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Tema : Funciones. Límites y continuidad1

Funciones. Límites y continuidad.

Funciones,

límites y continuidad.

Problemas resueltos.

XB

Apuntes

Funciones

Apuntes de Ximo Beneyto


1. Sea . Hallar , ,

Comencemos por un pequeño gráfico de soporte

x = 2

Observamos "alrededor" de x = 2 dos expresiones distintas de la función, obtengamos para

x = 2 los límites laterales de la función.

[ Al ser los límites laterales distintos, no existe el límite ]

x = 0

"Alrededor" de x = 0 tenemos una única expresión de la función.

x = 4

Como en el caso anterior.

[ Fundamentos para decidir cuando es necesario hallar límites laterales y cuando no ]

2. Demostrar que

Según la definición de límite:

Ximo Beneyto

Apunts

Continuitat



Pero :

Por lo tanto bastará tomar

En efecto :

Podríamos visualizar gráficamente el resultado :

Por ejemplo, para = 0'1 Y el * asociado será cualquier * <

3. Demostrar que

Según la definición de límite:

Operemos sobre la expresión * x2 - 4 * < ] * (x + 2) A (x - 2 ) * < ]

* x + 2 *A * x - 2 * < cuya dificultad radica precisamente en acotar * x + 2 *.

Ximo Beneyto

Apunts

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Puesto que nos movemos en valores de 'x' próximos a "2", vamos a exigir que * x - 2 * < 1

[Cualquier otro número positivo diferente de 1 también serviría]

* x - 2 * < 1 => *x* - *2* < * x - 2 * < 1 Y *x* - 2 < 1 Y *x* < 3, de donde * x + 2 *

*x* + 2 < 3 + 2 = 5

[ Sustituyendo en la demostración ]

Y 5 A * x - 2 * < ] * x - 2 * < , de forma que, tomando

si * x - 2 * < * Y * x2 - 4 * <

Y

4. Resolver los siguientes límites. ( Sin utilizar el teorema de L'Hôpital )

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k.

a)

Indeterminación.

Factoricemos numerador y denominador

x3 - 2x + 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x - 1 )

No es necesario seguir con más factores, en principio.

Ximo Beneyto

Apunts

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x3 - 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x + 1 )

[ Observa que el hecho de obtener cuando x = 1 nos garantiza el factor x - 1 tanto en el

numerador como en el denominador .Si x 6 1 Y x … 1 lo cual nos permite simplificar los

factores (x-1) en numerador y denominador ]

b)

Indeterminación.

Operemos como en el problema anterior x2 + x - 2 = 0 Y

[Soluciones de la ecuación de segundo grado]

c)

Indeterminación.

Ximo Beneyto

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Ya que x6 0 parece más razonable sacar factor común en numerador y denominador :

Y

d)

Indeterminado.

Factoricemos :

x3 - 5x2 + 8x - 4 = ( x - 2 )2 A (x - 1)

x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )A( x - 2 ) = ( x - 2 )2

[ Bueno, también se veía enseguida ]

Y

e)

Indeterminado.

Ya que el cero del numerador lo obtenemos como diferencia de raíces cuadradas,

multipliquemos y dividamos por la expresión conjugada.

Ximo Beneyto

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f)

Indeterminado.

Operemos como en el problema anterior introduciendo una variante :

Como ( A - B ) A ( A + B ) = A2 - B2 Y

Tomando y B = 4 en el límite obtenemos :

= [ Sencilla factorización ]

=

[ Agilizando cálculos, generando recursos, ¡ahí estamos! ]

g)

Indeterminación.

De nuevo vamos a emplear la técnica del problema anterior

Ximo Beneyto

Apunts

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[ Seguro que a más de uno le "suena" esta fórmula ]

h)

Indeterminación.

Dos formas de resolverlo :

1ª

Utilizando la expresión : An - Bn = ( A - B ) A ( An-1 + An-2 A B + ... + A A Bn-2 + Bn-1 )

Para n = 3 Y A3 - B3 = ( A - B ) A ( A2 + A A B + B2 )

Objetivo : Eliminar radicales si

2º Utilizando el Binomio de Newton.

