Estadística y Prob - Semana 3

8/19/2019 Estadística y Prob - Semana 3

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ESTADÍSTICA IIng. Miguel Angel SevillanosDominguez

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MEDIDAS DE TENDENCIACENTRAL

Análisis estadísticos sencillos que se usanpara descriir características! o elementostípicos! de las in"ormaci#n que recogemoscon el $n de resumir los datos e indicarsimilitudes entre ellos que nos permitacomparar dos grupos de datos.

Son puntos en una distriuci#n otenida!los valores medios o centrales de ésta!% nos a%udan a uicarla dentro de la escalade medici#n.

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Medidas de Posición

Son aquellos valores numéricos que nos

permiten o bien dar alguna medida de

tendencia central, dividiendo el recorridode la variable en dos, o bien fragmentar la

cantidad de datos en partes iguales. Las

más usuales son la media, la mediana, lamoda, los cuartiles, quintiles, deciles y

percentiles. Pueden ser de dos tipos: de

tendencia central o de tipismo


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Este tipo de medidas nospermiten identi$car % uicar el

punto &valor' alrededor del cual setienden (a reunir los datos&)*unto central+'.

,-TA en las polaciones sedenominan parámetros % en las

muestras se les denomina

Medidas de Posición!


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Par"metros #estad$sticos

*arámetro Es una cantidad num/ricacalculada sore una polaci#n 0a altura media de los individuos de un país 0a idea es resumir toda la in"ormaci#n que (a% en

la polaci#n en unos pocos n1meros&parámetros'.

Estadístico Es una cantidad num/ricacalculada sore una muestra 0a altura media de los que estamos en este aula.

Somos una muestra &2representativa3' de la

polaci#n. Si un estadístico se usa para apro4imar un

parámetro tami/n se le suele llamar estimador.

,ormalmente nos interesa conocer un parámetro! peropor la di$cultad que conlleva estudiar a %T&DA% lapolaci#n! calculamos un estimador sore una muestra

)con$amos+ en ue sean r#4imos. Más adelante

'


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Medidas de TendenciaCentral

0as principales medidas detendencia central son tres

moda, mediana y media. El nivel de medici#n de lavariale determina cual es la

medida de tendencia centralapropiada para interpretar.

(


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Media

La idea de media o promedio (también llamada media aritmética)

formalia el concepto intuitivo de punto de equilibrio de lasobservaciones. !s decir, es el puntomedio del recorrido de la variable

seg"n la cantidad de valoresobtenidos.

)


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El c"lculo de la Media

Dado un conjunto de observaciones

la media se representa mediante y se obtiene dividiendola suma de todos los datos por el número de ellos, es decir:

La interpretación de la media como centro (o punto deequilibrio) de los datos se apoya en una propiedad queafirma que la suma de las desviaciones

de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero;es decir, puede probarse que

*


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Pro+iedades de la Media

Minimiza las desviaciones cuadráticas delos datos respecto de cualquier valorpre$7ado! esto es! el valor de

es mínimo cuando 89 . Este resultado seconoce como Teorema de :;nig. Estapropiedad permite interpretar uno de losparámetros de dispersi#n más

importantes la varianza. Se ve a"ectada por trans"ormaciones

a$nes &camios de origen % escala'! estoes! si

1-


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Pro+iedades de la Media

Es poco sensile a >uctuacionesmuestrales! por lo que es un parámetromu% 1til en in"erencia estadística.

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Inconvenientes de su ?so

Es una medida a cu%o signi$cado a"ectasoremanera la dispersi#n! de modo que cuantomenos (omog/neos sean los datos! menosin"ormaci#n proporciona. Dic(o de otro modo!polaciones mu% distintas en su composici#npueden tener la misma media. *or e7emplo! unequipo de aloncesto con cinco 7ugadores de igualestatura!

estatura media de

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Inconvenientes de su ?so

En el cálculo de la media no todos losvalores contriu%en de la misma manera.0os valores altos tienen más peso que los

valores cercanos a cero. *or e7emplo! en elcálculo del salario medio de un empresa!el salario de un alto directivo que gane


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La media aritmética de un con#unto de datos es el cociente entre la suma

de todos los datos y el n"mero de estos.

Ejemplo: las notas de $uan el a%o pasado fueron:

&, ', , , *, , '

La nota media de $uan es:

+ota media

que suman -

ay datos

1(

),&)

(-

)

'(*)('&==

++++++


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= G FH

= = FG F

G F F B =H G@ H FH =

B G G F FH G

FH F G@ H

F G GF F FG B F FG F F

G B = F F FH

F = B

E7emplo en una serie simple

0a tala muestran las edades de FBpersonas

9

1)


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Datos -rganizados en TalasSi está en intervalos usar como 4i lasmarcas de clase. Si no ignorar lacolumna de intervalosariable fr! fr! ac!

L" # L$ %$ n$ &$

L$ # L' %' n' &'

!!!

L$ # L % n &

n

1*

n

n x x

i ii∑=


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E7emplo para una serie dedatos % "recuencias

./edad

0

/0

GF < GF

G < GG@ = @B G =BB= HFGH H


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/álculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.

!#emplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:

0atos por frecuencias

1otal de datos

23. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y

se suman.

43. !l resultado se divide por el total de datos.

