1

ESTADÍSTICA III

1.5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES EN UNA

POBLACIÓN NORMAL CON MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

2

ESTADÍSTICA IIIESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIONES MUESTRALES EN POBLACIONES NORMALES

1. De la media muestral

1.1. con varianza conocida

1.1.1 muestras grandes1.1.2 muestras pequeñas

1.2. con varianza desconocida

1.2.1 muestras grandes1.2.2. muestras pequeñas

2. De la diferencia de medias

3. De la proporción

4. …

...,...NX

3

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

CUANDO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL

1,0

n

-X

n,NX 30n Si ...

, ¿X Si

n,NX

,NX Si

normalón distribuci una tendrámuestral media oestadístic delón distribuci la Entonces

;,Npoblación una de procedente n, tamañode aleatoria muestra una ),.....,,(x Sea 21

N

LCT

xx n

1.5.1

4

ESTADÍSTICA III

25

10050,NX )100,50(

51) xP(48 2)

60 X que de adprobabilid La 1)

:Calcular 25.n tamañode muestra una tomasepoblación talde Si N(50,100).

),N( v.a.una de elpor adocaracteriz está entocomportami cuyopoblación una Considere

NX

X X

5328.02

11

2

5051

2

5048)5148(

%100 ;1)5(

25

100

506060

ZP

ZPxP

ZP

n

xPxP

5

ESTADÍSTICA III

5

10,50 xNX

X50

22

6060

2

1

)60(

)100,50(

e

xP

NX

N(0,1)Z )60( xP

)5(2

5060)60(

ZPZPXP

0 Z 5

60

6

ESTADÍSTICA III

Supóngase que el tiempo que un artículo permanece en stock es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (1,7). De una producción de 100 de estos artículos, calcular la probabilidad de que el tiempo medio de permanencia en stock de los mismos sea mayor que 4.5 X~U(1,7)

002.0)16(03.0

45.4)5.4(

100

3,4

312

36VAR(x) 4

2

8)(

12

a-bVAR(x)

2)(

caso otroen 0

7,1 xsi 6

11)(

2

ZPZPXP

NX

xE

baxE

abxf

7

ESTADÍSTICA III

Distribución de la media muestral cuando no se conoce la varianza poblacional

libertad" de grados"

tpequeño esn si

N(0,1) grande esn si

conoce se no si

)1,0(

,

1-n

n

SX

n

SX

N

n

X

nNX

1.5.2

8

ESTADÍSTICA III

1

x-X N , N(0,1)

nn

a) n es grande

x- x N , N(0,1)

nn

b) n es pequeño

x-x N , t

nn

n

Ss

Ss

DIST. MUESTRAL

MEDIA CUANDO

VARIANZA ES CONOCIDA

MEDIA CUANDO

VARIANZA ES DESCONOCIDA

VARIANZA

proporción

9

ESTADÍSTICA III

DEMOSTRACIÓN:DISTRIBUCIÓN

x2 :RecordarSea x1,x2,….,xn una muestra aleatoria de tamaño n, procedente de una población N(μ, σ). Entonces las variables aleatorias

2

1

n

1i

2iZ

)1,0(

n

n

i

n

i

ii

X

y

NX

Z

10

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN t-Student: Recordar

Sean U y V dos variables independientes tal que:

2

2

, 2

(0,1)

n

n

nn m

m

U N

V

Ut

Vn

F de snedecor

F cociente entre dos Chi

11

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

S2

2

2

21

221

12 2

2

n-1

n-1 :

n

ii

n

S

x xS

DEMOSTRACIÓN

S

2 22

1 1

2 2

1 1

2 2

1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 22

2

11

1

2

2

2

2

1

n n

i ii i

n n

i ii i

n

i ii

i i

i

i

i

i

i

x x n S x xn

x x x x

x x x x

x n x x x

x n x x nx n

x n x n x x

x n x

n S x n x

x

22

2 2 2

1n S n x

1.5.3

12

ESTADÍSTICA III

1

2)()1(2)1(

)1(21

)1()1(

)1(111

)1(2Var ;1E

2VAR

1

1

42

4

22

2

2

2222

2

2

2

2

21-n

21-n

2n

2

21

21-n

2n

2

2

22

1

2

2

2

2

2

2

nSVarn

SVarn

nSn

VAR

SEnSEn

nSE

nnSn

E

nn

n

nE

n

xSnx

xnSnx

n

n

i

i

i

13

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CUANDO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL

“Tiempo medio de duración de dos piezas”,“Salarios hombres mujeres”…..

