de

rendimiento (tmese como fecha focal dentro de un ao).

200.2112908,01000.201 =

+=VF

427.1612408,01000.162 =

+=VF

Deuda = 21.200 + 16.427

Deuda = 37.62

Pagos

xxP 04,112608,011 =

+=

xP =2

Pagos = 21 PP + Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagars 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debes llevarse los valores

de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar

operaciones sobre estos valores.

2. Problemas de Descuento

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de inters simple he aqu sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor lquido de los pagars, descontados en un banco a las tasas y

fechas indicadas a continuacin:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 das de su vencimiento.

750.19360451,01000.20 =

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

730.1712209,01000.18 =

c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el

18 de septiembre del mismo ao.

704.133609508,01000.14 =

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es

para el 14 de febrero del ao siguiente.

761.9$360861,01000.10 =

2.2. Se vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de

cierto ao:

a. $20.00 de contado

b. Un pagar por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo ao.

c. Un pagar por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo ao.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de

la venta.

a. 20.000 contado

b. 540.193609209,01000.20 =

c. 853.2836015309,01000.30 =

Total =20.000 + 19.540 + 28.853 = $68.393

Un pagar de $10.000 se descuenta al 10% y se reciben del banco $9.789.

Calcular la fecha de vencimiento del pagar.

10.000=9.789 (1+0.1 * t)

t = 0,21 aos

0,21 aos * 12 meses = 2,52 meses

El Banco Ganadero descuenta un pagar por $80.000 al 10%, 90 das antes de su

vencimiento, 5 das despus lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular

la utilidad del Banco Ganadero.

000.78360901,01000.80 =

500.783607509,01000.80 =

Utilidad 78.500-78.000=$ 500

Qu tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700

dlares, si se descont a 60 das antes de su vencimiento y se recibieron 666,67

dlares netos?

+=36060167,666700

i = 0.30 o 30%

Cul es el valor nominal de un pagar por el cual se recibieron 146,52 dlares, si se

descont comercialmente a un tipo de 49%, 85 das antes de su vencimiento?

=3608549,0152,146 VF

VF = 165,68 dlares.

3. Transformacin de Tasas

Mtodo de igualacin

Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable

mensualmente

1212

124

31

418,01

+=

+ ntmn

T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 o 17,01% R.

l capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable

trimestralmente.

44

44

21

412,01

+=

+ nsct

Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 o 6% R.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

( ) ( ) 6662 122,01 eb+=+ Tasa efectiva bimensual = 0,06852 o 6,85%

Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral

capitalizable semestralmente.

( ) ( ) 2221 2152,01 +=+ ntcs Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 o 11,54%.

4. Problemas de Inters Compuesto

Formulas de Inters Compuesto:

( )niCM += 1 ( ) niMC += 1

M = monto o tambin llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con

capitalizacin trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 aos.

i = 0,15 efectiva trimestral

n = 10 aos

M = 20.000

C =?

410

415,01000.20

+=C

C =4.586,75 Respuesta

Cuntos meses deber dejarse una pliza de acumulacin de $2.000 que

paga el 3% anual, para que se convierta en $7.500?

n =?

C = 2.000

i = 0, 03

M =7.500

7.500 = 2.000 (1 +0, 03) n

ln 15/4 = n ln 1,03

n = 44,71 aos

44,71 aos * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

Hallar el valor futuro a inters compuesto de $100, para 10 aos:

a. al 5% efectivo anual

M = 100 (1 + 0,05) 10 = 162,89 Respuesta

b. al 5% capitalizable mensualmente

( )1210

1205,01100

+=M

=M 164,20 c. al 5% capitalizable trimestralmente

( )410

405,01100

+=M

M =164,36

d. al 5% capitalizable semestralmente

( )210

205,01100

+=M

M = 163,86

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante

10 aos 4 meses.

( ) 1241008,01000.20 +=VF VF = 44.300,52

Qu tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable

trimestralmente?

22

24

2..1

408,01

+=

+ scn

i =0,0808 o 8,08% Respuesta

Hallar la tasa nominal capitalizable semestralmente, a la cual $10.000 se convierten

en $12.500, en 5 aos.

10

21000.10500.12

+= i

i =0,0451 o 4,51%

Cuntos aos deber dejarse un depsito de $6.000 en una cuenta de ahorros que

acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

10.000=6.000 (1+ 0,08) n

n = 13,024 /2

n = 6,512 aos

Qu es ms conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar

el capital invertido cada 10 aos, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el

6% capitalizable trimestralmente?

