Análisis Matemático I -límites y continuidad

7/29/2019 Anlisis Matemtico I -lmites y continuidad

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RESPONSABLES:

DIAZ ESPINOZA SANDY MEDALITH.

RAMIREZ CRUZ YALEMI LIBERTAD.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

12

ANLISISMATEMTICO I


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Universidad Nacional de Ingeniera CivilCajamarca-SJ II-ciclo

Lmites y continuidad

Lic. Snchez Culqui Eladio Pgina 2

INDICE

I. INTRODUCCIN 4II. OBJETIVOS 5

II.1. OBJETIVOS GENERALES: 5

II.2. OBJETIVOS ESPECFICOS: 5III. MARCO TERICO 6

LMITES Y CONTINUIDADIII.1 LMITES 6III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIN: 6III.1.2 FUNCIN ACOTADA: 7III.1.3 EL LMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: 7

III.1.4 OBSERVACIONES: 10III.1.5 TEOREMAS SOBRE LMITES: 10TEOREMA 1: 10TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LMITE: 9TEOREMA3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: 9

III.1.6. LMITES LATERALES: 10a) LMITE DE f POR LA DERECHA: 10a) LMITE DE f POR LA IZQUIERDA: 10

III.1.7 LMITES INDETERMINADOS: 11III.1.10LMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MXIMO ENTERO Y

SIGNO DE x:12

DEFINICIN DE VALOR ABSOLUTO: 12DEFINICN DE MXIMO ENTERO: 12DEFINICIN DE FUNCIN SIGNO DE X: 12

III.1.9. LMITES TRIGONOMTRICOS: 12III.1.10. LMITES FINITOS: 13III.1.11. LMITES AL INFINITOS: 13III.1.12. ASNTOTAS: 13

1) ASNTOTA VERTICAL: 132) ASNTOTA HORIZONTAL: 133) ASNTOTA OBLICUA: 13

III.2. CONTINUIDAD 14

III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: 14III.2.4. CONTINUIDAD EN TRMINOS DE VENCIDADES: 18III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: 18III.2.6. DISCONTINUIDAD: 18

III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: 18III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 19

1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: 192) DISCONTINUIDAD INEVITABLE: 19
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3) DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE: 20 Discontinuidad finita. 20 Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: 24

DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: 24III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: 24

III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: 25III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: 25

III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: 29III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: 29III.2.11. FUNCIONES ACOTADAS: 31III.2.11.1. FUNCIN ACOTADA SUPERIORMENTE: 31III.2.11.2. FUNCIN ACOTADA INFERIORMENTE: 34III.2.12. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: 34

III.2.12.1. TEOREMA DEL CERO: 34III.2.12.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): 35

III.2.12.3.TEOREMA DE ACOTACI LOCAL: 35III.2.12.4. TEOREMA DE ACOTACIN GLOBAL: 35III.2.12.5. TEOREMA DEL VALOR MXIMO Y MNIMO (Teorema de Karl

Weierstrass):35

III.2.12.6. TEOREMA DE CONTINUIDAD: 35III.2.5. OBSERVACIONES: 35

IV. Anexos: 36V. MISCELNEA DE EJERCICIOS 37


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I. INTRODUCCIN

La nocin de lmite de una funcin es el tema central del clculo matemtico, es tal

vez el ms importante, pues esta ntimamente ligada a los conceptos de continuidad,

derivada e integral. Es por esto que antes de dar una definicin formal del concepto de

lmite analizaremos ciertas definiciones, como punto de acumulacin y una serie de

ejemplos que sentaran las bases y a la vez facilitarn la comprensin de diversos

trminos que intervienen en la definicin rigurosa.

Es preciso recalcar que es de suma importancia abordar los temas antes ya

mencionados debido a su estrecha relacin con el clculo matemtico la misma que

repercute e influye mucho en la realizacin y ejecucin de los proyectos de ingeniera

civil.

A continuacin trataremos los temas propuestos en este presente trabajo

monogrfico, de una manera profunda, tratando de enriquecer nuestro conocimientocon la ayuda de los conceptos obtenidos a travs de esta recopilacin de informacin.

