Prob Grupo 2

Enunciado 1

Altube y Vitoria son dos estaciones metereolgicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que P(A) = P(V) = 0, 40 y que P(AV) = 0, 28. Determnense las dos probabilidades condicionales P(A/V) y P(V/A), as como la probabilidad total P(AV). Son independientes A y V? Ver Solucin. Enunciado 2

Dados P(A) = a , P(B) = b y P(AB) = a.b, demustrese que

se factorizan en la forma indicada por la definicin general de independencia, es decir como producto de las probabilidades de los componentes de la combinacin.

Ver Solucin. Enunciado 3

Un mecanismo elctrico que contiene cuatro interruptores slo funciona cuando todos ellos estn cerrados. En sentido probabilstico, los interruptores son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Calclese la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas que pueden hacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores.


En un almacn se tiene que despachar 60 pedidos, y se sabe que 5 de ellos son de una cierta mercanca A. Si se cumplimentan los 60 pedidos al azar, cual es la probabilidad de que el primero y el cuarto pedido sean de la mercanca A y de que simultneamente no lo sean el segundo y el tercero?. Cual es la probabilidad de que en los cuatro primeros pedidos a cumplimentar haya al menos dos pedidos de la mercanca A?


Un lote de N objetos contiene k defectuosos, aunque la mayora, N-k, estn en buenas condiciones. Si se eligen al azar n objetos, cual es la probabilidad de que los primeros c objetos (c < k) sean defectuosos y el resto , n-c, no lo sean? Cual es la probabilidad total de que, de los n objetos elegidos al azar, c sean defectuosos?


Una experiencia puede dar k resultados posibles mutuamente excluyentes, R1, R2, , Rk cuyas probabilidades respectivas son p1, p2, , pk, siendo su probabilidad total igual a la unidad, es decir, p1 + p2 + + pk = l. Si se ejecutan N pruebas independientes de la experiencia, cul es la probabilidad de obtener exactamente n1 resultados del primer tipo, n2 del segundo,, y nk del k-simo, siendo n1 + n2 + + nk = l.= N?.


El informe de un ingeniero sobre las causas de avera en los calentadores de agua domsticos revel que el 90% de las averas se deban a uno de estos tres factores : escapes en las soldaduras, escapes en las juntas, o corrosin en puntos aislados, siendo las probabilidades respectivas de 0, 4 ; 0, 3 y 0, 2. Despreciando la posibilidad remota de que se produzcan averas simultneas, y suponiendo pruebas independientes, cual es la probabilidad de que una muestra aleatoria de cinco averas contenga dos casos de escapes en las soldaduras, dos de escapes en las juntas, uno de corrosin en un punto aislado y ninguno debido a otras causas?. Ver Solucin. Enunciado 8

La probabilidad de que un vendedor a domicilio consiga una venta en un solo intento es 1/6. Cual es la probabilidad de que consiga al menos una venta en los cinco intentos siguientes?Cual es la probabilidad de que consiga, en esos cinco intentos, cuatro o ms ventas?.


Tres personas, A, B, C, juegan lanzando una moneda cada una al dar una seal, y comparan los resultados. Gana el jugador cuya moneda cae en posicin distinta de la de los otros dos; si las tres monedas caen en la misma posicin, se repite el lanzamiento hasta que una sea diferente. Suponiendo que no se hacen trampas y que se usan monedas equilibradas, demustrese que todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar. Calclese la probabilidad de que, en una serie de seis partidas, C pierda, al menos cinco veces.


Tres urnas, U1 , U2 , U3 , contienen bolas blancas, negras y rojas en proporciones diferentes. U1 contiene una bola blanca, dos negras y tres rojas; U2 contiene dos bolas blancas, una negra y una roja, y U3 contiene cuatro bolas blancas, cinco negras y tres rojas. Sacamos dos bolas de una urna, sin saber de que urna son. Si resulta que una bola es blanca y la otra es roja, calclense las probabilidades respectivas de que la urna de la cual se han sacado las bolas sea la U1 , la U2 la U3.

