ESTADISTICA ADMINISTRATIVA 1. UNIDAD 111.

1. Distribuciones de probabilidad discreta y continua.

Variables Aleatorias (v.a): son los valores que puede asignársele y que está relacionado con un experimento estadístico.

Algunos ejemplos: Artículos defectuoso en un lote, preguntas contestadas correctamente por un estudiante en un examen, número de estudiantes que adquieren un software, duración de un artículo eléctrico en horas o unidad de tiempo, suma de los puntos que caen hacia arriba al tirar dos dados normales, no cargados.

Las v.a, se dividen en Discretas y continuas:

V.a, discretas. Cuando en un experimento estadístico se relacionan con un espacio muestral finito, contable o que se pueden enumerar sus valores de forma específica o individual: Por ejemplo. Artículos defectuoso en un lote de producción en un turno determinado, preguntas contestadas correctamente por un estudiante en un examen de estadística, número de estudiantes que adquieren un software, número de vehículos que doblan a la izquierda en una vez dada la luz verde en una calle.

V. a continua. Están relacionadas con espacios muéstrales continuos, en un experimento estadístico donde los resultados no son observaciones individuales o mediciones directas. Requieren de la definición de un modelo matemático o función, (f(X) y se relacionan con el área bajo una curva en un intervalo que va de a≤ X ≤b, a, b son los límites donde se define la función f(x) o sea que no que se pueden enumerar o describir sus valores de forma individual o puntual o sea que no se pueden enumerar sus valores de forma especifica: Por ejemplo. Duración de un artículo eléctrico en horas o unidad de tiempo, Cantidad de lluvia que cae en un área determinada, precio de un artículo, diámetro de una flecha

VARIABLES ALEATORIAS Y ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO.

-Tiene una distribución de probabilidad.

-Para cada valor o intervalo esta asociado con una probabilidad, que va de 0 a 1.

- la suma de sus probabilidades individuales es igual a 1 (uno).

-Se describe un espacio muestral.

-Tiene un valor esperado o promedio.

Tiene una varianza y un desviación estándar.

-Se puede graficar y representar sus valores que la caracterizan en dicha grafica.

Ejemplos:

1) Se lanza una moneda 4 veces, a) elabore un diagrama de árbol y describa los resultados posibles del espacio muestral, b) defina la variable aleatoria como el número de caras que aparecen en cada ensayo, c) determine los valores que se asignan a la variable aleatoria y determine la probabilidad para cada valor, preséntelos en una tabla d) encuentre el valor esperado, su varianza y desviación estándar, e) haga la grafica de la distribución de probabilidad y represente los valores que la caracterizan, (µ,σ).

2) Un vendedor ha encontrado la probabilidad de hacer diferentes números de ventas diarias, dado que se pueden hacer 10 llamadas a compradores potenciales; éstas se presentan en la tabla a continuación. a) Encuentre el valor esperado (μ=E₍x₎ y su desviación estándar (σ), b) haga la grafica de la distribución de probabilidad y represente los valores que la caracterizan μ y σ.

Número de ventas(X)

1 2 3 4 5 6 7 8

Probabilidad P(X) 0.04 0.15 0.20 0.25 0.19 0.10 0.05 0.02

E(x)= xi.p(xi)=1(0.04)+2(0.159)+3(0.20)

3) Si en el problema anterior el representante de ventas gana una comisión de $ 25 por venta. A) Hallar el monto esperado de comisión, b) Multiplicando el número de ventas esperadas.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Se basa en los ensayos de Bernoulli en la cual el experimento tiene dos posibles resultados y asigna a la Variable aleatoria un valor de uno para el éxito y 0 al fracaso, lo que da que p+q=1.

La fórmula de la función Binomial es:

n=número de ensayos o repeticiones (n=constante), x=éxitos deseados, p= probabilidad de éxito (p=constante durante los n ensayos), q= probabilidad de fracaso (p+q=1).

Su media y varianza son:

Media: µ=n p, Varianza: V(X)=σ²=n p q, por lo que su desviación estándar está dada

.

Parámetros de la distribución Binomial: n y p.

Partiendo del diagrama de árbol del problema 1, del tema anterior en esta unidad en lo que se refiere lanzamiento de las cuatro monedas, a) elabore un diagrama de árbol y describa los resultados posibles del espacio muestral, b) defina la variable aleatoria como el número de caras que aparecen en cada ensayo, c) determine los valores que se asignan a la variable aleatoria y determine la probabilidad para cada valor, preséntelos en una tabla. Estos

resultados probabilísticos suman uno, por lo que se describe una distribución de probabilidad. Por inducción trataremos de llegar a la función de probabilidad de la distribución Binomial.

