UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO NO. 2ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRIA ANALÍTICA CODIGO 301301

Preparado porJUAN CAMILO TABORDA SALAZARKAREN ANDREA JARDIM CASTRO

GRUPO: 301301_696

TutorSERGIO ANDRES DURAN

San José de CúcutaNoviembre de 2012

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo pueden encontrar la resolución de los ejercicios planteados para la actividad 10 trabajo colaborativo 2, dicha actividad revisa los conceptos estudiados en la unidad II del curso de algebra, trigonometría y geometría analítica. Por lo tanto se trataran temas relacionados con los conceptos básicos de trigonometría, rango y dominios de funciones, demostraciones de identidades, relaciones trigonométricas, entre muchos otros conceptos.

Durante la realización de esta actividad pudimos constatar que muchas veces no hay soluciones definitivas sino que podemos encontrar otros modos de llegar a la misma conclusión, como ocurrió en el caso de la demostración de identidades.

ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO NO. 2

1. De la siguiente funcióng ( x )={( x , y )/3 x2−4 y2=12}. Determine:

a) Dominio b) Rango

3 x2−4 y2=12

3 x2−12=4 y2

4 y2=3 x2−12

y2=3 x2−124

√ y2=√ 3 x2−124

y=√ 3 x2−124

La función subrayada puede tomar un valor positivo o cero, dado que la raíz de un número negativo no es real. Por este motivo vamos a comprobar los valores que puede tomar x.

3 x2−12≥0

3 x2≥12

x2≥123

x2≥4

√ x2≥√4

x≥±2

Revisión: Sustituimos los valores de x, tanto por el lado positivo como negativo.

3

y=√ 3(2)2−124

y=√ 04=√0=0

y=√ 3(1)2−124

y=√−94

=√−2,25

y=√ 3(−2)2−124

y=√ 04=√0=0

y=√ 3(−1)2−124

y=√−94

=√−2,25

Rango

3 x2−4 y2=12

3 x2=12−4 y2

x2=12−4 y2

3

x=√ 12−4 y23

√ 12−4 y23∈ℜ ⟨ ¿ ⟩ 12−4 y

2

3≥0

12−4 y2

3≥0 ⟨¿ ⟩12−4 y2≥0

⟨¿ ⟩12≥ 4 y2

⟨¿ ⟩124≥ y2

⟨¿ ⟩3≥ y2

⟨¿ ⟩ √3≥|y|RR=[−√3 ,√3 ]

Solución:

a) Dominio: El dominio puede adaptar todos los valores positivos y negativos a excepción del intervalo [−1,1 ]. En otras palabras el intervalo

de dominio es: DR (−∞,−2 ]∪¿.

b) Rango: El rango adopta todos los valores positivos y cero, los valores negativos no se darán dado que solo existen raíces de números

positivos y cero. El intervalo es: RR=[−√3 ,√3 ]

Representación grafica

4

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Valores Y

Valores Y

2. Dada las funcionesf ( x )=8x−1 y g ( x )=√ x−2. Determine:

a) f + g b) f – g c) (f o g)(2) d) (g o f)(2)

a) f ( x )+g ( x )

(8 x−1 )+(√ x−2 )

8 x+√x−2−1

b) f ( x )−g ( x )

(8 x−1 )− (√x−2 )

8 x−√ x−2−1

c) ( f ○ g )=f [ g ( x ) ]

8 (√ x−2 )−1

8 (√2−2 )−1=(8∗0 )−1=0−1=−1

d) (g○ f ) ( x )=g [ f (x ) ]

5

√ (8 x−1 )−2=√8x−3

√ (8∗2 )−3=√16−3=√13

3. Verifique las siguientes identidades:

a)cos x1−sin x

=1+sin xcos x

b) sec x=sin x ( tan x+cot x )

a)cos x1−sin x

=1+sin xcos x

Solución 1:

cos x1−sin x

=1+sin xcos x

cos2 x1−sin x

=1+sin x

1−sin2 x1−sin x

=1+sin x

1−sin2 x=(1+sin x ) (1+sin x )

1−sin2 x=1+sin2 x

Solución 2:

cos x1−sin x

=1+sin xcos x

cos x (cos x )=1−sin x (1+sin x )

cos2 x=1+sin x−sin x−sin2 x

cos2 x=1−sin2 x

cos2 x=1−sin2 x

Solución a Solución b

sin2 x+cos2 x=1 cos2 x=1−sin2 x

6

cos2 x=1−sin2 x

1=1

En otras palabras se trata de un triángulo unitario.

