Tema 2. Límites y continuidad

Límites y Continuidad

Preparado Por: Prof. Gil Sandro Gómez 1

Tema 2. Límites y Continuidad

2.1 Límites y sus propiedades

Previo a dar una definición formal de límite, daremos una idea coloquial de

lo que se entiende acerca de esto, podemos decir que la definición

matemática de límite es muy cercana a lo de la vida común.

Si ( )f x se aproxima a L cuando la variable x tiende a c , sea por la

derecha o por la izquierda; decimos que L es el límite de ( )f x . Esto lo

escribimos de la forma lim ( )x c

f x L

.

Con este conocimiento podemos dar una definición más rigurosa de límite

de una función.

Dada la característica de este curso de Análisis Matemático el cálculo del

límite de una función lo haremos por sustitución directa.

Propiedades de los límites de una función.

Teorema 2.1. Algunos límites básicos.

Sean ,a c números reales y n un entero positivo. Entonces:

lim 2. lim 3. lim1. n n

x c x c x ca a x c x c

Teorema 2.2. Propiedades de los límites.

Sean ,b c números reales y n un entero positivo y ,f g funciones con los

siguientes límites:

lim ( ) y lim ( )x c x c

f x L g x K

Definición. Sea f una función definida en un intervalo abierto que

contiene a c (excepto, quizás en c ) y L un número real. La afirmación

lim ( )x c

f x L

Significa que dado un 0 existe un 0 tal que si 0 x c ,

entonces ( )f x L .



1. Múltiplo escalar: lim ( )x c

bf x bL

2. Suma o diferencia: ( ) ( )limx c

f x g x L K

3. Producto: ( ) ( )limx c

f x g x LK

4. Cociente: ( )

( )limx c

f x L

g x K

5. Potencia: ( )limn n

x cf x L

6. Radical: lim ( ) ( )n n

x cf x f c

Teorema 2.3. Límites de funciones polinómicas y racionales.

Sea p una función polinómica y c un número real. Entonces,

lim ( ) ( )x c

p x p c

Sea ( )

( )( )

p x

q xr x una función racional y c un número real, donde ( ) 0q x .

Entonces,

( ) ( )( )

( ) ( )lim ( ) limx c x c

p x p cr c

q x q cr x

Ha llegado el momento que iniciemos el cálculo de límites de funciones, dado

que tenemos un conocimiento que nos permite tener éxito en esta empresa.

Ejemplo 1. Calcule el límite de la siguiente función:

2

11. lim( 4 3)

xx x

Para calcular este límite sustituímos el valor de la variable en la función:

2 2

11. lim( 4 3) (1) 4(1) 3 1 4 3 5 3 2

xx x

Como podemos ver, el cálculo de un límite es algo sencillo, pero no por el

criterio de la definición.

Atendiendo al objetivo de nuestro curso no aplicaremos el criterio de la

definición.



Ejemplo 2. Halle el valor del límite de:

3 23 2

2

(2) 2(2) 9 8 2(4) 92 9 9 3lim

3 2 3 2 3 5 5x

x x

x

Teorema 2.4. Límite de una función compuesta

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones tales que lim ( )x c

g x L

y lim ( ) ( )x L

f x f L

, entonces

lim ( ( )) ( )x c

f g x f L

Ejemplo 2. Encuentre el límite de la función compuesta dada.

Teorema 2.5. Límites funciones trigonométricas

Sea 𝑐 un número real cualquiera en el dominio de la función trigonométrica

dada. Entonces,

1. lim ( ) 2. limcos cos( )

3. lim tan tan( ) 4. limsec sec( )

5. limcot cot( ) 4. limsec cs ( )

x c x c

x c x c

x c x c

senx sen c x c

x c x c

x c x c c

Ejemplo 3. Calcule los límites de las funciones trigonométricas siguientes:

2

1.lim( cos2 ) cos2 cos2 2 2

1 ( 1) 1 1 2

x

senx x sen sen

Después del recorrido que hemos hecho hasta el momento es necesario

establecer una estrategia clara que nos permita calcular el límite de una

función. El próximo teorema será de gran utilidad para todos.

