CENTRO UNIVERSITÁRIO DE LAVRAS

CÁLCULO II

Profª. Ms Valéria Andrade Villela

valeria@unilavras.edu.br

LAVRAS – M. G.

SUMÁRIO

CAPÍTULO I

1 NOÇÕES BÁSICAS............................................................................................................................................................................2

2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS.............................................................................................................................................2

3 ESPAÇO EUCLIDIANO N-DIMENSIONAL.................................................................................................................................5

0

4 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO.........................................................................................................................................................8

5 SUPERFÍCIES DO ESPAÇO E EQUAÇÕES...............................................................................................................................10

6 CURVAS DE NÍVEL DE UMA SUPERFÍCIE..............................................................................................................................11

7 LIMITES............................................................................................................................................................................................15

8 FUNÇÕES CONTÍNUAS.................................................................................................................................................................16

9 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES.....................................................................................................................................................19

CAPÍTULO II

1 DIFERENCIAÇÃO...........................................................................................................................................................................20

2 DERIVADAS PARCIAIS.................................................................................................................................................................21

3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA.............................................................................................................................................25

4 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS......................................................................................................................................................26

5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR....................................................................................................................29

6 APROXIMAÇÃO POR MEIO DA DIFERENCIAL....................................................................................................................33

7 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTAS...............................................................................................................................36

8 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS................................................................................................................................43

9 DERIVADA DIRECIONAL. GRADIENTE..................................................................................................................................50

10 MÁXIMOS E MÍNIMOS...............................................................................................................................................................58

11 Máximos e mínimos condicionados 65CAPÍTULO III

1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA...........................................................................................................................................................70

2 NOÇÃO DE INTEGRAL DUPLA..................................................................................................................................................70

3 INTEGRAÇÃO SOBRE UM RETÂNGULO................................................................................................................................72

4 INTEGRAL DUPLA SOBRE UMA REGIÃO COMPACTA DO PLANO................................................................................74

5 ALGUMAS APLICAÇÕES.............................................................................................................................................................79

6 INTEGRAÇÃO DUPLA EM COORDENADAS POLARES.......................................................................................................84

7 INTEGRAL TRIPLA.......................................................................................................................................................................90

8 COORDENADAS CILÍNDRICAS E COORDENADAS ESFÉRICAS......................................................................................95

9 Mudança de variáveis e integrais múltiplas 100

CAPÍTULO I

1 Noções básicasIntrodução

As funções que foram estudadas no programa de cálculo I são funções reais de

uma variável real.

Trataremos agora das funções reais de várias variáveis reais.

1

Consideremos, por exemplo, um retângulo de base x e altura y. A área S desse

retângulo é S = xy.

Costumamos dizer que a área S é função das duas variáveis x e y.

Tomemos agora um paralelepípedo retângulo (ou bloco retangular) de

comprimento x largura y e altura z. O volume V desse sólido é V = xyz.

A cada termo de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor do volume.

Dizemos que o volume V é função das três variáveis x, y, z.

Muitas funções podem ser definidas por meio de fórmulas. Por exemplo, se

escrevermos:

xy

yxz

21

,

A cada par (x,y) de números reais que 10 x e 20 y corresponde um

número real z bem determinado. Nessas condições, z é função das duas variáveis x e y.

2 Funções de várias variáveisRecordemos que uma função f: x y, considerada da maneira mais geral, é uma

correspondência que a cada elemento x X associa um elemento y Y. o conjunto X

diz-se domínio da função, e o conjunto Y diz-se contradomínio. O elemento y Y

correspondente de do elemento x X chama-se imagem de x pela função f, ou também,

valor de f no ponto x, e costumamos escrever:

y= f (x)

Toda função real de uma variável é do tipo

f: RA , A R .

Tais funções fazem parte do cálculo I.

No caso das funções reais de duas variáveis, consideremos uma função real f de

duas variáveis reais x e y. A cada par (x, y) de valores admissíveis dessas variáveis, a

função associa um número real z, que também designaremos por f (x, y). Ora, o

conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais é o produto cartesiano

RxR=R², o qual se identifica com o plano real. Podemos, pois, admitir que a função f é

definida em certos pontos (x,y) do plano real em cada um dos quais assume um valor

2

real f (x,y)=z. Os pontos (x,y) R² nos quais a função f é definida constituem o

domínio de f. Concluímos que toda função real f de duas variáveis reais é do tipo:

F : RA , A R²

A figura seguinte ilustra esse conceito.

Exemplos: DOMÍNIO

1) Seja f: R² R tal que f (x,y)= x² + y² + 1.

2) Seja f (x, y)= x² - xy + 1.

3) Consideremos a função g assim definida: g(x, y)= yx

yx

.

4) Examinemos a função

h(x,y)= ²²1

72

yx

yx

.

5) Seja agora a função F(x,y)= ln (6 – 2x – 3y),

6) Examinemos a função:

G (x,y)= 107² xx + 34² yy .

3

Consideremos, a seguir, uma função f de três variáveis x, y, z. A cada conjunto

de valores admissíveis dessas variáveis corresponde um valor real w=f(x, y, z) da

função. Ora, o conjunto de todos os termos ordenados (x, y, z) de números reais é o

espaço tridimensional real R³= RxRxR. Portanto, toda função real de três variáveis reais

é definida em um subconjunto do espaço R³. Trata-se de uma função do tipo:

RAf : , A ³R

Podemos ilustrar tais funções por meio da seguinte figura:

Exemplos:

1) RRf ³: assim definida: f (x, y, z)= 3x²+y²+5z-10.

2) Consideremos a função F(x, y, z)= .

Imaginemos, agora, uma função real de n variáveis x1, x2, x3,..., xn. Designando

por a função e por y o seu valor genérico, podemos escrever: Y= ( x1, x2, x3,..., xn).

A cada conjunto de valores admissíveis das variáveis x1, x2, x3,..., xn, a função

associa um número real y. Considerando que cada seqüência ordenada (x1, x2, x3,..., xn) é

um elemento (ou ponto) do espaço n-dimensional real Rn=RxRx....xR (n fatores),

concluímos que deve ser uma função definida em um sub-conjunto de Rn, assumindo

valores reais. Mais simplesmente, toda função real de n variáveis reais é do tipo :

, A Rn.

4

Exemplos:

1) A função definida por (x1,x2,x3,x4)= x31- 2x1 x3+x2

2-3x4+6.

2) Consideremos a função g assim definida

g (x1,x2,x3,x4)= 7x1+ .

3) Tomemos a função de cinco variáveis y=h(x1,x2,x3,x4,x5)=

.

3 Espaço euclidiano n-dimensionalRecordemos que um ponto R² é um par ordenado (x,y) de números reais e que

um ponto R³ é um terno ordenado (x,y,z) de números reais. Da mesma forma, diremos

que um ponto do espaço n-dimensional Rn é uma seqüência ordenada (x1, x2, x3, ...., xn)

de n números reis. Podemos designar esse ponto com uma letra M e escrever: M= (x 1,

x2, x3, ...., xn). Os números x1, x2, x3, ...., xn dizem-se coordenadas do ponto M. O ponto

que tem todas as coordenadas nulas, O(0,0,...,0) diz-se origem.

Dados dois pontos A=( x1, x2) e B=( y1, y2) no plano R², sabemos que a distância

entre eles é: AB= .

Analogamente, a distância entre dois pontos A(x1,x2,x3) e B(y1,y2,y3) do espaço

R³ é: AB= )²()²()²( 332211 yxyxyx

.

Da mesma forma, podemos definir a distância AB entre dois pontos

A(x1,x2,...,xn) e B A(y1,y2,...,yn) do espaço Rn da seguinte maneira:

.

O conjunto dos pontos M=(x1,x2,...,xn) de Rn que estão à distância r do ponto fixo

C=( ) é a esfera de centro C e raio r. A equação dessa esfera é evidente: (x 1

- )² + (x2 - )² + .... + (xn - )² = r².

5

Os pontos N= (x1, x2, ...., xn) Rn que verificam a desigualdade

(x1- )²+(x2- )²+....+(xn- )² r² constituem a chamada bola fechada de centro C e raio

r.

Os pontos P=(x1, x2, ...., xn) Rn que verificam a desigualdade (x 1-

)²+(x2- )²+....+(xn- )²< r² formam a bola aberta de centro C e raio r.

Observe-se que os pontos da esfera pertencem à bola fechada, mas não

pertencem à bola aberta de mesmo centro e mesmo raio.

A esfera de centro na origem e raio r tem por equação:

A bola aberta e a bola fechada de centro na origem e raio r representam-se pelas

desigualdades e .

Consideremos, a seguir, uma equação do 1° grau com duas variáveis

ax + by + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes a, b é diferente de zero. No plano,

ela representa uma reta s. Sabemos que as desigualdades

ax + by + c > 0 e ax + by + c < 0 representam os semi-planos abertos determinados no

plano pela reta s. Esta reta é a fronteira (ou contorno) de cada um desses semi-planos.

As desigualdades ax + by + c 0 e ax + by + c 0 representam os semi-planos

fechados de R² tendo por fronteira a reta s.

Podemos tecer considerações análogas para o espaço R³. Toda equação de 1°

grau com três variáveis ax + by + cz + d = 0 onde pelo menos um dos coeficientes a,b,c

não é nulo, representa um plano do espaço R³. Esse plano determina dois semi-espaços

em R³, de cada um dos quais é a fronteira (ou contorno). As desigualdades

ax + by + cz + d > 0 e ax + by + cz + d < 0 representam semi-espaços abertos., ao passo

que as desigualdades ax + by + cz + d ≤ 0 e ax + by + cz + d ≥ 0 representam semi-

espaços fechados

Esses conceitos se estendem naturalmente ao espaço n-dimensional Rn. Toda

equação do 1° grau com variáveis a1x1 + a2x2 +....+ anxn + b=0, onde pelos menos um dos

coeficientes a1, a2,....,an é diferente de zero, define um hiperplano do espaço Rn. Tal

hiperplano determina em Rn dois semi-espaços de cada um dos quais o hiperplano é a

fronteira (ou contorno). Um semi-espaço diz-se fechado se inclui todos os pontos de sua

fronteira, e diz-se aberto se não inclui nenhum ponto da fronteira. As desigualdades

a1x1 + a2x2+....+anxn + b > 0 e a1x1 + a2x2 +....+anxn + b < 0 representam semi-espaços

abertos de Rn, substituindo os sinais > e < respectivamente por e , temos semi-

espaços fechados de Rn.

6

Exemplos: 1) No espaço euclidiano R4, as equações x1=0, x2=0, x3=0, x4=0

representam os hiperplanos coordenados. O hiperplano x3=0 é constituído de todos os

pontos (x1, x2,, 0, x4) R4. O sistema de equações:

x1=0 x2=0

tem por soluções todos os pontos M=(0,0,p,q) onde p e q são números reais

arbitrários. Tais pontos constituem um plano (2 dimensões) em R4. O sistema de

equações

x1=0 x2=0 x3=0

tem por soluções os pontos N=(0,0,0,r), onde r R. Esses pontos constituem uma

reta em R4, precisamente o eixo x4.

2) Seja uma função real de quatro variáveis assim definidas:

y=f(x1,x2,x3,x4)=2x1+3x4- . Para que y seja real, devemos ter:

0.

Concluímos que o domínio de é o semi-espaço fechado de R4 definido por

0.

