REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSATARIO DE TECNOLOGIA “ANTONIO JOSE DE SUCRE”

EXTENSION BARQUISIMETO

AUTOR

JUAN ALFONSO VEGA MUJICA

C.I. 26.181.234

MARZO 2016

INTRODUCCION

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología.

La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable.

Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.

El concepto de derivada segunda de una función, también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda.

Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).

Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta

Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea Recta una función f es derivable en a si f'(a) existe, es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a, b) o (-b,a), (-a,b)) si es derivable en todo número del intervalo. Velocidad sea s =f (t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad (instantánea) del objeto en el instante t está dada por: V(t)= ds /dt = f ´(t).

La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo.

Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación

s= 3t2-8t+7

Donde s se mide en centímetros y t en segundos.

Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5

Solución Tenemos que:

V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8) Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1) y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)

Aceleración Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica.

La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por: a(t)= dv /dt =f"(t)

Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1 Donde s se mide en metros y t en segundos.

a. ¿En qué instante la aceleración es cero?

b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.

Solución: Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0 b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg.

Derivadas Implícitas

Las derivadas implícitas son aquellas derivadas que no tienen la forma, Y = X + K, estas derivadas poseen la incógnita Y sin despejar, generalmente se debe a que la Y se encuentra en varios grados, o con varios exponentes, lo que hace imposible su despeje perfecto.

Estas derivadas tienen 2 formas de resolverse, por formula y por definición.

POR DEFINICION POR FORMULA

Se resuelve la derivada tomando a Y como una función ‘U’, y utilizando la

propiedad Y '=Un→n .Un−1 .U '

Luego se despeja Y’ ( debe estar la Y’ sola, son ninguna constante.)

Y al tener Y’ despejada tenemos la derivada.

Y '=

−∂ f∂ X

∂ f∂Y

Donde ∂ f

∂ X Es la derivada de la

función con respecto a X y ∂ f

∂Y es la derivada de la función con respecto a Y.

Con respecto a X se toma a Y como una constante, y con respecto a Y se toma a X como una variable.

Nota: EL NUMERADOR VA

NEGATIVO. −∂ f

∂ X

Ejemplo por definición:

a) 3 X2+Y 4=X 5+2Y 6

b) 6 X+4Y 3 .Y '=5 X 4+12Y 5 .Y '

c) 4 Y3 .Y '−12Y 5 .Y '=5 X4−6 X

d) Y ' .(4Y3−12Y 5 )=5 X 4−6 X

e) Y '= 5 X4−6 X

4Y 3−12Y 5

a) Expresamos la Función

b) Derivamos tomando en

cuenta que Y es una función

c) Colocamos los términos con

Y de un lado (Sin derivar Y’)

d) Sacamos factor común

e) Despejamos la Y’

Misma función por formula.

a) 3 X2+Y 4=X 5+2Y 6

b) 3 X2+Y 4−X 5−2Y 6

c.1) Y '=6 X−5 X 4

c.2) Y '=4Y3−12Y 5

a) Expresamos la función

b) Ordenamos todos los términos de

un solo lado.

c.1) Derivamos la función a partir de

X

c.2) Ahora la derivamos a partir de Y

d) Colocamos los pasos c.1 Sobre c.2, recordar que la derivada en

d) Y '=−6 X+5 X 4

4Y 3−12Y 5función de X va negativa.

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

La derivada de una función es una función de la cual se puede seguir derivando, eso se repite un número ‘N’ de cantidades, hasta llegar a la raíz de la función.

La derivada de orden superior vendría siendo la Segunda derivada y se escribe así Y’’.

Se deriva igual que las funciones antes vistas.

Por ejemplo:

}

Y=Ln√X 4−1X 4+1    →LnU

Y '=(√X 4−1X 4+1 )

'

√X4−1X4+1

→√U

Y '=

(X 4−1X 4+1 )'

2.√X4−1X4+1

√X4−1X4+1

Y '=(X 4−1X 4+1 )

'

2.(√X 4−1X 4+1 ).(√X4−1X4+1 )

Y '=(X 4−1X 4+1 )

'

2.(X4−1X4+1 )     →U

V

Y '=(4 X3) . (X 4+1 )−(X 4−1 ). (4 X3 )

2.(X4−1X4+1 )Y '=4 X

7+4 X3−4 X7+4 X3

2.(X4−1X4+1 ) . ( X4+1 )2

Y '=8 X3

2. (X 4−1 ) . ( X4+1 )

Y '=4 X3

X8−1

DEFINICIÓN FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de

números x1,x2 del intervalo. .

Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de

números x1,x2 del intervalo,  .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. 

