2 FUNCIONES Y LÍMITES

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL

ESTADO DE NAYARIT

SECUENCIA DIDÁCTICA No. 2

Plantel:

10 Tuxpan

Docente:

IBQ. Guillermina Galindo Figueroa

Asignatura: Cálculo

Grupos:

“A” de Informática y “B” de Alimentos

Semestre: 4ºPeriodo escolar:Febrero-Julio 10

Número de sesiones: 22

Fechas: 18, 22 Y 25/Mar/10; 12, 15, 19, 22, 26 y 29/Abril/10; y, 6 y 10/Mayo/10

PROPÓSITO: El estudiante identificará y resolverá problemas teóricos y prácticos a través del análisis y comportamiento de funciones que en ellos intervengan, aprendizaje que podrá aplicar en la oferta y la demanda de cualquier producto en el comercio. Esta actividad le permitirá construir una imagen de su entorno social, científico y tecnológico en su formación integral. También analizará los límites para determinar la continuidad de dichas funciones.

Vía de acceso:

“Comercio”Interdisciplinariedad:

Lectura, expresión oral y escrita II, geometría y trigonometría, química, física I, ecología, matemática aplicada, temas de física, dibujo técnico, biología moderna, administración, economía, emprendedores.

Tema integrador:

“Oferta y demanda”

Categoría: Tiempo, espacio, materia y energía.

Concepto(s) Fundamental(es): Concepto(s) Subsidiario(s):

Funciones

Dominio y contradominio

Clasificación

Operaciones

Comportamiento

Límites

Límite de una función

Propiedades

Continuidad de una función

ELABORADO POR: IBQ. GUILLERMINA GALINDO FIGUEROA REVISADO POR: LIC. MIGUEL A. PRADO ESTRADA


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Dimensión conceptual: Dominio, contradominio, imagen de la función, función, tabulación, gráficas, funciones algebraicas, funciones trascendentes, funciones, finitas, funciones infinitas, límites, continuidad de funciones, máximos y mínimos relativos y absolutos, concavidad, punto de inflexión, raíces, regla de los 4 pasos para límites.

Dimensión procedimental: Identificar, resolver, aplicar, construir, analizar, proponer, formular, definir, argumentar, interpretar, conocer, valorar, elegir, practicar, enfrentar, escuchar, emitir, desarrollar, sustentar, expresar, manejar, estructurar, participar, colaborar, aportar, relacionar, revisar, comparar, socializar, realizar, calcular, graficar, efectuar.

Dimensión axiológica: Colaboración, responsabilidad, disciplina, tolerancia, respeto, libertad, orden y limpieza.

Competencias Disciplinares:

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias genéricas Atributos de la competencia

1. Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

3. Elige y practica estilos de vida saludables

Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.



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4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios códigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Maneja las tecnologías y la comunicación para obtener información y expresar ideas

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

Recursos didácticos: Bibliografía, hojas de papel bond, marcadores, cañón, computadora, pizarrón, hojas blancas, secuencia didáctica, anexos, instrumentos de evaluación, cinta adhesiva.

Bibliografía:

Cálculo Diferencial e Integral, Purcell Varberg, Editorial Pearson Educación. Cálculo Diferencial e Integral, James Stewart, Editores Thomson. Cálculo Diferencial e Integral, Granville, editorial Limusa.



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APERTURA:

ACTIVIDAD 1.- El docente estimula el tema integrador mediante una lluvia de ideas, realizando una discusión entre los estudiantes sobre ¿qué es el “comercio”?, que le va a permitir relacionar el concepto de función con actividades del comercio y en particular se hablará de la ley de la oferta y la demanda.

ACTIVIDAD 2: El estudiante relaciona algunos aspectos cotidianos para que identifique donde aplicar una función y un límite mediante los siguientes cuestionamientos a través de una lluvia de ideas.

a) ¿Qué entiendes por límite?

b) ¿Has utilizado algún motor eléctrico?

c) ¿Has observado como encender y apagar un motor?

d) ¿Cuál es la fuente de energía eléctrica que alimenta un motor?

e) ¿Has observado los límites de velocidad de una licuadora?

f) ¿Has observado los límites de carrera de una grúa viajera y su cambio de dirección?

g) ¿Sabes que sucede cuando es rebasado el límite de operación de un motor eléctrico?

ACTIVIDAD 3: Mediante una discusión grupal los estudiantes revisan, comparan y socializan las respuestas para concluir y entender que es una función y cuáles son los límites.


DESARROLLO

ACTIVIDAD 4: El facilitador proporciona a cada estudiante la lectura que se encuentra en el anexo 1 y mediante una clase magistral explica los aspectos importantes para que puedan realizar una actividad posterior.

ACTIVIDAD 5: El estudiante de manera individual, por escrito y en base a la lectura anterior, responden las preguntas del anexo 2.

ACTIVIDAD 6: Utilizando alguna técnica para formar equipos de trabajos, el docente pide a los estudiantes que se agrupen para que comparen las respuestas generadas en forma individual, para posteriormente la expongan ante los demás equipos.