“Sean (x1....xn) e (y1…..yn) dos muestras aleatorias simples e independientes de tamaños nx y ny procedentes de N(μx,σx) y N(μy,σy) respectivamente. Entonces la distribución muestral de la diferencia de medias se distribuye:

yx

x

22

22

22

,

( )(0,1)

x y y

yxx y

x y

yxx y

x y

x y

yx

x y

n n

x y Nn n

x yN

n n

1.5.4

14

ESTADÍSTICA III

Ejemplo:

Salario medio hombres=129.000 ptas., σ2=2.500

Salario medio mujeres=128.621 ptas., σ2=3.000

Si tomamos una muestra aleatoria de 36 hombres y 49 mujeres ¿Cuál es la probabilidad de que el salario medio de los hombres sea al menos 400 ptas mayor al de las mujeres?

43.11,379

49

3000

36

2500128621,-129000N Y-X

49 n 000)?(128621,3Y MUJERES:B

36n 2500,129000?XHOMBRES:A

y

x

N

379 400 )( YX

15

ESTADÍSTICA III

379 400 379400

11.43 11.43

1.83 0.0336

X YP X Y P

P Z

379 400

)( YX 0 1.43 Z

16

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CUANDO NO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL

2 2 2

2 2

,

,

)las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales

)las varianzas poblacionales son desconocidas pero distintas

x x x

y y y

x y

x y

X N n

Y N n

A

B

1.5.5

17

ESTADÍSTICA III

)1,0(

Y-XZ

:que sabemos además

1n1n

:

1n , ,NY

1n , ,NX )

22

222

2y

2

2x

212

2y

y

212

2x

X

N

nyn

SSW

Si

S

n

S

nA

y

x

X

YX

nnyx

ny

y

nx

x

yx

y

x

18

ESTADÍSTICA III

2

2Si W y Z N(0,1)

ZT

n 2W xn 2

x

( ) ( )

2 2

2 21 12

2

( ) ( )2

1 1 2 21 1

( ) ( )

1 1

X Y

x x y

tny

ny

sustituyendo

X YX Y

n nyxT

n S ny Sx x y

n nx y

X YX Y n n

x y

n S ny Sx x yn n

x y

X Y

n S n

2

2

2 . .x y

x y x y

n n

x yy

n n n nt

n nS

19

ESTADÍSTICA III

Un agricultor utiliza una semilla híbrida que produce 90 Tm. Por hectárea y un productor le ofrece una semilla también híbrida que produce 110 Tm. por Hra. En 5 parcelas diferentes se siembran las dos semillas:

1 2 3 4 5

HIBRIDO1 90 85 95 76 80

HIBRIDO2 97 82 102 94 78

¿Cuál es la probabilidad de que con el nuevo híbrido la producción media sea 15Tm. mayor que la antigua?

20

ESTADÍSTICA III

1 2

x

22 2

2 2

22

22

( 15)

Si suponemos

2

1 1

15

1 1

90 85 95 76 80

597 82 102 94 78

51

(5 1)

1

(5 1)

15 (90 110)

x y

y

x y x yx y

n n

x yx x y y

x y

x x y y

X I

Y I

P X X

n n n nX Yt

n nn S n S

P tn S n S

X

Y

S X X

S Y Y

P t

5 5 2 8

t t

t

21

ESTADÍSTICA III

x

2 2

22

22

)

B.1) Si las varianzas son desconocidas y distintas pero los tamaños

muestrales son grandes S

X-Y ,

X-Y Z (0,1)

y

yXX Y

x y

X Y

yX

x y

B

SSN

n n

NSS

n n

22

222

2 22 2

B.2)Si las varianzas son desconocidas y distintas pero los tamaños

muestrales son pequños

X-Y

v

1 1

X Yv

yX

x y

yX

x y

x x y y

x y

tSS

n n

SSn n

S n S n

n n

22

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL COCIENTE DE VARIANZAS

1,

1,

, x .....

, .....

) son conocidas

B) son desconocidas

x x x n

y y y n

x y

x y

X N n x

Y N n y y

A y

y

1.5.6.

