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BLOG CÁLCULO BÁSICO

Geometria Plana para concursos

Mais de 200 questões com gabarito

Thieres Machado

Setembro de 2012

O presente material aborda a Geometria Plana de forma direta sem demonstrações dos resultados. O mais importante do material são as questões de concursos, para aqueles que possuem muita dificuldade no assunto, aconselha-se antes rever a teoria, pois a teoria presente neste material está de forma bem resumida. O material tem por objetivo, através da resolução de problemas, fornecer embasamento para problemas mais avançados de Geometria Plana.

SUMÁRIO

GEOMETRIA PLANA

ESTUDO DA RETA ............................................................................................................................ 3 ÂNGULOS ......................................................................................................................................... 5

TRIÂNGULOS ................................................................................................................................. 11

QUADRILÁTEROS ........................................................................................................................... 15 POLÍGONOS .................................................................................................................................... 18

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO ....................................................................................................... 20

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ..................................................................................................... 24

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..................................................................... 24 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................................................ 28 POLÍGONOS REGULARES ............................................................................................................... 30 COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................... 32

ÁREAS ........................................................................................................................................... 32

O gabarito e a bibliografia se encontrão na última página, página 37.

Geometria Plana

calculobasico.blogspot.com.br 3 Thieres Machado

1. Conceitos Primitivos São conceitos que não tem definição, isto é, aceitaremos como verdadeiro para a partir disso formar a teoria. Adotaremos sem definir os conceitos de: PONTO, RETA e PLANO. De cada um desses entes temos apenas o conhecimento intuitivo, decorrente da experiência e da observação. 2. Notação de ponto, reta e plano - Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ... - Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ... - Plano - letras gregas minúsculas: , , ,...α β δ

3. Estudo da reta A reta obedece a dois princípios básicos (postulados): 1º. Por um ponto passam infinitas retas. 2º. Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Vamos indicar a reta que passa pelos pontos A e B por AB

��.

4. Pontos colineares Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.

5. Posições relativas de duas retas no plano Duas retas distintas em um plano podem ser:

a) Retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.

b) Retas paralelas: quando não têm ponto comum.

Exemplo: Os trilhos de uma estrada de ferro, a distância entre eles é sempre a mesma. 6. Semirreta Dada uma reta r, um ponto P dessa reta divide a mesma em duas partes, denominadas semirretas de origem P.

Na figura temos as semirretas: PA

�� e PB��

. 7. Segmento de reta Um segmento de reta é formado por dois pontos de uma reta e pelos pontos que estão entre eles.

8. Segmentos congruentes Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais.

Indicação:

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9. Ponto médio de um segmento Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se M está entre A e B e AM é congruente a MB .

Exercícios resolvidos 1. Determine x, sendo AD = 45 cm.

2. Determine x, sendo M o ponto médio de AB .

3. Qual o valor de x, na figura abaixo?

Exercícios propostos 1. São conceitos primitivos da geometria:

a) ponto, segmento e reta. b) ponto, segmento e plano. c) ponto, reta e plano. d) ponto, reta e semirreta. 2. O número de retas que passam por dois pontos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 3. Os pontos A, B e C são colineares quando: a) dois pertencerem a uma reta. b) cada um pertencer a uma reta. c) os três pertencerem à mesma reta. d) n.d.a. 4. A medida de um segmento é o dobro da medida de outro. Se a soma das medidas dos dois segmentos é 27 cm, o menor deles mede, em cm: a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 5. Se AB = 42 cm, então a medida do segmento CD é:

a) 19 cm b) 21 cm c) 20 cm d) 22 cm

6. Numa reta tomamos os pontos X, Y e Z nesta ordem, com XY = 6 cm e YZ = 10 cm. Sendo P o ponto médio de XZ , quanto mede YP , em cm? a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 16 7.(CBMRJ) Uma régua é dividida em doze partes iguais, e a distância compreendida por cinco marcações consecutivas mede 12 cm, como ilustra a figura abaixo.

O comprimento da régua, em centímetros, é: a) 24 b) 27 c) 30 d) 33 e) 36

e são congruentes.

Solução: x + 13 + x + 2 = 45 .

Solução: .

Solução:

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8.(EsSA) Na figura abaixo, o segmento AB mede 14 cm e o segmento MN mede 12 cm. M é ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC. A medida do segmento AC, em cm, é:

a) 28 b) 20 c) 12 d) 19 e) 24 9.(OBMEP) Daniela quer cercar o terreno representado pela figura. Nessa figura dois lados consecutivos são sempre perpendiculares e as medidas de alguns lados estão indicadas em metros. Quantos metros de cerca Daniela terá que comprar? a) 140 b) 280 c) 320 d) 1800 e) 4800 10.(OBM) Um serralheiro solda varetas de metal para produzir peças iguais que serão juntadas para formar o painel abaixo. O desenho logo abaixo do painel apresenta as medidas, em centímetros, de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.

Qual dos desenhos abaixo representa o final do painel?

a) b) c)

d) e) 10. Ângulos

Chama-se ângulo a reunião de duas semirretas de mesma origem, não contidas numa reta (não colineares).

11. Unidade de medida de um ângulo (sistema sexagesimal) Os ângulos são medidos em graus, cujo símbolo é: � . Exemplo:

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto ( ' ) e segundo ( " ). - Um grau possui 60 minutos: 1 60'° = . - Um minuto possui 60 segundos: 1' 60''= . Exemplo: med(AÔB) = 23° 15' 47" (vinte e três graus, quinze minutos e quarenta e sete segundos)

Os elementos são: Vértice O

Lados e

Indicação ou , Ô, .

1° = da circunferência.

med(AÔB) = 45° ou AÔB = 45° (quarenta e cinco graus).

Dica para converter:

GRAU MINUTO SEGUNDO

GRAU SEGUNDO

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Exercícios resolvidos 4. Em 1° 1' 1" há quantos segundos? 5. Calcule (operações com medidas de ângulos): a) 15° 38' 35" + 37° 10' 46" b) 42° 13' 47" - 18° 5' 54" c) 20° 12' 36" × 2 d) 37° 15' 40" : 2

12. Ângulos congruentes São ângulos que possuem a mesma medida.

13. Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

14. Ângulos Adjacentes Dois ângulos são adjacentes quando têm um lado comum e não têm pontos internos comuns.

14. Tipos de Ângulos - Ângulo reto: medida é 90°. - Ângulo agudo: medida é menor do que 90°. - Ângulo obtuso: medida é maior do que 90°.

- Ângulo raso ou meia-volta: mede 180°. - Ângulo de uma volta: mede 360°.

- Ângulos complementares

Solução: 3600" + 60" + 1" = 3661".

AÔB e são congruentes.

Indica-se: .

é bissetriz de AÔB, então med(AÔM) = med(BÔM).

e são ângulos adjacentes.

A semirreta é lado comum.

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Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°. - Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°. - Ângulos replementares Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é 360°. 15. Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.) Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.

Propriedade: dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

ˆ ˆmed(a) med(c)= e ˆ ˆmed(b) med(d)=

16. Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal Considere duas retas paralelas r e s (r // s) cortadas pela transversal t. Essas retas formam oito ângulos. Vejamos os pares de ângulos formados:

Ângulos correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8. colaterais internos: 3 e 6; 4 e 5. colaterais externos: 1 e 8; 2 e 7. alternos internos: 3 e 5; 4 e 6. alternos externos: 1 e 7; 2 e 8 .

Propriedades: - Ângulos correspondentes são congruentes:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 5,2 6,3 7,4 8≡ ≡ ≡ ≡ - Ângulos alternos internos (externos) são congruentes:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 5,4 6,1 7,2 8≡ ≡ ≡ ≡ - Ângulos colaterais internos (externos) são suplementares:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 6 4 5 1 8 2 7 180+ = + = + = + = ° 17. Ângulo formado pelos ponteiros de um relógio

A cada 60 minutos do ponteiro dos minutos, o ponteiro das horas gira 30°.

