UNIVERSIDAD DE GUAYAQUILFACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACININVESTIGACION DE:

ESTADSTICA.TEMA:INTRODUCCIN A LA PROBABILIDAD.

DOCENTE TUTOR:Ing. Jorge Pantusin, Msc.

CUARTO CURSO FSICO MATEMTICO.

MODALIDAD SEMI PRESENCIAL.ESTUDIANTES DEL GRUPO 8:MONCAYO MARTNMALAVE PEDROVALAREZO RONALD ANGULO ANIXAGUAYNAREYESCALLEVILLAVICENCIO

AO 2015.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

ENFOQUES CONCEPTUALES

En el desarrollo de las probabilidades se han presentado tres enfoques para definir la probabilidad y determinar los valores:

EL ENFOQUE CLSICO:

Se basa en la suposicin de que cada resultado sea igualmente posible se le determina Enfoque a priori, porque permite calcular el valor de la probabilidad antes de observar cualquier evento de la muestra.Si hay h posibilidades xxx favorables a la ocurrencia de un evento A y n posibilidades de resultados desfavorables a la ocurrencia de A y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A, viene dado por:

EJEMPLO:

a. Si tenemos una tmbola con 15 balotas rojas y 10 blancas. La probabilidad de sacar una balota blanca en un evento es:

ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA

Denominado tambin Enfoque Emprico, se basa en determinar la probabilidad sobre la perspectiva de la proporcin de veces que ocurre un evento favorable en un numero favorable de observaciones y en la recopilacin de datos.

EJEMPLO:

Se ha observado que 12 de cada 50 motociclistas que pasan por una determinada va no llevan puesto el casco; si un guardia de Transito se para en la va Cul es la posibilidad de que detenga a un para hacerle un parte por esta infraccin de no llevar puesto el casco?.

EL ENFOQUE SUBJETIVO

Establece la probabilidad de ocurrencia de un evento, es el grado de creencia por parte de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposicin. Bajo esta premisa se puede decir, que el evento ocurrir o no ocurrir esta sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Se define como calculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenmeno ha de producirse fundado en la suposicin en el calculo, las estadsticas y la teora.

EL VALOR DE LA PROBABILIDAD

El valor mas pequeo que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento, es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible y el valor mayor es 1, que indica que el evento ocurrir con certeza. Ahora, si P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A) la probabilidad de no ocurrencia de A, se tiene que:

INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Se dice que dos o ms sucesos son mutuamente excluyentes cuando solamente la ocurrencia de uno de ellos se puede dar en un solo ensayo.

Supongamos la posibilidad de n sucesos mutuamente excluyente con probabilidades respectivas de P1, P2, P3, P4, , Pn, por lo tanto, la probabilidad de que estos sucesos se presenten en un solo ensayo viene dado por:

EJEMPLOS:

a. Cul es la probabilidad de obtener un AS o un caballo, sacando una sola carta en un baraja espaola de 40 cartas?

b. La probabilidad de obtener un as o un tres en el lanzamiento de un dado

SUCESOS COMPATIBLES

Dos sucesos son compatibles cuando la posibilidad de ocurrencia de uno no impide la ocurrencia del otro. La probabilidad de uno de los eventos se calcula mediante la frmula:

En Teora de Conjuntos se puede ilustrar en Diagrama de Venn de la siguiente forma:

EJEMPLOS: 1. Se extrae una carta de una baraja espaola de 40 cartas. Hallar la probabilidad de la carta extrada sea AS o copas.

2. Al lanzar un dado, usted apuesta $ 5.000 a que el numero obtenido debe ser par o divisible por 3. Cul es la probabilidad de que usted gane la apuesta?

SUCESOS INDEPENDIENTES

Se dice que dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de ocurrencia de una no afecta la probabilidad de ocurrencia de los otros, por lo tanto, se debe efectuar la multiplicacin de la probabilidad de cada suceso.

Ley de la multiplicacin

EJEMPLOS:

1. Cul es la probabilidad de sacar dos caballos, tomando una carta de una baraja y la otra de una segunda baraja?

2. Al lanzar dos dados, Cul es la probabilidad de sacar decenas.

(Sacar un seis en el primer dado)

(Sacar un seis en el segundo dado)

ACLARACIN: DIFERENCIAS ENTRE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y SUCESOS INDEPENDIENTES

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESSUCESOS INDEPENDIENTES

Se cuenta con un solo dado o baraja. Se cuenta con ms de dos dados o barajas.

