PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICATRABAJO REALIZADO POR:REBECA

MIGONI ORTIZGRUPO:605

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones

abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas.

Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría

matemática.

Un CONJUNTO es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros

del conjunto.

Determinación de un ConjuntoExtensión

• Se escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y entre paréntesis de llaves.

• C = {norte, sur, este, oeste}

Comprensión

• Decimos que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo ellos.

• C = {x / x es un punto cardinal}• Y se lee de la siguiente manera: “C” es el conjunto de todos los elementos x, tal que

x es uno de los puntos cardinales.

Ejemplos:

• A = { x/x es una consonante}• B = { x/x es un número impar menor que 10}• C = { x/x es una letra de la palabra feliz}• Para definir un conjunto por compresión, es necesario saber algunos símbolos matemáticos:• 1. < “menor que”• 2. > “mayor que”• 3. / “tal que”• 4. ^ “y”

• Decimos que dos conjuntos son iguales, sólo si contienen los mismos objetos.

Ejemplo:

• A = { a, e, i, o, u }• A = { a, e, i, o, u, a}• C = {x / x es una vocal}• Como se puede ver, los tres conjuntos (A, B y C) son iguales, por lo que podemos darnos

cuenta que podemos describir un mismo conjunto de diferentes maneras.

Ejemplos por Extensión Ejemplos por Comprensión• A = { a, e, i, o, u} A = { x/x es una vocal }• B = { 1, 3, 5, 7, 9}B = { x/x es un número impar menor que 10 }• D = { f, e, l, i, z} D = { x/x es una letra de la palabra feliz }

Gráfica

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.• En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

• El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.• El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.• Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.• En estos ejemplos se escribe:• A = {1, 2, 3}• B = {a, b, c, d}

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

• Evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales.

• Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

• Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra.Ejemplo D: Que Juan Pérez pase todo el sábado en Aqualand. F: Que Juan Pérez pase ayudantía todo el sábado en la UPDS. Nota Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad de que la intersección es cero.

EVENTOS NO EXCLUYENTES ENTRE SÍ

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Estono indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.Ejemplo: De un grupo de 45 estudiantes Universitarios, 28 estudian inglés y 16 estudian francés, ademas de que 12 no estudian idiomas. Determine la probabilidad de que al entrevistar al azar a un alumno del grupo, éste estudie inglés y francés.Solución:Datos para el diagrama de Venn:

a) Número de estudiantes de ambos idiomas= Estudian Inglés + Estudian Francés + No estudian ni francés ni inglés – Total de estudiantes= 28 + 16 + 12 - 45 = 11

b) Número de estudiantes sólo de inglés:=Número de estudiantes de inglés - Estudiantes de ambos idiomas=28 - 11 = 17

c) Número de estudiantes sólo de francés:=Número de estudiantes de francés - Estudiantes de ambos idiomas=16 - 11 = 5d) El diagrama de Venn es el siguiente:

e) La Fórmula básica de la probabilidad es:

EVENTO DEPENDIENTE

Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo..Ejemplo: En un cesto hay 5 bolas blancas y 3 bolas verdes de las cuales se extraen una por una y sin reemplazo.Sean los eventos: E1: Que la primera bola extraída sea verde.E2: Que la segunda bola extraída sea verde. El E2 es dependiente. Si la 1ª es V:286,0722E

Un evento es dependiente cuando es consecutivo de otro y sin reemplazo.

EVENTO INDEPENDIENTE

Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento. Ejemplo E1: Que al lanzar una moneda salga sol. E2: Que al lanzar un dado salga 3. E3: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol.E1 y E2 son independientes.

E2 y E3 son independientes.

OPERACIONES CON CONJUNTOSUnión: La unión entre dos conjuntos es el conjuntos de todos los elementos del primero con todos los elementos del segundo.Es decir, si A y B son conjuntos, entonces la Unión entre A y B es el conjuntos de los elementos que están en A ó en B. (se escribe AUB).Ejemplo; si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = { 1, 3, 5, 7, 9}, entonces AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

Intersección: La intersección entre dos conjuntos es el conjuntos de sus elementos comunes.• Es decir, si A y B son conjuntos, entonces la intersección entre A y B es el

conjuntos de los elementos que están en A y en B. (se escribe • AΠB).• Ejemplo; si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = { 1, 3, 5, 7, 9}, entonces AΠB = {1, 3, 5}.