Como ya se vio, todos los posibles resultados para la variable aleatoria definida como el numero de caras que aparecen al lanzar una moneda cuatro veces o lo que es lo mismo, lanzar cuatro monedas al mismo tiempo, es: {CCCC, CCCS,CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS} o sea 16 resultados posibles.

Como puede observarse, para x=0, cero caras, tiene que resultar un solo resultado o sea que en los cuatro lanzamientos suceda SSSS, ninguna cara. Para que x=1, una cara, tienen que resultar los siguientes 4 resultados o combinaciones, CSSS, SCSS, SSCS y SSSC. Para x=2, dos caras, las combinaciones o resultados serían 6, CCSS, CSCS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC. Para x=3, tres caras, serian 4 combinaciones y para x=4, cuatro caras, se tendría una sola combinación o sea que aparezcan las cuatro caras, como puede verificarse.

El cuadro siguiente resume esta información procurando una mejor comprensión del estudiante.

Variable aleatoria

(x)

Como puede suceder x.

nСx

0 SSSS ₄С₀1 CSSS, SCSS, SSCS y SSSC ₄С1

2CCSS, CSCS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC ₄С₂

3 CCCS, CCSC, CSCC; SCCC. ₄С₃4 CCCC. ₄С₄

Como vemos las combinaciones nos dan los resultados como puede aparecer el número de cara, tal es elcaso posible x=3, caen tres caras, lo que es igual a p p p q + p p q p+ p q p p+ q p p

p = 4 , donde 4 (factor) es la combinación ₄ C ₃ =4, la probabilidad de éxito

elevado a la 3 ya que se esperara 3 caras y =q, ya que 4-3=1. El resultado de esta

operación es 0.2500, resultado que es la probabilidad de que sucedan 3 caras al lanzar cuatro monedas, con p=1/2 y q=1/2 al tratarse de monedas normales.

Considere para esto que la distribución en estudio tiene las siguientes características.

-Hay n ensayos repetidos y n es fija. Para el caso de los 4 lanzamientos n=4 (proceso con remplazo)

-Cada lanzamiento de la moneda es independiente o sea lo que suceda con el primer lanzamiento no influye en el o los siguientes

-Para el caso de la moneda solo hay dos resultados probables (Cara o Sello).

-La probabilidad es contante para cada posibilidad (P=1/2).

-Si cae cara no puede caer sello (son excluyentes estos resultados).

-La P=P(C)=1/2 y la probabilidad de que no caiga o que caiga sello es q=q (S)=1/2 o sea p+q=1

-P, permanece constante para la n ensayos y es la probabilidad de éxito o de lo que deseamos que suceda.

-X es el número de éxitos o aquellos resultados que esperamos que suceda (x≤n)

Ejemplos:

1) El último sondeo político nacional indica que la probabilidad de que ciudadanos elegidos al azar sean conservadores es de 0.55; de que sean liberales 0.30 y de que estén entre una y otra orientación es 0.15. Suponga que estas probabilidades son exactas y responda las siguientes preguntas referidas a 10 ciudadanos seleccionados al azar. (Resuelva con la formula y la tabla de probabilidades)

a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro sean liberales?

b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos uno sea conservador?

c) ¿cuál es la probabilidad de que no más de 3 sean de uno u otro partido?

d) cuando el numero de ensayos ( n) es grande se hace tedioso el proceso de calculo

2) Encuentre la media o valor esperado y la desviación estándar con los datos siguientes:

a) n =15, P=0.20; b) n= 8, P=0.42; n=642, p= .21.

3.- si x es una variable aleatoria con una distribución Binomial, con p = 0.2 y n = 4, calcular las probabilidades de cada uno de los valores de x, su E(x) y desviación estándar. Haga la gráfica de esta distribución.

4) si en el ejercicio anterior (2), n cambia para que sea igual a 5, 10, 15 y 20, que observa usted en la forma que toman estas gráficas. (Usar la tabla de probabilidad)

5.- De un lote de alimentos enlatados se extraen 5 piezas (latas) con producto alimenticio, se drena cada lata y luego se pesa para ver si cumplen con las especificaciones de peso que se describe en cada lata (contenido en gramos). Se sabe por experiencia que el 6% de estos productos vienen por debajo de dichas especificaciones. Calcular la probabilidad de que a lo más dos latas este por debajo de las especificaciones.

6) Previa encuesta a 1000 personas en donde se le pregunta su preferencia o no sobre un artículo de limpieza, 350 de las personas contestaron afirmativo (que prefieren el artículo promocionado).