Se extrae una carta y se observa una sola cara. Se espera la ocurrencia de ms de dos sucesos.

En la redaccin se utiliza la disyuncin O En la redaccin se utiliza la conjuncin Y.

SUCESOS DEPENDIENTES

Dos o ms sucesos son dependientes o compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de otros. La probabilidad de sucesos dependientes se calcula mediante la frmula:

EJEMPLOS:

1. Determinar la probabilidad de obtener 3 Jotas, sacando sucesivamente 3 cartas de una baraja espaola, sin reposicin en el mont.

2. Calcule la probabilidad de obtener un As, una Jota y un Rey, sacando sucesivamente 3 cartas, sin reposicin de una baraja espaola.

TCNICAS DE CONTEO

Son mecanismos utilizados para obtener de manera precisa y rpida, el nmero de ocurrencias posibles de un evento. Entre estos mecanismos estn:

La ley de la multiplicacin. El diagrama del rbol. Las permutaciones. Las combinaciones. Formula del exponente.

FORMULA DE LA MULTIPLICACIN

Mtodo que consiste en descomponer un experimento en otros simples y multiplicar el nmero de posibilidades de cada uno de stos para calcular las posibilidades totales.

EJEMPLO

1. Martha tiene en su maleta de viaje 3 blusas de colores: blanco, azul y amarillo; y 4 faldas de colores: verde, rosado, beige y negra. De cuantas maneras diferentes puede hacerlo?.

Martha tiene: 3 opciones de escoger blusas 4 opciones de escoger faldas

Aplicando la tcnica de la multiplicacin se tendrn las siguientes posibilidades:3 x 4 = 12

Alternativas posibles:

BLUSA BLANCAFALDA VERDE

FALDA ROSADA

FALDA BEIGE

FALDA NEGRA

BLUSA AZUL FALDA VERDE

FALDA ROSADA

FALDA BEIGE

FALDA NEGRA

BLUSA AMARILLAFALDA VERDE

FALDA ROSADA

FALDA BEIGE

FALDA NEGRA

DIAGRAMA DEL RBOL

Es un mtodo grfico para mostrar la secuencia o posibilidades que puede ocurrir un evento, contando las ramas finales.

EJEMPLO:

1. Al lanzar 3 monedas o lanzar tres veces una moneda.

PRIMER LANZAMIENTOSEGUNDO LANZAMIENTOTERCER LANZAMIENTORESULTADOS

CCCCCC (1)

SCCS (2)

SCCSC (3)

SCSS (4)

SCCSCC (5)

SSCS (6)

SCSSC (7)

SSSS (8)

2. En una heladera hay 3 clases de jugos, 2 clases de empanadas y 4 clases de dulces. Cul es el nmero de posibilidades que una persona puede elegir?.

MPQ

R

S

T

HQ

R

S

T

GPQ

R

S

T

HQ

R

S

T

CPQ

R

S

T

HQ

R

S

T

REGLA DEL EXPONENTE

Es un mtodo sencillo para determinar las posibilidades de algunos problemas de probabilidad.

EJEMPLO

1. Lanzamiento de monedas:a. Las posibilidades al lanzar una moneda es: cara o sello 21= 2b. Al lanzar 2 monedas, las posibilidades sern: 22 = 4c. Al lanzar 3 monedas, las posibilidades sern: 23 = 8d. Al lanzar n monedas, las posibilidades sern: 2n = 2n

2. Lanzamiento de dados.a. Un solo dado: 61 = 6 casos posibles.b. Dos dados: 62 = 36 casos posibles.c. Tres dados: 63 = 216 casos posibles.d. n dados: 6n casos posibles.

EJEMPLOS:

1. Cuntos billetes debe emitir una lotera si cada uno de ellos tiene 4 cifras?

2. Cul es la probabilidad de ganar esa lotera?

3. Cuntas series telefnicas pueden existir en una ciudad si los nmeros estn compuestos por 7 dgitos?

4. En Colombia, los vehculos particulares llevan en sus placas tres (3) letras y tres (3) dgitos. Cuntas placas se pueden elaborar?.

NOTA: El Parque Automotor Publico de Colombia de acuerdo a registros oficiales es de 2.700.000 de vehculos.

PERMUTACIONES

Es un mtodo para ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto.