3) A função real de cinco variáveis reais

g(x1,x2,x3,x4,x5)=ln (x1-2x2+4x3-x4+8x5), onde ln indica o logaritmo de R5

definido por x1-2x2+4x3-x4+8x5>0. Esse domínio é um semi-espaço aberto de R5.

4) A função g (x1,x2,x3,x4)= 7x1+ .

O domínio g é o conjunto D R4 formado pelos pontos x1,x2,x3,x4 tais que

4.

Tal domínio é a bola fechada de R4 de centro na origem e raio 2.

4 Gráfico de uma funçãoDada uma função real de uma variável real f: A R, onde A R, sabe-se que o

gráfico de f é o conjunto {(x,y) R² | x A e y = f (x)}.

Tal gráfico é um subconjunto do plano ao qual costumamos chamar curva

representativa da função. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função definida em

um intervalo A. O ponto M=(x, (x)) é o ponto genérico do gráfico. As propriedades da

função refletem-se no seu gráfico; por isso este é um elemento de valor no estudo da

função.

7

A noção de gráfico estende-se às funções de mais de uma variável real. Seja

F: A R, onde A R² uma função real qualquer de duas variáveis. O gráfico de F é, por

definição, o conjunto { (x,y,z) R³ | (x,y) A e z = F(x,y)}.

Trata-se, como se vê, de um subconjunto do espaço tridimensional R³. A esse

gráfico costumamos chamar superfície representativa da função.

Na figura anterior está indicado o gráfico de uma função F de duas variáveis. A

cada ponto P=(x,y) do domínio A da função corresponde um valor desta, a saber

z=F(x,y). O gráfico é o conjunto S dos pontos M=(x,y,F(x,y)) do espaço R³. Observe-se

que na vertical de cada ponto P(x,y) A existe exatamente um ponto M do gráfico da

função. A projeção (ortogonal) da superfície S sobre o plano xy é precisamente o

domínio A da função.

Exemplos: 1) Seja z=2x-3y+5. Esta função é definida no plano R². O seu gráfico

é o conjunto dos pontos M=(x,y,2x-3y+5) do espaço tridimensional. Sabemos que tal

conjunto é um plano do espaço. Observe-se que a equação z=2x-3y+5 é equivalente à

8

equação 2x - .3y – z + 5 = 0, a qual, como ensina a Geometria Analítica, representa um

plano no espaço.

De modo geral, toda função do 1° grau nas variáveis x, y e z=ax+by+c tem por

gráfico um plano do espaço R³.

2) Consideremos a função z= (x,y)= , cujo domínio é um disco

fechado D={(x,y) R²|x²+y² 1}, de centro na origem e raio 1. O gráfico de f é o

conjunto dos pontos M=(x,y, ) de R³ tais que (x,y) D. É fácil mostrar que

esse gráfico é o hemisfério de centro na origem ao ponto genérico M do gráfico é:

OM= =1.

Passemos, a seguir, aos gráficos de funções de mais de duas variáveis. Seja

F: A R, onde A R³, uma função de três variáveis. O seu gráfico é, por definição, o

conjunto:

{( x1,x2,x3,x4) R4|( x1,x2,x3) A e x4=F(x1,x2,x3)}.

Tal gráfico é, como se vê um subconjunto do espaço de quatro dimensões e,

como tal, não temos possibilidade de representá-lo em desenho. Dizemos que se trata de

uma hipersuperfície de R4.

De modo geral, o gráfico de uma função f: A R, onde A Rn é uma

hipersuperfície do espaço Rn+1.

9

5 Superfícies do espaço e equaçõesAdmitiremos que uma superfície do espaço tridimensional é o conjunto dos

pontos (x,y,z) R³ nos quais se anula uma função real F de três variáveis. Assim, a

equação F(x,y,z)=0 caracteriza a superfície. Um ponto M=(x,y,z) do espaço pertence à

superfície se e somente se as suas coordenadas satisfazem à equação, a qual se diz

equação de superfície.

Por exemplo, a equação F(x,y,z)=x³-3xy²+4xz²+y-8z+1=0 representa uma

superfície R³. O ponto M=(1,-2,3) pertence a essa superfície, pois temos:

F(1,-2,3)=1-12+36-2-24+1=0. O ponto P=(0,1,2) não pertence à mesma superfície, pois

F(0,1,2)=0-0+0+1-16+1 0.

Uma superfície diz-se algébrica ou transcendente consoante seja algébrica ou

transcendente a sua equação F(x,y,z)=0.

Por exemplo, as equações:

x²+2xy+z²-4z+1=0, =1, representam superfícies algébricas, ao passo

que as equações x² + ey - 2sen(xz) = 0, cos (xy )- 2z = 0 representam superfícies

transcendentes.

Uma superfície algébrica de equação F(x,y,z)=0 diz-se de ordem n (ou de grau

n)quando F(x,y,z) é um polinômio do grau n nas três variáveis x,y,z. Por exemplo, a

equação x²-2y²+4yz-z²+2x-5z+1=0 representa uma superfície de 2ª ordem.

Exemplos:

1) A equação do 1° grau 2x-y+5z-10=0 representa um plano perpendicular ao

vetor =(2,-1,5). Resolvendo a equação relativamente à variável z, encontramos:

z =

Podemos, pois, afirmar que o plano acima mencionado é o gráfico da função de

duas variáveis

z= (x,y)=

2) A equação do 1° grau 3x-4y-12=0 representa, no espaço tridimensional, um

plano paralelo ao eixo z; com efeito, tal plano é perpendicular ao vetor =(3,4,0), que

está no plano xy.

10

Observe-se que a mesma equação 3x-4y-12=0 interpretada no plano representa

uma reta; é justamente a reta interseção do plano acima mencionado com o plano xy.

3) A equação 2z-5=0, ou sua equivalente z= representa em R³ um plano

paralelo ao plano xy. Tal plano é o gráfico da função constante z=g(x,y)= .

6 Curvas de nível de uma superfície Chamam-se curvas de nível de uma superfície de espaço R³ as seções dessa

superfície por planos horizontais. O conhecimento das curvas de nível de uma superfície

pode dar-nos uma idéia muito clara da forma desta. Costumamos cortar a superfície por

planos horizontais igualmente espaçados; em cada um dos quais obtemos uma curva de

nível; a seguir, projetamos todas essas curvas ortogonalmente sobre um único plano

horizontal, obtendo assim, um mapa das curvas de nível. Nesse mapa, é interessante

indicar ao lado de cada curva o valor da cota do plano correspondente.

Exemplos:

1) Consideremos a superfície de equação:

z=x²+y²

A sua seção pelo plano horizontal z=k é a curva que no espaço R³ tem por

equações:

z=x²+y²

z=k

Ou, após a eliminação de z:

x²+y²=k

z=k

A equação x²+y²=k só tem soluções reais se k 0 e, se k>o, representa no R³

um cilindro de revolução de eixo OZ e raio , com centro no eixo OZ, situado no

plano horizontal z=k. Tal círculo é uma curva de nível da superfície considerada. A

projeção dessa curva sobre o plano xy é o círculo que em R³ tem por equações:

x²+y²=k

11

z=0

e que, como curva de plano xy, em geometria plana, tem por equação

x²+y²=k

se projetarmos sobre o plano xy todas as curvas de nível da superfície:

z=x²+y²,

obteremos uma família de círculos concêntricos. Na figura abaixo aparecem

alguns desses círculos. Está indicado o valor da cota k correspondente. Por exemplo, o

círculo o lado do qual se lê 4 é a projeção sobre o plano xy da curva de nível obtida na

superfície pelo plano z=4; trata-se de um círculo de raio 2. recorde o leitor que a

superfície a que se refere este exemplo é um parabolóide de revolução de eixo OZ.

2) Examinemos as curvas de nível do parabolóide hiperbólico de equação:

z=x²-y²

o plano horizontal genérico z=k corta essa superfície seguindo uma curva cuja

projeção sobre o plano xy tem, neste plano, a equação:

x²-y²=k.

Se k=o, resulta x²-y²=0, ou (x-y)(x-y)=0, equação que representa as duas retas

y-x e y=-x.

Portanto, o plano xy corta o parabolóide dado seguindo duas retas.

Se k>o, a curva de nível é a hipérbole cuja projeção sobre o plano xy tem por

equação:

x²-y²=k

Tal hipérbole tem o eixo real paralelo a OX e o eixo imaginário paralelo a OY.

Se k<0, a curva de nível é a hipérbole:

x²-y²=k, ou ainda: y²-x²=-k.

12

Como –k>0 resulta que essa hipérbole tem o eixo real paralelo a OY e o eixo

imaginário paralelo a OX.

O mapa de linhas de nível do parabolóide hiperbólico tem o aspecto mostrado

na figura abaixo. A figura mostra as linhas de nivel k-0, k-1, k=4, k=-1 e k=-4.

3)Tomemos a superfície de equação z=2x+5y-10,

que é um plano do espaço. As seções desse plano por planos horizontais são obviamente

retas paralelas, as quais se projetam sobre o plano xy, seguindo retas paralelas. Assim, o

mapa das linhas de nível da superfície consiste na família de retas do plano xy cuja

equação nesse plano é: 2x+5y-20=k. Na figura aparecem as linhas correspondentes aos

níveis k=0, k=10, k=20, k=-10 e k=-20.

13

Observação: Os mapas de curvas de nível são muito empregados na

Topografia para o estudo do relevo do terreno.

Na figura, vemos as linhas de nível

de um terreno formado por dois montes. Vêem-se também as projeções ortogonais

dessas curvas sobre um plano horizontal, o qual foi rebatido sobre o plano do papel.

No nível 47 vemos um ponto de altitude máxima (local) e no nível 34 vemos

outro ponto do mesmo tipo. Em torno desses pontos as curvas de nível lembram círculos

concêntricos deformados.

14

No nível 20 vemos um ponto de sela na sua vizinhança, as curvas de nível

lembram hipérboles deformadas (fig. abaixo).

7 LimitesO conceito de limite de uma função, já estudada no Cálculo I para funções de

uma variável, pode estender-se às funções de várias variáveis. Consideremos uma

função:

: A R, A R²,

de duas variáveis, e um ponto (a,b) do plano, tal que seja definida em pontos (x,y)

arbitrariamente próximos de (a,b). A função tem limite L quando (x, y) se aproxima de

(a,bse, dado qualquer número positivo , existe um número positivo tal que, para todo

(x, y) no domínio de f, 0 <

Para exprimir essa situação, escreveremos:

lim (x,y)=L, ou lim (x,y)=L

(x,y) (a,b) x a

y b

Propriedades:

As regras a seguir são verdadeiras se L, M e k são números reais e

e

P1) Regra da soma:

P2) Regra da diferença:

P3) Regra do produto:

15

P4) Regra da multiplicação por constante:

P5) Regra do quociente:

P6) Regra da potência: Se m e n forem inteiros, então

desde que seja um número real.

Exemplos

8 Funções contínuasSeja : A R, A R², uma função de duas variáveis, e seja (a,b) A. Dizemos

que é contínua no ponto (a,b) se e somente se

1. f for definida em (a, b)

2. existe

3. lim f (x,y) = f (a,b)

(x,y) (a,b)

Exemplos:

Os poucos exemplos acima dão ao leitor idéia da grande variedade dos

subconjuntos de R². Neste curso, estaremos interessados em subconjuntos de R2 mais

particulares. Em primeiro lugar, os conjuntos que nos interessarão deverão possuir

pontos interiores. Em segundo lugar, por uma questão de simplicidade, desejaremos que

sejam conjuntos constituídos, por assim dizer, de um só pedaço; termos mais técnicos,

escolheremos conjuntos conexos do plano.