Complemento: El complemento de un conjunto, es el conjunto de los elementos que le faltan a ese conjunto y que están en el conjunto UNIVERSAL.• Es decir, si A es un conjuntos y U es el conjunto UNIVERSAL,

entonces el complemento de A es el cojunto de los elementos que están en U y que no están en A. (se escribe A')

• Ejemplo; si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} y U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces A' = {0, 7, 8, 9}.

Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos, es el conjunto de los elementos que están en el primero y que no están en el segundo.Es decir, si A y B son conjuntos, entonces la diferencia ente A y B es el conjunto de los elementos que están en A y que no están en B (se escribe A-B)Ejemplo; si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} y U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces A' = {0, 7, 8, 9}.Ejemplo; si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {0, 2, 4, 6, 8}, entonces A-B = {1, 3, 5}

TÉCNICAS DE CONTEO

Para determinar el espacio muestral o el tamaño del espacio muestral, es necesario desarrollar algunas técnicas de enumeración las cuales son:El Diagrama de ÁrbolAnálisis Combinatorio

DIAGRAMAS DE ÁRBOLLos diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicasde una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan unmétodo sistemático de enumeración objetiva de los resultados.

A continuación, se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a tres preguntas de Verdadero o Falso.Tenemos dos opciones posibles para cada pregunta, V o F el árbol presenta dos ramas en cadapregunta.1) La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor.a) V b) F2) G. Cantor es de origen francés.a ) V b) F3) La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística.a) V b) F

Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral.S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}

ANÁLISIS COMBINATORIO

Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puededisponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues amedida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizarotro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puedeocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que amboseventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?m = 5     n = 5Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.Sí importa el orden.No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.Sí se repiten los elementos.

5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.No se repiten los elementos.Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.Sí se repiten los elementos.

8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.No se repiten los elementos.

9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.No se repiten los elementos.

10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS

Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de nobjetos distintos tomados de n en n, es:

12.-Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía.

3P3 = 3! = 6 13.-Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité?

5P5 = 5! = 120 14.-Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis banderas al mismo tiempo?

6P6 = 6! = 720

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS.

Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados en grupos o subconjuntos de r elementos.

15.-Si de un estante tomamos 2 de 3 libros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse?

16.-¿Cuántas ternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra sólo puede utilizarse una sola vez?

17.Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas?

PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES

Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto. El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es:

18. ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU?

19. ¿Cuántos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizándolas todas, si son cuatro negras, tres verdes y tres rojas?

PERMUTACIONES CIRCULARES

Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos:

20. ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?

EJERCICIOS DE COMBINACIONES1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?No entran todos los elementos.No importa el orden: Juan, Ana.No se repiten los elementos.

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.

4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?No entran todos los elementos. Sólo elije 4..No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.Son , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

9. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.

11C4 = 330

10. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales? No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo.

7C3 = 35.

11. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa.a)¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin diferenciar el color?

12C5 = 792 b)¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado final tres dulces de menta y dos de fresa?

(8C3) (4C2) = (56)(6) =33612. Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?

Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los elementos no es importante.

13.Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?

14. De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. ¿De cuántas formas puede constituirse?

15. ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que

n = 9

r = 6

de manera que

16. ¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las

cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?

Hay 280 maneras de formas el comité.En problemas de composición el resultado final no depende de que se inicie el cálculo con la primerasubcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posiblespara presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto, de manera que:

17. Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. ¿De cuántas maneras puedehacerlo:a) en total;b) si las personas A y B no deben ir juntas;c) si las personas A y B no pueden ir por separado;d) si debe estar forzosamente la persona C

a) En este caso, al no estar condicionado, se tiene quen = 8r = 5de manera que:

b) Hay tres opciones: Una, que A no vaya mientras B sí, con lo cual es suficiente para que ambos noestén juntos; dos, que B no vaya mientras A sí; y tres, que ni A ni B vayan. Conviene entoncesanalizar caso por caso.I.- Cuando A no asiste y B sí: Si B sí asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar paracompletar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando aA (para garantizar que no asista) y a B (que ya está entre los asistentes).

