Profesor: Fernando Baeza

Distribucin normal

Distribucin exponencial

Distribucin gama

Distribucin de Weibull

Distribucin t

Otras

En este curso veremos la Distribucin Normal

Las curvas continuas como la que se muestra en los dibujos son graficas que denominamos DENSIDADES DE PROBABILIDAD O MAS COMUNMENTE DISTRIBUCIONES CONTINUAS.

Esta es una densidad de probabilidad especial

Lo que caracteriza a una densidad de probabilidad es el hecho de que: El rea situada debajo de la curva entre dos valores a y b cualquiera da la probabilidad de que una variable aleatoria que tenga esta distribucin continua tome un valor contenido en el intervalo a a b.

EXPERIMENTO:

Cualquier fenomeno aleatorio (gobernado por las leyes del azar) cuya variable es continua.

Si la distribucin de frecuencias de los datos observados en su experimento, al ser dibujados en el histograma, presentan una mayor cantidad de observaciones en la parte central de la distribucin, con tendencia a hacerse cada vez menores a medida que se acercan a los intervalos extremos, probablemente usted tiene un fenomeno que se puede manejar como una distribucin normal.

Cualquier fenomeno aleatorio que de manera precisa obedezcan a una ley de probabilidades normal. La curva normal (o en forma de campana) describe muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza, la industria, la investigacin y en general en la vida diaria.

Figura 9

Imaginemos por un momento que los intervalos los hacemos infinitamente pequeos desde la Fig 8 hasta la Fig 9

Si el rea de cada rectngulo es una probabilidad y uno de ellos tiene por valor y la amplitud de la base corresponde por ejemplo a 5 kg/cm2, la altura del rectngulo ser 1/10.

rea = largo * alto = 5 * alto alto = 1/10 Volviendo a la figura 9, justamente antes de llegar a la curva final, la amplitud del intervalo es muy pequea, llammosla x y la probabilidad de tener una observacin en el intervalo x + x est dada por p(x) * x, sumando todos los intervalos y haciendo que x tienda a cero se obtiene:

xx

xxplim

)(0

dxxp *)( Que es por supuesto

y que para una variable continua es:

1dx*)x(P

LA ECUACION:

Formalmente deben cumplirse dos condiciones cuando se trabaje

con los modelos de probabilidad para variables continuas:

1.- p (x) 0 para toda x dentro del dominio de .

2.-

1*)( dxxp

Si se cumplen ambas condiciones

podremos hablar de un modelo

probabilstico continuo.

Cuando p(x) es la funcin representada por:

2

2

2

2

1

x

e

la integral indicada en la condicin N 2 es:

12

1 22

2

dxe

xx

Dado que la suma de todas las probabilidades es 1, el rea bajo la

curva normal de distribucin de probabilidades tambin debe ser igual a

la unidad.

Esto es, el rea total bajo la curva es uno, lo cual significa que desde la media hacia cada una de las ramas, izquierda o derecha, la probabilidad es 0,5. si la expresin anterior se integra entre los lmites + hasta -, se encuentra que el rea bajo la curva es 0,6826 veces el rea total, si se integra entre +2 hasta -2, el rea total ser 0,9544. si se integra entre los lmites +3 hasta -3, el rea total ser 0,9974.

La notacin empleada para la distribucin normal generalizada es N (, ) y la tipificada N (0,1)

Esto significa que si tenemos la expresin de una curva que es N(70, 5) significa que esa distribucin sigue una ley normal con media = 70 y desviacin tpica = 5.

Las tablas que muestran el rea bajo la curva normal entre la media y cualquier valor de la variable aleatoria, con distribucin normal, est dada en funcin de una variable z, que se deriva de:

xz

Donde: x Valor de la variable aleatoria que nos interesa. z Nmero de desviaciones estndar de x respecto a la media de esta distribucin. Media de la distribucin de esta variable aleatoria. Valor esperado Desviacin estndar de esta distribucin.

Por qu se utiliza z en vez del nmero de desviaciones estndar? Las variables aleatorias distribuidas en forma normal asumen muchas unidades diferentes de medicin: Bolvares, pulgadas, kilos, tiempo, partes por milln, etc, Dado que se usar una tabla nica, se hablar en trminos de unidades estndar (que realmente significan desviaciones estndar) y se le dar el smbolo de z.

Lo dicho se puede ilustrar grficamente, en la figura 10, se ve que el empleo de z no es mas que un cambio de escala de medicin sobre el eje horizontal.

Caractersticas de la distribucin normal de probabilidad:

La curva presenta un solo pico, por consiguiente es unimodal.

La media de una poblacin distribuida normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.

A causa de la simetria de la distribucin normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribucin tambin se hallan en el centro; por lo tanto la tres tienen el mismo valor.

La curva es asinttica.

El rea total bajo la curva representa probabilidades y es 1.

La media y la desviacin tpica definen la forma de la curva.

Ejercicio.- Con una media de = 410 Kg. /cm2 y = 60 Cul es la probabilidad de tener una resistencia superior a 500 Kg. /cm2? Respuesta.- z = (500 410)/60 = 1,50, luego con ayuda de la tabla de probabilidades se tiene que para z = 1,50 la probabilidad entre 0 y z = 1,5 es de 0,4332. Pero nos estan pidiendo la probabilidad SUPERIOR a 500, luego es el rea de la mitad de la curva que es igual a 0,5 menos 0,4332 o sea 0,5 0,4332 = 0,067. O sea que tenemos un 6,7% de probabilidad de tener una resistencia superior a 500 Kg. /cm2.