Um conjunto A R² diz-se conexo quando dois pontos quaisquer p,q A

podem ser ligados por um caminho (ou arco) contido em A. A figura abaixo ilustra o

conceito.

16

Nas figuras abaixo, mostramos outros exemplos de subconjuntos conexos de

R².

Em (a) temos dois triângulos cujos contornos são ligados por um segmento de

reta. Em (b) temos uma coroa circular com a sua fronteira (dois círculos) e alguns arcos

partindo do círculo maior.

As figuras abaixo ilustram conjuntos não conexos do plano.

Em (c) temos o conjunto união de dois triângulos, e em (d) temos o conjunto

formado por uma curva oval, um segmento de reta e dois pontos isolados A e B.

Os subconjuntos do R² que mais aparecerão neste curso são os que

chamaremos regiões do plano. Uma região do plano é um subconjunto aberto e conexo.

Eis alguns exemplos de regiões do plano:

17

Vemos em (e) um disco aberto, em (f) um semi-plano aberto, em (h) o interior

de um ângulo, e em (g) a região limitada pelas curvas fechadas simples C, C1 e C2.

Muitas vezes, teremos que considerar o subconjunto formado pela reunião de

uma região e de sua fronteira. Tais subconjuntos serão denominados regiões fechadas.

As figuras seguintes mostram regiões fechadas obtidas a partir das regiões acima vistas.

Um subconjunto do plano pode ainda ser limitado ou não limitado. Um

conjunto A R² é limitado quando a distância da origem a qualquer de seus pontos não

pode exceder um valor fixo. Neste caso, existe um número real K>0 tal que x²+y²<K

qualquer que seja o ponto (x,y) A. Em outras palavras, um conjunto A R² é limitado

quando existe um disco D de centro na origem tal que A D.

Nas figuras acima apresentadas, as regiões (e) e (g) são limitadas e as regiões

(f) e (h) não são limitadas.

Uma região diz-se compacta quando é limitada e fechada.

9 Operações com funções

18

Já aprendemos, no Cálculo I, a somar, subtrair, multiplicar e dividir funções

reais de uma variável. Podemos agora realizar as mesmas operações com funções reais

de várias variáveis. Por simplicidade, vamos ilustrar as definições usando funções de

duas variáveis.

Sejam : A R, A R², e g: B R, A R² duas funções de duas variáveis.

Ambas são definidas no conjunto A B.

A soma, a diferença e o produto das funções e g são as funções:

+ g: A B R, - g: A B R e g: A B R.

Definidas, respectivamente, pelas regras:

( + g) (x,y)= (x,y) + g(x,y),

( - g) (x,y)= (x,y) - g(x,y),

( . g) (x,y)= (x,y) . g(x,y).

O quociente f/g das funções é a função definida pela regra:

Exemplo:

Sejam dadas as funções:

: R² R, (x,y)=3x²+2y²

g: R² R, g(x,y)=x²+y²-4

A soma +g: R² R é a função:

( +g)(x,y)=(3x²+2y²)+(x²+y²-4) ou ( +g)(x,y)=4x²+3y²-4.

A diferença -g: R² R é a função:

( -g)(x,y)=(3x²+2y²)-(x²+y²-4) ou ( -g)(x,y)=2x²+y²+4.

O produto g: R² R é a função:

( g)(x,y)=(3x²+2y²)(x²+y²-4) ou ( g)(x,y)=3x4+5x²y²+2y4-12x²-8y²

O quociente /g: A R é a função

CAPÍTULO II

1 DiferenciaçãoIntrodução:

19

Vamos, neste capítulo, estender às funções reais de várias variáveis reais a

noção de derivada, que é a idéia básica do Cálculo Diferencial. Já foi visto, no Cálculo

I, que essa noção é muito útil, principalmente pela interpretação da derivada como taxa

de variação da função.

Para tornar mais clara a exposição reconsidere a derivada de uma função de

uma variável. Seja : I R, onde I é um intervalo aberto, e seja a I. Se passamos do

ponto a a um ponto variável x I, o acréscimo variável da função é = (x)- (a).

Dividindo esse acréscimo pelo acréscimo x=x-a da variável da função:

A derivada da função no ponto a é, como sabemos, o limite desse quociente

quando x tende para a; designando-o por ’(a), ou , podemos escrever:

’(a)= =lim

x a

Pondo x=a+h, resulta x-a=h, e podemos também escrever:

’(a)= =lim

h 0

Consideremos, agora, uma função real de mais de uma variável, por

simplicidade, tomemos o caso de duas variáveis:

: A R onde A R² é uma região, e tentemos aplicar a esta função uma cópia

do processo acima usado para o caso de uma variável. Tomemos um ponto (a,b) A e

seja (x,y) A um ponto variável. O acréscimo da função quando passamos do primeiro

ponto ao segundo é:

= (x,y)- (a,b).

Para medir a variação das variáveis independentes, podemos adotar a distância

s entre os pontos (a,b) e (x,y).

20

Poderíamos, a seguir, definir a derivada da função no ponto (a,b) como o

limite do quociente quando s tende para zero, caso exista o limite. Acontece,

porém, que esse limite em geral não existe, pois já sabemos que o ponto variável (x,y)

poderá aproximar-se do ponto (a,b) de uma infinidade de maneiras, e o limite acima

considerado dependerá quase sempre desse modo de aproximação.

Por ora, vamos prosseguir o estudo considerando um modo muito especial de

se aproximar o ponto (x,y) do ponto (a,b); vamos estabelecer a importante noção de

derivada parcial da função.

2 Derivadas parciaisConsideremos uma função de duas variáveis (x,y), definida em uma região A

do plano.

Seja p(a,b) A. Na paralela ao eixo OX conduzida por p, tomemos um ponto

variável q=(x,b). Observe-se que ao variar q, a sua ordenada permanece constante, igual

a b; apenas a abscissa x varia. O valor (x,b) da função depende, então, apenas de x.

Podemos escrever (x,b)= (x), onde indica uma função de uma só variável x. A

derivada desta função no ponto a,

21

’(a)=lim

x a x a

se existe, é chamada derivada parcial da função , em relação à variável x, no ponto

(a,b), e é designada por x(a,b) ou (a,b)

Tomemos, agora, na paralela ao eixo OY conduzida pelo ponto p, um ponto

variável s=(a,y). Ao variar s, a sua abscissa permanece constante, igual a a; somente a

ordenada y varia. O valor (a,y) da função depende só de y. Podemos escrever (a,y)=

(y), onde indica uma função da única variável y. A derivada desta função no

ponto b,

’(b)=lim

y b y b

se existe, é chamada derivada parcial da função , em relação à variável y, no ponto

(a,b), e é designada por y(a,b) ou (a,b).

Desse modo, definimos para uma função duas variáveis x e y duas derivadas

parciais. A derivada é obtida considerando y constante e derivando a função em

relação a x; a derivada é obtida considerando x constante e derivando a função em

relação a y:

Como se vê, cada derivada parcial da função (x,y) é derivada de uma função

de apenas uma variável; portanto, para calcular as derivadas parciais de f(x,y) podemos

usar correntemente todas as regras de derivação estudadas no curso de Cálculo I.

Exemplos:

1. Consideremos a função z= (x,y)=2x³-3x²y+4xy²+5xy+3x e procuremos as

suas derivadas parciais no ponto p=(2,-1).

22

x(a,b)= (a,b)=lim =

x a

y(a,b)= (a,b)= lim =

y b

(x,y)= x(x,y)=6x²-6xy+4y²+5y+3.

No ponto p(2,-1), temos fx(2,-1)=24+12+4-5+3=38

(x,y)= y(x,y)=-3x²+8xy+5x.

No ponto p= (2,-1), temos:

y(2,-1)=-12-16+10=-18

2. Seja a função z=sen (x²+y²), calculemos as suas derivadas parciais de 1ª ordem.

3. Seja (x,y)= ex cos y + e y sen x, calculemos as suas der. parciais de 1ª ordem.

4. Dada a função g(x,y)-xy² ln(x²+y²), calculemos as suas der. parciais de 1ª ordem

no ponto p = ( ).

Funções de três ou mais variáveis

A noção de derivada parcial estende-se às funções de mais de duas variáveis.

Para derivar em relação a cada variável, supomos constantes todas as outras variáveis.

Assim, se w= (x,y,z), as suas três derivadas parciais, no ponto p=(a,b,c) da região onde

é definida, são:

x a

y b

z c

De modo análogo, definem-se as derivadas parciais de uma função:

y= (x1,x2,x3,.....,xn)

a derivada de em relação à i-ésima variável xi é designada pelos seguintes símbolos:

ou i

No ponto p=(a1,a2,.....,ai,.....,na) da região de Rn onde é definida, a derivada

i(p) é o limite:

23

lim=

xi

ai

Exemplos:

1. Consideremos a função w=x4-3x²y²+5xyz²+3xz+2y-z-12.

As suas três derivadas parciais, em um ponto genérico (x,y,z) R³ são:

wx= =4x³-6xy²+5yz²+3z; wy= =-6x²y+5xz²+2; wz= =10xyz+3x-

1

Se quisermos essas derivadas em ponto particular, bastará substituirmos nas

expressões acima x,y,z pelas coordenadas o ponto.

2. Calculemos as derivadas parciais da função G(x,y,z)=sen(x+y²)+tg no

ponto p=( ).

3 Interpretação geométricaNo caso das funções reais de duas variáveis, podemos dar uma interessante

interpretação geométrica às derivadas parciais. Já sabemos que uma função z= (x,y)

definida em uma região A R² tem por gráfico uma superfície do espaço R³, a

qual se projeta sobre a região A do plano xy.

24

Seja p=(a,b) A; o ponto do gráfico correspondente é M(a,b, (a,b)). O lugar

dos pontos do espaço cuja ordenada y é constante, igual a b, é o plano de equação

y=b, o qual corta a superfície seguindo uma curva C que passa por M. Essa curva

pode ser representada pelo sistema de equações:

y=b

z= (a,b)= (x)

A derivada parcial (p)= x(a,b)= ’(a) é a inclinação da curva C no ponto

M (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C em M forma com o eixo

dos xx).

De modo análogo, o lugar dos pontos de espaço cuja abscissa x é constante,

igual a a, é o plano de equação x=a, o qual corta a superfície seguindo uma

curva D, que também passa pelo ponto M. Essa curva pode representar-se pelo sistema

de equações:

x=a

z= (a,y)= (y)

25

A derivada parcial (p)= y(a,b)= ’(b) é a inclinação da curva D no ponto

M (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva D em M forma com o eixo

dos yy).

As tangentes às duas curvas C e D em M são, em geral, duas retas

concorrentes em M, as quais determinam um plano que se diz plano tangente à

superfície no ponto M. Mais adiante veremos como se acha a equação desse

plano.

4 Funções diferenciáveisSe (x,y) é diferenciável no ponto p=(a,b), então existem as derivadas parciais

e nesse ponto.

Podemos, pois, adotar a seguinte expressão para a diferencial:

d (p)= (p) x + (p) y,

ou, mais simplesmente, deixando subentendido o ponto p:

d = x + y o u d = dx + dy

Funções de mais de duas variáveis – Tudo o que acima dissemos para as

funções de duas variáveis, com relação à diferenciabilidade, se estende às funções de

várias variáveis. Assim, uma função de três variáveis:

w= (x,y,z)

definida em uma região D R³ é diferenciável no ponto p=(a,b,c) D.

