Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones. Mag.Ing. Alejandro Alfonso FONG LAU
Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R
Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010
65
UNIDAD NºI.
LÌMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE R EN R
CAPÍTULO Nº2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Concepto geométrico.
Geométricamente una función F es continua si su gráfica es una curva ininterrumpida
para todo x perteneciente al dominio de F. La línea es continua en el intervalo: x1; x2
Continuidad de una función en un punto
Una función F es continua en un punto de abscisa x0 sí y solo sí se verifican las tres
condiciones siguientes:
i) F(x0) existe, es decir si x0 DF entonces F(x0) R.
ii) )(0
xFlímxx
, existe, por tanto los límites laterales deben ser iguales, es
decir: )()(00
xFLímxFLímxxxx
iii) )()( 00
xFxFLímxx
, Significa que F(x0) debe coincidir con )(0
xFLímxx
Notas: .
1) La continuidad se analiza en cada uno de los números reales correspondientes a los
extremos de los intervalos.
2) Cuando se dice que el límite existe, debe entenderse que el límite existe en forma
finita, es decir, el límite es un número real.
Ejemplo Nº1
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66
Dada la función
131
14
15
)(
3
xsix
xsi
xsix
xF ,a) Hallar el dominio de F.
b) Analizar si la función es continua en x = 1.
Solución.
a) RxDF ;111;:
b) Se analiza la continuidad en x = 1
i) F ( 1) = 4; está definido,
ii) 4)(4)()(;43131)(
4515)(
11111
3
11 xFlímxFlímxFlímxlímxFlím
xlímxFlím
xxxxx
xx
iii) 4)1()(1
Fxflímx
, se cumplen las tres condiciones de continuidad; luego la
función f es continua en x = 1.
Continuidad.-Definición formal
Una función F es continua en el punto de abscisa x0, con FDx0 si para todo >0
existe un > 0 tal que LxF )( siempre que 0xx .
Simbólicamente:
0;00xencontinuaesF tal que: 00 ,;.,)()( xxDxqsxFxF F }
Notas:
1. LxFLxF )()( ; LxFL )(
2. 00 xxxx , 00 xxx
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67
Teoremas de continuidad de funciones en un número.
Si las funciones F y G son continuas en el número x0 se cumplen:
a) (F+ G) (x) = F(x) + G(x), es continua en x0
b) (F – G) (x) = F (x) – G)(x), es continua en x0
c) (FG) (x) = F(x) G(x) , es continua en x0
d))(
)()(
xG
xFx
G
F; es continua en x0; siempre que G(x) 0.
Teorema. Una función polinomial es continua en todos los reales
Teorema. Una función no polinomial(racional e irracional) es continua en todo
número de su dominio.
Ejemplo Nº2
Sean las funciones F(x)= x3 – 8 y G(x) = x
2 5x + 4.
a) Diga usted si F y G son o no continuas en el número x = 4
b) Diga usted si: F + G; F G; FG y F/G son continuas en x = 4
Solución.
a) F(x)= x3 – 8, función polinomial, es continua en R, luego es continua en x = 4
G(x) = x2 5x + 4; función polinomial, es continua en R, luego es continua en x = 4
b) Las funciones F y G son polinomiales , continuas en x = 4; luego la suma, resta,
multiplicación son funciones polinomiales luego continuas en x = 4
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b-1) F + G (x) = F(x) + G(x) = x3 – 8 + x
2 5x + 4 = x
3 5x
2 + 4x – 4, función
polinomial, continua en R, y continua en x = 4
b-2) F G (x) = F(x) G(x) = x3 – 8 x
2 5x + 4 = x
3 x
2 +5x – 12, función
polinomial, continua en R, y continua en x = 4
b-3) F G (x) = F(x) G(x) = x3 – 8 x
2 5x + 4 = x
5 + 2x
4 + 4x
3 – 8x
2 – 16x – 32,
función polinomial, continua en R, y continua en x = 4.
b-4)45
8
)(
)()(
2
3
xx
x
xG
xFx
G
F, función racional(cociente de dos funciones
polinomiales)
La función racional es continua en su dominio.
x2 5x + 4 = (x 4)(x 1) 0, x 1 ; x 4; x < ; 1 > < 4; >
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Teorema. Si n es un entero positivo y n xxF )( entonces:
a) si n es impar, n xxF )( es continua para todo x perteneciente a los reales
b) Si n 2 es par, n xxF )( es continua para todo x perteneciente a los reales no negativos.
