Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R ... · Unidad NºI. Límites y...

Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones. Mag.Ing. Alejandro Alfonso FONG LAU

Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R

Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010

65

UNIDAD NºI.

LÌMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE R EN R

CAPÍTULO Nº2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Concepto geométrico.

Geométricamente una función F es continua si su gráfica es una curva ininterrumpida

para todo x perteneciente al dominio de F. La línea es continua en el intervalo: x1; x2

Continuidad de una función en un punto

Una función F es continua en un punto de abscisa x0 sí y solo sí se verifican las tres

condiciones siguientes:

i) F(x0) existe, es decir si x0 DF entonces F(x0) R.

ii) )(0

xFlímxx

, existe, por tanto los límites laterales deben ser iguales, es

decir: )()(00

xFLímxFLímxxxx

iii) )()( 00

xFxFLímxx

, Significa que F(x0) debe coincidir con )(0

xFLímxx

Notas: .

1) La continuidad se analiza en cada uno de los números reales correspondientes a los

extremos de los intervalos.

2) Cuando se dice que el límite existe, debe entenderse que el límite existe en forma

finita, es decir, el límite es un número real.

Ejemplo Nº1




66

Dada la función

131

14

15

)(

3

xsix

xsi

xsix

xF ,a) Hallar el dominio de F.

b) Analizar si la función es continua en x = 1.

Solución.

a) RxDF ;111;:

b) Se analiza la continuidad en x = 1

i) F ( 1) = 4; está definido,

ii) 4)(4)()(;43131)(

4515)(

11111

3

11 xFlímxFlímxFlímxlímxFlím

xlímxFlím

xxxxx

xx

iii) 4)1()(1

Fxflímx

, se cumplen las tres condiciones de continuidad; luego la

función f es continua en x = 1.

Continuidad.-Definición formal

Una función F es continua en el punto de abscisa x0, con FDx0 si para todo >0

existe un > 0 tal que LxF )( siempre que 0xx .

Simbólicamente:

0;00xencontinuaesF tal que: 00 ,;.,)()( xxDxqsxFxF F }

Notas:

1. LxFLxF )()( ; LxFL )(

2. 00 xxxx , 00 xxx




67

Teoremas de continuidad de funciones en un número.

Si las funciones F y G son continuas en el número x0 se cumplen:

a) (F+ G) (x) = F(x) + G(x), es continua en x0

b) (F – G) (x) = F (x) – G)(x), es continua en x0

c) (FG) (x) = F(x) G(x) , es continua en x0

d))(

)()(

xG

xFx

G

F; es continua en x0; siempre que G(x) 0.

Teorema. Una función polinomial es continua en todos los reales

Teorema. Una función no polinomial(racional e irracional) es continua en todo

número de su dominio.

Ejemplo Nº2

Sean las funciones F(x)= x3 – 8 y G(x) = x

2 5x + 4.

a) Diga usted si F y G son o no continuas en el número x = 4

b) Diga usted si: F + G; F G; FG y F/G son continuas en x = 4

Solución.

a) F(x)= x3 – 8, función polinomial, es continua en R, luego es continua en x = 4

G(x) = x2 5x + 4; función polinomial, es continua en R, luego es continua en x = 4

b) Las funciones F y G son polinomiales , continuas en x = 4; luego la suma, resta,

multiplicación son funciones polinomiales luego continuas en x = 4




68

b-1) F + G (x) = F(x) + G(x) = x3 – 8 + x

2 5x + 4 = x

3 5x

2 + 4x – 4, función

polinomial, continua en R, y continua en x = 4

b-2) F G (x) = F(x) G(x) = x3 – 8 x

2 5x + 4 = x

3 x

2 +5x – 12, función

polinomial, continua en R, y continua en x = 4

b-3) F G (x) = F(x) G(x) = x3 – 8 x

2 5x + 4 = x

5 + 2x

4 + 4x

3 – 8x

2 – 16x – 32,

función polinomial, continua en R, y continua en x = 4.

b-4)45

8

)(

)()(

2

3

xx

x

xG

xFx

G

F, función racional(cociente de dos funciones

polinomiales)

La función racional es continua en su dominio.

x2 5x + 4 = (x 4)(x 1) 0, x 1 ; x 4; x < ; 1 > < 4; >




69

Teorema. Si n es un entero positivo y n xxF )( entonces:

a) si n es impar, n xxF )( es continua para todo x perteneciente a los reales

b) Si n 2 es par, n xxF )( es continua para todo x perteneciente a los reales no negativos.

