3 Dist. Frecuencias

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS


ESTADÍSTICA

Dr. Vicente Ecos Quintanilla Página 73

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASESTADÍSTICA




DATOS ESTADÍSTICOS

Los datos estadísticos no son otra cosa que el producto de las observaciones

efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el fenómeno que

queremos estudiar. Dicho en otras palabras, son los antecedentes (en cifras)

necesarios para llegar al conocimiento de un hecho o para reducir las consecuencias

de este. Información numérica puede encontrarse casi donde quiera; negocios,

hospitales, colegios, universidades, gobiernos locales, regionales y en muchísimas

otras áreas; así por ejemplo, un libro es vendido en cierto número de soles, la

situación laboral en la Región Ica es expresada en un número de trabajadores, la edad

de Viviana Mercedes es representada en un número de años, la matrícula en el

Colegio Nacional “Raúl Porras Barrenechea” de Palpa, es registrada mediante un

número de estudiantes, la goleada de la Etapa Regional de la Copa Perú – 2008, es

registrada por cierto número de goles: Deportivo Única 10, Club Deportivo

Municipal de Acoria 0.

Sin embargo no toda la información cuantitativa (numérica) es considerada como dato

estadístico. La información cuantitativa apropiada para el análisis estadístico debe ser

un conjunto (s) de números que muestren relaciones significativas; por tanto los datos

estadísticos son números que pueden ser comparados e interpretados. Un número

que no puede ser comparado o que no muestra relación significativa con otro número,

no es dato estadístico.

Clasificación de los datos: Los datos se clasifican en:

Datos cualitativos. Describen un atributo o cualidad.

Datos cuantitativos. Cuando los valores de los datos representan diferentes

magnitudes, decimos que son datos cuantitativos.

Datos cronológicos. Cuando los valores de los datos varían en diferentes instantes

o periodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos.

Datos geográficos. Cuando los datos están referidos a una localidad geográfica, se

dice que son datos geográficos.

FUENTES DE DATOS. Pueden ser primarias y secundarias

Fuentes Primarias.- Cuando la información es obtenida dentro de la organización que

hace el estudio estadístico, también denominados datos internos.Ejemplo:Las ventas

registradas en un diario de ventas, Los sueldos de los empleados en una planilla de

pagos, las edades o el estado civil de los trabajadores; etcétera.



Fuentes Secundarias.- Son usualmente obtenidos a través de datos y encuestas de

datos originales. Por ejemplo informaciones de: Gobierno central, Gobierno Regional,

Gobierno Local, Instituciones de Investigación, Bancos, Periódicos, Revistas, etc.,

también denominados datos externos.

MÉTODOS PARA LA RECOLECCIÓN DE DATOS .

En estadística se emplean una variedad de métodos para obtener información tales

como:

La entrevista personal.- Proceso que consiste en enviar un entrevistador

directamente a la persona a investigar, el investigador efectuará a la persona una serie

de preguntas previamente elaboradas en lenguaje simple y sencillo.

Encuesta.- Proceso mediante el cual el encuestado consigna en el formato la

información requerida, se puede utilizar una guía instructiva al reverso del formato.

Cuestionarios por correo.- Consiste en enviar por correo el cuestionario

acompañado por el instructivo necesario, dando en este no solo las instrucciones

pertinentes para cada una de las respuestas, sino también una breve explicación del

objeto de la encuesta.

Entrevistas por teléfono.- Este método consiste en telefonear a la persona a

entrevistar y hacerle una serie de preguntas. Este método es bastante simple y

económico.

INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN.

Los cuestionarios en general constan de las siguientes partes:

1. La identificación del cuestionario.- Nombre del patrocinante de la encuesta,

nombre de la encuesta, número de cuestionario, lugar y fecha de la entrevista.

2. Datos de identificación del encuestado.- Si fuera necesario.

3. Datos propios de la investigación.- Son los datos que interesan conocer para

construir el propósito de la investigación.

CONSIDERACIONES A TENER EN CUENTA.

El cuestionario debe ser conciso, tratar en lo posible de que con el menor número

de preguntas se obtenga la mejor información.

Claridad de la redacción, evitar preguntas ambiguas o que sugieran respuestas

incorrectas.

Discreción, un cuestionario no debe tener preguntas indiscretas o curiosas.



Facilidad de contestación, se debe evitar en lo posible las respuestas libres o

abiertas.

Orden de las preguntas, estas deben tener una secuencia y un orden lógico,

agrupadas procurando que se relacionen unas con otras.

POBLACIÓN

De acuerdo al área de la cual los datos estadísticos son recopilados, es generalmente

referida como: la población o universo, y se le define como la totalidad de personas,

objetos, números, cosas, etc.; definidas por una característica común observable de tal

forma que un solo elemento sea susceptible de poder identificar a los demás. Una

población puede ser:

a) Población Finita.- Una población finita tiene un numero limitado de individuos u

objetos.

b) Población infinita.- Tiene un numero ilimitado de individuos u objetos.

Recopilar datos de una población finita pequeña es relativamente simple; sin embargo

recopilar datos de una población finita, pero grande, es algunas veces imposible o

impráctica. Por tanto, la recopilación de una población infinita es definitivamente

imposible.

A fin de evitar la tarea imposible o impráctica, usualmente se extrae una muestra de

elementos representativos de la población. La muestra, es entonces utilizada para el

estudio estadístico y los resultados de la muestra son usados como las bases para

describir, estimar o predecir las características de la población.

CARACTERÍSTICA DE UNA POBLACIÓN

El atributo de una población o de una muestra que nos interesa investigar, es lo que se

denomina característica de la población o de la muestra; pero como el atributo varía

tanto en cualidad, como en cantidad se le conoce el nombre de variable.

VARIABLE

Característica o fenómeno que puede tomar diferentes valores durante el periodo de

investigación. Así por ejemplo: pesos, sueldos, salarios, ventas, utilidades, cocientes

intelectuales, sexo, edades, talla, etcétera. Las variables se clasifican en:

a) Variables Cualitativas.- Son aquellas que describen un atributo o cualidad. No se

expresan cuantitativamente. Para identificarlas se utiliza las primeras letras



mayúsculas del alfabeto, para presentarlas se hace a través de una relación o

nómina; y para clasificarlas se tienen en cuenta los siguientes criterios: alfabético,

alfanumérico, clasificación Geográfica y atendiendo el orden de importancia.

Ejemplo: Procedencia de las personas, Sexo, Raza, Nivel Educativo, Estado Civil.

b) Variables Cuantitativas.- Son aquellas características que pueden expresarse

cuantitativamente, se identifican a través de las últimas letras del alfabeto.

Las variables cuantitativas a su vez se clasifican en:

Variables Discretas.- Desde el punto de vista estadístico, son aquellas que

pueden tomar ciertos valores enteros en el intervalo considerado y no admiten

valores intermedios, también se le denomina variables discontinuas. Ejemplo:

- Número de hijos en el hogar.

- Número de Provincias de la Región Ica.

- Número de accidentes registrados en una Empresa Industrial.

- Número de vehículos del parque automotor de la provincia de Ica.

- Número de llamadas telefónicas de un teléfono fijo durante un día.

Variables Continuas.- Son aquellas que pueden tomar cualquier valor en el

intervalo considerado. Ejemplo:

- Talla, Sueldos, Salarios, Edades, Pesos, etcétera.

ESCALAS DE MEDICIÓN

La asignación de valores a cada una de las variables estadísticas se hace

siguiendo determinadas escalas de medición. Se denomina escala de medición a

un instrumento de medida, con el que se asigna valores (cualidades o números) a

las unidades estadísticas para una variable definida, las escalas de medición más

importantes son:

Escala nominal.- Se emplea para hacer referencia a los datos que solo pueden

clasificarse en categorías. Sin embargo, en el sentido estricto de la palabra, no

intervienen mediciones ni escalas, en vez de esto solo hay conteos. Para el nivel

nominal de medición no existe orden particular para los grupos. Además las

categorías se consideran mutuamente excluyentes, por ejemplo Richard no podría

ser soltero y casado al mismo tiempo

Escala ordinal.- Una escala ordinal, es una escala nominal, donde los valores de

la variable se pueden ordenar en forma ascendente y descendente. En la escala

ordinal los valores reflejan el orden de las unidades estadísticas.



Por ejemplo, La variable:“Status económico” con sus valores: clase alta, media y

baja. La variable estado civil: soltero, conviviente, casado, viudo, divorciado.

Escala de intervalos.- Una escala de intervalos es una escala ordinal, con cuyos

valores no solo se puede verificar igualdad, no igualdad y orden; sino que se puede

elegir una unidad de escala y comprobar cuantas veces la diferencia entre dos

valores, es igual a la diferencia entre otros dos valores de la escala.