Ximo Beneyto

Apunts

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[ De nuevo generando recursos, éstos ya de cierto nivelín]

i)

Indeterminación.

Vamos a desarrollar el cubo, sin más.

[ Resultó sencillo ]

j) n 0000 N

Indeterminación.

Ximo Beneyto

Apunts

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Vamos a aprovechar este límite para explicar de nuevo un cambio de variable.

Tomemos x - a = t Y x = a + t , si x Y a , entonces t Y 0

[ Desarrollando mediante el Binomio de

Newton ]

[ Realmente interesante el cambio de variable cuando la variable no tiende a cero. A tener en

cuenta ! ]

5. Estudiar la existencia de límites laterales, límite y CONTINUIDAD en los puntos x = 0,

x = 1 y x = 2, de la función cuya gráfica se da.

Ximo Beneyto

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Interpretando la GRÁFICA anterior obtenemos :

* x = 0

Y Y

f(0) = 1

Y f(x) es DISCONTINUA en x = 0 ( Discontinuidad de SALTO FINITO )

* x = 1

f(1) = 1'5

Y f(x) es CONTINUA en x = 1

* x = 2

f(2) = 1

Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ( Discontinuidad EVITABLE)

Ximo Beneyto

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6. Estudiar la continuidad de las funciones :

6.1 f(x) = [x] ( parte entera de x )

6.2

6.3 h(x) = ****x2 - 4****

6.1 f(x) = [x] ( parte entera de x )

[x] = { mayor entero menor o igual que x } cuya

gráfica es :

Analicemos diferentes situaciones (escenarios, que dicen los modernos) para la

variable:

i) Si a 0000 úúúú y a óóóó Z

Y f(x) es CONTINUA en x = a œ a 0 ú a ó Z

ii) Si a 0000 Z

Y Como a … a - 1 œ a 0 Z

Y Y f(x) es DISCONTINUA œ a 0 Z

6.2

Ximo Beneyto

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Definamos la función g :

Puesto que las funciones constantes son CONTINUAS, vamos a analizar la función en

x = 0.

Y

Y g(x) es DISCONTINUA en x = 0 y g(x) es CONTINUA en ú - {0}

6.3) h(x) = ****x2 - 4****

Definamos la función h apoyándonos en la definición de valor absoluto de una función.

( El estudio del signo de x2 - 4 lo hemos efectuado tal como explicamos en la parte de

DOMINIOS ). De todos modos ¡ Observa !

Y x2 - 4 = 0 Y x = ± 2

Su gráfica :

Estudiando la CONTINUIDAD :

] -4, -2 [ h(x) = x2 - 4 función POLINÓMICA Y CONTINUA

Ximo Beneyto

Apunts

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x = -2

h es CONTINUA en x = -2

] -2, 2 [ h(x) = -x2 + 4 función POLINÓMICA Y CONTINUA

x = 2

h es CONTINUA en x = 2

] 2, +4 [ h(x) = x2 - 4 función POLINÓMICA Y CONTINUA.

Podemos concluir que h es una función CONTINUA en ú

[ Bonito y detallado estudio de continuidad de una función definida mediante intervalos.

¡Aplícalo! ]

h(x) es una función CONTINUA en R.

7. Estudiar según valores de a 0000 úúúú la CONTINUIDAD de la función

Pequeña representación de la función en la recta real :

Parece obvio afirmar que en x = 2 deberemos hallar los límites laterales.

Ximo Beneyto

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Para que exista Y 3 = 2a + 2 Y

6 f(2) = 11, así pues:

Si Y f(x) es CONTINUA en x = 2

Si Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ( Discontinuidad de

SALTO FINITO )

8. Estudiar según valores de a 0000 úúúú la CONTINUIDAD de la función

No es necesario considerar la idea de hallar límites laterales en x = 1, pues a ambos lados de

x = 1 tenemos la misma expresión de la función.

6

6 f(1) = a, por lo tanto:

si a = 2 y f(x) es CONTINUA en x = 1

si a … 2 y f(x) es DISCONTINUA en x = 1 ( Discontinuidad

EVITABLE )

9. A partir de la función , define una función con una estructura similar que

sea continua en úúúú

Al ser f(x) un COCIENTE de funciones POLINÓMICAS Y f(x) es una función continua

excepto en los valores de x que anulan el denominador, es decir, x - 1 = 0, x = 1.