Hallar E(x) y la desviación estándar. Dentro de que límites puede esperarse se encuentre el valor de E(x), considerando para esto ± 1σ.

7) En cierto curso se distribuye un examen de opción múltiple con 10 preguntas, para aprobarlo se requiere responder al menos 7 de las preguntas.

Si se supone que está adivinando en cada pregunta la respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen si:

a) Cada pregunta tiene tres respuestas opcionales?

b) Cada pregunta tiene cuatro respuestas opcionales?

8) Para el ejercicio 7, calcular la probabilidad de que se apruebe el examen si se considera que las cinco primeras preguntas tienen tres respuestas opcionales y que las restantes cinco, tiene cuatro:

-Para x=7, una forma de aprobar el examen, p(X=7):

5C5. 5C2 (1/3)⁵(2/3)˚(1/4)²(3/4)³ +5C₄. 5C₃ (1/3)⁴(2/3)(1/4)³(3/4)² +

5C2₃. 5C₄ (1/3)³(2/3)²(1/4)⁴(3/4) +5C₂. 5C₅ (1/3)²(2/3)³(1/4)⁵(3/4)˚=0.00742.

-Para X=8, otra forma de aprobar el examen, p(X=8):

5C5. 5C₃ (1/3)⁵(2/3)˚(1/4)³(3/4)² +5C₄. 5C₄ (1/3)⁴(2/3)(1/4)⁴(3/4) +

5C₃. 5C₅ (1/3)³(2/3)²(1/4)⁵(3/4)˚ =0.00112.

Calcular para p(X=9) y p(X=10), sumar p (x≥7) que será la solución final.

9) Diga para cuales de los siguientes problemas, la distribución Binomial es apropiada.

a) Determinar la probabilidad de que un agente de ventas lleve a cabo 2 ventas en 5 entrevistas, si la probabilidad es 0.25 de que el agente lleve a cabo una entrevista determinada.

b) Obtener la probabilidad de que al menos una de 10 máquinas de ensamble se descomponga durante un determinado día, sabiendo que la probabilidad de que una máquina se descomponga en un día es de 0.10.

c) El número de accidente de trabajo es tres por semana, en promedio. cuál es la probabilidad de que en una semana no se presenten accidentes.

d) Determinación de la probabilidad de que el rendimiento de gasolina de un auto nuevo exceda las 25 millas por galón si se sabe que el rendimiento promedio es 28.

e) El número de radios defectuosos en un lote de 100 radios.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA:

Esta distribución indica el número de experimentos o ensayos que deben hacerse para lograr un primer resultado exitoso y se basa en experimentos Bernoulli, como la distribución Binomial.

Aquí se consideran que las repeticiones son independientes.

Si sucede el evento exitoso A, P(A)=p, en caso de no suceder A, (Ā), P (Ā)=1-q.

Se repite el experimento hasta que sucede por primera vez. (Aquí marca la diferencia con la distribución Binomial).

La variable X, se define como el número de repeticiones necesarias hasta incluir el primer éxito o que suceda A, por lo que toma valores de X=1, 2, 3,…..

Por lo que la probabilidad se describe p(X=x) =

La media (µ), Varianza (V(X) o σ² y desviación estándar (σ), se define como:

Media=µ=1/p; V(X)=q/p² y σ=√ σ².

Nota: Esta distribución es como ya se dijo, una variable Binomial y toma el nombre especial de distribución Geométrica cuando k=1, por lo que se fundamenta en la distribución Binomial negativa, la cual tiene como función de probabilidad

.

La grafica a continuación representa la distribución Geométrica cuan p=0.30 y X toma valores mayores que cero éxitos, ya que se desea el logro del primer éxito en alguna etapa de experimento.

Ejemplos:

1) En un diagrama de árbol y por inducción llegue a la determinación de la distribución

geométrica p(X=x) = describiendo el proceso y sus conclusiones.

2) Cuando se graba un comercial en televisión, la persona tiene la probabilidad de 0.30 de que diga sus líneas de corrido en una toma cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se someta a esta acción lea sus líneas de corrido por primera vez en el cuarto intento? ¿Cuál es la probabilidad de que lea de corrido por primera vez en el sexto intento o toma?

3) Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?