Escala de razón o cociente.- Es una escala de intervalo con cuyos valores

además podemos comprobar cuantas veces un valor de la escala es igual a otro.

por ejemplo el ingreso mensual de un trabajador se expresa en soles (X) o en

dólares (Y), entonces se cumplen la relación Y = (1/2.98) X, donde 2.98 es el valor

de cambio del dólar.

En los siguientes enunciados, establecer la población, muestra, la variable, clase

de variable y un dato estadístico.

1. Se realiza una encuesta a 20 docentes de la Facultad de Administración de la

Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica, a fin de analizar el clima

organizacional.

2. Se realiza una encuesta a 150 alumnos del Colegio Fermín Tanguís de la

Provincia de Palpa, para averiguar el número de horas diarias que dedican a sus

actividades educativas.

3. Se realiza una encuesta a 55 casas comerciales de la Provincia de Chincha, para

averiguar el incremento porcentual mensual en el volumen de sus ventas.

4. Se realiza una encuesta a 350 habitantes de la provincia de Pisco, a fin de

determinar su inclinación política partidaria.

5. Se realiza una encuesta a 120 familias del Distrito de Parcona, para determinar el

número de hijos profesionales.

6. Se encuesta a 25 pacientes del servicio de Medicina General del Hospital de Alta

Complejidad - Nivel IV - “Augusto Hernández Mendoza, a fin de determinar el tipo

de enfermedad que adolecen.

7. Se toman 25 unidades de un lote de producción, a fin de efectuar el respectivo

control de calidad.

8. Se toma 40 files de la Cartera de Clientes de Comercial “Las Mercedes”, a fin de

averiguar el índice de morosidad.

9. Se realiza una encuesta a 200 trabajadores públicos de la ciudad de Huancayo,

para averiguar el número de cursos de actualización que han seguido en los dos

últimos años.

10. Se realiza una encuesta a 25 municipalidades Distritales del Departamento de Ica

para averiguar el número de proyectos aprobados por el SNIP.



EL MÉTODO ESTADÍSTICO

Estrictamente hablando, no existe una división definitiva, que permita separar los

cinco pasos básicos del método estadístico, alguno puede ser usado en más de un

paso.

Sin embargo, la división nos da un orden lógico para estudiar el Método Estadístico;

dividido en este texto en cinco pasos básicos.

1. Recopilación de Datos.- También denominado Relevamiento de Datos, o

simplemente Toma de Datos. Después de que un problema ha sido claramente

definido, la información es factible obtenerla a través de las siguientes técnicas:

- Observación.- Se obtiene datos solamente por simple inspección para lo cual

debe disponerse de Hojas de Trabajo (o simplemente de un cuaderno)

preparadas previamente de acuerdo a las características que se deseen

recopilar.

- Entrevistas.- Son preguntas que se formulan a las personas tratando de obtener

la información que se requiere. Los entrevistadores deben ser personas

entrenadas y llevar de antemano un Plan de Entrevista.

- Encuestas.- Son cuestionarios preparados previamente y pueden enviarse a

través del correo, o se solicite se conteste en el momento que se entregue, se

preparan a través de un proceso técnico separándolas por rubro de información.

- Registros.- Son informaciones que se obtienen de los libros, de las actas o de

cualquier registro. Ejemplo: Número de nacidos en la Provincia de Ica durante el

I Trimestre del 2012, esta información la obtenemos del Registro Civil de la

Municipalidad Provincial de Ica.

2. Organización de Datos.- Los datos recopilados de fuentes publicadas están

usualmente en forma organizada, sin embargo los datos recopilados a través de

una encuesta necesitan frecuentemente organización.

Los pasos para organizar los datos recopilados son:

- Corrección.- Los datos recopilados deben ser corregidos muy cuidadosamente,

de tal manera que las omisiones, inconsistencias, respuesta irrelevantes y

cálculos equivocados en los resultados de la encuesta puedan ser corregidos o

ajustados.

- Clasificación.- El propósito de este paso es decidir las clasificaciones

adecuadas en las cuales los datos corregidos serán agrupados. Clasificaciones

adecuadas son importantes, puesto que los pasos sucesivos (presentación,

análisis e interpretación) son afectados por las clasificaciones dadas.



- Tabulaciones.- Desde que se han decidido las clasificaciones, adecuadas, o

deseadas, se debe arreglar la masa de datos en una forma resumida basados en

las clasificaciones. Ejemplo: Los siguientes datos representan la puntuación final

obtenida por 8 estudiantes en el curso de Estadística.

16, 10, 13, 15, 11, 09, 14 y 12

3. Ordenamiento.- Cuando la cantidad de datos recolectados es pequeña, por lo

general es susceptible de poderse presentar a través de series simples crecientes

o en su defecto a través de serie simples decrecientes.

La puntuación obtenida por los estudiantes presentados a través de una serie

creciente (menor o mayor) quedará ordenada de la siguiente manera:

09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Cuando el número de datos recolectados, es grande, se utiliza series agrupadas.

Por ejemplo, los siguientes datos representan el número créditos diarios otorgados

por la Caja Municipal de Ica, durante el mes de Enero del 2012.

10 14 10 14 9

9 15 9 15 11

12 12 11 13 12

9 12 12 11 15

10 13 13 10 13

Pasos para agrupar la serie agrupada:

a) Seleccionar los valores máximo (XM) y mínimo (Xm).

XM = 15 Xm= 9

Por tanto, el número de Créditos diarios otorgados por la Caja Municipal de Ica

durante el mes de Enero del 2012 varía entre 9 y 15 Créditos.

b) Hallar el rango o recorrido (R).- Consiste en determinar la diferencia entre el

Valor Máximo y el Valor Mínimo, aplicando la siguiente fórmula.

R = (XM –Xm) + 1, para variable discreta.

R = (XM – Xm), para variable continua.

R = [15 - 9] + 1 R = 7

Este rango o recorrido (R = 7), nos indica que podemos estruturar la serie

agrupada, utilizando 7 grupos o también denominadas clases o categorias.

c) Tabulación o Conteo.- Consiste en determinar el número de veces que se repite

cada valor de la Variable, para ello utilizamos un sistema de tarjas o cualquier otra



simbología que se estime conveniente. Por tanto, la serie agrupada, quedaría

estructurada de la siguiente manera:

4. Presentación de Datos.- Hay cuatro modos de presentar un conjunto de datos

recopilados: a) Mediante enunciados, b) cuadros, c) Tablas Estadísticas, d)

Gráficas Estadísticas.

5. Análisis e Interpretación de Datos.-

5.1. Análisis de Datos.- Los métodos empleados en analizar datos estadísticos

son numerosos, yendo desde la simple observación de los datos hasta

métodos complicados, sofisticados y de investigación altamente matemática.

Los métodos mas generalmente usados son:

Análisis Estadísticos Simples, es de naturaleza muy elemental, pero

necesario para el estudio de otros análisis.

Inducción Estadística, incluye los métodos de generalización, estimación

o predicción de las características de una población basados en el análisis

de una muestra.

Análisis de series de tiempo, las series de tiempo son importantes en el

estudio de cambios en las actividades de los negocios dentro de varios

periodos de tiempo.

Análisis de Relaciones, muchas actividades económicas y de negocios

están relacionadas entre si.

Si se investiga la información concerniente a una actividad, es posible

predecir o estimar los movimientos futuros de otra actividad relacionada.

5.2. Interpretación de Datos.- Los resultados del análisis deben ser

interpretados. Una interpretación correcta guiará a una conclusión: validar el

estudio y así pueda ayudar a tomar decisiones.


N°

VARIABLEXi

NÚMERO DE FRECUENCIASO REPETICIONES

En Tarjadas En Cifras1234567

9101112131415

/ / / // / / // / /

/ / / / // / / /

/ // / /

4435423

---- ---- 25


Por ejemplo, si la Secretaría del Instituto Superior Tecnológico “Catalina

Buendía de Pecho” de Ica, desea conocer el grupo de edad típica de los

estudiantes, puede:

Primero, recopilar datos concernientes a las edades de un grupo

representativo de estudiantes, supongamos una muestra del 5% de una

población de 4 500 estudiantes.

Segundo, agrupar las edades recopiladas clasificándolas en diferentes

grupos de edades.

Tercero, puede presentar los datos organizados en forma tabular, tal como

se muestra en la siguiente tabla.

Fuente: Secretaría del I.S.T. “Catalina Buendía de Pecho”

Cuarto, puede analizar las edades presentadas en la tabla para obtener la

información deseada: Se puede observar que el grupo de edad típica en el

Instituto Superior Tecnológico “Catalina Buendía de Pecho” es el grupo de 22

a menos de 25 años, puesto que es el que contiene el mayor número de

estudiantes, o sea 110 estudiantes.