Ejemplo Nº3

Sea la función a) 6)( 2 xxxG b) 5 7)( xxF , determinar todos los

valores de x para los cuales las funciones son continuas.

Solución.

a) 6)( 2 xxxG , función irracional donde n = 2 es par, G es continua cuando la

cantidad subradical es no negativa x2 – x – 6 0; (x – 3) (x + 2) 0,

La función es continua en su dominio: x < ; 2 3; >

b) b) 5 7)( xxF , función irracional donde n = 5 es impar, F es continua en su

dominio: x < ; > = R.

Ejemplo Nº 4

2 3

+ +




70

Hallar el valor de a y b para que la función.

11

112

152

)(

xsiax

xsiba

xsix

xF ,

sea continua en x = 1

Solución.

a) Dominio Rx ;111;

b) posible punto de discontinuidad: x =1

i) F (1) = 2a b + 1

ii) 6;71)()(;75252)(

11)(

1111

11 aaxFlímxFlímxlímxFlím

aaxlímxFlím

xxxx

xx

iii) )1(7)(1

FxFlímx

; 7 = 2a b + 1; 7 = 2(6) b + 1; b = 6

Discontinuidad.

Si una o más de las condiciones de continuidad no se cumplen para x = x0 entonces se

dice que la función y = F(x0) “es discontinua” en x = x0.

Tipos de discontinudad.

a) Esencial, y b) Removible o evitable

Discontinuidad esencial.

Se presenta cuando F(x0) no existe y/o )(0

xFlímxx

no existe

Representación geométrica de discontinuidad esencial

1) F(x0) no está definida .La discontinudad es esencial

2) F(x0) está definida; los limites laterales de F cuando x tiende a x0 existen pero no son




71

iguales, )()(00

xFlímxFlímxxxx

luego el límite de F cuando x tiende a x0 no existe; la

discontinuidad es esencial.

Discontinuidad evitable o removible

Es aquella función discontinua que verifica las dos primeras condiciones de continuidad

pero no la tercera,

i) F(x0) existe ;ii) existexFlímxx

),(0

, pero )()( 00

xFxFLímxx

,

puede trasformarse en una función continua redefiniendo el valor de F(x0) para que sea

igual a )(0

xFLímxx

; es decir; )()( 00

xFxFlímxx

.

Ejemplo Nº 5

Dada la función

267

23

26

)(

xsix

xsi

xsix

xF

a) Analizar si es continua en x = 2. b) Si es discontinua de que tipo es. c) Si es de

discontinuidad evitable redefina la función para que sea continua




72

Solución.

RxDF ;222;:

a)Se analiza la continuidad en x = 2

1.)i) x = 2; existe., f (2) = 3, está definido,

ii) 8)(8)()(;8626)(

861467)(

22222


xlímxFlím

xxxxx

xx

iii) )8)()2(8)(22

xFLímFxFLímxx

, no es continua.

b) F (2) existe; existexFlímx

)(2

luego discontinuidad evitable o removible.

c) Para que la función F sea continua: F (2) debe ser igual a 8, luego:

267

28

26

)(

xsix

xsi

xsix

xF

Ejemplo Nº 6

Dada la función

243

22

5

213

)(

2

xsix

xsix

xsix

xF

a) Analizar si es continua en x = 2. b) Si es discontinua de que tipo es. c) Si es de





73

Solución.

RxDF ;222;:

a) Se analiza la continuidad en x = 2

i.) definidonoF ;0

5

22

5)2( , la función F no es continua en x = 2

b) La función F es discontinua, tipo de discontinuidad: esencial.

Ejemplo Nº 7

Dada la función

39

35

329

)(2 xsix

xsi

xsix

xF

a) Analizar si es continua en x =3. b) Si es discontinua de que tipo es. c) Si es de


Solución.

RxDF ;333;:

a)Se analiza la continuidad en x = 3

i.) x = 3; F(3) = 5, está definido,

exitenoxFlímxFlímxFlímxlímxFlím

xlímxFlím

xxxxx

xx ,)()()(;36929)(

0999)(

33333

2

33

La función es discontinua, discontinuidad esencial.