FACTORIAL

0! = 0

1! = 1

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

EJEMPLO:

1. Se quiere formar nmeros de 4 dgitos a partir de los nmeros 2, 3, 4 y 5.

Veamos cuales serian estas cifras:

2345324542355234

2354325442535243

2435 342543255324

2453345243525342

2534352345235423

2543353245325432

2. Con las letras A, M, O; Cuntas palabras se pueden formar?

AMOMAOOAM

AOMMOAOMA

PERMUTACIONES CON REPETICIN

Donde: n: Nmero de elementos. r1, r2, r3: Nmero de repeticiones.

EJEMPLO:

1. Cuntos grupos de 6 letras se pueden formar con las letras CARARE?

Repeticiones: A: 2 veces r1 = 2 R: 2 veces r2 = 2

2. Cuntas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra MISSISSIPPI?

Repeticiones: S: 4 veces r3 = 4 I: 4 veces r2 = 4 P: 2 veces r1 = 2

3. a. Cuntas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra COOPERADOR?

Repeticiones: O: 3 veces r1 = 3 R: 2 veces r2 = 2 n = 10

b.Si se considera que las O deben estar juntas?

4. De cuntas maneras se pueden ordenar en un estante 5 libros de lgebra y 3 diccionarios con la condicin de que siempre los libros de algebra estn juntos y los diccionarios tambin?

Es un caso especial de permutaciones.

Nmero de permutaciones entre grupos: 21 = 2 El nmero total de permutaciones: 120 x 6 x 2 = 1.440

9.1. VARIACIONES

Son permutaciones de algunos elementos de un conjunto. Se simboliza de la siguiente manera

Permutaciones o variaciones en n elementos tomados de r en r

EJEMPLOS

1. Se tienen los nmeros naturales 1, 2, 3 y 4. Cuntos nmeros de tres dgitos se pueden formar?

123213312412

132231321421

124214314413

142241341431

134234334423

143243343432

2. Cuntas cifras de 4 dgitos se pueden formar con los nmeros del 0 al 9, usndolos una sola vez?

3. Si un estudiante tiene 9 libros y desea ordenar a 5 de ellos sobre un estante. De cuntas maneras distintas puede hacerlo?

4. Cuntas seales diferentes se pueden formar con 10 banderas distintas, levantando al menos 3 y no ms de 6 banderas en una de un mstil?

5. De cuantas maneras diferentes se pueden contestar un examen de 5 preguntas, si hay que responder a 3 de ellas?

COMBINACIONES

Son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que se dispongan.

EJEMPLOS

1. Cuntas comisiones de 3 personas se pueden formar seleccionndolas de entre 10 personas?

2. Cuntos comits diferentes pueden seleccionarse entre 7 hombres y 4 mujeres, si deben constituirse de:a. 3 hombres y 2 mujeres.

b. 5 personas de las cuales por lo menos tres deben ser hombres.

3. Es necesario elegir un comit de 10 personas entre 6 abogados, 8 economistas y 5 ingenieros. Si el comit debe estar integrado por 4 abogados, 3 economistas y 3 ingenieros.

4. a. Cuntas comisiones de 3 personas se pueden formar seleccionndolas de entre 10 personas?

b. 6 de 7 personas entre 10?

Se puede concluir que

5. Demostrar que

Como y

Igualamos y obtenemos:

6. Una caja contiene 7 fichas rojas, 6 blancas y 4 azules. Cuntos grupos de 3 fichas se pueden formar, si:

a. Las 3 deben ser rojas?

7 Fichas rojas 6 Fichas blancas 4 Fichas azules

b. Ninguna puede ser roja?

7. Un examen consta de 4 preguntas, se debe dar respuesta solo a 3 de las preguntas, Cuntos exmenes de diferente contenido habr que corregir como mximo?

Formemos las posibilidades: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).

8. De una bolsa que contiene 7 bolas negras y 5 blancas. Cuntos conjuntos de bolas pueden extraerse, si se desea que 3 de ellas sean negras y 2 blancas?

9. Cuntos grupos diferentes pueden formarse de entre 5 nias morenas y 7 rubias, si de desea incluir

a. Exactamente 2 morenas?

b. A lo ms morenas?

PROBABILIDAD CONDICIONAL, BAYES, INDEPENDENCIA

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

DEF:

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral M con IP(E)>0.