Finalmente, la Secretaría puede interpretar los resultados del análisis de la

muestra, señalando que las edades típicas de todos los estudiantes del

Instituto Superior Tecnológico “Catalina Buendía de Pecho” son de 22 a

menos de 25 años.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA UNA VARIABLE DISCRETA

La distribución de frecuencias es una representación estructurada en forma

de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se

estudia, agrupadas en categorías mutuamente excluyentes, toda variable o

atributo tiene asociada una distribución de frecuencias, que implique una


N° EDADESNÚMERO DE

ESTUDIANTES1

2

3

4

5

6

[16 – 19)

19 – 22

22 – 25

25 – 28

28 – 31

[31 – 34)

7

65

110

28

10

5

225


correspondencia biunívoca entre dos conjuntos. Por un lado, tenemos el

conjunto formado por los valores que tiene la variable o el atributo y por el

otro lado el de las frecuencias (obtenidas a través de un proceso de

tabulación o conteo), relacionados con ellos.

La Asociación existe de ambos sentidos, pues a cada valor de la variable o

atributo denominado clase le corresponde una frecuencia y a su vez cada

frecuencia se identifica con una clase de la variable.

En el caso de una Variable Cuantitativa Discreta que designaremos por la

letra “Xi”, susceptible de presentarse en “n” cantidades diferentes, tales como:

X1, X2, X3.......Xn; después de agrupar las observaciones puede quedar

presentada de la siguiente manera:

Nº

Variable

Xi

Frecuencia

Absoluta

fi

Frecuencia

Relativa

fi

01

02

03

.

.

.

n

X1

X2

X3

.

.

.

Xn

f1

f2

f3

.

.

.

fn

f1/N

f2/N

f3/N

.

.

.

fn/N

N 1

Ejemplo: Estudio de 23 MYPES de la provincia de Ica, clasificadas según el

número de trabajadores – Febrero del 2012.

X1 = 5 X6 = 6 X11 = 3 X16 = 5 X20 = 6

X2 = 7 X7 = 7 X12 = 5 X17 = 3 X21 = 6

X3 = 6 X8 = 5 X13 = 8 X18 = 2 X22 = 5

X4 = 4 X9 = 2 X14 = 4 X19 = 4 X23 = 4

X5 = 3 X10 = 4 X15 = 5



PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE

FRECUENCIAS

a) Clasificación .- El número de trabajadores en las 23 MYPES, varía entre 2 y 8

trabajadores inclusive.

b) Rango o Recorrido .

R = [XM – Xm] + 1, (Para Variable Discreta)

R = [8 – 2] + 1

R = 7

c) Tabulación . Efectuado el conteo respectivo, la tabla queda estructurada de la

siguiente manera:

Tabla de distribución de 23 MYPES de la Provincia de Ica

Clasificadas según el número de trabajadores – Febrero 2012.

N°NUMERO DE

TRABAJADORES Xi

NUMERO DEEMPRESAS

fi

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

2

3

5

6

4

2

1

...... 23

Fuente: Elaboración propia

OBSERVACIONES:

a. En la construcción de la tabla de frecuencias no existe pérdida alguna de la

información contenida en los datos originales.

b. En la construcción de la tabla de frecuencias se debe titular adecuadamente cada

una de las columnas, con el objeto de saber en forma específica el contenido

numérico de las mismas.

c. La variable en nuestro ejemplo es el número de trabajadores.



Tabla de Distribución de 23 MYPES de la Provincia de Ica, clasificadas

Según el número de trabajadores – Febrero 2012.

NºGRUPOS

Xi

FREC. ABSOLUTA FREC. RELATIVA

Simplesfi

AcumuladasFi

hiAcumuladas

Hi

1

2

3

4

5

6

7

X1 = 2

X2 = 3

X3 = 4

X4 = 5

X5 = 6

X6 = 7

X7 = 8

f1= 2

f2= 3

f3= 5

f4= 6

f5= 4

f6= 2

f7= 1

F1= 2

F2= 5

F3= 10

F4= 16

F5= 20

F6= 22

F7= 23

h1= 0.09

h2= 0.13

h3= 0.22

h4= 0.26

h5= 0.17

h6= 0.09

h7= 0.04

H1= 0.09

H2= 0.22

H3= 0.44

H4= 0.70

H5= 0.87

H6= 0.96

H7= 1.00

---- 23 ---- 1 ----

Fuente: Elaboración propia.

En la segunda columna hemos colocado los grupos llamados también intervalos,

clases o categorías, se representan por Xi, donde “X” representa la variable, el sub

índice “i” representa el orden en que se encuentra el valor de la variable.

FRECUENCIA O REPETICIÓN

A la frecuencia o repetición, se le define como el número de veces que se repite cada

valor de la variable, se divide en:

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Se expresa en la serie natural de los números y se dividen en frecuentas absolutas

simples y frecuencias absolutas acumuladas.

a) Frecuencia Absoluta Simple.- Se obtiene a través de un proceso de tabulación o

conteo y se representa por fi en donde f significa frecuencia absoluta simple y el

sub índice “i” el orden que ocupa la frecuencia absoluta simple.

Así por ejemplo: f3 = 5 f6 = 2 f7 = 1

b) Frecuencia Absoluta Acumulada.- Cada frecuencia absoluta acumulada contiene

la frecuencia absoluta simple de su grupo, más la suma de las frecuencias

absolutas simples de los grupos precedentes o anteriores. Se representan por F i



Nf

h ii

ESTADÍSTICA

,donde “F” significa frecuencia absoluta acumulada, el Sub índice “i” el orden que

ocupa la frecuencia absoluta acumulada.

Ejemplo:

F4 = 16

F4 = f4 + (f3 + f2 + f1)

F4 = 6 + (5 + 3 + 2)

F4 = 16

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Son aquellas que se presentan en tanto por uno, se dividen en frecuencias relativas

simples y frecuencias relativas acumuladas.

a) Frecuencia Relativa Simple.- Se obtiene dividiendo cada frecuencia absoluta

simple entre el total de datos (N).

Fórmula:

Las frecuencias relativas simples representan el tanto por uno en consecuencia la

suma de todas ellas es igual a uno, si se corre la coma del decimal dos lugares a

la derecha se convierte en porcentaje y en tanto la suma es igual a 100% o en su

defecto se aplica a la siguiente formula.

La frecuencia relativa simple se representa por hi, donde “h” significa frecuencia

relativa simple y el subíndice “i” expresa el orden que ocupa la frecuencia relativa

simple.

b) Frecuencia Relativa Acumulada.- Se obtiene dividiendo cada frecuencia absoluta

acumulada entre el total de datos (N).

Cada frecuencia relativa acumulada contiene la frecuencia relativa simple de su

grupo, más la suma de las frecuencias relativas simples de los grupos que le

preceden.La frecuencia relativa acumulada se representa por Hi, donde H significa

frecuencia relativa acumulada y el subíndice “i” indica el orden que ocupa la

frecuencia relativa acumulada.


hi=f iN

×100

H i=F iN


Tabla de Distribución de 23 MYPES de la Provincia de Ica

Clasificadas, según el Número de Trabajadores – Febrero 2012.

Nº X1FREC. ABSOLUTA FREC. RELATIVA

fi Fi hi Hi

01

02

03

04

05

06

07

2

3

4

5

6

7

8

2

3

5

6

4

2

1

2

5

10

16

20

22

23

0.09

0.13

0.22

0.26

0.17

0.09

0.04

0.09

0.22

0.44

0.70

0.87

0.96

1

---- 23 ---- 1.00 ----


Xi = Variable: Número de trabajadores.

Grupos en los que se han clasificado el número de trabajadores en las 23

micros y pequeñas empresas.

fi= Frecuencia absoluta simple.

Número de veces que se repite cada valor de la variable.

Fi = Frecuencia absoluta acumuladas.

Contiene la frecuencia simple de su clase (grupos) más las frecuencias

simples de las clases (grupos) precedentes o anteriores.

hi = Significa el tanto por uno de la frecuencia absoluta simple de cada clase o

grupo.

Hi = Frecuencia Relativa Acumulada.

Significa el tanto por uno de la frecuencia relativa simple de su clase más

las relativas simples de las clases precedentes o anteriores.

INTERPRETACIÓN:

1° 23 MYPES han sido clasificadas según el número de trabajadores con que

cuentan.

2° El número de trabajadores varía entre 2 y 8 trabajadores inclusive.

3° La mayoría de MYPES cuenta con 5 trabajadores.

4° Hay 20 MYPES, ó sea el 87% de ellas que tienen 6 trabajadores o menos. El

13% restante tiene más de 6 trabajadores.

