GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA€¦ · códigos y herramientas apropiados. aritméticos, algebraicos,...
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GEOMETRÍA ANALÍTICA ING. ROBERTO OROZCO BELLO 1
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
ING. ROBERTO OROZCO BELLO
1
SEGUNDO PARCIAL
2
CONTENIDO CENTRAL
Reconocimiento y construcción
de los lugares geométricos:
Recta, circunferencia, elipse,
parábola e hipérbola
3
Contenidos Específicos:
La Recta, sus propiedades, sus relaciones y
sus transformaciones
La ecuación de la circunferencia, propiedades
y ecuaciones
Elementos históricos sobre la elipse, la
parábola y la hipérbola. Trazado y
propiedades. Las cónicas
4
Aprendizajes esperados:
Caracteriza y distingue a los lugares
geométricos según sus disposiciones y sus
relaciones.
5
COMPETENCIAS
GENÉRICAS DISCIPLINARES 4. Escucha, interpreta y emite mensajes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Construye e interpreta
modelos matemáticos
mediante la aplicación de
procedimientos
aritméticos, algebraicos,
geométricos y
variacionales, para la
comprensión y análisis
de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
. 6
ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Ecuación de segundo grado con 2 variables:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Dónde A, C, D, E y F son números reales cualesquiera.
Determinan que la gráfica, si existe, representa una
recta, una circunferencia, una parábola, una elipse o
una hipérbola; en casos especiales, la gráfica puede
degenerar en un par de rectas, un punto o el conjunto
vacío.
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ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Sea la Ecuación de segundo grado con 2 variables:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si A = C = 0 la gráfica es una recta;
la ecuación queda:
𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Cambiando literales:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Ecuación General de la Recta
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
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ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Ecuación de segundo grado con 2 variables:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si A = C ≠ 0 la gráfica es una circunferencia;
la ecuación queda:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Ecuación General de la
Circunferencia
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
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ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Ecuación de segundo grado con 2 variables:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si A = 0 o C = 0 la gráfica es una Parábola;
la ecuación general de la parábola queda:
𝐴𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Parábola eje focal paralelo al eje y
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Parábola eje focal paralelo al eje x
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ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Ecuación de segundo grado con 2 variables:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si (A)(C)>0 la gráfica es una Elipse
la ecuación queda:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Ecuación General de la
Elipse
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ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Ecuación de segundo grado con 2 variables:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si (A)(C)<0 la gráfica es una Hipérbola
la ecuación queda:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPERBOLA
Ecuación General de la
Hipérbola
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LA RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTA
13
LA RECTA INCLINACION DE UNA RECTA:
Es el ángulo formado por una recta y la horizontal.
y
x 0
∝
y
x 0
∝
14
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
y
x 0
∝
𝐴 𝑥1, 𝑦1
𝐵 𝑥2, 𝑦2
C 𝑥2, 𝑦1
tan ∝=𝐵𝐶
𝐴𝐶=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Por lo tanto:
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Donde :
m es la pendiente de la
recta
α es el ángulo formado
por la recta 15
LA RECTA
La pendiente de una recta
paralela al eje x es igual a
cero.
y
x 0
∝
Una recta que forma un
ángulo entre 0 y 90 tiene
una pendiente positiva
0° <∝< 90°
PENDIENTE DE UNA RECTA.
y
x 0
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Una recta paralela al
eje y, no tiene
pendiente.
LA RECTA
Si la recta forma un
ángulo obtuso con el eje
de las x, la pendiente es
negativa 90° <∝< 180°
y
x 0
∝
y
x 0
PENDIENTE DE UNA RECTA.
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EJEMPLOS:
1. Determina el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(4,7). Trazar la gráfica correspondiente.
2. La inclinación de una recta es de 52°, ¿cual es su pendiente?
3. La pendiente de una recta es 0.3476 ¿Cuál es su inclinación?
4. La pendiente de una recta es -1.804 ¿Cuál es su inclinación?
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
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RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
y
x 0
Dos rectas son perpendiculares
si la pendiente de una recta es la
recíproca negativa de la otra.
y
x 0
Dos rectas son paralelas si
tienen la misma pendiente.
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RECTAS PARALELAS
Matemáticamente:
𝑚1 = 𝑚2
RECTAS
PERPENDICULARES.