Ejemplo Nº3
Sea la función a) 6)( 2 xxxG b) 5 7)( xxF , determinar todos los
valores de x para los cuales las funciones son continuas.
Solución.
a) 6)( 2 xxxG , función irracional donde n = 2 es par, G es continua cuando la
cantidad subradical es no negativa x2 – x – 6 0; (x – 3) (x + 2) 0,
La función es continua en su dominio: x < ; 2 3; >
b) b) 5 7)( xxF , función irracional donde n = 5 es impar, F es continua en su
dominio: x < ; > = R.
Ejemplo Nº 4
2 3
+ +
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Hallar el valor de a y b para que la función.
11
112
152
)(
xsiax
xsiba
xsix
xF ,
sea continua en x = 1
Solución.
a) Dominio Rx ;111;
b) posible punto de discontinuidad: x =1
i) F (1) = 2a b + 1
ii) 6;71)()(;75252)(
11)(
1111
11 aaxFlímxFlímxlímxFlím
aaxlímxFlím
xxxx
xx
iii) )1(7)(1
FxFlímx
; 7 = 2a b + 1; 7 = 2(6) b + 1; b = 6
Discontinuidad.
Si una o más de las condiciones de continuidad no se cumplen para x = x0 entonces se
dice que la función y = F(x0) “es discontinua” en x = x0.
Tipos de discontinudad.
a) Esencial, y b) Removible o evitable
Discontinuidad esencial.
Se presenta cuando F(x0) no existe y/o )(0
xFlímxx
no existe
Representación geométrica de discontinuidad esencial
1) F(x0) no está definida .La discontinudad es esencial
2) F(x0) está definida; los limites laterales de F cuando x tiende a x0 existen pero no son
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iguales, )()(00
xFlímxFlímxxxx
luego el límite de F cuando x tiende a x0 no existe; la
discontinuidad es esencial.
Discontinuidad evitable o removible
Es aquella función discontinua que verifica las dos primeras condiciones de continuidad
pero no la tercera,
i) F(x0) existe ;ii) existexFlímxx
),(0
, pero )()( 00
xFxFLímxx
,
puede trasformarse en una función continua redefiniendo el valor de F(x0) para que sea
igual a )(0
xFLímxx
; es decir; )()( 00
xFxFlímxx
.
Ejemplo Nº 5
Dada la función
267
23
26
)(
xsix
xsi
xsix
xF
a) Analizar si es continua en x = 2. b) Si es discontinua de que tipo es. c) Si es de
discontinuidad evitable redefina la función para que sea continua
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Solución.
RxDF ;222;:
a)Se analiza la continuidad en x = 2
1.)i) x = 2; existe., f (2) = 3, está definido,
ii) 8)(8)()(;8626)(
861467)(
22222
22 xFlímxFlímxFlímxlímxFlím
xlímxFlím
xxxxx
xx
iii) )8)()2(8)(22
xFLímFxFLímxx
, no es continua.
b) F (2) existe; existexFlímx
)(2
luego discontinuidad evitable o removible.
c) Para que la función F sea continua: F (2) debe ser igual a 8, luego:
267
28
26
)(
xsix
xsi
xsix
xF
Ejemplo Nº 6
Dada la función
243
22
5
213
)(
2
xsix
xsix
xsix
xF
a) Analizar si es continua en x = 2. b) Si es discontinua de que tipo es. c) Si es de
discontinuidad evitable redefina la función para que sea continua
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Solución.
RxDF ;222;:
a) Se analiza la continuidad en x = 2
i.) definidonoF ;0
5
22
5)2( , la función F no es continua en x = 2
b) La función F es discontinua, tipo de discontinuidad: esencial.
Ejemplo Nº 7
Dada la función
39
35
329
)(2 xsix
xsi
xsix
xF
a) Analizar si es continua en x =3. b) Si es discontinua de que tipo es. c) Si es de
discontinuidad evitable redefina la función para que sea continua
Solución.
RxDF ;333;:
a)Se analiza la continuidad en x = 3
i.) x = 3; F(3) = 5, está definido,
exitenoxFlímxFlímxFlímxlímxFlím
xlímxFlím
xxxxx
xx ,)()()(;36929)(
0999)(
33333
2
33
La función es discontinua, discontinuidad esencial.
