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CURSO DE MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS

Realiz: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE PUERTO PEASCO

2009En este curso se incluyen todos los temas que se estudiaran durante la materia matemticas administrativas, involucrando en la medida de lo posible problemas reales.

Curso Propedutico Matemticas Administrativas

ContenidoI: Funciones Matemticas Y Ecuaciones Lineales ................................................. 3 1.1 Definicin de Funcin. .................................................................................. 3 1.2 Dominio y Rango ............................................................................................. 5 1.3 La Lnea Recta ............................................................................................... 7 Primer Seccin Ejercicios ......................................................................................11 1.4 Representacin Grfica De Funciones ............................................................13 Segunda Seccin Ejercicios ..................................................................................14 II: Ecuaciones Y Funciones Lineales .....................................................................16 2.1 Ecuaciones Lineales .....................................................................................16 2.1.1 Ecuaciones Lineales Con 2 Incgnitas .........................................................17 Tercer Seccin Ejercicios ......................................................................................20 2.2 Funciones Lineales .........................................................................................22 2.2.1 Funcin De Ingreso ......................................................................................22 2.2.2 Funciones De Costo: ...................................................................................23 2.2.3 Funcin Utilidad. ...........................................................................................26 Seccin Cuarta Ejercicios .....................................................................................27 2.3 Modelos De Punto De Equilibrio .....................................................................28 Seccin Sexta Ejercicios .......................................................................................30 III. Algebra Matricial ...............................................................................................32 3.1 Matriz..............................................................................................................32 3.2 Operaciones Con Matrices .............................................................................33 Seccin Sexta de Ejercicios ..................................................................................36

Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales

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I: Funciones Matemticas Y Ecuaciones Lineales 1.1 Definicin de Funcin.

Una funcin es una relacin entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y. x es la variable independiente y es la variable dependiente

La funcin asocia a cada valor de x un nico valor de y. Se dice que y es funcin de x, lo que se escribe y = f(x). Las funciones sirven para describir fenmenos fsicos, econmicos, biolgicos, sociolgicos o, simplemente, para expresar relaciones matemticas:

La distancia recorrida por un auto al transcurrir el tiempo. El volumen de un lquido al aumentar la temperatura. El impuesto de circulacin que paga un vehculo en una ciudad segn la cilindrada del motor del mismo. El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma. Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).

La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

- Cada punto de la grfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y. - El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definicin de la funcin.

- Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los valores de las dos variables. Cundo una grfica no corresponde a una funcin?


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De las dos grficas que se muestran a continuacin, la de la izquierda corresponde a una funcin y la derecha no. Observa:

En sta a cada valor de x de la variable En sta hay algunos valores de la variable independiente (ejede abscisas) le independiente x a los que corresponden ms

corresponde un nico valor imagen y de la de un valor de la dependiente, lo que variable dependiente (ordenadas). contradice la definicin de funcin.

Ejemplo:

Para la funcin y

x3 4 x 2

20 x 10 , calcula:

a) f ( 1)

b) f (0)

c) f (2)

d) f (3)

El costo total en pesos de produccin de cierto fabricante est dado por la funcin

C

0.2 x 3 3 x 2

2, 000 para 0

x 35 unidades. Calcula.

El costo de fabricar 10 unidades. El costo de fabricar 15 unidades. El costo de fabricar 30 unidades.

3. La compaa elctrica de la localidad se vale del siguiente mtodo para calcular las facturas mensuales de una categora de clientes. Para cada cliente se determina un cargo mensual de $5 por concepto de servicio. Adems la compaa cobra $0.60 dlares por


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kilowatts-hora. A). Determine la funcin que expresa el cargo mensual de un cliente, en funcin de un nmero de kilowatts-hora. b). Con esta funcin calcule la cuenta mensual de un cliente que utiliza 725 kilowatts-hora. c) Y si utiliz 1200 Kw/hora?

4. El departamento de polica de una ciudad pequea, estudia la compra de un carro patrulla ms. Los analistas de la polica estiman que el costo del carro (subcompacto pero de gran potencia), completamente equipado, es de 18000 dlares. Han estimado tambin un costo promedio de 0.40 dlls. Por milla. a). Determnese la funcin matemtica que represente el costo total C de la obtencin y operacin del coche patrulla, en trminos del numero de millas que recorra. b) Cul es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 millas en su vida til? c) y si recorre 100 000 millas?

1.2 Dominio y RangoDominio de una funcin Llamado tambin conjunto de pre imgenes y esta dado por todas las primeras componentes de los elementos de la funcin.

Rango de una funcin Llamado tambin conjunto de imgenes y esta dado por todas las segundas componentes pertenecientes a la funcin.

