Límites y continuidad de funciones

Limites de sucesións

Limite de una sucesiónLa idea que hay tras el concepto de límite es la siguiente: en determinadas situaciones, los términos de la sucesión tienden a un valor determinado:Ejemplo:

n An n An n An1 1 10 0,1 1000 0,0012 0,5 20 0,05 10000 0,00013 0,33333333 30 0,03333333 100000 0,000014 0,25 40 0,025 1000000 0,0000015 0,2 50 0,02 10000000 0,00000016 0,16666667 60 0,01666667 100000000 0,000000017 0,14285714 70 0,01428571 1000000000 0,0000000018 0,125 80 0,01259 0,11111111 90 0,01111111

10 0,1 100 0,01

Vemos claramente que cuando n se hace muy grande, los términos de la sucesión se aproximan cada vez más a cero. Describimos esta

situación diciendo que el límite de la sucesión es cero y escribimos:

Valores de n

Valores de los términos de la sucesión

Análogamente, estudiando los términos de

n an1 12 1,333333333 1,54 1,65 1,66666667

10 1,81818182100 1,98019802

1000 1,99800210000 1,99980002

1000000 1,999998

vemos que cada vez se acerca más a dos, pero que nunca van a pasar de ahí:

El límite es el número al que se dirigen los términos de la sucesión sin llegar a alcanzarlo nunca.

La definición formal de límite es:

Que significa:

L es el límite de una sucesión an si podemos acercarnos al valor de L con términos de nuestra sucesión tanto como queramos .

O también:

L es el limite de una sucesión an si podemos hacer la diferencia entre algunos términos de la sucesión y el valor del límite tan pequeña como se quiera.Cando una sucesión tiene

límite decimos que converge, o que es una sucesión convergente

Diremos que una sucesión diverge cuando su límite no existe porque los valores de la sucesión se hacen cada vez mayores:

n an1 12 2,666666673 4,54 6,45 8,33333333

10 18,1818182100 198,019802

1000 1998,00210000 19998,0002

1000000 1999998

La tabla representa los valores de algunos términos de la sucesión:

Puede comprobarse que se hacen cada vez mayores sin detenerse en la proximidad de ningún valor: en este caso escribiremos:

La sucesión diverge

Para la sucesiónn an1 02 -133 -504 -1235 -244

10 -1989100 -1999899

1000 -199999899910000 -2E+12

1000000 -2E+18

Los valores tienden a números muy grandes pero negativos:

Formalmente:

Una sucesión An se dice que diverge cuando su límite es

infinito: cuando la sucesión de términos no se detiene en

ningún valor

SUCESIÓN DIVERGENTE:

LÍMITES DE FUNCIONES

Límites de funcións

Límites de funcionesLa principal diferencia entre los límites de sucesiones y los límites de funciones es que en las funciones no sólo estudiamos los límites cuando x se hace infinita, sino que haremos “estudios locales”: estudiaremos a que valores tiende la función en un entorno de un punto determinado.Veamos algunos ejemplos de lo que ocurre en el entorno de x=2 para varias funciones.

Para a función f(x) = x2- 4,

Aproximándonos a 2 desde valores inferiores (menores que 2, que se encuentran en el eje a la izquierda de dos) observamos que los valores de la función se acercan paulatinamente cada vez más a 0, aproximándose infinitamente.

Aproximándonos a 2 desde valores superiores (mayores que 2, que se encuentran en el eje a la derecha de dos) observamos que los valores de la función se acercan paulatinamente cada vez más a 0, hasta aproximándose infinitamente.