5° El 44% de MYPES, tiene 4 trabajadores o menos. El 56% restante tiene 5

trabajadores o más.



6° Solo hay 2 MYPES ó sea el 9% de ellas que cuentan con 2 trabajadores; las

demás (21) ó sea el 91% cuentan con más de 2 trabajadores.

7° Solo hay 1 MYPES; ó sea el 4% de ellas que cuenta con 08 trabajadores, las

demás (22) ó sea el 96% restante cuenta con menos de 8 trabajadores

8° Hay 5 MYPES ó sea el 22% de ellas que tienen 4 trabajadores.

9° Hay 6 MYPES, ó sea el 26% de ellas que cuentan con 5 trabajadores.

10° Hay 15 MYPES, ó sea el 65% de ellas que tienen entre 4 y 6 trabajadores.

Inclusive. Un 22% tiene 3 o menos y el 13% restante tiene 7 trabajadores o

más.

11° Hay 16 MYPES, ó sea el 70% de ellas que tienen 5 trabajadores o menos. El

30% restante cuenta con 6 o más trabajadores.

12° Más de la tercera parte de MYPES, tienen entre 3 y 4 trabajadores inclusive.

PROPIEDADES Y RELACIONES DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE

FRECUENCIAS

A) PROPIEDADES

1. Las frecuencias absolutas simples y absolutas acumuladas son números

enteros no negativos, o sea:

fi 0 , Fi 0

2. Las frecuencias relativas simples y relativas acumuladas son números

fraccionarios, no negativos, o sea:

hi 0 , Hi 0

B) RELACIONES 1. La sumatoria de todas las frecuencias absolutas simples es igual a la población,

o al tamaño de la muestra.

f1 + f2 + f3 ...+ fn = N

En consecuencia: fi = N

2. La sumatoria de todas las frecuencias relativas simples es igual a la unidad.

hi + h2 + h3 ...+hn = 1

3. El valor de toda frecuencia relativa oscila entre 0 y 1.

0 hi 1

4. La última frecuencia absoluta acumulada, es igual al tamaño de la

población o universo. Fn = N



5. La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad. Hn = 1

6. La primera frecuencia absoluta simple es igual a la primera frecuencia absoluta

acumulada.f1 = F1

7. La primera frecuencia relativa simple es igual a la primera frecuencia relativa

acumulada.h1 = H1

8. La primera frecuencia absoluta simple, es igual a la primera frecuencia absoluta

acumulada, siendo esta menor que la acumulada de la segunda, esta a su vez

menor que la acumulada de la tercera y así sucesivamente hasta la penúltima,

que es menor que la última frecuencia absoluta acumulada, siendo esta a su

vez igual al tamaño de la población o universo.f1 = F1, < F2, <F3....,Fn = N

9. La primera frecuencia relativa simple, es igual a la primera frecuencia relativa

acumulada, siendo esta menor que la relativa acumulada de la segunda, esta a

su vez menor que la relativa acumulada de la tercera y así sucesivamente

hasta la penúltima, que es menor que la última frecuencia relativa acumulada,

siendo esta a su vez igual a la unidad.h1 = H1, < H2, < H3, < ..., Hn = 1

10. Podemos así mismo expresar las siguientes relaciones:

f1 = F1

f1 + f2 = F2

f1 + f2 + f3 = F3

f1 + f2 + f3 + f4 = F4

f1+ f2 + f3 + f4 + f5 = F5

f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = F6

.

.

.

f1 + f2 + f3+ ....................................+ fn = F

Ejemplos:

F2 + f3 = F3

F4 - F3 = f4

F5 – F3 = f4 + f5

Del mismo modo las relaciones del numeral anterior pueden aplicarse a la frecuencia

relativa.



DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA UNA VARIABLE CONTINUA

Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor comprendido en un

intervalo, es decir, su valor puede ser un número entero o una fracción.

De igual modo para construir las tablas se tienen que realizar las operaciones de

clasificación y tabulación. En todo conjunto de valores de la variable X es posible

conocer el valor máximo (XM) y el mínimo (Xm), donde (XM - Xm) constituye el rango o

recorrido (R) de la variable.

Considerando que la variable continua se presenta utilizando intervalos de clase en las

tablas de frecuencias. En tanto el rango se puede dividir en un número arbitrario de

intervalos, que por lo general pueden variar entre 5 y 20 intervalos, recomendándose

preferentemente trabajar con un número impar de intervalos.

O en caso contrario aplicamos la regla de Sturges, que en función a la población (N)

permite matemáticamente determinar el número de intervalos, a través de la siguiente

fórmula:

K = 1 + 3.3 log N

REGLA DE STURGES

La regla de Sturges, propuesta por Herbert Struges en 1926, es una regla práctica

acerca de número de clases que se deben considerar al elaborar una tabla de

distribución de frecuencias.

Este número viene dado por la siguiente expresión

K = 1 + 3,3 log ( N ), Donde N es el tamaño de la muestra

El valor de “K”, número de clases es común redondearloal entero más cercano.

El problema más importante es resolver ¿En cuántos intervalos de clase se debe

agrupar la información?.

Existen diversas reglas empíricas entre la más conocida se tiene: 5 K 20;

ÓK = √n . Al usar esta regla, se corre con el riesgo de incrementar drásticamente el

número de intervalos, a medida que aumenta el número de datos;

Por ejemplo N = 100 √100= 10; N= 188 √188 = 13.7 14.

Sin embargo la regla de sturges corrige el valor de K, aunque se incremente

drásticamente el número de datos.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los calificativos centesimales,

obtenidos por “n” postulantes en un examen de selección de personal, para

cubrir 3 plazas de Administrador en Industrias Perú Pacífico S.A. – Marzo 2012.

Para el ejemplo, el número de intervalos será: K = 1 + 3.3 log.232 = 8.8 9



53 59 73 50 45 80 61 57 82 69 57 66 46 55

63 56 75 49 68 60 78 61 50 74 60 47 63 70

83 66 71 52 73 54 67 49 72 80 58 48 62 75

77 59 70 80 48 54 66 55 88 63 65 43 68 71

85 80 77 69 56 47 51 65 79 64 62 72 53 81

53 77 69 48 76 45 58 48 64 60 49 64 71 68

50 44 83 68 54 76 90 60 63 46 72 65 74 51

66 78 41 61 78 52 59 75 47 77 53 70 61 52

86 71 66 55 60 82 68 61 52 69 84 90 73 45

56 80 59 64 75 88 82 62 59 66 71 74 85 91

55 44 70 69 55 45 72 84 67 80 69 85 87 50

65 43 65 81 67 54 51 47 65 58 49 63 76 81

73 89 58 60 45 74 79 51 92 64 85 53 72 54

78 91 50 55 67 56 81 74 67 77 59 49 66 82

71 62 44 85 76 70 62 65 57 75 79 68 57 68

79 67 56 69 64 58 62 76 67 73 67 61 68 70

66 57 69 42 65 63 75 76

Número de Intervalos de Clase (K)

K = 1 + 3,3 Log N

Intervalos y Límites de Clase

Un símbolo que define la clase tal como por ejemplo, 52 – 58 se conoce como

intervalo de clase, definido los intervalos cada uno de ellos se denota por (Li y Ls).

Donde Lies el límite inferior y Ls es el límite superior del intervalo de clase.

Amplitud, tamaño o anchura de clase (C)

La Amplitud, tamaño o anchura de un intervalo de clase es la diferencia entre sus

límites de clase que lo conforman. Si K es el número de intervalos de clase, entonces:

C = R/K



1

2

3

ESTADÍSTICA

Punto medio o marca de clase (Xi)

La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene de la

semisuma de los límites del intervalo, así:

Pasos a seguir para la Regla de Sturges

1. Determinar el número de clases (K), mediante la siguiente fórmula:

K = 1 + 3.3 Log N

K = 1 + 3.3 Log 232 K = 8.8 9 K = 9

2. Determinar el Rango ó recorrido (R)

R = [XM – Xm]

R = [92 – 41] R = 51

3. Determinar la amplitud, tamaño o anchura de clase (C)

C = R/K

C = 51/9 C = 5.67 6 C = 6

4. Hallar Diferencial (D)D = (K x C) - R

Hallamos diferencial para determinar si en un rango o recorrido de 51, es posible

distribuir 9 intervalos, cada uno de ellos con una amplitud de 6. Si esto fuera así,

se espera un diferencial igual a cero (D = 0).

Veamos nuestro ejemplo:

D = (9 x 6) – 51 = 3

D = 3, como quiera que el diferencial es diferente de 0 (D 0) debemos replantear

el Rango.