Ejercicios Complementarios

Ejercicios:


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Determine si las siguientes ecuaciones son funciones o relaciones y halle el dominio y el rango de las que sean funciones:

1) y = x 15 2) y2 = x 3) y = 5 4) x = 10 5) y = x + 6

Cuando el precio de un producto esencial (como la gasolina) se eleva rpidamente, el consumo baja lentamente al principio. Sin embargo, si el precio contina elevndose, puede alcanzarse un punto de desplome, en el cual el consumo adquiere una repentina y sustancial cada. Suponga que la grfica siguiente muestra el consumo de gasolina G(t), en millones de galones, en una cierta zona. Suponemos que el precio est elevndose rpidamente. Aqu t es el tiempo en meses despus de que el precio comenz a elevarse. Usa la grfica para calcular lo siguiente:

a) G(12)

b) G(16) Interpreta el resultado.

3. Al fabricar un producto, una empresa incurre en costos de 2 tipos. Tiene costos fijos anuales por 200 000 Dlls. Sin importar el nmero de unidades producidas. Adems cada unidad producida le cuesta $8. Si C es el costo anual total en dlares y si x denota el nmero de unidades producidas durante un ao. a). determine la funcin C = f(x) que exprese el costo anual. b). Establezca el dominio y rango restringido de dicha funcin, si la capacidad mxima es de 300, 000 unidades al ao.

4. La funcin C(x) = 25X + 80000 expresa el costo total C(x) (en dlares) de fabricar x unidades de un producto. Si el numero mximo de unidades que pueden producirse es igual a 20 000, establezca el dominio y rango restringidos de esta funcin de costo.


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1.3 La Lnea RectaPENDIENTE Cualquier lnea recta, con excepciones de las lneas verticales, puede caracterizarse por medio de su pendiente. Por pendiente debe entenderse, bsicamente, la inclinacin de una recta, ya sea que sta suba o baje a medida que el observador se mueve de izquierda a derecha a lo largo del eje x, la tasa que la recta suba o baje (en otras palabras, su grado de inclinacin). La pendiente de una lnea puede ser positiva, negativa, cero o indefinida.

Pendientes de las condiciones de las rectas

La pendiente de una lnea se cuantifica por medio de un nmero real. El signo de la pendiente (nmero) indica si la lnea est subiendo o descendiendo. La magnitud (valor absoluto) de la pendiente indica la inclinacin relativa de la lnea. Si sobre una recta que no sea vertical hay dos puntos cualesquiera, es posible calcular la pendiente como una relacin del cambio en el valor de y, movindose de un punto a otro dividido entre el cambio correspondiente en el valor de x, es decir


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pendiente

Cambio en y Cambio en x y x

La frmula de los dos puntos es una manera de determinar la pendiente de una recta que une dos puntos.

Frmula de los dos puntos La pendiente m de la recta que une dos puntos con las coordenadas x1 , y1 y , x2 , y2 , respectivamente, es

m

y x

y2 x2

y1 x1

(3)

donde x1

x2

Forma de pendiente-interseccin La ecuacin de una funcin lineal puede expresarse en la forma pendiente-interseccin

y = mx + b interseccin con el eje y

(1)

Donde m representa la pendiente de la lnea que representa la ecuacin y b es la coordenada de la


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Ejemplo 1 Rescriba la siguiente ecuacin en la forma pendiente-interseccin y determine la pendiente y la interseccin.

-3x + 4y = 48

Se resuelve la ecuacin para la variable y , se obtiene

y

3 x 12 4

3 As pues, la pendiente es 4 y la interseccin con el eje y es igual a (0, 12).

Determinacin de la ecuacin de una lnea recta

i) Pendiente e interseccin con el eje y Determine la ecuacin de la lnea recta que tiene una pendiente de 7 y una interseccin con el eje y de (0, 10)

Si la pendiente de un recta es 2 y un punto que se encuentra en ella es (3,18) podemos sustituir estos valores en la ecuacin (1), obteniendo as

18 ( 2)(3) b b 18 6 24o bien


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Conocer que m = -2 y b = 24 conduce directamente a la ecuacin pendiente-interseccin con el eje y

y

2x 24

iii) Dos puntos

Ejemplo 3.3.4 Para determinar la ecuacin de la recta que pasa por (-4,4) y (-2,-8) Primero determinamos la pendiente de la ecuacin (3), lo cual da

m

4 ( 8) 4 ( 2) 12 6 2

Sustituyendo m =-6 y las coordenadas (-4,4) en la ecuacin (1) se obtiene

4 ( 6)( 4) b b 4 24 28

As pues, la forma de pendiente-interseccin con el eje y de la ecuacin es

y

6x 28


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Primer Seccin Ejercicios1.- Usando la forma general, determine la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)

2) Representa las siguientes rectas: a) y = 3x +2 b) y = -x +2 c) y = 5x -3 d) y = 5x +3 e) y = -x +4 f) y = -2x - 1

LEYES DE LOS SIGNOS La multiplicacin de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicacin de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.

