PENSAMIENTO ALEATORIO Def in i c ión de Es tadí s t i ca La Estadís t i ca t ra ta de l recuento , ordenac ión y c las i f icac ión de los da tos obten idos por las observac iones , pa ra poder hacer comparac iones y sacar conc lus iones .

Conceptos de Es tad ís t i ca Poblac ión : Una poblac ión es e l con junto de todos los e lementos a los que se somete a un estud io es tadís t ico . I nd i v i duo : Un i nd i v iduo o un idad estadís t i ca es cada uno de los e lementos que componen la pob lac ión. Muest ra : Una muest ra es un con jun to representa t ivo de la poblac ión de re ferenc ia , e l número de ind iv iduos de una muest ra es menor que e l de la pob lac ión. Muest reo: El muest reo es la reun ión de dat os que se desea es tud iar , obten idos de una proporc ión reduc ida y representa t iva de la pob lac ión. Va lor : Un va lor es cada uno de los d is t in tos resu l tados que se pueden ob tener en un es t ud io es tad íst i co . S i lanzamos una moneda a l a i re 5 veces obtenemos dos va lo res : cara y c ruz. Dato : Un da to es cada uno de los va lores que se ha ob ten ido a l rea l iza r un es tud io es tadís t ico. Si l anzamos una moneda a l a i re 5 veces ob tenemos 5 datos : ca ra, ca ra , c ruz , cara, c ruz .

Var iables estadís t i cas

Var iab le cua l i ta t i va : Las var iables cua l i ta t i vas se re f ie ren a carac ter í s t i cas

o cua l i dades que no pueden ser medidas con números . Podemos d is t ingu i r

dos t ipos :

Var iab le cua l i ta t i va nomina l : Una var iab le cua l i ta t i va nomina l p resen ta

modal i dades no num ér i cas que no adm i ten un c r i ter i o de orden .

Var iab le cua l i ta t i va ord i na l o var iable cuas i cuant i ta t i va: Una var iable

cua l i ta t i va ord ina l p resen ta moda l i dades no numér i cas , en las que ex is te

un orden .

Var iab le cuant i ta t i va : Una var iable cuant i ta t i va es la que se expresa

med iante un número , po r t an to se pueden rea l i zar operac iones ar i tmét i cas

con e l la . Podemos d is t ingu i r dos t ipos :

Var iab le d i sc reta : Una var iable d i scre ta es aquel la que toma va l ores

a i s lados , es dec i r no admi te va lores i n te rmedios ent re dos va lo res

espec í f icos .

Var iab le cont i nua: Una var iable cont i nua es aque l la que puede tomar

va l ores com prend idos ent re dos números .

D i s t r i buc ión de f recuenc ias : La dis t r i buc ión de f recuenc ias o t ab l a de

f recuenc ias es una ordenac ión en fo rma de t ab l a de los da tos es tadí s t i cos ,

as ignando a cada dato su f r ecuenc ia cor respond iente .

D iagrama de bar ras : Un d iagrama de bar ras se u t i l i za para de presenta r

da tos cua l i ta t i vos o datos cuant i ta t i vos de t i po d i sc re to .

Los da tos se represen tan med iante bar ras de una a l tura proporc i ona l a la

f r ecuenc ia .

Pol ígonos de f recuenc i as : Un po l ígono de f recuenc ias se fo rma un iendo

los ex t rem os de las bar ras med iante segmentos . Tamb ién se puede

rea l i za r t razando los puntos que represen tan las f r ecuenc ias y un iéndolos

med iante segmentos .

Diagrama de sec tores : Un diagrama de sec tores se puede ut i l i zar para

todo t ipo de var iab les , pero se usa f recuentemente para las var iables

cua l i ta t i vas .

Los da tos se represen tan en un c í r cu lo , de modo que e l ángu lo de

cada sector es proporc ional a la f r ecuenc ia abso luta cor respond iente .

His tograma : Un hi s t ograma es una representac ión grá f i ca de una

var i abl e en fo rma de bar ras . Se u t i l i zan para var i abl es cont i nuas o

para var iab les d i scre tas , con un gran número de datos , y que se han

agrupado en c lases . En e l eje absc i sas se cons t ruyen unos

rec tángulos que t ienen por base la ampl i tud de l i n te r va lo , y por

al tu ra , la f r ecuenc ia absolu ta de cada i n te rva l o .

Medidas de cent ra l i zac ión

Moda

La moda es e l va lor que t iene ma yor f recuenc ia abso luta .

Se representa por M o . Se puede ha l lar la moda para var iables

cua l i ta t i vas y cuant i ta t i vas .

Cálcu lo de l a moda para datos agrupados

1º Todos l os i n te rva l os t i enen l a misma ampl i tud .

2º Los i n te r va los t i enen am pl i tudes d i s t i n tas .

En pr imer lugar tenemos que ha l lar l as a l t uras .

La c lase moda l es la que t iene mayor a l t ura .