Replanteo de Rango

Como D 0, efectuaremos un replanteo de rango, o sea una ampliación del rango

que provoca una modificación en los extremos, según los siguientes casos:

CASOS :

a. Cuando el diferencial es un número impar, la modificación de los extremos se

hará en forma proporcional; indicando que la menor proporción se descuenta al

extremo menor (Xm) y la mayor proporción se incrementa al extremo mayor (XM).

En nuestro Ejemplo: D = 3, la proporción será :


Χ i=12 (Li+Ls)


En tanto, gráficamente:

R = 51

40 94

41 92

R = 54

El nuevo rango es:

40 94

R = (94-40)

R = 54

Entonces, el nuevo diferencial, es : D = ( 9 x 6 ) -54

D = 0

b. Cuando el diferencial es un número par, la modificación a los extremos se hará

en forma equitativa. por ejemplo : D = 2; D = 4; D = 6 entonces :

1 2 3

2 4 6

1 2 3

c. Cuando el diferencial es un número negativo, debemos incrementar un

intervalo de clase más, indicando que debemos utilizar la misma amplitud tamaño

o anchura de clase.

5. Construir los Intervalos de Clase, El límite inferior del primer intervalo de clase

será el menor de los datos originales, en el caso de que se haya efectuado un

replanteo de rango, el límite inferior será el menor dato replanteado. Entonces,

para nuestro ejemplo el límite inferior para el primer intervalo será 40, para formar

el límite superior le sumamos la amplitud (6), 0 sea (40 + 6 = 46); para formar el

segundo intervalo, su límite inferior será el límite superior de la clase anterior (46),

para formar el límite superior; al límite inferior (46) le sumamos la amplitud (6), o

sea (46 + 6 = 52) y así sucesivamente hasta formar todos los intervalos de clase,

nueve para nuestradistribución, tal como se detalla en la siguiente tabla:



Tabla de distribución de 232 postulantes, clasificados según los calificativos Obtenidos en un examen de selección de personal, para cubrir 3 plazas de

Administrador en Industrias Perú Pacífico S.A. Marzo – 2012

Nº CLASESFRECUENCIA

fi

PUNTO MEDIO OMARCA DE CLASE

Xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

[40 – 46)

46 - 52

52 - 58

58 - 64

64 - 70

70 - 76

76 - 82

82 - 88

[88 - 94)

12

24

30

35

46

33

29

15

8

43

49

55

61

67

73

79

85

91

232


Observe usted que los límites pertenecen a dos intervalos (el límite superior de la

clase anterior, es a su vez límite inferior de la clase siguiente).

Téngase presente que un valor de Xi debe pertenecer a uno y solo uno de los

intervalos.

En la forma de expresar los intervalos se usa un concepto matemático de intervalo

abierto (paréntesis) y de intervalo cerrado (corchete).

Donde (Li – Ls] significa que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, es

decir que en cada intervalo no está incluido el límite inferior (L i), pero si está el

límite superior (Ls); ó el más utilizado [Li – Ls), significa cerrado por la izquierda y

abierto por la derecha, vale decir que no incluye el límite superior.

6. Tabulación o Conteo, definidos los intervalos de clase se distribuyen los

postulantes según los calificativos obtenidos en cada uno de los intervalos. Es decir en

este caso, la frecuencia representa el número de postulantes en cada intervalo, según

los calificativos obtenidos.

7. Hallar el Punto Medio o Marca de Clase (Xi), El punto medio o marca de clase es

el valor que representa a todo el intervalo. Se obtiene a través de la semisuma de los

límites de cada intervalo de clase.

Xi =

12 (Li + Ls)



ELEMENTOS DE UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Tomemos el ejemplo de la distribución de los 232 postulantes, clasificados según los

calificativos obtenidos. En dicha tabla de distribución de frecuencias identificaremos

los siguientes elementos.

Tabla de distribución de 232 postulantes, clasificados según los calificativos obtenidos obtenidos en un examen de selección de personal para cubrir 03

plazas de Administrador en Industrias Perú Pacífico S.A. Marzo – 2012


1. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Frecuencia, se le define como el número de veces que se repite un dato como

valor de una variable. Se le representa a través de la serie natural de los números.

De acuerdo a las formas como son agrupadas, las frecuencias absolutas pueden ser:

Simples y Acumuladas

a. Frecuencia Absoluta Simple (fi).- Son aquellas frecuencias que se obtienen de

los datos originales, a través de un proceso de tabulación o conteo.

Simbólicamente se representa por fi.

Por ejemplo: La frecuencia absoluta simple de la primera clase (f1) es 12. Significa

que 12 postulantes obtuvieron calificativos mayores o iguales a 40, pero menores

que 46, puntos.


N° Clases fi Xi

Frec. Absolutas Frec. Relativas

fi Fi Fi hi Hi Hi1

2

3

4

5

6

7

8

9

[40 46

46 52

52 58

58 64

64 70

70 76

76 82

82 88

[88 94

12

24

30

35

46

33

29

15

8

43

49

55

61

67

73

79

85

91

12

24

30

35

46

33

29

15

8

12

36

66

101

147

180

209

224

232

232

220

196

166

131

85

52

23

8

5.17

10.34

12.93

15.09

19.83

14.22

12.50

6.47

3.45

5.17

15.51

28.44

43.53

63.36

77.58

90.08

96.55

100.00

100.00

94.83

84.49

71.56

56.47

36.64

22.42

9.92

3.45

-.- 232 -.- 232 -.- -.- 100.00 -.- -.-


b. Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi).- Es conveniente convertir los datos de una

distribución de frecuencias, en una distribución de frecuencias acumuladas,

además de ayudar a la interpretación de la distribución, también sirve de ayuda

para obtener promedios tales como la mediana, moda, cuartiles, percentiles, etc.

tal como lo veremos más adelante. Simbólicamente se representa por Fiy se

clasifican en:

b.1. Frecuencia Absoluta Acumulada “Menor que” (Fi): Cada frecuencia

absoluta acumulada “menor que” indica el número de frecuencias por debajo

del límite superior de ese intervalo. Así, el tercer intervalo de la tabla anterior

indica que un total de 66 postulantes obtuvieron un calificativo menor que 58

puntos. La frecuencia absoluta acumulada “menor que” de la tercera clase,

contiene la frecuencia absoluta simple de su clase más la sumatoria de las

frecuencias absolutas simples de las clases precedentes o anteriores, ó sea:

30 + (24 + 12) = 66. Simbólicamente se le representa por: F3↓

b.2. Frecuencia Absoluta Acumulada “Mayor que” (Fi): Cada frecuencia

absoluta acumulada mayor indica el número de frecuencias mayores que el

límite inferior de ese intervalo. Así, en el cuarto intervalo de la tabla anterior

indica que un total de 166 postulantes obtuvieron calificativos mayores o

iguales que 58 puntos. La frecuencia absoluta acumulada “mayor que” de la

cuarta clase, contiene la frecuencia absoluta simple de su clase más las

frecuencias absolutas simples de las clases subsiguientes. Según el

ejemplo anterior: 35 + (46 + 33 + 29 + 15 + 8) = 166. Simbólicamente se le

representa por F4↑

2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Las Frecuencias Relativas, no vienen a ser sino, las frecuencias absolutas

expresadas generalmente en tanto por ciento. De acuerdo a las formas como son

agrupadas se dividen en:

a. Frecuencia Relativa Simple (hi).- La frecuencia relativa simple de una clase, es

igual a la frecuencia absoluta simple de la clase dividida entre el total de

frecuencias, luego multiplicada por cien. Se obtiene a través de la siguiente

formula:

Por ejemplo: La frecuencia relativa simple de la octava clase se determina de la

siguiente manera: (15 ÷ 232) 100 = 6.47 o sea que el 6.47% de postulantes

obtuvieron calificativos mayores o iguales a 82 puntos pero menores que 88 puntos.

La suma de frecuencias relativas simples es igual al 100%.


hi=f iN

×100


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

[40 46)

46 52

52 58

58 64

64 70

70 76

76 82

82 88

[88 94)

fi

Intervalos

ESTADÍSTICA

b.Frecuencias Relativas Acumuladas.

b.1. Frecuencia Relativa Acumulada Menor que (Hi): La frecuencia relativa

acumulada “menor que”, es igual a la frecuencia absoluta acumulada “menor

que” de la clase, dividida entre el total de frecuencias, luego multiplicada por

cien. Se le representa por Hi y se obtiene a través de la siguiente fórmula:

Por ejemplo: La frecuencia relativa acumulada de los calificativos menores

que 76 puntos es: (180 ÷ 232) 100 = 77.58% Quiere decir con ello que el

77.58% de postulantes obtuvieron calificativos menores que 76 puntos.

b.2. Frecuencia Relativa Acumulada Mayor que (Hi ): La Frecuencia relativa

acumulada “mayor que” de una clase, es igual a la frecuencia absoluta

acumulada “mayor que” de la clase, dividida entre el total de frecuencias,

luego multiplicada por 100. Se obtiene a través de la siguiente formula:

Hi = (F ÷ N) 100

Por ejemplo: La frecuencia relativa acumulada de los calificativos mayores que 70

puntos es: (85÷232) 100 = 36.64%. Quiere decir con ello que el 36.64% de postulantes

obtuvieron calificativos mayores o iguales que 70 puntos.

