Apostila Cálculo I

Apostila de Clculo I

1


2

Limites

Diz-se que uma varivel x tende a um nmero real a se a diferena em mdulo de x-a tende a zero. ( ax ). Escreve-se: ax ( x tende a a).

Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,N1

x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.

Definio:

f(x) limax

igual a L se e somente se, dado 0 e ax , existe 0 tal que se

a- x 0 ento L-(x) f .

Propriedades:

constante) C ( C C 1. lim

ax==

[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlimaxaxax

=

[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlimaxaxax

=

[ ] nax

n

ax(x) f (x) f 4. limlim

=

(x) g (x) f

(x) g (x) f

5.limlim

limax

ax

ax

=

nax

n

ax(x) f(x) f .6 lim lim

=


3

Constante C , limCC .7(x) f(x) f

ax

axlim ==

(x) f log (x) flog .8 limlimax

b bax

=

polinomial funo uma (x) P onde (a) P (x) P .9 limax

=

L (x) h ento , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlimaxaxax

===

Exemplos:

1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim2x

=+=+

2) adoindetermin 00

2242

24x

22

2xlim =

=

x

( )( ) ( ) 4 2x 2x

2x2x

24x

limlimlim2x2x

2

2x=+=

+=

x

3) ( ) adoindetermin 00

022

0220

x

2 - 2x lim

0x=

=

+=

+

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) 4222122 12 2x 1

2 2xx.22

2 2xx.2 2x.2 - 2x

x

2 - 2x

lim

limlimlim

0x

0x0x0x

==

+=

++=

++

+=

++

+++=

+

x


4

Exerccios :

1) Calcular os limites:

a) 34x

2

1xlim

+

+

x

b) 32

2x x1x2x -8

lim

+

c) 28x

3

2xlim

x

d) ( )x

x-4 - 2 lim

0x

e) 2y8y

3

2xlim

+

+

f) 2-2x

23

2

1xlim +

xx

g) 6-x-2x103

2

2

2xlim +

xx

h) 5-x

23 lim

5x

x

i) 3x-

2

23

1xlim

+

xx

j) x-4

7

3

2xlim

xx

l) 3-x27

3

3xlim

x

m) ( )273x 23x

lim +

x

n) ( ) ( )[ ]131x

2.4x lim

++ x

o) 2t

65tt

2

2xlim

+

++

p) 2t

65tt

2

2xlim

+


5

3 x

3

1

-1

y

Limites Laterais

Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto , por valores menores que a, f (x) tende ao nmero 1L . Este fato indicado por:

1ax

L (x) f lim-

=

Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto , por valores maiores que a, f (x) tende ao nmero 2L . Este fato indicado por:

2ax

L (x) f lim =+

Os nmeros 1L e 2L so chamados, respectivamente, de limite esquerda de

f em a e limite direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .

Exerccios : 1) Seja a funo definida pelo grfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a) (x) lim-3xf

b) (x) lim3x

f+

c) (x) lim3x

f

d) (x) limx

f

e) (x) limx

f

f) (x) lim4x

f


6

1 x

y

0,5

2) Seja a funo definida pelo grfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a) (x) lim1x

f+

b) (x) lim1x

f

c) (x) lim1x

f

d) (x) limx

f

e) (x) limx

f

.

3) Dada a funo 31)( += xxf , determinar, se possvel, (x) lim-3xf

e (x) lim3x

f+

.

4) Seja f(x) =

=

+

2 xpara x-92 xpara 2

2 xpara 1

2

2x

. Determinar: (x) lim-2xf

, (x) lim2x

f+

, (x) lim2x

f

.

5) Seja f(x) =

3 xpara 7-3x

3 xpara 1x.. Determinar (x) lim

-3xf

, (x) lim3x

f+

, (x) lim3x

f

,

(x) lim-5xf

, (x) lim5x

f+

, (x) lim5x

f

.


7

Limites Infinitos

Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlimaxax - +

pode ocorrer que , ao tender x para

a, o valor f (x) da funo ou aumente sem limite, ou decresa sem limites.

Por exemplo:

21(x) f

=

x.

Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:

x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000

Assim : 2-x

1 e

2-x1

limlim2x2x

==+

.

So consideradas indeterminaes: )()( )( 0. 00

Exemplos:

1) adoindetermin 1x

x

2

xlim

=

++

==

+=

+=

+ +++ 01

x

1x

11

x

1xx

x

1xx

2x

2

2

2

x

2

xlimlimlim


8

2) adoindetermin xx

32x 3

xlim

=

+

+

+

0 10

x

11x

3x

2

x

xxx

32x

xx

32x

2

32

x

3

3

3

x3

xlimlimlim ==

+

+=

+

+

=

+

+

+++

Exerccios:

1) Seja 12x

3x5(x) f+

+=

. Determinar:

a) (x) f limx +

b) (x) f limx

c) (x) f lim)

21(x +

d) (x) f lim)

21(x

2) Calcular:

a) ( )2-x1 lim)2(x

++

b) ( )3x

10-2x1 lim

)5(x +

++

c) ( )3)4(x 4-x1

lim

d) ( )3)4(x 4-x1

lim+

e) 23

5x2 2

2

xlim

++

xx f)

6xx13x x

2

2

2xlim

+

+++

g) 6xx

13x x 2

2

2xlim

+

++


9

y

x x

y

x

y

a a a

Continuidade

O conceito de continuidade est baseado na parte analtica, no estudo de limite, e na parte geomtrica na interrupo no grfico da funo. Assim, as funes f(x), abaixo, so todas descontnuas:

f(x) f(x) limlimaxax - +

f(a) f(x) limax

=

=

+

f(x) f(x)

lim

lim

ax

ax -

Definio: Uma funo contnua em um ponto A se:

a) f (a) definida b) (x) f lim

x a existe

c) (x) f limx a

= f (a)

A descontinuidade no grficos (2) chamada por ponto ou removvel, a descontinuidade em (1) por salto e em (3) uma descontinuidade infinita.

Exemplos:

Estudar analiticamente a descontinuidade das funes:


10

a)

=

=

1 x x - 11 x 11 x x1

f(x)2

em x =1.

f(1) = 1 0 x- 1 lim (x) f lim 21x1x

==

0 x - 1 lim x - 1 lim (x) f lim1x1x1x

===+++

f descontnua por ponto ou removvel em x = 1. Para remover a descontinuidade basta fazer f(x)=0 para x = 1.

b)

=

=

2 x 8-3x2 x 42 x 23

f(x)2

x

no ponto x=2.

L14 2-3x lim (x) f lim2x2x

===

L24 8-3x lim (x) f lim 22x2x

===++

como L1 = L2 =f(2) ento a funo contnua.

Exerccios:

Estudar analiticamente a descontinuidade das funes::

a)

=

=

3 x 3-x

1-2-x

3 x 2

3 x 932

27x

f(x)

2

3

xx

em x =3.


10

b)

=

=

2 x 2-x

253x

2 x 7f(x)

2 x

c)

+

=

=

0 x x

2-4x

0 x 3

0 x

f(x)

x

xsen

3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x) f lim1x

:

=

1 x A)-(x

1x 1- 11x

f(x)2

2

x


12

1x 0x x

y

x

)f(x1

P

Q

Derivada de uma Funo

Acrscimo da varivel independente

Dados 10 xe x denominam incremento da varivel x, diferena:

01 xxx =

Acrscimo de uma funo

Seja y = f(x) contnua. Dados 10 xe x podem-se obter )f(x e )f(x 10 . diferena )f(x)f(xy 01 = chama-se acrscimo ou variao da funo f(x).

Como

xxx 01 += , ento: )f(xx)f(xy 00 +=

Graficamente: tgx

y=

y

)(x f 0

01 xxx =

1x 0x

x


13

Razo Incremental

O quociente da variao da funo y pelo incremento da varivel

independente x chamado razo incremental.

x

)f(xx)f(xx

y 00 +=

Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos:

x

f(x)x)f(xx

y +=

Observe que a razo incremental o coeficiente angular ( tg ) da reta secante s, que passa por P e Q.