Ponteiro das horas:

1h _______ 30º

60 min ____30º

Exemplo: Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às 8h 20min.

e são ângulos opostos pelo vértice.

e são ângulos opostos pelo vértice.

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60min _____30º 20min _____ x 60x = 600º x = 10º α = 30º + 30º + 30º + 30º + x α = 120º + x, então α = 130°. Podemos encontrar o ângulo entre os ponteiros de um relógio através da expressão:

60h 11m

2

−α = , onde h são as horas e m os

minutos, com h = 0, 1, 2, ..., 10, 11

m = 0, 1, 2, ..., 59

.

No exemplo anterior, temos h = 8 e m = 20, logo na fórmula:

60.8 11.20 480 220130 .

2 2

− −α = = = °

Exercícios Resolvidos 6. Determine o valor dos ângulos indicados pelas letras.

7. Calcule x e y:

8. Calcular os valores das medidas do complemento, suplemento e replemento do ângulo cuja medida é 37° 12' 42". Dica! Complemento de um ângulo x: 90° - x. Suplemento de um ângulo x: 180° - x.

é bissetriz de AÔB.

Solução: a) 2x + x = 60° x = 20°. b) 140° + 90° + x + 90° = 360° x = 40°. c) 141° + x = 180° x = 39°. d) y + y + 18° = 90° y = 36°. e) 5y - 20° = 2y + 10° y = 10°.

Solução: a) 3x - 15° = 60° x = 25°. y + 60° = 180° y = 120°. b) 2x - 30° + 3x + 20° = 180° x = 38°. y = 2x - 30° y = 46°.

Cálculo do complemento: 90° - 37° 12' 42" = 52° 47' 18". Cálculo do suplemento: 180° - 37° 12' 42" = 142° 47' 18". Cálculo do replemento: 360° - 37° 12' 42" = 322° 47' 18".

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9. Sabendo que r // s, determine x e y:

Exercícios propostos 11. Dois terços de 120° é: a) 40° b) 90° c) 80° d) 180° 12. A metade de 25° é igual a: a) 12° b) 13° c) 12° 30' d) 13° 30' 13. Se x = 27º 45’ 20” e y = 13º 15’40”, então x + y é igual a: a) 41º b) 42º c) 41º 1’ d) 42º 1’ 14. O quádruplo de 25º 47’ 08” é: a) 102º 08’ 32” b) 103º 28’ 32” c) 100º 08’ 32” d) 102º 18’ 32” 15. A medida expressa por 90º - (10º 12’) x 6 é: a) 28º18’ b) 28º47’ c) 29º18’ d) 28º48’

16. A medida expressa por (35º45’ + 20º30’):3 é: a) 28º47’30’’ b) 28º47’ c) 18º45’ d) 18º25’ 17. Se a soma das medidas de dois ângulos é 150º e a medida de um deles é o dobro da medida do outro, então o menor deles mede: a) 40º b) 50º c) 80º d) 100º 18. Qual a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio as 3h 30min? a) 65° b) 75° c) 90° d) 295° 19.(UFMG) A diferença entre os menores ângulos dos ponteiros de um relógio que marca 2h 30min e de outro que marca 1h é: a) 75° b) 90° c) 105° d) 135° 20. Entre 12h 30min e 13h 10min, o ponteiro das horas de um relógio percorre um ângulo de: a) 10° b) 20° c) 30° d) 40°

21. A semirreta OY��

é interna ao ângulo XÔZ.

O ângulo ˆXOY é de 60º e ˆYOZ é de 100º.

Sendo OR��

a bissetriz de ˆXOZ , quanto mede ˆYOR ?

a) 20° b) 15° c) 10° d) 5°

22.(SD-Aer) Na figura, OM , OP e ON estão num mesmo plano. Sabe-se que med (MÔN) = 62o34’ e med (MÔP) = 37o18’47”. Então, a medida de PÔN é: a) 25o16’47” b) 25o16’13” c) 25o15’13” d) 24o15’13"

23.(SD-Aer) Se as medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são a = 3x – 20º e b = 2x + 10º, então o valor de a + b é: a) 70º b) 90º c) 100º d) 140º

Solução: a) . b) . c)

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24.(SD-Aer) Somando-se 25° à medida do complemento de 72°, obtém-se: a) 86° b) 80° c) 43° d) 40° 25.(SD-Aer) Seja O o ponto de interseção das

retas AC��

e BD��

. Os ângulos AÔB e CÔD são: a) rasos b) adjacentes c) consecutivos d) opostos pelo vértice

26.(SD-Aer) Na figura, OA��

e OC��

são semirretas opostas. O valor de x é: a) 105° b) 110° c) 115° d) 120° 27.(CFS) Na figura abaixo x e y são ângulos retos. Então:

a) â 2b=

b) â b=

c) â b>

d) ˆ ˆb 2a=

e) ˆ ˆb a> 28. Qual a medida do ângulo que somado à sua quarta parte, reproduz 30°? 29. A medida de um ângulo é igual a medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo? 30. O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 20°, é igual a 70°. Calcular esse ângulo. 31. Determine a medida de um ângulo que, diminuído de 20°, é igual ao triplo de seu suplemento.

32. A metade da medida do suplemento de um ângulo é igual a 70°. Calcule a medida desse ângulo. 33. Na figura o valor de x é:

a) 30º b) 40º c) 45º d) 60º 34.(FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u transversais. O valor de x + y é: a) 100º b) 120º c) 130º d) 140º

35.(CESGRANRIO) As retas r e s da figura são paralelas cortadas por uma transversal t. Se o ângulo B é o dobro de A, então B – A vale: a) 75° b) 80° c) 85° d) 90° 36.(EAM) Observe a figura abaixo:

Dados: q paralela a r paralela a s; p perpendicular a t; e 25° é o menor ângulo que a reta p forma com a reta q. Com os dados apresentados, é correto afirmar que um dos ângulos que a reta t forma com a reta s é igual a: A) 55° B) 75° C) 85° D) 110° E) 115°

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a < b + c e a >

a, b, c reais positivos.

37.(EAM) Observe a figura abaixo:

Dados:

b é paralelo a c; a é perpendicular a d; e 40° é o menor ângulo que a reta d forma com a reta c. Com base nos dados apresentados, é correto afirmar que o maior ângulo formado da reta a com a reta b é igual a: A) 50° B) 55° C) 60° D) 80° E) 130° 38. Sabendo que r//s, determine x. a) 90° b) 100° c) 80° d) 120°

39. Sabendo que r//s, determine x. a) 140° b) 110° c) 105° d) 100° 40.(UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x -12). A soma das medidas desses ângulos é:

a) 40° b) 58° c) 80° d) 116°

18. Triângulos 18.1. Classificação a) Quanto ao lados

Equilátero: 3 lados congruentes. Isósceles: 2 lados congruentes. Escaleno: lados (medidas) diferentes. b) Quanto aos ângulos

Acutângulo: 3 ângulos agudos. Retângulo: 1 ângulo reto. Obtusângulo: 1 ângulo obtuso. Em todo triângulo retângulo os ângulos que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa.

18.2. Perímetro Soma das medidas dos lados. Indicação: 2p ou p. Semiperímetro: metade do perímetro. 18.3. Condição de existência de um triângulo Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois.

Exemplo: Se dois lados de um triângulo medem 9 e 3, para que o triângulo exista, o terceiro lado deverá satisfazer às condições:

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c 9 3c 12

c 9 3

< + ⇒ <> −

e c > 6 6 c 12⇒ < < .