GRÁFICAS PARA UNA VARIABLE CONTINUA

a. Histograma de Frecuencias.- Es la sucesión de rectángulos adyacentes, cuyas bases son iguales en dimensión; esto significa que tienen igual amplitud y se encuentran en el eje de las X. La altura de cada uno de los rectángulos, es igual a la frecuencia absoluta simple del intervalo de clase correspondiente, las frecuencias se ubican en el eje de las Y.

Histograma de Frecuencias



H i=F iNx 100


0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

40 46 45 48 64 70 76 82 88 94

Fi

Limites

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 43 49 55 61 67 73 79 85 91 0Xi

fi

S

Q

P

ESTADÍSTICA

b. Polígono de Frecuencias.- Es un gráfico lineal que se representa sobre los puntos medios de cada intervalo de clases. Cada punto en el plano representa a cada una de las frecuencias absolutas simples. La representación gráfica del polígono también puede superponerse sobre un histograma, uniendo los puntos centrales de los techos de cada rectángulo. Se

acostumbra a prolongar el polígono con los segmentos ΡQ y RS hasta los puntos medios inferior y superior inmediatos, que correspondería a las clases de frecuencia cero (0). En tal sentido, la suma de las áreas de los rectángulos del histograma es igual al área total limitada por el polígono de frecuencias.

Polígono de frecuencias

c. Ojiva.-Es un gráfico lineal que se representa sobre los límites de clase, y cada

punto en el plano representa las frecuencias absolutas acumuladas “menor que” y

frecuencia absoluta acumulada “mayor que”.

Ojiva

N/2 = 232/2 = 116

Mediana = 65.96


Fuente: Elaboración propia

Q

P

40 46 52 58 64

R


La gráfica anterior muestra la ojiva, representada a través de las frecuencias

acumuladas “menor que” y “mayor que”, correspondientes a los calificativos de los 232

postulantes. La mediana es el punto P, sobre la ojiva cuya ordenada es el 50%

observe también que la perpendicular trazada desde el punto P, se intersecta con el

eje de las X, o sea en el valor de la mediana igual a 65.96 puntos.

INTERPOLACIÓN

Uno de los principales usos de la interpolación es el de hallar valores intermedios a los

calculados en las tablas de distribución. La interpolación consiste en hallar un dato

dentro de un intervalo, del cual conocemos sus valores extremos.

Ejemplo: Halle usted el número y porcentaje de postulantes que obtuvieron

calificativos menores que 68 puntos.

Del segmento anterior, se pueden deducir las siguientes fórmulas:

a.

b − ac − a

= x −ac − a

68−6470−64

= Χ−101147−101

46=Χ−101

46 X = 131.67

Aproximadamente 132 postulantes obtuvieron puntajes menores que 68 puntos.

b.

70−6870−64

=147−Χ147−101

= 26=147−Χ

46 X = 131.67

Aproximadamente 132 postulantes obtuvieron puntajes menores que 68 puntos.


Frecuenc. Absolutas acumuladas “menores que”

a

b

c

a

x

c


MÉTODOS PRÁCTICOS PARA INTERPOLAR

a. En la tabla de distribución, se puede observar que 101 postulantes, obtuvieron

calificativos menores que 64 puntos. Observamos también que 68 (puntos) se

encuentra en el recorrido del intervalo de la quinta clase [64-70), la misma que

contiene la distribución de los calificativos de 46 postulantes; obviamente unos

tantos de los 46 postulantes tienen calificativos menores que 68 puntos (y los otros

tantos tendrán calificativos mayores o iguales a 68 puntos).

En consecuencia a los 101 postulantes le adicionamos aquellos que tienen

calificativos menores que 68 puntos; en resumen.

12+24+30+35+(68−646 )46

101+ 30.67 = 131.67

b. En la tabla de distribución se puede observar que 147 postulantes obtuvieron

calificativos menores que 70 puntos. Podemos deducir también que unos tantos de

los 147 postulantes tienen calificativos mayores o iguales a 68 puntos.

En consecuencia, de los 147, sustraemos aquellos que tienen calificativos mayores

o iguales a 68 puntos. En resumen :

147−(70−686 )46

147- 15.33 = 131.67

c. Si en una amplitud, tamaño o anchura de clase de 6(c=6), se encuentran dis-

tribuidos los calificativos de 46 postulantes.

Entonces en una porción de amplitud de 4 o sea (68-64=4) habrán distribuidos los

calificativos de X postulantes.


6 4 6 8 7 0

f = 4 65

6 4 6 8 7 0

f = 4 65


A través de una regla de tres simple, tenemos:

Si en una amplitud de 6 se encuentran distribuidos los calificativos de 46

postulantes, entonces en una porción de amplitud de 4 habrán distribuidos los

calificativos de X postulantes.

6 --------- 46

4 --------- X X = 30.67

Entonces: 101 + 30.67 = 131.67

En porcentaje: 232 ----------- 100%

131.67 ----------- X% X = 56.75 %

Aproximadamente 132 postulantes, o sea el 56.75% de ellos obtuvieron calificativos

menores que 68 puntos.

PRINCIPIO DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE FRECUENCIAS

Las frecuencias contenidas en un intervalo de clase se encuentran normalmente

distribuidas, esto quiere decir que a cada una de ellas les corresponde una porción

exactamente igual de amplitud. Así por ejemplo tomemos el tercer intervalo de clases

que contiene una frecuencia de 30, podemos demostrar que en el recorrido de un

cuarto de amplitud

14 (c) se encontrarán distribuidos los calificativos obtenidos por 7,5

postulantes, tal como se detalla a continuación:

14

(6 )=1. 5

52 + 1.5 = 53.5 (53 . 5−52

6 )30=7 .5 postulantes

Obviamente la mitad de postulantes (30/2=15) de la misma tercera clase tendrán

calificativos menores que su punto medio (X3 = 55).

(55−526 )30=15

También podemos hallar por ejemplo; el 40% alrededor de X3; tal como a continuación se detalla:15

(6 )=1.2X3±1.2 55 + 1.2

(56 .2−53 .86 )30=12

O tal vez el 30% inferior de la tercera clase; sería

110 (6) = 0.6 (0.6) (3) = 1.8

52 + 1.8 = 53.8



(53 .8−526 )30=9

Si de acuerdo a las políticas de la Gerencia de Personal de Industrias Perú Pacífico

S.A., se efectúan las siguientes acciones administrativas de personal:

a. Mantener una cartera de empleados potenciales, considerando en cada concurso

de selección de personal a 3 postulantes, cuyos calificativos sean los inmediatos

inferiores a los calificativos de los postulantes ganadores.

b. Efectuar una clasificación cualitativa de los calificativos obtenidos por los

postulantes estableciendo ciertos parámetros, tales como :

Calificativos Pésimos.- Aquellos calificativos menores de 50 puntos.

Calificativos Malos.- Aquellos calificativos mayores o iguales que 50, pero


Calificativos Regulares.- Aquellos calificativos mayores o iguales a 60, pero


Calificativos Buenos.- Aquellos calificativos mayores o iguales a 72, pero


Calificativos Muy Buenos.- Aquellos calificativos mayores o iguales a 80, pero

menores que 85.

Calificativos Excelentes.- Aquellos calificativos mayores o iguales a 85 punto

Determinar:

1. Los calificativos de los postulantes ganadores de las 03 plazas convocadas por

Industria Perú Pacífico S.A.

2. Los calificativos de los 03 postulantes que integraran la cartera de empleados

potenciales de Industrias Perú Pacífico S.A.

3. Número y porcentaje de postulantes que obtuvieron calificativos: pésimos, malos,

regulares, buenos, muy buenos y calificativos excelentes.

4. 50% alrededor de X5.

5. 35% alrededor de X2.

Respuestas:

1. Los calificativos de los postulantes ganadores son mayores o iguales a 91.75

puntos.

68=0 . 75

0.75 x 3 = 2.25 94 - 2.25 = 91.75 puntos



(94−91.756 ) 8=3

postulantes ganadores del concurso

2. Los calificativos de los 03 postulantes que integraran la cartera de

empleados potenciales, son mayores o iguales a 89.5, pero menores que

91.75 puntos.