Ximo Beneyto

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Estudiemos pues, el comportamiento de la función en x = 1.

6

6 f(1) = que no existe

Al no estar definida la función en x = 1, para que ésta sea CONTINUA bastará con asignar

el valor del límite a la función en x = 1

Sea pues : , que será una función CONTINUA en ú

6 NOTA Al tener la indeterminación en

Y x = 1 es raíz del numerador y denominador

Y dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos la factorización deseada.

x3 - 1 Y x3 - 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x + 1 )

10. Sea estudiar la continuidad de f(x) en x = 1

según los diferentes valores de k

Hallemos

Encontramos en este límite una cierta duda a la hora de resolverlo pues la expresión

cos2 4 resulta novedosa. Para resolverlo vamos a utilizar una propiedad de los

límites funcionales, según la cual, si :

Ximo Beneyto

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Y

En este caso :

œ x 0 ] 1 - *, 1 + * [ - { 1}

Y . acotada = 0

6 f(1) = k

Y Si k = 0 f(x) es CONTINUA en x = 1

Y Si k … 0 f(x) es DISCONTINUA en x = 1

[ Anota el razonamiento de este problema para situaciones del estilo '0 A acotada'

exclusivamente ]

11. Dada la función . Definir f(0) y f(1) para que sea continua en úúúú .

Al ser f(x) un cociente de funciones CONTINUAS el único problema lo podemos

encontrar en los valores de x que anulan el denominador.

Si x2 - x = 0 Y x ( x - 1 ) = 0 . Obviamente, f(0) y f(1) no están definidas.

Sea pues :

6 Si definimos f(0) = - B entonces f(x) será continua en x = 0

Ximo Beneyto

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Por otra parte :

Vamos dar una resolución elegante, mediante una técnica hasta cierto punto frecuente que

es el cambio de variable.

Sea x-1 = t Y x = 1 + t. Si x 6 1 Y t 6 0

6 Si definimos f(1) = - B, entonces f(x) será CONTINUA en x = 1

Por lo tanto, para que la función sea continua en ú la definiremos así :

NOTAS : y sin utilizar infinitésimos =

En el tema derivadas, daremos una nueva técnica para resolver el límite. (Regla de L'Hôpital)

12. Estudiar la continuidad en x = 1, x = 2, y en R de las siguientes funciones :

12.1 f(x) = x2 + x + 1

x = 1


Ximo Beneyto

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x = 2


x = x0 0000 úúúú

Y f(x) es CONTINUA en x = x0 œ x0 0 ú

Y f(x) es CONTINUA en ú

[ En los tres casos también podríamos haber razonado, f(x) es una función

POLINÓMICA, por tanto es CONTINUA en x = 1, x = 2 y en ú ]

12.2 f(x) =

x = 1

Y f(x) es DISCONTINUA en x = 1 [ Discontinuidad EVITABLE ]

x = 2


úúúú

f(x) es un COCIENTE de funciones polinómicas y, por tanto, CONTINUAS Y f(x)

es CONTINUA excepto para los valores que anulan el denominador.

Ximo Beneyto

Apunts

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Como x - 1 = 0 Y x = 1

Y f(x) es DISCONTINUA en ú

Y f(x) es CONTINUA en ú-{1}

12.3 f(x) =

x = 1


[ Observa las diferencias y similitudes con respecto al problema anterior]

x = 2


úúúú

Dividamos el estudio en dos partes :

x … 1

es un COCIENTE de funciones polinómicas y, por tanto,

CONTINUAS. Como x - 1 … 0 œ x … 1 Y f(x) es CONTINUA œ x … 1

x = 1

Se ha estudiado en el primer caso de este problema siendo f(x) CONTINUA en x = 1

Por lo tanto, de ambos resultados, se deduce que f(x) es CONTINUA en ú .