Se define la probabilidad condicional de A dado E (se denota IP(A/E)), como sigue:

(**)

OBS:

La probabilidad condicional de A dado E (o bien, la IP del suceso A s ya ha sucedido el suceso E, o bien, la IP del suceso A condicionado a E), se puede visualizar en un diagrama de Venn como se aprecia a continuacin:

Nota:La probabilidad condicional es una probabilidad relativa del suceso A con relacin al suceso E.

En particular, si M es un espacio finito y A denota la cardinalidad de un evento A, entonces:

o

o

Ejercicio:

Si al lanzar un par de dados insesgados se obtiene que la suma es 5, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2, es decir:

E={ suma es 5}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} => E=4 y A={un dos aparece por lo menos en un dado}={ (2,1) , (2,2), (2,3), (2,4) , (2,5) , (2,6), (1,2),(3,2),(4,2),(5,2), (6,2)}=>A=11.

Hallar IP(A|E)

Solucin:

E consta de 4 elementos y en 2 de ellos aparece el nmero 2, entonces pertenece a A:

AE= {(2,3), (3,2)} => AE=2

EntoncesIP(A|E)=2/4= 1/2.

Teorema de la multiplicacin de la probabilidad condicional:

Si despejamos de la ecuacin (**) que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que AE = EA, obtenemos la siguiente frmula:

Teorema 1:

Obs.este teorema puede extenderse de la siguiente manera por induccin matemtica:

Para los eventos A1,A2,.....,An se cumple que

Ejercicios resueltos

1. Suponer que se tiene una caja (20 botellas) de Coca-Cola para la venta, y se sabe que existen 10 que en su tapa traen un premio, determinar: a- La probabilidad de que la tercera botella que se venda sea la primera que tenga su tapa con premio b- La probabilidad de que la tercera botella sea la segunda premiada

Solucin:

a Este experimento ocurre sin devolucin, grficamente sera:

Sean los sucesos:SP= Sin PremioCP= Con PremioP1= La primera premiadaP2= La segunda premiada

IP(SP SP CP)=IP(CP / SP SP) IP(SP / SP)IP(SP)= =casos favorables/casos posibles=

=(10910)/(201918) 0.13213.2%

Tambin para el desarrollo de este ejercicio se pueden hacer uso de rboles, que indican la condicionalidad en las ramas.

2-b

IP(sale 2da premiada en la tercera prueba)=IP(P1 SP P2)+IP(SP P1 P2)=IP(P1) IP(SP / P1) IP(P2/ P1 SP)+IP(SP) IP(P1/ SP) IP(P2/ SP P1)

=((1010 9)/(20 19 18) )+((10109)/(201918)) 0,26326,3%

(Como ejercicio podra realizarlo usando un rbol).

2- En un costurero se tienen 5 carretes de hilo de los cuales 2 son de color rojo y 3 son de color negro.

a- Cul es la probabilidad de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro? b- Cul es la probabilidad de encontrar el ltimo rojo en la cuarta extraccin?

Solucin a- Sean los sucesos:

N= color negroR= color rojo

Existen 2 eventos y la IP(de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro) es: IP(1)=IP(NRN) + IP(RNN) = IP(N) IP(R/N) IP(N/NR) +IP(R) IP(N/R)IP(N/RN) IP(1)=((232)/(543))+((322)/(543))=0.4=40%

b- Existen 3 eventos cuyas probabilidades son

IP (encontrar el ltimo rojo en la cuarta extraccin)= IP(que el ltimo rojo sea el cuarto)=IP(RNNR) +IP(NRNR) +IP(NNRR)==IP(R)IP(N/R) IP(N/RN) IP(R/RNN) + IP(N) IP(R/N) IP(N/NR) IP(R/NRN) + IP(N) IP(N/N) IP(R/NN) IP(R/NNR)=((3221)/(5432))+((2321)/(5432))+((3221)/(5432))= 0,3=30%

3- En una caja de 100 artculos hay 10 defectuosos se toman al azar 3 artculos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres no sean defectuosos.

Sean los sucesos: Ai = {el artculo i es bueno} Bi = {el artculo i es malo}

IP(A1A2A3)= IP(A1) IP(A2/A1) IP(A3/A1A2)

IP(A1) = 90/100 IP(A2/A1) = 89/99IP(A3/A1A2) = 88/98IP(A1A2A3) = ((908988)/(1009998))=0,73=73%

Es decir, se debe seguir por el rbol buscando las rutas que correspondan al problema planteado y multiplicando las probabilidades en cada ruta y como las rutas son eventos independientes se suman todos los tramos.