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Ejercicios de Reforzamiento
Ejemplo Nº8
Sea la función 223
52)(
xx
xxF , determinar todos los valores de x para los cuales la
función es continua.
Solución.
La función racional es continua en todo número de su dominio.
El dominio de F es : 3 + 2x – x2 0 ; también x
2 – 2x – 3 0; ( x 3)(x +1) 0
La función es continua en: x < ; 1 > < 1; 3 > < 3; >
Ejemplo Nº9
Sea la función:
139
12
15
)(
2
xsix
xsi
xsix
xFy a) Hallar el dominio de F. b) Analizar si la
función es continua en x = 1
Solución.
a) Dominio de F: x < ; 1> 1 < 1; > = R
b) i) F(1) = 2;
ii) 6)(6)()(;63939)(
6515)(
11111
2
11 xFlímxFlímxFlímxlímxFlím
xlímxFlím
xxxxx
xx
1 3
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iii) )1()(1
FxFlímx
, la función no es continua
Ejemplo Nº10
Dada la función 13
12)(
xsi
xsixxF a) ¿Cual es el dominio de F? b) Esbozar la
grafica de F. c) Analizar si F es continua en x =1
Solución.
a) Dominio de F:
x 1 ,significa: x >1 ó x <1,luego
1;2
1;3
1;2
)(
xsix
xsi
xsix
xF
RxDF ;111;:
b) Grafica de F
c) Se analiza la continuidad en x = 1
i) F (1) = 3; está definido,
ii) 3)(3)()(;3212)(
3212)(
11111
11 xFlímxFlímxFlímxlímxFlím
xlímxFlím
xxxxx
xx
iii) 3)1()(1
Fxflímx
se cumplen las tres condiciones de continuidad; luego la función f es continua en x = 1.
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Ejemplo Nº11
Hallar el valor de a y b para que la función f sea continua.
22
2
253
)(
xsibx
xsia
xsix
xF
Solución.
a) Dominio Rx ;222;
b) se analiza la continuidad para x = 2
1.) F (2) = a
2.) existirdebexFlímx
);(2
, luego
)()(22
xFLímxFLímxx
, es decir los límites laterales deben ser iguales.
3,414)2(2)2()(
1565)2(3)53()(
22
22 bbbbbxlímxFlím
xlímxFlím
xx
xx ;
1)(2
xFlímx
3.) )()2(2
xFLímFx
, a = 1
Ejemplo Nº12
Hallar:h
xFhxFLímh
)()(
0, en los casos siguientes:
a)y = F(x) = C ; C es una función constante.b)y = F(x) = ax + b ; es una función lineal.
Solución.
a)F(x+h) = C;F(x) = C; F(x+h) – F(x) = C – C = 0; 00)()(
hh
xFhxF
000)()(
000 hhhLím
hLím
h
xFhxFLím ,el límite de una constante es la misma
constante
b) F(x +h) = a(x +h) + b = ax +ah +b; F(x) = ax +b, F(x +h) – F(x) = ah
ah
ah
h
xFhxF )()(; aaLím
h
ahLím
h
xFhxFLím
hhh 000
)()(
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77
Ejemplo Nº 13
Dada la función
213
214
)(
xsix
xsixxF a) Analizar si es continua en x = 2. b) Si es
discontinua de que tipo es. c) Si es de discontinuidad evitable redefina la función para
que sea continua
Solución.
Dominio de F(x): x < ; > > < ≥
213
2;14
2;14
)(
xsix
xsix
xsix
xF
Se analiza la continuidad x = 2
1.) x = 2; 72
14)2(F , está definido,
2.1) 2,2 xentoncesxSi ;x
xF14
)( ; 714
)(22 x
LímxFlímxx
2.2) 2xentonces,2xSi ;F(x) = 3x+1; 716)13()(22
xlímxFlímxx
)()(11
xFlímxFlímxx
; ;7)(1
xFlímx
3.) )(7)2(2
xFLímFx
. la función es continua; en x = 2.
Ejemplo Nº 14
Dada la función:
2,,6
21;;
1,,2
)( 2
xsix
xsix
xsix
xFy ;a) Trazar la gráfica de F e indicar el dominio
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Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010
78
b) Analizar la continuidad de la función.