18.4. Principais cevianas de um triângulo e pontos notáveis de um triângulo Ceviana é qualquer reta que passa por um vértice de um triângulo. As principais são: - Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Baricentro: encontro das medianas.

- Bissetriz interna: é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto. Incentro: encontro das bissetrizes.

- Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. Ortocentro: encontro das alturas.

Observação: quando escrevemos, por exemplo, ma, poderemos nos referir ao segmento AM , à medida do segmento AM

ou à reta que contém A e M. Isso para uma simplificação de notação, mas o seu sentido correto estará sempre claro no contexto. 18.5. Lei angular de Thales A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

18.6. Medida do ângulo externo de um triângulo

18.7. Triângulo Isósceles e Equilátero - Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes. - Se um triângulo é equilátero, os ângulos internos são congruentes e cada ângulo mede 60°. 18.8. Medida do ângulo interno e a medida do lado oposto O maior ângulo de um triângulo está oposto ao maior lado. Exemplo: No ABC∆ temos:

18.9. Congruência de triângulos

Um ângulo externo (ê) de um triângulo é a soma dos dois internos não adjacentes.

70° > 60° > 50°, então

.

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Intuitivamente, duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Casos de congruência: 1° caso: "Três lados respectivamente con-gruentes." ( L.L.L. )

AB EF

AC EG ABC EFG

BC FG

== ⇒ ∆ ≡ ∆=

.

2° caso: "Dois lados e o ângulo compreendido respectivamente congruentes." ( L.A.L.)

AB EF

ˆ Â E ABC EFG

AC EG

== ⇒ ∆ ≡ ∆=

.

3º caso: "Um lado e dois ângulos adjacentes respectivamente congruentes." (A.L.A.)

ˆ Â E

AC EG ABC EFG

ˆ ˆC G

== ⇒ ∆ ≡ ∆=

.

4º caso: "Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes." ( L. A. Ao)

Ao → ângulo oposto.

AB EF

ˆ Â E ABC EFG

ˆ ˆC G

== ⇒ ∆ ≡ ∆=

.

5º caso: Triângulos retângulos Dois triângulos retângulos são congruentes se for verificada a condição seguinte: "A hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes."

ˆ Â E 90

BC FG ABC EFG.

AC EG

= = °= ⇒ ∆ ≡ ∆=

Exercícios resolvidos 10. O perímetro de um triângulo é de 13 m e a soma das medidas de dois lados é 9 m sendo uma o dobro da outra. Determine a medida dos lados do triângulo.

Solução: Sejam a, b, c as medidas dos lados desse triângulo. Do enunciado, temos:

a + b + c = 13 (1) a + b = 9 (2)

a = 2b (3) Subtraindo (2) de (1), resulta: c = 4 m. Entrando com o valor de a, dado pela (3) na (2), teremos: 2b + b = 9 ou b = 3 m. Substituindo o valor de b na (3), vem: a = 6 m.

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11. Calcule a medida dos ângulos indicados pelas letras, no triângulo.

12. Observe os triângulos ABC e EFG, verifi-que o caso de congruência e determine os valores de x e y.

Exercícios propostos 41.(UFMG) O ponto onde concorrem as três alturas de um triângulo é denominado: a) incentro b) ortocentro c) baricentro d) circuncentro 42. Em um triângulo isósceles, o perímetro mede 80 cm. Sabendo-se que a base vale 20 cm, cada lado deve valer, em cm: a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 43. O perímetro de um triângulo isósceles é 24 cm. Se a medida dos lados congruentes é igual ao dobro da medida do outro lado, então o maior lado mede, em cm: a) 4 b) 6 c) 4,8 d) 9,6 44. Com três segmentos e comprimentos iguais a 10 cm, 12 cm e 23 cm: a) não é possível formar um triângulo. b) é possível formar apenas um triângulo retângulo. c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo. d) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo. 45. Um triângulo pode ter os ângulos medindo: a) 70°, 70° e 70° b) 75°, 85° e 20° c) 75°, 85° e 25° d) 70°, 90° e 25° 46. Sabendo-se que um ângulo interno de um triângulo isósceles mede 120°, podemos concluir que os outros dois medem respectivamente: a) 20° e 30° b) 30° e 30° c) 40° e 40° d) 60° e 60° 47.(PUC) Os ângulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x. O menor desses ângulos mede: a) 15° b) 18° c) 30° d) 45° 48.(UEL) Os ângulos internos de um triângulo medem, em graus, A, B e C. Se A tem 25° a

Solução: Observe que o ângulo de 120° é externo ao triângulo ABC, portanto é igual à soma dos dois não adjacentes: 2x + 60° = 120° ou x = 30°. No triângulo ACD, temos que o ângulo

= 120°, pois é o suplementar do

ângulo = 60° e x = 30°. Logo, ainda no triângulo ACD, vem: 30° + 120° + y = 180° ou y = 30°.

Solução:

Temos que , e , portanto pelo caso L.A.L. os triângulos são congruentes. 3x = 24 ou x = 8 e 2y - 5 = 21 ou y = 13.

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mais que B e C tem 9 graus a menos que o dobro de B, então B é igual a: a) 41° b) 59° c) 66° d) 73° 49. Na figura determine o valor de x.

50. Na figura determine o valor de x.

51.(UFRN) Na figura b = 2c, determine b.

52. Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.

53.(OBMEP) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BÂC mede 30º. O triângulo BCD é isósceles de base BD.

Determine a medida do ângulo DCA . A) 45º B) 50º C) 60º D) 75º E) 90º 54.(OBM) Na figura, quanto vale x?

A) 6° B) 12° C) 18° D) 20° E) 24° 55.(UFMG) Observe a figura.

Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o maior segmento é: A) AB B) AE C) EC D) BC E) ED 56.(EEAr) No triângulo FEL, os ângulos E e L medem, respectivamente, 64o e 42o. FH é a

altura relativa ao lado EL e FS é a bissetriz de F. A medida do ângulo HFS, formado por essa altura e essa bissetriz é: A) 11º B) 15° C) 20º D) 22° 57.(FUVEST) Na figura AB = BD = CD. Então: A) y = 3x B) y = 2x C) x + y = 180° D) x = y E) 3x = 2y 19. Quadriláteros Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

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No quadrilátero ABCD, temos: - Vértices: A, B, C e D

- Lados: AB , BC,CDe DA

- Ângulos internos: ˆˆA,B,C e D

- Lados opostos: AB e CD , AD e BC

- Ângulos opostos: A e C , B e D

- Diagonal: AC e BD Diagonal: segmento de reta que une dois vértices não consecutivos. 19.1. Soma dos ângulos internos de um quadrilátero A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. 19.2. Principais quadriláteros 19.2.1. Paralelogramo É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

1) Lados opostos congruentes. 2) Ângulos opostos congruentes. 3) Ângulos consecutivos suplementares. 4) Diagonais cortam-se ao meio. (AI = IC e DI = IB) 19.2.2. Retângulo É o quadrilátero em que os quatro ângulos são retos.

1) É paralelogramo equiângulo. 2) É paralelogramos que possui diagonais congruentes. 19.2.3. Losango É o quadrilátero que possui os 4 lados congruentes.

1) É o paralelogramo que possui diagonais perpendiculares. 2) É o paralelogramo em que as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos. 19.2.4. Quadrado É o quadrilátero que tem possui o 4 lados congruentes e os 4 ângulos retos.

19.2.5. Trapézios É o quadrilátero que possui um par de lados paralelos.

- AB e CD são as bases. - h é a altura (distância entre as bases). Tipos de Trapézios:

1) É retângulo. 2) É losango.

Geometria Plana


a) Isósceles: os lados não paralelos são congruentes.

b) Retângulo: possui 2 ângulos retos.

c) Escaleno

19.3. Base média de um trapézio É o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio.

MN / /AB / /CD

AB CDM é ponto médio de AC. MN

2N é ponto médio de BC.

