LÍMITES DE FUNCIONES

CONTINUIDAD

Aurora Domenech

FUNCIÓN CONVERGENTE32)( 2 xxxf

Es convergente a 2 cuando x tiende a 1

2)32(lim 2

1

xx

x

Función no convergente

• Cuando existe algún punto donde la función no converge:

• Función:

01

01)(

xx

xxxf

LL

xxfL

xxfL

xx

xx

1)1(lim)(lim

1)1(lim)(lim

00

00

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN(EN UN PUNTO)

• LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA

• LÍMITE LATERAL

POR LA IZQUIERDA

• LÍMITE

2)(lim0

kxfLxx

kxfLLxx

)(lim0

1)(lim0

kxfLxx

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

• Si f(x) es una función habitual dada por su expresión analítica , y f(x) es continua en su dominio y c pertenece al dominio , entonces para hallar:

• Calcularemos sencillamente: f(c)

)(lim xfcx

EJEMPLOS DE CÁLCULODE LÍMITES EN UN PUNTO

59494lim)

3

10

3

10

52

2·5)5

5(lim)

93)(lim)

1

2

22

3

xc

x

xb

xa

x

x

x

f(x)=x2 es polinómica y por lo tanto continua en R, por lo tanto como x=3

está en el dominio,sustituimos en la función.

La función es continua en todos los reales menos en x=5, pero en x=2 no hay discontinuidad, por lo tanto sustituimos directamente en la función.

La función es continua para valores mayores o iguales que -9/4, por lo tanto el x=-1 entra dentro de su dominio. Sustituimos en la función.

CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

cxxf

cxxfxf

)(

)()(

2

1

C es el “punto de ruptura”

a es cualquier otro punto del dominio

• Cálculo del límite en el punto de ruptura x=c

Calculamos límites laterales

• Cálculo del límite en otro punto del dominio x=a (a≠c)

)()(lim)(lim 11 cfxfxfcxcx

)()(lim)(lim 22 cfxfxfcxcx

)()(lim)(lim 22 afxfxf

casi

axax

)()(lim)(lim 11 afxfxf

casi

axax

COCIENTE DE DOS POLINOMIOS

)(

)(

)(

)(lim

cQ

cP

xQ

xPcx

EL DENOMINADORNO SE ANULA

EN x=cEl denominador se

anula en x=c, pero noel numerador

Se anulan tanto Numerador como

DenominadorEn x=c

)(

)(lim

xQ

xPcx

Estudiar límites laterales

0

0

INDETERMINACIÓN

Descomponer plonimomios, simplificar y recalcular

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

• Deben cumplirse:– Existe el valor de la

función en el punto

– Existen los límites laterales en dicho punto

– Todos los valores calculados coinciden

)(cf

Lxfcx

)(lim

f(c)=L

FUNCIONES CONTINUAS EN TODOS SUS PUNTOS

12)( 23 xxxxf

2)(

2 x

xxf

12)( 23 xxxxf

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

• DISCONTINUIDAD EVITABLE EN UN PUNTO

cxxf

)(lim

No coincide con el valor de f(c) ó

No existe el valor de f(c)

Pero…

Discontinuidades evitables

12

1)(

xx

xxxf

1

-1

•Existen los límites laterales•Tienen el mismo valor

•F(x) no está definida para x=1

TIPOS DE DISCONTINUDADES II

• DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DE SALTO FINITO

LOS LÍMITES LATERALES EN EL PUNTO EXISTEN

PERO NO TOMAN EL MISMO VALOR

TIPOS DE DISCONTINUDADES III

• DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DE SALTO INFINITO

ALGUNO DE LOS LÍMITES LATERALES EN EL PUNTODIVERGEN AL+∞ Ó - ∞

LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

(Comportamiento en los extremos)

)(lim xfx

)(lim xfx

kxfx

)(limASÍNTOTA HORIZONTAL

KY

3

Y=3 Y= -2

Cuando para valores muy grandes de x la función se mantiene cerca de un valor fijo.

Cálculo de límites cuando x ∞

•Funciones polinómicas: será + ∞ ó - ∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor grado.

•Funciones inversas de polinómicas: será cero

33

33

2lim532lim

2lim532lim

xxx

xxx

xx

xx

02

1lim

532

1lim

02

1lim

532

1lim

33

33

xxx

xxx

xx

xx

Cálculo de límites cuando x ∞•Funciones racionales:

•Grado del numerador menor que el denominador, será cero

•Grados iguales será el cocientes de los términos de mayor grado

•Grado del numerador mayor que el denominador, será +∞ ó -∞ dependiendo del coeficiente de mayor grado del numerador

02

1lim

4

2lim

4

532lim

25

3

25

3

xx

x

xx

xxxxx

2

1

4

2lim

4

532lim

3

3

23

3

x

x

xx

xxxx

2

lim4

2lim

4

532lim

3

2

5

22

5 x

x

x

xx

xxxxx

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓNUna asíntota es una recta hacia la cual

se dirige la gráfica de una función .

VERTICALES HORIZONTALES

OBLICUAS

)(lim0

xfxx

ASÍNTOTA VERTICAL 0XX

0X X=2

kxfx

)(lim

ASÍNTOTA horizontal ky

ASÍNTOTA OBLICUA nmxy

Cálculo de m y n

x

xfm

x

)(lim

xmxfnx

·)(lim

En el caso de las funciones racionales, solo existen si el denominador es una grado menor que el numerador.