Teorema 2.6. Funciones que coinciden en todo salvo en un punto

Sea c un número real y ( ) ( )f x g x para todo x c en un intervalo abierto

que contiene a c . Si existe el límite de ( )g x cuando x tiende a c , entonces

existe el límite de ( )f x y

( ) ( )lim limx c x c

f x g x



Ejemplo 4. Determine el límite de 22

2

4limx

x

x

Solución: Sean 2

2 1( ) y ( )

4 2

xf x g x

x x

dos funciones que coinciden en

todo menos en un punto. Para hallar el valor del límite de ( )f x primero

tenemos que factorizar.

Vamos a iniciar el proceso de factorización para analizar si es cierto que

ambas funciones coinciden en todo menos en un punto.

2

2 2 1( )

4 ( 2)( 2) 2

x xf x

x x x x

,

podemos observar que ( )f x es igual a ( )g x para todo 2x .

22 2 2

2 2 1 1 1

4 ( 2)( 2) 2 2 2 4lim lim limx x x

x x

x x x x

Estrategia para el cálculo de los límites

En algunas ocasiones estamos calculando el límite de una función, pero nos

encontramos que nuestro resultado es una forma indeterminada. Para resolver

este problema vamos a utilizar dos técnicas muy efectivas que detallaremos

más adelante.

Para poder llevar a cabo la tarea que enfrentaremos, es necesario tener

conocimiento de factorización y racionalización.

1. Aprenda a reconocer que los límites se pueden calcular por

sustitución directa.

2. Si el límite de ( )f x cuando x no se puede obtener por sustitución

directa, trate de encontrar una función g que coincida con f para

todo x c .

3. Use el teorema 2.6 para que llegue a una solución analítica donde

verifique que

( ) ( ) ( )lim limx c x c

f x g x g c

4. Para reforzar su conclusión puede utilizar una gráfica o una tabla.



Técnicas de cancelación y racionalización

En esta sección no haremos un esbozo teórico, sino algunos ejercicios que nos

permitan llevar a cabo con éxito este desafío.

Ejemplo 5. Calcule el siguiente límite

0

2 2limx

x

x

Hagamos la sustitución directa primero

0

2 2 0 2 2 2 2 0lim

0 0 0x

x

x

Como podemos observar, tenemos una forma indeterminada, y esto no nos

dice si el límite existe o no.

Ahora procederemos a multiplicar la expresión dada por su conjugado.

2

0 0 0

( 2) 42 2 2 2 2 2lim lim lim

2 2 2 2 2 2x x x

xx x x

x x x x x x

Simplificamos la expresión resultante:

0 0 0

2 2 1lim lim lim

2 2 2 2 2 2x x x

x x

x x x x x

Ya podemos calcular el límite

0 0

1 1 1 1lim lim

0 2 2 2 2 2 22 2 2 2x x

x

x x x

Ejemplo 6. Determine el valor del siguiente límite

2

21

2lim

1x

x x

x

Calculemos el límite de la forma acostumbrada

2 2

2 21

2 (1) 1 2 1 1 2 2 2 0lim

1 (1) 1 1 1 0 0x

x x

x



Como podemos observar, el cálculo directo del límite no nos permite decir si

el valor del límite existe o no. Para resolver este problema factorizaremos la

función dada.

2

21 1 1

2 ( 2)( 1) ( 2)lim lim lim

1 ( 1)( 1) ( 1)x x x

x x x x x

x x x x

Calculemos el límite de la expresión equivalente:

1

( 2) 1 2 3lim

( 1) 1 1 2x

x

x

El próximo teorema está basado en el límite de una función que está

encajada entre dos funciones, donde cada una tiene un límite para un mismo

valor de x dado.

2.7 Teorema del Encaje

Si ( ) ( ) ( )h x f x g x para todo x en un intervalo abierto que contiene a c ,

excepto posiblemente el propio c , y

lim ( ) lim ( )x c x c

h x L g x

Entonces lim ( )x c

f x

existe y es igual a L .

El teorema 2.7 tiene una gran utilidad para demostrar el siguiente teorema,

aunque nosotros en este curso lo obviaremos.