74

Ejercicios de Reforzamiento

Ejemplo Nº8

Sea la función 223

52)(

xx

xxF , determinar todos los valores de x para los cuales la

función es continua.

Solución.

La función racional es continua en todo número de su dominio.

El dominio de F es : 3 + 2x – x2 0 ; también x

2 – 2x – 3 0; ( x 3)(x +1) 0

La función es continua en: x < ; 1 > < 1; 3 > < 3; >

Ejemplo Nº9

Sea la función:

139

12

15

)(

2

xsix

xsi

xsix

xFy a) Hallar el dominio de F. b) Analizar si la

función es continua en x = 1

Solución.

a) Dominio de F: x < ; 1> 1 < 1; > = R

b) i) F(1) = 2;

ii) 6)(6)()(;63939)(

6515)(

11111

2


xlímxFlím

xxxxx

xx

1 3




75

iii) )1()(1

FxFlímx

, la función no es continua

Ejemplo Nº10

Dada la función 13

12)(

xsi

xsixxF a) ¿Cual es el dominio de F? b) Esbozar la

grafica de F. c) Analizar si F es continua en x =1

Solución.

a) Dominio de F:

x 1 ,significa: x >1 ó x <1,luego

1;2

1;3

1;2

)(

xsix

xsi

xsix

xF

RxDF ;111;:

b) Grafica de F

c) Se analiza la continuidad en x = 1

i) F (1) = 3; está definido,

ii) 3)(3)()(;3212)(

3212)(

11111


xlímxFlím

xxxxx

xx

iii) 3)1()(1

Fxflímx

se cumplen las tres condiciones de continuidad; luego la función f es continua en x = 1.




76

Ejemplo Nº11

Hallar el valor de a y b para que la función f sea continua.

22

2

253

)(

xsibx

xsia

xsix

xF

Solución.

a) Dominio Rx ;222;

b) se analiza la continuidad para x = 2

1.) F (2) = a

2.) existirdebexFlímx

);(2

, luego

)()(22

xFLímxFLímxx

, es decir los límites laterales deben ser iguales.

3,414)2(2)2()(

1565)2(3)53()(

22

22 bbbbbxlímxFlím

xlímxFlím

xx

xx ;

1)(2

xFlímx

3.) )()2(2

xFLímFx

, a = 1

Ejemplo Nº12

Hallar:h

xFhxFLímh

)()(

0, en los casos siguientes:

a)y = F(x) = C ; C es una función constante.b)y = F(x) = ax + b ; es una función lineal.

Solución.

a)F(x+h) = C;F(x) = C; F(x+h) – F(x) = C – C = 0; 00)()(

hh

xFhxF

000)()(

000 hhhLím

hLím

h

xFhxFLím ,el límite de una constante es la misma

constante

b) F(x +h) = a(x +h) + b = ax +ah +b; F(x) = ax +b, F(x +h) – F(x) = ah

ah

ah

h

xFhxF )()(; aaLím

h

ahLím

h

xFhxFLím

hhh 000

)()(




77

Ejemplo Nº 13

Dada la función

213

214

)(

xsix

xsixxF a) Analizar si es continua en x = 2. b) Si es

discontinua de que tipo es. c) Si es de discontinuidad evitable redefina la función para

que sea continua

Solución.

Dominio de F(x): x < ; > > < ≥

213

2;14

2;14

)(

xsix

xsix

xsix

xF

Se analiza la continuidad x = 2

1.) x = 2; 72

14)2(F , está definido,

2.1) 2,2 xentoncesxSi ;x

xF14

)( ; 714

)(22 x

LímxFlímxx

2.2) 2xentonces,2xSi ;F(x) = 3x+1; 716)13()(22

xlímxFlímxx

)()(11

xFlímxFlímxx

; ;7)(1

xFlímx

3.) )(7)2(2

xFLímFx

. la función es continua; en x = 2.

Ejemplo Nº 14

Dada la función:

2,,6

21;;

1,,2

)( 2

xsix

xsix

xsix

xFy ;a) Trazar la gráfica de F e indicar el dominio




78

b) Analizar la continuidad de la función.