M =2

C = 1

2=1(1+ i)10

i = 7,17% sociedad maderera

--------------

40

406,011

+=M

M =1,8140 no duplico

Respuesta es ms conveniente la sociedad maderera

Una inversionista ofreci comprar un pagar de $120.000 sin inters que vence dentro

de 3 aos, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio

ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08) 3

C = 95.259,87

Hallar el VF a inters compuesto de $20.000 en 10 aos, a la tasa del 5% de inters.

Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, capitalizable mensualmente.

VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89

VF = 20.000120

1205,01

+ = 32.940,19 capitalizable mensualmente.

5. Problemas de Anualidades Vencidas

Formulas de Anualidades Vencidas

( )

+=iiAF

n 11 Valor Futuro

( )

+=

iiAP

n11 Valor presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas

ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 aos al 8%, capitalizable semestralmente.

( )

+=04,0

104,01000.217

F

F =47.395,07 valor futuro

( )

+=

04,004,011000.2

17

P

P = $24.331,34 valor presente

(b) $4.000 anuales durante 6 aos al 7,3%, capitalizable anualmente.

=F ( )

+073,0

1073,01000.46

F = 28.830,35 valor futuro

( )

+=

073,0073,011000.4

6

P

P = 18.890,85 valor presente

(c) $200 mensuales durante 3 aos 4 meses, al 8% con capitalizacin mensual.

( )

+=0067,0

10067,0120040

F

F = 9.139,68 valor futuro

( )

+=

0067,00067,011200

40

P

P = 6.997,26 valor presente

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes

condiciones: 20.000 dlares de contado; 1.000 dlares por mensualidades vencidas

durante 2 aos y 6 meses y un ltimo pago de 2.500 dlares un mes despus de

pagada la ltima mensualidad. Para el clculo, utilizar el 9% con capitalizacin

mensual.

i =0,09/12=0,0075

( ) 08,775.260075,0

0075,011000.130

=

+=

P

09,983.1)0075,01(500.2 31 =+ 26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 dlares

Cul es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: 14.000

dlares de cuota inicial; 1.600 dlares mensuales durante 2 aos 6 meses con un

ltimo pago de 2.500 dlares, si se carga el 12% con capitalizacin mensual?

i =0,12/12=0,01

( ) 33,292.4101,0

01,011600.130

=

+=

P

44,836.1)01,01(500.2 31 =+ 41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 dlares

Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $8.000.000 y se estima que

se agotar en 10 aos. Hallar el valor presente de la produccin, si el rendimiento

del dinero es del 8%.

( ) 19,651.680.5308,0

08,011000.000.810

=

+=

P

En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habr activos recuperables

por el valor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si

estas representan el 25% de la produccin.

( ) 23,790.69408,01000.500.1 10 =+ 8,420162.1325,019,651.680.53 = 694.790,23 + 13.420.162,80 = $14.114.953,03

En el momento de nacer su hija, un seor deposit 1.500 dlares en una cuenta

que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaos. Al cumplir 12 aos,

aumento sus consignaciones a 3.000.dlares. Calcular la suma que tendr a

disposicin de ella a los 18 aos.

( ) 23,968.2408,0

108,01500.111

=

+=F

( ) 16,791.4208,0123,968.24 7 =+

( ) 41,768.2608,0

108,01000.37

=

+=F

03,994.5)08,01(500.1 18 =+ 42.791,16 + 26.768,41 + 5994,03 = 75.553,60 dlares

Una persona deposita 100 dlares al final de cada mes en una cuenta que abona el

6% de inters, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de

20 aos.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

( ) 09,204.46005,0

1005,01100240

=

+=F Dlares

6. Problemas de Anualidades Anticipadas

Formulas de Anualidades Anticipadas

( )

++=iiiAF

n 11)1( Valor Futuro

( ) ( )

++=

iiiAP

n111 Valor Presente


Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 aos de plazo, con

pagos de 3.000 dlares mensuales por mes anticipado, si la tasa de inters es del

12% capitalizable mensualmente.

( ) ( ) 64.464.25201,0

01,01101,01000.3180

=

++=

P Dlares

Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) 400.000 euros

de contado; (b) 190.000 euros de contado y 50.000 euros semestrales, durante 2

aos (c) 20.000 euros por trimestre anticipado durante 3 aos y un pago de 250.000

euros , al finalizar el cuarto ao. Qu oferta debe escoger si la tasa de inters es del

8% anual?

