DefinicionesEl punto El punto, en geometra, es uno de los entes

fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que slo es posible describirlos en relacin a otros elementos similares. Se suelen describir apoyndose en los postulados caractersticos, que determinan las relaciones entre los entes geomtricos fundamentales.

El punto es un elemento geomtrico adimensional, no es un objeto fsico; describe una posicin en el espacio, determinada en funcin de un sistema de coordenadas preestablecido.

La recta La recta, o lnea recta, en geometra, es el

ente ideal que slo posee una dimensin y contiene infinitos puntos; est compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lnea ms corto que une dos puntos); tambin se describe como la sucesin continua e indefinida de puntos en una sola dimensin.

Es uno de los entes geomtricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorsticos ya que su definicin slo es posible a partir de la descripcin de las caractersticas de otros elementos similares. As, es posible elaborar definiciones basndose en los Postulados caractersticos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minscula.

El plano El plano, en geometra, es el ente ideal que slo

posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geomtricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relacin a otros elementos geomtricos similares. Se suele describir apoyndose en los postulados caractersticos, que determinan las relaciones entre los entes geomtricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geomtricos:

Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del

alfabeto griego.

Suele representarse grficamente, para su mejor visualizacin, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Segmento

Un segmento, en geometra, es un fragmento de recta que est comprendido entre dos puntos.

As, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la interseccin de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostn), sern interiores o exteriores al segmento segn pertenezcan o no a este.

ngulo

Un ngulo es la "abertura" entre dos lneas que se cruzan en un punto. Esta nocin de ngulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado y descrito los ngulos de todos los objetos que vemos. En geometra se estudian con todo detenimiento y precisin estos ngulos. Es en esta rama de las matemticas en donde miden y clasifican estos ngulos, se estudian sus propiedades y sus relaciones con otros ngulos. Los ngulos se miden principalmente en grados sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de 360, como los grados sexagesimales.

TRIANGULOS

Clasificacin segn sus lados

ngulo recto: est formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolucin, es decir, 90.

ngulo agudo: un ngulo agudo tiene una abertura menor a la del ngulo recto.

ngulo obtuso: un ngulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ngulo recto,

concretamente 180.

ngulo llano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, adems el ngulo es la mitad de una revolucin, o sea, 180.

CLASIFICACION DEL TRIANGULO

SEGN SUS LADOS

Tringulo equiltero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ngulos

internos miden 60 grados radianes).

Tringulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un tringulo escaleno no hay ngulos con la misma medida.

Tringulo issceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ngulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

CLASIFICACION DE LOS

TRIANGULOS SEGN SUS

ANGULOS Tringulo rectngulo: si tiene un ngulo

interior recto (90). A los dos lados que conforman el ngulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Tringulo acutngulo: cuando sus tres ngulos son menores a 90; el tringulo equiltero es un caso particular de tringulo acutngulo.

Tringulo obtusngulo: si uno de sus ngulos es obtuso (mayor de 90); los otros dos son agudos (menor de 90).

RECTAS NOTABLES DE UN TRINGULO Mediatrices:La MEDIATRIZ de un lado de un tringulo

se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.

Todo tringulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue:

La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma

La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb

La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc

Propiedad 5:"Los puntos de la mediatriz de un lado

de un tringulo equidistan de los vrtices que definen dicho lado"

Alturas: La ALTURA de un tringulo,

respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vrtice opuesto.

Todo tringulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue:

La altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha

La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb

La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc

Una altura puede ser interior al tringulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (segn el tipo de tringulo):

Medianas: La MEDIANA de un tringulo,

correspondiente a uno de sus vrtices, se define como la recta que une dicho vrtice del tringulo con el punto medio del lado opuesto.

Todo tringulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vrtice) que denotaremos como sigue:

Mediana correspondiente al vrtice A, se denota por mA

Mediana correspondiente al vrtice B, se denota por mB

Mediana correspondiente al vrtice C, se denota por mC

Bisectrices: La BISECTRIZ de un tringulo,

correspondiente a uno de sus vrtices, se define como la recta que, pasando por dicho vrtice, divide al ngulo correspondiente en dos partes iguales.

Todo tringulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ngulo) que denotaremos como sigue:

Bisectriz correspondiente al ngulo A, se denota por bA

Bisectriz correspondiente al ngulo B, se denota por bB

Bisectriz correspondiente al ngulo C, se denota por bC

CUADRILATEROS Un cuadriltero es un polgono que tiene cuatro lados. Los cuadrilteros tienen distintas formas

pero todos ellos tienen cuatro vrtices y dos diagonales. En todos los cuadrilteros la suma de los ngulos interiores es igual a 360. Otros nombres usados para referirse a este polgono son tetrgono y cuadrngulo.

Clasificacin de los cuadrilteros

CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA Un crculo, en geometra, es el

conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Slo posee longitud. Se distingue del crculo en que este es el lugar geomtrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el permetro

del crculo cuya superficie contiene.

ELEMENTOS DE LA

CIRCUNFERENCIA Centro del crculo, que se corresponde

con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

Radio, es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

Dimetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lgicamente, pasa por el centro;

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud mxima son los dimetros;

Arco, segmento curvilneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Identidades TrigonomtricasIdentidades Recprocas

sen

1csc

csc

1sen

cos

1sec

sec

1cos

tan

1cot

cot

1tan

cos

sentan

sen

coscot

Estas identidades se cumplen para cualquier ngulo para el cual eldenominador no sea cero.

Identidades Trigonomtricas

Relaciones Pitagricas

22

22

22

csccot1

sec1tan

1cossen

ab

c

222 cba

2

2

2

2

2

2

c

c

c

b

c

a

1c

b

c

a22

De acuerdo al Teorema de Pitgoras

dividiendo entre 2c

de donde

Identidades Trigonomtricas

1cossen 22

por tanto

Ejemplo 1

Verifica la siguiente identidad: 1seccos

1cos

1cosseccos

2sec

1)1)(1( sensen

2sen1)sen1)(sen1(

2

2

sec

1

cos

Ejemplo 2Verifica la siguiente identidad

Solucin

Solucin

Usando las identidades reciprocas

Identidades trigonomtricas

Identidades que relacionan con -

-

(x,y)

(x,-y)

seny)(sen

ysen

cosx)cos(

xcos

tan

cos

sen

)cos(

)(sen)tan(

Identidades trigonomtricas

Identidades de ngulos complementarios y suplementarios

90-

90+

(x,y)

xcos

ysen

cos)90(sen

cos)90(sen

sen)90cos(

sen)90cos(

(x,y)(-x,y)

(-x,-y)

180-

180+

sen)180(sen

sen)180(sen

cos)180cos(

cos)180cos(

(-y, x)

Identidades trigonomtricasIdentidades para la suma de ngulos

Identidades para la mitad de un ngulo

sencoscossen)(sen

sensencoscos)cos(

tantan1

tantan)tan(

2

cos1

2sen

2

cos1

2cos

sen

cos1

cos1

sen

cos1

cos1

2tan

Ejemplo 3

Verifica la siguiente identidad cossen22sen

)(sen2sen

cossen2

sencoscossen

Ejemplo 4Verifica la siguiente identidad

2sen212cosSolucin

)cos(2cos

2

22

22

sen21

sen)sen1(

sencos

sensencoscos

Solucin