Derivada de uma funo num ponto x:

eja y = f(x) contnua. Calculamos a razo incremental x

y. O limite da razo

incremental para o acrscimo x tendendo a zero definido como a derivada da funo f(x). Ela pode ser indicada como:

(x)fy = Lagrange

Dy = Df(x) Cauchy

dxdf

dxdy

= Leibnitz

y& Newton


14

x x

y

x

)xx(f +

P

Q

f (x)

s

xx +

t

Ento:

x

y

0xlim(x)f

= ou

x

f(x)-x)f(x

0xlim(x)f ++++

====

Quando 0x , a reta secante s tende para a reta tangente t , tg tg e tg(x)f = . Geometricamente (x)f mede a inclinao da reta tangente curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)).

Exemplo:

Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definio )(xf .

x

f(x)-x)f(x

0xlim(x)f +

=

Cf(x) =

Cx)f(x =+

y


15

0x

0

0xlim

x

C-C

0xlim(x)f =

=

=

Ento se f(x) = C 0 (x) f = .

Propriedades

1. Propriedade f(x) = C 0 (x) f ==== .

2. Propriedade 1-nn x n(x) f xf(x) ========

Exemplos:

a) 67 7x(x) f xf(x) ==

b) x2

1 x

21

x21(x) f x(x) f xf(x) 2

1121

21

=====

Exerccios: Calcular a derivada das funes:

a) 34xf(x) = b) 97xf(x) =

c) 43

xf(x) =

3. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ++++====++++

4. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ====

Exemplos:


16

a) 3x2xf(x) 74 +=

63 21x8x (x) f +=

b) 10x3xf(x) 49 =

38 40x27x (x) f =

c) 4x3xf(x) 5

231

=

x524.x

313. (x) f 15

2131

==

53

32

5x

8

x

1

5. Propriedade (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g) (f. ++++====

Exemplos:

a) 1).(xxF(x) 23 +=

2x(x) g 1xg(x)

3x(x) f x(x) f

2

23

=+=

==

24

322

3x5x(x) F

2x .x1)(x .3x(x) F

+=

++=

b) )2x2x).(x(xF(x) 232

3 ++=

4xx32(x) g )2x(xg(x)

23x(x) f 2x)(xf(x)

31

232

23

+=+=

+=+=


17

232

438

31

3232

2

12xx3

1010xx311(x)F

4x)x322x).((x )2x2).(x(3x(x)F

+++=

+++++=

c) )x4)(2(xF(x) 92 ++=

4x36x11x(x) F

)4).(9x(x)x2x.(2(x) F

9x(x) g x2g(x)

2x(x) f 4xf(x)

810

829

89

2

++=

+++=

=+=

=+=

6. Propriedade (((( ))))2g(x)(x)g . f(x)g(x) . (x)f

(x) g(x) f

====

Exemplos:

a) 2xx1y =

3

4

2

4

22

22

2

2

x

2xy

x

x2xx

x2xx)(x

x).(2x)(1)(-1).(xy

2x(x) g xg(x)

-1(x) f x 1f(x)

=

=

+=

=

==

==


18

b) 2x13xy

+=

22

2

22

2

2

)x(116xxy

)x(12x)3).((x)x-1.(1y

-2x(x) g x-1g(x)

1(x) f 3xf(x)

++=

+=

==

=+=

a) 7x

65xxy 22

+=

2x(x) g 7-xg(x)

5-2x(x) f 65x-xf(x)

2

2

==

=+=

22

2

22

22

7)(x3526x5xy

7)(x6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2xy

+=

+=


19

Exerccios:

Calcular as derivadas das funes:

1) 42 t )t(1y =

2) 5)1)(z2z(zy 23 +=

3) )2x2x)(x(xy 232

3 +=

3) x

2xy23

=

4) 1)3)(3x(xy 2 +=

5) 9z23zz8y

2

+=

6) 7

t2

1t53

y2 +

=

7) 32 xxx11y

+++=

8) ( ) 5xx

43

12x3xy2

24

+

+=

9) 321111xxx

y +++=

10) 213xx

y =


20

x

)x(f

T ))x(fa( =

N

= )x(f1

a

Significado Geomtrico da Derivada

=(x)f inclinao da tangente T no ponto P(x, f(x))

N = reta normal ao grfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))

Exemplo:

Obter as equaes das retas normal e tangente ao grfico da funo 2x4f(x)y == nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3).