Oferta b

( ) ( ) 76,494.23104,0

04,01104,01000.505

=

++=

P

76,494.421000.19076,494.231 =+=P

Oferta c

( ) 96,736.21502,0

02,011)02,01(000.2012

=

++=

P

( ) 46,757.18308,01000.250 4 =+ 215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42

Respuesta = Oferta b es la ms conveniente.

Cul es el valor presente de una renta de 500 euros depositada a principio de cada

mes, durante 15 aos en una cuenta de ahorros que gana el 9%, capitalizable

mensualmente?

( ) 42,666.490075,0

0075,011)0075,01(500180

=

++=

P Euros

Qu suma debe depositarse a principio de cada ao, en un fondo que abona el 6%

para proveer la sustitucin de los equipos de una compaa cuyo costo es de

$2.000.000 y con una vida til de 5 aos, si el valor de salvamento se estima en el

10% del costo?

2.000.000 * 0.10= 200.000

2.000.000 - 200.000 = 1.800.000

( )

++=06,0

106,01)06,01(000.800.15

A

A = 301.239,17 Respuesta.

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada ao, por el equivalente en

pagos mensuales anticipados, con un inters del 9% capitalizable mensualmente.

( ) ( )

++=0075,0

10075,010075,01000.812

A

A = 634,85 Respuesta.

Un empleado consigna 300 dlares al principio de cada mes en una cuenta de

ahorros que paga el 8%, mensualmente. En cunto tiempo lograr ahorrar $30.000

Respuesta: n = 76,479 meses

7. Problemas de Anualidades Diferidas

Formulas para anualidades diferidas

Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen

un periodo de gracia.

Una compaa adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniera

muestran que los trabajos preparatorios y vas de acceso demoraran 6 aos. Se

estima que los yacimientos en explotacin rendirn una ganancia anual de

$2.400.000. Suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se

agotarn despus de 15 aos continuos de explotacin, hllese el valor futuro de la

renta que espera obtenerse.

( )

+=08,0

108,01000.400.215

VF

VF = 65.165.073,43

En el problema anterior, hllese el valor de utilidad que espera obtener, en el

momento de la adquisicin de los yacimientos.

( ) 85,542748.2008,0

08,011000.400.215

=

+=

VP

20.542.748,85 (1 + 0,08) 6 = 12.945.416

Una compaa frutera sembr ctricos que empezaran a producir dentro de 5 aos. La

produccin anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendr por espacio

de 20 aos. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la produccin.

( ) 487,968.587.406,0

06,011000.40020

=

+=

VP

VP = 4.587.968,487 (1 + 0,06) 5 = 3.428.396,90

Una persona deposita 100.000 euros en un banco, con la intencin de que dentro de

10 aos se pague, a l o a sus herederos, una renta de 2.500 euros, a principio de

cada mes. Durante cuntos aos se pagar esta renta, si el banco abona el 6%

capitalizable mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67

( ) ( )

++=

005,0005,011005,01500.267,939.181

n

n = 90,13

Respuesta = 7 aos 7meses

8. Problemas de Rentas Perpetuas

Formulas de Rentas Perpetuas

iAP=

iAAP +=

iComCoCC +=

P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado;

i = inters

Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se har dentro

de 6 meses, con tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente

000.50001,0

000.5 ==P

M =500.000(1 + 0,01) 5 = 475.732,84

Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por ao vencido, suponiendo un

inters de:

a. 6% efectivo

000.600.206,0000.156 =

b. 6% convertible semestralmente

( )

+=03,0

103,01000.1562

A

29,847.76=A

35,576.561.203,0

29,847.76 ==P

c. 6% convertible mensualmente.

( )

+=005,0

1005,01000.15612

A

A = 12.646,36

61,272.529.2005,0

36,646.12 ==P

Los ex alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para

su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima

en $35.000 anuales, hallar el valor de la donacin, si la tasa efectiva es del 7%.

000.70007,0000.35000.200 =+=P

Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide

establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en

$300.000 cada 5 aos. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.

( )

+=06,0

106,01000.3005

A

300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

A = 53.218,92

982.88606,0

92,218.53 ==P

Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una

vida til de 12 aos, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo.

Calcular con la tasa del 6%.

( )

+=06,0

106,01000.80012

A

A = 47.421,62

06,0

62,421.47000.800 +=CC

CC = 1.590.360,39 Respuesta.