ACTIVIDAD 7: En binas, los estudiantes colaboran para diseñar un material didáctico para formar unos modelos de correspondencia con fomy, marcadores, pegamento y tijeras. El facilitador le da a cada equipo un par de conjuntos con sus elementos y las parejas ordenadas correspondientes. Entre equipos los conjuntos son diferentes, con la finalidad de poder llevar a cabo la actividad que sigue.

ACTIVIDAD 8: Cada equipo socializa sus resultados ante el grupo para que de acuerdo a las reglas de correspondencias, entre todos indiquen cual se trata de una función y cual no lo es identificando los elementos que componen al dominio y cuales al contradominio.

ACTIVIDAD 9: El estudiante de manera individual realiza una evaluación escrita donde se verá reflejado parte del aprendizaje obtenido en los temas de dominio, contradominio y función. Dicha evaluación se encuentra en el anexo 3.

ACTIVIDAD 10: Con la finalidad de iniciar con el análisis de los diferentes tipos de funciones, los límites y la continuidad de funciones, el estudiante analiza, calcula, tabula y grafica las siguiente situaciones:

A) Un grupo de biólogos estudia las características de un lago artificial en el cual introdujeron un conjunto de peces para analizar la evolución de esta población. En un principio, la colonia crece reproduciéndose normalmente, pero al cabo de unos


meses algunos peces mueren, a causa del hacinamiento. Uno de los científicos plantea:

He llamado x a los días que han transcurrido y n a la cantidad de peces. Mis registros indican que el conjunto de peces evoluciona según la ley:

n(x)=240 + 10 x - 0,1 x²

Debemos hacer algo rápidamente ya que, con esta proyección, pronto se extinguirán.

Sobre la base de la función dada por ese científico:

a. ¿Cuántos peces introdujeron en el lago?b. ¿Durante cuánto tiempo la cantidad de peces fue aumentando?

c. ¿Cuál fue la cantidad máxima que llegó a haber? ¿En qué momento?

d. ¿Cuándo se extinguirá la población?

e. Definir dominio e imagen de la función n(x)

B) La efectividad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un espectador. Después de algunos experimentos, una agencia de publicidad determinó que si la efectividad E se mide en una escala de 0 a 10, entonces:

E(n)=2/3 n - 1/90 n²

Donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial. Para que éste tenga una efectividad máxima,

a. ¿Cuántas veces deberá verlo un espectador?b. ¿Cuál es el dominio de E(n)?

C) Los distintos niveles de altura que alcanza un delfín, en función del tiempo durante un salto, se pueden calcular mediante la fórmula: h(t)=10 t - 5 t²


a. ¿Cuál es la duración del salto?b. ¿Cuánto tarda en alcanzar la altura máxima?

c. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

d. ¿Qué altura alcanza a los 0,25 segundos de iniciado el salto?

e. ¿En qué instante alcanza una altura de 4m? Dar la solución en forma de par ordenado.

f. Hallar h(2,5). Interpretar la solución.

g. Expresar la distancia, en metros, y el tiempo, en segundos.

D) NOTA: el facilitador pide a los estudiantes que realicen la investigación siguiente:

1) ¿Qué es una función polinomial?

2) ¿Qué es una función trascendente y cuáles son?

3) Investiga los teoremas de límites siguientes: Límite de una función constante. Límite de un producto de funciones. Límite de una función identidad. Límite de cociente de funciones. Límite de una suma de funciones. Límite de una raíz.

ACTIVIDAD 11: En trinas los estudiantes realizan una evaluación escrita donde se verá reflejado parte del aprendizaje obtenido en el tema de funciones. Dicha evaluación se encuentra en el anexo 4.

ACTIVIDAD 12: Mediante una clase magistral el facilitador explica detalladamente las características y los procedimientos para resolver los diferentes tipos de funciones, y realiza la observación de cómo los límites se van relacionando.

ACTIVIDAD 13: El estudiante, en base a la explicación anterior resuelve las funciones del anexo 5 y las grafica en hojas milimétricas. Analiza los criterios del comportamiento de la función.


ACTIVIDAD 14: El facilitador explica mediante una práctica guiada las propiedades de los límites y se basa en algunos ejercicios del anexo 6 para dicha actividad.


ACTIVIDAD 15: El estudiante calcula los límites de las funciones que quedaron sin resolver del anexo 6 y los entrega como producto de evidencia al facilitador.

CIERRE

ACTIVIDAD 16: En trinas los estudiantes efectúan los ejercicios siguientes, entregando al facilitador un trabajo por equipo:

Calcular la razón de cambio instantáneo de y con respecto a x, sabiendo que :

dy = lim Δ y = lim f(x+ Δ x)-f(x) dx Δx→0 Δx Δx→0 Δx

1.-Se dispara un proyectil, cuya trayectoria se representa por la ecuación y=-0.05x²+2x.