Ximo Beneyto

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12.4 f(x) =

Sobre la recta real vamos a efectuar algunas indicaciones para una mejor comprensión del

problema :

x = 1


x = 2

Ximo Beneyto

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Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2

úúúú

Al ser f(x) una función definida por intervalos el estudio de la continuidad en ú lo

efectuaremos en cada uno de ellos y en los puntos que los separan:

si x < 1 => f(x) = x + 1

Y f(x) es CONTINUA en ] -4, 1 [

si x = 1 hemos probado anteriormente que f(x) es CONTINUA.

si 1 < x < 2 => f(x) = x2 + 2x - 1

Y f(x) es CONTINUA en ] 1, 2 [

si x = 2 hemos probado anteriormente que f(x) es CONTINUA en x = 2

si x > 2 => f(x) = x + 2, función POLINOMICA, por tanto CONTINUA

Y f(x) es CONTINUA en ] 2, 4 [ .

Por lo tanto f(x) es una función DISCONTINUA en ú y es CONTINUA en

ú - {2}

[ Indicando diferentes maneras de justificar la continuidad ]

13. Demostrar que la función f(x) = x3 + x + 1 cumple el teorema de Bolzano en el intervalo

[ -1, 0]

En efecto:

Sea f(x) = x3 + x + 1 y el intervalo [ -1, 0 ]

* f(x) = x3 + x + 1 es una FUNCIÓN POLINÓMICA y por tanto, CONTINUA en [ -1, 0 ]

*

Ximo Beneyto

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Y f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ -1, 0 ]

Y › c 0 ] -1, 0[ / f(c) = 0, es decir, c3 + c + 1 = 0 Y c es una raíz real de x3 + x + 1 = 0 ,

con c 0 ] -1, 0[

14. Probar que la ecuación x4 + 4x3 - x - 1 = 0 tiene al menos una raíz real negativa

Utilizaremos el teorema de Bolzano para demostrarlo

Sea f(x) = x4 + 4x3 - x - 1 y un intervalo que vamos a determinar. Al ser f(x) una función

CONTINUA, si logramos un cambio de signo en sus imágenes, el teorema de Bolzano nos

garantizará la existencia de al menos una raíz real en el intervalo correspondiente.

Observando los términos de f(x) ( Sumandos ) vamos a ir tanteando valores negativos hasta

conseguir el cambio de signo deseado.

Veamos : f(0) = -1 f(-4) = 3 > 0 Ya tenemos el cambio de SIGNO

deseado

f(-1) = -3

f(-2) < 0

f(-3) < 0

Sea pues, la función f(x) = x4 + 4x3 - x - 1 y el intervalo [ -4, 0 ] ( Podríamos haber

tomado [ -4, -1] , [ -4, -2] , ...)

* f(x) = x4 + 4x3 - x - 1 es una función POLINÓMICA Y CONTINUA en [ -4, 0]

*

Y f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ -4, 0 ] Y › c 0 ] -4, 0[ / f(c) = 0, es decir,

c4 + 4c3 - c- 1 =0 Y c es una raíz real negativa de x4 + 4x3 - x - 1 , pues c 0 ] -4, 0[

[¿Comprendida la construcción del problema para plantear y resolver situaciones similares?

]

15. Dadas las funciones f(x) = 1 - x, g(x) = ex-1. Probar que existe a 0000 úúúú / f(a) = g(a).

Queremos probar que › a 0 ú / f(a) = g(a), es decir, ] f(a) - g(a) = 0. Construyamos la

función auxiliar h(x) = f(x) - g(x) = 1 - x - ( ex -1 ) = 2 - x - ex y ya que vamos a aplicar

el teorema de Bolzano, busquemos un intervalo en el que la función h(x) cambie de signo.

Veamos :

h(0) = 1 > 0

h(1) = 1- e < 0. ¡ Pronto lo hemos encontrado !

Ximo Beneyto

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Sea pues h(x) = 2 - x - ex y el intervalo [0, 1]

* h(x) es una SUMA de funciones CONTINUAS Y es una función continua en [0, 1]

*

Y h(x) cumple el teorema de Bolzano en [0, 1]

Y › c 0 ]0, 1[ / h(c) = 0 Y 2 - c -ec = 0

] 1 - c - (ec - 1) = 0 ] 1 - c = ec - 1 ] f(c) = g(c)

Basta con llamar a = c para tener el problema resuelto.