En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de

salvamento igual al 15% del costo original.

000.12015,0000.800 =

( ) =

+=06,0

106,01000.68012

A

A = 40.308,38

06,0

38,308.40000.800 +=CC

CC = 1.471.806,33 Respuesta

Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de mquina, ambas de igual

rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida til de 7

aos; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida til de 10

aos. Si el precio del dinero es el 6% efectivo, qu oferta es ms conveniente?

Primera oferta

( )

+=06,0

106,01000.3807

A

A = 45.271,30

06,0

30,271.45000.380 +=CC


Segunda Oferta

( )

+=06,0

106,01000.51010

A

A = 38.692,66

06,0

66,692.38000.510 +=CC


Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86

9. Problemas de Amortizacin


( )

+=

iiAF

n 11 Valor Futuro

( )

+=

iiAP

n11 Valor Presente


Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

9.1 Una deuda de 20.000 dlares debe amortizarse con 12 pagos mensuales

vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de

amortizacin para los dos primeros meses.

12

121

121)08,01(

+=+ em

31043,6 =i

( )

+=

0064,00064,011000.20

12

A

A = 1.737,19 Respuesta

Fecha Periodo Cuota Inters Amortizacin Saldo

0 0 1.737,19 0 0 20.000

0 1 1.737,19 128,68 1.608,50 18.391,49

0 2 1.737,19 118,33 1.618,85 16.772,63

0 3 1.737,19 107,91 1.629,27 15.143,36

0 4 1.737,19 97,43 1.639,75 13.503,60

0 5 1.737,19 86,88 1.650,30 11.853,30

0 6 1.737,19 76,26 1.660,92 10.192,37

0 7 1.737,19 65,57 1.671,61 8.520,26

0 8 1.737,19 54,82 1.982,36 6.838,40

0 9 1.737,19 43,99 1.693,18 5.145,21

0 10 1.737,19 33,10 1.704,08 3.441,13

0 11 1.737,19 22,14 1.715,04 1.726,08

0 12 1.737,19 11,10 1.726,08 0

Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos as; $100.000 al contado y el saldo

en 8 cuotas iguales semestrales con inters del 10% convertible semestralmente.

Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago

300.000 100.000 = 200.000

000.200000.100000.300 =

( )

+=

05,005,011000.200

8

A

A = 30.944,36

( )

+=

05,0105,0136,944.30

5

F

F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]

0,05

F = 170.987,13

M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

D. comprador + 84.269,17 = 300.000

D comprador = 215.730.83

Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de 9.500 dlares se pagara la

adquisicin de un terreno que cuesta 29.540 dlares si se carga una tasa anual de

34% capitalizable mensualmente?

Conversin de la tasa

( )si+=

+ 11236,01

6

Inters semestral = 0,1825

( )

+=

1825,01825,011500.9540.29

n

ln 0,4325 = - n ln(1,1825)

-0,838 = -n (0,1676)

n = 5 pagos semestrales Respuesta

Determine el nmero de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a

crdito de un automvil que cuesta 48.000 euros y se vende con un enganche de 45%

y el resto a pagar en mensualidades vencidas de 1.254,75 euros con inters al 39%

capitalizable mensualmente.

Enganche: 21.600 euros

Quedan: 26.400 euros

1239,0=i

i = 0,0325

( )

+=

0325,00325,01175,254.1400.26

n

n = 36 mensualidades Respuesta

10. Problemas de Fondo de Amortizacin


( )

+=iiAF

n 11 Valor Futuro

( )

+=

iiAP

n11 Valor Presente


Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

10.1 Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable

semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 aos y elaborar el cuadro del fondo.

03,0206,0 =

( ) 39,319.5703,0

103,01000.510

=

+=F

Fecha Periodo Cuota Inters Valor

agregado al

fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 5.000 0 5.000 5.000

0 2 5.000 150 5.150 10.150

0 3 5.000 304,5 5.304,5 15.454,5

0 4 5.000 463,63 5.463,63 20.918,13

0 5 5.000 627,54 5.627,54 26.545,67

0 6 5.000 796,37 5.796,37 32.342,04

0 7 5.000 970,26 5.970,26 38.312,31

0 8 5.000 1.149,36 6.149,36 44.461,68

0 9 5.000 1.333,85 6.333,85 50.795,53

0 10 5.000 1.523,86 6.523,86 57.319,39

Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 aos plazos, se establecen reservas anuales

en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos aos eleva sus intereses al 7%.

Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

( )

+=06,0

106,01000.805

A

A = 14.191,71 Primeros dos aos

( )

+=06,0

106,0171,191.142

F

F = 29.234,92

M = 29.234,92 (1+ 0,07) 3 = 35.814,04

( )

+=07,0

107,0195,185.443

A

11,744.13=A Los tres ltimos aos


agregado al

fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 14.191,71 0 14.191,71 14.191,71

0 2 14.191,71 851,502 15.043,21 29.234.92

0 3 13.744,11 2.046,44 15.790,56 45.025,48

0 4 13.744,11 3.151,78 16.895,89 61.921,38

0 5 13.744,11 4.334,49 18.078,61 80.000

Un municipio emite obligaciones a 10 aos de plazo por $2.000.000 que devengan el

8% de inters. Qu depsitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y

que egreso anual tendr el municipio hasta el pago de la deuda?

000.16008,0000.000.2 =

( )

+=06,0

106,01000.000.210

A

A = 151.735,92 depsitos anuales

151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso anual

Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de inters, para cancelar en 25

aos una deuda de $100.000.

( )

+=07,0

107,01000.10025

A

A = 1.518,05 depsitos anuales

Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para

pagarla se decide constituir un fondo mediante depsitos bimestrales vencidos cul

sera el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversin que

rinde el 26% convertible mensualmente?

( ) ( ) 66612 126,01 bimestrali+=+ i = 0,04380

( )

+=04380,0

104380,01000.296

A


Haga una tabla que muestre la forma en que amortizara una deuda de $15.000

contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con inters al 12% trimestral

capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depsitos

quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual

efectivo.

( ) 24242412 .1)0279,01( qe+=+ Efectiva quincenal = 0,0134

( )

+=0134,0

10134,0196,872.166

A



agregado al

fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 2.719,34 0 2.719,34 2.719,34

0 2 2.719,34 36,46 2.755,81 5.475.16

0 3 2.719,34 73,42 2.792,76 8267,92

0 4 2.719,34 110,87 2.830,22 11.098,14

0 5 2.719,34 148,82 2.868,17 13.966,32

0 6 2.719,34 187,28 2.906,63 16.872,96

IV EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

EJERCICIOS INTERES SIMPLE

N 1.- Se tienen dos capitales que suman $1.500.000. Se colocan a tasas diferentes y

la diferencia de las tasas es de 0,04. Los intereses que se obtienen al cabo de un ao

son de $110.000. Si el primer capital se hubiera colocado a la tasa del segundo y

viceversa, los intereses obtenidos seran de $130.000.

Determine los capitales y las tasas.

R: P 1 = $500.000, P 2 =$1.000.000, i 1 =0.1, i 2 =0.06

N 2.- Una persona adeuda $500.000 que debe liquidar dentro de 8 meses y que ya

incluye los intereses, y $400.000 contratados hoy al 51 % para pagar dentro de seis

meses.

Si decide saldar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y otro

dentro de un ao, y la operacin se calcula al 55%, cul ser el importe de esos dos

pagos iguales?

a) Resuelva el problema utilizando la fecha para realizar los clculos (Fecha Focal)

la del primer pago.

b) Haga los mismos usando la fecha del segundo pago.

R: a) $594.910,49, b) $588.868,52

N 3.- Colocamos $3.000.000 al 52% anual de inters simple. A los cuatro meses la

tasa de inters baja al 36% anual, por lo cual decidimos retirar $1.000.000 de capital.

Determine el monto que retiraremos 14 meses despus de haber efectuado la

colocacin.

R: $3.120.000

N 4.- Dos capitales iguales se colocaron a inters simple. El primero al 45% anual

durante 5 meses y el segundo al 32% anual durante 9 meses. Determine la cantidad

de cada capital invertido si los montos recibidos de los dos capitales suman

8.496.250.

R: $3.500.000

N 5.- .Disponemos de 6.000.000 de euros para invertirlos en tres negocios a inters

simple. El primero de ellos devenga intereses a una tasa de 36% anual; el segundo

gana intereses al 30% anual; y el tercero a una tasa de 45% anual.

Qu cantidad debe colocarse en cada uno de los tres negocios, si se desea que

cada uno de ellos gane al ao los mismos intereses?.

R: P 1 =$2.000.000, P 2 =$2.400.000, P 3 =$1.600.00

N 6.- Una persona deposita $100.000 en una cuenta que paga 30% de inters anual.