No ponto (2,0) 2a 2(x) f == 21

=na

2-2x y

2)-2(x y T de Equao

=

=

equao de N ( )2-x21

- =y 1 x 21

- +=y

No ponto (-1,3): 2a 2(x) f ==

x

y


21

52x y

1)2(x3 y T de Equao

+=

+=

equao de N ( )1x21

- 3 - +=y

25

x 21

- +=y

Exerccios:

1) Dada a funo x2xy 2 = e o ponto P(4,12), determine a equao das retas normal e tangente ao grfico da funo no ponto P.

2) Achar a equao da reta tangente ao grfico da funo no ponto de abcissa dada:

a) 1 x, 52)( 2 == xxf

b) 2 x, 1)( ==x

xf

3) Achar os pontos onde a reta tangente ao grfico da funo dada paralela ao eixo x:

a) xxxy 42

33

23

=

b) 103 += xy c) xxy 44 +=

4) Achar a equao da reta normal ao grfico da funo no ponto de abcissa dada:

a) -1 x, 12)( 3 =+= xxxf


22

b) 4 x, == xy

5) Determinar as abcissas dos pontos do grfico 132 23 += xxxy nos quais a tangente :

a) paralela reta 3 y 9 x 4 = 0 b) perpendicular reta 7 y = -x + 21

Derivadas de Ordem Superior

segunda derivada dx

yddxdy

dxd(x) f

primeira derivada ydxdy(x) f

f(x) y

''

2

2

y==

=

==

=

terceira derivada y dx

yddx

yddxd(x) f '''3

3

2

2

==

=

ny==n

nn

dxyd(x)f

geral modo um De

Exemplos: Calcular :y e y, y :

a) xxxy 24 48 +=

2168 37' += xxy

26" 4856 xxy =


23

xxy 96336 5'" =

b) xxxxy += 32 4024

21

2'

2112028

+= xxxy

23

''

412408

++= xxy

25

'''

83240

= xy

Exerccios: Calcular :y e y, y

113x5x4x y1) 61

57+=

x

1xy)22

=

3) 121

8 15xxxy

++=

4) 23 4x

xy =

5) ( )( )132 += xxy


24

Regra da Cadeia

Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, ento a funo composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:

( ) ( )xgufdxdu

dudy

dxdy

''

. . ==

Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a funo e depois derivar, ou seja:

( )144412)(

23

24

+=+=

++==

xxxxy

xxxfy

Se quisermos derivar a funo ( )1002 1xy += s conseguiremos resolver atravs da regra da cadeia.

Assim:

( ) ( )992992

2

99100

2

1x x 200.2x 1x100dxdy

2xdxdu

1xu

100ududy

uy

1xu

+=+=

=+=

==

+=

Nesse caso a propriedade :

'1' . . uunyuy nn ========


25

Exemplos:

1) 422 ++= xxy = ( )212 42 ++ xx

( ) ( ) ( )42

1224221

221

2'

++

+=+++=

xx

xxxxy

( )204 108 )2 += xxy

( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy ++=++=

Exerccios: Calcular ypara a s funes:

1) 5 4 1

1+

=

xxy

2)3

2

23

+=

x

xy

3) 112

+

=

x

xy

4) ( )82 24 += xxy

5) 3 4 12 += xxy

6) ( ) 52.13 6 += xxy

7) ( ) 578xy =


26

8) ( )424 158 += wwy

9) ( ) ( )223 98.76 += xxy

3 3 278 )10 += ry

11) 4-3s

1y =

12) 94x

32xy2 +

+=

13) 543 x3

x

2x

1 y ++=

14) ( )22 5x3x1y

++=

15) ( )( )1x23x4y 2 +=

16) ( )34x31x5y

+

=

Derivada das Funes Trigonomtricas

Derivada da funo seno

xdxdyyxsenxfySe cos )( ====


27

Pela Regra da Cadeia: uudxdyyusenySe cos '' ============

Derivada da funo cosseno

( )2122222 sen1 xcos sen1cos 1cossen

cos)(

xxxxx

xxfy

===+

==

( )

( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny

xsenxy

===

==

cos.2cos21

cos.2121

1cos

21

221

2'

21

2

xsendxdyyxxfySe cos)( ====

Pela Regra da Cadeia: usudxdyyuySe en cos '' ============

Exemplos:

Calcular as derivadas de:

( )1xsen y1) 2 +=

( ).2x1x cosdxdyy 2 +==

( )1x2xcosy 2 +=


28

2) xseny =

21

x21

.xcosy

=

xx

y cos2

1=

( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy

( )202 1+= xf ( ) x2.1x20f 192 +=

( )2sen 3 += xg ( )2xcos.x3g 32 +=

( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=

4) 2cos

x

xy =

xgxg

senxfxf

2

cos

'2

'

==

==

3 cos 2 cos 2

4

2'

x

xxsenx

x

xxxsenxy ==

Derivada da funo tangente

xcos

en )( xsyxtgxfySe ===

xsengxg

xfxsenf

cos

cos

'

'

==

==


29

xxx

xsenxy 22222

' seccos

1cos

cos==

+=

Pela Regra da Cadeia: usudxdyyutgySe ec 2'' ============

Derivada da funo cotangente

xsen

os cot)( xcyg xxfySe ===

xgxseng

xsenfxf

cos

cos

'

'

==

==

xxsenxsen

xxseny 22222

' seccos1cos

=

=

=

Pela Regra da Cadeia: usudxdyyugySe eccos cot 2'' ============

Derivada da funo secante

xx

xy 1coscos

1sec ===

( ) tgx.xsecxcos

xsenxsenxcos1y 2

2===


30

Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== utguuy ==== . . sec

Derivada da funo cossecante

xsenxsen

1xseccosy 1===

( ) ( ) xtgcossecx.co

xsen

cosxcosxx sen 1y 2

2=

==

Pela Regra da Cadeia: Se ug. u . -yu y ======== cotseccos seccos

Exemplos: Calcular as derivadas de:

( )1x2xtgy )1 2 ++=

[ ] ( )1x2xsec2x2y 22 +++=

2) x

tgxyseccos

=

xgxgxg

xfxtgf

cot. seccos seccos

sec

1

2'

==

==

x

gxtgxxxxy 22

'

seccos

cot..seccosseccos.sec += =

x

x

seccos

1sec 2 +


31

Exerccios:

( ) ( )1sec3cot)1 3 ++= xxgy

( )x5seccos.xy)2 2=

( )13xcotg3)y 53 +=

( )38xsen4)y +=

3 6x5tg5)y =

( )35 5x3x cos6)y =

( )58 xxtg7)y =

xcos1xseny)8

+=

1x2tgx2secy)9

=

10) )1x(tg.xsecy 2 +=

11) xcotg . x cos

1y =

12) ( ) xsen1-3xtg xsec1y 2+

+=

13) xtg x x gcot x 2y 2+=

14) ( ) ( )xcosxseny +=

15) ( ) ( )( )22x cos 4x seny +=

16) 2x sen

3x cos x y +=

17) ( ) 2x sen x - x tg 1xy 2 =

18) ( )( )1x2x2x- tgy 2 +=

19) x tg .5x seccosy =

20) ( )12cos 22 += xxy

21) ( )33x cos x sen +


32

dudx

dydu

dydx

dydx

dxdy

dxdx

= 1

Derivada da Funo Inversa

Vimos a regra da cadeia para a composio de duas funes f (x) e g(x):

dxdu

dudy

dxdy

.=

Para a funo inversa -1fg =

x

u

y

f g

x

y

x

f

f -1


33

Portanto:

