1ra unidad. prob y estad

INGENIERIA EN SISTEMAS INGENIERIA EN SISTEMAS

COMPUTACIONALES.COMPUTACIONALES.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

PRIMERA UNIDAD.

CURSO ENERO-JUNIO DEL 20012

Segundo Semestre

INGENIERIA SISTEMAS COMPUTACIONALES

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA SIERRA NEGRA DEINSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA SIERRA NEGRA DE AJALPANAJALPAN

TECNICAS DE CONTEOTECNICAS DE CONTEO

INTRODUCCION:INTRODUCCION:

Sample Space: The sent of all possible out-comes of an experiment is called the sample space. It is denoted by 'S' and its number of elements are n(s).

Example; In throwing a dice, the number that appears at top is any one of 1,2,3,4,5,6. So here:

S ={1,2,3,4,5,6} and n(s) = 6

Similarly in the case of a coin, S={Head,Tail} or {H,T} and n(s)=2.

The elements of the sample space are called sample point or event point.

Event: Every subset of a sample space is an event. It is denoted by 'E'.

Example: In throwing a dice S={1,2,3,4,5,6}, the appearance of an event number will be the event E={2,4,6}.

Clearly E is a sub set of S.

Simple event; An event, consisting of a single sample point is called a simple event.

Example: In throwing a dice, S={1,2,3,4,5,6}, so each of {1},{2},{3},{4},{5} and {6} are simple events.

Compound event: A subset of the sample space, which has more than on element is called a mixed event.

Example: In throwing a dice, the event of appearing of odd numbers is a compound event, because E={1,3,5} which has '3' elements.

Equally likely events: Events are said to be equally likely, if we have no reason to believe that one is more likely to occur than the other.

CONCEPTO:CONCEPTO: Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas paraLas técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.enumerar eventos difíciles de cuantificar. ””

Ing. José G. Rodríguez Curso 20012 Segundo Ssemestre -- -- 33 -- --




Se les denomina técnicas de conteo a las: Se les denomina técnicas de conteo a las:

Combinaciones, Permutaciones y diagrama de árbol.Combinaciones, Permutaciones y diagrama de árbol.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativoLas bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo. y el aditivo.

PREPOSICIONPREPOSICION

Si el primer elemento u objeto de un par ordenado puede ser seleccionadoSi el primer elemento u objeto de un par ordenado puede ser seleccionado de n1de n1 maneras o formas, y el segundo elemento del par puede ser seleccionado de N2maneras o formas, y el segundo elemento del par puede ser seleccionado de N2 maneras o formas.maneras o formas.Entonces el numero de pares es: N1N2 maneras o formas.Entonces el numero de pares es: N1N2 maneras o formas.

Principio AditivoPrincipio Aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para serSi se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, larealizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la última de las alternativassegunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabopuede ser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de :de :M + N + .........+ W maneras.M + N + .........+ W maneras.

EJEMPLO:EJEMPLO:

“ “Se desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puedeSe desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, LG y Mademsa, cuando acude a hacer laseleccionar de entre las marcas Whirpool, LG y Mademsa, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos decompra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automática ocarga ( 8 u 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, se presenta en tres tipos desemiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automática ocarga (8, 11 o 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca M, se presenta en solo un tipo de carga,semiautomática y la lavadora de la marca M, se presenta en solo un tipo de carga, queque es de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas manerases de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras existen de comprar una lavadora?”existen de comprar una lavadora?”

Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General

Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras





M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2 ) Juan Antonio desea ir a Puerto Escondido o a Huatulco en las próximas

vacaciones de verano, para ir a las Puerto Escondido él tiene tres medios de transporte para ir de México a Oaxaca y dos medios de transporte para ir de Oaxaca a Puerto Escondido, mientras que para ir de Oaxaca a Huatulco él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Juan Antonio de ir a Puerto Escondido o a Huatulco?, b) ¿Cuántas maneras tiene Juan Antonio de ir a Puerto Escondido o a Huatulco en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.

Solución: a) PE = maneras de ir a Puerto Escondido H = maneras de ir a Huatulco

PE = 3 x 2 = 6 maneras H = 3 x 4 = 12 maneras

PE + H = 6 + 12 = 18 maneras de ir a Puerto Escondido o a Huatulco b) PE = maneras de ir y regresar a las Puerto Escondido

H = maneras de ir y regresar a Huatulco PE = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras H = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras PE + H = 12 + 72 = 84 maneras de ir a Puerto Escondido o a Huatulco en

un viaje redondo





PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:

1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 2N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1





N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 2 x 2 x 1 = 8 maneras de construir la casa

2) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres

letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

Solución:

a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar

a. b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil

b. c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil

c. d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

3. ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis

dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

Solución:

a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos

b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

REALICE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.





