Resumen Límites y Continuidad

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  • PARTICULAR UNIVERSIDAD

    RESUMEN LIMITES Y CONTINUIDAD DE

    FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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    Celular: 0299-155-681-926

  • Indice general

    1. Revision de funciones de una variable 11.1. Funciones de una Variable Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Operaciones con Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Crecimiento - Decrecimiento de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Funciones Algebraicas y Trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2. Lmite de Funciones 72.1. Lmite Finito de una Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Lmite Finito de Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Existencia del Lmite - Lmites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Propiedades de los Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5. Lmites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6. Relaciones entre Lmites Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. Lmite cuando x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8. Teoremas de los Lmites cuando x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9. Infinitesimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10. Lmites indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11. El numero e como lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.12. Asntotas lineales de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3. Continuidad de Funciones 213.1. Definiciones y Teoremas de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Discontinuidades, clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Propiedades de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Continuidad de una Funcion Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Teorema de la Permanencia del Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7. Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8. Teorema del Valor Intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  • 1Revision de funciones de una

    variable

    Funciones de una variable.Definicion. Dominio e imagen. Operacionescon funciones: suma, resta, producto y cociente de funciones. Compo-sicion de funciones. Crecimiento y decrecimiento. Funciones pares eimpares. Funciones algebraicas y trascendentes. Funciones inyectivas,sobreyectivas y biyectivas. Funcion inversa.

    1.1 Funciones de una Variable Real

    Una funcion f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente unelemento, llamado f(x) en un conjunto B

    Dominio de una funcion es el conjunto A de todos los numeros reales, para los cuales f(x) estadefinida.

    Codominio de una funcion es el conjunto B formado por los valores posibles de f(x) cuandox vara a traves del dominio. Tratandose de funciones de una sola variable, consideramos elcodominio el conjunto de los numeros reales R.

    Funciones polinomicas

    Funciones Polinomicas

    De Grado 0 Funcion ConstanteDe 1 Grado Funcion LinealDe 2 Grado Funcion CuadraticaDe 3 Grado Funcion Cubica

    Funcion valor absoluto f(x) = |x|Valor absoluto de una funcion y = |f(x)|

    |f(x)| ={

    f(x) si f(x) 0f(x) si f(x) < 0

    Funciones Racionales son aquellas de la forma f(x) = P (x)Q(x) donde P (x) y Q(x) son polinomios

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    1.2 Operaciones con Funciones

    Como los numeros reales, las funciones reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse(excepto cuando el denominador es cero) para obtener nuevas funciones.Si f y g son funciones reales, definidas para toda x que pertenezca al dominio de f como de g, esdecir, x Dom(f) Dom(g) definimos las funciones

    (f + g)(x) = f(x) + g(x)

    (f g)(x) = f(x) g(x)(f g)(x) = f(x) g(x)(fg

    )(x) = f(x)g(x) para cualquier punto Dom(f) Dom(g) en el que g(x) 6= 0

    Definicion 1.2.1 (Composicion de funciones).Dadas f y g dos funciones, composicion f g (f composicion g) esta definida por

    (f g) (x) = f (g(x))

    El dominio de f g consiste en los numeros x del dominio de g para los que g(x) esta definida en eldominio de f .

    Figura 1.1: Dominio f g

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    1.3 Crecimiento - Decrecimiento de Funciones

    Diremos que f es una funcion creciente en el intervalo abierto I tal que I Dom(f) si

    x1, x2 I se cumple que si x1 < x2 f(x1) f(x2)

    Diremos que f es una funcion Decreciente en el intervalo abierto I tal que I Dom(f) si

    x1, x2 I se cumple que si x1 < x2 f(x1) f(x2)

    (a) Funcion Creciente (b) Funcion Decreciente

    Figura 1.2: Funcion Creciente y Decreciente

    Diremos que f es una funcion estrictamente creciente en el intervalo abierto I tal queI Dom(f) si

    x1, x2 I se cumple que si x1 < x2 f(x1) < f(x2)

    Diremos que f es una funcion estrictamente Decreciente en el intervalo abierto I tal queI Dom(f) si

    x1, x2 I se cumple que si x1 < x2 f(x1) > f(x2)

    Funciones monotonas son aquellas funciones estrictamente crecientes o estrictamente decre-ciente en todo su dominio.