Solución.

a) Dominio de F: = R

:

b) Se analiza la continuidad en x = 1, x = 2

Continuidad de la función en x = 1,

1) F( 1) = ( 1)2 = 1

2.1) 121)2()(1

11

xlímxFlímxx

;

2.2) 1)1()()( 22

12

1xlímxFlím

xx

)(1)( 21

11

xFlímxFlímxx

1)(1

xFlímx

3) )(1)1(1

xFlímFx

; la función f es continua en x = 1.

Continuidad de la función en x = 2,

1) F(2) = 6 2 = 4

2.1) 4)2()()( 22

22

2xlímxFlím

xx;

2.2) 426)6()(2

32

xlímxFlímxx

224)(

xxlímxFlím 4)(

2xFlím

x

3) )(4)2(2

xFlímFx

; la función f es continua en x = 2

La función f es continua en todo su dominio.




79

Ejemplo Nº 15

Hallar a y b para que F sea continua en todo los reales.

a)

5,,62

51;;

1,,3

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xFy ; b)

3,,8

32;;

2,,5

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xFy

Solución.

a)

5,,62

51;;

1,,3

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xFy ; Dominio de F: x < ; 1 <1; 5 > 5; >= R

Continuidad en x = 1

i) F(1) = (1)2 + 3 = 1 + 3 = 4

ii) 4)(

4313)(

11

2

11 bababaxlímxFlím

xlímxFlím

xx

xx (1)


i) F(5) = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16

ii) 1651661062)(

5)(

55

55 baxlímxFlím

babaxlímxFlím

xx

xx (2)

Resolviendo el sistema: a = 3; b = 1

b)

3,,8

32;;

2,,5

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xFy ;

a)Dominio de F:x < ; 2 < 2;3 3; > = R


i) F( 2) = 5 ( 2)2 = 5 4 = 1

ii) bababaxlímxFlím

xlímxFlím

xx

xx 212)(

1455)(

12

2

12 (1)


i) F(3) = 3 + 8 = 11

ii) 11311838)(

3)(

33

33 baxlímxFlím

babaxlímxFlím

xx

xx (2)

Resolviendo el sistema: a = 2; b = 5




80

Continuidad en un Intervalo(OPCIONAL)

1) Continuidad en un intervalo abierto:

Una función F es continua en un intervalo abierto < a; b> si y sólo si es continua en

todo número de dicho intervalo. si x0 < a; b>, se verifica que.

i) F(x0) R; ii)

;)(0

RxFlímxx

)()() 00

xFxFlímiiixx

2) Continuidad a la derecha del número a.

Una función es continua a la derecha del número a a; b > si y sólo si se verifica:

i) F(a+) R; ii) ;)( RxFlím

ax iii) )()( aFxFlím

ax

3) Continuidad a la izquierda del número b.

Una función es continua a la izquierda del número b < a; b si y sólo si se verifica:

i) F(b-) R; ii) ;)( RxFlím

bx iii) )()( bFxFlím

bx

4) Continuidad en un intervalo cerrado:

Una función cuyo dominio es el intervalo cerrado a; b es continua en a; b si y sólo si

es continua en el intervalo abierto < a; b > y continua a la derecha de a y a la izquierda

de b.

Ejemplo Nº16

Demostrar si la función x

xFy4

5)( es continua en el intervalo 1; 4 >

Solución.

Para demostrar que la función x

xFy4

5)( es continua en el intervalo 1; 4 >

debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 1; 4 > y b) continua a

la derecha de 1.




81

a) Continuidad en el intervalo abierto < 1; 4 >; x0 < 1; 4 >

;4

5)(

0

0 Rx

xF ;4

5

4

5)(

0000

Rx

límx

límxFlímxxxxxx

)()( 00

xFxFlímxx

La función F es continua en el intervalo < 1; 4 >

b) Continuidad a la derecha del número 1

i) RF3

5

14

5)1( ; ii) ,

3

5

14

5

4

5)(

11R

xlímxFlímxx

iii) )1()(1

FxFlímx

, la función F es continua a la derecha de 1.

