MATEMATICAS I Unidad 11: Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas.

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Unidad 11: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

EJERCICIOS PROPUESTOS (11 ejercicios obligatorios para entregar el día del examen de la segunda evaluación o de su

recuperación)

Para estudiar la continuidad (entre otras cuestiones) introducimos una herramienta que es el

cálculo de límites.

En el siguiente video te muestran qué significan

los límites cuando se tiene delante la gráfica de una

función. (La visión de este video es obligatoria para ti si

pretendes entender qué es esto de los dichosos límites)

Ejercicio 11 – 1 .-

Dibuja en tu cuaderno la función y el valor de los

límites laterales y en el infinito que aparecen en este

video. Video 11 – 1 – 1 :

https://www.youtube.com/watch?v=Lg9fOAgpkOw

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Comenzamos con los limites en el infinito positivo. Tenemos varios gráficos posibles:

Caso 1: Limites en el infinito positivo

Como ves este límite hace referencia al comportamiento de la curva cuando se desplaza

hacia la derecha.

Seguimos con el limite en el infinito negativo. Tenemos otros también varias situaciones

distintas:

Caso 2. Limites en el infinito negativo

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Como ves este límite hace referencia al comportamiento de la curva cuando se desplaza

hacia la izquierda. Y estos son sólo algunos de los casos posibles.

Caso 3. Limites en un valor de x concreto

Como puedes observar hay tres posibilidades: que algún limite sea infinito, esto quiere

decir que la función sube hasta el infinito o baja hasta el infinito; que sean distintos los límites

laterales; y por último, que los dos limites laterales sean iguales.

En tu libro encontrarás representados gráficamente los límites, estúdialos con atención.

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Ejercicio 11 – 2 .-

Ejercicio 11 – 3 .-

Ejercicio 11 – 4 .-

Una idea para grabar a fuego en tu frente: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE

FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.

Por si no te ha quedado claro te lo repito: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE

FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.

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Por lo tanto, calcular límites es algo tan sencillo como saber usar bien la calculadora. Si no

la manejas bien, pues revisa el archivo anexo de uso de la calculadora científica. Ponte a ello, pero

ya. Ejemplos: Sea la función

I) Calcula el Nos acercamos a 0 dando a x valores por la derecha o por la izquierda: Por ejemplo, demos valores

a su derecha, es decir, positivos:

. Ahora otra más cercano a

cero.

No hace falta dar más valores a x, pues al aparecer muchos nueves deducimos que estos valores de

la función se aproximan cada vez más a uno. Así concluimos que

Para confirmar que este limite también vale 1 si nos acercamos por la izquierda damos valores, por

ejemplo:

Pues parece que así es, también se aproximan estos valores hacia 1.

ii) Calcula el

Nos acercamos a -1 dando a x valores por la derecha o por la izquierda: Por ejemplo, demos valores

a su derecha, es decir, mayores de menos uno:

No hace falta dar más valores a x, pues no aparecen decimales y no se aproximan hacia nada

deducimos que estos valores de la función se alejan cada vez más hacia valores grandes. Así

concluimos que

Para confirmar que este limite también vale infinito positivo si nos acercamos por la izquierda

damos valores, por ejemplo:

Pues parece que estábamos equivocados, estos valores no se alejan hacia el infinito

positivo sino hacia el infinito negativo.

Tenemos que hablar de acercarnos a -1 por la izquierda o por la derecha:

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El límite de la función cuando x se aproxima a -1 por la DERECHA vale infinito positivo, Y

esto lo escribimos así: (EL EXPONENTE + NOS PUEDE

CONFUNDIR, TIENES QUE INTERPRETARLO COMO DERECHA)

El límite de la función cuando x se aproxima a -1 por la IZQUIERDA vale infinito

positivo, y esto lo escribimos así: (EL EXPONENTE - NOS PUEDE

CONFUNDIR, TIENES QUE INTERPRETARLO COMO IZQUIERDA)

Existen otros procedimientos de cálculo para NO tener que calcular un límite de esta

manera como hemos procedido aquí, mira qué fácil:

Sea la función

En este último caso hay que estudiar por la derecha y por la izquierda, para descubrir el

signo del infinito.

Cuando se produce la indeterminación

existen diversos procedimientos para resoverla.

Uno de ellos es el que hemos visto más arriba usando la calculadora. Las indeterminaciones las

estudiaremos en la unidad siguiente utilizando las derivadas.

(Entiende que los límites te pueden resultar algo extraño pero que calcular un límite no

te va a suponer ninguna dificultad)

Ejercicio 11 – 5 .-

Ahora realiza tú los cálculos por la derecha y por la izquierda como en el ejemplo anterior y

calcula

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No te propongo ningún ejercicio porque estos límites los calcularemos más adelante cuando

conozcamos la derivada de una función.