En esta monografa hemos considerado importante mencionar y tratar ciertos

puntos caractersticos relacionados con los temas: lmites y continuidad, cuyos conceptos

nos facilitara reforzar el proceso de aprendizaje para que luego podamos aplicarlo en la

realidad.


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II. OBJETIVOSII.1. OBJETIVOS GENERALES:

Conocer y manejar las nociones de Anlisis Matemtico que son bsicas para elestudio de esta y otras asignaturas del rea: Lmites y continuidad de funciones

reales de varias variables reales. Este objetivo se abordar al analizar e interpretar geomtricamente diversos

conceptos y resultados, y plantear problemas.

Adquirir destreza en la modelizacin y resolucin de problemas de la vida realque se puedan abordaren nuestro campo de trabajo.

II.2. OBJETIVOS ESPECFICOS: Calcular el lmite de una funcin real. Establecer la continuidad o discontinuidad de una funcin real dada, en

cualquier punto de su dominio.


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III. MARCO TERICO

LMITES Y CONTINUIDAD

III.1 LMITES

III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIN:

DEFINICIN 1:

Dado un subconjunto A de nmeros reales ), diremos que un punto es unpunto de acumulacin de A si cualquier vecindad contiene por lo menos unpunto x de A distinto de

.

DEFINICIN 2:

Sea , diremos que es punto de acumulacin de A si: Es decir:

| |

ANLSIS MATEMTICO I

LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.

Pg.DEFINICIN 1:Sea el conjunto entonces se llama punto de acumulacin de S, si solosi, todo intervalo abierto y cerrado en contiene por lo menos un punto distintode s.Esto es

es punto de acumulacin de

y

se cumple:

Equivalentemente es es punto de acumulacin de:

| | ANLSIS MATEMTICO I

Autor: R. Figueroa G.Pag140.


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III.1.2 FUNCIN ACOTADA:

Se dice que una funcin

es acotada sobre un conjunto

si el conjunto de

imgenes f(s) est acotado, es decir, si existe un nmero real llamado cota, talque: || Equivalentemente:

Es acotada sobre Donde m yMson las cotas inferiores y superiores respectivamente.

ANLSIS MATEMTICO I

Autor: R. Figueroa G.Pg.143

III.1.3 EL LMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL:

DEFINICIN 1:

Sea una funcin con valores reales definidos en :Sea

un punto de acumulacin de A.

Diremos que el numero L es el lmite de f(x) cuando x tiende hacia y escribiremos si para cada nmero real , dado arbitrariamente podemosencontrar tal que si y | | entonces | | .Definicin simblica:

Sea es punto de acumulacin de A.

| | | | ANLISIS MATEMTICO ILMITES Y CONTINUIDAD.

Autor: Moiss Lzaro C.


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DEFINICIN 1:

Sea

una funcin definida en cada nmero de algn intervalo abierto que

contiene a , excepto posiblemente en el numero mismo. Se dice que L es el lmite dela funcinfen sin y slo si para cada nmero existe un nmero tal que si con la propiedad de que si:Formalmente:

| | | |

| | | |

ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.

pg.151III.1.4 OBSERVACIONES:

III.1.5 TEOREMAS SOBRE LMITES:

TEOREMA 1:

Sea

puno de acumulacin de

, entonces:

Es decir, si alguno de estos lmites existe entonces, el otro tambin existe.

DEMOSTRACIN:

1)Si ; tal que: | | | | 2)Hagamos que:

; donde si

entonces

3)Sustituimos 2) en 1): || | | Por tanto esto implica que:

ANLSIS MATEMTICO I

LMITES Y CONTINUIDAD.


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Autor: Moiss Lzaro C.Pg.

TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LMITE:

Si existe este es nico.DEMOSTRCIN:Sea punto de acumulacin deSi , entonces:

1)Debemos comprobar que: | | , lo cual implica: 2)Por hiptesis se tiene:

Luego dado cualquier

existe

tales que para:

| | | | | | | |

3)Obtenemos: . Como es punto de acumulacin de A podemosencontrar tal que | | . Entonces:| | | | | | | |

ANLSIS MATEMTICO I


TEOREMA 3:TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH:

Sea punto de acumulacin deSi para todo tenemos y adems:

, entonces:

ANLSIS MATEMTICO I



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III.1.5. LMITES LATERALES: Los limites laterales def, por la izquierda y por la derechade , se presentan cuando se realiza restringiendo el dominio de la funcin f a lossubconjuntos siguientes:

.