Por tanto la función F es continua en 1; 4 >

Notas

1) La función irracional x

xFy4

5)( es continua en su dominio, pero por

encontrarse en el denominador;, 4 – x > 0 x < 4 x < : 4 >

2) 1; 4 > < : 4 >, por tanto F es continua en 1; 4 >

Ejemplo Nº17

Demostrar si la función 3

7)(

xxFy es continua en el intervalo < 3; 8

Solución.

Para demostrar que la función 3

7)(

xxFy es continua en el intervalo < 3; 8

debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 3; 8 > y b) continua

a la izquierda de 8.

a) Continuidad en el intervalo abierto < 3; 8 > ; x0 < 3; 8 >




82

;3

7)(

0

0 Rx

xF ;3

7)(

00

Rx

xFlímxx

)()( 00

xFxFlímxx

La función F es continua en el intervalo < 3; 8 >

b) Continuidad a la izquierda de 8

i) RF11

7

38

7)8( ;ii) ,

11

7

38

7)(

88RlímxFlím

xxiii) )8()(

8FxFlím

x

,

la función F es continua a la izquierda de 8

Por tanto la función F es continua en < 3; 8

Notas

1) La función racional 3

7)(

xxFy es continua en su dominio, pero por encontrarse

en el denominador; 4 – x > 0 x < 4 x < : 4 >

2) 1; 4 > < : 4 >, por tanto F es continua en 1; 4 >

Ejemplo Nº18

Demostrar que la función 103)( 2 xxxFy es continua en el intervalo 6; 11

Solución.

Dominio de F:

x2 3x 10 0, (x + 2)(x – 5) 0, puntos críticos x = – 2; x = 5

Dominio x < 5

2 5

+ +




83

3 3

+ +

Para demostrar que 103)( 2 xxxFy es continua en el intervalo cerrado 6; 11

debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 6; 11 >; y b) continua a

la derecha de x = 6 y continua a la izquierda de x = 11.

a) Continuidad en el intervalo abierto < 6; 11 >; x0 < 6; 11 >

;103)( 0200 RxxxF ;103)( 0

20

0

RxxxFlímxx

)()( 00

xFxFlímxx

La función F es continua en el intervalo abierto <6; 11 >

b) continuidad a la derecha de x = 6 y continuidad a la izquierda de x = 11.

b-1) Continuidad a la derecha de x = 6 b-2)Continuidad a la izquierda de x = 11

x > 6 o x 6+ x < 11 o x 11

i) 8101836)6(F i) 781033121)11(F

ii) 8101836)(6

xFlímx

ii) 781033121)(11

xFlímx

iii) )6()(6

FxFlímx

iii) )11()(11

FxFlímx

La función es continua a la derecha de x = 6 y a la izquierda de x = 11, por tanto es

continua el intervalo cerrado 6; 11 .

Ejemplo Nº19

Demostrar que la función 29)( xxFy es continua en el intervalo cerrado

3; 3

Solución.

9 x2 0, x

2 – 9 0, (x + 3) (x – 3) 0

Dominio: x 3; 3




84

Para demostrar que 29)( xxFy es continua en el intervalo cerrado 3; 3

debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 3; 3 >; y b) continua a

la derecha de x = 3 y continua a la izquierda de x = 3.

a) Continuidad en el intervalo abierto < 3; 3 >;; x0 < 3; 3 >;

;103)( 0200 RxxxF ;103)( 0

20

0

RxxxFlímxx

)()( 00

xFxFlímxx

La función F es continua en el intervalo abierto < 3; 3 >

b) continuidad a la derecha de x = 3 y continuidad a la izquierda de x = 3.

b-1)Continuidad a la derecha de x = – 3 b-2)Continuidad a la izquierda de x = 3

i) 0099)3(F i) 0099)3(F

ii) 0099)(3

xFlímx

ii) 0099)(3

xFlímx

iii) )3()(3

FxFlímx

iii) )3()(3

FxFlímx

La función es continua a la derecha de x = – 3 y a la izquierda de x = – 3 , por tanto es

continua el intervalo cerrado 3; 3

AUTOEVALUACIÓN Nº1

Dada la función F(x) a) Analizar si es continua en x = x0 .b) Si es discontinua de que

tipo es.

c) Si es de discontinuidad evitable redefina la función para que sea continua .d)

Graficar

1.)25

212)(

xsi

xsixxF 2.)

