ProbabilidadProbabilidad Condicional y Bayes

Luis Alejandro Msmela CaitaUniversidad Distrital

lamasmela@gmail.com-lamasmelac@hotmail.com

Probabilidad Condicional e Independencia

Denicin 1 La probabilidad condicional de B dado A, denotado por P (BjA)se dene por

P (BjA) = P (A \B)P (A)

; donde P (A) > 0

Denicin 2 Dos eventos A y B son independientes si y solo si

P (BjA) = P (B) o P (AjB) = P (A)

proporcionando la existencia de las condicionales. En otro caso se dice que loseventos son dependientes.

Reglas Multiplicativas

Denicin 3 Si en un experimento los eventos A y B pueden ocurrir, entonces

P (A \B) = P (A)P (BjA); donde P (A) > 0

esta regla puede generalizarse a ms eventos, as, si en un experimento loseventos A, B y C pueden ocurrir, entonces

P (A \B \ C) = P (A)P (BjA)P (CjA \B):

Denicin 4 En el caso en que los eventos A y B pueden ocurrir y estos seanindependientes

P (A \B) = P (A)P (B)

generalizando a tres eventos, si en un experimento los eventos A, B y C puedenocurrir, entonces

P (A \B \ C) = P (A)P (B)P (C):

Teorema de Bayes

Teorema 5 Probabilidad Total.

Sea B1; B2; :::; Bn una particin sobre el espacio muestral y sea A un sucesocualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (AjBi), en-tonces la probabilidad del suceso A viene dada por la expresin:

P (A) =nXi=1

P (AjBi)P (Bi)

Teorema 6 Teorema de Bayes.

Sea B1; B2; :::; Bn una particin sobre el espacio muestral y sea A un sucesocualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (AjBi), en-tonces la probabilidad del suceso BrjA viene dada por la expresin:

P (BrjA) =P (Br \A)P (A)

=P (AjBr)P (Br)Pni=1 P (AjBi)P (Bi)

; para r = 1; 2; :::n

Aplicacin Teorema de Bayes. Tests Diagnsticos.

Es evidente que una buena prueba diagnstica es la que ofrece resultados pos-itivos en enfermos y negativos en sanos.

Condiciones que deben ser exigidas a un test o examen:

Validez: Es el grado en que un test mide lo que se supone que debe medir.Con que frecuencia el resultado del test es conrmado por procedimientosdiagnsticos ms complejos y rigurosos? La sensibilidad y la especicidad deun test son medidas de su validez.

Reproductividad: es la capacidad del test para ofrecer los mismos resulta-dos cuando se repite su aplicacin en circunstancias similares. La variabilidad

biolgica del hecho observado, la introducida por el propio observador y laderivada del propio test, determinan su reproductividad.

Seguridad: La seguridad viene determinada por el valor predictivo de un re-sultado positivo o negativo. Con que seguridad un test predecir la presenciao ausencia de enfermedad? Ante un resultado positivo de un test qu proba-bilidad existe de que este resultado indique presencia de la enfermedad?.

Relacin entre el resultado de una prueba diagnstica y la presencia oausencia de una enfermedad.

Los tests diagnsticos son una aplicacin del teorema de Bayes a la Medicina,y se basan en lo siguiente:

1. Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad, que tieneuna incidencia de la enfermedad en la poblacin (probabilidad de que laenfermedad la padezca una persona elegida al azar).

P (E) : probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona

elegida al azar.

2. Como ayuda al diagnstico de la enfermedad, se le hace pasar una serie depruebas (tests, examenes), que dan como resultado:

Positivo, T+, si la evidencia a favor de que el paciente est enfermoes alta en funcin de estas test o examenes;

Negativo, T, en caso contrario.

La validez de una prueba diagnstica: Sensibilidad y especicidad

Previamente, sobre el test diagnstico a utilizar, han debido ser estimadas lascantidades que permiten valorar la validez de una prueba diagnstica:

Sensibilidad: Es la probabilidad que el test de positivo dado que se sabe queuna persona padece la enfermedad, P

T+jE

. La sensibilidad es, por lo tanto,

la capacidad del test para detectar la enfermedad.