Teorema 2.8 Límites trigonométricos especiales

00

1 cos1. lim 1 2. lim 1

sen

Ejemplo 7. Calcule el valor del límite indicado

0

cos tanlim

Vamos a calcular este límite de forma directa

0

cos tan cos0tan0 (1)(0) 0

0 0 0lim



Podemos observar que el cálculo directo del límite nos lleva a una forma

indeterminada, ahora procederemos hacer algunos artificios para encontrar el

valor real del límite.

Transformemos la tangente en función del seno y coseno

0 0

coscoslim lim

sensen

Aplicando el teorema 2.8, tenemos que:

01lim

sen

Continuidad y Límites laterales

Las Matemáticas frecuentemente hace uso de términos que pensamos que no

tienen el mismo significado que en el lenguaje común, pero para sorpresa

nuestra en ese campo de la ciencia ese concepto envuelve el mismo sentido

que en lo cotidiano. Un ejemplo palpable de esto es el término continuidad

que lo entendemos como algo que no tiene interrupción en su gráfica.

Continuidad en un punto y en un intervalo abierto

Continuidad en un punto. Una función ( )f x es continua en un punto c si

cumple las siguientes tres condiciones:

1. ( )f c está definida

2. lim ( )x c

f x

existe

3. ( ) lim ( )x c

f c f x

.

Continuidad en un intervalo abierto: Decimos que una función ( )f x es

continua en un intervalo abierto ( , )a b si es continua en cada punto del

intervalo. Una función que es continua en la recta real ( , ) se denomina

continua en todas partes.

Sea I un intervalo abierto que contiene a un número real c . Si una función

está definida en I (excepto, posiblemente en c ) y no es continua en c , se

dice que f es discontinua en c . Las discontinuidades se clasifican en:

discontinuidad evitable y no evitable. Una discontinuidad en c se denomina

evitable si podemos redefinir ( )f c para que ésta sea continua.



Ejemplo 8. Determine si las siguientes funciones son continuas:

3 2 4

2 2 2

5 16 21. ( ) , 3 2. ( ) , 2 3. ( ) , 2

2 4 2

x x x x xf x x g x x h x x

x x x

Vamos a iniciar analizando el primer caso.

3 2

2

5( ) , 3

2

x x xf x x

x

Para que ( )f x sea continua en 3 x , debe cumplirse que:

(3) f esté definida, vamos a evaluar a f para ver si se cumplen las tres

condiciones de la definición.

3 2

2

(3) 5(3) 3 27 5(9) 3 27 45 3 691. (3)

(3) 2 9 2 11 11f

3 2 3 2

2 23

3

5 (3) 5(3) 3 27 5(9) 3 27 45 3 692. lim

2 (3) 2 9 2 11 11

3. (3) lim ( )

x

x

x x x

x

f f x

Como se puede observar, la función está definida en 3 x , el límite existe

cuando x tiende a 3 y el paso 1 y 2 son iguales, por tanto f es continua en 3.

Hagamos el análisis para g .

4

2

(2) 16 16 16 01. (2)

(2) 4 4 4 0g

Cuando evaluamos a g en 2 el resultado obtenido es una forma

indeterminada, por lo cual no podemos decir si es continua o no. Por nuestro

conocimiento de factorización sabemos que llevar una función a otra

equivalente.

Factoricemos a g :

4 2 22

2 2

16 ( 4)( 4)( ) 4

4 4

x x xg x x

x x

Evaluemos la nueva expresión:



2(2) (2) 4 4 4 8g , la función está definida en 2. Esto nos hace pensar

que g tiene una discontinuidad evitable, esto lo confirmaremos realizando los

siguientes dos pasos.

2 2

2lim 4 (2) 4 8x

x

, el límite existe.

Como 2

(2) lim ( )x

g g x

, podemos afirmar que la función tiene una

discontinuidad evitable.

Solo nos falta el caso 3, pasemos a ver que sucede:

2

23. ( ) , 2

4

xh x x

x

Evaluamos a h en 2.

2

2 2 4 4(2)

(2) 4 4 4 0h

La función no está definida en 2, por tanto la función es discontinua, y ésta es

inevitable.

Limites laterales y continuidad en un intervalo cerrado.

Para adentrarnos en el estudio de continuidad en un intervalo cerrado es

indispensable, primero estudiar el concepto de límite lateral.