Ver Solucin. PROBLEMAS

1. ltube y Vitoria son dos estaciones metereolgicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que P(A) = P(V) = 0, 40 y que P(AV) = 0, 28. Determnense las dos probabilidades condicionales P(A/V) y P(V/A), as como la probabilidad total P(AV). Son independientes A y V?

RESPUESTA 1.

Para obtener las probabilidades condicionadas aplicamos la expresin

P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B )

que en nuestro caso ser

Para obtener la probabilidad total consideramos

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)

con lo que resultar

P(AV) = P(A) + P(V) P(AV)= 0, 40 + 0, 40 - 0, 28 = 0, 52

Se dice que dos sucesos son independientes si su probabilidad compuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionales respectivas. La definicin formal de independencia de dos sucesos es que se cumpla

P(B/A) = P(B) ; P(A/B) = P(A)

Por consiguiente, teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se expresa :

P(ABCMN) =P(A)P(B/A)P(C/AB) P(N/ABCM)

podemos ver que en el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simtrica

P(AB) = P(A)P(B).

En nuestro caso resulta fcil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que se tiene :

P(A/V) P(A) ; P(V/A) P(V) P(AV)P(A)P(V)

2.-Dados P(A) = a , P(B) = b y P(AB) = a.b, demustrese que

se factorizan en la forma indicada por la definicin general de independencia, es decir como producto de las probabilidades de los componentes de la combinacin.

RESPUESTA 2.

Uno de los axiomas bsicos de la teora de la probabilidad enuncia : La probabilidad P(E) de un suceso E es un nmero real comprendido entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0 y la de un suceso seguro, l ; en general si para dos sucesos se tiene P(E1) + P(E2) = 1 , decimos que E1 y E2 son sucesos complementarios uno del otro. Tambin se dice que E1 y E2 son mutuamente excluyentes. Considerando lo dicho en el prrafo anterior, tenemos :

Pero el suceso A solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes : en conjuncin con B o en conjuncin con el complementario de B. Por tanto, tendremos segn el teorema que nos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes, y cuyo enunciado es :

Si A , B, , N son sucesos mutuamente excluyentes, entonces :

P(ABN) = P(A) + P(B) + + P(N)

y de esta expresin podemos deducir (siendo S el Suceso seguro) :

de donde, por sustitucin :

y anlogamente :

Finalmente, como los cuatro pares de sucesos son exhaustivos su probabilidad total es la unidad, y como son mutuamente excluyentes, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo :

y sustituyendo los valores conocidos

Este ltimo resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros, es decir:

El requisito de la factorizacin se satisface, por tanto, en todos los casos.3.-Un mecanismo elctrico que contiene cuatro interruptores slo funciona cuando todos ellos estn cerrados. En sentido probabilstico, los interruptores son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Calclese la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas que pueden hacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores.

RESPUESTA 3.

Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por el suceso complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos el axioma enunciado en el prob1ema anterior (propiedad 1) y tenemos :

Llamando S1 al suceso de que el interruptor 1 est cerrado y al suceso complementario (que est abierto), se sabe que , luego:

Y anlogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo funciona cuando los interruptores estn cerrados, y esto corresponde al suceso compuesto , luego :

Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes, tenemos :

y a partir de ah :

Esta es la forma ms sencilla de resolver el prob1ema, pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total :

La probabilidad P(ABN) es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso nico, parejas, ternas, , N-tuplas. El signo es positivo para las combinaciones de orden impar (suceso nico, ternas, ) y negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas, ).