Una idea para grabar a fuego en tu frente: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE

FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.

Por si no te ha quedado claro te lo repito: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE

FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.

Por lo tanto, calcular límites es algo tan sencillo como saber usar bien la calculadora. Si no

la manejas bien, pues revisa el archivo anexo de uso de la calculadora científica. Ponte a ello, pero

ya.

Ejemplos: Sea la función

(esta función es un cociente de polinomios, no es

un polinomio sino una función más complicada, pero nos viene bien para este

ejemplo)

II) Calcula el Nos acercamos a infinito positivo dando a x valores cada vez más grandes: Por ejemplo:

No hace falta dar más valores a x, pues deducimos que estos valores de la función se aproximan

cada vez más a cero. Así concluimos que

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III) Calcula el

Nos acercamos a infinito negativo dando a x valores cada vez más grandes. Por ejemplo:

No hace falta dar más valores a x, pues deducimos que estos valores de la función se

aproximan cada vez más a cero. Así concluimos que

Atento al siguiente procedimiento para resolver este tipo particular de limites de cociente de

polinomios. Cuidado: este procedimiento sólo es válido cuando los límites son en infinito positivo o

infinito negativo.

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A continuación te voy a mostrar un problema con enunciado en el que se utilizan los límites

cuando x tiende a infinito para resolver la última cuestión.

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Las funciones definidas a trozos, que estudiamos el curso pasado, no son muy diferentes a

las otras cuando calculamos límites. La única precaución que debemos tomar es elegir bien en cual

de las ramas o trozos se calcula el límite. Por ejemplo:

Si nos piden calcular el limite cuando x tiende a menos infinito tomamos la rama de arriba.

Si nos piden calcular el limite cuando x tiende a mas infinito tomamos la rama de abajo.

Si nos piden calcular el limite cuando x tiende a 1 debemos estudiar los límites laterales.

Primero tomamos la rama de arriba (es la izquierda de 1 pues x<1 indica números menores de 1).

Ahora vamos a calcular el limite cuando x tiende a 1 por la derecha y tomamos la rama de

abajo.

Como los dos límites laterales coinciden podemos decir que existe el límite cuando x tiende

a 1 y vale dos.

Imaginemos que la función relacionase la temperatura

dentro de una habitación a lo largo del tiempo . Que la función sea continua significa que a

pequeñas variaciones de tiempo corresponden pequeñas variaciones en la temperatura. Una

discontinuidad en la función traería como consecuencia la imprevisibilidad en la temperatura dentro

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de la habitación. Pensamos que los fenómenos de la naturaleza se comportan de forma continua

cuando estudiamos sus variaciones a lo largo del tiempo.

En tu libro de texto encontrarás la representación gráfica de las discontinuidades. Veamos

un ejemplo:

Estudiemos la función representada arriba:

- En x = 0 la curva de la función presenta un agujero, a esto se llama discontinuidad evitable.

- En x = 1 la curva presenta un salto (pasa de valer casi 2 de altura a bajar súbitamente a -1 de

altura). A esta discontinuidad se le llama de salto finito.

- En x = 2 la curva no se corta y decimos que la función es continua, Lo mismo ocurre en x = 3.

Esta otra función presenta en x = 2 una

discontinuidad de tipo hipérbola, es decir que para

valores de x cercanos a 2 la altura de la función es

muy pero que muy grande en positivo o en negativo.

A esta discontinuidad se le llama de salto infinito.

Una función que es continua en todos los

valores de x de un intervalo se dice que es continua en

el intervalo, esto supone que su representación gráfica

es un trozo de línea curva continua.

Ejercicio 11 – 6 .-

Estudia la discontinuidad de las siguiente función según su gráfica.

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Ejercicio 11 – 7 .-

Estudia la discontinuidad de las siguientes funciones según su gráfica.

Te voy a mostrar varios ejercicios resueltos para que veas qué fáciles son.

Ejemplo:

El siguiente ejemplo me parece interesante y no difícil. Quiero que le prestes atención.

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Ejercicio 11 – 8 .-

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Ejercicio 11 – 9 .-

Resuelve en tu cuaderno la asíntota vertical que se calcula en este video.

Video 5 – 12 – a : https://www.youtube.com/watch?v=UKaYxibfqV4

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Ejercicio 11 – 10 .-

Resuelve en tu cuaderno el

cálculo de las asíntotas horizontales de

las funciones que aparecen en el

siguiente video.

Video 11 – 13 – a :

https://www.youtube.com/watch?v=P7

m-u3IuAFY

Ejercicio 11 – 11 .-

Resuelve en el ejercicio que aparece en el video la asíntota oblícua.

Video 5 – 15 – a : https://www.youtube.com/watch?v=yoAPeT7_mq8