Multiplicacin

Divisin

(+) por (+) da (+) (+) por (-) da (-) (-) por (+) da (-) (-) por (-) da (+)

(+) (+) (-)

entre entre entre

(+) (-) (+)

da da da

(+) (-) (-)

(-) entre (-) da (+)

Suma. Valor numrico (+) + (+) = + suma de valores absolutos. ------------------------- ( 4 ) + ( 2 ) = 6


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(-) + (-) = - suma de valores absolutos. ------------------------- (-7) + (-10) = -17 (+) + (-) = signo de l nmero con mayor valor absoluto. ( 20) + (-13) = 7 (-) + (+) = El valor numrico de la operacin es la diferencia de valores absolutos. Producto ( + ) ( + ) = + Valor numrico productos de los valores absolutos ( 3 ) ( 4 ) =12 ( - ) ( - ) = + (-6 ) (-5 )=30 ( + ) ( - ) = - ( 9 ) (-2 ) = 18 ( - ) ( + ) = - (-10 ) ( 4 ) = -40 Cociente +/+ = + 8 / 2 = 4 -/- = + Valor numrico divisin de los valores absolutos. -35 / -5 = 7 +/- = - 12 / -4 = -3 -/+ = - -72 / 3 = -24 Sustraccin (+) - (+) = + - ( 4 ) - ( 3 ) = 1 (-) - (-) = - + ( -9 ) - (-25 ) = 16 (+) - (-) = + + ( 10 ) - (-10 ) = 20 (-) - (+) = - - se invierte el signo de l sustraendo y se aplica leyes (-14 ) - ( 16 ) = 30 de signos para la suma.

Ejemplos : 1 ) [-2+6-4+9] + [-7+10-12+13] - [-4+6-16] = [15-6]+[23-19]-[6-20] = [9]+[4]-[-14] = 9+4+14= 27 2 ) [(-4+3-9+10)(6-10+25+4)] - [(-3+5+15-30)-(11+4-5)] = [(13-13)(35-10)]-[(20-33)-(15-5)] = [(0)(25)]-[(-13)-(10)] = -[-13-10] = -[-23] = 23 3 ) [(-2+4-16+20) (-16+15+17-14)] + [(4+3-13)-(9+3)] = [(24-18)(32-30)] + [(7-13)-(12)] = [(6) (2)] + [-6-12] = [3] + [-18] = -15


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Resuelva las siguientes operaciones con signos. (+4) (-4) = (-8) (-3) = (-10) (-10)= (-4.2) (-6) = (-8/-4) = (+1/-3) = (+14) - (-6) = (-25) + (-15) = (-18) - (-22) = (+2) (-18) (+7) (-12) = (+8.5) (-4) = (-5/+2) = (+18/-9) = (-18) (+0.333) + (-22) (0.666) = = (+18) (+2) = =

1.4 Representacin Grfica De FuncionesGRAFICACION DE ECUACION CON DOS VARIABLES Graficar la ecuacin lineal 4x 7y = 0

La grfica de esta ecuacin se obtiene identificando dos pares cualesquiera de valores x y y que satisfagan la ecuacin.

Solucin

Si x = 0,

4(0) 7y = 0 entonces y = 0

Si x = 7,


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4(7) 7y = 0 entonces y = 4

Por lo tanto dos miembros del conjunto solucin son, pues, (0,0) y (7,4). La figura muestra la grfica de la ecuacin.

Segunda Seccin EjerciciosEjercicios; grafique las siguientes funciones y explique si es lineal, cuadrtica o cbica. Y = f(x) = x - 4 Y = f(x) = x + 5 Y = f(x) = -x Y = f(x) = 3x + 2


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1 La compaa de mudanzas Ramrez cobra $70 por transportar cierta mquina 15 millas y $100 por transportar la misma mquina 25 millas. Determine la relacin entre la tarifa total y la distancia recorrida, suponiendo que es lineal. Cul es la tarifa mnima por transportar esta mquina? Cul es la cuota por cada milla que la mquina es transportada?

2 Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas ascienden a 2000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de 2400 unidades. Determine la ecuacin de demanda, suponiendo que es lineal.

3 Un fabricante de herramientas puede vender 3000 martillos al mes a $2 cada uno, mientras que slo pueden venderse 2000 martillos a $2.75 cada uno. Determine la ley de demanda, suponiendo que es lineal.

4 Bienes Races Georgia posee un complejo habitacional que tiene 50 apartamentos. A una renta mensual de $400, todos los apartamentos son rentados, mientras que si la renta se incrementa a $460 mensuales, slo pueden rentarse 47. Suponiendo una relacin lineal entre la renta mensual p y el nmero de apartamentos x que pueden rentarse, encuentre esta relacin. Cuntos apartamentos se rentarn, si la renta mensual aumenta a $500? Cuntos apartamentos se rentarn, si la renta disminuye a $380 mensuales?


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II: Ecuaciones Y Funciones Lineales 2.1 Ecuaciones LinealesEn matemtica y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico.

Resolucin De Sistemas De Ecuaciones LinealesEl objetivo de este apartado es examinar los aspectos numricos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma:

Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, x1, x2, ..., xn. Los elementos aij y bi son nmeros reales fijados.