Como el mecanismo no funcionar siempre que uno de los interruptores est abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto . Tenemos que usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes, y, por tanto , no son mutuamente excluyentes. Entonces, por el teorema enunciado anteriormente :

Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro temas y un cuarteto. Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes, y como stas son uniformes, podemos agrupar los trminos del mismo grado escribiendo :

P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 + 0,004 - 0,0001 = 0,3439

Vemos que, aunque este mtodo de solucin es mucho ms complicado que el primero y no es recomendable en una situacin en la que aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra el hecho general de que todos los mtodos que utilizan los principios matemticos adecuados de forma vlida, llevarn a los mismos resultados.4.- En un almacn se tiene que despachar 60 pedidos, y se sabe que 5 de ellos son de una cierta mercanca A. Si se cumplimentan los 60 pedidos al azar, cual es la probabilidad de que el primero y el cuarto pedido sean de la mercanca A y de que simultneamente no lo sean el segundo y el tercero?. Cual es la probabilidad de que en los cuatro primeros pedidos a cumplimentar haya al menos dos pedidos de la mercanca A?

RESPUESTA 4.Vamos a representar por A el suceso consistente en que un pedido determinado que se est despachando sea de la mercanca A, y por el suceso complementario consistente en que no sea de la mercanca A.

Como la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercanca determinada (sea A ) est influida por el nmero de pedidos de la misma clase que se hayan despachado antes, este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta, expresada en la Ley general de la probabilidad compuesta :

Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de 60 cartas, todas iguales , excepto que 5 de ellas estn sealadas con A y 55 sealadas con . La accin de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien barajado, de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las mismas probabilidades de ser elegidas.

El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercanca A y el segundo y tercero no , corresponde a sacar la sucesin de cartas A , , , A. Como hay 5 cartas sealadas con A, la probabilidad de que la primera carta sea una A es 5/60. En la segunda prueba hay 59 cartas en la baraja, y 55 de ellas estn sealadas con . Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una es 55/59. En la tercera prueba quedan 58 cartas, y 54 de ellas estn sealadas con . Luego, la probabilidad condicionada de que la tercera carta sea una es 54/58. Finalmente, en la cuarta prueba quedan 57 cartas, de las cuales 4 estn sealadas con A, luego la probabilidad de que la cuarta carta sea una A es 4/57. Por tanto, multiplicando estas probabilidades de acuerdo con el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, obtenemos

Si llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a cumplimentar sean de la mercanca A, su probabilidad es igual a , siendo el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la mercanca A, es decir, cero uno. Pero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de la mercanca A est dada por:

Como el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercanca A puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes, su probabilidad total es :

Por todo ello tendremos :

y la probabilidad buscada es :

5.- Un lote de N objetos contiene k defectuosos, aunque la mayora, N-k, estn en buenas condiciones. Si se eligen al azar n objetos, cual es la probabilidad de que los primeros c objetos (c < k) sean defectuosos y el resto , n-c, no lo sean? Cual es la probabilidad total de que, de los n objetos elegidos al azar, c sean defectuosos?Un lote de N objetos contiene k defectuosos, aunque la mayora, N-k, estn en buenas condiciones. Si se eligen al azar n objetos, cual es la probabilidad de que los primeros c objetos (c < k) sean defectuosos y el resto , n-c, no lo sean? Cual es la probabilidad total de que, de los n objetos elegidos al azar, c sean defectuosos?

RESPUESTA 5.

Los principios que intervienen en este problema son casi los mismos que los del ejemplo anterior. Segn el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, la probabilidad P(E) de obtener una sucesin de c objetos defectuosos seguida de n-c objetos en buenas condiciones viene dada por un producto de fracciones tales que cada numerador es igual al nmero de objetos de la clase correspondiente que se pueden elegir al ejecutar la prueba, y cada denominador es igual al correspondiente nmero total de todos los objetos que hay en ese momento. Luego :

Podemos expresar este resultado en forma ms compacta multiplicndolo y dividindolo por la cantidad :

con lo que obtenemos :