Cuando los límites a ambos lados coinciden, decimos que existe límite de la función, que es igual a ese valor común:

Se define el límite de una función como:

f(x)=1/(x-1)

f(x)=-2x+1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

yLa función de la gráfica no tiene límite: - por la izquierda se va a -, y - por la derecha el límite es -1. Al no coincidir los límites laterales no existe límite

)(lim

1)(lim

1

1

xf

xf

x

x

También se estudia el límite de las funciones cuando el argumento (la variable dependiente) tiende a infinito:

f(x)=x^2/(x^2-1)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

y

En la gráfica vemos que cuando x→∞, la función toma valores cada vez más próximos a 1, de forma que:

Como podemos comprobar si hacemos una tabla de valores:x 2 5 10 100 1000 1000000

y 1,333333333 1,041666667 1,01010101 1,00010001 1,000001 1

Cuando x→-∞, la función toma valores cada vez más próximos a 1, de manera que:

f(x)=x^2/(x^2-1)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

y

x -2 -5 -10 -100 -1000

y 1,3333 1,0416 1,0101 1,0001 1,0000

Se definen los límites de una función cuando la variable independiente se hace infinita como:

Cuando x

TEOREMA:El límite de una función, si existe, es único

LIMITES Y OPERACIONES

LÍMITES E OPERACIÓNS

Límites y operacionesLas propiedades de las operaciones aritméticas realizadas con sucesiones y funciones permiten simplificar el cálculo de límites al permitir descomponerlos en límites de cálculo más sencillo.

En el caso de las inversas y de los cocientes, estas igualdades se cumplirán en el caso de que ni en las sucesiones ni en los límites se anulen los denominadores.Estas propiedades se cumplen igualmente en el caso de las funciones, en los mismos términos.

La principal aplicación de las propiedades de los límites es el método de cálculo de estos:

Sin tanta formalidad, para calcular un límite de una función, se sustituye en la expresión de la función la indeterminada por el valor al que tiende:

No siempre es tan simple la cuestión. En muchas ocasiones aparecen operaciones irresolubles que reciben el nombre de indeterminaciones:

IndeterminacionesLas posibles indeterminaciones que pueden aparecer en el cálculo de los límites son:

Cocientes finitos:

Cocientes infinitos:Potencias:

y además¿Que hacer con las indeterminaciones?

Cuando en el cálculo de un límite obtenemos como resultado una indeterminación intentaremos eliminarla simplificando la expresión, mediante métodos apropiados a cada caso.Lo veremos con detalle.

INDETERMINACIONESExemplo:

1.- Se factorizan numerador y denominador y se simplifica la expresión:

2.-Se calcula el límite de la expresión simplificada:

Si eso permite calcular el límite: problema resuelto. Si no, tendremos que calcular los límites laterales para ver si existen, y de existir, si coinciden.

En el caso:

1.- Miramos los límites laterales construyendo las tablas de valores próximos a 2: x f(x)=1/(x-2)

1,9 -101,99 -100

1,999 -10001,9999 -10000

x f(x)=1/(x-2)2,1 10

2,01 1002,001 1000

2,0001 10000

En consecuencia:De donde:

NO EXISTE

LÍMITES INFINITOS. El infinito y las indeterminaciones

Límites infinitos

El infinito aparece en el cálculo de límites:

O en el de asíndotas:

Asíntota horizontal: y = b /

Asíntota vertical: x = a /

En el ejemplo: y=0

En el ejemplo: x=1

Decimos que el límite de una función –por la derecha o por la izquierda- cuando el argumento se acerca a un valor, será infinito si canto más nos acerquemos al valor del argumento más crece el valor de la función:

En este caso:

)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x

EL INFINITO Y LOS LÍMITES

La definición en lenguaje matemático:

No tiene sentido hablar de

Los límites laterales, aunque ambos tomen el mismo valor, nunca coincidirán en ningún punto .

Se dice entonces que la función diverge en x=a.

Las reglas para operar con infinito se resumen en los cuadros siguientes, y de forma general, tienen una cierta lógica, aunque a veces, parezcan contradictorias o chocantes, en especial en el caso de las indeterminaciones.

OPERACIONES CON

Suma Resta Produtos Cocientes

∞+∞=∞ ∞-∞=Indeterminado ∞-∞=∞ ∞/∞= Indeterminado

a+ ∞=∞ a- ∞=-∞ a· ∞=∞ a/∞=0

-a+ ∞=∞ -a- ∞=-∞ -a· ∞=-∞ -a/∞=0

-∞+a=-∞ -a-(-∞)=∞ -a·-∞=∞ ∞/a=∞ ;

0<a<1 a>1 a=1

1 INDET.

“a” es un número real positivo.