PERMUTACIONESPERMUTACIONES.

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. En cambio para un solo conjunto de objetos las formulas desarrolladas para





permutaciones y combinaciones son más convenientes para contar el número de posibles arreglos.

Una permutación de un número de objetos es un arreglo de todas o una parte de los objetos en un orden definido.

a) Permutaciones lineales.

Permutaciones de diferentes objetos tomados todos a la vez. El total de permutaciones de un conjunto de objetos tomados todos a la vez, se obtiene razonando en forma similar del principio fundamental de contar.

NPn = n!

b) Permutaciones de objetos diferentes tomados parte al vez o de r en r.Una permutación de “n” objetos diferentes tomados de “r” en “r” es también una ordenación de “r” entre los “n “objetos.

NPr = n! (n-r)!

c) Permutaciones formado de gruposDe los que n1 son iguales, n2 son iguales, n3 son iguales, etc. Tomados todos a la vez.

n! . n1!n2!n3!

d) Permutación cíclica o alrededor de.Una permutación cíclica o alrededor de es una ordenación de “n” objetos de un circulo o cualquier otra curva simple cerrada en donde siempre uno de los objetos tiene una posición fija y se define por la siguiente expresión: P = (n-1)!

Hay dos tipos de permutacionesHay dos tipos de permutaciones: • Se permite repetir: como la clave de arriba, podría ser "OHD23HD3453".

• Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera.

No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición.

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas,las permutaciones posibles son:n × n × ... (r veces) = n r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, después hay n posibilidades

para la segunda elección, y así.)

n r

Donde: n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)





Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. Por ejemplo, ¿Cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16. ¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 • 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 • 1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

REALICE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS REALICE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PERMUTACIONESPERMUTACIONES 1. ¿De cuántas formas pueden 5 personas sentarse en un sofá si tiene solamente

tres asientos?

2. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 libros en un estante si (a) es posible cualquier ordenación, (b) 3 libros determinados deben estar juntos, (c) 2 libros determinados deben ocupar lo extremos?

3. ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3,…, 9 si (a ) los números deben ser impares, (b) las primeras dos cifras de cada número son pares?

4. Resolver el problema anterior si las cifres de los números pueden estar repetidas.





5. ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras pueden formarse con 3 cuatros, 4 doces y 2 treses?

6. ¿De cuántas formas pueden 3 hombres y 3 mujeres sentarse alrededor de una mesa Si.

a) No se impone ninguna restricción, b) Dos mujeres determinadas no deben sentarse juntas.c) Cada mujer debe sentarse entre dos hombres.

COMBINACIONESCOMBINACIONES

En muchos problemas nos interesamos en el número de formas de selecciona r

objetos de n sin importar el orden. Estas selecciones de llama

combinaciones. Una combinación es realmente una partición con dos celdas,

una celda contiene los r objetos seleccionados y la otra contiene los (n – r )

objetos restantes.

El número de tales combinaciones, denotado por:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Y si deseamos r = n entonces

Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos.

¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?


n C rn

n r r

C rn

P rn

rP rn C rn r

C nn

nn n n

n0 n

1




Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10:

Particiones Ordenadas.

La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas.Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:

Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones

1. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 6 preguntas de un total de 10?

2. ¿Cuántos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres?

3. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse 2 hombres,4 mujeres, 3 niños y 3 niñas con 6 hombres,8 mujeres, 4 niños y 5 niñas si (o) no s€ impone ninguna restricción, (b) deben seleccionarse un hombre y una mujer determinados?

4. ¿De cuántas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en (o) dos grupos de 7 y 3 personas, (b) tres grupos de 5, 3 y 2 personas?

5. Con 5 estadistas y 6 economistas quiere formarse un comité de 3 estadistas y 2 economistas. ¿Cuántos comités diferentes pueden formarse si (o) no se impone ninguna restricción, (b) dos estadistas determinados deben estar en el comité, (c) un economista determinado no debe estar en el comité?

6. Hallar el número de Combinaciones y Permutaciones de cuatro letras cada una que pueden formarse con las letras de la palabra Tennessee,


P x 1 , x 2 ... x kn

nx

1x

2... x

k




DIAGRAMASDIAGRAMAS DEDE ÁRBOLÁRBOL Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicasde una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.

Raiz Ramas

Se tienen en un estante 3 libros uno de Álgebra, otro de Contabilidad y otro de Biología. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?