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    1.4 Funciones Pares e Impares

    Definicion 1.4.1. Diremos que f es una funcion par si y solo si x Dom(f) se cumple quef(x) = f(x)Definicion 1.4.2. Diremos que f es una funcion impar si y solo si x Dom(f) se cumple quef(x) = f(x)

    (a) Funcion Par (b) Funcion Impar

    Figura 1.3: Funcion par e impar

    1.5 Funciones Algebraicas y Trascendentes

    Definicion 1.5.1.

    Se denomina funcion algebraica cuando la aplicacion se expresa mediante un numero finitode operaciones algebraicas, es decir, suma, resta, multiplicacion, division, raz, efectuadas sobrela variable.

    Se denomina funcion trascendente a todas aquellas funciones que no son algebraicas, es decir,las trigonometricas, logartmicas, exponenciales, etc.

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    1.6 Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

    Definicion 1.6.1 (Funcion Inyectiva).Una funcion f es una funcion inyectiva si para todo par de puntos x1, x2 en el Dom(f) se cumple

    quef(x1) = f(x2) x1 = x2 (Demostracion)

    x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2) (Contrarrecproco - Contraejemplo)Graficamente, una funcion es inyectiva, si toda recta paralela al eje x corta a la funcion en un solo

    punto.

    (a) Inyectiva (b) Funcion NO inyectiva

    Figura 1.4: Funcion inyectiva

    Definicion 1.6.2 (Funcion Sobreyectiva).Una funcion f : A B es una funcion sobreyectiva, si y solo si, para todo y B existe unx A tal que y = f(x).

    Recordando que A es el dominio de f y B es el codominio de f , diremos que, una funcion essobreyectiva, si y solo si, la imagen coincide con el codominio.

    Definicion 1.6.3 (Funcion Biyectiva).Una funcion f es una funcion biyectiva, si y solo si, es inyectiva y sobreyectiva.

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    1.7 Funcion Inversa

    Definicion 1.7.1.Una funcion g es la inversa de la funcion f si f(g(x)) = x x Dom(g) y g(f(x)) = x x Dom(f)La funcion g se denota por f1 (se lee como inversa de f).

    Observaciones

    Si g es la funcion inversa de f , entonces f es la funcion inversa de g.

    Una funcion puede no tener una funcion inversa, pero si la tiene, la funcion inversa es unica.

    El dominio de f1 es el rango de f y el rango de f1 es el dominio de f . Graficamente.

    Figura 1.5: Dominio y rango de una funcion inversa

    El grafico, en el mismo sistema, de una funcion y su inversa es simetrico respecto a la rectay = x

    Figura 1.6: Grafico de una funcion f(x) y su inversaf1(x)

  • 2 Lmite de Funciones

    Lmite finito. Definicion. Lmites finitos de funciones elementales enuna variable. Existencia del lmite. Lmites laterales. Propiedades de loslmites. Algebra de los lmites. Lmites infinitos. Relaciones entre lmitesfinitos e infinitos. Lmites cuando la variable tiende a infinito. Lmitesindeterminados. Infinitesimos. El numero e como lmite. Asntotaslineales de la grafica de una funcion.

    2.1 Lmite Finito de una Funcion

    Definicion 2.1.1 (Lmite finito de una funcion).Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de a, excepto posiblemente el mismo a. Decimos

    que el lmte de f(x) cuando x se aproxima a a es el numero L, y escribimos

    lmxa f(x) = L

    Si, para cada numero > 0, existe un numero > 0 correspondiente tal que, si

    0 < |x a| < = |f(x) L| <

    Interpretacion GeometricaEn la figura 2.1 sea un numero positivo, la frase f(x) se acerca arbitrariamente a L significa quef(x) pertenece al intervalo (L , L+ )Del mismo modo, la frase x se aproxima a a significa que existe un numero positivo tal que xpertenece al intervalo (a , a+ ).

    Figura 2.1: Definicion del lmite de f(x) cuando x tiende a a

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    2.2 Lmite Finito de Funciones Elementales

    La siguiente tabla brinda un resumen del calculo del lmite para funciones basicas y sencillas

    Funcion Constante f(x) = k lmxa k = kFuncion Identidad f(x) = x lmxa x = a

    Funcion Lineal f(x) = mx+ b m 6= 0 lmxamx+ b = ma+ b

    Funcion Cuadraticaf(x) = (x a)2 lmxa(x a)2 = 0

    f(x) = px2 + qx+ c p 6= 0 lmxa px2 + qx+ c = pa2 + qa+ cTabla 2.1: Lmites de funciones elementales

    2.3 Existencia del Lmite - Lmites Laterales

    Definicion 2.3.1 (Limite lateral derecho).Sea f una funcion definida en todos los numeros de algun intervalo abierto (a, a + ). Entonces, el

    lmite de f(x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

    lmxa+

    f(x) = L

    Si para cualquier > 0, independientemente de que tan pequena sea, existe una > 0 tal que si0 < x a < = |f(x) L| <

    Figura 2.2: Lmite lateral derecho

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    Definicion 2.3.2 (Lmite lateral izquierdo).