4) Del salón de clase el 40% de los estudiantes generalmente participan en el curso (clase, hacen la tarea alusivo al tema que se ve o pasa al pizarrón), calcular probabilidad de que al seleccionar un estudiante en la cuarta ocasión sea el primero que extraemos y que participa en el curso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el que participa se extraiga en la segunda ocasión. (Represente en un diagrama de árbol este proceso y los cálculos correspondientes)

5) Una máquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si los productos

tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquina

encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un

producto para su inspección.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA:

Hasta ahora hemos analizado distribuciones que modelizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie de extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o selección, o bien la consideración de una población muy grande. Sin embargo si la población es pequeña y las extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes. En ese caso las distribuciones anteriores no nos servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con probabilidades no constantes (sin re emplazamiento).La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes características:

El proceso consta de n pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de N pruebas posibles.

Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A. En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q; con p + q=l.

Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A (A) varían en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados anteriores.

FORMULA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: p=(X=x)=h(x: N, n, k)=

K=Elementos que tienen la característica A, o sea que tienen las características de interés de estudio.X= Éxitos que se desean de los elementos que tienen las características A.N= Tamaño de la población total y contiene elementos con las características de A y de no A, o sea Ā.N-k= Elementos que tienen las características de Ā o sea no contienen elementos con las características de A. n=Tamaño de la muestra y puede contener elementos de A o Ā.n- x=Tamaño de la muestra a la cual se le resta x, número de éxitos deseados.

Parámetros de la distribución Hipergeométrica: N, n, p.

Ejemplos:1) Como parte de un estudio sobre contaminación del aire, un inspector decide examinar la emisión de gases de 6 de los 24 camiones de carga de cierta compañía. Si 4 de los camiones de la compañía emiten cantidades excesivas de contaminantes, a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos sea incluido en la muestra del inspector? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estén en la muestra?Sol: a) k=4; X=0 (ninguno); N=24; N-k=24-4; n=6.

H (x; n, N, k)=h(x; 6,24,4)=4C0. 24-4C6-0/24C6=0.2880.

b) h(x>1; 6, 24, 4)= 4C0. 24-4C6-0/24C6 + 4C1. 24-4C6-1/24C6.

Este resultado se le resta a 1y se tiene la solución???.

2) Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra al azar de 2 calculadoras portátiles de 18 unidades que llega y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de funcionamiento; en caso contrario, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al distribuidor. ¿Cuáles son las probabilidades de que este lote sea aceptado sin mayor inspección si contiene:

a) 4 calculadoras que no están en buenas condiciones de funcionamiento? B) 8 calculadoras que están en malas condiciones de funcionamiento? C) 12 calculadoras que no se encuentran en buenas condiciones de funcionamiento.3) Un cargamento de 80 alarmas contra robo contiene 4 que están defectuosas. Si se seleccionan al azar 3 de estas y se envían a un cliente, determine la probabilidad de que este reciba exactamente una unidad defectuosa. Haga los cálculos mediante a) la distribución hipergeométrica, b) mediante la fórmula de la distribución Binomial.

4) Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?

Sol: a) 1-h(x=0; 3, 15, 6) ó h(x=1,2,3; 3,15,6)

 

315

0936

315

1926

315

29163321C

C*C

C

C*C

C

C*C)n;tabletasó,x(p

 

815380455

371

455

20135216

455

120

455

915

455

366.

))(())(())((

  p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico).

b)      p(no sea arrestado por posesión de narcóticos): Sol. h(x=0; 3, 15, 6)= 0.184615.

5) a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

Sol: a) N = 9 total de estudiantes, k = 4 estudiantes menores de edad, n = 5 identificaciones seleccionadas, x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad, x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad 

2380950

126

10352

59

3524.

))((

C

C*C)n,x(p

  Sol: b) N = 9 total de estudiantes, a = 4 estudiantes menores de edad, n = 5 identificaciones seleccionadas, x = 2, variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad (todos los valores que puede tomar x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad)  

126

10654115210

59

352445145504 ))(())(())((

C

C*CC*CC*C)n;,,x(p

 

642860

126

81

126

60201.

4. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación?

Media y varianza de la distribución hipergeométrica.

µ=n k/N, σ² = nk(N-k)(N-n)/N²(N-1).

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON.

Esta distribución de probabilidad recibe el nombre en honor al gran matemático Francés, Siméon Denis Poisson, 1781-1840.

Formula de la distribución o función de distribución poisson:

P(x=k, λ)= .

λ= n p= µ; a la media de la distribución Binomial. (Igual a la media o promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo, área o volumen. l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.

Parámetro de la distribución: λ (lambda).

X= éxitos deseados que ocurran en el intervalo dado o una región especifica (área o volumen)

Base e=2.7182818 (e= es la base de los logaritmos naturales y su valor aquí es aproximado).

