estadistica y prob
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1 Ing. William León Velásquez [email protected] Uno de los propósitos de la estad ístic a infer encia l es estimar las caract erí sticas pob lac ion ale s desc on ocidas, examinando la TEORÍA DEL MUESTREO n ormac n o ten a e una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra la cual debe ser representativa de la población objeto de estudi o. ING. WILLIAM LEON V. 2 Se deben seguir ciertos pro cedimientos de sele cci ón para asegurar de que las muestr as reflejen observaciones a la población de la que pro ceden , ya que solo se pueden TEORÍA DEL MUESTREO sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. ING. WILLIAM LEON V. 3 TEORÍA DEL MUESTREO Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa. Una muestra es un subcon jun to de observacion es seleccionadas de una DEFINICIÓN . ING. WILLIAM LEON V. 4 TEORÍA DEL MUESTREO Cuando nos interesa estudiar las caract erís ticas de pob lac iones grande s, se utilizan muestras por muchas razones; Una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser econó micamen te MUESTRAS AL EAT ORIAS imposib le, o no se cuenta con el ti empo suficiente. ING. WILLIAM LEON V. 5 TEORÍA DEL MUESTREO A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos: 1. Política . Las muestras de las opiniones de lo s vo tantes se us an para que lo s candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones. MUEST RAS AL EATORIAS . . calificaciones de los exámenes de est udi antes se usan par a det erminar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza. 3. Industria . Mues tras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. ING. WILLIAM LEON V. 6 TEORÍA DEL MUESTREO
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es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos
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1Ing. William Len [email protected]
Uno de los propsitos de laestadstica inferencial es estimarlas caractersticas poblacionalesdesconocidas, examinando lai f i b id d
TEORA DEL MUESTREO
informacin obtenida de unamuestra, de una poblacin.
El punto de inters es la muestra,la cual debe ser representativa dela poblacin objeto de estudio.
ING. WILLIAM LEON V. 2
Se deben seguir ciertosprocedimientos de seleccin paraasegurar de que las muestras reflejenobservaciones a la poblacin de laque proceden, ya que solo se puedenhacer observaciones probabilsticas
TEORA DEL MUESTREO
hacer observaciones probabilsticassobre una poblacin cuando se usanmuestras representativas de lamisma.
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TEORADEL
MUESTREO
Una poblacin est formada por latotalidad de las observaciones en lascuales se tiene cierto observa.
Una muestra es un subconjunto deobservaciones seleccionadas de unapoblacin
DEFINICIN
poblacin.
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TEORADEL
MUESTREO
Cuando nos interesa estudiar lascaractersticas de poblaciones grandes, seutilizan muestras por muchas razones;
Una enumeracin completa de la poblacin,llamada censo, puede ser econmicamente
MUESTRAS ALEATORIAS
imposible, o no se cuenta con el tiemposuficiente.
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TEORADEL
MUESTREO
A continuacin se ver algunos usos delmuestreo en diversos campos:
1. Poltica. Las muestras de las opiniones delos votantes se usan para que loscandidatos midan la opinin pblica y elapoyo en las elecciones.
2 Educacin Las muestras de las
MUESTRAS ALEATORIAS
2. Educacin. Las muestras de lascalificaciones de los exmenes deestudiantes se usan para determinar laeficiencia de una tcnica o programa deenseanza.
3. Industria. Muestras de los productos deuna lnea de ensamble sirve para controlarla calidad.
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TEORADEL
MUESTREO
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24. Medicina. Muestras de medidas de azcar en lasangre de pacientes diabticos prueban la eficaciade una tcnica o de un frmaco nuevo.
5. Agricultura. Las muestras del maz cosechado enuna parcela proyectan en la produccin los efectosde un fertilizante nuevo.
MUESTRAS ALEATORIAS
de un fertilizante nuevo.6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los
votantes se usara para determinar los criterios delpblico sobre cuestiones relacionadas con elbienestar y la seguridad nacional.