+⇒ =

.

Exercícios resolvidos 13. Determine a medida dos ângulos indicados pelas letras:

14. Determine o valor de x no paralelogramo abaixo:

Exercícios propostos 58. Um dos ângulos de um losango mede 30º. As medidas dos outros ângulos desse losango são: A) 30º, 60º e 60º B) 60º, 90º e 90º C) 30º, 150º e 150º D) 60º, 100º e 180º 59. Um losango tem 32 cm de perímetro. A medida do lado deste losango e a soma das medidas dos seus ângulos internos são, respectivamente: A) 8 cm e 180º B) 8 cm e 360º C) 16 cm e 180º D) 16 cm e 360º 60. Num trapézio isósceles, um ângulo interno mede 45º. Os outros ângulos internos medem: A) 45º, 135º, 135º B) 45º, 145º, 145º C) 35º, 150º, 150º D) 45º, 150º, 150º 61.(ACAF-SC) Um quadrilátero convexo

PQRS tem ângulos interno ˆ 90º=P , ˆ 120º=Q ,ˆ 60º=R . O ângulo interno S do quadrilátero

vale: A) 60º B) 70º C) 90º D) 100º 62.(ESCOLA TÉCNICA) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são x, 2x, 3x e 4x, respectivamente. Então os ângulos desse quadrilátero são: A) 9º, 18º, 27º, 36º B) 18º, 36º, 54º, 72º C) 36º, 72º, 108º, 144º D) todos iguais a 36º 63.(VESTIBULINHO) A relação entre as medidas de dois ângulos do paralelogramo abaixo está indicada na figura. Os ângulos deste paralelogramo medem:

AD = BC

Solução: z + 100° = 180° z = 80°. x + 105° = 180° x = 75°. x + z + 105° + y = 360° y = 100°.

Solução: x + 20° + 3x = 180°

x = 40°.

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A) 50º, 75º, 50º, 75º B) 60º, 90º, 60º, 90º C) 80º, 120º, 80º, 120º D) 72º, 108º, 72º, 108º 64. No paralelogramo, o ângulo abaixo x mede: A) 10º B) 20º C) 25º D) 30º 65. No paralelogramo abaixo, o ângulo x mede: A) 10º B) 30º C) 36º D) 40º 66. No paralelogramo abaixo, o valor de x é: A) 60º B) 90º C) 100º D) 120º 67. Os ângulos internos do paralelogramo abaixo medem: A) 45º, 135º, 45º e 135º B) 35º, 155º, 35º e 155º C) 60º, 120º, 60º e 120º D) 50º, 130º, 50º e 130º

68. Na figura, AE DC� . A medida do ângulo x é: A) 100º B) 105º C) 110º D) 120º 69.(CESGRANRIO) Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 35º. O maior ângulo desse polígono mede:

A) 140º B) 145º C) 135º D) 155º

70.(FUVEST) Nesta figura, os ângulos ˆ ˆ, ,a b c

e d medem, respectivamente, 3

,2 ,2 2

x xx e x .

O ângulo e é reto. Qual a medida do ângulo

f ? A) 16º B) 18º C) 20º D) 22º 71. No trapézio ABCD, o seguimento MN é a base média. O valor de x é: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 20. Polígonos Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não-colineares no qual os extremos do primeiro e do último coincidem.

Os polígonos podem ser convexos ou não convexos. Dizemos que um polígono é convexo quando um segmento que une dois pontos quaisquer do seu interior está inteiramente contido nele.

Geometria Plana


20.1. Classificação dos polígonos Gênero – é o número de lados do polígono. Polígono equilátero – é todo polígono que apresenta os lados iguais. Polígono equiângulo – é todo polígono que apresenta os ângulos iguais. Polígono regular – é todo polígono equilátero e equiângulo. Nomenclatura - É feita de acordo com o gênero do polígono: 3 lados – triângulo 4 lados – quadrilátero 5 lados – pentágono 6 lados – hexágono 7 lados – heptágono 8 lados – octógono 9 lados – eneágono 10 lados – decágono 11 lados – undecágono 12 lados – dodecágono 15 lados – pentadecágono 20 lados – icoságono O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices. 20.2. Número de diagonais de um polígono.

D - número de diagonais. n - número de lados. 20.3. Número de diagonais que partem de cada vértice 20.3. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

20.4. Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono

20.5. Polígono regular Caso o polígono seja regular, temos: - Medida do ângulo interno (ai) - Medida do ângulo externo (ae)

- Em todo polígono regular de número de lados par, o número de diagonais que passam pelo centro (Dc) é: Exercícios resolvidos 15. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 900°. Qual é o polígono? 16. Determine o número de diagonais de um hexágono. 17. Qual é o polígono regular cujo ângulo interno mede 108°?

Si = (n - 2).180°

Se = 360°

d = n - 3

Solução: 900° = (n - 2).180° ou n = 7.

Solução:

n = 6, então diagonais.

Solução:

Pentágono.

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Exercícios propostos 72. Um polígono de 4 lados chama-se: A) Quadrado. B) retângulo. C) Paralelogramo. D) n.d.a. 73. Quantas diagonais tem um triângulo? A) uma. B) duas. C) três D) nenhuma. 74.(FCL) O número de diagonais de um octógono convexo é: A) 16 B) 18 C) 30 D) n.d.a. 75.(MACK) O polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais é o: A) pentágono. B) hexágono. C) heptágono. D) decágono. 76.(UFRS) O polígono cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de lados é o: A) pentágono. B) eneágono. C) hexágono. D) heptágono. 77.(FGV-SP) A soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono é: A) 900º B) 1080º C) 1260º D) 1800º 78.(PUC-SP) Cada ângulo interno de um decágono regular mede: A) 60º B) 72º C) 120º D) 144º 79.(UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem exatamente ___ diagonais: A) 15 B) 20 C) 25 D) 35 80. O valor de x na figura é: A) 25º B) 30º C) 31º D) 35º

81.(UFMG) Na figura, ABCDE é um polígono

regular. A medida, em graus, do ângulo ˆCRD é: A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 82.(PUC-SP) A figura descreve o movimento de um robô:

Partindo do ponto A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45º para a esquerda. Quando esse robô retornar ao ponto A a trajetória percorrida terá sido: A) uma circunferência. B) um hexágono regular. C) um octógono regular. D) um decágono regular. E) um polígono não regular. 21. Circunferência e Círculo - Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo chamado centro.

- Círculo é a reunião de uma circunferência e seu interior. Elementos básicos:

é um raio.

é uma corda. é um diâmetro.

Geometria Plana


Raio: segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Corda: segmento cujas extremidades perten-cem à circunferência. Diâmetro: é a corda que passa pelo centro da circunferência. Observação: 1. O diâmetro é a maior corda de uma circun-ferência. 2. Todo raio perpendicular a uma corda divide esta ao meio e reciprocamente.

21.1. Posições relativas de uma reta e uma circunferência.

21.1.2. Toda reta tangente a uma circun-ferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

21.2. Posições relativas de duas retas Duas circunferências distintas podem ser: - Secantes: têm 2 pontos comuns.

- Tangentes: têm 1 único ponto comum.

- Não-secantes: exteriores ou interiores.

- Circunferências com o mesmo centro são chamadas de concêntricas. - Circunferências com mesma medida para o raio são congruentes. 21.3. Arcos e ângulos Dados dois pontos A e B sobre um circunferência, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada arco.

Quando as extremidades de um arco �AB coincidirem com as extremidades de um diâmetro na circunferência, cada um dos arcos será chamado semicircunferência. 21.3.1. Ângulo central É o ângulo cujo vértice está no centro da circunferência.