X!= factorial de X; n!=n(n-1)(n-2)….1.0.

P (x=k)= Probabilidad de x ocurrencias en determinado intervalo.

Se aproxima a la distribución Binomial cuando el valor de n (numero de ensayos) es grande, (n≥100 y np≤10) ó n→∞) y p→0; Se hace tedioso el proceso de cálculo de la Binomial cuando n es grande.

Ejemplos de aplicación:

- La variable aleatoria discreta aquí estudiada, es útil cuando tratamos con la cantidad de ocurrencias en un evento a lo largo de un intervalo de tiempo (llamadas que llegan en 10, 30, 60 minutos a un conmutador), área (semillas que no germinaron en cada 10 metros cuadrados), artículos con defectos (manchas 0 algún defecto con que salen los carros nuevos al salir del proceso de pintura).

+ La llegada de automóviles a un establecimiento de lavado.

+El número de personas que llega a un banco a solicitar un servicio.

+ La llegada de carros a una caseta de pago de cuota o a un cajero automático.

Debe cumplirse para aplicar esta distribución las siguientes condiciones:

+ La probabilidad de ocurrencia del evento es la misma en cada intervalo de igual longitud.

+ La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no de cualquier otro. (Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado)

En un intervalo de tiempo se considera que solo un resultado sucede, la probabilidad de que sucedan más de uno es despreciable.

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:

Aplicar la fórmula de probabilidad de Poisson en los siguientes problemas: Los cálculos para encontrar probabilidades puede hacerse manual (con apoyo de una calculadora) y usando de tabla de probabilidades.

Ejemplos para el uso de la tabla:

- Para cada valor de λ=9.5 y λ=6.5 hallar p (x≤3); P (x≥2); P(x=6). Con la fórmula y con apoyo de la tabla de probabilidades.

TABLA (resumen)

λ

6.5 9.1 9.2 …….. 9.5 …………

X

0 0.0015 0.0001 0.0001 0.0001……

1 0.0113 0.0010 0.0009 0.0007…….

2 0.0430 0.0046 0.0043 0.0034……

3 0.1118 0.0140 0.0131 …………. 0.0107…….

4 0.2237 0.0319 0.0302 ……… 0.0254…….

1.- Comparación de las probabilidades entre la distribución Binomial y Poisson, con n=100 y p=0.05: b(X; n, p) y P(X; λ)

Valores X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B(X; 100,.05)

0.0059 0.0312 0.0812 0.1396 0.1781 0.1800 0.1500 0.1060 0.1649 0.0349 0.0167

P(X; λ=np=5)

0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

Ejemplos:

1) Suponga que estamos interesados en la cantidad de llegadas a la ventanilla de un cajero de un autobanco durante un periodo de 15 minutos en la mañana de los días hábiles. Para ello partimos de que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualesquiera de dos periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en cualquier periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada de cualquier otro. Con base en una muestra de datos históricos la cantidad de automóviles que llegan durante un intervalo de tiempo de 30 minutos, es 6. Calcular a) la probabilidad de que lleguen 2 automóviles en los 30 minutos, b) la probabilidad de que no llegue ninguno en los 30 minutos. c) La probabilidad de que lleguen 2 o más automóviles en 15 minutos.

2) Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) dos

cheques en media jornada, c) que el número de cheques sea igual a su promedio diario, (x=l) d) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

 

Sol: Formula: P(x=k, λ)= .

a)      x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera y puede tomar todos los valores de 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.l = 6 cheques sin fondo que llegan en promedio por díae = 2.7183 (redondeado diezmilésima después del decimal)

p(x=k; l)= p(x=4; l = 6)= =0.13385.  

 b) dos cheques en media jornada:Aquí lamda se divide entre 2 por que el intervalo es medio día o sea λ/2=6/2=3 en medio día.

c) que el número de cheques sea igual a su promedio diario, (x=l=6)

d) X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = promedio diario por el número de días o sea 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos.

3) En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:a)      x = 1. Variable que nos define el número de imperfecciones por minuto

en la hojalata.l = 0.2 imperfecciones en promedio por minuto.

l= 0.2 x 3 = 0.6 por cada 3 minutos en la hojalata x 3 =0.6.

 b)      x = 2,3,…. variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata que se desean por cada 5 minutos l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata.

(Verificar resultado)

   c)      x = 0,1. Variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

4) En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas. Hallar para cada inciso:

a) ¿La probabilidad de que no halla visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de dos o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? c) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? d) ¿La probabilidad de cinco o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto?