II.- Cuando A sí asiste y B no: Es exactamente lo mismo que el caso anterior, por lo tanto hay15 maneras más.III.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,quitando a A y a B (para garantizar que no asistan):En este caso n = 6r = 5de manera que: En total resultan 15 + 15 + 6 = 36 formas.c) Hay dos opciones: Una, que A y B sí asistan; la otra, que ni A ni B vayan. Se analiza entonces casopor caso.I.- Cuando A y B sí asisten: Si A y B sí asisten quedan ya solamente 3 personas por invitar paracompletar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando aA y a B que ya están entre los asistentes:En este caso n = 6r = 3de manera que

II.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,quitando a A y a B (para garantizar que no asistan):En este caso n = 6r = 5de manera que:

En total resultan 20 + 6 = 26 formas.

d) Si C asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las siete que restan.En este caso n = 7r = 4de manera que:

18. Un grupo escolar consta de 16 alumnos. Es necesario formar simultáneamente 3 equipos con ellos, uno de 5 alumnos para ir a la Cruz Roja, otro de 3 alumnos para visitar el Hospital y el tercero de 2 alumnospara ir al Banco. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir?

19. Se reparten cinco cartas de una baraja corriente a un jugador. ¿De cuántas maneras le puede caer:a) un par;b) dos pares;c) una tercia;d) una corrida o escalera;e) una flor;f) un full;g) un póquer;h) una flor imperial;i) "pancha"?

NOTA: La baraja está formada como se muestra en lafigura 10. Vistas en sentido vertical se llaman figuras opalos; vistas en sentido horizontal se llaman valores. Cadafigura o palo consta de 13 valores, comenzando con el Asy terminando con el Rey . O sea que en total hay 13 × 4 == 52 cartas.

Las diferentes combinaciones que se pueden realizar con ellas se llaman juegos. Para que una combinación sea realmente un juego no debe tener intersecciones con otro juego ni ser un subconjunto deotro. Para efectos simplemente de comprensión de las soluciones propuestas es conveniente introducir unadefinición de cada uno de los juegos mencionados, en virtud de que suele suceder que cada jugador debaraja acostumbra tener sus propias reglas o sus propias definiciones de cada juego, asegurando cadauno que se juega como él lo sabe hacer. Debe quedar claro entonces que las siguientes definiciones seaceptan rigurosamente para efectos de los cálculos que se explicarán en este curso, no como definiciones universales del juego de la baraja, pues eso abriría la puerta a la polémica.UN PAR: Cuando se tienen 2 cartas del mismo valor y las otras 3 diferentes entre sí y diferentes alpar.DOS PARES: Cuando se tienen 2 cartas del mismo valor y diferentes a todas las demás, otras 2 delmismo valor y diferentes a las demás y la quinta carta diferente a las demás.TERCIA: Cuando se tienen 3 cartas del mismo valor y las otras 2 diferentes entre sí y diferentes alas de la tercia.CORRIDA O ESCALERA: Cuando se tienen 5 cartas de valores consecutivos, a condición de queno sean las 5 del mismo palo.FLOR: Cuando se tienen las 5 cartas del mismo palo o figura, a condición de que no sean consecutivas.FULL: Cuando se tiene una tercia y un par.PÓQUER: Cuando se tienen 4 cartas del mismo valor y, por consecuencia, la otra diferente.FLOR IMPERIAL: Cuando se tienen las 5 cartas del mismo palo y además consecutivas en valor.PANCHA O PACHUCA: Cuando no se tiene ninguna de las combinaciones anteriores.Un procedimiento muy conveniente es comenzar a calcular un caso particular y luego generalizarlo.Esto es lo que se irá haciendo en cada inciso.