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2.1.1 Ecuaciones Lineales Con 2 Incgnitas

Mtodo de sustitucinEs aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes o .

Despejamos la

de la primera ecuacin:

Sustituimos en la otra ecuacin:

Resolvemos la ecuacin resultante:

Para averiguar el valor de sustituimos el valor de 1

en la expresin obtenida el paso

Mtodo de igualacin

Despejamos

la

misma

variable

de

ambas

ecuaciones

Igualamos las dos expresiones anteriores


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Resolvemos la ecuacin resultante

Para calcular el valor de x sustituimos el paso 1

en cualquiera de las expresiones obtenidas en

Mtodo de reduccinCombinacin lineal de ecuaciones: se multiplica una ecuacin por un nmero, la otra por otro nmero y se suman. La ecuacin resultante de una combinacin lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.

El

mtodo

de

reduccin

consiste

en

eliminar

una

incgnita

del

sistema.

Vamos a eliminar la

. Para ello multiplico la ecuacin de arriba por 3 y la de abajo por 2:

Sumando ambas ecuaciones desaparecen las x y nos queda

Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda


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Mtodo de Gauss-JordanLa eliminacin de Gauss-Jordan, ms conocida como mtodo de Gauss, es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico. Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

Su matriz aumentada ser esta:

En primer lugar, reducimos la incgnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda as:

El siguiente paso consiste en eliminar la incgnita cual les sumamos la segunda multiplicada por

en la primera y tercera fila, para lo , respectivamente.

y por

Por ltimo, eliminamos la tercera multiplicada por

, tanto de la primera como de la segunda fila, sumndoles la y por , respectivamente.


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Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por ,

y

respectivamente, y obtener as automticamente los valores de las incgnitas en la ltima columna

Tercer Seccin Ejercicios 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2.

2x 3y 5x 4 y

4 33

El nmero total de pasajeros matutinos de cierta lnea de autobuses urbanos es de

1000. Si el pasaje de nio cuesta $2, el de adulto $4 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de $3400, cuntos nios y cuntos adultos utilizaron el autobs en la maana?

Kelly Fisher tiene un total de $30 000 invertidos en dos tipos de bonos que producen 8% y 10% de inters simple por ao, respectivamente. Si los intereses anuales que recibe suman $2640, cunto dinero ha invertido en cada bono?

Una mquina en una fbrica de cermica tarda 3 minutos hacer un tazn y 2 minutos en hacer un plato. El material para el tazn cuesta $0.25 y el material para un plato cuesta $0.20. Si la mquina funciona durante 8 horas y se gastan exactamente $44 en material, cuntos tazones y platos pueden producirse?


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La granja Johnson tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maz y trigo. El costo respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de $42 y $30 por acre. El seor Johnson dispone de $18600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente, cuntos acres debe plantar de cada cultivo?

Las tiendas McFrugal Snack planean contratar dos compaas de relaciones pblicas para encuestar 750 clientes por telfono y 250 personalmente. La compaa Garca tiene personal para hacer 30 encuestas por telfono y 5 encuestas personales por hora. La compaa Wong puede efectuar 10 encuestas por telfono y 10 personales por hora. Por cuntas horas debe contratarse cada compaa para obtener el nmero exacto de encuestas requeridas?

Una empresa electrnica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada transistor requiere 3 unidades de cobre, 1 unidad de zinc y 2 unidades de vidrio. Cada resistor requiere 3, 2 y 1 unidades de los tres materiales y cada chip requiere 2, 1 y 2 unidades de esos materiales, respectivamente. Cuntos de cada producto pueden fabricarse con 810 unidades de cobre, 410 unidades de zinc y 490 unidades de vidrio?

Una agencia de servicio social proporciona asesoramiento, comida y habitacin a clientes tipo I, II y III. Los clientes tipo I requieren un promedio de $100 para comida, $250 para habitacin y ningn asesoramiento. Los clientes tipo II requieren un promedio de $100 por asesoramiento, $200 para comida y ninguna habitacin. Los clientes tipo III requieren un promedio de $100 para asesoramiento, $150 para comida y $200 para habitacin. La agencia dispone de $25,000 para asesoramiento, $50,000 para comida y $32,500 para habitacin. Cuntos clientes de cada tipo pueden atenderse?