5) Los carros nuevos que salen del servicio de pintura se inspeccionan antes de salir al mercado, en algunos casos salen con defectos (manchas), estos defectos se observan y numeran del 0 al 4 o mayor. Se inspecciona una muestra de 500 carros recién pintados y se observa que el promedio de manchas es 0.5 por cada uno. Determine cuantos carros salen del servicio de pintura a) para disponerse al mercado, b) Cuántos se esperan que salieran con 2 o más manchas.

Problemas varios de distribuciones de probabilidad discretas.

Seleccione la distribución de probabilidad más apropiada y haga los cálculos solicitados:

1.-El enlatado de sopas se cambia de crema de espárragos a crema de champiñones. No obstante, 5 latas se etiquetaron como crema de espárragos antes de darse cuenta de que las etiquetas no habían sido cambiadas. Estas 5 primeras latas se mezclan con otras de crema de espárragos y se empacan en una caja de 12 latas. Si 4 de las latas de la caja se seleccionan aleatoriamente, ¿cual es la probabilidad de que exactamente una contenga crema de

champiñones? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos contengan crema de champiñones?

2.- Cada llamada que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene probabilidad de 0.002 de que la línea esté ocupada y que cada llamada son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar 30 veces para que entre la primera llamada?

3.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 40%. Si 15 personas contraen la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) al menos 10 personas sobrevivan?

b) Sobrevivan desde 3 hasta 8 personas?

c) sobrevivan exactamente 5 personas?

4.- De un lote de alimentos enlatados se extraen 5 piezas (latas) con producto alimenticio, se drena cada lata y luego se pesa para ver si cumplen con las especificaciones de peso que se describe en cada lata (contenido en gramos). Se sabe por experiencia que el 6% de estos productos vienen por debajo de dichas especificaciones, a) Diga porque se debe aplicar la distribución Binomial, b) Calcular la probabilidad de que a lo más dos latas este por debajo de las especificaciones, c) Determine la distribución de probabilidad y haga la grafica de la misma, d) Calcular el valor esperado y la desviación estándar, representándola en la grafica anterior y rayando la zona µ±σ. 5.- Previa encuesta a 1000 personas en donde se le pregunta su preferencia o no sobre un artículo de limpieza, 350 de las personas contestaron afirmativo (que prefieren el artículo promocionado), a) Puede aplicarse la distribución Binomial, sí o no y porque, b) Hallar E(x) y la desviación estándar. Dentro de que límites puede esperarse se encuentre el valor de E(x), considerando para esto ± 1σ.

3.-El enlatado de sopas se cambia de crema de espárragos a crema de champiñones. No obstante, 5 latas se etiquetaron como crema de espárragos antes de darse cuenta de que las etiquetas no habían sido cambiadas. Estas 5 primeras latas se mezclan con otras de crema de espárragos y se empacan en una caja de 12 latas. Si 4 de las latas de la caja se seleccionan aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente una contenga crema de champiñones? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos contengan crema de champiñones?

6.- Cada llamada que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene probabilidad de 0.002 de que la línea esté ocupada y que cada llamada son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar 30 veces para que entre la primera llamada?

7.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 40%. Si 15 personas contraen la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:a) al menos 10 personas sobrevivan?b) Sobrevivan desde 3 hasta 8 personas?

c) sobrevivan exactamente 5 personas?8) Un embarque de 100 unidades contiene 20 unidades defectuosas y 80 unidades no defectuosas. Como se puede apreciar.

9.-Un proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción de 2% de piezas defectuosas. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de 50 piezas. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas el proceso debe interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso será interrumpido por medio del esquema de muestreo indicado.

10.- Supóngase que los artículos que salen de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D) y no defectuosos (B). Se eligen al azar tres artículos 3 artículos de la producción de un día, los cuales se clasifican con este esquema, si S es el espacio muestral, determine los elementos de S. Si se supone con base a la experiencia que la probabilidad de un articulo defectuoso es 0.2,(p=0.2) y que cada resultado de la elección de un artículo es independiente. Supongamos también que esa probabilidad son iguales para cada artículo, a) Diga cuales son los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria X, si esta se define como, el número de artículos defectuosos encontrados? c) Diga porque debe aplicarse la distribución Binomial y determine la la distribución de probabilidad correspondiente? d) haga la grafica de esta distribución de probabilidad.