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TEORADEL
MUESTREO
Cuando se utilizan valores muestrales, oestadsticos para estimar valorespoblacionales, o parmetros, puedenocurrir dos tipos generales de errores: elerror muestral y el error no muestral
ERRORES EN EL MUESTREO
error muestral y el error no muestral. El error muestral se refiere a la
variacin natural existente entre muestrastomadas de la misma poblacin.
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TEORADEL
MUESTREO
Cuando una muestra no es unacopia exacta de la poblacin; an sise ha tenido gran cuidado paraasegurar que dos muestras delmismo tamao sean representativasde una cierta poblacin no
ERRORES EN EL MUESTREO
de una cierta poblacin, noesperaramos que las dos seanidnticas en todos sus detalles.
El error muestral es un conceptoimportante que ayudar a entendermejor la naturaleza de la estadsticainferencial.
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TEORADEL
MUESTREO
Los errores no muestrales son loserrores que surgen al tomar lasmuestras por ejemplo: una malalectura de un instrumento, nopueden clasificarse como errores
ERRORES EN EL MUESTREO
pueden clasificarse como erroresmuestrales
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TEORADEL
MUESTREO
El sesgo de las muestras es un tipo de errorno muestral. El sesgo muestral se refiere auna tendencia sistemtica inherente a unmtodo de muestreo que da estimaciones deun parmetro que son, en promedio,
SESGO DE LAS MUESTRAS
un parmetro que son, en promedio,menores (sesgo negativo), o mayores (sesgopositivo) que el parmetro real.
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TEORADEL
MUESTREO
El sesgo muestral puedesuprimirse, o minimizarse,usando la aleatorizacin.
SESGO DE LAS MUESTRAS
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TEORADEL
MUESTREO
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3 La aleatorizacin se refiere a cualquierproceso de seleccin de una muestra dela poblacin en el que la seleccin esimparcial o no est sesgada;
Una muestra elegida con procedimientosaleatorios se llama muestra aleatoria
ALEATORIZACIN
aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos ms comunes de tcnicas de
muestreo aleatorios son el muestreoaleatorio simple, el muestreoestratificado, el muestreo porconglomerados y el muestreo sistemtico.
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TEORADEL
MUESTREO
Si una muestra aleatoria se elige de talforma que todos los elementos de lapoblacin tengan la misma probabilidadde ser seleccionados, la llamamosmuestra aleatoria simple
ALEATORIZACIN
muestra aleatoria simple.
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TEORADEL
MUESTREO
Ejemplo 1 Suponga que nos interesa elegir
una muestra aleatoria de 5estudiantes en un grupo deestadstica de 20 alumnos. 20C5da el nmero total de formas deelegir una muestra no ordenada yeste resultado es 15,504 manerasdiferentes de tomar la muestra
ALEATORIZACIN
diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos
separados de papel, una tareatremenda, luego los colocamosen un recipiente y despus losrevolvemos, entonces podremostener una muestra aleatoria de 5si seleccionamos un trozo depapel con cinco nombres.
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TEORADEL
MUESTREO
Un procedimiento ms simple para elegir una muestra aleatoria sera escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y despus extraer cinco papeles al mismo
ALEATORIZACIN
tiempo.
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MUESTREO
Otro mtodo parea obtener una muestraaleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20utiliza una tabla de nmeros aleatorios.
Se puede construir la tabla usando unacalculadora o una computadora. Tambin sepuede prescindir de estas y hacer la tablaescribiendo diez dgitos del 0 al 9 en tiras de
ALEATORIZACIN
escribiendo diez dgitos del 0 al 9 en tiras depapel, las colocamos en un recipiente y losrevolvemos, de ah, la primera tiraseleccionada determina el primer nmero dela tabla, se regresa al recipiente y despus derevolver otra vez se selecciona la seguida tiraque determina el segundo nmero de latabla; el proceso contina hasta obtener unatabla de dgitos aleatorios con tantosnmeros como se desee.
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TEORADEL
MUESTREO
Hay muchas situaciones en las cuales elmuestreo aleatorio simple es poco prctico,imposible o no deseado; aunque seradeseable usar muestras aleatorias simplespara las encuestas nacionales de opininsobre productos o sobre elecciones
ALEATORIZACIN
presidenciales, sera muy costoso o tardado.