Matemáticamente:
𝑚1𝑚2 = −1
o bien:
𝑚1 =−1
𝑚2 𝑜 𝑚2 =
−1
𝑚1
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
20
EJEMPLOS:
1. Determinar si la recta que pasa por los puntos
(6, 0) y (0, 4) es paralela a la recta que pasa por
los puntos (0, 2) y (3, 0)
2. Demostrar que la recta que pasa por los puntos
A (2, 5) y B (-3, -2) es perpendicular a la que
pasa por los puntos C( 4, -1) y D(−8
5, 3)
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
21
EJERCICIOS:
I. Determinar la pendiente y el ángulo de
inclinación de los siguientes pares de puntos:
1. A(-3,5) B(2,7)
2. C(8,-2) D(0,-1)
3. P(5,7) Q(2,4)
4. R(-1,2) S(-2,3)
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
22
EJERCICIOS:
II. Calcular lo que se pide:
1. Determinar si la recta que pasa por los puntos A(3, -1) y
B(-6, 5) es paralela o perpendicular a la que pasa por los
puntos C(0, 2) y D( -2, -1)
2. Comprobar por medio de pendientes que los puntos
A ( - 2, 1), B( 1, -4), C(7, 8) y D(6, 5) son los vértices de un
paralelogramo.
3. Comprobar por medio de pendientes que los puntos
A(-3, 1), B(7, 3) y C(1, 5) son los vértices de un triángulo
rectángulo.
LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA.
23
Para encontrar el ángulo formado entre dos
rectas se utiliza la fórmula:
tan ∝=𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚1𝑚2
LA RECTA ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
y
x 0
∝
𝑙1 𝑙2 Se debe tomar en cuenta
que los ángulos se miden
en el sentido contrario a
las manecillas del reloj; en
la recta que inicie el ángulo
será m1 y donde termine
será m2
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EJEMPLO:
¿Cual es la medida de los ángulos interiores del
triángulo formado por los puntos A(-2, 1) B(3,4) y
C (5,-2)?
LA RECTA ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A
B
C 25
LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
FORMA PUNTO-PENDIENTE
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00
Dado el punto P(x1, y1) de la
recta cuya pendiente m, su
ecuación es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
Ecuación de la recta que pasa
por dos puntos
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥 − 𝑥1
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LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
FORMA PUNTO-PENDIENTE
EJEMPLO:
¿Cual es la ecuación de la
recta que pasa por el punto
P(2,4) y tiene pendiente 3?
Ecuación de la recta que pasa
por dos puntos
EJEMPLO:
¿Cual es la ecuación de la
recta que pasa por los puntos
P(-1,2) y Q(2,-5)?
EJEMPLO:
¿Si se compran 20 pantalones el precio unitario es de $300, pero
si se compran 50, entonces el costo de cada pantalón es de
$280, encuentra la ecuación de la demanda
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LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
EJERCICIOS:
1. Si el dueño de una
papelería le compra a un
proveedor 100 libretas, éste
le da un precio de $12.50
cada una, pero si le compra
120, entonces el precio de
cada libreta disminuye 50
centavos, escribe la
ecuación de la demanda
OBTENER LA ECUACION GENERAL
DE LA RECTA EN CADA CASO:
1. Pasa por (-3, 4) y 𝑚 =−2
5
2. Pasa por (0,3) y m=2
3. Pasa por (-2,1) y (3,4)
4. Pasa por (0,2) y (-3,-2)
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LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
FORMA ORDINARIA
-2
0
2
4
6
8
10
-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00
b
0, 𝑏
Una vez que se conoce la
pendiente de una recta y su
ordenada al origen
(intersección con el eje Y) se
determina la siguiente
ecuación:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde:
m es la pendiente
b es la ordenada al origen
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LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
FORMA ORDINARIA
Ejemplos:
1. Encontrar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje Y es
4 y su pendiente -3
2. Determinar la ecuación general de la recta cuya pendiente es
igual a 1
2 y su intersección con el eje Y es el punto (0,5)
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LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
TRANSFORMACION DE LA FORMA GENRAL A LA FORMA
ORDINARIA
Para transformar 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 a la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se puede
hacer de dos formas:
1 Por fórmulas:
𝑚 = −𝐴
𝐵 𝑏 = −
𝐶
𝐵
2. Por despeje,
Ejemplos:
1 Cual es la pendiente y la
intersección con el eje Y de la
recta
4𝑥 − 5𝑦 + 12 = 0
2 Cual es la pendiente y la
intersección con el eje Y de la
recta
3𝑥 − 5𝑦 − 7 = 0 31
LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
TRANSFORMACION DE LA FORMA GENERAL A LA FORMA
ORDINARIA
Para transformar 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 a la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se puede
hacer de dos formas:
1 Por fórmulas: 2. Por despeje,
𝑚 = −𝐴
𝐵 𝑏 = −
𝐶
𝐵
Ejemplos:
1 Cual es la pendiente y la
intersección con el eje Y de la
recta
4𝑥 − 5𝑦 + 12 = 0
2 Cual es la pendiente y la
intersección con el eje Y de la
recta
3𝑥 − 5𝑦 − 7 = 0
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LA RECTA FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
FORMA SIMÉTRICA
-2
0
2
4
6
8
10
-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00
b
0, 𝑏
a 𝑎, 0
y
x
33