Indeterminaciones con

1.- La indeterminación Para resolver esta indeterminación se saca factor común la menor potencia en los pares consecutivos: Operamos :

2.- La indeterminación

Para resolver dividimos por la mayor potencia del denominador, pudiendo darse tres casos:1.-Grado del denominador >grado del numerador

2.-Grado del denominador <grado del numerador

En este caso el resultado del límite siempre es cero

En este caso el resultado del límite es siempre infinito:

I.-

2.-

3.-Grao del denominador =grado del numeradorCuando los grados coinciden el límite será el cociente de los términos con la mayor potencia:

Indeterminación 1∞.

Esta indeterminación aparece en el cálculo de límites de la forma: Y normalmente está asociada a un número real llamado “e”, “número de Euler”, o ”Constante de Neper” que surge del cálculo de : como puede verse en la tabla:

n a(n)=(1+1/n)^n1 2

10 2,59374246100 2,704813829

1000 2,71692393210000 2,718145927

100000 2,7182682371000000 2,718280469

10000000 2,718281694100000000 2,718281786

1000000000 2,718282031

Los valores de la sucesión tienden a estabilizar las cifras decimales. Diversos razonamientos matemáticos confirman la idea de que la sucesión anterior tiene que tener un límite: este número que sería o límite de esa sucesión es el número “e”.

A efectos de cálculo aproximaremos : e=2,72

Otras sucesiones que convergen al número e son:

TEOREMA:

DEMOSTRACIÓN:

Este teorema se emplea para resolver la indeterminación 1

Continuidad

Funcións continuas e descontinuas, tipos de descontinuidades.

Continuidade

Una función se dice continua en un punto x0 cuando:

La idea básica que queremos expresar con el concepto de continuidad es la de que la serie de valores no se interrumpe en x0. De forma gráfica, una función es continua en un punto si la representamos sin tener que levantar el lápiz del papel.

En las gráficas podemos ver una función continua y otra discontinua.

f(x)=(1/8)x^2

f(x)=x-2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

f(x)=(1/8)x^2

f(x)=x+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Función continua

Función discontinua en x=3

1.- Existe f(x0)2.- Existen los límites laterales no punto e coinciden. Existiendo entonces límite de la función, L3.- El límite y el valor de la función coinciden L= f(x0)

DISCONTINUIDADES EN LAS FUNCIONESUna función es discontinua en un punto si no es continua:, es decir, si no cumple alguna de las tres condiciones de la definición.1.- No se cumple la primera: Si la imagen no existe es porque el punto no pertenece al dominio: x0Df. Los casos más frecuentes son:

puntos en los que se anula un denominador,

intervalos de la recta real en los que un radicando es negativo.

no existe f(0), ya que f(0)=1/0 operación que no tiene ningún resultado: el cero no es un número de dominio da función: 0Df , y por tanto esa función es discontinua en cero.

f(x)=1/X^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

f(x)=SQRT(X)

-2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

La función no toma valores para los números negativos: no tienen raíz

2.-No se cumple la segunda

La función puede no tener limite debido a:

Que los límites laterales no coincidan

f(x)=2x

f(x)=-2x+1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Exemplo:

que alguno, o ninguno de los límites laterales exista :(que el límite lateral sea +∞ ou -∞):

f(x)=1/(x-1)

f(x)=-2x+1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

f(x)=1/(x-1)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Diremos que tenemos una discontinuidad de salto finito. El salto es la diferencia entre los valores de los límites laterales.

Diremos entonces que tenemos una discontinuidad de salto infinito o esencial

3.- No se cumple la 3ª:

f(x)=x^2

f(x)=x^2

Serie 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Ejemplo:

Cuando los límites laterales coinciden pero el valor de la función el distinto tenemos una

Discontinuidad evitable.

Podemos evitarla redefiniendo la función en el punto problemático con el valor de los límites laterales:

sería continua en x=0.