1 ou

1

dxdydy

dx

dydxdx

dy==

Derivada da Funo Exponencial

Se aayay xx ln ' ==

Pela Regra da Cadeia: Se uay ==== aauy u ln. ====

Exemplos: Derivar:

1) 2ln2y 2y xx ==

2) 2ln.2x.22x ln2.2y 2y 222 xxx ===

Para 2,71828 e a =

xey = xey ====

Pela Regra da Cadeia: Se uey ==== uey u ====

Exemplos: Derivar

1) 1x2ey += ( )x2.ey 12x +=


34

2) xey = x2

1.ey x=

3) xseney = xcos.ey xsen=

4) x1x2

ey+

= ( )

=

+

=

++

2

2x

1x

2

2x

1x

x

1x.e

x

1x.1x.x2.ey

22

Derivada da Funo Logaritmo

a ln x. a ln .adydx

x a xlogy yya ====

Como: a ln x.

1

dxdy

dydx1

dxdy

==

Se a lnx

1y x log y z ==

Pela Regra da Cadeia: a ln u

uy ulog ySe a

========

Para a=e xln x log a =

Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u u

uy ====

Exemplos: Derivar


35

1) x

2

x

2x y xln y 2

2===

2) x21

x

x21

y x ln y ===

3) 3 ln 2

1

3 ln xx2

1

y xlog3 ==

Lembrar que :

ln (p . q) = ln p + ln q

ln qp

= ln p ln q

ln rp = r . ln p

Exerccios: Derivar

1) ( )[ ]35x4.1-6x lny +=

2) 3 22

1x1x

lny+

=

3) ( )( )232

5x12xx

lny+

=

4)

+= 1xx ln y 2

5) ( )4x tg.e y -2x=


36

Derivadas de Funes na Forma Implcita

Considere a expresso:

49yx 22 =+

Podemos isolar y em funo de x:

222 x- 49 y x- 49y ==

Ficam definidas duas funes:

x-49(x) f ye x-49(x) fy 22 ====

Diz-se que 2x-49(x) fy == e 2x-49(x) fy == so funes na forma explcita (y em funo de x) , enquanto 49yx 22 =+ uma funo na forma implcita.

Seja 49yx 22 =+ . Usando a Regra da Cadeia :

( ) uu n. u 1-nn = , a derivada de 2y com relao a x 2.y. y .

Na equao inicial se derivarmos todos os termos com relao a x, temos:

yx

-

2y2x

-y 0y y 2 x2 ===+


37

Exemplos: Calcular 'y para as funes abaixo:

1) 03y x 43 =+

3

2

3

232

y4x

y12 x3 -

y 0y y12x3 ===+

2) 4 y yx 42 =+

yg y g

2xf x f 2

==

==

32

32

y4 x x y2-y

0 y y4 y x x y 2

+=

=++

3) x4 e y cos xxsen =+

ysenx ycos x cos xsen 4 e y

ey y)(-sen x ycos xcos xsen 4

3x

x3

++=

=++

4) Encontrar as equaes das retas tangente e normal ao grfico da curva

19

y

4x 22

=+ no ponto

227

,1 .

Derivando com relao a x , temos:


38

y922x-

y

0 y. y 92

2x

0 y 2y. . 91

2x .41

=

=+

=+

No ponto

227

,1 9272

2729

=

== NP aya

Reta Tangente T y - ( )1x2729

227

=

Reta Normal N y - ( )1x9272

227

=

Exerccios:

1) Calcular 'y para:

a) 4xyx5x3 42 =+ b) xtgyx ysen 32 =+ c) ysenxy 2=

2) Encontrar as equaes das retas tangente e normal ao grfico da curva 1543 34 +=+ xxyy no ponto ( )0 ,1 .


39

Diferenciais de uma Funo

Dada uma funo y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como:

x (x) f dy =

onde x o acrscimo da varivel independente x e dy o diferencial de y.

Define-se ento a diferencial da varivel dependente como :

dx (x) f dy =

Lembrando o significado geomtrico da derivada, temos:

x (x) f (x) f )(x f

x (x) f (x) f )(x f

(x) f -x)_ (x f

++

+

+=

x

x

y

Exemplos:

1) Obter um valor aproximado para 37 .