11.- Una fábrica produce diariamente diez recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay una probabilidad constante p=0.1 de producir un recipiente defectuoso. Antes de que estos depósitos se almacenen son inspeccionados y a los defectuosos se les aparta. Supóngase que hay una probabilidad constante r=0.1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado. Sea X igual al número de recipientes clasificados como defectuosos al termino de un día de producción (todos los recipientes producidos en un día se inspeccionan ese mismo día). A) calcular la probabilidad de hallar cuando mucho de 2 recipientes defectuosos. b) de hallar 4 recipientes defectuosos?

12.- Suponga que estamos interesados en la cantidad de llegadas a la ventanilla de un cajero de un autobanco durante un periodo de 15 minutos en la mañana de los días hábiles. Para ello partimos de que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualesquiera de dos periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en cualquier periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada de cualquier otro. Con base en una muestra de datos históricos la cantidad de automóviles que llegan durante un intervalo de tiempo de 30 minutos, es 6. Calcular a) la probabilidad de que lleguen 2 automóviles en los 30 minutos, b) la probabilidad de que no llegue ninguno en los 30 minutos. c) La probabilidad de que lleguen 2 o más automóviles en 15 minutos.

13.- En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas. Hallar para cada inciso:

a) ¿La probabilidad de que no haya visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de dos o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? c) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? d) ¿La probabilidad de cinco o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto?

14.- Se sabe que el 10% de cierta población es diabética. Si se selecciona al azar una muestra de 15 personas de esa población, hallar la distribución de probabilidad y graficarla. Determinar

E(x) y , así como determinar la porcino de población que se ubica a una desviación estándar

alrededor de la media.

15.- Un proceso de producción opera con salida de 2% de disconformes. Cada hora se toma una muestra de 50 unidades del producto y se cuenta el número de disconformes. Si se encuentra una o más unidades disconformes, el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme. Evalúe el desempeño de esta regla de decisión.

Distribución de probabilidad NORMAL.

EXAMEN UNIDAD 111. ESTADISTICA ADMVA 1. ( 4 JUNIO 09).

Alumno:---------------------------------------------------------------------------.

1.- El número de camiones que llegan por hora a un almacén sigue la distribución de probabilidad que se muestra a continuación. a) Verifique que es una distribución de probabilidad y diga porque, b) calcular el número esperado de llegadas por hora, c) hallar la desviación estándar y que significa. (Represente estos datos en una grafica)

Número de camiones (X) 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad. p(X) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

2.-El 20% de los tornillos que se fabrican con una máquina están defectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 tornillos elegidos al azar: a) Ningún tornillo esté defectuoso, b) Un

tornillo esté defectuoso, c) Más de un tornillo esté defectuoso.(use la tabla Bnomial para hallar las probabilidades solicitadas)

3.-En una empresa la cantidad promedio de llamadas que llegan a un conmutador entre las 2 y la 4 de la tarde es de 2.5 por minuto. Hallar la probabilidad de que en determinado minuto llegue más de una llamada. (Use la formula y la tabla de probabilidad de Poissón.

4.-Una persona, al solicitar trabajo en una región caracterizada como industrial y según información de un listado de 10 empresas posibles a visitar de las cuales 6 de estas empresas son clasificadas como primarias y el resto como secundarias: toma una muestra al azar de 4 de ellas para visitarlas . Cual es la probabilidad de que seleccione 2 de las clasificadas como primarias, b) cual es la probabilidad de que ninguna sea de las primarias

5.1 En un examen final de matemáticas la media fue de 72 y la desviación estándar fue de 15. A) Determine el valor de la variable estandarizada, Z. b) encontrar la calificación respectiva dado el valor de la variable estandarizada igual -1 (Z=-1).

5.2-La cantidad de horas por semana que los estudiantes de educación media ven televisión, se comporta como una distribución normal cuya media es 20.5 horas y cuya desviación estándar es 5.5 horas. A) Hallar el porcentaje (probabilidad) que ve televisión menos de 25 horas por semana. B) El porcentaje que ve televisión más de 30 horas. C) si la muestra de estudiantes encuestados fue de tamaño 10,000 cuantos jóvenes ven tv menos de 25 horas.(Representar estos dos resultados en una curva normal y sombrear el área solución)

EXAMEN 11, UNIDAD 111. EST. ADMVA 1 (8 JUNIO 09)

NOMBRE DEL ALUMNO:

1.- De un lote de alimentos enlatados se extraen 5 piezas (latas) con producto alimenticio, se drena cada lata y luego se pesa para ver si cumplen con las especificaciones de peso que se describe en cada lata (contenido en gramos). Se sabe por experiencia que el 6% de estos productos vienen por debajo de dichas especificaciones. Calcular la probabilidad de que a lo más dos latas este por debajo de las especificaciones.