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2.2 Funciones Lineales

2.2.1 Funcin De IngresoEn el mbito administrativo se conoce como ingreso, a la cantidad total de dinero que obtiene una organizacin debido a la venta de sus productos o a la prestacin de sus servicios. Basndonos en este concepto puede verse claramente que el ingreso de cualquier organizacin depender directamente del precio al que venda sus productos o servicios, as como de la cantidad de servicios brindados o de productos vendidos. Matemticamente pudiera expresarse como: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Asumiendo que el precio de todos los productos es el mismo, sin embargo, si dicho precio variara, el ingreso total sera la suma de los ingresos individuales obtenidos por cada producto o servicio al precio en que se vendi. Ejemplo: 1. Una empresa en la que se fabrican relojes de pulso vende a sus clientes mayoristas dichos relojes a un costo de $120.00. Si para ser considerado como cliente mayorista necesitan hacer una compra de al menos 1000 productos. Cul ser el ingreso menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente mayoritario? Solucin: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso Total= ($120.00) (1000 productos) Ingreso total= $120,000.00 Ejemplo 2: Retomando el problema anterior, supngase que adems de vender 1000 relojes a un mayorista vende 500 a un medio mayorista al cual le ofrece un precio de $150.00. Cul ser su ingreso total? Solucin: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso total= ($120.00) (1000 productos) + ($150.00) (500 productos) Ingreso Total= $120,000.00 + $75, 000.00 Ingreso Total = $195, 000.00


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El ingreso de una empresa, en un determinado perodo de tiempo, est dado por las ventas de bienes o servicios en ese perodo. Por ello lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio. I = p. q Si la empresa comercializa n productos distintos, la funcin se define como I = p1q1 + p2q2+ . . . + pnqn que se podemos expresar

Es decir que el ingreso se determina como la suma de los productos de los precios por las cantidades vendidas de cada uno de los bienes.

2.2.2 Funciones De Costo:El costo es la expresin cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la produccin que se emplean para producir un bien o prestar un servicio. Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemtico simplificado de la realidad econmica. Iniciaremos diciendo que los costos de produccin de un bien o de prestacin de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo ms sencillo. Las funciones lineales cumplen un importante papel en el anlisis cuantitativo de los problemas econmicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hiptesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solucin es ms sencilla.

Costo lineal Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deber utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en funcin a la relacin con la produccin total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades


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de un artculo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciacin de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artculo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.) El costo total es la suma de ambos

Costo total = Costos fijos + Costos variables Si a los costos fijos de producir x artculos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una funcin constante de la forma f(x) = b Haciendo b = 6, confeccionamos la grfica correspondiente de CF (x) = 6

Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artculos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una funcin constante. Para simplificar nuestro anlisis supongamos la condicin de que el costo variable por unidad de artculo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales sern proporcionales a la cantidad de artculos producidos. Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del artculo sern ax pesos. Estamos en presencia de una funcin lineal de la forma g(x) = ax Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la funcin de costo variable: CV(x) = 0,8 x


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Como el costo total para producir x artculos es la suma de los costos anteriores, tenemos

CT(x) = CV(x) + CF(x) CT(x) = ax + b (funcin afn)

CT(x) = 0,8 x + 6


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2.2.3 Funcin Utilidad.La utilidad de una organizacin es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo total. Matemticamente pudiera expresarse como: Utilidad = Ingreso Total Costo total Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como ganancia, en caso contrario la utilidad sera negativa y recibe el nombre de prdida o dficit. Cuando tanto la funcin de ingreso como la de costo son funciones lineales de una misma variable, es decir, de la cantidad de artculos producidos o servicios brindados la funcin de la utilidad tambin ser una funcin lineal de la misma variable. Es decir, si el ingreso total fuera la funcin I(x) y el costo total C(x), la funcin utilidad sera: Utilidad o prdida = I(x) + C(x) Ejemplo: Una empresa vende un artculo a un precio de $100.00, si sus gastos por mano de obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 por producto teniendo costos fijos de $1000, 000.00 mensuales, si su produccin mensual es de 50,000 artculos determina la utilidad mensual de la empresa. Solucin: El ingreso estara definido por: Ingreso total = $100 (x) El costo total sera: Costo total = $25.00 (x) + $1 000, 000 La utilidad es: Utilidad = 100(x) ($25.00(x) + $1 000, 000) Agrupando tenemos: Utilidad = $75.00(x) 1 000, 000


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Utilidad Mensual = $ 75.00 (50,000 artculos) - $ 1000, 000 Utilidad Mensual= $3, 750 000 - $ 1000, 000 Utilidad Mensual = $2, 750 000

Seccin Cuarta Ejercicios1) La sociedad ecolgica de la universidad cientfica est organizando su compaa anual de adquisicin de fondos, el comidatlon, se cobrara 50 centavos por persona por servirle una orden de pasta. Los nicos gastos de la sociedad son el gasto de la pasta, que se estima en 15 centavos por racin y 350 $ por la renta de las instalaciones.

a) escriba las ecuaciones correspondientes de costo, ingreso y utilidad. b) cuantas raciones de pasta debe vender la sociedad para llegar al equilibrio. c) que utilidad o prdida resultara al vender 1500 raciones de pasta.