[ Geométricamente, hemos demostrado que las gráficas de las funciones f(x) = 1 - x y g(x) =

ex - 1 se CORTAN al menos en un punto ]

16. Demostrar que ›››› a 0000 úúúú tal que sen a = a - 1

Revisando el enunciado, deducimos que se trata de encontrar una raíz real de la ecuación

sen x = x -1. Para ello, construyamos la función auxiliar f(x) = sen x - x + 1 y

consideremos el intervalo [ 0,B ]

f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, B ] Y › c 0 ] 0, B[ / f(c)= 0, es decir,

sen c - c + 1 = 0 y por lo tanto, sen c = c - 1.

Basta con llamar a = c para que sen a = a - 1 con a 0 ] 0, B [ y por tanto real, como

queríamos demostrar.

[ La elección del intervalo no es única. [ 0, B] lo hemos obtenido de manera similar que el

intervalo del problema anterior ]

17. Sea f : [ 0, 1] 6666 [ 0, 1] una función continua. Demostrar que ›››› c 0000 [ 0, 1] / f(c) = c. [

También se le conoce como teorema del punto fijo. Nos indica que las gráficas de las

funciones y = f(x) e y = x CONTINUAS definidas de [ 0, 1] en [ 0, 1] al menos se cortan una

vez, siendo f CONTINUA ]

Para demostrarlo, nos vamos a apoyar en el teorema de Bolzano con una elegante

construcción.

i) Si f(0) = 0 ó f(1) = 1 el teorema estaría demostrado [ 0, ó 1 serían el valor "c" buscado ]

Ximo Beneyto

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ii) Si f(0) ………… 0 y f(1) ………… 1

Sea la función auxiliar h(x) = f(x) - x definida en el intervalo [ 0, 1] ,

6666 h(x) es CONTINUA en [ 0, 1] al ser una diferencia de funciones CONTINUAS [ f es

por hipótesis del enunciado, y = x por ser polinómica ]

h(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(0) … 0 ]

h(1) = f(1) - 1 < 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(1) … 1 ]

6666 h(0) AAAA h(1) < 0

De donde, h(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, 1] Y › c 0 ] 0, 1 [ / h(c) = 0 Y f(c)

- c = 0 Y f(c) = c.

de i) e ii) se sigue que › c 0 [ 0, 1 ] / f(c) = c c.q.d.

Observa : La elección de la función auxiliar h(x), la hacemos pensando que resolver

f(c) = c es lo mismo que f(c) - c = 0 ]

18. Sea f : [ 0, 1] 6666 [ 0, 1] una función continua. Demostrar que ›››› c 0000 [ 0, 1] / f(c) = 1 - c. [

Variante del problema anterior. Nos indica que las gráficas de las funciones y = f(x) e y = 1 -

x definidas de [ 0, 1] en [ 0, 1] al menos se cortan una vez ]

Para demostrarlo, operaremos como en el caso anterior.

i) Si f(0) = 1 ó f(1) = 0 el teorema estaría demostrado [ 0, ó 1 serían el valor "c" buscado ]

ii) Si f(0) ………… 1 y f(1) ………… 0

Sea la función auxiliar h(x) = f(x) - ( 1 - x ), definida en el intervalo [ 0, 1] ,

6666 h(x) es CONTINUA en [ 0, 1] al ser una diferencia de funciones CONTINUAS [ f es

por hipótesis del enunciado, y = 1 - x por ser plinómica ]

h(0) = f(0) - ( 1 - 0 ) = f(0) - 1 < 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(0) … 1 ]

h(1) = f(1) - ( 1 - 1 ) = f(1) > 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(1) … 0 ]

6666 h(0) AAAA h(1) < 0

De donde, h(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, 1] Y › c 0 ] 0, 1 [ / h(c) = 0 Y f(c)

- ( 1- c ) = 0 Y f(c) = 1 - c.

de i) e ii) se sigue que › c 0 [ 0, 1 ] / f(c) = 1 - c c.q.d.

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