Daremos una breve noción de lo que es un límite por la derecha. Esto significa

que x tiende a c por valores superiores a c . El límite por la derecha se denota

por

lim ( ) x c

f x L

por la derecha.

El límite por la izquierda nos dice que x tiende a c por valores inferiores a c .

Este límite se denota por

lim ( )x c

f x L

por la izquierda.

Los límites laterales son de gran utilidad cuando calculamos límites que

contienen raíces.



Los límites laterales podemos usarlo cuando vamos a investigar las funciones

escalón. La función escalón más típica es la función parte entera, la cual se

denota por x , la cual definimos como

x mayor entero n tal que n x .

Teorema 2.9 Existencia del límite

Dada f una función, y sean c y L números reales. El límite de ( )f x cuando

x tiende a c es L si y solo si

( ) ( )lim limx xc c

f x L y f x L

Del teorema 2.9 podemos concluir que si el límite de una función no coincide

por la derecha y por la izquierda, entonces no existe.

El concepto de límite lateral nos permite ampliar la definición de continuidad

hasta los intervalos cerrados.

Definición de continuidad en un intervalo cerrado

Viendo las definiciones de continuidad en intervalo cerrado y abierto

podemos dar definiciones similares para los intervalos mixtos.

Propiedades de la continuidad

Cada una de las propiedades del teorema 2.2 nos lleva a una correspondiente

en la continuidad de una función.

Teorema 2.10 Propiedades de la continuidad

Si k es un número real y f y g son funciones continuas en x c , entonces las

siguientes funciones son continuas en c .

Una función f es continua en un intervalo cerrado [ , ]a b si es

continua en el intervalo abierto ( , )a b y

( ) ( ) ( ) ( )lim limbx a x c

f x f a y f x f b

La función es continua por la derecha en a y continua por la

izquierda en b .



, ( ) 0

1. : 2. :

3. Pr : 4. : f

si g cg

Múltiplo escalar kf Suma y diferencia f g

oducto fg División

Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios:

1. Funciones polinómicas: 1

1 0( ) ...n n

n np x a x a x ax a

2. Racionales: ( )

( ) , ( ) 0( )

p xr x q x

q x

3. Radicales: ( ) nf x x

4. Funciones trigonométricas: , cos , tan , cot , sec , cscsenx x x x x x

Teorema 2.11 Continuidad de una función compuesta

Si g es continua en c y f es continua en ( )g c , entonces la función

compuesta ( )( ) ( ( ))f g x f g x es continua en c .

Teorema 2.12 Teorema del valor intermedio

Si f es continua en un intervalo cerrado [ , ]a b y k es cualquier número real

entre ( ) y ( )f a f b , existe al menos un número c en [ , ]a b tal que ( )f c k .

Nota: El teorema 2.12 nos informa que existe al menos un número c , pero no

nos dice como obtenerlo. Este tipo de teorema se denomina teorema de

existencia.

La demostración del teorema del valor intermedio requiere de la propiedad

de completitud de los números reales, lo cual se usa en curso más avanzado

de cálculo.

Límites infinitos

En algunas ocasiones estamos calculando el límite de una función, cuando

nos acercamos por la izquierda este decrece sin cota y cuando lo hacemos

por la derecha este crece sin cota también. En este caso decimos que el límite

es infinito ( o ) .

Definición. Límite infinito

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene c , salvo, en

el propio c . La expresión



lim ( )x c

f x

Significa que para todo 0M existe un 0 tal que ( )f x M siempre que

0 x c . Similarmente, la expresión

lim ( )x c

f x

Significa que para todo 0N existe un 0 tal que ( )f x N siempre que

0 x c . Para definir límite infinito por la izquierda, basta sustituir

0 x c por xc c . Y para definir límite infinito por la derecha

solo hay que cambiar a 0 x c por xc c .

Ejemplo 9. Determine si los siguientes límites existen o no.

3 22 5

2 4 51. lim 2. lim

8 25x x

x x

x x

Primero analicemos el caso 1, haciendo la sustitución directa del valor de la

variable.