2-

2,&4&

245 6edia ==


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0a media en una serie declases % "recuencias

Pm PmG B G G!


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Mediana

0a mediana! a di"erencia de la media nousca el valor central del recorrido de lavariale seg1n la cantidad de

oservaciones! sino que usca determinarel valor que tiene aquella oservaci#n quedivide la cantidad de oservaciones en dosmitades iguales. *or lo tanto es necesario

atender a la ordenaci#n de los datos! %deido a ello! este cálculo depende de laposici#n relativa de los valores otenidos.Es necesario! antes que nada! ordenar los

datos de menor a ma%or &o viceversa'.

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Mediana

En un con7unto de datos num/ricosordenados en "orma creciente odecreciente! es el valor de la serie de

datos que se sit1a 7ustamente en elcentro de la muestra &un BL devalores son in"eriores % otro BL sonsuperiores'.

Si la muestra esta compuesta por unnumero impar de datos la mediana esel dato centralSi la muestra esta compuesta por un

numero par de datos la mediana es el

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Mediana +ara datos noA3ru+ados

*A

0a mediana está entre H % G.

IM*A

2!

di d


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Mediana +ara datosA3ru+ados

0a mediana se encuentra en el intervalodonde la "recuencia acumulada llega (astala mitad de la suma de las "recuencias

asolutas.Es decir tenemos que uscar el intervaloen el que se encuentre. N 4 2

Lue3o calculamos se35n la si3uienteórmula6

2'


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Donde

Li71 es el límite in"erior de la clasedonde se encuentra la mediana

N 4 2 es la semisuma de las"recuencias asolutas. 8i71 es la "recuencia acumulada

anterior a la clase mediana. $ es la "recuencia asoluta delintervalo mediano.

ti es la amplitud de los intervalos.

2(


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E7emplo

En la siguiente tala se muestran lasedades de un grupo de personas

Se calcula la Media =F!@G

Edad

Marca

clase.i

8recuencia

9

8recuencia

acumulada8iNBO


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0o primero que deemos (acer parapoder calcular la mediana esidenti$car la clase mediana. *ara

esto tenemos que uscar el intervaloen el que se encuentre. N 4 2en este caso N 4 2 : 1 4 2 < 1'='

2*


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A(ora deemos uscar el intervalo dondela "recuencia acumulada &Pi ' contenga elvalor otenido &


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A(ora reemplazamos los datos en laPormula

-

P i d d d l


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Pro+iedades de lamediana

Es menos sensile que la media aoscilaciones de los valores de lavariale. ?n error de transcripci#n en

la serie del e7emplo anterior en!pongamos por caso! el 1ltimo n1mero!de7a a la mediana inalterada.

Como se (a comentado! puedecalcularse para datos agrupados enintervalos! incluso cuando alguno de

ellos no está acotado.

1

P i d d d l


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Pro+iedades de lamediana

,o se ve a"ectada por la dispersi#n. De(ec(o! es más representativa que lamedia aritm/tica cuando la polaci#n es

astante (eterog/nea. Suele darse estacircunstancia cuando se resume lain"ormaci#n sore los salarios de un país ouna empresa. Ra% unos pocos salarios

mu% altos que elevan la media aritm/tica(aciendo que pierda representatividadrespecto al grueso de la polaci#n. Sin

emargo! alguien con el salario 6mediano6

2

I i t d l


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Inconvenientes de lamediana

Sus principales inconvenientes son que enel caso de datos agrupados en intervalos!su valor varía en "unci#n de la amplitud de

estos. *or otra parte! no se presta acálculos algeraicos tan ien como lamedia aritm/tica.


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Moda

0a moda es el dato más repetido! el valorde la variale con ma%or "recuenciaasoluta. En cierto sentido la de$nici#n

matemática corresponde con la locuci#n6estar de moda6! esto es! ser lo que másse lleva. Su cálculo es e4tremadamentesencillo! pues s#lo necesita un recuento.

En variales continuas! e4presadas enintervalos! e4iste el denominado intervalomodal o! en su de"ecto! si es necesario

otener un valor concreto de la variale!

!


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*or e7emplo! el n1mero de personas endistintos ve(ículos en una carretera OOGOFO@OOFO


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7na apater8a 9a vendido en una

semana los apatos que se refle#an en

la tabla:!#emplo.

La moda es

41.

!l n"mero de apato más

vendido, el dato con

mayor frecuencia

absoluta, es el 2.

Lo compran & personas

N? decal@ado * , !- !1 !2 ! !! !'

N? de+ersonas


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Moda +ara datosA3ru+ados

Se identi$ca el intervalo modal

EdadMarcaclase

/.i0

8recuen

cia /90

8recuencia

acumulada /80NBO


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Se reemplazan los datos de la "ormula

,


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Inconvenientes

Su valor es independiente de lama%or parte de los datos! lo que la(ace mu% sensile a variaciones

muestrales. *or otra parte! envariales agrupadas en intervalos! suvalor depende e4cesivamente del

n1mero de intervalos % de suamplitud. ?sa mu% pocas oservaciones! de tal

modo que grandes variaciones en los

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Inconvenientes

,o siempre se sit1a (acia el centrode la distriuci#n.

*uede (aer más de una moda en elcaso en que dos o más valores de lavariale presenten la misma"recuencia &distriuciones imodales

o multimodales'.

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