Transcurrido un mes retira $ 20.000 y dos meses despus retira $30.000.

a) Elabore el diagrama temporal

b) Halle el saldo disponible a los seis meses contados a partir de la fecha del

depsito.

R: $60.250

N 7.- Elabore el diagrama temporal para una deuda que dentro de un ao es de

$6.000.000. La tasa de inters simple aplicada a la operacin es de 30% anual y se

quiere cancelar as: un pago de $4.000.000 a los seis meses y el saldo a un ao.

Calcule el monto del ltimo

pago. R:

$1.400.000

N 8.- Hoy se cumplen dos meses de que una persona consigui un prstamo por

$750.000 con un recargo del 45 % anual y vencimiento a cinco meses. Hace cuatro

meses, la misma persona, firm un pagar con un valor nominal de $1.500.000 a un

plazo de seis meses e intereses del 24 % anual.

Hoy hace un abono de $1.200.000 y acuerda con el banco liquidar su deuda con otro

pago dentro de cuatro meses y con recargos del 40 %. Por cunto ser ese pago?

Use como fecha focal:

El da de hoy b) El da del pago

R:

$1.188.365; $1.160.312

N 9. Una persona tiene dos capitales que ha colocado durante el mismo tiempo, el

primero le produce el 7 % de inters simple anual y el segundo el 10 % de inters

simple anual. El primero produce de intereses $ 1.000, el segundo que excede al

primero en $ 1.000 le produce en intereses $ 2.000. Halle:

a) Tiempo de colocacin b) Valor de cada capital

R: 68,5 meses; $3.500 y $2.500

N 10. Una persona coloca su fortuna al 8 % anual, un ao despus retira la cuarta

parte del capital inicial y deja el resto producir intereses durante cuatro meses,

despus de este tiempo retira una cuarta parte del capital inicial que quedaba

entonces colocado y deja el capital restante durante ocho meses ms.

El total de intereses ha subido a $ 10.000. Cul era el capital inicial?

R: $76.923

N 11.- Se coloca un capital al 19% anual de inters simple. Cuando termina el primer

ao, se recogen los intereses y se retira del capital un monto equivalente a 7/3 de los

intereses. Al finalizar el segundo ao, se vuelven a retirar los intereses y se retira del

capital un monto equivalente a 13/6 de los intereses. De este modo se logra que el

capital disminuya en 268.997,77. Hallar el capital inicial colocado.

R: $400.000

N 12.- Se colocan $4.000.000 a inters simple durante 3 aos. El primer ao a una

tasa de 24% anual y en los dos siguientes al 36% anual. Al final del mes 10 se retira

del capital el 50% de los intereses ganados hasta el mes ocho y al final del segundo

ao se deposita una cantidad igual al 75% del monto acumulado al final del mes 16.

Calcular el monto acumulado al final de los tres aos.

INTERES SIMPLE

Problema N 1.-

Calcular el inters que ganar un capital de 5.000.000 euros, colocado a una tasa del

36 % anual de inters simple durante un ao y siete meses.

Solucin: 2.850.000 euros

Problema N 2.-

Calcular la tasa de inters simple trimestral a la que debe colocarse un capital de

1.000.000 de dlares durante 9 meses para que produzca 240.000 dlares de

intereses

Solucin: 8%

Problema N 3.-

Durante cuantos semestres debe colocarse un capital de 1.200.000 euros para que

a una tasa de 15% semestral de inters simple devengue . 540.000 euros de

intereses?

Solucin: 3 semestres

Problema N 4.-

Qu cantidad debe colocarse durante 5 cuatrimestres, a una tasa de 27% anual de

inters simple, para que pueda reunirse un capital final de 5.800.000 euros


Problema N 5.-

Dos capitales iguales se colocan a inters simple durante 7 meses; el primero al 30%

anual y el segundo al 18% anual. Calcular el valor de los capitales iniciales si los

montos recibidos al final de los 7 meses suman 5.700.000 dlares

Solucin: 2.500.000 dlares

Problema N 6.-

Un inversionista coloca el 20% de su capital al 25% anual de inters simple; el 50% al

12% anual y el 30% al 10% anual. Al cabo de un ao, el inters devengado por el

inversionista es de 700.000 dlares. Calcular la cantidad de dinero que el

inversionista coloc en cada operacin.