Mediana

Es e l va l or que ocupa e l l ugar cent ra l de todos los datos cuando

és tos es tán ordenados de menor a mayo r .

La mediana se represen ta por M e .

La mediana se puede hal l a r só lo para var iables cuant i ta t i vas .

Cálculo de l a mediana

1 Ordenam os los datos de menor a mayor .

2 S i la se r ie t i ene un núm ero impar de medidas la mediana es la

puntuac ión cent ra l de la misma.

3 Si la ser ie t iene un número par de pun tuac iones la mediana es

la media en t re las dos puntuac iones cent ra les .

Cálcu lo de l a med iana para da tos agr upados

La mediana se enc uent ra en e l i n t e rva l o donde la f r ecuenc ia

acum ulada l lega has ta la mi tad de l a suma de l as f recuenc ias

absolu tas .

Es dec i r t enemos que buscar e l in terva lo en e l que se encuen t re

.

Medi a a r i tmét i ca

La m edia a r i tmét i ca es e l va lor ob ten ido a l sumar t odos los datos

y d i vid i r e l resu l tado ent re e l númer o t o ta l de da tos .

es e l s ímbo lo de la media a r i tmét i ca .

Media ar i tmét i ca para datos agr upados

Si los da tos v ienen agrupados en una t ab la de f recuenc ias , la

expres ión de la media es :

Medidas de pos i c ión

Cuar t i l es

Los cuar t i l es son los t r es va lo res de la var iab le di v i den a un

con jun to de datos ordenados en cuat ro par tes i gua les .

Q 1 , Q 2 y Q 3 de terminan l os va lores co r respond ientes a l 25% , al

50% y a l 75% de los datos .

Dec i l es

Los dec i l es son l os nue ve va l ores que d i viden l a ser ie de da tos

en diez par tes i gua l es . Los dec i l es dan l os va lo res co r respondientes a l

10%, a l 20%. . . y a l 90% de los da tos .

Percent i l es

Los percent i l es son los 99 va l ores que d i v iden l a ser ie de da tos

en 100 par tes i gua les .

Los percent i l es dan los va lo res co r respond ientes a l 1%, a l 2%. . . y

a l 99% de los da tos .

Medidas de d i spers ión

Desvi ac ión med ia

La desvi ac ión med ia es la media ar i tmét i ca de los va lores

absolu tos de l as desv iac iones respecto a l a med ia .

La desviac ión med ia se represen ta por

Desvi ac ión media para datos agrupados

Si los da tos v ienen agrupados en una t ab la de f recuenc ias , la

expres ión de la desv i ac ión media es :

Var ianza

La desviac ión t í p i ca es la raí z cuadrada de l a va r ianza .

La desviac ión t í p i ca se representa por σ .

Desvi ac ión t í p i ca para datos agrupados

Para s imp l i f i ca r e l cá lcu lo vamos o u t i l i za r las s igu ientes

expres iones que son equ iva lentes a las an ter iores .

Desvi ac ión t í p i ca para datos agrupados

Desvi ac ión t í p i ca

La desviac ión t í p i ca es la raí z cuadrada de l a va r ianza .

La desviac ión t í p i ca se representa por σ .

Desvi ac ión t í p i ca para datos agrupados

Para s imp l i f i ca r e l cá lcu lo vamos o u t i l i za r las s igu ientes

expres iones que son equ iva lentes a las an ter iores .

Desvi ac ión t í p i ca para datos agrupados

Coef i c i ente de var iac ión

El coef i c i en te de var iac ión es la re l ac ión ent re l a desvi ac i ón

t í p i ca de una mues t ra y su media .

ANALISIS COMBINATORIO

Fac tor i a l de un núm ero na tura l

Es e l p roduc to de los “n” f ac to res consecu t ivos desde “n ” has ta 1 .

E l f ac to r i a l de un número se deno ta por n! .

Var iac iones

Se l lama var iac i ones or d inar ias de m e lementos t omados de n

en n (m ≥ n) a l os d is t in tos grupos fo rmados por n e lementos de fo rma

que:

No en t ran todos los e lementos .

Sí impor ta e l o rden.

No se rep i ten los e lementos .

También podemos ca lcu la r las var iac iones median te f ac to r i a les :

Las var iac iones se deno tan por

Var iac iones con repe t i c i ón

Se l lama var iac iones con repe t i c i ón de m e lementos t omados d e

n en n a los d is t in tos g rupos fo rmados por n e lementos de manera que :

No en t ran todos los e lement os s i m > n . Sí pueden en t ra r t odos los

e lementos s i m ≤ n

Sí impor ta e l o rden.

Sí se rep i ten los e lementos .

Permutac iones

Sí ent ran todos los e lementos .

Sí impor ta e l o rden.

No se rep i ten los e lementos .

Permutac iones c i r cu lares

Se u t i l i zan cuando los e lementos se han de ordenar "en c í rcu lo" ,

(po r e jemp lo, los comensa les en una mesa) , de modo que e l p r imer

elemento que "se s i t úe" en la muest ra dete rmina e l pr inc i p io y e l f ina l de

muest ra .