O ângulo central e o arco determinado por ele têm a mesma medida. 21.3.2. Ângulo inscrito É o ângulo cujo vértice pertence à circunfe-rência e cujos lados são semirretas secantes.

Indicação:

Geometria Plana


A medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco correspondente. 21.3.3. Ângulo de vértice interior É formado por duas cordas que se interceptam num ponto no interior de uma circunferência que não seja o centro.

A medida do ângulo de vértice interior é igual à semissoma dos arcos determinados pelos seus lados e prolongamentos. 21.3.4. Ângulo de vértice exterior

A medida do ângulo de vértice exterior cujos lados são secantes a circunferência é a semi-diferença dos arcos determinados por seus lados. Observação: Um ou ambos os lados de um ângulo de vértice exterior podem ser tangentes ao círculo. A medida do ângulo continua a ser a semidiferença dos arcos determinados pelos lados.

21.4. Quadrilátero circunscrito Quadrilátero inscrito Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatros lados são tangentes à circunferência. Um quadrilátero que tem os vértices numa circunferência é quadrilátero inscrito na circunferência. Propriedade 1 (Teorema de Pitot) Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. A recíproca dessa propriedade também é válida!

Propriedade 2 Se um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares. A recíproca dessa propriedade também é válida!

Exercícios resolvidos 18. Determine a medida do ângulo x. Sendo O o centro da circunferência.

AB + CD = AD + BC

Solução:

Geometria Plana


Solução:

19. Sabendo que a reta t é tangente à circunferência no ponto A, determine α .

20. Na figura abaixo determine a medida do

ângulo α , sabendo que: � �AB 170 ,AC 40= ° = ° .

Exercícios propostos 83.(CESGRANRIO) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo y. Se o arco �AMB mede 130º, o ângulo y mede: A) 25º B) 30º C) 40º D) 45º 84. O valor de x na figura é: A) 70° B) 80° C) 100° D) 160° 85.(PUC) Na figura, AB é o diâmetro da

circunferência. O menor dos arcos �AC mede: A) 100º B) 120° C) 140° D) 150° 86.(UFAL) Na figura, tem-se uma circunferência de centro C.

Se o ângulo ˆ 50CSQ= ° , a medida do arco �PR é: A) 50° B) 80° C) 90° D) 100° 87.(UFES) Na figura, a medida de θ , em graus, é: Dado: ˆ 32DCE = ° . A) 52 B) 54 C) 56 D) 58 88.(FGV) A medida do ângulo ˆADC inscrito na circunferência de centro O é: A) 100° B) 120° C) 125° D) 135° 89. A medida do ângulo x, representado na figura, é: A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° 90.(UFES) O valor do ângulo x no círculo de centro O abaixo é: A) 40° B) 45° C) 50° D) 60° 91.(MACK) O quadrilátero ABCD da figura é inscritível. O valor de x é: A) 48° B) 50° C) 52° D) 54°

Solução: Como t é tangente em A, então o ângulo BAC é reto (Â = 90°), logo no triângulo ABC, temos: 50° + 90° + = 180° ou = 40°.

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92.(PUC) Na figura abaixo, o valor de x é: A) 15° B) 18° C) 24° D) 32° E) 35° 93. Considere a figura abaixo.

A medida x do ângulo assinalado é: A) 90° B) 85° C) 80° D) 75° E) 70° 94. Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência. As bases medem 11 cm e 7 cm. Quanto mede cada um dos outros dois lados, em cm? A) 9 B) 10 C) 11 D) 7 E) 18 22. Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes quando têm: - os ângulos respectivamente congruentes; - os lados correspondentes proporcionais.

ABC EFG∆ ∆∼

22.1. Caso particular de semelhança Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

'

'

ˆ ˆA AABC ~ A 'B'C '

ˆ ˆB B

= ⇒ ∆ ∆

= e

AB AC BCk

A 'B ' A 'C ' B'C '= = =

k →razão de semelhança. Exercício resolvido 21. Calcular x:

23. Relações métricas no triângulo retângulo Considerando um triângulo ABC,

retângulo em A, e conduzindo AD

perpendicular a BC , com D em BC , vamos caracterizar os elementos seguintes:

BC = a : hipotenusa,

Solução: Os triângulos ABC e EDC são semelhantes, pois possuem o ângulo C (comum aos dois) e os ângulos A e E retos, temos então:

Geometria Plana


AC = c : cateto, AB = b : cateto, BD = m : projeção do cateto c sobre a hipotenusa, CD = n : projeção do cateto b sobre a hipotenusa, AD = h : altura relativa à hipotenusa.

Com base nas semelhanças de triângulos, e com os elementos já caracterizados, temos:

(1) b2 = a.n (2) c2 = a.m (3) h2 = m.n (4) b.c = a.h (5) a2 = b2 + c2 ( Teorema de Pitágoras )

(6) 2 2 2

1 1 1

h b c= +

Exercício resolvido 22. Calcule h, m e n no triângulo retângulo.

Exercícios propostos 95. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 7, 9 e 14 dm. Qual é o perímetro do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior é de 21 dm? A) 45 dm B) 55 dm C) 60 dm D) 75 dm 96.(PUC) Na figura ao lado os segmentos AB e CD são paralelos. Quanto mede o segmento AE? A) 136 B) 163 C) 204 D) 306

97.(UFPA) Seja EC paralelo a AB. Qual o valor de EC ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 98.(UEL) Na figura abaixo, AC = 4 cm, CE = 2 cm, DE = 3 cm e BC = 5 cm. Se //AB DE, a soma DC + AB em centímetros é igual a: A) 8 B) 10 C) 8,5 D) 9,5 99.(MACKENZIE) Na figura abaixo a medida de x vale: A) 11,25 B) 11,75 C) 12,25 D) 12,75 100. Dada a figura, sendo o segmento PQ paralelo ao segmento AB e a medida do segmento AC igual a 16, calcular x e y. A) x = 6 e y = 10 B) x = 2 e y = 5 C) x = 3 e y = 5 D) x = 7 e y = 9 101. A sombra de uma árvore mede 4,5 m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6 m, mantido na vertical, mede 0,4 m. A altura da árvore é: A) 3 m B) 5 m C) 4,8 m D) 6,75 m 102.(FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é: A) 12 m B) 20 m C) 72 m D) 7,2 m

Solução: 402 = 50.m m = 32. 302 = 50.n n = 18.

Geometria Plana


103.(UNIRIO) Certa noite, uma moça de 1,50 m de altura estava a 2 m de distância de um poste de 4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: A) 1,20 m B) 1,80 m C) 2,40 m D) 3,20 m 104.(OPM) Dada a figura, calcule: a) a medida de AC . b) a medida de AE . c) a medida de AB. 105. Calcule o valor de x, na figura.