23

ESTADÍSTICA III

2 2x

1

2 2y

1

2 2x

1

222x

21

22y 2

21

1A) S ( )

1 S ( )

S ( )

S

S

x

y

x

x

y

y

n

i xix

n

i yiy

n

x i xi

nx i x

nix x

ny i y

niy y

Xn

Xn

n X

n X

n X

24

ESTADÍSTICA III

x

y

2

2n

,2n

2x

222

,2 2 2y

2

" El cociente de dos es una F"

/

/

n

Fn

x y

x y

xn n

y

xx

yxxn n

y y xy

y

nF

n

Sn

SF

S Sn

25

ESTADÍSTICA III

1

1

22x

1

2222 2

21 1

22

22

1

) Las medias poblacionales son desconocidas

1 S

1

1 1

1

x

x x

x

y

y

n

iix

n nx x i

x x i ni ix x

ny y i

niy y

B

x xn

n S x xn S x x

n S y y

1 1

2

222

,2 22

2

11

1

1x y

x xx

yxxn n

y xy yy

y

n Sn

SF F

Sn Sn

26

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

numero de éxitos

tamaño muestral

ˆ, E x μ; E p p

,

( ) x 1 E(p)=E ( )

( ) n

p xp

n

x pqp N p

n n

X B n p

E X np npE x p

VAR X npq n n

x 1 VAR ( )

2 2n

VAR

ˆ (0,1)

npq pqVAR x

nn npq

pn

Npqn

1.5.7

27

ESTADÍSTICA III

Supóngase que p=0.4 representa la proporción de familias que poseen un determinado electrodoméstico. Si se toma una muestra de tamaño n=225 familias, calcular la probabilidad de que en la misma se encuentren más de 100 familias que posean tal electrodoméstico.

proporción de éxitos; 225,0.4

E x 225*0.4 90

225*0.4*0.6 54

( ) 0.4

(0.4,0.24)pq

( ) 0.24n

150 0.44 0.40.44

225 0.25

x x B

np

VAR x npq

n npE p E

x n xp N

nx npqVAR p VAR

n n

P p P p P Z

28

ESTADÍSTICA III

EJEMPLO:

Supongamos que el 30% de la población viviendas de un país tienen más de un cuarto de aseo. Con el fin de obtener una información más precisa se toma una muestra aleatoria de tamaño 400 viviendas. Obtener: P(0.25<p<0.32);P(p>0.33)

0951.0)31.1(

400

7.0*3.0

3.033.0

7932.0)873.018.2(

3.033.0

400

21.0

3.025.0)32.0ˆ25.0(

400

7.0*3.0,3.0,ˆ

ZPZP

ZP

ZPP

n

pqpN

n

x

29

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

,

X Y

X Y

X Yx y

x y

y yx x

x y

y yx xX Y x y

x y

x y

n n

p p

p qp q

n n

p qp qp p N p p

n n

1.5.8

30

ESTADÍSTICA III

Una máquina produce piezas con un tamaño que se ajusta a una distribución normal cuyo valor medio es de 14 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 20 sea menor que 13.5 cms, sabiendo que la cuasivarianza muestral ha sido de 8 cm2 ?→ →DISTRIBUC. MUESTRAL DE LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA NO SE CONOCE Y n ES PEQUEÑO

14,NX

22.025.120

8145.13

5.13

20

8,14,

5.1314,

19

1

1

tP

tPXP

t

n

SX

Nn

SNX

xPNX

n

n

31

ESTADÍSTICA III

Sea X=nº de bajas laborales en la provincia de Las Palmas

Sea Y=nº de bajas laborales en la provincia de Santa Cruz

Se sabe que ambas variables se distribuyen normalmente.

L.P 6 8 9 5 0 1 4 2 0 1

Tfe. 3 4 2 2 1 0 5 0 1 3

¿Hay más accidentes en la provincia de LP que en la de Tfe? )0)(( yxP

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS CUANDO NO SE CONOCEN LAS VARIANZAS POBLACIONALES

22 2

22 2

)

)

1 1

1 1

x y

x y

X Y

X Y

x y

n n

X x y y

x y

n n

X x y y

A

B

X Yt

n s n s

X YP t

n s n s

32

ESTADÍSTICA III

Se sabe que la proporción de personas que acuden al cine es de 40%. Si se toma una muestra de tamaño 150 españoles, calcular la probabilidad de que en la misma nos encontremos con más de 50 personas que han ido al cine. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES

150

6.0*4.0

4.0100

50

)1,0(ˆ

150

6.0*4.0,4.0,ˆ

150

50ˆ

ZP

N

n

pq

Nn

pqpN

P

33

ESTADÍSTICA III

1

x-X N , N(0,1)

nn

a) n es grande

x- x N , N(0,1)

nn

b) n es pequeño

x-x N , t

nn

n

S

S

DIST. MUESTRAL

MEDIA CUANDO

VARIANZA ES CONOCIDA

MEDIA CUANDO

VARIANZA ES DESCONOCIDA

VARIANZA

…

) son conocidas

B) son desconocidas

x y

x y

A y

y

22

,2 2 x y

yxn n

y x

SF

S

1 1

22

,2 2 x y

yxn n

y x

SF

S

, x pq

p N pn n

ˆ (0, 1)N

pq

n

proporción

Etc…..