Permutac iones con repe t i c i ón

Permutac iones con repet i c i ón de m elementos donde e l pr imer

e lemento se rep i t e a veces , e l segundo b veces , e l t e rcero c veces ,

. . . (m = a + b + c + . . . = n ) son los d is t in tos grupos que pueden fo rmarse

con esos m e lementos de fo rma que :

Sí ent ran todos los e lementos .

Sí impor ta e l o rden.

Sí se rep i ten los e lementos .

Com binac iones

Se l lama com binac iones de m e lementos tomados de n en n (m ≥

n) a t odas las agrupac iones pos ib l es que pueden hacerse con los m

e lementos de fo rma que :

No en t ran todos los e lementos .

No impor ta e l o rden.

No se rep i ten los e lementos .

También podemos ca lcu lar las combinac iones median te

f ac tor i a l es :

Com bi nac iones con repe t i c i ón

Las combinac iones con repe t i c i ón de m e lementos t omados de n

en n (m ≥ n ) , son los d is t in tos g rupos formados por n e lement os de

manera que:

No en t ran todos los e lementos .

No impor ta e l o rden.

Sí se rep i ten los e lementos .

Núm eros com binator i os

El número se l lama también número com bina tor i o . Se

represen ta por y se l ee "m sobre n " .

Propiedades de l os númer os com binator i os

1 .

2.

3.

PROB ABILID AD

Teor ía de probabi l i dades

La t eor ía de probabi l i dades se ocupa de as ignar un c ie r to

número a cada pos i b le resul tado que pueda ocur r i r en un exper imento

a leator i o , con e l f i n de cuan t i f i ca r d ichos resu l tados y saber s i un

suceso es más p robab le que o t ro .

Suceso

Es cada uno de los resu l tados pos ib les de una exper ienc ia

a leato r ia .

Espac io mues t ra l

Es e l con junto de todos los pos ib les resu l tados de una exper ienc ia

a leato r ia , lo represen taremos por E (o b ien por la le t ra g r iega Ω ) .

Tipos de sucesos Suceso e lementa l

Suceso e lementa l es cada uno de los e lementos que fo rman par te

de l espac io mues t ra l .

Suceso a leator i o

Suceso com puesto e s cua lqu ier subcon jun to de l espac io mues t ra l .

Suceso seguro

Suceso segur o, E , es tá fo rmado por todos los pos ib les resu l tados

(es dec i r , po r e l espac io mues t ra l ) .

Suceso i mpos ib le

Suceso impos ib le , , es e l que no t iene n ingún e lemento .

Por e jemplo a l t i ra r un dado obtener una puntuac ión igua l a 7 .

Sucesos com pat i b les

Dos sucesos , A y B , son compat ib les cuando t ienen a l gún suceso

e lementa l común.

Sucesos i ncom pat ib les

Dos sucesos , A y B, son i ncom pat i b les cuando no t ienen n ingún

e lemento en común.

Sucesos i ndependientes

Dos sucesos, A y B, son independien tes cuando la probab i l i dad de

que suceda A no se ve a fectada porque haya suced ido o no B.

Sucesos dependi entes

Dos sucesos , A y B, son depend ien tes cuando l a probab i l idad de

que suceda A se ve a fec tada porque haya sucedido o no B .

Suceso cont rar i o

El suceso con t rar io a A es o t ro suceso que se rea l i za cuando no se

rea l i za A . , Se deno ta por .

Unión de sucesos

La uni ón de sucesos, A B , es e l suceso fo rmado por todos los

e lementos de A y de B .

I n te rsecc ión de sucesos

La i n tersecc ión de sucesos , A B , es e l suceso formado por

todos los e lementos que son, a la vez , de A y B.

Di ferenc ia de sucesos

La di fe renc ia de sucesos , A − B , es e l suceso fo rmado por todos

los e lementos de A que no son de B.

Sucesos cont rar i os

El suceso = E - A se l lama suceso cont rar i o o comp lementar i o

de A.

Axi omas de l a p robabi l i dad

1. 0 ≤ p(A) ≤ 1

2. p(E) = 1

3. p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de l a probab i l i dad

1

2

3

4

5 Si A 1 , A 2 , . . . , A k son incompat ib les dos a dos en tonces :

6 Si e l espac io muest ra l E es f in i t o y un suceso es S = x 1 , x 2 , . . . ,

x n entonces :

Le y de Lapl ace

Probabi l i dad de l a uni ón de sucesos i ncom pat ib les

A B =

p( A B) = p(A) + p (B)

Probabi l i dad de l a unión de sucesos compat ib les

A B ≠

p( A B) = p(A) + p (B) − p ( A B)

Probabi l i dad cond ic ionada

Probabi l i dad de l a in te rsecc ión de sucesos i ndepend ientes

p( A B) = p(A) · p(B)

Probabi l i dad de l a in te rsecc i ón de sucesos dependie ntes

p( A B) = p(A) · p (B /A)