Solución.
a) Dominio de F: = R
:
b) Se analiza la continuidad en x = 1, x = 2
Continuidad de la función en x = 1,
1) F( 1) = ( 1)2 = 1
2.1) 121)2()(1
11
xlímxFlímxx
;
2.2) 1)1()()( 22
12
1xlímxFlím
xx
)(1)( 21
11
xFlímxFlímxx
1)(1
xFlímx
3) )(1)1(1
xFlímFx
; la función f es continua en x = 1.
Continuidad de la función en x = 2,
1) F(2) = 6 2 = 4
2.1) 4)2()()( 22
22
2xlímxFlím
xx;
2.2) 426)6()(2
32
xlímxFlímxx
224)(
xxlímxFlím 4)(
2xFlím
x
3) )(4)2(2
xFlímFx
; la función f es continua en x = 2
La función f es continua en todo su dominio.
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79
Ejemplo Nº 15
Hallar a y b para que F sea continua en todo los reales.
a)
5,,62
51;;
1,,3
)(
2
xsix
xsibax
xsix
xFy ; b)
3,,8
32;;
2,,5
)(
2
xsix
xsibax
xsix
xFy
Solución.
a)
5,,62
51;;
1,,3
)(
2
xsix
xsibax
xsix
xFy ; Dominio de F: x < ; 1 <1; 5 > 5; >= R
Continuidad en x = 1
i) F(1) = (1)2 + 3 = 1 + 3 = 4
ii) 4)(
4313)(
11
2
11 bababaxlímxFlím
xlímxFlím
xx
xx (1)
Continuidad en x = 5
i) F(5) = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16
ii) 1651661062)(
5)(
55
55 baxlímxFlím
babaxlímxFlím
xx
xx (2)
Resolviendo el sistema: a = 3; b = 1
b)
3,,8
32;;
2,,5
)(
2
xsix
xsibax
xsix
xFy ;
a)Dominio de F:x < ; 2 < 2;3 3; > = R
Continuidad en x = 2
i) F( 2) = 5 ( 2)2 = 5 4 = 1
ii) bababaxlímxFlím
xlímxFlím
xx
xx 212)(
1455)(
12
2
12 (1)
Continuidad en x = 3
i) F(3) = 3 + 8 = 11
ii) 11311838)(
3)(
33
33 baxlímxFlím
babaxlímxFlím
xx
xx (2)
Resolviendo el sistema: a = 2; b = 5
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80
Continuidad en un Intervalo(OPCIONAL)
1) Continuidad en un intervalo abierto:
Una función F es continua en un intervalo abierto < a; b> si y sólo si es continua en
todo número de dicho intervalo. si x0 < a; b>, se verifica que.
i) F(x0) R; ii)
;)(0
RxFlímxx
)()() 00
xFxFlímiiixx
2) Continuidad a la derecha del número a.
Una función es continua a la derecha del número a a; b > si y sólo si se verifica:
i) F(a+) R; ii) ;)( RxFlím
ax iii) )()( aFxFlím
ax
3) Continuidad a la izquierda del número b.
Una función es continua a la izquierda del número b < a; b si y sólo si se verifica:
i) F(b-) R; ii) ;)( RxFlím
bx iii) )()( bFxFlím
bx
4) Continuidad en un intervalo cerrado:
Una función cuyo dominio es el intervalo cerrado a; b es continua en a; b si y sólo si
es continua en el intervalo abierto < a; b > y continua a la derecha de a y a la izquierda
de b.
Ejemplo Nº16
Demostrar si la función x
xFy4
5)( es continua en el intervalo 1; 4 >
Solución.
Para demostrar que la función x
xFy4
5)( es continua en el intervalo 1; 4 >
debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 1; 4 > y b) continua a
la derecha de 1.
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81
a) Continuidad en el intervalo abierto < 1; 4 >; x0 < 1; 4 >
;4
5)(
0
0 Rx
xF ;4
5
4
5)(
0000
Rx
límx
límxFlímxxxxxx
)()( 00
xFxFlímxx
La función F es continua en el intervalo < 1; 4 >
b) Continuidad a la derecha del número 1
i) RF3
5
14
5)1( ; ii) ,
3
5
14
5
4
5)(
11R
xlímxFlímxx
iii) )1()(1
FxFlímx
, la función F es continua a la derecha de 1.