PT+jE

=PT+ \ E

P (E)

=V P

V P + FN

Especicidad: Es la probabilidad que el test de negativo dado que se sabeque una persona NO padece la enfermedad, P

TjE

. En otras palabras, se

puede denir la especicidad como la capacidad para detectar a los sanos.

PTjE

=PT \ E

PE = V N

FP + V N

La sensibilidad y especicidad se denominan tambin respectivamente tasade verdaderos positivos y tasa de verdaderos negativos.

La seguridad de una prueba diagnstica. Valores predictivos.

Lo que interesa saber en la prctica es, predecir si una persona est sana oenferma, a partir del resultado del examen o test diagnstico, es decir, lascantidades:

Indice predictivo positivo: Es la probabilidad de que un individuo est enfermodado que el test di resultado positivo, P

EjT+

:

PEjT+

=PT+ \ E

P (T+)

=V P

V P + FP

Indice predictivo negativo: Es la probabilidad de que un sujeto con un resul-

tado negativo en la prueba est realmente sano PEjT

.

PEjT

=PT \ E

P (T)

=V N

FN + V N

La inuencia de la prevalencia.

Prevalencia: En epidemiologa se denomina prevalencia a la proporcin deindividuos de un grupo o una poblacin que presentan una caracterstica oevento determinado en un momento o en un perodo determinado.

Hemos visto cmo los valores de sensibilidad y especicidad, a pesar dedenir completamente la validez de la prueba diagnstica, presentan ladesventaja de que no proporcionan informacin relevante a la hora detomar una decisin clnica ante un determinado resultado de la prueba. Sinembargo, tienen la ventaja adicional de que son propiedades intrnsecas ala prueba diagnstica, y denen su validez independientemente de cul seala prevalencia de la enfermedad en la poblacin a la cual se aplica.

Por el contrario, el concepto de valores predictivos, a pesar de ser de enormeutilidad a la hora de tomar decisiones clnicas y transmitir a los pacientesinformacin sobre su diagnstico, presenta la limitacin de que dependenen gran medida de lo frecuente que sea la enfermedad a diagnosticar enla poblacin objeto de estudio. Cuando la prevalencia de la enfermedad esbaja, un resultado negativo permitir descartar la enfermedad con mayorseguridad, siendo as el valor predictivo negativo mayor. Por el contrario,un resultado positivo no permitir conrmar el diagnstico, resultando enun bajo valor predictivo positivo.

Razones de probabilidad

ndices de valoracin que sean a la vez clnicamente tiles y no dependan dela prevalencia de la enfermedad en la poblacin a estudiar son necesarios. As,adems de los conceptos de sensibilidad, especicidad y valores predicitivos, sesuele hablar del concepto de razn de verosimilitudes, razn de probabilidad, ocociente de probabilidades. Estos miden cunto ms probable es un resultadoconcreto (positivo o negativo) segn la presencia o ausencia de enfermedad:

Razn de verosimilitudes positiva o cociente de probabilidades pos-itivo: se calcula dividiendo la probabilidad de un resultado positivo enlos pacientes enfermos entre la probabilidad de un resultado positivo entrelos sanos. Es, en denitiva, el cociente entre la fraccin de verdaderospositivos (sensibilidad) y la fraccin de falsos positivos (1especicidad):

RV+ =Sensibilidad

1 Especicidad

Razn de verosimilitudes negativa o cociente de probabilidades neg-ativo: se calcula dividiendo la probabilidad de un resultado negativo enpresencia de enfermedad entre la probabilidad de un resultado negativo enausencia de la misma. Se calcula por lo tanto, como el cociente entre lafraccin de falsos negativos (1sensibilidad) y la fraccin de verdaderosnegativos (especicidad):

RV = 1 SensibilidadEspecicidad

Exercise 7 Realice un anlisis de la informacin que se presenta en la tabla acontinuacin.

Resultados de la aplicacin del test de VIH en una poblacin de bajaprevalencia.

Exercise 8 Realice un anlisis de la informacin que se presenta en la tabla acontinuacin.

Resultados de la aplicacin del test de VIH en una poblacin de altaprevalencia.