Solucin: 1.000.000; 2.500.000; 1.500.000 dlares

Problema N 7.-

Se invierte un capital al 30% anual de inters simple. Transcurridos dos aos y tres

meses se retira la mitad del capital invertido. Ocho meses ms tarde se retira una

cantidad de dinero equivalente a la cuarta parte del capital invertido inicialmente.

Despus de 10 meses contados a partir del ltimo retiro comprobamos que el total de

intereses ganados asciende a 50.250.000 euros. Calcular el capital invertido

inicialmente.


Problema N 8.-

Se coloc un capital a inters simple durante dos aos. El primer ao al 24% anual y

el segundo ao al 36% anual. A los 7 meses se aport una cantidad de dinero igual a

los intereses ganados hasta esa fecha. El monto al final de los dos aos es de

3.157.700 dlares. Calcular el capital inicial.

Solucin: 1.750.000 dlares

Problema N 9.-

Se invierten $6.000.000 al 14% de inters simple durante 3 aos y 6 meses para

pagar una deuda que vence al final de ese mismo lapso. Cuando han transcurrido 18

meses la tasa de inters disminuye a 11% anual. Calcular el depsito adicional que

debe hacerse para cumplir con la obligacin en el tiempo convenido.

Solucin: $295.081,96

Problema N 10.-

Para reunir $2.700.000 en un plazo de 48 meses hace el depsito necesario en un

instituto financiero que paga el 20% anual de inters simple. Al solicitar la cantidad

ahorra al final de los 48 meses, recibo $2.600.000. Al preguntar la causa me

contestan que a partir de cierto momento la tasa disminuye a 12% anual de inters

simple y 6 meses antes de vencerse el plazo, la tasa volvi a su valor inicial de 20%

anual. Calcular en cules meses se aplic la tasa de 12% anual.

Solucin: Entre el mes 32 y el mes 42

Problema N 11.-

Se coloca $5.000.000 a inters simple durante 6 aos. En los dos primeros aos a

una tasa de 24% anual; en el tercer ao al 36% anual y en los tres ltimos aos al

33% anual. A los 18 meses se realiza un aporte de capital igual al monto acumulado

hasta finales del mes 9 y al trmino del quinto ao se efecta un retiro de capital igual

a los intereses ganados hasta el final del cuarto ao. Calcular el monto acumulado al

final de los 5 aos.

Solucin: $14.586.430

Problema N 12.-

Se coloca un capital a inters simple durante 3 aos a una tasa de 24% anual. Al final

del mes 10 se retira del capital el 50% de los intereses ganados hasta el mes seis y

al final del segundo ao se deposita una cantidad igual al 25% del monto acumulado

al final del mes 15. Al final de los tres aos el monto acumulado es de $6.034.020.

Calcular el capital invertido.

Solucin: $3.000.000

Problema N 13.-

Se colocaron $ 5.000.000 a inters simple durante dos aos. El primer ao al 24%

anual y el segundo ao al 30% anual. A los 15 meses se retir una cantidad de

dinero igual al 10% del monto acumulado hasta los seis primeros meses. Calcular el

monto acumulado al final de los dos aos.

Solucin: $7.042.000

EJERCICIOS INTERES COMPUESTO

N 1.- Una persona pide prestada la cantidad de 800 euros. Cinco aos despus

devuelve 1.020 euros. Determine la tasa de inters nominal anual que se le aplic, si

el inters es:

a) Simple

b) Capitalizado anualmente

c) Capitalizado trimestralmente

d) Compuesto mensualmente R: a)

5,5%, b) 4,979%, c) 4,889%, d) 4,869%

N 2.- Una letra de $17.000 que vence en 10 aos, es ofrecida por $10.000. Estando

el dinero al 6% efectivo anual, cul ser la utilidad o prdida que se puede producir

en la compra de la letra?

R: -$507,29

N 3.- Cunto tiempo tardar una suma de dinero en quintuplicarse, si el inters a

que est invertida es el 6% nominal anual compuesto cada cuatro meses?

R: 27,09 aos

N 4.- Un capital de $10.000 se acumula durante 30 aos. El inters durante los

primeros 10 aos es del 5% efectivo. Durante los 10 aos siguientes, el 6% y los

ltimos 10 aos del 7%. Qu capital tendr al finalizar el tiempo?

R: 57.383,83

N 5.- Al comprar una persona un terreno, tiene las siguientes opciones:

a) 5.000 dlares de contado y 25.000 dlares dentro de cinco aos, o

b) $25.000 de contado.