2.- Suponga que estamos interesados en la cantidad de llegadas a la ventanilla de un cajero de un autobanco durante un periodo de 15 minutos en la mañana de los días hábiles. Para ello partimos que la probabilidad de que llegue un automóvil es la misma para cualesquiera dos periodos de tiempo de igual duración y que la llegada o no llegada de un automóvil en

cualquier periodo de tiempo es independiente de la llegada o no llegada de cualquier otro. Con base en una muestra de datos históricos la cantidad de automóviles que llegan durante un intervalo de tiempo de 15 minutos, es 4. Calcular a) la probabilidad de que lleguen 2 automóviles en los 15 minutos, b) la probabilidad de que no llegue ninguno.

3.-a) Si Z= -2.6, hallar la probabilidad P(Z<-2.6)

b) Hallar la probabilidad para P(-1.2 <Z<1)

4.-si x= 10, μ=14 y σ= 3, hallar la probabilidad p(x<10).

5.- KleerCo produce bombas al vacío para motores de carros, misma que funciona al mismo tiempo que el motor. Si una bomba falla antes de las 50,000 millas se reemplaza sin costo para el dueño del vehículo. La empresa fabricante asegura que la bomba dura un promedio de 63,000 millas con una desviación estándar de 10,000 millas. Se encontró que el número de millas que funciona una bomba antes de perder su eficacia tiene una distribución normal. a) que porcentaje de las bombas tendrá que reemplazarse sin costo para el cliente. B) que porcentaje de las bombas de la compañía fabricante fallará entre 40,000 y 55,000 millas.

(Para los problemas del 3 al 5, representen gráficamente(curva normal) los resultados obtenidos que dan solución a cada problema)

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COLIMA.

EXAMEN UNID. 111. SIST. Y COMP. (25, 11, 09).

NOMBRE DEL ALUMNO:____________________________________________________.

1.- El número de camiones que llegan por hora a un almacén sigue la distribución de probabilidad que se muestra a continuación. a) Verifique que es una distribución de probabilidad, b) calcular el número esperado de llegadas por hora, c) hallar la desviación estándar, d) represente el valor E(X) y una ±σ en la grafica de la distribución de probabilidad.Número de camiones (X) 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad. p(X) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

2.-Un proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción de 2% de piezas defectuosas. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de 50 piezas. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas el proceso debe interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso será interrumpido por medio del esquema de muestreo indicado.

3.- En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas. Hallar para cada inciso:

a) ¿La probabilidad de que no halla visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos?

4) a.-La resistencia al rompimiento ( En newtóns ) de una tela sintética, se distribuye normalmente con media 800 y desviación estándar de 12. El comprador de tela requiere que esta tenga una resistencia de por lo menos 772 newtóns. Se selecciona al azar una muestra de tela. Hallar la probabilidad de que satisfaga la resistencia del comprador. Dibuje la grafica respectiva y sombre el área de probabilidad buscada.

b.-Encontrar la probabilidad de P( 0.399 ≤ x ≤ 0.401), si μ= 0.4008 y σ=.0004. Represente esta probabilidad en una grafica y sombrear en la porción bajo la curva del área buscada.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COLIMA.

EXAMEN UNID. 111. SIST. Y COMP. (25, 11, 09).

NOMBRE DEL ALUMNO:____________________________________________________.

1.-Un proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción de 3 % de piezas defectuosas. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de 50 piezas. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas el proceso debe interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso no será interrumpido por medio del esquema de muestreo indicado.

2.- En un año más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en dos Países de alta infraestructura turística promedia aproximadamente siete visitas por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas. Hallar para cada inciso:

a) ¿La probabilidad de que no halla visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b) ¿La probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos?

3.- En un envió de 15 computadoras, 6 corresponden a la marca T10 y el restante a la marca T09. Se toma 3 computadoras al azar (las cajas donde se empaquetan son similares) y se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 2 sean de la marca T09?

4) a.-La resistencia al rompimiento ( En newtóns ) de una tela sintética, se distribuye normalmente con media 800 y desviación estándar de 12. El comprador de tela requiere que esta tenga una resistencia de por lo menos 772 newtóns. Se selecciona al azar una muestra de tela. Hallar la probabilidad de que no satisfaga la resistencia solicitada por el comprador. Dibuje la grafica respectiva y sombre el área bajo la curva de la probabilidad buscada.

b.-Encontrar la probabilidad de P( 180 ≤ x ≤ 220), si μ= 200 y σ=40. Represente esta probabilidad en una grafica y sombrear en la porción bajo la curva del área buscada.