16

147)(

xsi

xsixxF ;3.)

135

12

112

)(

xsix

xsi

xsix

xF

4.)

27

22

1

234

)(

xsix

xsix

x

xsix

xF ; 5.)

52

53

572

)(

xsix

xsi

xsix

xF 6.)

143

17

16

)(

2

xsix

xsi

xsix

xF

7.)

143

17

1

)(

2

xsix

xsi

xsix

xF , 8.)

11

11

1

135

)(

xsix

xsix

xsix

xF , 9.)

412

43

9

45

)(

xsix

xsix

xsix

xF




85

10.)

252

21

13

273

)(

xsix

xsix

xsix

xF ; 11.)

23

21

7

235

)(

2 xsix

xsix

xsix

xF ; 12.)

312

32

9

34

)(

xsix

xsix

xsix

xF

Determinar los valores de a y/o b para que la función sea continua.

13)23

25)(

xsix

xsiaxxF en x = 2 14)

252

24

23

)(

xsix

xsib

xsiax

xF ; en x = 2

15)

345

345

37

)(

xsix

xsib

xsiax

xF , en x = 3 16)

17

1112

152

)(

2

xsiax

xsib

xsix

xF , en x = 1

17)

23

21

5

21

)(

xsix

xsibx

xsiax

xF , en x = 2 18)

12

12

21

152

)(

xsiax

xsibx

xsix

xF , en x = 1

19)

74

7

711

)(

xsix

xsibx

xsiax

xF , en x = 7 20)13

174)(

xsiax

xsixxF , en x = 1

21)

47

43

49

)(

xsiax

xsib

xsix

xF , en x = 4 22)

335

353

36

)(

xsix

xsib

xsiax

xF , en x = 3

23)

12

192

132

)(

2

xsiax

xsib

xsix

xF , en x = 1 24)

232

24

5

21

)(

xsix

xsibx

xsiax

xF , en x = 2

25)

17

12

2

113

)(

xsiax

xsibx

xsix

xF , en x = 1 27.)

45

4

419

)(

xsix

xsibx

xsiax

xF , en x = 4

27)

252

272

22

)(

xsix

xsib

xsiax

xF , en x = 2 28)

33

373

352

)(

2

xsiax

xsib

xsix

xF , en x =3

Dada la función y = F(x);a) trazar la gráfica; b) analizar la continuidad de F en R

29)

1,,12

12;;

2,,73

)( 2

xsix

xsix

xsix

xFy ; 30)

2,7

21;;1

1,,3

)( 2

xsix

xsix

xsix

xFy




86

31)

2,8

21;2

1,5,45,1

)( 2

xsix

xsix

xsix

xFy ; 32)

5,23

52;34

2,1

)(

2

xsix

xsix

xsix

xFy

Hallar a y b para que la función y =F(x) sea continua en todos los reales.

33)

335

31

112

)(

xsix

xsibax

xsix

xF , en R 34)

413

423

23

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xF , en R

35)

424

41

175

)(2 xsix

xsibax

xsix

xF , en R 36)

513

53

332

)( 2

2

xsix

xsibax

xsix

xF , en R

Demostrar si la función )(xFy es continua en los intervalos indicados.

37)x

xFy9

13)( es continua en el intervalo:

a) < 1; 8 >; b) 1; 9>; c) < 2; 7 ; d) 4; 5

38)7

5)(

xxFy es continua en el intervalo:

a) < 4; 7 >; b) 2; 9>; c) <7; 12 ; d) 8; 13

39) 82)( 2 xxxFy es continua en el intervalo:

a) < 9; 5 >; b) 3; 7>; c) <2; 5 ; d) 3; 1

40) 67)( 2 xxxFy es continua en el intervalo:

a) < 5;1> ; b) 1; 6 >; c) <2; 8 ; d) 1; 6

41) 225)( xxFy es continua en el intervalo:

a) < 5; 3 >; b) 1; 5>; c) <6; 9 ; d) 2; 4

42) 49)( 2xxFy es continua en el intervalo:

a) < 11; 8 >; b) 7; 6>; c) <7; 10 ; d) 8; 11

Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R ... · Unidad NºI. Límites y...

Documents

Transcript of Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R ... · Unidad NºI. Límites y...