TEOREMA DE BAYES Y PARTICIONES

Supongamos que los eventos A1,A2,.....,An forman una particin de un espacio muestral M; esto es, que los eventos Ai son mutuamente excluyentes (incompatibles) y su unin es M. Sea B otro evento. Entonces

donde los son eventos mutuamente excluyentes(incompatibles). En consecuencia por el teorema de la multiplicacin queda:

luego el Teorema de la IProbabilidad Total queda:

por otro lado, para cualquier i, la probabilidad condicional Ai dado B se define por

Reemplazando la IP(B) obtenemos el Teorema de causa o Teorema de Bayes :

Teorema de Bayes

Suponga que A1,A2,.....,An es una particin (sucesos incompatibles) del espacio muestral M y sea B un evento cualquiera del mismo espacio muestral M, entonces para cualquier i tenemos,

Ejercicio:Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avin. Cada forma de transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente.

Para escoger el mtodo de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente.Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de que ese viaje se realiz en bicicleta.

Sea B el evento que no llegue a destino.

IP(bicicleta/B) =0,4054

Al usar rboles para resolver un problema condicional de Bayes, se debe multiplicar los tramos de la rama que se busca, (en el ejemplo de que no llegue y sea bicicleta), y dividirlo por la IP total del suceso no llegue a destino. INDEPENDENCIA

Se dice que un evento B no vaco es independiente de un evento A, si la probabilidad de que B suceda no est influenciada porque A haya o no sucedido. En otras palabras, si la probablidad de B es igual a la probabilidad condicional de B dado A : , y si la probabilidad de A es igual a la probabilidad condicional de A dado B : . Sustituyendo IP(B) por P(B|A) en el teorema de la multiplicacin , se obtiene

TEOREMA DE CHEBYSHEV REGLA EMPRICA

TEOREMA DE CHEBYSHEV.- Por lo menos de los valores del conjunto de datos deben encontrarse dentro de z desviaciones estndar de la media, donde z es cualquier valor mayor que 1 (no se aplica para z=1 un valor menor). El Teorema de Chebyshev se aplica a cualquier distribucin, sesgada insesgada.

Interpretacin.- El porcentaje de valores en el intervalo es por lo menos , siendo la media aritmtica y la desviacin estndar del conjunto de datos.

En forma concreta.- a)

Si z = 1,5 entonces , por lo que al menos 56% de los valores se encuentran en el intervalo b)

Si z = 2 entonces , por lo que al menos 75% de los valores se encuentran en el intervalo c)

Si z = 3 entonces , por lo que al menos 89% de los valores se encuentran en el intervalo

Ejemplo 1.- Sea un conjunto de valores con =70, = 5. Tendremos que:

a) Al menos 56% de los valores se encuentran en el intervalob) Al menos 75% de los valores se encuentran en el intervaloc)

Para calcular qu porcentaje de valores estn en el intervalo calculamos primero los puntos z de ambos extremos: En el primer caso tenemos y en el segundo caso . Usando el Teorema de Chebyshev con z = 2,4 resulta que , de modo que al menos 83% de los valores se encuentran en el intervalo que es en realidad el intervalo d) Al menos 89% de los valores se encuentran en el intervalo

REGLA EMPRICA.- Si los datos se ajustan aproximadamente a una distribucin normal (forma de campana o curva de Gauss), tendremos que: Cerca de 68% de los valores se encontrarn a no ms de una desviacin estndar de la media Cerca de 95% de los valores se encontrarn a no ms de dos desviaciones estndar de la media Casi todos los valores se encontrarn a no ms de tres desviaciones estndar de la media

En forma concreta.-

Al menos 68% de los valores estarn en el intervalo Al menos 95% de los valores estarn en el intervalo Al menos 99,7% de los valores en el intervalo

Adicionalmente.-

Cerca de 32% de los valores estarn fuera del intervaloy cerca de 16% de los valores sern mayores a

Cerca de 5% de los valores estarn fuera del intervalo y nicamente 2.5% de los valores sern mayores a

Cerca de 34% de los valores estarn en el intervaloy el mismo porcentaje en el intervalo

Cerca de 47,5% de los valores estarn en el intervaloy el mismo porcentaje en el intervalo

Ejemplo 2.- La Administracin de Informacin de Energa inform que el precio medio del galn de gasolina en 2005 fue $2,30. Si la desviacin estndar fue de $0,10 y que el precio del galn de gasolina fue aproximadamente normal, calcule:a) El porcentaje de gasolina que se vendi entre $2,20 y $2,40 por galnb) El porcentaje de gasolina que se vendi entre $2,20 y $2,50 por galnc) El porcentaje de gasolina que se vendi a ms de $2,50 por galn

Solucin.- Usaremos la regla emprica.