106.(UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. A) 20 B) 20,5 C) 36,9 D) 30 E) 15 107.(UNIRIO) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: A) 3,0 B) 3,5 C) 4,0 D) 4,5 E) 5,0

108. Seja ABC um triângulo isósceles de base BC . Os raios das circunferências são iguais a r e 2r. Calcule AH. A) 2r B) 4r C) 8r D) 10r E) N.D.A. 109. Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é: A) 2,3 m B) 3,0 m C) 3,2 m D) 3,8 m 110. Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12 dm e 13 dm. O perímetro desse triângulo é: A) 30 dm B) 32 dm C) 35 dm D) 36 dm 111.(UFPA) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro, e a hipotenusa mede 10 cm. A soma dos catetos mede: A) 4 5cm B) 6 5cm C) 8 5cm D) 12 5cm 112. O triângulo ABC é retângulo em B. Sabendo que BC = 4 cm e AC = 5 cm, determine a altura relativa à hipotenusa. A) 1,2 B) 2,0 C) 2,4 D) 3,2 113. As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são, respectivamente, 30 cm e 40 cm. A altura relativa à hipotenusa mede: A) 20 cm B) 23 cm C) 24 cm D) 31 cm 114.(UFRS) Na figura, ABC é um triângulo retângulo, CP = 1,8 e PB = 3,2. O perímetro de ABC é: A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 115.(UFSE) No triângulo retângulo ABC, retângulo em A, BC = 10 e AD = 4. Sendo

Geometria Plana


AD altura relativa à hipotenusa, a medida de CD pode ser: A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 116.(CN) Qual é o perímetro do quadrado em que a diagonal mede 3 6m? A) 6 3m B) 8 3m C) 12 3m D) 12 6m 117. A altura do triângulo equilátero de lado 4 cm é: A) 2 cm B) 4 cm C) 23cm D) 4 3cm 118.(PUC) A medida de AB neste trapézio é: A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 119.(PUC) Na figura o valor de x é: A) 6cm B) 22cm C) 2 11cm D) N.D.A. 120.(CESGRANRIO) No retângulo ABCD de lados 4AB = e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à diagonal AC . O segmento AM mede: A) 2 B) 3/2 C) 5/2 D) 9/5 121.(FATEC-SP) Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: A) 1,4 B) 2,6 C) 3,2 D) 3,8 122.(PUC) Na figura, o valor de x é:

A) 1,0 cm B) 2,2 cm C) 3,2 cm D) 4,0 cm 123. Na figura, consideremos os quadrados de lados 6 cm e 9 cm. Então, x mede: A) 2 5cm B) 3 5cm

C) 5 3cm D) 7 2cm 124.(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 125. Seja A uma cidade e BC uma estrada. Deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível, de acordo com a figura, essa estrada medirá em quilômetros: A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 126.(OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? A) 4 m B) 8 m C) 9 m D) 13 m E) 15 m 127.(CBMRJ) No triângulo ABC abaixo, o ângulo BAC é reto e AH é a altura relativa ao lado BC. O comprimento do segmento CH vale:

Geometria Plana


A) 0,5 cm B) 0,6 cm C) 0,7 cm D) 0,8 cm E) 0,9 cm 128.(EsPCEx) Os raios de dois círculos medem 15 m e 20 m e a distância dos seus centros tem 25 m. Determine a medida da corda comum ao dois círculos. A) 12 m B) 24 m C) 48 m D) 72 m E) 36 m 129. Um trapézio isósceles com 48 m de perímetro e no qual uma das bases é o triplo da outra, está circunscrito a um círculo. Determine sua altura. A) 12 m B) 108 m C) 144 m

D) 12 3 m E) 24 m 130. Um trapézio retângulo tem a base maior medindo 9 cm e uma diagonal medindo 6 cm é perpendicular ao lado não paralelo. A altura, em cm, mede: A) 3 5 B) 2 5 C) 4 D) 3 E) 2 131. Determine o valor de x, na figura.

132.(EsPCEx) Determine o raio do círculo circunscrito ao triângulo isósceles cujos lados são: AB = AC = 10 e BC = 16. A) 25/3 B) 8,5 C) 8,0 D) 25/6 E) n.d.a. 24. Trigonometria no triângulo retângulo Para um ângulo agudo A de um triângulo retângulo ABC:

cateto opostosenA

hipotenusa=

cateto adjacnte

cosAhipotenusa

=

cateto oposto

tgAcatetoa djacente

= ou

senA

tgAcos A

=

- Ângulos notáveis

sen cos tg

30° 12 3

2 33

45° 22 2

2 1

60° 32 1

2 3

Exercício resolvido 23. Determine a medida dos catetos de um triângulo retângulo ABC, retângulo em A cuja hipotenusa mede 10 e um dos ângulos agudos mede 30°.

Exercícios propostos

Solução:

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133. Para o triângulo retângulo BAC, a relação correta é: A) sen B = b/a B) cos B = b/a C) tg B = c/b D) tg C = b/c 134. O valor de a no triângulo ABC é: A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 135.(UFV) O cosseno do ângulo x, assinalado na figura abaixo, é: A) 1/2 B) 2/ 3 C) 3 / 2 D) 3 /3 136. Determine a medida do segmento AB na figura: A) 100 m B) 173 m C) 200 m D) 346 m 137.(UGV) No triângulo ABC o segmento AC mede: A) 25 cm B) 100 cm C) 50.31/2 cm D) 50.31/2/3 cm 138. Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem a e 3a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é: A) 1/2 B) 21/2 C) 21/2/4 D) N.D.A. 139.(FATEC-SP) Na figura a medida do segmento AB é:

A) ( )10 3 1+

B) ( )2 3 2 1+

C) 2 3 /3

D) 10 3 /3

140. Em um triângulo retângulo um ângulo mede 60° e a hipotenusa 203 . Então os catetos medem: A) 30 e 10 B) 30 3 e 10

C) 30 3 e 12 D) 30 e 10 3 141. Na figura, o valor de tg x é: A) 0,4 B) 0,6 C) 0,8 D) 5/8 142. Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo (suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo arame como solo é de 30°, calcule a altura do poste. A) 9 m B) 18 m C) 36 m D) 4,5 m 143.(FCC) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 4 m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 60°. O comprimento da escada, em metros, é: A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 144. Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, então a altura de um andar para outro mede: A) 5 m B) 6 m C) 4,5 m D) 6,5 m 145.(UFES) Do topo de um farol situado a 40 m acima do nível do mar, o ângulo de depressão de um barco situado no ponto A (figura abaixo) é de 15º. A distância do barco ao farol é, em m: Dado: 15 2 3tg ° = −

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A) ( )20 1 3+ B) ( )20 2 3+

C) ( )40 2 3− D) ( )40 2 3+

146.(VUNESP) Uma rampa lisa de 20 m de comprimento, faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmente de: A) 8 m B) 10 m C) 15 m D) 17 m 147.(FEI) Dado o trapézio conforme figura abaixo, o valor do seno do ângulo x é: A) 0,8 B) 0,7 C) 0,5 D) 0,4333... 148. Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100 m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30º com uma das margens. Calcule a distância percorrida para o barco atravessar o rio.

A) 100m B) 200m C) 2

50

D) 150m E) 2

100

149.(UFRS) Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3,25 m de comprimento e x graus de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir sobre a rampa cinco degraus de mesma altura. Se sen x = 5/13, então a altura, de cada degrau será: A) 0,15 m B) 0,25 m C) 0,30 m D) 0,35 m E) 0,65 m

150. sen60 cos 45

xtg30

° − °=°

implica:

A) 2 3

3x

−= B) 3 6

2x

−= C) 3 2

2x

−=

D) 3 6

6x

−= E) 3 2 6

3x

−=

151. Calcule a medida da altura de um triân- -gulo equilátero de 12 cm de lado. A) 6 cm B) 3 cm C) 6 3 cm

D) 3 6 cm E) 1 cm 152. Determine a medida da diagonal de um quadrado cujos lados medem 7 cm. A) 14 cm B) 7 cm C) 2 7 cm D) 7 2 cm E) 14 cm 153. Um automóvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC

�� um ângulo

de 30° com velocidade média de 50 km/h. Após 3 horas de percurso, a distância a que o automóvel se encontra da reta AC

�� é de:

A) 75 km B) 75 3km C) 50 3km D) 75 2km E) 50 km 154. Um triângulo retângulo ABC, com ˆ 90A = ° , tem AB = 6 cm, AC = 6 3 cm, BC =

12 cm. Determine os valores de B e C , em graus. A) 60 e 30 B) 45 e 30 C) 60 e 45 D) 30 e 90 E) N.D.A. 155. Calcule a área do retângulo, da figura. A) 36 B) 72 C) 36 3