37 x x

1 x

36 x

x (x) f

=+

=

=

=escolhendo


40

x(x) f (x) f x)(x f

x21

(x) f

+=+

=

1.3621

36 37 +=

6,08333 121

6 37 +

2) Obter um valor aproximado para 031sen

180 1x

630 x

xsen (x) f

0

0

pi==

pi==

=

0,51511 31 sen

180.

6 cos

6 sen31 sen

x(x) f (x) f x)(x f

0

0

pipi+

pi=

+=+


41

Exerccios:

1) Obter um valor aproximado para

a) 3 63 b) ( )41,3 c) 4 15 d) ( )303,2 e) 044cos

2) Calcular os diferenciais de:

a) ( )423 2 x5 - xy +=

b) ( )2x3 sen y =

c) x

xseny =


42

y

x

Mximo relativo

Mnimo relativo

Mximo absoluto

a 1x b

y

f(x)

x

2x 3x 4x 5x

Aplicaes da Derivada

Mximos e Mnimos de uma Funo

Considere a funo cujo grfico :

f(x) crescente nos intervalos ( ) ( ) ( )54321 .,.,, xxxxxa f(x) decrescente nos intervalos ( ) ( )4321 .,. xxxx f(x) constante no intervalo ( )bx ,5

Seja um trecho de f(x) crescente:

)(' tgxf =

se f (x) crescente, temos 2

0 pi

0 (x) e 0 ' ftg


43

Seja um trecho de f(x) decrescente:

)(' tgxf =

se f (x) decrescente, temos pipi 2

0 (x) e 0 ' ftg

Se f(x) constante, 0 (x) ' =f .

Exemplos: 1) Determinar os intervalos em que a funo 24)( xxf = crescente e onde decrescente.

24)( xxf =

0 x para edecrescent f(x) 0 x se 0 2x -

0 x para crescente f(x) 0 x se 0 2x - 2)('

= xxf

2) Determinar os intervalos em que a funo 45)( 2 ++= xxxf crescente e onde decrescente.

45)( 2 ++= xxxf

f(x)

x

y


44

25

- x para edecrescent f(x) 25

- x se 0 52x

25

- x para crescente f(x) 25

- x se 0 52x 52)('

+

++= xxf

Mximos e Mnimos Relativos ou Locais

Seja f(x) definida no domnio D.

D x 0 ponto de mnimo local de f (x) se (x) f )(x f 0 para x

pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

D x 0 ponto de mximo local de f (x) se (x) f )(x f 0 para x

pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

f(x0 )

x0

x

y

x0

f(x0 )

x

y


45

Resultado:

Se f (x) existe e contnua , ento num ponto de mximo ou mnimo local temos 0)(x f 0' = . Esse ponto chamado ponto crtico de f(x).

Estudo do Sinal da Derivada Segunda

Para se caracterizar mximos e mnimos locais necessrio uma anlise do sinal da derivada segunda da funo f (x).

Observe que para 0 xx temos 0 )x(f ' .Para 0 xx = temos

0 )x(f ' = e para 0 xx temos 0 )x(f ' . Logo )x(f ' decrescente e portanto sua derivada 0. )x('' f

y

x0

x

f (x) = 0

f (x) 0

f (x) 0


46

Concluso:

Dada uma funo f (x):

a) Calcular a derivada primeira )x(f ' . b) Obter os pontos crticos 0 x para os quais 0 )x(f ' = . c) Calcular a derivada segunda:

Se 0 )x('' f 0 temos que 0 x ponto de mximo relativo. Se 0 )x('' f 0 temos que 0 x ponto de mnimo relativo

Exemplos:

1) Determinar os pontos de mximos e mnimos locais da funo 2

x- 4 (x) f = pontos crticos ( 0 )x(f ' = )

0 x0 x2- x 2 - (x) f 0' ===

0''

x -2(x) f = ponto de mximo relativo

4 (0) f )(x f 0 == o valor mximo relativo de f (x).