26

dw= d = ou dw= d =

Exemplo:

Consideremos a função w= (x,y,z) = x²y³+y²z³+3xyz+2x+5

Temos: = 2xy³+3yz+2, = 3x²y²+2yz³+3xz, = 3y²z²+3xy

A diferencial de é, pois:

dw = d = (2xy³+3yz+2)dx+(3x²y²+2yz³+3xz)dy+(3y²z²+3xy)dz.

Por exemplo, no ponto p=(-1, 0, 2), temos = 2, = -6, = 0;

Portanto, a diferencial em p é d (p) = 2dx-6dy+0dz

Consideremos o caso mais geral de uma função de n variáveis:

y= ( x1, x2, ...., xn)

A diferenciabilidade de em um ponto é definida do mesmo modo já visto

para funções de duas ou de três variáveis.

A diferencial de em um ponto p é:

d (p)=

ou ainda, deixando subentendido o ponto p:

d =

Usando um somatório, podemos escrever, de modo mais condensado:

d =

5 Derivadas parciais de ordem superiorJá vimos que as derivadas parciais de uma função diferenciável de várias

variáveis dependem dessas mesmas variáveis, são funções das ditas variáveis. Podemos

então pensar em derivar parcialmente essas derivadas. Se isso for possível, teremos as

derivadas parciais de segunda ordem da função original. As derivadas parciais das

derivadas de segunda ordem, se existirem, serão derivadas de terceira ordem, e assim

por diante.

Para esclarecer o assunto, consideremos uma função de duas variáveis:

z= (x,y)

27

As suas derivadas parciais de 1ª ordem são, x e y.

Se essas derivadas admitirem derivadas parciais, obteremos 4 derivadas

parciais de 2ª ordem da função original , a saber, xx, xy, yx e yy.

Se as derivadas de 2ª ordem admitirem derivadas parciais, chagaremos as 8

seguintes derivadas parciais de 3ª ordem da função :

xxx, xxy, xyx, xyy, yxx, yxy, yyx e yyy.

Se for possível continuar derivando, teremos 16 derivadas de 4ª ordem, 32 de

5ª ordem, em geral, 2n derivadas de ordem n. Tais são as chamadas derivadas parciais

sucessivas da função . Quanto à notação, podemos também representá-las usando a

notação de Leibniz. Para as derivadas de 1ª ordem temos:

x = , y =

Para as derivadas de 2ª ordem:

xx= = , xy = = ,

yx = = , e yy= = .

De modo análogo, podemos representar as derivadas de ordem 3, 4, etc.

Temos, por exemplo:

xyy=

Indica a derivada obtida após derivar três vezes, sendo a primeira vez em

relação a x, a segunda em relação a y e a terceira em relação a y.

Mais um exemplo:

yxxyx=

É a derivada obtida depois de derivar cinco vezes, sendo a primeira vez em

relação a y, a segunda e a terceira em relação a x, a quarta em relação a y e a quinta em

relação a x. Esta é uma das 25=32 derivadas de 5ª ordem de (x,y).

Consideremos agora uma função de três variáveis:

W=F(x,y,z)

28

E suponhamos que seja possível derivá-la sucessivamente. As derivadas de 1ª

ordem são:

Fx = , Fy = , Fz =

Cada uma delas pode ser derivada em relação a cada uma das três variáveis;

obtemos, pois, 9 derivadas de 2ª ordem, a saber:

Fxx = , Fxy = , Fxz =

Fyx = , Fyy = , Fyz =

Fzx = , Fzy = , Fzz =

Cada uma das nove derivadas acima pode ser derivada em relação a cada uma

das três variáveis x, y, z, e temos desse modo 27 variáveis de 3ª ordem. Continuando a

derivar, teremos 81 derivadas de 4ª ordem, e assim por diante. Em geral, teremos 3n

derivadas parciais de ordem n.

Tomemos, agora, uma função de p variáveis:

y = (x1, x2, ...., xn)

Admitindo que ela possa ser derivada sucessivamente, temos p derivadas de 1ª

ordem:

As quais preferiremos, por simplicidade, indicar por:

1, 2, ...., p.

Cada uma dessas derivadas podendo ser derivada em relação a cada uma das p

variáveis, termos p² derivados de 2ª ordem:

11, 12, ....., 1p, 21, 22, ......, 2p, ....., p1, p2, ....., pp.

Analogamente, teremos p³ derivadas de 3ª ordem, e assim sucessivamente; em

geral, teremos pn derivadas de ordem n.

Exemplos:

1) Tomemos a função (x,y) = x³+2xy²+4y³-6x²+5xy-2y+1

As suas derivadas de 1ª ordem são:

29

x = = 3x²+2y²-12x+5y, y = = 4xy+12y²+5x-2

Calculando as derivadas parciais de 2ª ordem, obtemos:

xx = = 6x-12, xy = = 4y+5

yx = = 4y+5, yy = = 4x+24y

Para as derivadas parciais de 3ª ordem, encontramos:

xxx = 6, xxy = 0, xyx = 0, xyy = 4

yxx = 0, yxy = 4, yyx = 4, yyy =24

Como todas as derivadas de 3ª ordem são funções constantes, é claro que todas

as derivadas parciais de de ordem n 4 são iguais à zero.

2) Consideremos a função g (x,y) = sen(xy)

As suas derivadas parciais de 1ª ordem são, gx=y cos(xy) , gy = x cos(xy)

Calculando as derivadas parciais de 2ª ordem, achamos:

gxx = -y²sen(xy), gxy = cos(xy)-xy sen(xy)

gyx = cos(xy)-sy sen(xy), gyy = -x²sen(xy)

Podemos calcular as derivadas parciais de 3ª ordem e de ordens superiores,

mas vê-se logo que elas terão formas cada vez mais complicadas.

3) Examinemos a função de três variáveis;

(x,y,z) = xy sen z + yz sen x + zx sen y

As derivadas parciais dessa função, conforme se verifica facilmente, são:

x = y sen z + yz cos x + z sen y

y = x sen z + z sen x + zx cos y

z = xy cos z + y sen x + x sen y

Procedendo ao cálculo das derivadas de 2ª ordem, encontramos:

xx = - yz sen x, xy = sen z + z cos x + z cos y

xz = y cos z + y cos x + sen y, yx = sen z + z cos x + z cos y

yy = -zx sen y, yz = x cos z + sen x + x cos y

zx = y cos z + y cos x + sen y, zy = x cos z + sen x + x cos y

zz = -xy sen z

Invertibilidade da ordem de derivação

30

Examinando com atenção os resultados obtidos nos três exemplos que

acabamos de apresentar, com relação às derivadas parciais de 2ª ordem, não podemos

deixar de fazer uma interessante observação.

No exemplo 1, onde trabalhamos com a função

(x,y) = x³+2xy²+4y³-6x²+5xy-2y+1

Obtivemos:

xy = = 4y+5, yx = = 4y+5

Portanto, xy = yx, ou, com outra notação: =

No exemplo 2, referente à função: g (x,y) = sen(xy)

encontramos: gxy = cos(xy)-xy sen(xy), gyx = cos(xy)-sy sen(xy)

Temos, pois, outra vez: gxy = gyx.

No exemplo 3, relativo à função:

(x,y,z) = xy sen z + yz sen x + zx sen y

Achamos, novamente: xy = yx , xz = zx , yz = zy

Será que esse resultado é mera coincidência? Haverá alguma razão mais forte

que o justifique? O exame dessa questão nos conduz a um importante teorema que aqui

vamos apenas enunciar. A demonstração dessa proposição não é difícil, mas por

brevidade não vamos inseri-la neste texto. Trata-se do seguinte:

Teorema – Se a função (x,y) admite todas as derivadas parciais de 2ª ordem

em uma região A R², e se essas derivadas sã funções contínuas em A, então:

=

Em todo ponto p A.

De acordo com esse teorema, a ordem de derivação é irrelevante quando as

derivadas parciais são funções contínuas.

Graças ao teorema enunciado, se, por exemplo, as derivadas de 4ª ordem da

função (x,y) forem contínuas, teremos:

= = =

Todas essas derivadas podem representar-se pelo único símbolo , o

qual indica que a função deve ser derivada três vezes em relação a x e uma vez m

relação a y, em qualquer orem.

31

Concluímos, também, que no caso de derivadas sucessivas contínuas, o

número de derivadas distintas diminui sensivelmente. Já vimos que o número de

derivadas parciais de ordem n de uma função de p variáveis é de pn (supondo existentes

essas derivadas).

6 Aproximação por meio da diferencialSeja (x,y) uma função diferenciável na região A do plano. Se p=(a,b) e q=(a+

x, b+ y) são pontos próximos tais que p, q A, vimos que o acréscimo = ( a+

x, b+ y) - (a,b) pode ser expresso na forma:

= x(a,b) x + y(a,b) y + 1 x+ 2 y

Onde 1 0 e 2 0 quando s 0, sendo s a distância do ponto q ao ponto

p.

A diferencial de no ponto p é :

d = x(a,b) x + y(a,b) y

Portanto: = d + 1 x+ 2 y.

Se s = é muito pequeno, isso é, se q é muito próximo de p, o

acréscimo é aproximadamente igual à diferencial d , o que indicaremos escrevendo:

d .

Do ponto de vista prático, existe vantagem em substituir o acréscimo d

porque enquanto a expressão de é quase sempre complicada, a de d é simples, pois

d é a função linear de x e y. Calcular d dá menos trabalho que calcular .

Mostremos isso em um exemplo.

Exemplo:

Consideremos a função:

(x,y) = x³y² + 2xy³ - 3x² +xy – 2y + 5

32

E tomemos os pontos p= (2,3) e q= (1,999; 3,002). Os acréscimos de x e y

quando passamos de p a q são:

x = 1,999 – 2 = - 0,001

y = 3,002 – 3 = 0,002

Temos: (2,3) = 8 . 9 + 2 . 2 . 27 - 3.4 + 2 . 3 – 2 . 3 + 5 = 173. O acréscimo

da função é:

= (1,999 ; 3,002) - (2,3),

= (1,999)³(3,002)²+2(1,999)(3,002)³-3(1,999)²+(1,999)(3,002)–2

(3,002)+5-173

Efetuando os cálculos indicados, obtemos:

= 0,158973

Calculemos, agora, a diferencial d . Derivando parcialmente a função, temos:

x = 3x²y² + 2y³ - 6x + y, y = 2x³y + 6xy² + x – 2

As derivadas no ponto p = (2,3) são:

x (2,3) = 3 . 4 . 9 + 2 . 27 – 6 . 2 + 3 = 153

y (2,3)= 2 . 8 . 3 + 6 . 2 . 9 + 2 – 2 = 156

A diferencial d (p) é: d (p) = 153 x + 156 y

Para x = - 0,001 e y = 0,002, resulta:

d (p) = 153 (- 0,001) + 156 (0,002) = - 0,153 + 0,312 = 0,159

Observemos que: d

Exemplos:

1)Calcular o acréscimo de volume de um bloco retangular de dimensões x =

5,82m, y = 4,23m, z = 3,57m quando x aumenta de 2cm, y diminui de 1 cm e z aumenta

de 0,5cm.

2)Um vaso de forma cilíndrica é construído de aço inoxidável e as suas

dimensões, medidas pelo lado de dentro do vaso, são: Altura = y = 40cm , diâmetro =

2x = 20cm. Sabendo que a espessura da chapa da qual é feito o vaso é de 1mm, qual é o

volume do material empregado?