D) 18 3 E) 108 25. Polígonos regulares (3, 4 e 6 lados) Sobre polígonos regulares, podemos dizer o seguinte: a) Todos os seus lados congruentes; b) Todos os ângulos internos congruentes entre si; c) Inscritível numa circunferência;

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d) O centro e o raio do polígono inscrito são os mesmos da circunferência; e) Apótema m do polígono: distância do centro O até o ponto médio de um dos lados. 25.1. Relações métricas nos polígonos regulares (inscritos):

25.2. Polígonos Regulares Circunscritos:

Lado Apótema Triângulo 2R 3 R Quadrado 2R R

Hexágono 2R 3

3 R

Exercícios propostos 156. Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3 cm. A medida do diâmetro dessa circunferência é: A) 10 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 16 cm 157. O perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência de 14 cm de diâmetro é: A) 36 cm B) 42 cm C) 48 cm D) 54 cm 158. A medida do diâmetro de uma circunferência é 36. A medida do lado de um quadrado inscrito nessa circunferência é: A) 9 B) 12 2 C) 12 3 D) 18 2 159. O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40. Então, o raio da circunferência mede: A) 5 2 B) 5 3 C) 10 2 D) 10 3 160. O perímetro de um hexágono regular cujo apótema mede 5 3cm é: A) 58 cm B) 60 cm C) 62 cm D) 64 cm 161.(UFPA) O raio de uma circunferência onde se inscreve um triângulo equilátero de 3 cm de lado, em cm, é:

A) 1 B) 3 C) 3

2 D)

3

4

162. O perímetro de um quadrado inscrito

numa circunferência cujo apótema mede 1

32

cm é: A) 24 cm B) 26 cm C) 28 cm D) 30 cm 163. O lado do quadrado inscrito numa circunferência mede 4. O lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência mede: A) 2 3 B) 2 6 C) 3 2 D) 6 2

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164.(CEFET) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular inscrito numa circunferência é definida por ( )2 3a +m. Assim sendo, o raio dessa circunferência tem por expressão:

A) 2 3 m B) 3a m C) ( )2a + m D) 2

2

a + m

165. O apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 8 cm. O lado do hexágono regular inscrito nessa circunferência mede: A) 8 cm B) 8 2 cm C) 16 cm D) 16 2cm 166. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 9 3 . A medida do lado do quadrado inscrito nessa mesma circunferência é: A) 18 2 B) 18 3 C) 9 2 D) 9 3 167. Um quadrado inscrito numa circunferência tem 20 de perímetro. O perímetro do triângulo equilátero inscrito nessa mesma circunferência é:

A) 5 2

2 B)

15 2

2 C)

5 6

2 D)

15 6

2

168. Numa circunferência de raio r estão inscritos um quadrado e um hexágono regular. A razão entre as medidas dos lados do hexágono e do quadrado é: A) 3/2 B) 2 / 2 C) 3 /3 D) 2 /3 E) 3 / 2 169.(VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é: A) 31/2 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4 170.(FEI) O raio do círculo circunscrito ao triângulo retângulo de catetos 4 e 8 é: A) 2 5 B) 4 5 C) 6 3 D) 3 3 E) 6

171.(UniFor) Um triângulo está inscrito numa circunferência de centro O, como mostra a figura abaixo. Se o raio da circunferência mede 1 cm e os ângulo x, y e z são congruentes, então o lado do triângulo mede: A) 1,2 cm B) 1,3 cm C) 21/2 cm D) 1,5 cm E) 31/2 cm 26. Comprimento da Circunferência

Comprimento de uma circunferência é o limite para qual tendem os perímetros dos polígonos nela inscritos, quando o número de lados duplica indefinidamente.

C é o comprimento da circunferência, 2R o diâmetro (R raio) e 3,141592...π = . 27. Áreas Área é a medida de uma superfície. Duas figuras quaisquer que têm a mesma área são ditas equivalentes. Áreas dos Polígonos (básico): - Retângulo S b h= ×

- Quadrado S 2= × =l l l - Paralelogramo S b h= ×

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- Triângulo

b hS

2

×=

Em particular, se o triângulo ABC for

equilátero de lado l, temos: S 2 3

4= l

.

Em função dos lados (fórmula de Heron).

Em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido.

- Trapézio

(B b).hS

2

+=

- Losango

D dS

2

×=

Observe que, o losango também é paralelogramo, portanto S b h= × . - Círculo e setor circular

Exercícios propostos 172.(CESGRANRIO) Se as duas diagonais de um losango medem, respectivamente, 6 cm e 8 cm, então a área do losango é, cm2: A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 173.(CESGRANRIO) A área da sala representada na figura é: A) 15 m2 B) 17 m2 C) 19 m2 D) 20 m2

174.(OBM) Um retângulo é dividido em quatro retângulos por intermédio de dois segmentos paralelos aos seus lados. As áreas de três dos retângulos assim obtidos são mostradas na figura abaixo. Qual a área do quarto retângulo? A) 15 B) 20 C) 21 D) 25 175. O retângulo ABCD tem área igual a 72 m2. Os pontos E e G são pontos médios dos lados AD e CD. A área do retângulo DEFG, em m2, é: A) 9 B) 12 C) 18 D) 24 176.(PUC) A área do quadrado ABCD é: A) 36 B) 40 C) 48 D) 50 178.(MACKENZIE) Na figura, a área do retângulo é 20. Então a área do triângulo é:

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A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 179. Uma praça está inscrita em uma área retangular cujos lados medem 300 m e 500 m, conforme a figura abaixo. Calculando a área da praça, em m2, obtemos: A) 100.000 B) 110.500 C) 128.750 D) 133.750 180.(PUC) No trapézio, a área mede 21 cm2 e a altura, 3 cm. Então AB e DC valem, respectivamente: A) 4 cm e 6 cm B) 6 cm e 8 cm C) 6 cm e 4 cm D) 8 cm e 6 cm 181.(UFRS) A área do polígono da figura é 30. O lado x mede: A) 3 B) 4 C) 5 D) 17 181.(UERJ) Dobra-se uma folha de papel retangular de 8 cm x 14 cm como indicado na figura. Se o comprimento CE é 8 cm, então qual é a área do polígono ADCEB?

182.(EPCAr) Um pátio em forma de trapézio isósceles, cujas dimensões, 31 m de base maior, 7 m de base menor e 15 m de lado, deve ser cimentado. Sendo R$ 2,00 o preço do metro quadrado cimentado, qual será o custo final da obra, em reais? A) 312 B) 322 C) 332 D) 342

183.(USP) A área do paralelogramo, representado na figura seguinte, é 30 cm2. A medida do lado x, em cm, é: A) 3,5 B) 4,5 C) 3,75 D) 4,25 184.(PUC) O terreno correspondente à figura ABCDE, ao lado, foi vendido ao preço de R$ 4,00 o m2. Consequentemente, foi vendido em R$, por: A) 5.000 B) 6.000 C) 7.800 D) 8.000 185.(PUC) Para pintar uma parede quadrada, gastam-se duas latas de tinta. Quantas latas iguais seriam gastas para pintar outra parede, também quadrada, com o dobro da largura da primeira? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 186.(UFGO) Para cobrir o piso de um banheiro de 1,00 m de largura por 2,00 m de comprimento, com cerâmicas quadradas, medindo 20 cm de lado, o número necessário de cerâmicas é: A) 30 B) 50 C) 75 D) 100 187.(UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura, e os tacos, 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos necessários para essa substituição foi: A) 1.029 B) 1.050 C) 1.470 D) 1.500 188.(UFMG) Uma casa tem dez janelas, cada uma com quatro vidros retangulares e iguais, de 0,45 m de comprimento e 0,40 m de largura. Cada vidro custa R$ 0,25 o dm2, e a mão-de-obra para colocá-lo, R$ 4,00 por