.b) LMITE DE f POR LA DERECHA:Definicin:L es el lmite por la derecha de si dado: tal que: | | | | O tambin:

| | Denotacin:

Se lee:Lmite lateral derecho defen

c) LMITE DE f POR LA IZQUIERDA:Definicin:El valor L es el lmite de f por la izquierda de si:

Dado , que depende de y del punto tal que: | |

O equivalentemente:

| | Denotacin: Se lee:Lmite lateral izquierdo defen

III.1.5.1. TEOREMAS:

Sifest definida en un entorno reducido de a, y si

entonces se cumple

que: ANLSIS MATEMTICO I

Autor: A. Venero B.Pag.267


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III.1.6 LMITES INDETERMINADOS:

Las formas indeterminadas ms usadas son:

a)

b)

c)

Otras formas indeterminadas son:

a) b) c) d) 1. Clculo de lmites indeterminados de forma:

Si , entonces para evitar la indeterminacin se harn ciertas operacionesen el numerador y/o denominador de modo que se pueda simplificar el binomio .Casos que se presentan:CASO I:

Si son POLINOMIOS de grado n y m respectivamente, y ,entonces la indeterminacin se evita tan solo FACTORIZANDO el numeradory/o eldenominador, de modo que el binomio se simplifique as: .CASO II:

Si

son RADICALSE y

, entonces la indeterminacin se evita

RACIONALIZANDO en el denominador y /o numerador.

CASO III:

Si son FUNCINES TRIGONOMETRICAS, y , entonces laindeterminacin se evita haciendo uso del teorema de y algunasidentidades trigonomtricas.

ANALSIS MATEMATICO I

LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.III.1.7 LMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MXIMO ENTERO Y SIGNODE x:

Cada vez que se tenga funciones con valor absoluto, mximo entero y signo de x, sedeber tener en cuenta las correspondientes definiciones:


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1. DEFINICIN DE VALOR ABSOLUTO: || . .2. DEFINICN DE MXIMO ENTERO:

3. DEFINICIN DE FUNCIN SIGNO DE X:

ANLSIS MATEMTICO I


III.1.10. LMITES TRIGONOMTRICOS:

Para calcular lmites trigonomtricos, se har uso del siguiente teorema:

De este teorema se deducen los siguientes teoremas siguientes:

ANLSIS MATEMTICO I


III.1.9. LMITES FINITOS:

III.1.10. LMITES AL INFINITOS:
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III.1.11. ASNTOTAS:

1)ASNTOTA VERTICAL: La recta se una asntota verticalde la grfica de lafuncion de si:

i. Si

tal que

siempre que: ii. Si tal que siempre que:

iii. Si tal que siempre que:

iv. Si tal que siempre que:

2)ASNTOTA HORIZONTAL: La recta

se una asntota horizontal de lagrfica de la funcion de si:i. Sea A es ilimitado superiormente.

Dada , escribamos: S y slo si: Tal que: | |

ii. Dada , A es ilimitado inferiormente.

Dado que

existe un nmero

,

Tal que: | | 3)ASNTOTA OBLICUA:la recta es asntota oblicua de la grfica de la

funcin si se cumple lo siguiente:i.

ii.


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III.2. CONTINUIDAD

III.2.1. DEFINICIN:

La idea de continuidad de una continuidad de una funcin f en un punto

de su

dominio , es decir que la grfica no tenga rupturas tipo saltovertical a lo largo de la recta vertical . La funcinfes continua en si par cada , existe un tal que: | | | |

GRFICA


Pag.307

III.2.2 DEFINICIN2:Sea Si es punto que pertenece al dominio de en el cualno es continua, entoncesdecimos que

es discontinua

en o que tiene una discontinuidad en

ANLSIS MATEMTICO I

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III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO:

Se dice que una funcines continua en si y solo si:

Ejemplos de funciones continuas en un punto de sus dominios son:

Funciones polinmicas: Funciones racionales:

Funciones trigonomtricas:

y

es continua en todo punto de

, en todo tal que . en todo tal que


pag.308

Para que valores de la funcin definida es continua:

Solucin:

Siendofuna funcin seccionada, los posibles puntos de continuidad se presentan en launin de los intervalos de definicin, esto es, en Analicemos lacontinuidad en cada caso.