3)Usando a diferencial, calcular o valor aproximado do número (0,998)4,001.

33

Plano tangente a uma superfície - Já vimos, no Cálculo I, que se a função y=

(x) é diferenciável no ponto a, então existe a tangente ao gráfico de no ponto P=(a,

(a)).

Consideremos, agora, a equação:

z= (a,b)+ x(a,b)(x-a)+ y(a,b)(y-b)

Ela representa um plano do espaço, o qual passa pelo ponto P=(a,b, (a,b)),

pertencente ao gráfico da função . Trata-se do plano tangente ao gráfico de no ponto

P.

Equação do plano tangente. Normal a uma superfície – Seja z= (x,y) uma

função diferenciável no ponto (a,b), e seja c= (a,b). Conforme acima vimos, a equação

do plano tangente ao gráfico da função no ponto (a,b) pode escrever-se assim:

z-c= x(a,b)(x-a)+ y(a,b)(y-b)

ou, com outra notação: z-c= (x-a)+ (y-b),

Onde deixamos subentendido que as derivadas parciais e são

calculadas no ponto (a,b).

Consideremos a superfície de equação: z= (x,y)

Seja P=(a,b,c), onde c= (a,b), um ponto dela. A normal à superfície no ponto

P é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano tangente neste ponto.

Da equação do plano tangente: (x-a) + (y-b)-( z-c)=0

Deduzimos que a direção da normal é dada pelo vetor = ( , ,-1).

Portanto, podemos escrever as equações da normal à superfície em P na forma:

Onde, repetimos, as derivadas parciais são calculadas no ponto (a,b).

Exemplo:

Seja a superfície de equação:

z= (x,y)=x³+2xy²-6x+y+3

E procuremos o plano tangente e a normal no ponto x=1, y=-2. Neste ponto,

temos: z=1³+2.1.(-2)²-6.1+(-2)+3=4.

34

Portanto, o ponto de tangência (ou de contato) é P=(1,-2,4). Calculemos as

derivadas parciais da função : =3x²+2y²-6, =4xy+1

Os valores dessas derivadas no ponto P são:

=3.1²+2.(-2)²-6=5, =4.1.(-2)+1=-7

Portanto, a equação do plano tangente pedido é:

z-4=5(x-1)-7(y+2) ou 5x-7y-z-15=0.

A reta normal à superfície em P tem por equações:

Ou ainda: x=-5z+21

y=7z-30

7 Derivação de funções compostasSeja z= (x,y) uma função diferenciável e suponhamos que cada uma das

variáveis x,y seja função diferenciável da mesma variável t:

x=x(t), y=y(t)

Neste caso, z depende da única variável t, e podemos pensar em calcular a

derivada . Para isso, poderíamos eliminar as variáveis intermediárias x e y,

escrevendo:

z= (x(t), y(t)),

E, a seguir, derivar diretamente z em relação à t. No entanto, podemos

proceder de outro modo, sem eliminar x e y, usando uma regra de cadeia. Vejamos

como se faz isso.

No ponto t considerado, atribuamos à variável t um acréscimo t. Então, x e y

recebem acréscimos x e y e, em conseqüência, z recebe um acréscimo z. Temos:

x=x(t+ t)-x(t), y=y(t+ t)-y(t)

Como é diferenciável, o acréscimo z pode exprimir-se na forma:

z=

35

Onde, 0 quando s= tende para zero. Dividindo a

igualdade acima por t, obtemos:

=

Fazendo t 0, resulta que x 0 e y 0 porque as funções x e y são

contínuas (porque são diferenciáveis). Nessas condições, 0 e podemos escrever:

Mas:

E:

Por outro lado, . Portanto, temos:

A fórmula acima se estende, de maneira óbvia, ao caso de uma função

diferenciável:

y= (x1,x2,.....,xn),

Onde cada variável xi é função diferenciável da variável t:

xi= xi(t), 1,2,....,n.

Segue-se, então, que y é função de t, e tem-se:

Ou ainda:

Exemplos:

1)Suponhamos que seja:

z=x²+2xy-y²+3x-y+1

onde: x=cos t e y=sen t.

Observemos que x e y são funções de t diferenciáveis em R, e que z é função

de x e y diferenciável em R² (trata-se de um polinômio). Calculemos a derivada em

um ponto qualquer t R. Podemos escrever:

36

=

Mas:

=2x+2y+3, =2x-2y-1, = - sen t , =cos t

Portanto: =(2x+2y+3)( - sen t)+( 2x-2y-1)( cos t)

Calculemos agora a derivada no ponto t= . Neste ponto, temos:

Logo,

Ou seja,

É claro que poderíamos ter resolvido o problema sem usar as derivadas

parciais. Exprimindo z diretamente como função de t, resulta:

z=cos²t+2costsent-sen²t+3cost-sent+1 ou, z= cos2t+sen2t+3cost-sent+1

Derivando em relação a t, obtemos: =-2sen2t+2cos2t-3sent-cost

Para t= , vem: =

Este segundo processo para o cálculo de tem, porém, menor importância

teórica e só se aplica com vantagem em casos muito simples (como o do exemplo dado).

Consideremos, a seguir, uma função de duas variáveis x e y:

z= (x,y)

Diferenciável em uma região A R², e suponhamos que x e y sejam funções

de duas novas variáveis u e v:

37

x=x(u,v) y=y(u,v)

Diferenciáveis em uma região B R². Admitamos que se (u,v) B, então o

ponto (x(u,v),y(u,v)) A. Nessas condições, a cada ponto (u,v) B corresponde um

valor z da função , a saber:

z= (x(u,v), y(u,v)).

Em outras palavras, z é função das variáveis u e v, e podemos calcular as

derivadas parciais e . Para isso, não é necessário exprimir z diretamente como

função de u e v, podemos estabelecer uma regra de cadeia.

Assim,

=

e

As fórmulas acima são muito importantes.

Elas podem ser facilmente generalizadas; seja:

y= (x1, x2,....,xn)

Uma função de n variáveis, diferenciável em uma região A Rn, e

suponhamos que cada uma das variáveis xi seja função de p outras variáveis t1, t2, ...., tp:

xi = xi(t1, t2, ...., tp), i= 1,2,....,n

Diferenciável em uma região B Rp. Admitamos que para cada ponto (t1,

t2, ...., tp) B o correspondente ponto x1, x2,....,xn pertence à região A. Nessas condições y

é função diferenciável das variáveis t1, t2, ...., tp, temos:

Onde j=1,2,....,p. Podemos escrever, de modo mais condensado:

j=1,2,...,p

Essa fórmula exprime a regra para a derivação de funções compostas de várias

variáveis.

38

Exemplos:

2)Seja z=x³+xy²+2y e suponhamos que x=eucosv, y=eusenv. Então, z é função

de u e v, e temos:

= (3x²+y²)eucosv+(2xy+2) eusenv

=(3x²+y²)(-eusenv)+(2xy+2) eucosv

3)Consideremos a função: w=(x+y+z)²+xyz onde x=2r+3s, y=3rs, z= .

É claro que w é função das duas variáveis r e s, e temos:

,

Calculemos as derivadas e no ponto r = 2, s = -1. Nesse ponto,

temos:

x= 2.2 + 3.(-1) = 1, y = 3.2.(-1) =-6, z = =-2

= 2(x+y+z) + yz= -2, = 2(x+y+z) + xz= -16

= 2(x+y+z) + xy= -20, =2

=3s=-3, = =-1, =3, =3r=6, = - = - 2

Portanto, as derivadas parciais de w em relação a r e em relação a s no ponto

considerado são:

= (-2).2+(-16).(-3)+(-20).(-1) = 64, = (-2).3+(-16).6+(-20).(-2) = -

62

Diferencial – Consideremos uma função diferenciável z= (x,y)

e suponhamos que x e y sejam funções diferenciáveis de u e v

x=x(u,v), y=y(u,v)

Então, z é função das variáveis independentes u e v, também diferenciável, e a

diferencial de z é, como sabemos dz=

Ora, já vimos que e

39

Portanto:

dz= +

Ou:

dz= +

Observemos que as expressões entre parênteses são as difereciais das funções

x(u,v) e y(u,v), isto é:

= dx , = dy.

Substituindo na expressão de dz, obtemos:

dz = dx + dy

Observemos, agora, que a expressão da diferencial de uma função z= (x,y)

pode sempre escrever-se na forma acima.

Se x e y são variáveis independentes, então dx e dy se confundem, como já

sabemos, respectivamente com os acréscimos arbitrários x e y. Mas, se x e y são

funções diferenciáveis de outras variáveis, então dx e dy são as diferenciais dessas

funções.

No caso de uma função diferenciável de n variáveis: y= (x1,x2,.....,xn),

A diferencial é: dy =

Ou:

Exemplos:

4)Considere a função z=x³-x²y+xy²-y³ onde x=cos u +sen v, y = sen u+cos v.

Procuremos a diferencial de z no ponto: u= , v=

Neste ponto temos:

40

x=cos + sen ( ) =

y= sen + cos ( ) =

A diferencial de z é: dz = dx + dy ,

Ou seja: dz = (3x²-2xy+y²)dx+(-x²+2xy-3y²)dy

No ponto considerado (x=0, y= ), temos: dz = 3dx – 9dy

Se quisermos obter dz em função de du e dv, deveremos calcular as

diferenciais dx e dy:

dx = du+ dv = -sen u du + cos v dv

dy = du+ dv = cos u du – sen v dv

No ponto dado (u= , v= ), temos:

dx = -sen du + cos ( ) dv =

dy = cos du – sen ( ) dv =

Portanto, temos:

dz = 3dx – 9dy =

dz =

8 Derivação de funções implícitasJá estudou-se no curso de Cálculo I, uma técnica para obtenção da derivada de

uma função y= (x) definida implicitamente por uma equação F(x,y)=0. Tal técnica se

aplicava individualmente a cada caso, e consistia em derivar ambos os membros da

equação em relação à variável x, considerando y como função de x. nenhuma fórmula

geral foi obtida para exprimir a derivada . Recordemos o processo empregado por

meio de um exemplo.

41

Seja dada a equação:

xy³+3x²+y²-6x+5y+6=0

A qual é verificada, como se comprova facilmente, pelas coordenadas do

ponto A=(2,-1). Admitindo que a equação defina y como função de x nas proximidades

do ponto A, qual é a derivada dessa função no dito ponto? Segundo técnica estudada no

Cálculo I, devemos derivar ambos os membros da equação dada em relação a x,

considerando y como função de x; obtemos:

y³+3xy² +6x+2y -6+5 =0

Pondo em evidência nos termos onde comparece, resulta:

(3xy²+2y+5) =-y³-6x+6

Nos pontos (x,y) tais que 3xy²+2y+5 0, temos:

= -

Em particular, a derivada no ponto A-(2,-1) é:

Conhecendo essa derivada, podemos escrever imediatamente a equação da

tangente à curva representada pela equação dada no ponto A=(2,-1) dessa curva, a

saber:

y+1= (x-2), ou 5x+9y-1=0

Vamos, aqui, aprofundar um pouco mais o estudo da questão e procurar

estabelecer uma fórmula geral para o cálculo da derivada . Seja F(x,y) uma função

diferenciável de classe C¹ em uma região D do plano, e consideremos a equação

F(x,y)=0, que, geometricamente, representa uma curva C do plano contida na região D.