    Sea f una funcion definida en todos los numeros de algun intervalo abierto (a , a). Luego, el lmitede f(x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

    lmxa

    f(x) = L

    Si para cualquier > 0, independientemente de que tan pequena sea, existe una > 0 tal que si < x a < 0 = |f(x) L| <

    Figura 2.3: Lmite lateral izquierdo

    Se prueba facilmente que si una funcion admite al mismo numero real como lmite por derechay por izquierda del punto a entonces dicha funcion tiene lmite finito en el punto a, formalmentedecimos.

    Si lmxa f y lmxa+ f existen y son iguales a L lmxa f(x) existe y es igual a L.

    Teorema 2.3.1 (Existencia del lmite).

    Tambien puede probarse que si los lmites por la derecha y por la izquierda del punto a son distintosentonces la funcion no tiene lmite finito en ese punto. Otro teorema importante es el siguiente:

    Si el lmxa f(x) existen entonces es unico

    Teorema 2.3.2 (Unicidad del lmite).

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    Supongamos que g(x) f(x) h(x) para toda x en algun intervalo abierto que contenga ac, excepto posiblemente en el mismo x = c. Supongamos tambien que

    lmxc g(x) = lmxch(x) = L

    entonceslmxc f(x) = L

    Teorema 2.3.3 (Estriccion).

    Figura 2.4: Teorema de Estriccion

    El teorema de estriccion o tambien denominado el teorema del emparedado se refiere al lmite de unafuncion que esta encajada o emparedada entre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo lmiteen un valor dado de x, como se muestra en la figura 2.4. Este teorema no solo es importante en lademostracion del teorema 2.3.4, sino que se utiliza para probar algunos de los teoremas importantesen el calculo.

    1. lmx0sen(x)x = 1 y lmx0

    xsen(x) = 1

    2. lmx01cos(x)

    x = 0

    Teorema 2.3.4 (Lmites especiales).

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    2.4 Propiedades de los Lmites

    Sean b, c numeros reales, n un numero entero positivo y f y g funciones con los siguienteslmites

    lmxc f(x) = L

    ylmxc g(x) = M

    1. Multiplo escalar: lmxc[b f(x)] = b L2. Suma o Diferencia: lmxc[f(x) g(x)] = LM3. Producto: lmxc[f(x) g(x)] = L M

    4. Cociente: lmxc[f(x)g(x)

    ]= LM supuesto M 6= 0

    5. Potencias: lmxc [f(x)]n = Ln lmxc [f(x)]n = [lmxc f(x)]n

    Teorema 2.4.1 (Algebra de los lmites).

    Sea c un numero real,

    1. Lmite de funciones polinomicas: Sea p una funcion polinomica. Entonces.

    lmxc p(x) = p(c)

    2. Lmite de funciones racionales: Sea r(x) = p(x)q(x) una funcion racional, tal que q(c) 6= 0.Entonces

    lmxc r(x) = r(c)

    Teorema 2.4.2.

    Sea n un entero positivo. El siguiente lmite es valido para todo c si n es impar, y para todoc > 0, si n es par.

    lmxc

    nx = n

    c

    Teorema 2.4.3 (Lmite de una funcion radical).

    Si f y g son funciones tales que lmxc g(x) = L y lmxc f(x) = f(L) entonces

    lmxc f [g(x)] = f(L)

    Teorema 2.4.4 (Lmite de una funcion compuesta).

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    Sea c un numero real en el dominio de la funcion trigonometrica dada. Entonces

    1. lmxc sen(x) = sen(c)

    2. lmxc cos(x) = cos(c)

    3. lmxc tg(x) = tg(c)

    4. lmxc sec(x) = sec(c)

    5. lmxc ctg(x) = ctg(c)

    6. lmxc cosec(x) = cosec(c)

    Teorema 2.4.5 (Lmites de funciones trigonometricas).

    Si una funcion f tiene lmite finito y positivo en un punto a, entonces el lmite del logaritmoes el logaritmo del lmite. Es decir

    lmxa f(x) = L

    con L > 0 y finito, entonces

    lmxa [logb (f(x))] = logb [limxaf(x)] con b > 1

    Teorema 2.4.6 (Lmites de funciones exponenciales y logartmicas).