3 32

2 2(2) 4 4lim

8 (2) 8 8 8 0x

x

x

Como podemos ver, el cálculo del límite nos dá infinito, por tanto éste no

existe. No debemos confundir esta situación a la forma indeterminada

estudiada anteriormente.

Investiguemos que sucede con el segundo problema.

2 25

4 5 4(5) 5 20 5 15lim

25 (5) 25 25 25 0x

x

x

Dado que el resultado obtenido es menos infinito, decimos que este límite no

existe. Esto implica que el límite decrece sin cota cuando x tiende a 5.

Asíntotas verticales

Tratemos de extender la gráfica del primer ejercicio del ejemplo 9 hacia el

infinito (positivo o negativo) y veremos que ambas se acercan a la recta 2x .

Esta recta es una asíntota vertical de la gráfica de la función.



Definición de asíntota vertical

Ojo: La asíntota vertical ocurre cuando el denominador se anula, no así el

numerador. Para generalizar este caso vamos a enunciar el siguiente teorema:

Teorema 2.13 Asíntotas Verticales

Sean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c . Si

( ) 0f c , ( ) 0g c y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que

( ) 0g x para todo x c en el intervalo, entonces la gráfica de la función

( )

( )( )

f x

g xh x

posee una asíntota vertical en x c .

x

y

Si ( )f x tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la

derecha o por la izquierda, se dice que la recta x c es una asíntota vertical

de la gráfica de f .



Ejemplo 10. Halle las asíntotas verticales de cada función.

2

3 2

2 1. ( ) . g( )

27 7 12

x x xa f x b x

x x x

Iniciemos buscando si la función ( )f x tiene asíntotas verticales:

Para saber si una función tiene asíntotas verticales, tenemos que igualar el

denominador a cero y luego resolver la ecuación resultante.

3 27 0x

Factorizamos la ecuación para hallar los ceros.

3 227 ( 3)( 3 9) 0x x x x

Igualemos a cero cada factor:

2( 3) 0, ( 3 9) 0x x x

Al resolver la ecuación hemos determinado que en 3x ( )f x tiene una asíntota

vertical.

La solución del segundo factor está en el campo de los complejos, por tanto no

es objeto de nuestro estudio.



Ahora desarrollemos el caso b.

Igualamos a cero el denominador de g( )x :

2 7 12 0x x

Por ser más sencillo resolvemos esta ecuación por factorización.

( 3)( 4) 0x x

La función tiene dos asíntotas verticales en: 3, 4x x

Las dos asíntotas verticales podemos observarla en la siguiente gráfica:

La línea recta de color verde que es paralela el eje de las x es la asíntota vertical

en 3x y la color azul es la que se ve en 4x .

Para concluir el tema 2 solo nos falta enunciar el próximo teorema, el cual tiene

mucha similitud con el teorema 2.2.

x

y



Teorema 2.14 Propiedades de los límites infinitos

Sean y Lc números reales, y f y g funciones tales que:

lim ( ) y lim ( )x c x c

f x g x L

1. Suma o diferencia: lim ( ) ( )x c

f x g x

2. Producto: lim ( ) ( ) , 0x c

f x g x L

lim ( ) ( ) , 0x c

f x g x L

3. Cociente: ( )

lim 0( )x c

g x

f x

Estas propiedades son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite

cuando x tiende a c es .

Ejemplo 11. Halle el valor de los siguientes límites y diga en caso que propiedad

del teorema 2.13 ha aplicado. Dada las funciones:

5( ) 8, ( ) y ( ) 32

xf x x g x h x x

x

2 2 2

( ). lim ( ) ( ) . lim . lim ( ) ( )

( )x x x

h xc f x g x d e f x g x

g x

Para mayor comodidad vamos a encontrar el límite de cada función

previamente y luego hacemos las sustituciones correspondientes.

5

2 2 2

2 2lim ( ) 2 8 6, lim ( ) , lim ( ) ( 2) 3 32 3 29

2 2 0x x xf x g x h x

Ahora procederemos hacer las sustituciones en cada caso.

2

. lim ( ) ( ) 6x

c f x g x

Propiedad 1 del teorema 2.13.

2

( ) 29 29. lim 0

( )x

h xd

g x


2. lim ( ) ( ) 6( )

xe f x g x


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