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janela. Qual a importância a ser gasta, em reais, para colocar os vidros nessas janelas? A) 220 B) 225 C) 445 D) 450 189. A área do triângulo abaixo é: A) 4 B) 4,5 C) 5 D) 5,5 E) 6 190. Numa circunferência de raio medindo r está inscrito um hexágono regular. A área desse hexágono regular é:

A) 23 3

2

r B) 23 3r C) 23r D) 26r

191.(UFMG) O hexágono regular ABCDEF está inscrito no círculo de centro O. Se AB = 4 cm, a área do quadrilátero ABOF, em cm2, é: A) 8 2 B) 8 3 C) 16 D) 16 2 E)

16 3 192.(FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale:

A) 24 B) 12 C) 5 3

2 D) 6 2 E) 2 3

193. Na figura, temos o hexágono regular ABCDEF inscrito na círculo de centro O e raio r, com o triângulo ACE inscrito no hexágono regular e no círculo. A área do triângulo ABC é:

A) 23 3

12

r B)

23 3

4

r

C) 23

2

r D)

29 3

4

r

194.(PUC) O número constante 3,15156...π = é obtido: A) multiplicando-se o número 2 pelo raio da circunferência.

B) dividindo-se o diâmetro da circunferência pela medida da circunferência. C) dividindo-se a medida da circunferência pelo seu diâmetro. D) dividindo-se a medida da circunferência pelo seu raio. 195.(MACKENZIE) Se uma pessoa der 4 voltas completas em torno de um canteiro circular de 1,5 m de raio, essa pessoa percorrerá: A) 12π m B) 15π m C) 16π m D) 18π m 196.(CESGRANRIO) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio de 200 m. O número aproximado de voltas que ele deve dar é: A) 200 B) 300 C) 400 D) 500 197.(FATEC) O pneu de um veículo, com 80 cm de diâmetro, ao dar uma volta completa percorre, aproximadamente, uma distância de: A) 0,25 m B) 0,50 m C) 2,50 m D) 5,00 m 198.(CEFET) O lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 3 2 m. Então, o comprimento da circunferência é: A) 6π m B) 8π m C) 10π m D) 12π m 199. As rodas dianteiras de um trator têm 50 cm de raio e dão 25 voltas no mesmo tempo em que as rodas traseiras dão 20 voltas (com o trator em movimento). Qual é o diâmetro das rodas traseiras? A) 100 cm B) 125 cm C) 140 cm D) 150 cm 200.(FUVEST) Um comício político lotou uma praça semicircular de 130 m de raio. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por m2, qual é a melhor estimativa do número de pessoas presentes? A) dez mil B) cem mil C) um milhão D) meio milhão

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201. Na figura abaixo temos dois círculos concêntricos, com raios 5 cm e 3 cm. A área da região hachurada, em cm2, é: A) 9π B) 12π C) 16π D) 20π 202.(CESGRANRIO) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das regiões marcadas são iguais. Se o raio do menor círculo é 5 m e o do maior é 13 m, então o raio do círculo intermediário é: A) 10 m B) 11 m C) 12 m D) 5 3m 203.(UFAL) Um hexágono regular de lado 5 está inscrito numa circunferência. A área do círculo limitado por essa circunferência é: A) 5π B) 10π C) 12π D) 25π 204.(UFSC) A área da figura hachurada é: A) π B) 4 π− C) 4(1 )π− D) 2(2 )π− 205.(UFPA) A área de um círculo é 5π m2. Sua circunferência mede, em cm: A) 10π B) 5π D) 5π E) 2 5π 206.(UNIRIO) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimentos 11m e 3m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente: A) 25 m2 B) 34 m2 C) 37 m2 D) 41 m2 E) 38 m2 207.(UFRS) O círculo da figura tem raio 6. Qual a área do setor marcado na figura?

ˆ 100AOB= ° .

A) 6 B) 10 C) 6π D) 10π E) 60 208.(PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência: A) a área é multiplicada por 9π . B) o comprimento é multiplicado por 3π . C) a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3. D) a área e o comprimento são ambos multiplicados por 3. E) a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9. 209.(VUNESP) Um cavalo se encontra preso em um cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50 m. Ele está amarrado a uma corda de 40 m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando

3,14π = , calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. A) 1.244 B) 1.256 C) 1.422 D) 1.424 E) 1.444 210.(UNICAMP) 15 toras de madeira de 1,5 m de diâmetro são empilhadas segundo a figura. Calcule a altura da pilha. 211. Um paralelogramo tem perímetro igual a 20 cm. Sabendo que dois lados consecutivos formam um ângulo de 30º e que um deles é 2 cm maior que o outro, calcule a área. 212. As diagonais de um losango estão entre si como 2/7. Determine a área desse losango, sabendo que a soma de suas diagonais é igual ao perímetro de um quadrado de 81 cm2 de área. 213. Em cada uma da seguintes figuras, o quadrilátero é um quadrado e os arcos são

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arcos de circunferência. Calcular a área das regiões marcadas.

214.(CN) Calcular a área de um trapézio retângulo ABCD, sendo AC = 8 cm, AD = 10 cm e CD = 6 cm.

Gabarito dos exercícios propostos: 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.E 8.E 9.B 10.B 11.C 12C 13.D 14.B 15.D 16.C 17.B 18.B 19.A 20.B 21.A 22.C 23.D 24.C 25.D 26.B 27.B 28.24° 29.45° 30.65° 31.140° 32.40° 33.B 34.C 35. 36.A 37.E 38.B 39.C 40.D 41.B 42.B 43.D 44.A 45.B 46.B 47.D 48.A 49.142° 50.100° 51.73°30' 52.60° E 9° 53.A 54.C 55.A 56.A 57.A 58. C 59. B 60. A 61. C 62. C 63. D 64. D 65. B 66. D 67. A 68. A 69. B 70. B 71.B 72. D 73. D 74. D 75. A 76. B 77. C 78. D 79. D 80. B 81. C 82. C 83.A 84.B 85.A 86.B 87.D 88.C 89.B 90.C 91.C 92.C 93.A 94.A 95.A 96.C 97.D 98.C 99.A 100.A 101.D 102.B 103.A 104.A)17,5 B)16 C)20 105.24/7 106.B 107.A 108.C 109.C 110.A 111.B 112.C 113.C 114.D 115.A 116.C 117.C 118.D 119.C 120.D 121.A 122.B 123.B 124.B 125.A 126.B 127.E 128.B 129.B 130.B 131.3 7 132.A 133.A 134.D 135.C 136.B 137.C 138.C 139.D 140.D 141.C 142.A 143.C 144.B 145.D 146.B 147.A 148.B 149.B 150.B 151.C 152.D 153.A 154.A 155.D 156.B 157.B 158.D 159.A 160.B 161.B 162.C 163.B 164.C 165.C 166.A 167.D 168.B 169.B 170.A 171.E 172.B 173.D 174.A 175.C 176.D 178.B 178.C 179.D 180.C 181.88cm2 182.D 183.C 184.D 185.C 186.B 187.C 188.A 189.B 190.A 191.B 192.A 193.A 194.C 195.A 196.C 197.C 198.A 199.B 200.B 201.C 202.C 203.D 204.B 205.D 206.C 207.D 208.C 209.A 210.3(2 3 1) / 2+ 211.12cm2 212.112cm2 213.A)( / 2) 1π − B)( / 2) 1π − 214.39,36cm2 Bibliografia - Coleção: Tempo de Matemática 5ª, 6ª, 7ª e 8ª série. Autor: Miguel Asis Name - Editora do Brasil. - Fundamentos de Matemática Elementar: volume 9 - Editora atual. - Questões de concursos: diversas bancas examinadoras. - Notas de aulas: Prof. Thieres Machado.

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