    2.5 Lmites Infinitos

    Sea f una funcion definida en todo numero de algun intervalo abierto I que contenga a a,excepto posiblemente, el numero mismo a. Cuando x tiende a a, f(x) crece sin lmitelo cual se escribe

    lmxa f(x) = + N > 0, > 0/0 < |x a| < = f(x) > N

    Teorema 2.5.1 (Lmite al +).

    Figura 2.5: f(x) tiende al infinito conforme x a

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    Sea f una funcion definida en todo numero de algun intervalo abierto I que contenga a a,excepto posiblemente, el numero a . Cuando x tiende a a, f(x) decrece sin lmite locual se escribe

    lmxa f(x) = N < 0, > 0/0 < |x a| < = f(x) < N

    Teorema 2.5.2 (Lmite al ).

    Figura 2.6: f(x) tiende a menos infinito conforme x a

    Si r es cualquier entero positivo, entonces

    1. lmx0+ 1xr = +

    2. lmx0 1xr ={ si r es impar

    + si r es par

    Teorema 2.5.3.

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    2.6 Relaciones entre Lmites Finitos e Infinitos

    Si a es cualquier numero real, y si lmxa f(x) = 0 y lmxa g(x) = c donde c es unaconstante diferente de cero, entonces

    1. Si c > 0 y si f(x) 0 a traves de valores positivos de f(x), lmxa g(x)f(x) = +

    2. Si c > 0 y si f(x) 0 a traves de valores negativos de f(x), lmxa g(x)f(x) =

    3. Si c < 0 y si f(x) 0 a traves de valores positivos de f(x), lmxa g(x)f(x) =

    4. Si c < 0 y si f(x) 0 a traves de valores negativos de f(x), lmxa g(x)f(x) = +

    El teorema tambien es valido si x a se sustituye por x a o x a+

    Teorema 2.6.1.

    1. Si lmxa f(x) = + y lmxa g(x) = c, donde c es una constante cualquiera, entonces

    lmxa [f(x) + g(x)] = +

    2. Si lmxa f(x) = y lmxa g(x) = c, donde c es una constante cualquiera, entonces

    lmxa [f(x) + g(x)] =

    3. Si lmxa f(x) = + y lmxa g(x) = c, donde c es una constante cualquiera, exceptocero, entonces

    Si c > 0, lmxa [f(x) g(x)] = +Si c < 0, lmxa [f(x) g(x)] =

    4. Si lmxa f(x) = y lmxa g(x) = c, donde c es una constante cualquiera, exceptocero, entonces

    Si c > 0, lmxa [f(x) g(x)] = Si c < 0, lmxa [f(x) g(x)] = +

    El teorema tambien es valido si x a se sustituye por x a o x a+

    Teorema 2.6.2.

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    2.7 Lmite cuando x

    Cuando x el lmite puede o no existir.

    Definicion Interpretacion Grafica

    Decimos que f(x) tiene el lmite L cuando x tiendeal infinito, y escribimos

    lmx f(x) = L

    > 0, M/x > M = |f(x) L| <

    Decimos que f(x) tiene el lmite L cuando x tiendea menos infinito, y escribimos

    lmx f(x) = L

    > 0,N/x < N = |f(x) L| <

    Tabla 2.2: Existencia del lmite cuando x

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    Definicion Interpretacion Grafica

    lmx+ f(x) = +

    M > 0,K > 0/x > K = f(x) > M

    lmx f(x) = +

    M > 0,K < 0/x < K = f(x) > M

    lmx+ f(x) =

    M < 0,K > 0/x > K = f(x) < M

    lmx f(x) =

    M < 0,K < 0/x < K = f(x) < M

    Tabla 2.3: No existencia del lmite cuando x

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    2.8 Teoremas de los Lmites cuando x

    Si L, M y k son numeros reales y

    lmx f(x) = L

    ylm

    x g(x) = M

    entonces

    1. Regla de la suma y resta: lmx [f(x) g(x)] = L+M2. Regla del producto: lmx [f(x) g(x)] = L M3. Regla del multiplo constante: lmx [k f(x)] = k L

    4. Regla del cociente: lmxf(x)g(x) =

    LM , M 6= 0

    5. Regla de la potencia: Si r y s son enteros sin factores comunes, s 6= 0 , entonces

    lmx [f(x)]

    r/s = Lr/s

    siempre y cuando Lr/s sea un numero real

    Teorema 2.8.1 (Leyes de los lmites cuando x ).