Se considerarmos um pequeno arco da cruva C, ele pode ou não, ser o gráfico de uma

função. Se a curva C admite tangente em cada ponto, vemos intuitivamente que se a

tangente em um ponto (tal como o ponto A na figura) não é paralela ao eixo OY, então a

curva C, nas proximidades do ponto A, é o gráfico de uma função de x.

42

Se A=(1,b), vemos, pelo exame da figura, que para uma vizinhança U=(a- ,a+

) do ponto a, suficientemente pequena, a cada x U corresponde um y tal que o ponto

(x,y) é um ponto da curva C (próximo de A). Temos, assim, a função y= (x) definida

implicitamente pela equação F(x,y)=0 nas proximidades do ponto A. Por outro lado, se

a tangente à curva C em um ponto é paralela ao eixo OY, então a curva C, nas

proximidades desse ponto, pode não ser o gráfico de uma função; é isso o que acontece

com o ponto B da figura acima, no qual a tangente à curva C é vertical. Se B=(c,d),

então para toda a vizinhança V=(c- ,c+ ) do ponto C, a vertical conduzida de um ponto

x V poderá encontrar a curva C em mais de um ponto, ou poderá não encontrar a

curva; portanto, não existe função definida implicitamente pela equação F(x,y)=0 na

vizinhança V.

Seja a equação F(x,y)=0 onde F(x,y) é uma função diferenciável de classe C¹

na região D R², e seja A=(a,b) um ponto de D tal que F(a,b)=0. Portanto, A é ponto da

curva C de equação F(x,y)=0. Admitamos que exista uma função diferenciável y= (x),

definida implicitamente pela equação F(x,y)=0 em uma vizinhança U=(a- ,a+ ) do

ponto a. Nessas condições, para todo x U, devemos ter: F(x, (x))=0

O primeiro membro desta última igualdade é, pois, uma função de x que é

constante (igual a zero) em U. Derivando essa função, com o emprego da regra de

derivação das funções compostas, temos:

Ou seja,

Nos pontos da curva C nos quais 0, podemos escrever:

43

Ou, com outra notação:

Em particular, no ponto A=(a,b), temos:

Desde que seja Fy(a,b) 0. A fórmula acima é muito útil e prática para o

cálculo da derivada da função implícita.

O problema da função implícita pode ser estudado com maior aprofundamento

em cursos mais adiantados. Estabelece-se então o seguinte importante

Teorema da função implícita: Se F(x,y) é uma função diferenciável de classe

C¹ em uma região D R², e se A=(a,b) é um ponto de D tal que F(a,b)=0 e Fy(a,b) 0,

então existe uma função (x), diferenciável de classe C¹ em uma vizinhança U=( a- ,a+

) do ponto a, para todo x U.

Esse teorema, que pode ser generalizado ao caso de funções de várias

variáveis, pelas suas importantes aplicações, é, talvez, a proposição mais notável do

Cálculo Diferencial. A sua demonstração, porém, não é trivial, costuma ser apresentada

nos cursos de Análise. Para nossos fins imediatos, são suficientes as informações que já

demos. Em alguns exercícios, resolvidos ou propostos, teremos ocasião de estudar

questões que aparecem frequentemente em aplicações do Cálculo.

Exemplos:

1) Consideremos a equação xy³+3x²+y²-6x+5y+6=0

E o ponto A=(2,-1). Verifica-se imediatamente que F(2,-1)=0. A função

F(x,y), que é um polinômio, é diferenciável de classe C¹ em R². Calculemos a derivada

parcial de F em relação a y:

No ponto A=(2,-1), temos: Fy(2,-1)=6-2+5=9 0

44

Portanto, a equação dada, F(x,y)=0, define y como função diferenciável de x

nas proximidades do ponto A. A derivada dessa função (implícita) no ponto A é:

Substituindo x por 2 e y por -1, resulta =

2)Dada a equação xy-exsen y= , calcular a derivada no ponto

A=(1, ). Achar as equações da tangente e da normal à curva representada pela

equação, no ponto A.

3)Verificar se a equação x²+y²-8x-4y+11=0 define uma das variáveis x, y

como função da outra nas proximidades do ponto A=(7,2).

Equações com mais de duas variáveis – Consideremos uma equação da forma:

F(x,y,z)=0

Onde F(x,y,z) é uma função diferenciável em uma região D R³.

Seja A=(a,b,c) D um ponto tal que F(a,b,c)=0.

Se a derivada parcial de for diferente de zero no ponto A, isto é, se for

F(a,b,c) 0, então poderemos afirmar que a equação dada define a variável z como

função de x e y nas proximidades do ponto A; mais precisamente, existe uma função z=

(x,y), diferenciável em uma vizinhança V do ponto (a,b) em R², tal que (a,b)=c e

F(x,y, (x,y))=0 para todo (x,y) V. É isso o que afirma o teorema da função implícita

para a presente situação.

Considerando que F(x,y,z)=0 para todo (x,y) V, podemos escrever após o

emprego da regra de derivação das funções compostas:

,

Observando que =1, =1 e =0, =0 (porque x e y são variáveis

independentes), resulta:

,

Donde, supondo que seja 0:

45

e

Ou, com outra notação:

De modo análogo, uma equação F(x,y,z,w)=0 pode definir w como função das

três variáveis x,y,z nas proximidades de um ponto A=(a,b,c,d) tal que F(a,b,c,d)=0.

As derivadas parciais de w em relação a x,y,z são dadas pelas fórmulas:

= = =

Onde se supõe que Fw 0.

As fórmulas acima se generalizam para uma equação com n variáveis.

Exemplos:

5)Dada a equação calcular as derivadas e no ponto

A=(0,0,1).

Solução – Podemos escrever a equação dada na forma:

F(x,y,z)=

O ponto A satisfaz à equação, pois temos:

F(0,0,1)=

Calculemos as derivadas parciais de F:

= Fx= yexy+zex, = Fy = xexy- zex , = Fz = - exy+ex

No ponto A=(0,0,1), as derivadas são: Fx= 1, Fy = -1, Fz = 1

Como Fz 0, a equação dada define z como função de x e y nas proximidades

do ponto A; as derivadas parciais dessa função no ponto A são:

= - = - = -1, = - = - = 1

Com esse resultado, podemos ainda escrever a equação do plano tangente à

superfície de equação: exy- eyz + z ex = 1

46

No ponto A; trata-se do plano z-1 = (x-0) + (y-0) ou z-1 = - x + y

ou finalmente: x-y+z-1=0

Sistema de equações – Consideremos o sistema formado por duas equações

com três variáveis x, y, z:

F(x,y,z) = 0

G(x,y,z) = 0

Onde F e G são funções diferenciáveis em certa região do espaço R³.

Com efeito, derivando as equações do sistema em relação a z, por meio da

regra de derivação de funções compostas, obtemos:

Fx + Fy + Fz = 0

Gx + Gy + Gz = 0

Como = 1, podemos escrever:

Fx + Fy = - Fz

Gx + Gy = - Gz

Que é um sistema de equações lineares nas derivadas e . As derivadas

parciais Fx, Fy e Fz são calculadas no ponto A=(a, b, c) da curva representada pelo

sistema de equações original.

A resolução poderá ser feita utilizando qualquer método de resolução de

sistemas lineares.

Exemplos:

6)Dado o sistema de equações:

Calcular as derivadas e no ponto A=(2, -1, 3).

Solução – A primeira equação representa uma esfera e a segunda um

parabolóide hiperbólico. O sistema representa a curva interseção dessas duas

superfícies.

47

O ponto A=(2, -1, 3) pertence a essa curva pois as suas coordenadas

satisfazem às duas equações, como se pode verificar prontamente.

Para calcular as derivadas pedidas, poderíamos aplicar as fórmulas acima

estabelecidas, mas em vez disso, preferiremos usar diretamente sobre o sistema dado as

conhecidas técnicas de derivação. O sistema pode escrever-se assim:

Derivando em relação a z:

2x + 2y + 2z = 0

2x - 2y -1 = 0

No ponto dado A, temos: x=2, y=-1, z=3; portanto:

4 - 2 + 6 = 0

4 + 2 - 1 = 0

Somando, membro a membro:

8 + 5 = 0, donde = .

Subtraindo a primeira equação da segunda:

4 - 7 = 0, donde = .

9 Derivada direcional. GradientePara estudar a questão, tomemos uma função de duas variáveis z= (x,y)

diferenciável em uma região A R², e seja p=(a,b) um ponto de A. Consideremos a

direção orientada no plano definida pelo vetor unitário , o qual forma com os eixos

coordenados OX e OY os ângulos e , respectivamente. =cos , onde

48

onde cos e cos são os co-senos diretores da direção orientada considerada, e que

cos² +cos² = , pois é unitário. Seja q=(a+ x, b+ y) um ponto da região A,

próximo de p e tal que o vetor tenha a mesma direção e o mesmo sentido do vetor .

Nessas condições, designando por s a norma do vetor , podemos escrever:

= x + y =

Portanto: x= s cos , y= s cos . O acréscimo da função , quando

passamos do ponto p ao ponto q, é z= ( a+ x, b+ y)- (a,b)

Como é suposta diferenciável em A, podemos escrever:

z= (p) x+ (p) y+ 1 x+ 2 y,

Onde 1 0 e 2 0 quando s 0. Dividindo essa igualdade por s:

Lembrando que =cos e cos ,

Tomando limites quando s 0, obtemos:

49

A esse limite chamamos derivada da função no ponto p, na direção do vetor

; indicamos tal derivada pelo símbolo (p). Chegamos, assim, à seguinte expressão

da derivada direcional:

(p)=

Consideremos, agora, o vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais

e ; tal vetor é chamado gradiente da função no ponto p e é indicado

por grad (p) ou por (p). O símbolo lê-se “del”. Portanto:

Podemos verificar, que a derivada direcional definida é exatamente o produto

escalar do gradiente pelo vetor unitário , isto é:

Como a função é diferenciável na região A do plano, segue-se que o

gradiente de é definido em cada ponto de A. A região A é um campo vetorial O

ângulo o ângulo que o gradiente de em p forma com o vetor .

50

Esse resultado nos mostra que a derivada da função , no ponto p, na direção

do vetor , é a projeção do gradiente de em p sobre a direção de . Assim, se fixarmos

o ponto p e fizermos variar , a derivada direcional varia e passa pelo seu

máximo valor quando tem a direção e o sentido do gradiente, e passa pelo seu valor

mínimo quando tem a direção do gradiente e o sentido oposto. Além disso, quando

é perpendicular ao gradiente, a derivada direcional é nula.

Em resumo:

= derivada direcional máxima.

= derivada direcional mínima

= 0

Curvas de nível – O lugar dos pontos (x,y) A nos quais a função tem valor

constante é uma curva de nível dessa função. A equação da curva é, pois:

(x,y) = C

Seja p=(a,b) um ponto dessa curva de nível, e sejam x= (t), y= (t) equações

paramétricas da curva nas proximidades do ponto p. Assim, temos ( (t), (t)) = C

Derivando em relação a t, resulta . + . =0

Portanto, no ponto t=to tal que (to) = a e (to) = b, podemos escrever:

(p) . ’(to) + (p) . ’(to) =0

onde

É um vetor tangente à curva de nível no ponto p. A igualdade acima equivale a

esta outra:

(p) = 0,

o que prova que o gradiente da função no ponto p é normal à curva de nível dessa

função que passa por p.