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TEORADEL
MUESTREO
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4 El muestreo estratificado requiere deseparar a la poblacin segn gruposque no se traslapen llamadosestratos, y de elegir despus unamuestra aleatoria simple en cadaestrato La informacin de las
TIPOS DE MUESTREO
estrato. La informacin de lasmuestras aleatorias simples de cadaestrato constituira entonces unamuestra global.
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TEORADEL
MUESTREO
Ejemplo 2 Suponga que nos interesa
obtener una muestra de lasopiniones de los profesores deuna gran universidad. Puedeser difcil obtener una muestracon todos los profesores as
TIPOS DE MUESTREO
con todos los profesores, asque supongamos que elegimosuna muestra aleatoria de cadafacultad, o departamentoacadmico; los estratosvendran a ser las facultades, odepartamentos acadmicos.
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TEORADEL
MUESTREO
El muestreo por conglomeradosrequiere de elegir una muestraaleatoria simple de unidadesheterogneas entre s de lapoblacin llamadas conglomerados.C d l t d l bl i
TIPOS DE MUESTREO
Cada elemento de la poblacinpertenece exactamente a unconglomerado, y los elementosdentro de cada conglomerado sonusualmente heterogneos odismiles.
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TEORADEL
MUESTREO
Ejemplo 3 Suponga que una compaa de
servicio de televisin por cableest pensando en abrir unasucursal en una ciudad grande;la compaa planea realizar unestudio para determinar el
TIPOS DE MUESTREO
estudio para determinar elporcentaje de familias queutilizaran sus servicios, comono es prctico preguntar encada casa, la empresa decideseleccionar una parte de laciudad al azar, la cual forma unconglomerado.
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TEORADEL
MUESTREO
En el muestreo por conglomerados, stos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la poblacin; entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales
TIPOS DE MUESTREO
como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados.
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TEORADEL
MUESTREO
El muestreo sistemtico es una tcnicade muestreo que requiere de unaseleccin aleatoria inicial deobservaciones seguida de otra
l i d b i b id
TIPOS DE MUESTREO
seleccin de observaciones obtenidausando algn sistema o regla.
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TEORADEL
MUESTREO
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5Ejemplo 4 Para obtener una muestra de
suscriptores telefnicos en una ciudadgrande, puede obtenerse primero unamuestra aleatoria de los nmeros de laspginas del directorio telefnico; alelegir el vigsimo nombre de cadapgina obtendramos un muestreosistemtico, tambin podemos escogerun nombre de la primera pgina del
TIPOS DE MUESTREO
p p gdirectorio y despus seleccionar cadanombre del lugar nmero cien a partirdel ya seleccionado. Por ejemplo,podramos seleccionar un nmero alazar entre los primeros 100;supongamos que el elegido es el 40,entonces seleccionamos los nombres deldirectorio que corresponden a losnmeros 40, 140, 240, 340 y assucesivamente.
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TEORADEL
MUESTREO
Cualquier medida conlleva algn error. Si seusa la media para medir, estimar, la mediapoblacional , entonces la media muestral,como medida, conlleva algn error.
Por ejemplo, supongamos que se ha obtenidouna muestra aleatoria de tamao 25 deuna poblacin con media = 15: si la media
ERROR MUESTRAL
pde la muestra es x=12, entonces a ladiferencia observada x- = -3 se ledenomina el error muestral.
Una media muestral x puede pensarse comola suma de dos cantidades, la mediapoblacional y el error muestral; si e denotael error muestral, entonces:
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TEORADEL
MUESTREO
Ejemplo 5 Se toman muestras de tamao 2
de una poblacin consistente entres valores, 2, 4 y 6, para simularuna poblacin "grande" de maneraque el muestreo pueda realizarse
ERROR MUESTRAL
un gran nmero de veces,supondremos que ste se hace conreemplazo, es decir, el nmeroelegido se reemplaza antes deseleccionar el siguiente, adems,se seleccionan muestrasordenadas.