Por tanto la función F es continua en 1; 4 >
Notas
1) La función irracional x
xFy4
5)( es continua en su dominio, pero por
encontrarse en el denominador;, 4 – x > 0 x < 4 x < : 4 >
2) 1; 4 > < : 4 >, por tanto F es continua en 1; 4 >
Ejemplo Nº17
Demostrar si la función 3
7)(
xxFy es continua en el intervalo < 3; 8
Solución.
Para demostrar que la función 3
7)(
xxFy es continua en el intervalo < 3; 8
debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 3; 8 > y b) continua
a la izquierda de 8.
a) Continuidad en el intervalo abierto < 3; 8 > ; x0 < 3; 8 >
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82
;3
7)(
0
0 Rx
xF ;3
7)(
00
Rx
xFlímxx
)()( 00
xFxFlímxx
La función F es continua en el intervalo < 3; 8 >
b) Continuidad a la izquierda de 8
i) RF11
7
38
7)8( ;ii) ,
11
7
38
7)(
88RlímxFlím
xxiii) )8()(
8FxFlím
x
,
la función F es continua a la izquierda de 8
Por tanto la función F es continua en < 3; 8
Notas
1) La función racional 3
7)(
xxFy es continua en su dominio, pero por encontrarse
en el denominador; 4 – x > 0 x < 4 x < : 4 >
2) 1; 4 > < : 4 >, por tanto F es continua en 1; 4 >
Ejemplo Nº18
Demostrar que la función 103)( 2 xxxFy es continua en el intervalo 6; 11
Solución.
Dominio de F:
x2 3x 10 0, (x + 2)(x – 5) 0, puntos críticos x = – 2; x = 5
Dominio x < 5
2 5
+ +
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Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010
83
3 3
+ +
Para demostrar que 103)( 2 xxxFy es continua en el intervalo cerrado 6; 11
debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 6; 11 >; y b) continua a
la derecha de x = 6 y continua a la izquierda de x = 11.
a) Continuidad en el intervalo abierto < 6; 11 >; x0 < 6; 11 >
;103)( 0200 RxxxF ;103)( 0
20
0
RxxxFlímxx
)()( 00
xFxFlímxx
La función F es continua en el intervalo abierto <6; 11 >
b) continuidad a la derecha de x = 6 y continuidad a la izquierda de x = 11.
b-1) Continuidad a la derecha de x = 6 b-2)Continuidad a la izquierda de x = 11
x > 6 o x 6+ x < 11 o x 11
i) 8101836)6(F i) 781033121)11(F
ii) 8101836)(6
xFlímx
ii) 781033121)(11
xFlímx
iii) )6()(6
FxFlímx
iii) )11()(11
FxFlímx
La función es continua a la derecha de x = 6 y a la izquierda de x = 11, por tanto es
continua el intervalo cerrado 6; 11 .
Ejemplo Nº19
Demostrar que la función 29)( xxFy es continua en el intervalo cerrado
3; 3
Solución.
9 x2 0, x
2 – 9 0, (x + 3) (x – 3) 0
Dominio: x 3; 3
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Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R
Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010
84
Para demostrar que 29)( xxFy es continua en el intervalo cerrado 3; 3
debemos demostrar que es: a) continua en el intervalo abierto < 3; 3 >; y b) continua a
la derecha de x = 3 y continua a la izquierda de x = 3.
a) Continuidad en el intervalo abierto < 3; 3 >;; x0 < 3; 3 >;
;103)( 0200 RxxxF ;103)( 0
20
0
RxxxFlímxx
)()( 00
xFxFlímxx
La función F es continua en el intervalo abierto < 3; 3 >
b) continuidad a la derecha de x = 3 y continuidad a la izquierda de x = 3.
b-1)Continuidad a la derecha de x = – 3 b-2)Continuidad a la izquierda de x = 3
i) 0099)3(F i) 0099)3(F
ii) 0099)(3
xFlímx
ii) 0099)(3
xFlímx
iii) )3()(3
FxFlímx
iii) )3()(3
FxFlímx
La función es continua a la derecha de x = – 3 y a la izquierda de x = – 3 , por tanto es
continua el intervalo cerrado 3; 3
AUTOEVALUACIÓN Nº1
Dada la función F(x) a) Analizar si es continua en x = x0 .b) Si es discontinua de que
tipo es.
c) Si es de discontinuidad evitable redefina la función para que sea continua .d)
Graficar
1.)25
212)(
xsi
xsixxF 2.)