1. Continuidad en

EJEMPLOS 1
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i) fest definida en pues en -3 = -2ii) siest en la vecindad de 1 y , entonces los valores defse acumulan

cerca de: Siesta en la vecindad de 1 y , entonces los valores de f se acumulancerca de:

Como existe

iii) se cumple que:

, luego fes continua en 2. continuidad en i) en , existe.

ii) Si est en la vecindad de 2 y , entonces los valores defseacumulan cerca de: Si est en la vecindad de 2 y , entonces los valores defseacumulan cerca de:

Como

iii) No se cumple la condicin: Entonces la funcinfno es continua en En consecuencia, la funcin es continua en todo su dominio, exceptoen Grafica


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Sea la funcin:

Analizar la continuidad de f en los puntos Solucin:

Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos:

1. Continuidad en

i) ii)

Luego, existe iii) Como , la funcin es discontinua en 2.Anlogamente se determina que tambinfes discontinua en

EJEMPLOS 2


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3.La grafica de f es:

III.2.4. CONTINUIDAD EN TRMINOS DE VENCIDADES:

Una funcines continua y solo si, para prximo a,es prximo a ANLSIS MATEMTICO I

Autor: R. Figueroa G.Pag.309

III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD:

Se dice que una funcin es continua en el punto si, y solo si, se satisfacenlas siguientes condiciones:

i.

esta definida, es decir, existe

.

ii. Existe .iii. ANLSIS MATEMTICO I


III.2.6. DISCONTINUIDAD:

III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD:

En trminos de la grfica de una funcin, la discontinuidad implica una interrupcin, unsalto o ruptura en el trazado de dicha grfica, originadas por dos motivos:

a) Que el existe, pero debe ser diferente ab) Que elno exista.


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Pag.315

III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD:1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: Un punto se dice que es de discontinuidadremovible o evitable si se cumple lo siguiente:i. .

ii. Graficas:

ANLSIS MATEMTICO I


2)DISCONTINUIDAD INEVITABLE: Un punto se dice que es de discontinuidadesencial o inevitable si se cumple que:

i. ii.

Grafico


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Pag.315Se puede distinguir dos clases de discontinuidad: DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:

Discontinuidadfinita: se tiene en cuenta las siguientes condiciones:

Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: secumple lo siguiente:

DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: si no existe limites laterales en Es decir: Si esto ocurre tambin se denomina discontinuidad infinita.

ANLSIS MATEMTICO I


Sea la funcin:

EJEMPLOS 1


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Analizar la continuidad de fen todo su dominio.

Solucin:

Teniendo en cuenta que:

=

1, si 0, -1,

Entonces:

Analicemos ahora las condiciones de continuidad en 1. Continuidad en

i) ii)

Dado que existe iii) Se cumple que:


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2. Continuidad en i) ii)

Como no existe iii) No se cumple que:

3. Continuidad en

Comono est definida, pues Si existe, significa que Luego la extensin continua de la funcin fen es:

Sea la funcin:

, si 1

, si Esbozar la grfica mostrando todas las asntotas existentes e indicar los puntos

de discontinuidad.Solucin:

1. Interseccin con los ejes coordenados.En a) Eje

EJEMPLOS 2


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b) Eje y: No hay interseccin.En

a)Eje y: La curva pasa por el origen.2.Asntotas verticales

Para , ; Luego, es una asntota vertical en ambos sentidos.Para Es una asntota vertical hacia abajo.

3.Asntotas horizontales

6 || 7=-1 (par ||

Entonces, es una asntota horizontal * += No existe asntota horizontal.4. asntotas oblicuas

En: = No existe asntota oblicua izquierda.En

:

=

=1

= =-2Luego, es una asntota oblicua derecha.