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TEORADEL
MUESTREO
En una muestra ordenada, el orden enque se seleccionan las observaciones esimportante, por tanto, la muestraordenada (2,4) es distinta de la muestraordenada (4,2). En la muestra (4,2), seseleccion primero 4 y despus 2.
La siguiente tabla contiene una lista de
ERROR MUESTRAL
gtodas las muestras ordenadas detamao 2 que es posible seleccionarcon reemplazo y tambin contiene lasmedias muestrales y loscorrespondientes errores muestrales.
La media poblacional es igual a= (2+4+6)/3 = 4.
.
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TEORADEL
MUESTREO
Ntese las interesantes relacionessiguientes contenidas en la tabla:
La media de la coleccin de mediasmuestrales es 4, la media de la poblacinde la que se extraen las muestras. Si xdenota la media de todas las medias
ERROR MUESTRAL
denota la media de todas las mediasmuestrales entonces tenemos:x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4La suma de los errores muestrales es cero.e1 + e2 + e3 + . . . + e9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0
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TEORADEL
MUESTREO
ERROR MUESTRAL
Error muestral e = x -
Muestras ordenadas
x
(2,2) 2 2 4 = -2(2,4) 3 3 4 = -1(2,6) 4 4 4 = 0
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(2,6) 4 4 4 0(4,2) 3 3 4 = -1(4,4) 4 4 4 = 0(4,6) 5 5 4 = 1(6,2) 4 4 4 = 0(6,4) 5 5 4 = 1(6,6) 6 6 4 = 2TEORA
DEL MUESTREO
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6 Las muestras aleatorias obtenidas de unapoblacin son, por naturaleza propia,impredecibles. No se esperara que dosmuestras aleatorias del mismo tamao ytomadas de la misma poblacin tenga lamisma media muestral o que seanmisma media muestral o que seancompletamente parecidas; puede esperarseque cualquier estadstico, como la mediamuestral, calculado a partir de las mediasen una muestra aleatoria, cambie su valorde una muestra a otra, por ello, se quiereestudiar la distribucin de todos losvalores posibles de un estadstico.
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TEORADEL
MUESTREO
Tales distribuciones sern muy importantes en el estudio de la estadstica inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harn usando estadsticas muestrales.
Como el anlisis de las distribucionesasociadas con los estadsticos muestrales,podremos juzgar la confiabilidad de unp j gestadstico muestral como un instrumento parahacer inferencias sobre un parmetropoblacional desconocido.
Como los valores de un estadstico, tal como x,varan de una muestra aleatoria a otra, se lepuede considerar como una variable aleatoriacon su correspondiente distribucin defrecuencias.
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TEORADEL
MUESTREO
La distribucin de frecuencia de unestadstico muestral se denominadistribucin muestral.
En general, la distribucin muestral deun estadstico es la de todos sus valoresposibles calculados a partir de muestrasdel mismo tamao.S h l i d Suponga que se han seleccionadomuestras aleatorias de tamao 20 enuna poblacin grande.
Se calcula la media muestral x para cadamuestra; la coleccin de todas estasmedias muestrales recibe el nombre dedistribucin muestral de medias, lo quese puede ilustrar en la siguiente figura:
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TEORADEL
MUESTREO ING. WILLIAM LEON V. 34
TEORADEL
MUESTREO
Suponga que se eligen muestras aleatorias detamao 20, de una poblacin grande, y secalcula la desviacin estndar de cada una.
La coleccin de todas estas desviacionesestndar muestrales se llama distribucin
muestral de la desviacin estndar, y lopodemos ver en la siguiente figura:
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TEORADEL
MUESTREO ING. WILLIAM LEON V. 36
TEORADEL
MUESTREO
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7 Ejemplo 6 Se eligen muestras ordenadas de tamao 2,
con reemplazo, de la poblacin de valores0, 2, 4 y 6. Encuentre:
, la media poblacional.la desviacin estndar poblacional, la desviacin estndar poblacional.
x, la media de la distribucin muestral demedias.
x, la desviacin estndar de ladistribucin muestral de medias.