C B

A

B C

A C

B

C AA B

C

B A





Problems based on fundamental principal of counting and permutations and combinations:

Q1. A bag contains ‘6’ red, 4 white and 8 blue balls. If three balls are drawn at random, find the probability, that

(i) ‘1’ is red and ‘2’ are white, (ii) ‘2’ are blue and 1 is red, (iii) none is red.

Sol.: We have to select ‘3’ balls, from 18 balls (6+4+8)

n(S) = 18C3 = 18! / (3! x 15!) = (18x17x16) / (3x2x1) = 816

(i) Let E1 = Event of getting ‘1’ ball is red and ‘2’ are white

Total number of ways = n(E1) = 6C1 x 4C2

= 6! / (1! x 5!) x 4! / (2! x 2!)

= 6 x 4 / 2

= 36

P (E1) = n (E1) / n(S) = 36/816 = 3/68

(ii) Let E2 = Event of getting ‘2’ balls are blue and ‘1’ is red.

= Total no. of ways n(E2) = 8C2 x 6C1

= 8! / (2! x 6!) x 6! / (1! x 5!)

= (8 x 7) / 2 x 6 / 1 = 168

P(E2) = 168 / 816 = 7/34

(iii) Let E3 = Event of getting ‘3’ non – red balls. So now we have to choose all the three balls from 4 white and 8 blue balls.

Total number of ways :

n(E3) = 12C3 = 12! / (3! x 9!) = (12x11x10) / (3x2x1) = 220

P(E3) = n(E3) / n(S) = 220 / 816 = 55/204

Q: A box contains 12 bulbs of which ‘4’ are defective. All bulbs took alike. Three bulbs are drawn randomly.





What is the probability that :

(i) all the ‘3’ bulbs are defective?

(ii) At least ‘2’ of the bulbs chosen are defective?

(iii) At most ‘2’ of the bulbs chosen are defective?

Sol.: We have to select ‘3’ bulbs from 12 bulbs.

n(S) = 12C3 = 12! / (3! x 9!) = (12x11x10) / (3x2x1) = 220

(i) Let E1 = All the ‘3’ bulbs are defective.

All bulbs have been chosen, from ‘4’ defective bulbs.

n(E1) = 4C3 = 4! / (3! x 1!) = 4

P(E1) = n(E1) / n(S) = 4 /220 = 1/55

(ii) Let E2 = Event drawing at least 2 defective bulbs. So here, we can get ‘2’ defective and 1 non-defective bulbs or 3 defective bulbs.

n(E2) = 4C2 x 8C1 + 4C3 [Non-defective bulbs = 8]

= 4! / (2! x 2!) x 8! / (1! x 7!) + 4! / (3! x 1!)

= 4x3 / 2 x 8/1 + 4/1 = 48+4

n(E2) = 52

P(E2) = n(E2) / n(S) = 52/220 = 13/55

(iii) Let E3 = Event of drawing at most ‘2’ defective bulbs. So here, we can get no defective bulbs or 1 is defective and ‘2’ is non-defective or ‘2’ defective bulbs.

n(E3) = 8C3 + 4C1 x 8C2 + 4C2 x 8C1

= 8? / (3? x 5?) + 4? / (1? x 3?) x 8? / (2? x 6?) + 4? / (2? x 2?) x 8? / (1? x 7?)

= (8x7x6) / (3x2x1) + 4 x (8x7)/2 + (4 x 3) / 2 + 8/1

= 216

P(E3) = n(E3) / n(S) = 216 / 220 = 54 / 55





Q: In a lottery of 50 tickets numbered from ‘1’ to ‘50’ two tickets are drawn simultaneously. Find the probability that:

(i) Both the tickets drawn have prime number on them,

(ii) None of the tickets drawn have a prime number on it.

Sol.: We want to select ‘2’ tickets from 50 tickets.

n(S) = 50C2 = 50? / (2? x 48?) = (50x49) / 2 = 1225

(i) Let E1 = Event that both the tickets have prime numbers Prime numbers between ‘1’ to ‘50’ are :

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

Total Numbers = 15.

We have to select ‘2’ numbers from these 15 numbers.

n(E1) = 15C2 = 15? / (2? x 13?) = (15x47) / 2 = 105

P(E1) = n(E1) / n(S) = 105/1225 = 21/245

(ii) Non prime numbers between ‘1’ to ‘50’ = 50-15 = 35

Let E2 = Event that both the tickets have non-prime numbers.