2) Un fabricante de pianos tiene un costo fijo diario de 1200$ y un costo marginal de 1500$ por piano. a) calcule la ecuacin de costo de fabricar "x" piano en un da. b) en un da determinado, cual es el costo de fabricar 3 pianos. c) cual es el costo de fabricar el 3er piso en ese da. d) cual es el costo de fabricar el vigesimoquinto piano ese da. 3) El peridico EL INFORMADOR, tiene costos fijos de $70 por edicin, y costos marginales de impresin y distribucin de 40 centavos por ejemplar. El peridico se vende a 50 centavos por peridico.

a) encuentre la ecuacin de costo, ingreso y utilidad. b) que utilidad o perdida de obtiene al vender 500 peridicos. c) cuantos peridicos se deben vender para estar en equilibrio.


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2.3 Modelos De Punto De Equilibrio En la determinacin de las ganancias o beneficios de una organizacin, expresada como la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere gran importancia el concepto de punto de equilibrio, es decir el punto de beneficio 0 (cero) en donde CT = I.

Cualquier cambio en esta igualdad genera dficit o supervit, ganancia o prdida. Para este anlisis suponemos que los costos variables o costo por unidad de produccin y los ingresos por ventas son lineales

Punto de equilibrio: Si el costo total de produccin excede a los ingresos obtenidos por las ventas de los objetos producidos, la empresa sufre una prdida; si, por el contrario, los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos obtenidos por las ventas igualan a los costos de produccin, se dice que el negocio est en el punto de equilibrio o de beneficio cero. Si una empresa posee una funcin de costos C(x), una funcin de Ingresos I(x), dadas por: C(x) = cx + k c: costo de produccin por unidad; k: costo fijo x: cantidad producida del bien

I(x) = sx

s: precio de venta por unidad X: cantidad vendida del bien


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La funcin de beneficio B(x) estar dada por la diferencia entre la funcin de ingresos y la funcin de costos. B(x) = I(x) - C(x) B(x) = (s - c)x - k En el punto de equilibrio la empresa no tiene ganancias ni prdidas

B(x) = 0, entonces I(x) = C(x) El punto P(x; p) es la solucin simultnea de las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x es la cantidad de equilibrio y pes el precio de equilibrio. Geomtricamente P(x; p) es la interseccin de las rectas que representan a las funciones de costos y de ingresos. Si x < x, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con prdidas. Si x = x se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde. Si x > x, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con ganancias. Grfica de la zona de prdida


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Grfica de la zona de ganancias

Seccin Sexta EjerciciosIng. Emma Yadira Tejeda Corrales Pgina 30


1. Los costos fijos por producir cierto artculo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00,

cuntos artculos debern producirse y venderse para garantizar que no haya ganancias ni prdidas?

2. Un fabricante produce artculos a un costo variable de 85 cada uno y los costos fijos son de $280 al da. Si cada artculo puede venderse a $1.10, determina el punto de equilibrio.

3. El costo de producir x artculos a la semana est dado por yC

1000 5 x . Si cadaSi el fabricante

artculo puede venderse a $7, determine el punto de equilibrio.

puede reducir los costos variables a $4 por artculo incrementando los costos fijos a $1200 a la semana, le convendra hacerlo?

4. El costo de producir x artculos a la semana est dado por yC

2000 100 x . Si

cada artculo puede venderse a $10, determine el punto de equilibrio.

5. Encuentra el punto de equilibrio para la compaa Z, que vende todo lo que produce, si el costo variable por unidad es de $2, los costos fijos de $1050 y los ingresos yI

50 x , donde x es el nmero de unidades producidas.

Equilibrio De Mercado Determina el precio y cantidad de equilibrio para las curvas de demanda y oferta siguientes: Demanda: 2 p 3x 100 Oferta: p1 10

x 2


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Demanda:

p

200 2 x 2

Oferta: p

2x 20

Demanda: Demanda: Demanda:

p

388 16 x x 2

Oferta: p Oferta: p Oferta: p

( x 10) 21 5

p

3000 x 200

x 5

p x 20

x 10

La ley de la demanda para cierto artculo es de 5 p 2 x

200 y la ley de la oferta es

p

4 5

x 10 . Determina:

El Precio Y La Cantidad De Equilibrio

el precio y la cantidad de equilibrio despus de que se ha fijado un impuesto de $6/unidad. demandada. Determine el incremento en el precio y la disminucin en la cantidad

III. Algebra Matricial 3.1 MatrizTabla La ordenada matriz A de tiene n reales en 3x4, m siendo filas m = y 3 n y columnas. n = 4

dimensin

Los elementos en rojo forman la diagonal principal.


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3.2 Operaciones Con Matrices

Suma de matrices La nica regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo nmero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.

Lo que se hace es sumar cada posicin de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo nmero de filas y columnas que las dems y cuyos valores son la suma de los valore de las otras 2 matrices.

Por ejemplo:

+

=

Como se puede ver, la matriz resultante tiene en su posicin 1,1 la suma de la posicin 1,1 de la primera matriz mas la 1,1 de la segunda, y as se van poniendo todas las sumas de las posiciones, y es todo lo que hay que decir acerca de la suma de matrices


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Multiplicacin de matrices

La

multiplicacin

de

matrices

es

un

poco

ms

complicada.