5. Puntos de continuidadEn la discontinuidad es esencial ya que ambas rectas sonasntotas verticales. Sin embargo en :


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1)= , existeAdems como

1), no existe pues

y

Existe; entonces es un punto de discontinuidad evitable y podemosredefinir.

, si

III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL:

III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA:

Una funcin es continua por la derecha de , si y slo si:i.

existe.

ii. | | ANLSIS MATEMTICO I



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Una funcin fes continua por la derecha en si para cada existe uncorrespondiente tal que:

| |

i) est definida.ii)

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.

Pag.348III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA:

Una funcin

es continua por la izquierda de

si y slo si:

i. existe.ii. | |


Pag.324

Una funcin fes continua por la izquierda en si para cada existe uncorrespondiente tal que: | | i) est definida.ii)

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.348


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III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS:

III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO:

DEFINICIN1:

Una funcines continua sobre un conjunto , si la funcin restringida,denotado por es continua en cada punto deSegn la forma de

a) Si la funcines continua sobre , si escontinua se cumple:

b) Si , la funcines continua sobre , si secumple:

i. ii. c) Si , la funcines continua sobre, si se

cumple: d) Si la funcines continua sobre, si se

cumple:

ANLSIS MATEMTICO I


DEFINICIN2:

La funcinfse dice que es continua sobre un conjunto si la funcinrestringida es continua en cada punto de De manera que:

Si

la definicin dada resulta equivalente a:La funcines continua sobre si es continuacada punto de

Si la definicin dada resulta equivalente a:La funcines continua sobre .

Si , la definicin equivale a que:La funcines continua sobre


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Determinar la continuidad de la funcin || en el intervalo Solucin:La funcin f es discontinua en

Sin embargo fes continua sobre el conjunto

.

En consecuencia, la funcin f es continua en

La funcin definida por:

Es continua sobre Solucin:

Dado que f es continua en , lo ser en

EJEMPLOS 1

EJEMPLOS 2


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i) = =

ii) Sea entonces Luego pero como

=

Por lo tanto, f ser continua en , si definimos:

Sea la funcin:

, si

, si Hallar las asntotas de la grfica, analizar la continuidad defen Solucin:

a)Determinacin de las asntotas1.Asntotas horizontales:En asintotas horizontales.2.Asntotas verticales:

EJEMPLOS 3


29/59




En es una asntotavertical hacia arriba.

En

Entonces es una asntota vertical hacia arriba.3.Asntotas oblicuas:

En * + Por lo tanto

es una asntota oblicua derecha

b)Continuidad de f en Continuidad en :i)

Luego, f es continua por la izquierda de ydiscontinua en Continuidaden

Entonces


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III.2.9. FUNCIONES ACOTADAS:

III.2.9.1. FUNCIN ACOTADA SUPERIORMENTE:

Una funcin est acotada superiormente sobre un conjunto , si elconjunto de imgenes est acotado superiormente, es decir, si existe un nmeroreal tal que

ANLSIS MATEMTICO I


III.2.9.2. FUNCIN ACOTADA INFERIORMENTE:

Una funcin est acotada inferiormente sobre un conjunto , si elconjunto de imgenes est acotado inferiormente, es decir, si existe un nmero real tal que

ANLSIS MATEMTICO I



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Hallar el supremo e nfimo de la funcin

, siSolucin:

Sea= Si Invirtiendo se tiene: Luego: ,* +-

{ }

Sea la funcin:

|| Y S= Hallar si existen el y el .

Solucin:

Como la funcin seno es acotada, esto es: y|| || ||

EJEMPLOS 1

EJEMPLOS 2


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Por consiguiente:

, -

, - 0Como Grafica

III.2.10. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS:III.2.10.1. TEOREMA DEL CERO:

Sea una funcin continua en Si ytiene signosopuestos, es decir, si:

Entonces existe un nmero c en el intervalo abierto


Pag.349

Usando el teorema del cero, demostrar que la parbola seintersecta con la curva

Solucin:

1. SeanA: C

NOTA: Este teorema tiene su aplicacin en la solucin de ecuacin de la forma .