    Si p > 0 es un numero real, entonces lmx+ 1xp = 0

    Teorema 2.8.2.

    Si p es un numero positivo tal que xp es un numero real para x < 0, entonces lmx 1xp = 0

    Teorema 2.8.3.

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    2.9 Infinitesimos

    Definicion 2.9.1. Se dice que f es un infinitesimo en el punto a si y solo s

    lmxa f(x) = 0

    El producto de un infinitesimo en el punto a por un numero real, o por una funcion acotadaen un entorno del punto a, es un infinitesimo en el punto a

    Teorema 2.9.1 (Infinitesimo por acotado).

    Cociente de infinitesimosSi f y g son infinitesimos en el punto a, esto es lmxa f(x) = 0 y lmxa g(x) = 0

    En general

    lmx0

    f(x)

    g(x)= `

    {Si ` 6= 0 f y g son infinitesimos del mismo ordenSi ` = 1 f y g son infinitesimos equivalentes

    Algunos infinitesimos equivalentes

    lmx0

    ln(1 + x)

    x= 1

    Teorema 2.9.2.

    lmx0

    ex 1x

    = 1

    Teorema 2.9.3.

    lmx0

    ax 1x

    = ln(a)

    Teorema 2.9.4.

    Se debe tener en cuenta que el cociente de dos infinitesimos puede tener cualquier lmite, finito oinfinito.

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    2.10 Lmites indeterminados

    Definicion 2.10.1. Un lmite es indeterminado cuando no puede anticiparse o determinarse el resul-tado.

    Casos de indeterminacion del lmite

    1)- Cociente de dos infinitesimos.

    2)- Cociente de dos infinitos.

    3)- Producto de un infinitesimo por un infinito.

    4)- Suma de dos infinitos de distinto signo.

    5)- f(x)g(x) si f(x) 1 y g(x)6)- f(x)g(x) si f(x) 0 y g(x) 07)- f(x)g(x) si f(x) y g(x) 0

    2.11 El numero e como lmite

    lmx0

    (1 + x)1x = e

    y

    lmx

    (1 +

    1

    x

    )x= e

    2.12 Asntotas lineales de la grafica de una funcion

    Definicion 2.12.1 (Asntota Vertical).Una recta x = a es una asntota vertical de la grafica de una funcion y = f(x) ya sea que:

    lmxa+ f(x) = se dice entonces que f(x) tiene asntota vertical derecha (AVD)lmxa f(x) = se dice entonces que f(x) tiene asntota vertical izquierda (AVI)

    Para hallar la/s asntotas verticales de una funcion, en general, se buscan los valores donde eldenominador se anula.

    Definicion 2.12.2 (Asntota Horizontal).Una recta y = b es una Asntota horizontal de la grafica de una funcion y = f(x), si se satisface

    alguna de las condiciones siguientes.

    lmx f(x) = b Asntota derecha

    lmx f(x) = b Asntota izquierda

    Si f(x) tiene asintota derecha y asntota izquierda entonces se dice que f(x) tiene asntota horizontal

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    Definicion 2.12.3 (Asntotas Oblcuas).Decimos que:

    1)- Una recta y = ax+ b se dice asntota oblicua derecha (AOD) de f(x) si

    lmx+ [f(x) (ax+ b)] = 0

    2)- Una recta y = ax+ b se dice asntota oblicua izquierda (AOI) de f(x) si

    lmx [f(x) (ax+ b)] = 0

    Se dice que la funcion f(x) tiene asntota oblicua y = ax+ b si tiene AOD y AOI.

    Si la recta y = ax+ b es asntota oblcua derecha de f(x) entonces

    a = lmx+

    f(x)

    x

    yb = lm

    x+ [f(x) ax]

    Si la recta y = ax+ b es asntota oblcua izquierda de f(x) entonces

    a = lmx

    f(x)

    x

    yb = lm

    x [f(x) ax]

    Teorema 2.12.1.

  • 3 Continuidad de Funciones

    Definicion de funcion continua en un punto y en un intervalo. Disconti-nuidades y su clasificacion. Algebra de las funciones continuas. Teoremade la permanencia del signo. Teoremas sobre las funciones continuas enintervalos cerrados: Teorema de Bolzano. Teorema del valor intermedio.Teorema de Weierstrass.