2.-Se lanza una pelota, que tiene una trayectoria definida por la ecuación y=x-0.02x²

ACTIVIDAD 17: Como parte de la comprobación y validación de los conocimientos construidos por los alumnos, el facilitador plantea al grupo la resolución de un grupo de ejercicios de funciones.


ANEXOS

ANEXO 1.- LECTURA PARA LA ACTIVIDAD 4 DEL DESARROLLO.

Una función, como caso particular de relación en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. La relación es de dependencia y de independencia.

Su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una función se puede representar por tabla, gráfico y / o fórmula. Ejemplo: Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba y se registra en una tabla la altura que alcanza a cada instante:

A continuación se ve el ejemplo de la tabulación y la gráfica del lanzamiento de la piedra.


http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtml


http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES





http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES

http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

ANEXO 2.- PREGUNTAS PARA LA ACTIVIDAD 5 DEL DESARROLLO.

¿Qué es el dominio de una función?

Dar la definición de función:

¿Qué es una variable dependiente?

¿Qué es una variable independiente?

¿Qué es la regla de correspondencia?

¿En qué consiste el contradominio?

¿Qué es una imagen?

¿De cuantas maneras puedes representar una función?

¿Qué es una tabulación?

¿Cómo se grafica una función?

ANEXO 3.- EVALUACIÓN PARA LA ACTIVIDAD 9 DEL DESARROLLO.



ESTADO DE NAYARIT

PLANTEL 10 TUXPANCLAVE 18ETC0013J

NOMBRE:________________________________________________________________________________________

GRUPO:__________________________________________ FECHA:___________________________________________

I. ANOTA EN EL PARÉNTESIS UNA “V” A AQUELLAS PAREJAS QUE SEAN FUNCIONES Y UNA “F” A LAS QUE NO LO SON. REALIZA EL DIAGRAMA DE LOS ÓVALOS CON SUS CORRESPONDENCIAS PARA OBTENER TU RESPUESTA. CADA INCISO ELABORADO CORRECTAMENTE CON TODO EL PROCEDIMIENTO TIENE UN VALOR DE 2.5 PUNTOS, SI NO DESARROLLAS LOS ALGORITMOS EQUIVALE SOLO 1.5 PUNTOS.

1) SEA EL CONJUNTO “A” ELEMENTOS DEL DOMINIO Y “B” LOS DEL CONTRADOMINIO PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES INCISOS:

A = { -3, -1, 0, 2, 4, 5 } Y B = {-2, -1, 0, 1, 2 }

a) (-3, 0), (5, -2), (0, 2), (-1, -1), (2, 1), (4, -1) ............................................................... ( )

b) (0, -2), (-1, 2), (2, 0), (-3, -1), (5, 1), (-1, 0)................................................................ ( )

c) (-3,1), (0, 1) (4,1), (2, 1), (5, 1), (-1, 1) ...................................................................... ( )

d) (0, -2), (5, 0), (-3, 2), (2, -1), (4, 1)............................................................................. ( )


AA AA BBB B

ANEXO 4.- EVALUACIÓN PARA LA ACTIVIDAD 11 DEL DESARROLLO.


ESTADO DE NAYARIT

PLANTEL 10 TUXPANCLAVE 18ETC0013J

NOMBRE:________________________________________________________________________________________

GRUPO:__________________________________________ FECHA:___________________________________________

1) Un grupo de alpinistas hace sus prácticas semanales. Uno de los ejercicios consiste en tirar de una cuerda elástica atada a un poste. La tensión(expresada en Newton) que se produce en el elástico está dada por la siguiente fórmula: f(t)=615

t - 37,5 t² - 105

Se desea saber:

a. ¿Dentro de qué dominio es válida esta función?b. ¿Cuál es la tensión máxima y en qué momento logran alcanzarla?

c. ¿En qué instante de tiempo la función f(t) es decreciente? ¿Qué significa en esta situación?

2) Un fabricante determina que el ingreso R obtenido por la producción y venta de x artículos está dado por la función: R(x) = 350 x - 0,25 x²

Determina cuántos artículos deben fabricarse y venderse para obtener un máximo ingreso y cuál es el ingreso máximo.

NOTA: Cada ejercicio está valorado con el 50% siempre y cuando tenga todos los algoritmos y la gráfica.


ANEXO 5.- FUNCIONES PARA LA ACTIVIDAD 13 DEL DESARROLLO.


ANEXO 6.- EJERCICIOS PARA LA ACTIVIDAD 14 DEL DESARROLLO.


Calcula el límite de las siguientes funciones algebraicas:

1. y=x²+2x-1 cuando x → 2

2. y=x²-x-12 cuando x → 4 x-4

3. Dada f(x) = ax³ , hallar el lim f(x+h)-f(x) h→0 h

4. lim 3x-2 . x→∞ 9x+7

5. lim 2x³ . x→∞ x²+1

C).- Calcula el límite de las siguientes funciones trascendentes.

1. lim 1 . x→∞ 3+2⅛

2. lim 1+2⅛ x→0 3+2⅛

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