EJEMPLOS 1


33/59




2.Si P( A

P(

C

3. Sea la funcin que es continua en 4.Analicemos el signo que toma la funcin f en los extremos de los intervalos y

Si a)Para

Si

Si b)Para

Si

5. Por tanto la parbola A intercepta a la curva C en dos puntos: Y

Sin resolver la ecuacin hallar el nmero desus races reales.

Solucin:

Sea , continua Por el teorema del cero sabemos que si y , entonces existe

EJEMPLOS 2
http://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imagenes


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Elegiremos entonces puntos del dominio de f tales que cumplan con elantecedente de la condicin dada, esto es:

1.

2.

3.

Por lo tanto, la ecuacin dad tiene tres races reales


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III.2.10.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO):Sea una funcin continua en y o .

Entonces y existe un nmero centre a yb tal que:

GRAFICA

ANLSIS MATEMTICO I


III.2.10.3.TEOREMA DE ACOTACI LOCAL:

Si es continua en el punto , entonces existe un nmero , tal queestacotada superiormente en el intervalo abierto es decir, existe un nmeroreal; tal que:

||


Pag.352


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III.2.10.4. TEOREMA DE ACOTACIN GLOBAL:

Sea una funcin continua sobre , se verifica quees acotadasobre


Pag352

III.2.10.5. TEOREMA DEL VALOR MXIMO Y MNIMO (Teorema de Karl Weierstrass):

Si es una funcin continua sobre , entonces existe en los cualesla funcin toma su valor mximo y su mnimo

ANLSIS MATEMTICO I


III.2.10.5. TEOREMA DE CONTINUIDAD:

Sea es una funcin univalente. Si es continua sobre el intervalo ,entonces la funcin inversa es continua sobre el intervalo con extremos en los

puntos .ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.

Pag.354III.2.5. OBSERVACIONES:

1. Debido a la definicin dada solamente tiene sentido analizar la continuidad de fen puntos del dominio de

2. No es necesario la restriccin: | | , pues al pertenecer alentonces para tambin se cumple que: | | ,puesto que

|

| .

3.

Si es adems un punto de acumulacin del entonces se tiene enforma equivalente que: F es continua en si se cumple las tres condiciones:

i. est definido.ii. iii.


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4. Si no es apunto de acumulacin del entonces f resultaautomticamente continua en . En efecto:

Existe una vecindad de de radio donde no existe ningn otro puntodel que sea diferente de de esta manera la condicin | |

es satisfecha por un nico punto

y para el

cual:

| | | |


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ANEXOS


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MISCELNEA DE EJERCICIOS

1.Evaluar los siguientes lmites:a) Solucin:

i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .ii. Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la

forma indeterminada:

. / . / . /

(

0 [ ] 1 0 1

)

(0 1

)

(0 1 0 1 )

( 20 1 0 1 3 )

20 1 0 1 3


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0 1 0 1 iii. Levantamos el lmite:

0 1 0 1

b)

. /Solucin:

i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .ii. Factorizamos tratando de eliminar, que es el factor que da la forma

indeterminada:

4 5

(

)

(

. /

)

(

)

(

)


41/59




(

6 7)

(

6 7 )

iii. Levantamos el lmite:

c) Solucin:i. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

ii. Factorizamos tratando de eliminar , factor que da la formaindeterminada:

. / (

)

)

( )


42/59




(

)

( )

)

( )

( )

iv. Levantamos el lmite:

d)

Solucin:v. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

vi. Factorizamos tratando de eliminar el factor que da la formaindeterminada:

. /


43/59




. /

(

)

(

)

(

)

( )

( . /

. /)

( . / . /)

vii. Levantamos el lmite:


44/59




e) Solucin:

viii. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada ix. Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la forma

indeterminada:

. / . /

(

)

( )

(

)

4 5

4 5x. Levantamos el lmite:


45/59




4 5

f)

Solucin:i. Determinamos el valor absoluto:

ii. Evaluamos el lmite: . /


46/59




g) Solucin:

i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada.

ii. Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la formaindeterminada: . / . /

.