Si el dinero puede invertirse al 6% anual capitalizado trimestralmente, cul de las

opciones es ms ventajosa?

R: La primera por 1.438,24 dlares

N 6.- Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institucin financiera la

cantidad de 5.000 dlares. La institucin le abona el 2% nominal anual compuesto

trimestralmente. Cinco aos ms tarde, nace una nia y entonces divide el monto del

depsito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. Qu cantidad

tendr cada uno cuando cumplan 21 aos?

R: 5.879,48 y 2.280,55 dlares

N 7.- Una compaa de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo con

un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen a la mayora de

edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe pagar la compaa por la

muerte de su asegurado es de 100.000 dlares. El inters que abona la empresa

aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal

anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las

edades de 16 y 18 aos respectivamente. Si cumplen la mayora de edad a los 21

aos, qu cantidad ha de recibir cada una?

R: 54.132,11 dlares

N 8.- Usted compra una pliza de vida con un valor de 25.000 dlares y paga por ella

una prima nica de 15.000 dlares. Si usted no se muere antes, la compaa le

pagar dentro de 20 aos la cantidad de 25.000 dlares. A qu inters nominal anual

compuesto semestralmente debe invertir la empresa aseguradora su capital, para

realizar una utilidad de 2.000 dlares en la pliza, si los gastos que sta le ocasiona

son de 500dlares ?.

R: 3,06%

N 9.- Cul ser el monto final acumulado en una cuenta que paga el 29% anual

compuesto mensualmente, si usted realiza depsitos anuales de 100.000 dlares al

final de cada uno de los prximos tres aos, abriendo su cuenta con la misma

cantidad hoy?.

R: 646.793,106 dlares

N 10.- Cunto dinero tendr que depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga

el 25% nominal anual capitalizado mensualmente, para poder hacer retiros de

200.000 euros al final de los prximos cuatro aos, quedando en la cuenta 100.000

euros una vez transcurridos los cuatro aos?.

R: 484.799,328 euros

N 11.- Una persona coloca el 60% de su capital a razn del 18% anual capitalizable

semestralmente durante 15 aos y el resto a razn del 20% nominal anual

capitalizable trimestralmente durante 15 aos. Si se conoce que el total de intereses

devengados durante el segundo quinquenio fue de 750.000 dlares , determine:

a) Capital inicial para cada inversin.

b) El monto total acumulado a l finalizar el dcimo ao.

R: a) 202.872,42, b) 1.253.476,04

N 12.- Se invierten 250.000 euros a una determinada tasa anual capitalizable

semestralmente para que al transcurrir 12 aos se obtenga como capital final

1.012.233,36 euros. Si al final de cada trienio a lo largo de toda la operacin

financiera la tasa anual se reduce en 1%, determine las cantidades adicionales

iguales a ser colocadas al final de los aos 6 y 10 para seguir disponiendo del mismo

capital final original.

R: 54.087,78 euros

N 13.- Un inversionista coloca dos capitales en un banco. Uno de ellos al 24% anual

con capitalizacin cuatrimestral y el otro al 24% anual con capitalizacin trimestral. Al

transcurrir 12 aos los montos de los dos capitales son iguales. Adems se conoce

que la diferencia de los intereses ganados en el segundo ao por los dos capitales es

de 1.538,576 dlares. Determine la cantidad de dinero que recibir el inversionista al

final de los 12 aos.

R: 5.588.976,28 dlares

N 14.- Un Banco presta a un cierto tipo de inters compuesto. Sabiendo que si se

cancela un prstamo a los cuatro aos, la cantidad a cancelar es un 21 % superior a

la cantidad necesaria para cancelar el mismo prstamo a los dos aos, cul sera el

tipo de inters nominal para pagos de frecuencia trimestral?.

R: 9,64 % nominal anual

N 15.- Se invierte un capital a razn de 36 % nominal anual capitalizado

cuatrimestralmente. Si se conoce que los intereses ganados durante un cierto ao

son de $500.000, determine el capital al final de ese ao.

R: $ 1.734.872,80

N16. Una persona deposita 20.000 euros en un Banco que abona el 6% de inters

compuesto anualmente. Si desde el fin del primer ao hasta el fin del cuarto ao retira

cada vez 1/5 de los intereses devengados en cada uno de esos aos. Determine el

monto

MATEM%C3%81TICA FINANCIERA MAT - 121

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