Now we have to select ‘2’ numbers, from ‘35’ numbers.

n(E2) = 35C2 = 35? / (2? x 33?) = (35x34) / 2 = 595

P(E2) = n(E2) / n(S) = 595 / 1225 = 17/35

Q.: A bag contains 30 tickets, numbered from ‘1’ to ‘30’. Five tickets are drawn at random and arranged in ascending order. Find the probability that the third number is 20.

Sol.: Total number of ways of selecting ‘5’ tickets from 30 tickets = 30C5

n(S) = 30C5 = 30? / (5? x 25?) = (30 x 29 x 28 x 27 x 26) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)

n(S) = 29 x 27 x 26 x 7

Suppose the ‘5’ tickets are a1, a2,20, a4, a5

They are arranged in ascending order.





a1, a2 {1, 2, 3, ------- , 19} and a4, a5 { 21, 22, 23, -----, 30}

We have to select ‘2’ tickets from first ‘19’ tickets and ‘2’ tickets from last 10 tickets.

n(E) = 19C2 x 10C2

= 19? / (2? x 17?) = 10? / (2? x 8?) = (19 x 18) / 2 = (10 x 9) / 2

= 19 x 9 x 5 x 9

P(E) = n(E) / n(S) = (19x9x5x9) / (29x27x26x7) = 285 / 5278

Odds is Favour and Odds against an Event:

Let ‘S” be the sample space and ‘E’ be an event. Let ‘E’ devotes the complement of event ‘E’, then.

(i) Odds in favour of event ‘E’ = n(E) / n(E1)

(ii) Odds in against of an event ‘E’ = n(E1) / n(E)

Note : Odds in favour of ‘E’ = n(E) / n(E1)

= [n(E) / n(S)] / [n(E1) / n(S)] = P(E) / P(E1)

Similarly odds in against of ‘E’ = P(E1) / P(E)

Ex.: The odds in favours of an event are 3:5 find the probability of the occurrence of this event.

Sol.: Let ‘E’ be an event.

Then odds in favour of E = n(E) / n(E1) = 3 / 5

n(E) = 3 and n(E1) = 5

Total number of out-comes n(S) = n(E) + n(E1) = 3+5 = 8

P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 8

Q.: If ‘12’ persons are seated at a round table, what is the probability that two particulars persons sit together?

Sol.: We have to arrange 12 persons along a round table.

So if ‘S” be the sample – space, then n(S) = (12-1)? = 11?

n(S) = 11?





Now we have to arrange the persons in away, such that ‘2’ particulars person sit together.

Regarding that 2 persons as one person, we have to arrange 11 persons.

Total no. of ways = (11-1)? = 10? ways.

That ‘2’ persons can be arranged among themselves in 2? ways.

So, total no. of ways, of arranging 12 persons, along a round table, so that two particular person sit together : = 10? x 2?

n(E) = 10? x 2?

P(E) = n(E) / n(S) = (10? x 2?) / 11? = 2 / 11

Q.: 6 boys and 6 girls sit in a row randomly, find the probability that all the ‘6’ girls sit together.

Sol.: We have to arrange ‘6’ boys and ‘6’ girls in a row.

n(S) = 12?

Now, we have to arrange ‘6’ girls in a way, such that all of them should sit together.

Regarding all the 6 girls as one person, we have to arrange 7 person in a row.

Total no. of ways = 7?

But 6 girls can be arranged among themselves in 6? ways.

n(E) = 7? x 6?

P(E) = n(E) / n(S) = (7? x 6?) / 12? = (6x5x4x3x2x1) / (12x11x10x9x8)

P(E) = 1 / 132

Q: If from a pack of ‘52’ playing cards one card is drawn at random, what is the probability that it is either a kind or a queen?

Sol.: n(S) = Total number of ways of selecting 1 card out of 52 cards.

= 52C1 = 52

n(E) = Total number of selections of a card, which is either a kind or a queen.

= 4C1 + 4C1 = 4 + 4 = 8





P(E) = n(E) / n(S) = 8 / 52 = 2 / 3

Q.: From a pack of 52 playing cards, three cards are drawn at random. Find the probability of drawing a king, a queen and a jack.

Sol.: Here n(S) = 52C3 = 52? / (3? x 49?) = (52x51x50) / (3x2x1)

= 52x17x25

n(E) = 4C1. 4C1. 4C1

= 4? / (1? x 3?) x 4? / (1? x 3?) = 4? / (1? x 3?)

n(E) = 4 x 4 x 4

P(E) = n(E) / n(S) = (4x4x4) / (52x17x25) = 16 / 5525


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