cos2 x=cos2 x

b) sec x=sin x ( tan x+cot x )

Solución 1:

sec x=sin x (tan x+cot x )

1cos x

=sin x( sin xcos x+ cos xsin x )

1cos x

=sin2 x

cos x+

(cos x ) (sin x )sin x

1cos x

=sin2 x

cos x+cos x

1cos x

−cos x= sin2 x

cos x

1cos x

−cos x=1−cos2 x

cos x

cos x ( 1cos x

−cos x )=1−cos2 xcos xcos x

−cos2 x=1−cos2 x

1−cos2 x=1−cos2 x

Solución 2:

sec x=sin x (tan x+cot x )

1cos x

=sin x( sin xcos x+ cos xsin x )

1cos x

=sin2 x

cos x+

(cos x ) (sin x )sin x

7

1cos x

=sin2 x

cos x+cos x

1cos x

=1−cos2 x

cos x+ cos x1

1cos x

=[ (1−cos2 x )∗1 ]+(cos x∗cos x )

cos x∗1

1cos x

=1−cos2 x+cos2 xcos x

1cos x

= 1cos x

4. Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo

medido desde la base del poste.

Descubriremos los valores de BD y AD.

BD AD

8

92’

107º

73º

B

40’

72’

D A

C

17º

sin BD= opuestohipotenusa

sin 17= x72

(sin 17 ° ) (72 )=x

x=(sin 17 ° ) (72 )

x=21,05

cos AD= adyacen tehipotenusa

cos17= x72

(cos17 ) (72 )=x

x=(cos 17 ) (72 )

x=68,85

Teorema de Pitágoras:

a2+b2=c2

68,852+61,052=h2

h2=8467,425

h=√8467,425

h=92,01

Solución: La longitud mínima de cable que conecta el punto AC es de 92,01’.

5. Encuentre el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°.

a) 2sin2 x−cos x−1=0 b) 4 sin2 x∗tan x−tan x=0

a) 2sin2 x−cos x−1=0

2 (1−cos2 x )−cos x−1=0

2−2cos2 x−cos x−1=0

2−1=2cos2 x+cos x

1=2cos2 x+cos x

2cos2 x+cos x=1

9

68,85

h

40+21,05=61,05

sin2 x=1−cos2 x

2cos2 x+cos x−1=0

2 z2+z−1=0

a z2+bz−c=0

z=−1±√12−(4∗2∗(−1 ) )

2∗2

z=−1±√1−(−8 )

4

z=−1±√94

z=−1+√94

=−1+34

=24=12

z=−1−√94

=−1−34

=−44

=−1

Para saber los valores de x, retornamos el valor de z a cos x:

cos x=12

x=cos−1( 12 )x=60 °

cos x=−1

x=cos−1 (−1 )

x=180 °

Revisión:

2cos260+cos 60−1=0

(2∗0,25 )+0,5−1=0

0,5+0,5−1=0

1−1=0

0=0

2cos2180+cos180−1=0

(2∗1 )−1−1=0

2−1−1=0

0=0

b) 4 sin2 x∗tan x−tan x=0

(4sin2 x−1 ) tan x=0

10

cos x=z

Como podemos observar una multiplicación por 0 en cualquier grupo por lógica el resultado será 0.

Primera respuesta Segunda Respuesta

tan x=0

x=0

4 sin2 x−1=0

4 sin2 x=1

sin2 x=14

√sin2 x=√ 14sin x=√ 14x=sin−1√ 14x=30 °

Revisión:

4 sin2 x∗tan x−tan x=0

(4sin230∗tan 30 )−tan 30=0

(1∗tan 30 )−tan 30=0

tan30−tan30=0

11

0=0CONCLUSIONES

Como se puede constatar los integrantes del grupo colaborativo, lograron comprender y aplicar los conceptos de la unidad II, en otras palabras tiene conocimiento necesarios para desarrollar actividades referentes a funciones y trigonométricas. Durante la realización de los ejercicios se originó un debate entre los miembros sobre las respuestas correctas referentes a por ejemplo el tema de las identidades trigonométricas concluimos que no hay solo un único modo de solución sino que se puede desencadenar diferentes soluciones dependiendo de la cadena de desarrollo que se tome.

Podemos concluir que el trabajo resulto productivo para los objetivos planteados en la guía de la actividad, por este motivo los estudiantes involucrados poseen los conocimientos necesarios para usar dichos conceptos en un ambiente cotidiano.

12