    3.1 Definiciones y Teoremas de continuidad

    Definicion 3.1.1 (Continuidad en un punto).Sea f(x) una funcion y a un punto del dominio de f ; f es continua en x = a si y solo si:

    1. f(a)2. lmxa f(x)3. lmxa f(x) = f(a)

    En smbolos, utilizando y . Decimos que f es continua si se verifica lmxa f(x) = f(a) segun ladefincion 2.1.1, esto es:

    > 0, > 0 tal que si |x a| < 1 = |f(x) f(a)| <

    Definicion 3.1.2. Una funcion continua es aquella que es continua en todos los puntos de sudominio, aunque no es necesario que lo sea en todos los intervalos.

    Definicion 3.1.3 (Continuidad en la recta ).Una funcion que es continua en toda la recta real (,+) se llama funcion continua en todas

    partes.

    Definicion 3.1.4 (Continuidad en un intervalo abierto).Decimos que una funcion es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto

    del intervalo.

    Definicion 3.1.5 (Continuidad en un intervalo cerrado).Se dice que una funcion f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], si es continua en el

    intervalo abierto (a, b) ylmxa+

    f(x) = f(a)

    ylmxb

    f(x) = f(b)

    La funcion es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

    1En el caso de que la funcion fuera continua x puede valer a por eso NO escribimos 0 < |x a| <

    21

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    3.2 Discontinuidades, clasificacion

    Si una funcion no cumple una de las tres condiciones vistas en la definicion 3.1.1, entonces decimosque f(x) es discontinua en x = a.

    f presenta una discontinuidad evitable en el punto x = a si y solo si f es discontinua en a yexiste el lmite finito en a

    f presenta una discontinuidad esencial en el punto x = a si y solo si f es discontinua en a y f(x)no tiene lmite finito en a

    3.3 Propiedades de la continuidad

    Si b es un numero real y f y g son funciones continuas en x = a, entonces las siguientesfunciones tambien son continuas en x = a

    1)- Multiplo escalar: b f2)- Suma y Diferencia: f g3)- Producto: f g4)- Cociente: fg , si g(a) 6= 0

    Teorema 3.3.1 (Algebra de funciones continuas2).

    En cuanto a la continuidad de funciones polinomicas y racionales podemos asegurar ydemostrar que:

    Cualquier polinomio es continuo en todas partes, es decir, es continua en (,+)Cualquier funcion racional es continua, siempre que este definida; es decir, es continuaen su dominio.

    Teorema 3.3.2 (Continuidad de funciones polinomicas y racionales).

    Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo numero en sus dominios:

    Polinomios

    Funciones Racionales

    Funcion Raz

    Funciones Trigonometricas

    Funciones Trigonometricas Inversas

    Funciones Exponenciales

    Funciones Logartmicas

    Teorema 3.3.3.

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    3.4 Continuidad de una Funcion Compuesta

    Si g es continua en a y f es continua en g(a), la funcion compuesta (f g) (x) = f [g(x)] escontinua en x = a.

    Teorema 3.4.1 (Continuidad de una funcion compuesta 3).

    3.5 Teorema de la Permanencia del Signo

    Sea f(x) una funcion continua en a tal que f(a) 6= 0. Existe entonces un intervalo (a, a+)en el que f(x) tiene el mismo signo que f(a)

    Teorema 3.5.1 (Teorema de la permanencia del signo).

    3.6 Teorema de Bolzano

    Sea f(x) una funcion continua en [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, entonces existe por lo menosun punto c (a, b) tal que f(c) = 0

    Teorema 3.6.1 (Teorema de Bolzano).

    Figura 3.1: Teorema de Bolzano

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    3.7 Teorema de Weierstrass

    Si f(x) es continua en [a, b] entonces f tiene al menos un maximo absoluto y un mnimoabsoluto en el intervalo cerrado.

    Teorema 3.7.1 (Teorema de Weierstrass).

    3.8 Teorema del Valor Intermedio

    Sea f(x) una funcion continua en [a, b] y sea N cualquier numero entre f(a) y f(b), dondef(a) 6= f(b). Existe un numero c (a, b) tal que f(c) = N

    Teorema 3.8.1 (Teorema del valor intermedio).

    Interpretacion GeometricaEl teorema del valor intermedio afirma que una funcion continua toma todos los valores entre losvalores de la funcion f(a) y f(b). Observese que el valor N se puede tomar una vez (figura 3.2(a) ) omas de una vez (figura3.2(b) )

    (a) TVM - El valor lo toma una vez (b) TVM - El valor lo toma mas de una vez

    Figura 3.2: Teorema del Valor Intermedio