La probabilidad de obtener cualquier otra sucesin de c objetos defectuosos de un total de n pruebas se calculara de la misma forma. Los numeradores, como hemos observado en el problema anterior, contendran el mismo conjunto de factores, aunque en un orden diferente, y daran el mismo producto que en dicho caso; los denominadores no cambiaran, y, por tanto, su producto sera el mismo que en el caso anterior. Entonces, todas las sucesiones que contengan c objetos defectuosos de un total de n pruebas tienen la misma probabilidad que la dada por la ecuacin (*). El nmero S de sucesiones distintas que contienen exactamente c objetos defectuosos de un total de n es igual al nmero de permutaciones Pm(n; c, n-c) de n objetos tomados de n en n, siendo c objetos de una clase y el resto de otra; es decir:

La probabilidad total, P(c), de obtener exactamente c objetos defectuosos en un total de n pruebas es igual al nmero de sucesiones S multiplicado por su probabilidad comn, P(E), es decir:

Podemos reagrupar estos trminos para obtener una frmula mas elegante :

Expresin conocida con el nombre de ley hipergeomtrica de la probabilidad. 6.- Una experiencia puede dar k resultados posibles mutuamente excluyentes, R1, R2, , Rk cuyas probabilidades respectivas son p1, p2, , pk, siendo su probabilidad total igual a la unidad, es decir, p1 + p2 + + pk = l. Si se ejecutan N pruebas independientes de la experiencia, cul es la probabilidad de obtener exactamente n1 resultados del primer tipo, n2 del segundo,, y nk del k-simo, siendo n1 + n2 + + nk = N?.

RESPUESTA 6.

Como las pruebas son independientes, la probabilidad de obtener un resultado determinado cualquiera Ri en una prueba dada no est influida en absoluto por los resultados de otras pruebas. Por tanto, la probabilidad Ps de una sucesin determinada cualquiera de resultados es igual al producto de sus probabilidades incondicionales separadas y, por tanto,

El nmero S de sucesiones distintas que dan el nmero deseado de resultados de cada clase es igual a Pm(N ; n1, n2, , nk) y la probabilidad total P(n1, n2, , nk) viene dada por el producto S.Ps ;por consiguiente :

Esta expresin se conoce con el nombre de ley polinomial de la probabilidad. Esto procede del hecho de que el trmino general del desarrollo del polinomio (p1 + p2 + + pk)N viene dado por una expresin del mismo tipo que la (*). El caso especial con k = 2, que corresponde a dos alternativas (E, ), se conoce como ley binomial (le la probabilidad. Si tenemos en cuenta que n2 = N-n1 y que p2 = l-p1; obtenemos :

puesto que la frmula de las permutaciones para dos alternativas Pm(n , n1, n2) se reduce a la frmula de combinaciones C(N , n1 ). 7.-El informe de un ingeniero sobre las causas de avera en los calentadores de agua domsticos revel que el 90% de las averas se deban a uno de estos tres factores : escapes en las soldaduras, escapes en las juntas, o corrosin en puntos aislados, siendo las probabilidades respectivas de 0, 4 ; 0, 3 y 0, 2. Despreciando la posibilidad remota de que se produzcan averas simultneas, y suponiendo pruebas independientes, cual es la probabilidad de que una muestra aleatoria de cinco averas contenga dos casos de escapes en las soldaduras, dos de escapes en las juntas, uno de corrosin en un punto aislado y ninguno debido a otras causas?.

RESPUESTA 7.Aceptando la hiptesis de que las averas simultneas son despreciables, podemos considerar los diferentes tipos de averas como sucesos mutuamente excluyentes, e incluyendo la categora de "averas diversas", obtenemos un sistema exhaustivo. Por tanto, podemos aplicar directamente la ley polinomial de la probabilidad, y la solucin est dada por :

8.-La probabilidad de que un vendedor a domicilio consiga una venta en un solo intento es 1/6. Cual es la probabilidad de que consiga al menos una venta en los cinco intentos siguientes?Cual es la probabilidad de que consiga, en esos cinco intentos, cuatro o ms ventas?