Exemplos:

51

1)Consideremos a função:

(x,y) = x³-2xy²+3x+7

Que é diferenciável em R², e calculemos a sua derivada no ponto p = (2,-1) na

direção do vetor = . O vetor unitário de é:

O gradiente de é:

= + = (3x²-2y²+3) +(-4xy)

No ponto p=(2, -1), temos:

= 13 +8

A derivada de no ponto p, na direção do vetor é, pois:

(p) = (p) = 13 . +8 .

Ou,

(p) =

A derivada direcional máxima de no ponto p é a derivada na direção do

gradiente nesse ponto; o valor dessa derivada máxima é:

Funções de três ou mais variáveis – O que acima foi dito sobre derivada

direcional e gradiente para funções de duas variáveis aplica-se às funções de mais de

duas variáveis.

Consideremos uma função de três variáveis

w= (x, y, z)

Diferenciável em uma região A R³, e seja p=(a,b,c) A. Seja um vetor

unitário do espaço R³, o qual forma com os eixos coordenados OX, OY e OZ os ângulos

, e , respectivamente. Temos:

= cos +cos +cos

Procedendo exatamente como fizemos no caso de duas variáveis, podemos

concluir que a derivada de , no ponto p, na direção do vetor , é:

(p)=

Ou ainda:

52

Onde (p) = é o gradiente da função no

ponto p.

Superfícies de nível – O lugar dos pontos q=(x,y,z) A nos quais a função

tem um valor constante C diz-se uma superfície de nível da função. A equação dessa

superfície é (x,y,z)=0

Se p=(a,b,c) é ponto dessa superfície, então (a,b,c)=C. Se (p) 0, sabemos

que a equação (x,y,z)=C,

Define z como função implícita de x e y nas proximidades do ponto p. A

equação do plano tangente à superfície de nível no ponto p é:

z – c = (x-a)+ (y-b),

Onde as derivadas parciais são calculadas em p.

Mas já vimos que:

e

Levando esses valores na equação do plano tangente, eliminando os

denominadores e transpondo termos, resulta, para o plano tangente à superfície de nível

no ponto p a equação:

(x-a)+ (y-b)+ (z-c)=0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto p. O vetor:

(p) + (p) + (p) = (p)

É, como sabemos da Geometria Analítica, perpendicular ao plano tangente

acima considerado. Isso mostra que o gradiente da função no ponto p é um vetor

normal à superfície de nível da função que passa por esse ponto.

53

Exemplos:

2)Calculemos a derivada da função r= (x,y,z)=

No ponto p=(2, -2, 1), na direção do vetor , onde A=(3, -4, 2) e B=(4,-2,0).

Temos = - = + - . O vetor unitário de é:

=

Calculemos o gradiente de :

= , = , =

No ponto p=(2, -2, 1), temos = , = - , =

Portanto, (p) = ( + - )

A derivada de no ponto p, na direção do vetor é, pois:

(p) . =

3)Procuremos o plano tangente à superfície de equação:

xyz+x-y-z+6=0

No ponto p=(2, 3, -1).

Façamos F(x,y,z)= xyz+x-y-z+6. A equação da superfície é, pois:

F(x,y,z)=0.

O ponto p pertence à superfície, pois temos F(2, 3, -1)=0, como se verifica

prontamente. O plano tangente à superfície em p é:

Mas:

= yz+1 (p)= - 2

= xz-1 (p)= -3

= xy-1 (p)=5

Assim, o plano tangente é: -2(x-2)-3(y-3)+5(z+1)=0 ou 2x+3y-5z-18=0.

As equações da reta normal à superfície considerada no ponto p são:

54

10 Máximos e mínimosNo cálculo I estudamos as noções de máximo e mínimo (absolutos e locais)

para funções de uma variável. No caso das funções diferenciáveis, estabelecemos

critérios locais. Vamos, agora, estender esse estudo às funções de mais de uma variável;

veremos que o problema é mais complicado.

Teorema – Se (x,y) é uma função contínua no conjunto compacto A R²,

então admite máximo e mínimo em A.

Recorde-se que A R² é compacto se é limitado e fechado. Não

apresentaremos a demonstração do teorema citado.

Caso das funções diferenciáveis – Para as funções diferenciáveis, podemos

estabelecer um teorema muito útil, o qual nos dá uma condição necessária para que em

dado ponto ocorra o máximo (ou o mínimo) da função em uma região do plano.

Seja : A R uma função diferenciável na região A R². Seja p=(a,b) A . Se

(a,b) é o máximo (ou o mínimo) da função na região (aberta) A, então (p)=0 e

(p)=0. Em outros termos, o gradiente de no ponto p é o vetor zero: (p) = .

Pontos críticos de uma função – Seja : A R uma função diferenciável na

região A R². Um ponto p=(a,b) A diz-se crítico para a função se em p se anulam as

derivadas parciais da função:

(p) = 0 e (p) = 0

Em outras palavras, um ponto p A é crítico se o gradiente da função p é o

vetor zero: (p) = .

O valor (a,b) que a função assume em um ponto crítico diz-se um valor

crítico da função. Um ponto crítico é também chamado ponto estacionário da função.

Se a função diferenciável (x,y) admitir máximo (ou mínimo) em uma região

A R², tal extremo ocorrerá em um ponto crítico da função.

55

Máximos e mínimos locais – Seja (x,y) uma função definida em uma região

A do plano e seja p=(a,b) A. Dizemos que a função tem um máximo local no ponto

p, ou que (a,b) é um máximo local da função, se e somente se existe uma vizinhança V

do ponto p em R², V A, tal que (a,b) seja o máximo da função em V. Definimos de

modo análogo o conceito de mínimo local da função.

Os máximos e os mínimos locais de uma função diferenciável ocorrem em

pontos críticos da função. Tais pontos são encontrados resolvendo-se o sistema de

equações = 0 e = 0

Se não houver ponto crítico em A, poderemos afirmar que a função não tem

máximo nem mínimo local nessa região. Se houver pontos críticos em A, deveremos

examinar cada um deles, pois nem sempre um ponto crítico é ponto de máximo ou de

mínimo. Vamos ilustrar esta última afirmação com um exemplo:

Exemplo:

3)Consideremos a função :R² R definida por (x,y)=x²-y².

Temos: =2x, =-2y. Igualando a zero essas derivadas obtemos: x=0 ,

y=0.

Portanto, o único ponto crítico de é a origem (0,0). É fácil mostrar que no

ponto (0,0) não há máximo nem mínimo local da função. Com efeito, em toda

vizinhança da origem existem pontos, tais como (h,0), com h 0, nos quais o valor de

é maior que na origem, (h,0) = h²-0² = h²>0 = (0,0), e também existem pontos, tais

como (o,k), com k 0, nos quais o valor de é menor que na origem, (0,k) = 0²-k² = -

k²<0 = (0,0).

Um ponto crítico no qual não há máximo local, nem mínimo local, como o

ponto (0,0) para a função do presente exemplo, é o que se chama um ponto de sela da

função. O nome provém exatamente do aspecto apresentado pelo gráfico da função

acima considerada nas proximidades da origem, que lembra uma sela de montaria. A

superfície de equação z = x²-y² é, como já vimos em outra parte deste curso, um

parabolóide hiperbólico.

56

4)Seja g:R² R a função definida por g(x,y) = x²+y². Temos:

= 2x, = 2y

O único ponto crítico de g é obviamente (0,0) e, por mero exame da função,

concluímos que em tal ponto existe mínimo local de g.

5)Tomemos agora a função h:R² R tal que h(x,y)= - x²-y². Temos:

= -2x, = -2y

O ponto (0,0) é o único ponto crítico de h, e é óbvio que nesse ponto a função

h admite máximo local.

Em geral o exame de um ponto crítico não é tão simples como nos exemplos

acima apresentados. Se a função é de classe C² na região considerada, podemos apelar

para as derivadas de segunda ordem no exame de cada ponto crítico.

Emprego das derivadas de 2ª ordem

Seja (x,y) uma função diferenciável de classe C² em uma região A R² e seja

p=(a,b) A um ponto crítico de . Como já sabemos, tal ponto é solução do sistema de

equações:

x=0, y=0.

Com as derivadas parciais de 2ª ordem formemos a função:

que se diz o hessiano da função (em homenagem ao matemático L. Otto Hess).

Desenvolvendo o determinante e recordando que yx= xy, temos:

H(x,y) = xx yy - xy² (*)

Calculemos o valor do hessiano no ponto crítico p=(a,b). Temos três

alternativas:

57

1) H(a,b)>0. Neste caso, a expressão (*) acima mostrada que xx(a,b) e yy(a,b)

têm o mesmo sinal.

Se xx(a,b)>0, há mínimo local no ponto p.

Se xx (a,b)<0, há Maximo local no ponto p.

2)H(a,b)<0. Neste caso, o ponto crítico p=(a,b) é ponto de sela; não há

máximo, nem mínimo local em p.

3)H(a,b)=0. Neste caso, nada podemos afirmar sobre o ponto crítico p.

Exemplos:

6)Procuremos os extremos locais da função : R² R assim definida:

(x,y) = x²+xy+y²-2x-2y

Temos:

x=2x+y-2

y=x+2y-2

Igualando a zero essas derivadas temos o sistema:

2x+y-2=0

x+2y-2=0

Cuja solução (única) é x= e y= . Portanto, o único ponto crítico da função é

p= .

As derivadas parciais de 2ª ordem da função são:

xx =2, yy =2, yx= xy=1.

O hessiano de no ponto crítico p é:

Como H(p)>0, concluímos que existe mínimo local em p. O valor desse

mínimo local é:

58

7)Estudemos os máximos e mínimos locais da função g: R² R definida assim:

g(x,y)=2x4-x²+y²-2y

Extremos de funções de mais de duas variáveis – Os conceitos de máximo e de

mínimo de uma função de n variáveis y= ( x1,x2,.....,xn) em um domínio D Rn podem ser

definidos de modo análogo ao já apresentado no caso de duas variáveis.

Consideremos uma função de três variáveis w= (x,y,z) de classe C² em uma região A

R³. Se p A é um ponto de máximo local ou de mínimo local de , devemos ter:

x (p) = 0, y(p) = 0 e z(p)=0.

Tais condições nos dizem que p deve ser um ponto crítico da função. Elas não

bastam para que exista máximo local ou mínimo local em p. Vamos agora, descrever

condições suficientes para tal fim. Com as derivadas de 2ª ordem da função formemos a

chamada matriz hessiana de , a saber:

Em vista da continuidade das derivadas de 2ª ordem, trata-se de uma matriz

quadrada simétrica. Seja H(p) a matriz hessiana calculada no ponto crítico p. Tomemos,

a seguir, as submatrizes principais de H(p):

,

E calculemos os seus determinantes. Podemos então afirmar:

1)se det H1>0, det H2>0 e det H3>0, existe mínimo local no ponto p.

2) se det H1<0, det H2>0 e det H3<0, existe máximo local no ponto p.

Exemplos:

8)Procuremos os extremos locais da função : R³ R assim definida:

(x,y,z) = x²+y²+z²-xy+3x-2z.

59

Temos: x=2x-y+3, y= 2y-x e z=2z-2. Igualando essas derivadas a zero e

resolvendo o sistema resultante, encontramos o único ponto crítico p=(-2,-1,1). A matriz

hessiana de é:

A matriz hessiana no ponto crítico p=(-2,-11) é, pois:

H(p)=

E os seus determinantes menos principais são:

|2|=2, ,

Como são todos positivos, podemos afirmar que em p existe um mínimo local

de . O valor desse mínimo é (-2,-1,1)=-4.