La regla aqu es que el numero de columnas de la primera matriz sea igual al nmero de filas de la segunda, esto es, que se puede hacer una multiplicacin de una matriz 2x3 por una de 3x5, y la matriz resultante tiene el numero de filas de la primer matriz y las columnas de la segunda, por lo que quedara una matriz de 2x5.

Adems, a diferencia de la suma y la resta, la multiplicacin no es posicin por posicin, sino que se hace de la siguiente manera:

Se toma la primera fila de la primer matriz y la primer columna de la segunda matriz, y lo que se hace es multiplicar una posicin de fila por una de columna:

X

=


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En el ejemplo de arriba se multiplica una matriz de 2x3 por una de 3x1, y se toma la primera fila de la primer matriz, o sea 2,4,6 y la primer columna de la otra, o sea -5,-7,6, y la resultante toma las filas de la primera, o sea 2 y las columnas

de la segunda, o sea 1, y quedan 2 lugares solamente.

Se llenan haciendo la multiplicacin (2x-5) + (4x-7) + (6*6) o sea posicin de fila por posicin de columna.

Despus si la segunda matriz tuviera ms columnas, se pasa a la siguiente, y sin cambiar de fila en la primera se vuelve a hacer la multiplicacin y las sumas hasta que se acaben las columnas de la segunda matriz.

Ya que se acabaron las filas de la segunda, se pasa a la siguiente fila en la primera y se empieza de nuevo: (-1x-5) + (3x-7) + (9x6) y se pone en el segundo lugar de la matriz, en este caso el nico que queda, pero si hubiera ms columnas se va llenando hasta que se completen las columnas y luego se baja a la siguiente fila.

As se sigue hasta que se acaben las filas de la primera matriz.


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Seccin Sptima de Ejercicios1. Un grupo de inversionistas que planean abrir un centro comercial decidieron incluir

un supermercado, una peluquera, una tienda miscelnea, una farmacia y una pastelera. Estimaron el costo inicial y la renta garantizada (ambas en dlares por pie cuadrado) para cada tipo de tienda, respectivamente, como sigue: costo inicial: 18, 10, 8, 10 y 10; renta garantizada: 2.7, 1.5, 1.0, 2.0 y 1.7. Escriba esta informacin primero como una matriz de 5 X 2 y luego como una matriz de 2 X 5.

2.

Los seores Cruz, Jimnez y Snchez sufren una enfermedad en las coronarias.

Como parte del tratamiento, se les da una dieta baja en colesterol. El seor Cruz lleva la dieta I; Jimnez la dieta II, y Snchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses 1, 2, 3 y 4, dichos niveles eran: Cruz: 220, 215, 210 y 205 Snchez: 215,205, 195 y 190 Jimnez: 220, 210, 200 y 195 Represente esta informacin en una matriz 3 X 4.

3.

El inventario de una librera universitaria es:

Pasta dura: libros de texto, 5280; ficcin, 1680; no ficcin 2320; referencia, 1890 Rstica: ficcin, 2810; no ficcin, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940 El inventario de una librera orientada al mercado preparatoriano es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficcin, 2220; no ficcin 1790; referencia, 1980 Rstica: ficcin, 3100; no ficcin, 1720; referencia,2710 ; libros de texto, 2050 Represente el inventario de la librera universitaria como una matriz A. Represente el inventario de la librera preparatoriana como una matriz B. Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario total de la nueva librera. 4. Un dietista prepara una dieta especificando las cantidades que un paciente debe

tomar de cuatro grupos bsicos de alimentos: grupo I, carnes; grupo II, frutas y legumbres; grupo III, panes y harinas; grupo IV, productos lcteos. Las cantidades se dan


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en intercambios que representan 1 onza (carne), 1/2 taza (frutas y legumbres), 1 rebanada (pan), 8 onzas (leche), u otras medidas apropiadas. El nmero de intercambios para el desayuno para cada uno de los cuatro grupos de alimentos, son respectivamente, 2, 1, 2 y 1; para la comida, 3, 2, 2 y 1; y para la cena, 4,3,2 y 1. Escriba una matriz de 3 X 4 usando esta informacin. Las cantidades de grasa, carbohidratos y protenas en cada grupo de alimentos, respectivamente, son como sigue. Grasas: Carbohidratos: Protenas: 5, 0, 0, 10 0, 10, 15, 12 7, 1, 2, 8

Use esta informacin para escribir una matriz de 4 X 3. Hay 8 caloras por unidad de grasas, 4 caloras por unidad de carbohidratos y 5 caloras por unidad de protenas; resuma estos datos en una matriz de 3 X 1. 5. Al principio de un experimento en laboratorio, cinco ratas jvenes midieron 5.6, 6.4,