16
147)(
xsi
xsixxF ;3.)
135
12
112
)(
xsix
xsi
xsix
xF
4.)
27
22
1
234
)(
xsix
xsix
x
xsix
xF ; 5.)
52
53
572
)(
xsix
xsi
xsix
xF 6.)
143
17
16
)(
2
xsix
xsi
xsix
xF
7.)
143
17
1
)(
2
xsix
xsi
xsix
xF , 8.)
11
11
1
135
)(
xsix
xsix
xsix
xF , 9.)
412
43
9
45
)(
xsix
xsix
xsix
xF
Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones. Mag.Ing. Alejandro Alfonso FONG LAU
Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R
Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010
85
10.)
252
21
13
273
)(
xsix
xsix
xsix
xF ; 11.)
23
21
7
235
)(
2 xsix
xsix
xsix
xF ; 12.)
312
32
9
34
)(
xsix
xsix
xsix
xF
Determinar los valores de a y/o b para que la función sea continua.
13)23
25)(
xsix
xsiaxxF en x = 2 14)
252
24
23
)(
xsix
xsib
xsiax
xF ; en x = 2
15)
345
345
37
)(
xsix
xsib
xsiax
xF , en x = 3 16)
17
1112
152
)(
2
xsiax
xsib
xsix
xF , en x = 1
17)
23
21
5
21
)(
xsix
xsibx
xsiax
xF , en x = 2 18)
12
12
21
152
)(
xsiax
xsibx
xsix
xF , en x = 1
19)
74
7
711
)(
xsix
xsibx
xsiax
xF , en x = 7 20)13
174)(
xsiax
xsixxF , en x = 1
21)
47
43
49
)(
xsiax
xsib
xsix
xF , en x = 4 22)
335
353
36
)(
xsix
xsib
xsiax
xF , en x = 3
23)
12
192
132
)(
2
xsiax
xsib
xsix
xF , en x = 1 24)
232
24
5
21
)(
xsix
xsibx
xsiax
xF , en x = 2
25)
17
12
2
113
)(
xsiax
xsibx
xsix
xF , en x = 1 27.)
45
4
419
)(
xsix
xsibx
xsiax
xF , en x = 4
27)
252
272
22
)(
xsix
xsib
xsiax
xF , en x = 2 28)
33
373
352
)(
2
xsiax
xsib
xsix
xF , en x =3
Dada la función y = F(x);a) trazar la gráfica; b) analizar la continuidad de F en R
29)
1,,12
12;;
2,,73
)( 2
xsix
xsix
xsix
xFy ; 30)
2,7
21;;1
1,,3
)( 2
xsix
xsix
xsix
xFy
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Unidad NºI. Límites y Continuidad de funciones de R en R
Capítulo Nº2.Continuidad 01 julio 2010
86
31)
2,8
21;2
1,5,45,1
)( 2
xsix
xsix
xsix
xFy ; 32)
5,23
52;34
2,1
)(
2
xsix
xsix
xsix
xFy
Hallar a y b para que la función y =F(x) sea continua en todos los reales.
33)
335
31
112
)(
xsix
xsibax
xsix
xF , en R 34)
413
423
23
)(
2
xsix
xsibax
xsix
xF , en R
35)
424
41
175
)(2 xsix
xsibax
xsix
xF , en R 36)
513
53
332
)( 2
2
xsix
xsibax
xsix
xF , en R
Demostrar si la función )(xFy es continua en los intervalos indicados.
37)x
xFy9
13)( es continua en el intervalo:
a) < 1; 8 >; b) 1; 9>; c) < 2; 7 ; d) 4; 5
38)7
5)(
xxFy es continua en el intervalo:
a) < 4; 7 >; b) 2; 9>; c) <7; 12 ; d) 8; 13
39) 82)( 2 xxxFy es continua en el intervalo:
a) < 9; 5 >; b) 3; 7>; c) <2; 5 ; d) 3; 1
40) 67)( 2 xxxFy es continua en el intervalo:
a) < 5;1> ; b) 1; 6 >; c) <2; 8 ; d) 1; 6
41) 225)( xxFy es continua en el intervalo:
a) < 5; 3 >; b) 1; 5>; c) <6; 9 ; d) 2; 4
42) 49)( 2xxFy es continua en el intervalo:
a) < 11; 8 >; b) 7; 6>; c) <7; 10 ; d) 8; 11
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