RESPUESTA 8.Aunque puede no ser estrictamente cierto, vamos a suponer que un intento no afecta a otro, por lo que podemos aplicar la ley binomial de la probabilidad. Representando por P(S, R) la probabilidad de obtener exactamente S ventas y R negativas en S+R intentos, la probabilidad P(E) del suceso de que el vendedor consiga al menos una venta es igual a l-P( ), siendo el suceso complementario de que no consiga ninguna venta. En este caso tenemos S+R = 5, y es equivalente a (0, 5), luego :

y la probabilidad de conseguir al menos una venta es P(E) = 1 - P( ) = 0, 598 El suceso E' de conseguir cuatro o ms ventas se puede producir de dos maneras mutuamente excluyentes : consiguiendo exactamente cuatro ventas o consiguiendo exactamente cinco ventas. Luego:

9.- Tres personas, A, B, C, juegan lanzando una moneda cada una al dar una seal, y comparan los resultados. Gana el jugador cuya moneda cae en posicin distinta de la de los otros dos; si las tres monedas caen en la misma posicin, se repite el lanzamiento hasta que una sea diferente. Suponiendo que no se hacen trampas y que se usan monedas equilibradas, demustrese que todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar. Calclese la probabilidad de que, en una serie de seis partidas, C pierda, al menos cinco veces.

RESPUESTA 9.

Vamos a representar por H o T los posibles resultados del lanzamiento de una moneda y enumerar los resultados en el orden de los jugadores A, B, C, con lo que podemos expresar los resultados posibles y designar a los ganadores como sigue

Casos en que gana C : (H , H , T) ; (T , T , H)

Casos en que gana B : (H , T , H) ; (T , H , T)

Casos en que gana A : (T , H , H) ; (H ;T , T)

Como hay seis resultados igualmente probables, y cada jugador gana en dos de ellos, todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar, es decir, 1/3. Si representamos por (W , L) el suceso de que el jugador C gane exactamente W veces y pierda exactamente L veces de un total de W+L partidas, el suceso E de que pierda al menos cinco de seis partidas se puede producir de dos formas mutuamente excluyentes, (l; 5) y (0; 6), cuyas respectivas probabilidades estn dadas por la ley binomial. Por tanto:

10.- Tres urnas, U1 , U2 , U3 , contienen bolas blancas, negras y rojas en proporciones diferentes. U1 contiene una bola blanca, dos negras y tres rojas; U2 contiene dos bolas blancas, una negra y una roja, y U3 contiene cuatro bolas blancas, cinco negras y tres rojas. Sacamos dos bolas de una urna, sin saber de que urna son. Si resulta que una bola es blanca y la otra es roja, calclense las probabilidades respectivas de que la urna de la cual se han sacado las bolas sea la U1 , la U2 la U3.

RESPUESTA 10.Podemos suponer razonablemente que las tres urnas tienen la misma probabilidad de haber sido elegidas, por lo que tenemos P(Ui) = 1/3 (i = 1, 2, 3). Las probabilidades condicionadas del suceso A (sacar una bola blanca y otra roja, a la vez) las calculamos como sigue : En la urna U tenemos una bola blanca y tres rojas frente a 6 bolas en total. Esto supone que tenemos tres casos favorables dados por la bola blanca con cada una de las rojas y 15 casos posibles que resultan del nmero de combinaciones de 6 elementos tomados de dos en dos, C(6, 2) = 6!/2!(6-2)! = 15. Por todo ello, la probabilidad P(A/U1) vale 3/15 = 1/5. De forma anloga obtenemos tambin P(A/U2) = 1/3 P(A/U3) = 2/11.

Sustituyendo estos valores en la frmula de Bayes, obtenemos las probabilidades respectivas

Resulta evidente que la suma de los tres casos es la unidad. 1

Prob Grupo 2

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