6.9, 7.6 y 6.1 centmetros de longitud y pesaron 144, 138, 149, 152 y 146 gramos, respectivamente. Escriba una matriz de 2 X 5 usando esta informacin. Al final de dos semanas, sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 y 10.8 centmetros y pesaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Escriba una matriz de 2 X 5 con esta informacin. Use resta de matrices con las matrices encontradas en (a) y (b) para escribir una matriz que d la cantidad de cambio en longitud y peso para cada rata. La siguiente semana las ratas crecieron 1.8, 1.5, 2.3, 1.8 y 2.0 centmetros, respectivamente, y ganaron 25, 22, 29, 33 y 20 gramos, respectivamente. Establezca una matriz con esos incrementos y use la adicin matricial para encontrar sus longitudes y pesos al final de esa semana. 6. La matriz A representa los nmeros de tres tipos de cuentas bancarias el primero

de enero en el Banco Central y sus sucursales. Cuentas de cheques Cuentas de ahorro Oficina matriz Cuentas de depsitos a plazo 2820 1470 1120


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A= 480

Sucursal del Oeste

1030

520

Sucursal del Norte 460

1170

540

La matriz B representa los nmeros y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre y la matriz C se refiere a los nmeros y tipos de cuentas cerradas durante el mismo260 120 110 120 80 80 C 70 60 30 40 20 40

periodo, B

140 120

60 70

50 50

a) Encuentre la matriz D, la cual representa el nmero de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada lugar. b) Debido a la apertura de una fbrica cercana, se prev un incremento de 10% en la cantidad de cuentas en cada lugar durante el segundo trimestre. Escriba una matriz E que refleje este incremento previsto.

7.

Calcule la matriz 3B 1/5 (A C),6 1 2 5

si

A=

1 3 5 2

,

B=

7 0

3 1

,

C=

8.3 7 1 15

Calcule las matriz

1/2A + 1/3B - (A C ) si A =

4 6 2 0

, B=

6 9

3 12

, C=

9.

Un fabricante de camisetas tiene la siguiente produccin ( en cientos de

piezas ) en sus fabrica de:34 60 78 10 0 50

ZONA INDUSTRIAL 22 10 46 ,10 8 0

BELENES 30 10 040 20 30

Determine la matriz de la produccin total en las dos plantas Si la produccin de Zona Industrial se incrementa un 50% y un 25% en los Belenes,

calcule la nueva matriz que represente el total de ambas plantas.


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10.

Hay tres tiendas de abarrotes en Gambier. Esta semana, la tienda I vendi 88

paquetes de pan, 48 cuartos de leche, 16 tarros de crema de man y 112 libras de carnes fras. La tienda II vendi 105 paquetes de pan, 72 cuartos de leche, 21 tarros de crema de man y 147 libras de carnes fras. La tienda III vendi 60 paquetes de pan, 40 cuartos de leche, nada de crema de man y 50 libras de carnes fras. Use una matriz de 3 X 4 para expresar la informacin sobre las ventas de las tres tiendas. Durante la siguiente semana, las ventas de esos productos en la tienda 1 se incrementaron 25%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 1/3 y las ventas en la tienda III se incrementaron 10%. Escriba la matriz de ventas para esa semana. Escriba una matriz que represente las ventas totales en el periodo de las dos semanas. 11. Una compaa de juguetes tiene plantas en Boston, Chicago y Seattle que fabrican

cohetes y robots de juguete. La siguiente tabla da los costos de produccin (en dlares) para cada artculo en la planta de Boston: Cohetes Material Mano de obra 4.27 3.45 Robots 6.94 3.65

En Chicago, un cohete cuesta $4.05 por materiales $3.27 por mano de obra; un robot cuesta $7.1 por materiales y $3.51 por mano de obra. En Seattle, los costos materiales son de $4.40 para los cohetes y de $6.90 los robots; los costos de mano de obra son de $3.54 para los cohetes y de $3.76 para los robots. Escriba las matrices de costos de produccin para Chicago y Seattle Suponga que cada planta hace el mismo nmero de cada artculo. Escriba una matriz que exprese los costos promedio de produccin para las tres plantas. Suponga que los costos de mano de obra se incrementan en $0.11 por artculo en Chicago y los costos por material se incrementan ah en $0.37 para un cohete y $ 0.42 para un robot. Cul es la nueva matriz de costos produccin para Chicago? Despus de los incrementos en costo en Chicago, la planta de Boston cierra y la produccin se divide en partes iguales entre las otras dos plantas. Cul es la matriz que ahora expresa los costos promedio de produccin para todo el pas?


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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Clculo de determinantes de rdenes 1, 2 y 3 Es fcil comprobar que aplicando la definicin se tiene:

En este ltimo caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema grfico para los productos positivos y otro para los negativos:

EJERCICIOS Calcule la determinante y resuelva la matrizA. (3/2)X+(2/3)Y=1 (2/3)X-(3/2)Y=0 B. (1/2)X+(1/4)Y=(1/8) (1/3)X-(1/5)Y=(1/5)


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