/

. /

. /



47/59




h) . /

Solucin:

iv. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .v. Factorizamos tratando de eliminar, que es el factor que da la forma

indeterminada:

. / . /

4*

+ 5 4* + 5

. / .

/

. / . /vi. Levantamos el lmite:


48/59




i) Solucin:

i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada.

ii. Factorizamos tratando de eliminar, que es el factor que dala forma indeterminada:

.

/

.

/

. / . /


j) Solucin:

i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .ii. Factorizamos tratando de eliminar

que es el factor que da la forma

indeterminada:

. / . /


49/59




4 5

4

5

. / . / . /

.

/

. /iii. Levantamos el lmite:

k)

Solucin:i. Podemos expresar el lmite de la siguiente forma:

ii. Al evaluar el lmite del numerador, tenemos la forma indeterminada

.

iii. Pero cuando evaluamos el lmite del denominador obtenemos: iv. Para determinar el lmite del numerador, seguiremos el siguiente

procedimiento:

ii.1.


50/59




ii.2.

Donde:

ii.3. ii.4 evaluamos para

Al levantar el lmite obtenemos:

Como:

v. Por ltimo:

l) *+ Solucin:

i. Podemos expresar el lmite de la siguiente forma:


51/59




0 1

ii. Al evaluar los lmites, tenemos la forma indeterminada .iii. Para determinar el lmite del numerador, seguiremos el siguiente

procedimiento:

iii.1. iii.2.

Donde: iii.3. iii.4 evaluamos para

Al levantar el lmite obtenemos: Como:


52/59




iv. Para determinar el lmite del denominador, seguiremos el siguienteprocedimiento:

iv.1.

iv.2. Donde: iv.3.

iv.4 evaluamos para Al levantar el lmite obtenemos:

Como: v. Por ltimo:


53/59




2.Dada la circunferencia de radio y centro , en donde se cumple que ,calcular el lmite cuando tiende hacia del cociente entre el rea del tringuloyel rea del tringulo

Solucin:i. Reemplazamos y completamos datos:

ii. Calculamos el lmite:Cuando tiende a, entonces

iii. Determinamos el rea del tringulo:

iv. Determinamos el rea del tringulo : v. Determinamos :

vi. Reemplazamos en el lmite:

B

C DO

A

B

C DOA

sen

cos
http://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imageneshttp://d/mate/analisis%20II-%20monografias/imagenes


54/59




. /

vii. Levantamos el lmite:

3.Analizar la continuidad de la funcin en el punto , siendo:

Solucin:

i. Por definicin: ii. Si

iii. Analizamos: iii.1.

Tratamos de eliminar , factor que le da la formaindeterminada


55/59




Levantamos lmite: iii.1

Tratamos de eliminar , factor que le da la formaindeterminada

Levantamos lmite:

Nos podemos dar cuenta que: 4.Analizar la continuidad de la funcin dada por:

Solucin:a)Determinamos la continuidad en el punto :

i. ii. Como , analizamos el lmite por la derecha de :


56/59




Evaluamos el lmite: b)Determinamos la continuidad en el punto :

i. Determinamos: ii. Como , analizamos el lmite por la izquierda de

Evaluamos el lmite: 5.Dada la funcin:

Hallar los valores de y para que sea una funcin continua en Solucin:

c)Determinamos la continuidad en el punto :i.

ii. Determinamos para


57/59




Evaluamos los lmites:

6.Hallar los valores de las constantes y que posibilitan la continuidad, en todo sudominio, en las funciones dadas:a)

Solucin:

i.

Determinamos la continuidad en el punto :i.1. i.2. Evaluamos los lmites por la derecha como por la izquierda los cualesdeben ser iguales:

Evaluamos para:

Determinamos :

Reemplazamos y levantamos el lmite:

Evaluamos para:


58/59




.

/

4 5

. /

4 5

Levantamos el lmite:

.

/

4 5


59/59



ii. Por ltimo:

b) Solucin:i. Determinamos la continuidad en el punto :

i.1.

i.2. Evaluamos los lmites por la derecha como por la izquierda los cualesdeben ser iguales:

Evaluamos para:

.

/

Levantamos el lmite:

Análisis Matemático I -límites y continuidad

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