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos (x3,x5),(x6,b)

CRITERIO DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Sea f una función continua en el intervalo cerrado   y derivable en el

intervalo abierto .

1. Si   es creciente en 

2. Si   es decreciente en 

3. Si   es constante en 

EJEMPLO 1:

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Extremos Relativos (Máximos y Mínimos Relativos ó Máximos y Mínimos Locales)

  Sea f una función en c:

1.-  f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).

2.-  f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:

1.- f’(c) = 0, ó

2.- f’(c) no está definida

Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.

 Notas:

1)  El teorema anterior afirma que si una función f tiene un máximo o mínimo relativo enx = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f.

2)  Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.

Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

 CONCAVIDAD

 La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (-2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5). 

 

Figura 1

   Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

i) Cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) Cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

 Ejemplos:

1)

Figura 2

 Observa que la función f(x) = x2 es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (-5,5).

 

2)

Figura 3

Observa que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5).

Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).

 Ejemplos:

 1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva, esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

  2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa, esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

 Suponga que f" existe en algún intervalo (a,b) que contiene a c y que

f’(c) = 0, entonces:

i) Si f"(c)>0, f(c) es un mínimo relativo

ii) Si f"(c)<0, f(c) es un máximo relativo

Ejemplos para discusión: Halla los máximos y mínimos relativos para cada una de las siguientes funciones:

 1) f(x) = x3 - 3x2

2) f(x) = x4

Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda derivada no aplica y no provee información. De manera que, se usa entonces el criterio de la primera derivada para determinar los máximos y mínimos relativos.

 En resumen, para usar el criterio de la segunda derivada, si f es una función continua en el intervalo (a, b): primero se hallan los puntos críticos, luego si:

i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de la primera derivada.

 FORMAS INDETERMINADAS 0/0

En el área de la matemática se le denomina forma indeterminada a las expresiones algebraicas que poseen limites del tipo 0/0, ∞/∞, 1^∞, 0.∞, ∞^0, +∞-∞.

Existen dos formas de calcular este tipo de indeterminaciones la primera es mediante factorización y la segunda es la racionalización (esta última la usamos cuando en la expresión existen raíces).

Factorización

La factorización es la descomposición de una expresión matemática en forma de multiplicación, para el cálculo de indeterminaciones mediante factorización se usan los siguientes métodos:

Factor común: basta con expresar dicho polinomio como el producto del factor común, por el resto de los términos del polinomio encerrados entre paréntesis.

Ejemplo: b elevado a 2 + 2b = b(b+2) puesto que ambos términos de estos tienen como factor común "b".

Trinomio cuadrado perfecto: se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo.

Suma o diferencia de potencias a la "n": la suma de dos números a la potencia se descompone en dos factores, siempre que "n" sea impar, quedando de la siguiente forma:

Para la suma: a^3 +b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)

Para la diferencia: a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)

Diferencia de cuadrados: posee dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos.

Racionalización

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador, a este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

*Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

*Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

*Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n.

CONCLUSION

El concepto de derivada, proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su interpretación física. Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y en qué puntos no admite derivada. Familiarizarse con el cálculo automático de derivadas, con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, con la derivación múltiple y finalmente con la derivación implícita.

El concepto de la derivada, como un cociente incremental infinitesimal, fue de gran ayuda en la resolución de muchos problemas tanto matemáticos como físicos a través de la historia, es así como Cornu 1983 afirma “La derivada no es una aplicación del concepto de límite sino todo lo contrario, el cálculo de derivadas es el que ha conducido hacia este concepto”. El término infinitesimal se puede asociar a un incremento siguiendo a Newton quien la definió como “el incremento de una variable en un intervalo de tiempo infinitamente corto”. A si mismo Leibniz consideraba los infinitesimales positivos como números que son mayores que cero, pero menores de todos los reales positivos. Y L’ Hospital definió el incremento o decremento de una variable Las “diferencias” como partes infinitamente pequeñas que aumenta o disminuye dependiendo un contexto.

BIBLIOGRAFIA

Ramírez R. Historia y epistemología de la función derivada Publicada en Tecné, Episteme y Didaxis: TED No. Extraordinario, 2009.

http://www.pedagogica.edu.co/revistas/ojs/index.php/TED/article/viewDownloadInterstitial/261/ 252

Salazar Claudia Descripción de niveles de comprensión del concepto derivada Publicado en la revista TEA numero 26 segundo semestre 2009.

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Dolores C.. El futuro del cálculo infinitesimal. Capítulo V: ICME-8 Sevilla, España. Cantoral R. Grupo Editorial Iberoamérica. México D. F, 2000