Para el inciso a), como = 2,20 y=2,40 resulta que el 68% de la gasolina se vendi entre $2,20 y $2,40 por galn.

Para el inciso b), el precio de $2,50 se encuentra a dos desviaciones estndar por sobre la media. Por tanto debemos examinar el intervaloque es la unin de los intervalosy lo que nos da un total de 34% + 47,5% = 81,5%.

Para el inciso c), por debajo de $2,30 se encuentra el 50% del total de valores. De $2,30 a $2,50, es decir en el intervalocomo vimos est el 47,5% de los valores, lo que hace un total de 97,5% de ventas a un precio menor a a $2,50. Consecuentemente 2,5% de las ventas tuvieron un precio superior a $2,50.

Ejemplo 3- El puntaje promedio en un examen a nivel nacional fue de 507 con una desviacin estndar de 100. Calcule lo siguiente empleando el Teorema de Chebyshev (cuando pueda ser aplicado) y la regla emprica para distribuciones en forma de campana:a) Qu porcentaje de los exmenes tuvo una nota superior a 607?b) Qu porcentaje de los exmenes tuvo una nota superior a 707?c) Qu porcentaje de los exmenes tuvo una nota entre 407 y 507?d) Qu porcentaje de los exmenes tuvo una nota entre 307 y 607?

Solucin.- En el inciso a) no puede aplicarse el Teorema de Chebyshev. Segn la regla emprica, como 607 est a una desviacin estndar de la media, cerca de 16% de los exmenes tendr una puntuacin superior a 607.

En el inciso b), el puntaje 707 est a dos desviaciones estndar de la media. Segn la regla emprica, 2.5% de los exmenes tendrn un puntaje superior a 707. Segn el Teorama de Chebyshev, 75% de los exmenes tendrn una nota mayor a 307 pero menor a 707. Vale decir, en 25% de los casos la nota ser menor a 307 o bien mayor a 707. Entonces 12.5% de los exmenes tendrn una puntuacin superior a 707.

En el inciso c), el intervaloequivale al intervalopor lo que no se aplica el Teorema de Chebyshev. Sin embargo la regla emprica nos da 34% del total de exmenes con puntaje en este intervalo.

En el inciso d) examinamos el intervalode modo que tampoco puede aplicarse el Teorema de Chebyshev. Segn la regla emprica, el porcentaje total es la suma de 47,5% y 34% lo que es igual a 81,5%.

Una variable aleatoria es una variable que toma valores numricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos: n de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2) n de llamadas que recibe un telfono en una hora tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas: Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el nmero de veces que sucede algo. Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.Ejemplo: Ejercicio 15.2 de Pea y RomoClasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:a) n de pginas de un libro discretab) tiempo que tarda en fundirse una bombilla continuac) n de preguntas en una clase de una hora discretad) cantidad de agua consumida en un mes continua

En la prctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales.

DISTRIBUCIN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribucin viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3, , xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, , pk. Estas cantidades reciben el nombre de funcin de probabilidad o funcin de masa.Ejemplo:Variable aleatoria x=n de caras al lanzar tres veces unamoneda Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3Lanzar 3 veces moneda: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}La variable aleatoria x: Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX} Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX} Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC} Toma valor 3 cuando {CCC}

La funcin de probabilidad es:

Funcin de probabilidad de x:

Cul ser la probabilidad de que salgan al menos dos caras?

y la probabilidad de que el nmero de caras est entre 1 y 2?

La probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre dos cantidades a y b ser:

La funcin de probabilidad verifica que:

-

-

La funcin de distribucin o de probabilidad acumulada representa en cada punto x0 la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto, es decir, . Ejemplo: n caras al lanzar tres veces una moneda

Funcin de distribucin de x

Sea x una variable aleatoria continua. Si queremos conocer su distribucin de probabilidad no nos vale la funcin de probabilidad empleada con las discretas (cada valor con su probabilidad asociada) porque toma muchos valores. La probabilidad asociada a cada valor es prcticamente nula (la funcin de distribucin es continua).