2) Idem para 2x18x122x(x) fy 23 +== pontos crticos 0(x) f =

=

=

=+=3x1x

018x24x6)x( f 2


47

24 - x 12 x)(f '' = 1 x 0 12 - 1) (f 0'' == abcissa do ponto de mximo relativo

f (1) = 6 o valor do mximo relativo 3 x 0 12 3) (f 0'' == abcissa do ponto de mnimo relativo

f (3) = -2 o valor do mnimo relativo

Estudo da Concavidade de uma Funo

A concavidade de uma curva f (x) identificada pelo sinal da derivada segunda.

Se 0 )x('' f num intervalo do domnio D temos concavidade voltada para cima. Se 0 )x('' f num intervalo do domnio D temos concavidade voltada para baixo. Um ponto do grfico de y = f (x) onde h mudana no sinal da derivada segunda )x('' f chamado ponto de inflexo 0 )x('' f = .

Exemplo:

Seja 2x6 x25

3x(x) f y 2

3++== . Determine:

a) o intervalo onde f(x) crescente e onde decrescente. b) pontos de mximo e mnimo relativos. c) Pontos de inflexo.

Soluo:


48

a)

=

=

+=3x2x

6x5x(x) f 2

Estudo do sinal:

1. linha : x 2

2. linha : x 3

3. linha : (x-2) (x-3)

2 3 - + +

- - +

+ - +

crescente f 3 x ou 2 x para 0 (x) f

edecrescent f 3 x 2 para 0 (x) f

b) pontos crticos

=

=

=

3x2x

0 (x) f


49

=

=

=

=

=

relativo mnimo de 2

133, ponto 2

13(3) f

0 (x) f 3x

relativo mximo de 3202, ponto

320

(2) f

0 (x) f 2x

5- x2 (x) f

c) inflexo

+

==

para - de passa (x) f

25

x5- x2 0 (x) f ''

Mximos e Mnimos Absolutos

Se y = f (x) contnua e definida num intervalo fechado [a,b], derivvel em [a,b] ento existem pontos 10 xe x tais que:

( ) [ ]

( ) [ ]ba, x , (x) f x f 2)

e ba, x , (x) f x f )1

1

0

0x = ponto de mnimo absoluto de f(x) 1x = ponto de mximo absoluto de f(x)

5 2

+


50

Para se obter os pontos de mnimo e mximo absoluto determina-se inicialmente os pontos de mnimo e mximo relativos. Compara-se esses valores com os da funo no extremo do intervalo.

Exemplo:

Seja 2 x- 16 (x) fy == no intervalo [ -1, 4 ]

Pontos de mximo e mnimo relativos

[ ]4 1,- 0 x 0 x 2- 0 (x) f ' === 0 xento 0 )x(f como 2)x(f '''' == ponto de mximo local e o valor mximo da funo f (0)=16. Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0

Por comparao f (x) = 0 ponto de mximo absoluto e x =4 ponto de mnimo absoluto.

Exerccios:

1) Dada a funo 1x9x33x)x(fy 2

3

++== verifique os intervalos

para os quais a funo crescente e decrescente. Determine os pontos crticos, verificando se so de mximo ou mnimo. Determine o ponto de inflexo, se houver.

2) Idem para x5x33x)x(fy 2

3

+==

3) Determinar nmeros positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e cuja soma seja a menor possvel.

4) Determinar nmeros positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja o maior possvel.

5) Encontre os pontos crticos, indicando se so mximos ou mnimos locais para ( )32 1xy = .


51

6) Uma fbrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produo dado por

60x18x6x2C 23 +++= e o valor obtido na venda dado por 2x12x60V = , determinar o nmero timo de unidades mensais

que maximiza o lucro L = V C.. 7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimenses

a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de rea, determinar as dimenses a e b de forma que o comprimento da cerca seja mnimo.

8) Um fio de comprimento l cortado em dois pedaos. Com um deles se far um crculo e com o outro um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas reas compreendidas pela figura seja mnima?

Apostila Cálculo I

Documents

Transcript of Apostila Cálculo I