Extremos de funções implícitas – Para procurar os máximos e mínimos locais

de funções diferenciáveis definidas implicitamente por meio de equações, aplicamos as

mesmas regras estabelecidas acima.

Exemplos:

9)Procuremos os máximos e mínimos locais da função z= (x,y) definida

implicitamente pela equação F(x,y,z)= x³-y²-3x+4y+z2+ z – 8 = 0

As derivadas parciais da função z= (x,y) são:

zx = = , zy= =

Supondo-se que seja Fz=2z+1 0. Para encontrar os pontos críticos de

devemos resolver o sistema zx =0, zy=0. Obtemos: 3x²-3=0, -2y+4=0, donde os pontos

críticos: x=1, y=2 e x=-1, y=2.

Para calcular z= (1,2), devemos fazer x=1 e y=2 na equação dada:

F(1,2,z)=1³-2²-3.1+4.2+z²+z-8=0,

Donde: z²+z-6=0.

Resolvendo essa equação do 2° grau, resulta: z=2 ou z=-3.

60

Portanto, na vizinhança do ponto p=(1,2) a equação dada F(x,y,z)=0 define

duas funções. Nas superfícies que representam essas funções, os pontos A=(1,2,2) e

B=(1,2,-3) são críticos.

Analogamente, para calcular z= (-1,2), devemos fazer x=-1 e y=2 na equação

dada; obtemos:

F(-1,2,z)=(-1)²-2²-3.(-1)+4.2+z²+z-8=0,

Ou seja: z²+z-2=0,

Equação cujas raízes são z=1 e z=-2.

Na vizinhança do ponto q=(-1,2) a equação dada F(x,y,z)=0 define duas

funções e nas superfícies que representam essas funções são críticos os pontos

C=(-1,2,1) e D=(-1,2,-2).

Temos, agora, que examinar os quatro pontos críticos acima encontrados, a

fim de verificar se há neles máximo ou mínimo local de z. Para isso, calculemos as

derivadas de 2ª ordem da função z:

Vamos calcular essas derivadas em cada um dos quatro pontos críticos A, B,

C, D. Lembremo-nos de que em todos eles as derivadas parciais de 1ª ordem são nulas.

No ponto A=(1,2,2), temos:

zxx= , zxy=zyz=0, zyy=

O hessiano H(A) é:

61

O ponto crítico A é uma sela; não há máximo local, nem mínimo local.

No ponto B=(1,2,-3), encontramos:

zxx= , zxy=zyz=0, zyy=

O hessiano H(B) é:

Em B também temos ponto de sela.

No ponto C=(-1,2,1), achamos:

zxx=2, zxy=zyz=0, zyy=

O hessiano H(C) é:

Como zxx>0 e H(C)>0, existe mínimo local em C; o valor mínimo é z=0, já

antes calculado.

No ponto D=(-1,2,-2), temos:

zxx=-2, zxy=zyz=0, zyy= -

O hessiano H(D) é:

Como zxx<0 e H(D)>0, existe máximo local em D; o valor máximo é z=0.

11 Máximos e mínimos condicionados

Existem problemas cuja solução consiste em maximizar ou minimizar o valor

de uma função de várias variáveis, as quais estão sujeitas a certas restrições que se

traduzem por meio de equações ou de desigualdades. O problema geral é vasto e

existem teorias inteiras para o estudo de alguns de seus casos particulares. Citamos, para

exemplificar, a teoria chama Programação Linear que é exatamente o estudo do

62

problema acima mencionado no caso em que a função a maximizar ou minimizar é

linear, e também são lineares as igualdades e desigualdades que expressam as restrições.

Aqui apresentaremos apenas uma noção do assunto, em casos extremamente

simples.

Consideremos uma função de duas variáveis:

z= (x,y)

diferenciável em uma região A do plano. Suponhamos que as variáveis x e y devam

satisfazer a uma equação:

g(x,y)=0

onde g indica uma função também diferenciável. Queremos achar os extremos locais da

função . Em casos muito simples, podemos resolver a equação g(x,y)=0 em relação a

uma das variáveis; se encontrarmos, por exemplo, y= (x), resultará z= (x, (x)).

Teremos então um problema de máximos e mínimos locais de função de uma variável x;

para resolvê-lo, poderemos usar a técnica já estudada no Cálculo I.

Pode, porém, ser difícil ou mesmo impossível resolver a equação g(x,y)=0; se

é esse o caso, poderemos examinar o problema sob outro ponto de vista. Observemos

que os pontos (x,y) da região A que verificam a equação g(x,y)=0 constituem uma curva

C A. Estamos interessados em considerar os valores da função apenas nos pontos da

curva C. Mais particularmente, desejamos determinar os pontos da curva C nos quais a

função assume valores máximos locais e mínimos locais. Uma análise geométrica do

problema não só projetará mais luz sobre a questão, mas ainda nos dará a pista para

encontrar a solução.

63

Consideremos as curvas de nível da função na região A e assinalemos em

cada uma delas o nível correspondente. Assim a curva c4, por exemplo, é o lugar dos

pontos (x,y) A tais que (x,y)= c4. Para fixar as idéias, suponhamos que seja

c1<c2<c3<c4<c5<c6<....

Seja p um ponto que se move sobre a curva C no sentido indicado pelas setas

na figura. À medida que p se move, o valor da função em p varia. Nas posições

particulares p2 ,p3 ,p4 a função assume os valores c2, c3, c4, respectivamente e, em face da

hipótese acima, o valor (p) está crescendo. No ponto p5, o ponto móvel p volta a

atravessar as curvas de nível c4 e c3; o valor (p) está agora decrescendo. Vemos, desse

modo, que a função passa por um valor máximo local no ponto p5. Analogamente,

quando o ponto móvel p passa pela posição q2, o valor (p) da função por um mínimo

local, pois os níveis decrescem quando p descreve o arco p5q2 e, ultrapassado q2, os

níveis crescem novamente.

Esse estudo intuitivo nos mostra que os máximos e os mínimos locais da

função (x,y), sujeita à restrição g(x,y)=0, ocorrem em pontos nos quais a curva C, de

equação g(x,y)=0, tangencia as curvas de nível de . Um pouco de reflexão mostra que

a recíproca dessa afirmação é necessariamente verdadeira (a curva C pode tangenciar

uma curva de nível de sem que haja, no ponto de tangência, máximo ou mínimo

local).

Método de Lagrange – Retomemos o nosso problema original, que consiste em

determinar os máximos e mínimos locais da função:

z= (x,y)

Definida na região A R², sob a restrição g(x,y)=0.

64

Admitiremos que e g sejam funções diferenciáveis em A e que os seus

gradientes não se anulem em A, isto é:

e

A primeira coisa a fazer é achar os pontos (x,y) A onde ocorrem os máximos

e mínimos procurados. O estudo geométrico acima feito, sugere um interessante

método, chamado método Lagrange, para a determinação desses pontos.

Seja P=(a,b) A um ponto onde ocorre máximo ou mínimo local de nas

condições impostas. Devemos ter:

g(a,b)=0

Por outro lado, a curva C de equação g(x,y)=0 deve tangenciar em P a curva

de nível de que passa por este ponto, a qual tem por equação:

(x,y)= (a,b)

Assim, as duas curvas devem ter a mesma tangente em P e, portanto, também

devem ter em P a mesma reta normal.

Ora, a direção da normal à curva C em P é a direção do gradiente g(P) e a

direção da normal à curva de nível da função em P é a direção do gradiente (P).

Segue-se que esses gradientes devem ser vetores colineares, isto é, deve existir R tal

que:

(P) + g(P) =

O número é chamado multiplicador de Lagrange.

Lembrando que: (P) = (a,b) + (a,b)

e: g(P) = (a,b) + (a,b)

A equação vetorial acima se desdobra nas duas seguintes equações:

(a,b) + (a,b) = 0

(a,b) + (a,b) = 0

Concluímos que as coordenadas a, b do ponto P no qual ocorre máximo ou

mínimo local da função (x,y) sujeita à restrição g(x,y)=0, satisfazem ao sistema de

equações:

(a,b) + (a,b) = 0

65

(*)

(a,b) + (a,b) = 0

g(a,b) = 0

Para algum valor real de .

Portanto, se resolvermos esse sistema, onde as incógnitas são a, b e ,

encontraremos entre as soluções os pontos onde ocorrem os máximos e mínimos

procurados. Convém lembrar, porém, que um ponto pode ser solução do dito sistema

sem que exista nele máximo ou mínimo local da função. Por isso, após resolver o

sistema é necessário proceder a um exame de cada solução.

Consideremos, agora, a função de três variáveis assim definida:

F(x, y, ) = (x,y) + g(x,y)

Ela é obtida somando-se à função (x,y) a função g(x,y) multiplicada por um

parâmetro (ou multiplicador) .

As condições necessárias para que exista máximo ou mínimo local de F no

ponto (a,b, ) são, como sabemos:

(a, b, ) = 0

(a, b, ) = 0

(a, b, ) = 0

Mas, tendo em vista a definição de F, resulta:

(a, b, ) = (a,b) + (a,b) = 0

(a, b, ) = (a,b) + (a,b) = 0

(a, b, ) = g(a,b)

Segue-se que o sistema (**) é exatamente o sistema (*) antes estabelecido.

Resulta daí que as soluções do sistema (*) são precisamente os pontos críticos

da função F(a,b, ). O método de Lagrange consiste em reduzir o problema da procura

da função z= (x,y), sujeita à restrição g(x,y)=0, ao problema da procura dos pontos

críticos da função:

F(a,b, ) = (x,y) + g(x,y)

Chamada, às vezes, função lagrangeana do problema original.

66

(**)

O método Lagrange estende-se às funções de mais de duas variáveis, mas não

cuidaremos dessa generalização neste curso.

Exemplos:

1)Procuremos os máximos e mínimos locais da função z=xy

onde as variáveis x, y estão sujeitas à restrição: x+4y-8=0

Solução: Vamos resolver o problema pelo método de Lagrange. A função a

extremar é (x,y) = xy

E a restrição ég(x,y) = x+4y-8 = 0

Formemos a função lagrangeana F(a, b, ) = xy + (x+4y-8)

Procuremos os pontos críticos de F:

= y+ = 0, = x+ 4 = 0, = x + 4y – 8 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos o único ponto crítico x=4, y=1, =-1.

Se houver máximo ou mínimo local, ocorrerá no ponto P=(4,1) e o seu valor

será z=xy=4.1=4. De fato, este valor é um máximo local de z, como podemos ver por

uma simples verificação. Tomemos na reta r de equação:

x + 4y – 8 = 0, ou x= 8 – 4y,

Um ponto Q próximo de P. Seja y=1+k, onde k é suposto pequeno, a ordenada

de Q; a abscissa de Q será x=8-4(1+k) = 4(1-k). Portanto, Q=(4(1-k), 1+k). O valor de z

no ponto Q é:

z=xy=4(1-k).(1+k)=4(1-k²) ou z=4-4k²<4

Portanto, os valores da função z em pontos Q da reta r próximos de P, de

qualquer lado de P, são menores que o valor de z no ponto P. logo, em P temos máximo

local da função z.

Exemplo: Determinar o máximo e mínimo da função z = 2x + y sobre o

círculo x2 + y2 = 5, usando o Método de Lagrange.

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