Solución: a) UN PAR: Para hacer un par determinado (caso particular), por ejemplo de Ases, hay 4 cartas delas que deben seleccionarse dos. En este caso se tiene quen = 4r = 2de manera que hay maneras diferentes de hacer un par de Ases. Pero el problema no pide que sea par de Ases, sino un par cualquiera, el cual puede ser de doses, de treses, de cuatros, de cincos, etc. Entonces, generalizando a un par cualquiera: formas de hacer un par con apenas dos cartas recibidas.

Hasta aquí van dos cartas; las otras tres deben ser diferentes al par recibido para que no se forme ni tercia ni póquer y, además, diferentes entre sí para que el juego recibido no se convierta en dos pares o en full. Para asegurar que la tercera carta no sea delmismo valor que del par que ya se tiene, deben excluirse del mazo las cuatro cartas (en elsentido horizontal de la figura 10) de ese valor. Por ejemplo, si el par es de Ases , deben"sacarse" del mazo los cuatro Ases para seleccionar la tercera carta, como se muestra enla figura 11.

Quedan entonces 12 × 4 = 48 cartas. La tercera carta debe ser una cualquiera de esas 48cartas. Una vez repartida, debe repetirse elproceso anterior, es decir, deben sacarse delmazo ahora las cuatro cartas del mismo valorde esa tercera carta para asegurar que no vayaa completarse otro par, o hasta tercia, con lacuarta y quinta cartas.

De manera que la cuarta carta debe ser una cualquiera de las 44 cartas que quedaron y la quinta debe ser una de las 40 restantes. Reuniendo finalmente todos estos elementos se llega a que un par cualquiera se puede obtenerDe

La división entre 3! es para quitar las repeticiones que se forman con las cartas tercera, cuarta yquinta. Supóngase que, entre los trece posibles, el par cualquiera sea de qüinas (Q). Ver figura 12, ambosincisos.

Al multiplicar por 48 se establece que la tercera carta es una cualquiera de esas 48 restantes.

Esa "cualquier carta" puede ser, en algunos casos, la que para otros casos sea la cuarta carta o la quinta, por ejemplo, el 7 de diamantes, pero también puede ser el 4 de picas (ver figura 12, incisos a y b) .

Al multiplicar por 44 se establece también que la cuarta carta es una cualquiera de las 44 restantes. Esa "cualquier" carta puede ser, por ejemplo, el As de picas, pero también puede ser el 7 de diamantes (ver figura 12, incisos a y b) .Finalmente, al multiplicar por 40 se establece también que la quinta carta es una cualquiera de las 40 que restantes. Esa "cualquier" carta puede ser, por ejemplo, el 4 de picas, pero también puede ser el As de picas (ver figura 12, incisos a y b).Si se observa en la figura 12, las dos manos son exactamente la misma, solamente en diferente orden las cartas. A esas repeticiones, que en total son 6, son a las que se refiere el denominador 3! que las elimina.

b) DOS PARES: Con las primeras dos cartas, un par cualquiera se puede hacer de

Para asegurar que el siguiente par no sea del mismo valor que del par que ya se tiene, debenexcluirse del mazo las cuatro cartas (en el sentido horizontal de la figura 10) de ese valor. Porejemplo, si el par es de Ases, deben "sacarse" del mazo los cuatro Ases antes de seleccionar elsegundo par, como se ve en la figura 11.Entonces, el segundo par cualquiera se puede hacer de

Una vez sacadas también del mazo las cuatro cartas del valor del segundo par, la quinta carta puedeser una cualquiera de las 44 restantes. De manera que en total, dos pares cualesquiera se puedenhacer de

Igual que en el inciso anterior, se divide entre 2! para quitar las repeticiones que se forman con losdos pares cualquiera, como se muestra en la figura 13.

c) UNA TERCIA: Con las primeras tres cartas, una tercia cualquiera (sin tomar en cuenta todavía ala cuarta ni a la quinta cartas) se puede hacer de