Emplearemos la funcin de densidad. Se interpreta de forma parecida al histograma. Expresa la densidad o concentracin de probabilidad en cada zona. Expresa las probabilidades por reas. Sus valores ms altos corresponden a zonas en las que es ms probable que aparezcan resultados del experimento aleatorio.

Media o esperanza de una variable aleatoria

La media o esperanza de una variable aleatoria discreta ser:

x=resultado de lanzar un dado La distribucin de probabilidad de x ser:

El valor esperado de x ser:

La idea de media o esperanza de una variable aleatoria continua es equivalente pero su clculo es algo ms complicado porque requiere emplear el concepto de integral.

La media de una variable aleatoria puede interpretarse como el valor esperado o medio que toma dicha variable o como el valor central de dicha distribucin.

Propiedades:

si x e y son dos variables aleatorias se cumple que:

si a y b son constantes se cumple que:

Una compaa ha vendido 205 billetes para un avin de 200 plazas.Sea x la variable aleatoria que expresa el n de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avin. Su distribucin es:xi198199200201202203204205

pi0,050,090,150,200,230,170,090,02

a) Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan plaza.

b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros que va al aeropuerto.

c) Calcular el n esperado de viajeros que acude al aeropuerto.

d) Cul es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo?

Desviacin tpica de una variable aleatoria

La desviacin tpica de una variable aleatoria es una medida de dispersin de la distribucin alrededor de la media. Los valores pequeos indican concentracin de la distribucin alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones ms dispersas.

El concepto de desviacin tpica es equivalente en variables aleatorias discretas y continuas, aunque en estas ltimas su clculo es ms complicado.

Si x es una variable aleatoria discreta su desviacin tpica viene dada por:

y su varianza ser:

Propiedades: si a y b son constantes se cumple que:

si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que:

yEjercicio 15.4 (de Pea y Romo) Se lanza tres veces una moneda. Sea x la variable aleatoria que expresa el n de caras en los tres lanzamientos.

a) Hallar y representar la funcin de probabilidad de x. (ver Ejemplo pag. 3)Se lanza 3 veces una moneda:E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

x=0 {XXX}

x=1 {XXC,XCX,CXX}

x=2 {CCX,CXC,XCC}

x=3 {CCC}

b) Calcular el n esperado de caras al lanzar la moneda. Era previsible el resultado?

S, ya que en cada lanzamiento P(C)=1/2 y al lanzar tres veces se tiene que .c) Hallar la desviacin tpica de x

o bien:

La desviacin tpica es una medida de dispersin que depende de las unidades de medida de la variable. Para evitar este inconveniente podemos emplear el coeficiente de variacin. El coeficiente de variacin de una variable aleatoria x ser:

Sea x una variable aleatoria que expresa el n de personas que habitan en una vivienda elegida al azar. La distribucin de probabilidad de x es la siguiente:xi12345678 +

pi0,2300,3220,1770,1550,0670,0240,0150,010

a) Comprobar que es una distribucin de probabilidad.Todas las pi son mayores o iguales que cero y adems se cumple que:

b) Hallar la probabilidad de que el n de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro.

c) Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.

d) Obtener el n medio de personas que habitan en una vivienda.

Con premio

Sin premio

Sin premio

Sin premio

Con premio

Con premio

Con premio

Sin premio

IP(A3|A1 SMBOLO 199 \f "Symbol"A2)

IP(A2|A1)

IP(B2|A1)

IP(A2|B1)

IP(B2|B1)

IP(B3|A1 SMBOLO 199 \f "Symbol"A2)

bicicleta 0.5

IP(A1)

IP(A3|B1 SMBOLO 199 \f "Symbol"A1)

IP(B3|B1 SMBOLO 199 \f "Symbol"A1)

IP(A3|A2 SMBOLO 199 \f "Symbol"B1)

IP(B3|A2 SMBOLO 199 \f "Symbol"B1)

IP(A3|B2 SMBOLO 199 \f "Symbol"B1)

bicicleta 0.5

IP(B1)

IP(B3|B2 SMBOLO 199 \f "Symbol"B1)

llega 0.97

auto 0.3

bicicleta 0.5

avin 0.2

llega 0.95

no llega 0.05

no llega 0.03

llega 0.96

no llega 0.04