Otra pregunta pudo haber sido:

Cul es la probabilidad de

tener una resistencia menor a 500 kg/cm2 ? En este caso la

probabilidad sera toda el rea bajo

la curva, a la izquierda de z

=1,5, o sea 0,5 + 0,433 =

0,933. Es decir se tiene una

probabilidad del 93,3%.

EXPL

ICACION

Ejercicio

Dada una distribucin normal estandar (con media 0 y Desviacin estandar 1) conteste lo siguiente:

Cul es la probabilidad de que:

a.- Z sea menor que 1,57?

b.- Z exceda 1,84?

c.- Z este entre 1,57 y 1,84

d.- Z sea menor que 1,57 o mayor que 1,84?

e.- Z este entre -1.57 y 1.84?

f.- Z sea menor que -1.57 o mayor que 1.84

a.- Z sea menor que 1,57?

En la tabla buscamos para Z = 1.57 0.4418

P ( Z < 1.57 ) = 0.5 + 0.4418 = 0.9418

b.- Z exceda 1,84?

P ( Z > 1.84 ) = 0.5 0.4671 = 0.0329

c.- Z este entre 1,57 y 1,84

P (1.57 < Z < 1.84) = 0.4671 0.4418 = 0.0253

d.- Z sea menor que 1,57 o mayor que 1,84?

P (Z < 1.57) + P (Z > 1.84) = 0.9418 + 0.0329 = 0.9747

e.- Z este entre -1.57 y 1.84?

P (-1.57 < Z < 1.84 ) = 0.4418 + .4671 = 0.9089

f.- Z sea menor que -1.57 o mayor que 1.84

P (Z < - 1.57) + P ( Z > 1.84) = (0.5 0.4418) + 0.0329 = 0.0911

Ejercicio 4.67

Un analisis estadstico de 1.000 llamadas de larga distancia realizadas en una oficina indica que la duracin de estas llamadas tiene distribucin normal con = 240 seg y = 40 seg.

1.- Que porcentaje de estas llamadas dur menos de 180

segundos?

2.- Cul es la probabilidad de que cierta llamada dure entre 180

y 300 seg?

3.- Cuntas llamadas duraron menos de 180 seg o ms de 300

seg?

4.- Qu porcentaje de estas llamadas dur entre 110 y 180

seg?

5.- Cul es la probabilidad de que una llamada seleccionada al

azar dure menos de 155.2 seg?

6.- Cul es la duracin de una llamada en particular si slo 1%

de las llamadas son ms breves?

Solucin

1.- 5.140

60

40

240180z

Luego para Z = -1.5 se tiene:

P( X < 180) = P (Z< - 1.5) = 0.5 0.4332 = 0.0668

2.- P(180 < X < 300) = P (-1.5 < Z < 1.5)

= 0.4332 + 0.4332 = 0.8664

3.- P ( X < 180) + P(X > 300) = P(Z1.5) =

1 P(-1.5 < Z < 1.5) = 1 0.8664 = 0.1336 por tanto:

1000 * 0.1336 = 133.6 llamadas

4.-P(110 < X < 180) = P(-3.25 < Z < -1.5)=

0.49942 0.4332 = 0.06622

6.-P( X < A ) = 0.01 P (Z < - 2.33)

X = 240 -2.33*(40) = 146.80 llamadas

5.- P(X < 155.2) = P( Z < - 2.12) = 0.5 0.4830 = 0.017

Un estudio demostr que los tiempos de vida de cierta clase de baterias de carros se distribuyen normalmente

con una media de 1248 das y una desviacin estandar de 185 das. Si un fabricante desea garantizar sus

bateras por 36 meses (30 das por mes).

1.- Que porcentaje de bateras debern ser cambiadas estando an en vigor la garanta?

2.- Cuando al dueo de la fbrica le dan el porcentaje de bateras que deber cambiar dice que es mucho y que le den la cantidad de meses que garantizar sus bateras

para un porcentaje de cambios mximo de 0.05 (Puede redondear a meses enteros)

Un problema de decisin en negocios

La Distribucin Exponencial: Propiedades

1.- Esta distribucin tiene la propiedad de NO TENER MEMORIA .Por ejemplo si la duracin de bombillos de alumbrado esta distribuida exponencialmente, significa

que un bombillo que ha estado encendido 100 horas

tiene la misma probabilidad de seguir encendido 200

horas mas que un bombillo que no haya sido probado

aun. En un sentido, el bombillo no tiene memoria de su

historia previa.

2.- Esta distribucin tiene tambin una relacin muy

especial con la distribucin de Poisson. La Poisson

describe el numero de ocurrencias por unidad de

medida, mientras que la exponencial describe el valor

de la medida por ocurrencia, eje.: el tiempo

transcurrido entre fallas sucesivas

El tiempo transcurrido entre fallas sucesivas se

denomina Tiempo entre Fallas.

En esta forma las dos distribuciones se pueden

utilizar para describir el mismo fenmeno, la Poisson

describe el numero de ocurrencias por unidad de

tiempo, y la exponencial describe la distribucin del

tiempo entre fallas o entre llegadas de entidades a un

banco, automercado, etc.

La Distribucin WEIBULL: Propiedades Y

USOS