68=0 . 75

0.75 x 3 = 2.25 91.75 – 2.25 = 89.50

(91 .75−89 .506 ) 8=3

postulantes

3. Número y porcentaje de postulantes que obtuvieron:

a) Calificativos Pésimos

12+(50−466 )24=28

postulantes 12.07%28 postulantes o sea el 12.07% de ellos obtuvieron calificativos pésimos.

b) Calificativos Malos

(52−506 ) 24+30+(60−58

6 ) 35

8 + 30 + 11.67 = 49.67 postulantes 21.41%

Aproximadamente 50 postulantes o sea el 21.41% de ellos obtuvieron

calificativos malos.

c) Calificativos Regulares

(64−606 )35+46+(72−70

6 )33

23.33 + 46 + 11 = 80.33 postulantes 34.63%

Aproximadamente 80 postulantes o sea el 34.63% de ellos obtuvieron

calificativos regulares.

d) Calificativos Buenos

(76−726 )33+(80−76

6 )29

22 + 19.33 = 41.33 postulantes 17.81%

Aproximadamente 41 postulantes o sea el 17.81% de ellos obtuvo calificativos

buenos.



e) Calificativos Muy Buenos

(82−806 )29+(85−82

6 )15

9.67 + 7.5 = 17.17 postulantes 7.40%

Aproximadamente 17 postulantes o sea el 7.40% de ellos obtuvo calificativos

muy buenos.

f) Calificativos Excelentes

(88−856 )15+8=15. 5

6.68%Aproximadamente 16 postulantes o sea el 6.68% de ellos obtuvieron calificativos

excelentes.

4. 50% alrededor de X5

14(6 )=1 .5

67 ± 1.5

(68 . 5−65 .56 )46=23

postulantes

5. 35% alrededor de X2

110

(6 )=0. 60.5 (0.6) = 0.30 0.5(0.30) = 0.15

49 ± 1.05

(50 . 05−47 . 956 ) 24=8. 4

postulantes

EJERCICIOS

1) Establecer cuáles de estos datos son discretos y cuáles continuos:

a. Temperaturas medidas en un laboratorio cada media hora.

b. Ingresos anuales de los profesores de educación secundaria.

c. Longitudes de 100 tornillos producidos en una empresa.

d. Número de estudiantes en una aula.

e. El número de inasistencias de un estudiante.

f. El número de matrimonios ocurridos el día de hoy.

2) Clasificar cada una de las siguientes variables:



a. Distancia diaria recorrida por cada estudiante para ir de su casa a la

universidad.

b. Tiempo que requiere un estudiante para responder a un examen.

c. Llamadas que llegan a la central telefónica dela Única.

d. Preferencia por cierta marca de refresco.

e. Color del cabello de las estudiantes que toman el curso de estadística.

f. Número de acciones vendidas en un día en la Bolsa de Valores.

g. Vida promedio de los tubos para agua potable, producidos por una fábrica

h. Porcentaje de inversión pública en obras de saneamiento en las provincias del

Departamento de Ica, durante el año 2011..

I) El número de artículos defectuoso elaborados el día de hoy, en el turno día.

3) Se ha hecho un estudio para determinar la preferencia de una marca

especial de detergente por parte de las amas de casa. Entre las 50 amas de

casa entrevistadas, 30 dijeron que preferían esta marca.

a. ¿Qué constituye la muestra?.

b. ¿Qué constituye la población?.

c. ¿Cuál es la proporción, dentro de la muestra, de las amas de casa que

prefieren la marca del detergente?

d. Indique usted un dato estadístico.

e ¿Cuál es la proporción de amas de casa que no prefieren la marca del

detergente?

4) La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración en

horas de 350 equipos de luces de emergencia comprobados por L & M

Electric.

100-

200)

200-

300)

300-

400)

400-

500)

500-

600)

600-

700)

700-

800)

800-

900)

900-

1000)

10 36 58 60 78 52 38 12 6

Completar la tabla para luego determinar:

a. Número y porcentaje de equipos cuyas duraciones sean menores o iguales a

600 horas.

b. Porcentaje de equipos cuyas duraciones son mayores o iguales a 900 horas.

c. Porcentaje de equipos cuyas duraciones sean mayores o al menos iguales a

500 horas pero menores que 1000 horas.



d. Número y porcentaje de equipos con duraciones comprendidas entre 348 pero

menores que 467 horas.

e. Estimar el porcentaje de equipos con duraciones menores que 560 horas.

f. Estimar el porcentaje de equipos con duraciones de 970 o más horas.

g. Estimar el porcentaje de equipos con duraciones entre 620 y 890 horas.

h. Estimar el número y porcentaje de equipos con duraciones entre 330 y 520

horas.

i. Estimar el porcentaje de equipos con duraciones entre 610 y 840 horas.

j. Estimar el número porcentaje de equipos con duraciones comprendidas entre

170 y 270 horas.

k. Estimar el porcentaje de equipos con duraciones mayores o iguales a 280

pero menores que420 horas.

5) La siguiente tabla muestra los diámetros en pulgadas de una muestra de 60

cojines de bolas fabricados por una compañía.

0,738 0,737 0,732 O,730 0,735 0,738 0,742 0,74

1

0,734 0,730

0,745 0,729 0,735 0,740 0,739 0,734 0,735 0,73

9

0.739 0,732

0,728 0,730 0,731 0,735 0,734 0,732 0,729 0,73

3

0,734 0,735

0,733 0,736 0,743 0,740 0,736 0,735 0,736 0,73

6

0,727 0.744

0,735 0,737 0,736 0,746 0,724 0,741 0,738 0,73

1

0,736 0,740

0,732 0,732 0,742 0,727 0,736 0,733 0,725 0,72

6

0,737 0,735

a. Grafique

a.1. Un histograma.

a.2. Un polígono de frecuencias

a.3. Una ojiva.

b. Determine el intervalo del 33% alrededor de X2

c. Determine el 40% alrededor de X3



d. Determine el porcentaje de cojinetes de bolas que tienen diámetros entre

0,730 y 0,738 pulgadas.

6) A continuación, se ofrece una distribución de frecuencias del peso de 421

personas que utilizaron un elevador cierto día.

[75-

90)

[90-

105)

[105-

120)

[120-

135)

[135-

150)

[150-

165)

[165-

180)

[180-

195)

[195-

210)

[210-

225)

30 38 49 56 62 62 56 49 38 30

a) Elabore usted la tabla de distribución correspondiente.

b) Grafique el histograma de frecuencias.

c) Grafique el polígono de frecuencias.

d) Grafique la Ojiva.

7) Antes de construir una presa sobre un río, se efectuaron una serie de

pruebas para medir el flujo de agua (Litros/minuto) que pasa por el lugar de

la presa. Los resultados de las pruebas se usaron para preparar la siguiente

distribución de frecuencia:

[1001-

1051)

[1051-

1101)

[1101-

1151)

[1151-

1201)

[1201-

1251)

[1251-

1301)

[1301-

1351)

[1351-

1401)

[1401-

1451)

3 6 10 15 21 28 36 45 55

a. Construya una tabla de distribución de frecuencias.b. Determine número y porcentaje de pruebas con flujos:

b.1. Menores que 1 030 litros por minuto

b.2. Mayor o igual que 1 030 litros pero menores que 1 345 litros por minuto.

b.3. Mayores o iguales a 1 345 litros por minuto.

8)Los siguientes datos corresponden a la distribución porcentual del

presupuesto mensual (Enero - 2012) por concepto de ahorro familiar,

registrados en “n” hogares del cercado de la Provincia de Ica.

16.65 15.95 16.15 12.95 13.95 11.34 12.43 12.25

10.25 12.70 14.59 13.50 14.60 16.85 14.55 13.60

12.45 13.00 16.00 14.63 12.35 14.62 11.20 11.40

14.60 17.10 12.20 17.50 14.60 16.50 10.50 14.63

16.70 16.71 9.45 14.63 14.59 14.62 9.50 15.80



15.75 14.58 13.55 11.35 13.51 12.47 12.15 9.24

11.20 10.32 14.61 16.80 11.36 14.57 12.15 12.20

14.59 12.50 17.77 14.50 13.15 15.67 12.45 16.85

12.50 15.85 11.25 12.10 10.80 14.60 15.70 12.30

16.60 10.33 13.85 10.60 14.62 16.10 14.65 10.33

17.50 14.64 11.30 12.22 12.48 11.30 10.35 10.60

11.37 12.44 11.38 14.65 10.35 14.60 14.60

En base a los datos anteriores:

a) Elaborar la tabla de distribución de frecuencias.

b) Halle el número de hogares con ahorros comprendidos en el intervalo del

75% alrededor de X7.

c) Las tres asignaciones presupuestales de ahorro máximas son mayores o al

menos iguales al….%

d) El intervalo del 50% alrededor de X5.

e) El intervalo del 45% alrededor de X3

f) Halle el número y porcentaje de hogares con ahorros familiares:< 10.50%

10.50 % < 12.80 12.80 % < 14.30%

14.30% < 15.50%

15.50% < 16%

16%

g) Grafique usted el polígono de frecuencias

h) Grafique usted la ojiva.