La cuarta carta debe escogerse de entre las 48 que quedan después de eliminar las cuatro del mismovalor de la tercia hecha (para asegurarse que ni con la cuarta ni con la quinta cartas se complete elpoker; luego, la quinta carta debe escogerse de entre las 44 que quedan después de eliminar lascuatro del mismo valor de la cuarta carta (para asegurarse que no se haga un par). Como en los casosanteriores, se divide entre 2! ya que con la cuarta y la quinta cartas hay repeticiones porque ambasson "una carta cualquiera" de las que van quedando.Entonces, una tercia cualquiera se puede hacer de

Es interesante hacer notar que el orden en que se realicen los cálculos no modifica el resultado final.Es decir, se puede comenzar por calcular una carta que no pertenezca a la tercia, luego la tercia yal final la quinta carta.En ese orden, el cálculo correspondiente es

igual que en la forma anterior.d) UNA CORRIDA O ESCALERA: Consiste entener cinco cartas de valores consecutivos, porejemplo 2, 3, 4, 5, 6, ó también 8, 9, 10, J, Q,a condición de que no sean todas de la mismafigura porque entonces a eso se le llama florimperial. El As puede ir antes del 2 haciendolas veces del número 1 (para formar la corridaA, 2, 3, 4, 5) o después del K (para formar lacorrida 10, J, Q, K, A).La primera corrida posible es la que va del Asal número 5, como lo muestra la figura 14. Debe seleccionarse entoncesun As de entre los cuatro que existen; un 2 de entre los cuatro que existen; un 3 de entre los cuatro que existen; un 4de entre los cuatro que existen y un 5 de entrelos cuatro que existen. Solamente que allí estánincluidas 4 flores imperiales, por lo que deben restarse, o sea:

e) UNA FLOR: consiste en tener una mano con todaslas cartas de la misma figura (juego vertical), a condición de que no formen corrida porque se vuelve florimperial, como se muestra en la figura 15.Entonces una flor en particular, por ejemplo, de tré-boles, se puede hacer escogiendo cinco cartas de entrelas trece de la misma figura (ver figura 15 en sentidovertical) y restando luego las 10 corridas posibles:

Pero como hay cuatro figuras con cada una de lascuales se puede repetir lo anterior, entonces el númeroTotal de flores que se pueden obtener es

f) UN FULL: Consiste en una tercia y un par. El númerode formas en que se puede hacer una tercia cualquieraEsy un par cualquiera, una vez hecha la tercia, es de

de manera que el full se puede hacer de

g) UN PÓQUER: Consiste en tener las cuatro cartas de un mismo valor. El número de formas con lascuatro primeras cartas en que le pueden caer cuatro cartas del mismo valor, por ejemplo, los cuatroReyes (caso particular) es pero como hay trece valores diferentes en total son (generalizando) La quinta carta debe ser una de las 48 restantes, de manera que finalmente, el número 4 4 13× Cde maneras en que le puede salir un póker es

h) UNA FLOR IMPERIAL: Consiste en tener las cinco cartas de la misma figura y además corridas.Por lo que ya se vio, son 10 × 4 = 40.

i) UNA PANCHA: Es la ausencia de cualquier juego anterior, o sea, es “no tener nada”, aunquerealmente sí es una combinación. Para calcularla, hay que garantizar primero que no caiga ningúnjuego horizontal, es decir, ni un par, ni dos pares, ni tercia, ni full ni póquer. La primera carta es unacualquiera de las 52 que hay en el mazo, o sea ; la segunda carta es una cualquiera de las 52 1 C = 5248 que restan en el mazo luego de quitar todas las del mismo valor a la carta anterior para asegurarque no caiga par, o sea ; la tercera carta es una cualquiera de las 44 que restan en el mazo 48 1 C = 48luego de quitar todas las del mismo valor a la carta anterior para asegurar que no caiga un par, o sea; la cuarta carta es una cualquiera de las 40 que restan en el mazo luego de quitar todas 44 1 C = 44las del mismo valor a la carta anterior para asegurar que no caiga par, o sea ; y la quinta 40 1 C = 40carta es una cualquiera de las 36 que restan en el mazo luego de quitar todas las del mismo valor ala carta anterior para asegurar que no caiga par. Multiplicándolas resulta