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TEORADEL
MUESTREO
Adems, grafique las frecuencias para la poblacin y para la distribucin muestral de medias.
Solucin: La media poblacional es:
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TEORADEL
MUESTREO
b. La desviacin estndar de la poblacin es:
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c. A continuacin se listan loselementos de la distribucinmuestral de la media y lacorrespondiente distribucin defrecuencias.
TEORADEL
MUESTREO ING. WILLIAM LEON V. 40
TEORADEL
MUESTREO
La media de la distribucin muestral de medias es:
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TEORADEL
MUESTREO
d) La desviacin estndar de la distribucin muestral de medias es:
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De aqu que podamos deducir que
TEORADEL
MUESTREO
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8 Como para cualquier variablealeatoria, la distribucin muestral demedias tiene una media o valoresperado, una varianza y unadesviacin estndar, se pueded t l di t ib idemostrar que la distribucinmuestral de medias tiene una mediaigual a la media poblacional.
Esto es:
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TEORADEL
MUESTREO
Despus de haber realizado elejercicio anterior se puede ver queuna distribucin muestral se generaextrayendo todas las posiblesmuestras del mismo tamao de lapoblacin y calculndoles a stas supoblacin y calculndoles a stas suestadstico.
Si la poblacin de la que se extraenlas muestras es normal, ladistribucin muestral de medias sernormal sin importar el tamao de lamuestra.
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TEORADEL
MUESTREO
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TEORADEL
MUESTREO
Si la poblacin de donde se extraen las muestrasno es normal, entonces el tamao de la muestradebe ser mayor o igual a 30, para que ladistribucin muestral tenga una formaacampanada. Mientras mayor sea el tamao de lamuestra, ms cerca estar la distribucin muestral,de ser normal.
Para muchos propsitos, la aproximacin normalse considera buena si se cumple n=30. La forma dela distribucin muestral de medias seaaproximadamente normal, an en casos donde lapoblacin original es bimodal, es realmentenotable.
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TEORADEL
MUESTREO
Si se seleccionan muestras aleatoriasde n observaciones de una poblacincon media y desviacinestndar , entonces, cuando n esgrande, la distribucin muestral demedias tendr aproximadamente unamedias tendr aproximadamente unadistribucin normal con una mediaigual a y una desviacin estndarde . La aproximacin ser cadavez ms exacta a medida de que nsea cada vez mayor.
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TEORADEL
MUESTREO ING. WILLIAM LEON V. 48
TEORADEL
MUESTREO
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9EjemploPara la distribucin muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:
a) El error muestral de cada media b) La media de los errores muestralesb) La media de los errores muestrales c) La desviacin estndar de los errores
muestrales.
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TEORADEL
MUESTREO
Solucin:a) En la tabla siguiente se ven las muestras,
las medias de las muestras y los errores muestrales:
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TEORADEL
MUESTREO
Error muestral, e=x-Muestra x
(0,0) 0 0 - 3 = -3(0,2) 1 1 - 3 = -2(0 4) 2 2 3 1
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(0,4) 2 2 - 3 = -1(0,6) 3 3 3 = 0(2,0) 1 1 3 = -2(2,2) 2 2 3 = -1(2,4) 3 3 3 = 0(2,6) 4 4 3 = 1
TEORADEL
MUESTREO
Error muestral, e=x-Muestra x
(4,0) 2 2 3 = -1
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(4,2) 3 3 3 = 0(4,4) 4 4 3 = 1(4,6) 5 5 3 = 2(6,0) 3 3 3 = 0(6,2) 4 4 3 = 1(6,4) 5 5 3 = 2(6,6) 6 6 3 = 3TEORA
DEL MUESTREO
b. La media de los errores muestrales es e,es:
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TEORADEL
MUESTREO
c) La desviacin estndar de la distribucin de los errores muestrales e, es entonces:
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TEORADEL
MUESTREO
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La desviacin estndar de la distribucin muestral de un estadstico se conoce como error estndar del estadstico. Para el ejercicio anterior el error estndar de la media denotado por x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si deCon esto se puede demostrar que si de una poblacin se eligen muestras de tamao n con reemplazo, entonces el error estndar de la media es igual a la desviacin estndar de la distribucin de los errores muestrales
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TEORADEL
MUESTREO
En general se tiene: Cuando las muestras se toman de una
poblacin pequea y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar x .