9) Suponga que se administra un test de aptitud a todos los aspirantes a

puestos de trabajo en la región Ica. Se elige al azar una muestra de 50

aspirantes, cuyos calificativos se detallan a continuación.

77 44 49 33 38 33 76 55 68 3929 41 45 32 83 58 73 47 40 2634 47 66 53 55 58 49 45 61 4154 50 51 66 80 73 57 61 56 5038 45 51 44 41 68 45 93 43 12



a) Construya la tabla de distribución de frecuencias.

b) Construya el histograma.

c) Construya el polígono de frecuencias.

d) Construya la ojiva.

e) Determine número y porcentaje de aspirantes con calificativos mayores

que 55, pero menores que 85 puntos.

10) La siguiente tabla representa los resultados en la prueba de aptitud

académica aplicada a 1000 jóvenes que aspiran ingresar a cierta

universidad.

Calificació

n

[300-350) [350-400) [400-450) [450-500) [500-550) [550-600)

Fi 5 12 21 32 40 44

Hallar: a) Número y porcentaje de aspirantes que obtuvo entre 420 y 510 puntos.

b) Número de aspirantes que obtuvieron 500 puntos o más.

c) La mayor nota del 30% que obtuvo la nota más baja.

d) Porcentaje de aspirantes que obtuvo más de 480 puntos.

e) Número y porcentaje de aspirantes que obtuvieron entre 380 y 515 puntos.

f) Número y porcentaje de aspirantes que obtuvieron menos de 380 puntos.

g) Número y porcentaje de aspirantes que obtuvieron más de 515

11) Los siguientes datos corresponden a los salarios semanales

correspondientes al mes de Abril -2012 percibidos por un grupo de obreros

del sector construcción de la Provincia de Ica.

312 288 320 297 329 305 328 299 266299 305 295 322 289 273 286 306 314287 271 283 295 300 304 297 282 285301 293 273 291 311 281 303 262 296297 304 264 306 289 298 294 285 319270 278 280 325 265 313 279 306 277318 266 303 310 294 277 308 290 266300 295 291 292 331 309 324 319 292292 286 311 278 286 275 313 293 301277 303 279 277 317 302 281 308 288291 281 309 284 277 293 274 330 286288 301 294 299 300 271 323 272 291315 292 275 310 291 312 294 298 289



277 300 262 272 316 290 287 318 276316 280 297 299 308 280 306 303 268290 321 301 279 282 277 326 308 293314 283 293 307 290 307 264 285 269276 285 315 263 303 282 279 296 283327 296 326 278 298 317 296 267 267302 287 298 305 305 290 270 286 278295 263 288 268 284 289 284 294


1) Elabore usted la tabla de distribución

2) Grafique usted: El histograma de frecuencias y la Ojiva.

12)En un taller de reparación de automóviles se recogen datos sobre los días de

permanencia de los vehículos a reparar en él, y se obtiene.

Días de estancia 1 2 3 4 5 6 7

Nº de autos 23 12 7 10 3 2 1

a. ¿Cuántos días como máximo permanecen en el taller el 60.35 % de los

automóviles, que menos permanecen en el taller?

c. ¿Cuántos días como mínimo permanecen en el taller el 5.17 % de los

automóviles, que más permanecen en el taller.

d. El 72.42 %. de autos tuvo una estancia de…….días.

13) Los siguientes datos representan la proporción de artículos defectuosos,

detectados en “n” muestras de tamaño constante. Enero 2013.

0.2856 0.2515 0.2940 0.2275 0.2355 0.3160 0.3333 0.2890

0.2764 0.3015 0.2855 02465 0.2615 0.2940 0.2975 0.2795

0.3070 0.2675 0.3000 0.2474 0.2953 0.2785 0.2424 0.2460

0.3050 0.2960 0.3444 0.2777 0.3506 0.2400 0.2850 0.2670

0.2610 0.2205 0.3202 0.2690 0.2770 0.3303 0.3322 0.2578

0.3260 0.2022 0.2945 0.3035 0.2450 0.3315 0.2955 0.2710

0.2190 0.2940 0.3136 0.2350 0.3035 0.2795 0.3319 0.2585

0.2380 0.2310 02025 0.2935 0.2660 0.2860 0.2963 0.2715

0.2763 0.3205 0.3155 0.2206 0.2930 0.3195 0.2765 0.2515



0.2300 0.2949 0.2630 0.2410 0.2580 0.2030 0.3140 0.3320

0.3135 0.2600 0.3321 0.2840 0.2230 0.2392 0.2582 0.2730

0.3232 0.2972 0.3390 0.2803 0.2780 0.2420 0.3030 0.2790

0.2570 0.3220 0.2880 0.2915 0.2870 0.3070 0.2766 0.2965

0.2530 0.2360 0.2933 0.3501 0.2625 0.2945 0.3420 0.2620

0.2225 0.2405 0.2500 0.2650 0.3535 0.3215 0.2970 0.2980

0.3055 0.3060

En base a la información anterior:

1) Determine número y porcentaje de proporciones de artículos defectuosos:

a)< 0.2355b)0.2355 < 0.2750c) 0.2750 < 0.3017

d) 0.3017 < 0.331e) 0.331 f) entre 0.2650 y 0.3215

14) Los siguientes datos corresponden a la distribución porcentual de la

utilidad mensual (Abril - 2012), registrados en “n” Mypes del Departamento

de Ica.

16.68 15.90 16.13 12.93 13.91 11.33 12.40 12.21

10.26 12.77 14.57 13.55 14.64 16.82 14.53 13.64

12.44 13.10 16.06 14.66 12.38 14.69 11.22 11.45

14.65 17.19 12.24 17.53 14.62 16.54 10.56 14.61

16.75 16.74 9.45 14.65 14.57 14.60 9.51 15.82

15.73 14.59 13.54 11.37 13.58 12.40 12.18 9.24

11.23 10.36 14.64 16.82 11.37 14.55 12.19 12.24

14.58 12.55 17.77 14.53 13.19 15.62 12.48 16.87

12.52 15.84 11.22 12.14 10.86 14.64 15.72 12.33

16.62 10.35 13.88 10.62 14.65 16.13 14.68 10.36

17.52 14.66 11.37 12.26 12.45 11.32 10.38 10.64



11.39 12.46 11.37 14.67 10.34 14.65 14.67 17.75


a) Elaborar la tabla de distribución de frecuencias.

b) Halle el número de Mypes con utilidades comprendidas en el intervalo del

75% alrededor de X7.

c) Las tres utilidades máximas son mayores o al menos iguales al………….%

d) El intervalo de utilidades del 50% alrededor de X5.

e) El intervalo de utilidades del 45% alrededor de X3

f) Halle el número y porcentaje de Mypes con utilidades:< 10.50%

10.50 % < 12.80 12.80 % < 14.30%

14.30% < 15.50%

15.50% < 16%

16%

g) Grafique usted el polígono de frecuencias

h) Grafique usted la ojiva

15) En base a los siguientes datos, complete usted la tabla de distribución

correspondiente.

Nº Xi fi Fi hi Hi

1 0.071

2 0.179

3

4

5 6 0.714

6 49

7

Si Xm = 17 h5 = 0.20 (H5 - H2)h3 = 0.133 (H5 - H2)

16) En base a los siguientes datos complete usted la tabla de distribución

correspondiente.



N° CLASES Xi

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

fi Fi Fi hi Hi Hi

1 9.43

2

3 28.125 31.13 80.19

4

5 59.9 55.66

6 49.125

7 83.96 25.95

8

9 16 7.55

17) En base a los siguientes datos complete usted la tabla de distribución

correspondiente.

N° CLASES Xi

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

fi Fi Fi hi Hi Hi

1 7.55

2

3 25.94 83.96

4 0.4125

5 55.66 59.91

6

7 80.19 31.13

8

9 0.64875 16 9.43

18)En base a los siguientes datos complete usted la tabla de distribución correspondiente.



N° CLASES Xi

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

fi Fi Fi hi Hi Hi

1 3.77

2 54.25 6

3 90.57

4 44

5

6 86

7 92.75

8

9 4.72

Si f5 = F7

h4 = 0.4412 ( h3 + h4) ; h7=23

¿


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