Se divide entre 5! por la misma razón que se hizo cuando se calculó un par, dos pares y tercia,para quitar las repeticiones. Solamente que en el cálculo anterior están incluidos todavía los juegosverticales, es decir, en esas 1 317 888 están incluidas las corridas, las flores y las flores imperiales,por lo que deben restarse.De manera que el número de formas de hacer una pancha es1 317 888 - 10 200 - 5 108 - 40 = 1 302 540 formas

COMPROBACIÓN: Sumando todos los juegos anteriormente calculados, resulta 1 098 240 un par+ 123 552 dos pares+ 54 912 una tercia+ 10 200 una corrida+ 5 108 una flor+ 624 póker+ 3 744 un full+ 40 una flor imperial+ 1 302 540 una panchatotal: 2 598 960que es lo mismo que calculado por combinaciones:

20.Un estudiante debe responder 10 preguntas de un cuestionario que consta de 15 reactivos. ¿De cuántasmaneras puede hacerlo si debe contestar exactamente 3 preguntas de entre las primeras cinco?

por lo tanto, las siete que le faltan las debe seleccionar de entre las diez restantes, que son formas.

En total tiene

PROBABILIDAD CLÁSICA O DE LAPLACE (fines del siglo XVI)

Bajo este concepto definiremos la probabilidad de obtener un determinado resultado A, en un experimento aleatorio como la relación por cociente, entre el número de casos favorables a su ocurrencia, y el número de casos posibles.

Si representamos la probabilidad de ocurrencia del evento A, por P(A), se tendrá:

Esta es la definición clásica o apriori (antes de), es de aplicación fácil, pues no se necesita de ningún experimento para su cálculo, sino únicamente el conocimiento de las condiciones en que se realiza el experimento.

Se supone que todos los resultados posibles son conocidos, y que todos tienen la

misma probabilidad de ocurrir.

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

Si una urna contiene 10 esferas blancas, 15 azules y 5 rojas, la probabilidad de extraer al azar una esfera blanca, es:

Esta probabilidad se basa en razonamientos abstractos y no depende de la experiencia, lo cual permite estimar probabilidades sin realizar una gran cantidad de experimentos.

PROBABILIDAD FRECUENTISTA O DE VON MISES (frecuencias relativas 1957) La probabilidad experimental de que ocurra un evento es la frecuencia relativa observada con que ocurre ese evento. Si un experimento se realiza n veces, bajo las mismas condiciones y si ocurren n(A) resultados favorables al evento A, el valor estimado de la probabilidad de que ocurra A como resultado de la experimentación, puede determinarse de la manera siguiente:

Donde n(A) es el número de veces que se observó realmente el evento A, y n es el número de veces que se efectuó el experimento. La probabilidad estimada, obtenida en esta forma, se denomina probabilidad experimental.

A medida que aumenta el número de ensayos o experimentos, la probabilidad estimada de que ocurra un evento, que se obtiene a través de la frecuencia relativa, se va acercando al valor apriori.

Por medio del enfoque de frecuencias relativas, la probabilidad se determina sobre la base de la proporción de veces que ocurre un resultado favorable, en un número de observaciones o experimentos. No hay supuesto previo de iguales probabilidades.

De 70 alumnos que se inscribieron al curso de probabilidad y estadística en el semestre anterior. 15 no lo terminaron, 20 obtuvieron una calificación de NA y el resto lo aprobaron, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno acredite la materia?

PROBABILIDAD SUBJETIVA (1969)

La probabilidad estimada mediante los enfoques clásicos y experimental, son completamente objetivos, ya que se determinan con base en hechos reales.En cambio, en algunos casos se presentan situaciones en las cuales no es posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables.

En estas condiciones, la probabilidad de ocurrencia de un evento debe evaluarse en forma subjetiva.

Tales apreciaciones suelen ser de criterio personal, y por lo tanto, dos personas pueden cuantificar en forma diferente, la probabilidad subjetiva del mismo evento.

Podemos entonces considerar la probabilidad subjetiva como la evaluación personal de la ocurrencia de un evento incierto, que se hace con base en criterios o experiencias sobre casos semejantes.