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TEORADEL
MUESTREO
donde es la desviacin estndar de la poblacin
de donde se toman las muestras,n es el tamao de la muestra y N l d l bl iN el de la poblacin.
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TEORADEL
MUESTREO
Como regla de clculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamao de la poblacin es al menos 20 veces el tamao de la muestra (N20), entonces se puede usar la frmula.
El factor se denominafactor de correccin para una poblacin finita.
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TEORADEL
MUESTREO
Ejemplo: Suponga que la tabla siguiente
muestra la antigedad en aos en el trabajo de tres maestros universitarios de matemticas:universitarios de matemticas:
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TEORADEL
MUESTREO
Maestro de matemticas
Antigedad
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A 6B 4C 2
TEORADEL
MUESTREO
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Suponga adems que se seleccionanmuestras aleatorias de tamao 2 sinreemplazo.
Calcule la antigedad media para cadamuestra la media de la distribucin muestralmuestra, la media de la distribucin muestraly el error estndar, o la desviacin estndarde la distribucin muestral.
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TEORADEL
MUESTREO
Solucin: Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles.
La tabla lista todas las muestras posibles de tamao 2, con sus respectivas medias muestralesmuestrales.
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TEORADEL
MUESTREO
Muestras Antigedad Media Muestral
A,B (6,4) 5
A,C (6,2) 4
B,C (4,2) 3
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TEORADEL
MUESTREO
La desviacin estndar de la poblacin es:
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TEORADEL
MUESTREO
El error estndar o la desviacin estndar de la distribucin muestral es:
ING. WILLIAM LEON V. 65
TEORADEL
MUESTREO
Si utilizamos la frmula del error estndar sin el factor de correccin tendramos que:
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TEORADEL
MUESTREO
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Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de correccin obtendremos el valor correcto:
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TEORADEL
MUESTREO
Si recordamos a la distribucinnormal, esta es una distribucincontinua, en forma de campana endonde la media, la mediana y la modatienen un mismo valor y es simtrica.tienen un mismo valor y es simtrica.
ING. WILLIAM LEON V. 68
TEORADEL
MUESTREO
Con esta distribucin podamoscalcular la probabilidad de algnevento relacionado con la variablealeatoria, mediante la siguientefrmula:
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TEORADEL
MUESTREO
En donde z es una variableestandarizada con media igual a ceroy varianza igual a uno. Con estafrmula se pueden a hacer losclculos de probabilidad para
l i j i i ili d l blcualquier ejercicio, utilizando la tablade la distribucin z.
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TEORADEL
MUESTREO
Sabemos que cuando se extraenmuestras de tamao mayor a 30 obien de cualquier tamao de unapoblacin normal, la distribucinmuestral de medias tiene un
i i dcomportamiento aproximadamentenormal,
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TEORADEL
MUESTREO
por lo que se puede utilizar la formula dela distribucin normal con y ,entonces la frmula para calcular laprobabilidad del comportamiento delestadstico, en este caso la media de lamuestra , quedara de la siguiente manera
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TEORADEL
MUESTREO
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y para poblaciones finitas y muestrocon reemplazo:
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TEORADEL
MUESTREO
Ejemplo: Una empresa elctrica fabrica focos
que tienen una duracin que sedistribuye aproximadamente enforma normal, con media de 800horas y desviacin estndar de 40horas. Encuentre la probabilidad deque una muestra aleatoria de 16focos tenga una vida promedio demenos de 775 horas.
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TEORADEL
MUESTREO
Solucin:
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TEORADEL
MUESTREO
Este valor se busca en la tabla de z
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La interpretacin sera que laprobabilidad de que la media de lamuestra de 16 focos sea menor a775 horas es de 0.0062.
TEORADEL
MUESTREO
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