Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

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Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad

1. Límite de una función en un punto

Intuitivamente la idea que tenemos de límite de una función en un punto es el número hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando la variable independiente se acerca o se aproxima a ese

punto. Así, la función ( ) 1f x x= − tiende a 2 cuando x tiende o se

aproxima a 3 . Decimos que esta función tiene por límite 2 cuando x

tiende a 3 . Escribiremos ( )3

lim 2x

f x→

= .

La definición formal de límite de una función en un punto es la que se da a continuación.

Definición.

Sea :f A→ una función real de variable real, a A y L un número real. Diremos que el límite de f

cuando x tiende al punto a es L , y escribiremos simbólicamente ( )limx a

f x L→

= , si para cada número real

y positivo , existe un número real positivo tal que, si x es un punto de A verificando ( ),x a a − + ,

se tiene entonces que ( ) ( ),f x L L − + .

Obsérvese que para que una función tenga límite en un punto no es necesario que esté definida en ese punto.

2. Límites laterales

Existen funciones en las cuales no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites necesitamos recurrir a los límites laterales.

Sea :f A→ una función real de variable real, a A y L un número real. Diremos que el límite de f cuando

x tiende al punto a por la izquierda es L, y escribiremos simbólicamente lim ( )x a

f x−→

, si para cada número real

y positivo , existe un número real positivo tal que, si x es un punto de A verificando ( ),x a a − , se

tiene entonces que ( ) ( ),f x L L − + . De la misma forma el límite de f cuando x tiende al punto a por la

derecha es L, y escribiremos lim ( )x a

f x+→

, si para cada número real positivo , existe un número real positivo

tal que, si x es un punto de A verificando ( ),x a a + , se tiene entonces que ( ) ( ),f x L L − + .

La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de una función f en un punto a es que existan los

dos límites laterales y ambos coincidan: ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x L f x f x L− +→ → →

= = = .

Ejercicio de resuelto

Hallar el límite de la función definida por trozos ( )2 1 si 2

2 5 si 2

x xf x

x x

− =

− + , en el punto de abscisa

2x = .

1

4

3

2

1

–2 –1 2 3 4 1

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Solución

Obsérvese que si nos acercamos al punto 2x = por valores de x menores que 2, entonces:

( ) ( )2 2

2 2lim lim 1 2 1 3x x

f x x− −→ →

= − = − =

Sin embargo, si nos acercamos al punto 2x = por valores de x mayores que 2, tenemos que:

( ) ( )2 2

lim lim 2 5 2 2 5 1x x

f x x+ +→ →

= − + = − + =

Por tanto, como existen los límites laterales, pero ambos son distintos, no existe el límite de la función f en el punto 2x = :

( )

( )( ) ( ) ( )

2

22 2

2

lim 3

lim lim no existe limlim 1

x

xx x

x

f x

f x f x f xf x

−

− +

+

→

→→ →

→

=

=

Veamos gráficamente esta situación:

3. Límites infinitos cuando x tiende a un número real

En algunos casos al aproximarnos hacia un punto a , los correspondientes valores que toma la función f

son cada vez más grandes o cada vez más pequeños. Diremos que la función tiende a más o a menos infinito cuando x tiende al punto a . Escribiremos:

( )limx a

f x→

= + ; ( )limx a

f x→

= −

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De la misma forma se puede hablar de límites laterales infinitos:

( )limx a

f x+→

= + ; ( )limx a

f x+→

= − ; ( )limx a

f x−→

= + ; ( )limx a

f x−→

= −

Cuando se da uno de los seis casos anteriores diremos que la función f tiene, en la recta vertical

x a= , una asíntota vertical. Este tipo de rectas se caracterizan porque la gráfica de la función se acerca indefinidamente a ellas sin llegar a tocarlas.

Veamos un ejemplo de esta situación.

Consideremos la función ( )1

f xx

= .

Esta función tiende a + cuando x tiende a 0 por la derecha y a − cuando x tiende a 0 por la izquierda:

0

1limx x+→

= + ; 0

1limx x−→

= −

Veámoslo gráficamente:

De este modo la recta 0x = (el eje Y ) es una asíntota vertical de la función ( )1

f xx

= .

4. Límites finitos en el infinito

Diremos que la función f tiene límite finito L cuando x tiende a + si para valores positivos y muy grandes

de x , los correspondientes valores que toma la función se aproximan cada vez más a L . Escribiremos

( )limx

f x L→+

=

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De manera análoga, diremos que la función f tiene límite finito L cuando x tiende a − si para valores

negativos y muy grandes (en valor absoluto) de x , los correspondientes valores que toma la función se aproximan cada vez más a L . Escribiremos en este caso

( )limx

f x L→−

=

Cuando existe alguno de los dos límites anteriores, afirmamos que la función f tiene una asíntota

horizontal de ecuación y L= .

En el caso de la función del ejemplo anterior, ( )1

f xx

= , tenemos que

( ) ( )lim lim 0x x

f x f x→+ →−

= =

Por lo tanto, la recta 0y = (el eje X ) es una asíntota horizontal.

Ejercicio resuelto

Calcula, en la función cuya gráfica se adjunta, los límites cuando 2x→− y cuando 2x→ y los límites finitos en el infinito. Encuentra las asíntotas verticales y horizontales.

Solución

Límites infinitos cuando 2x→− : ( )2

limx

f x−→−

= + , ( )2

limx

f x+→−

= − . Esto quiere decir que no existe el límite

cuando 2x→− , pero sí que obtenemos que la recta 2x = es una asíntota vertical.

Límites infinitos cuando 2x→ : ( )2

limx

f x−→

= + , ( )2

limx

f x+→

= − . Al igual que antes no existe el límite

cuando 2x→ , pero la función tiene una asíntota vertical en la recta de ecuación 2x = .

2

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Límites finitos en el infinitos: ( )lim 1x

f x→−

= , ( )lim 1x

f x→+

= − . Por tanto, la función tiene dos asíntotas

horizontales de ecuaciones 1y = e 1y = .

5. Límites infinitos en el infinito

Analicemos en primer lugar el límite infinito cuando x →+ , es decir, cuando la variable x toma valores positivos y muy grandes. Hay dos posibilidades: que los correspondientes valores que toma la función sean cada vez más grandes y positivos, o que los correspondientes valores que toma la función sean cada vez más grandes en valor absoluto pero negativos.

En el primer caso escribiremos ( )limx

f x→+

= + , y en el segundo ( )limx

f x→+

= − .

En segundo lugar, analicemos el límite infinito cuando x →− , es decir, cuando la variable x toma valores negativos y muy grandes en valor absoluto. Al igual que antes obtenemos dos posibilidades idénticas: que los correspondientes valores que toma la función sean cada vez más grandes y positivos, o que los correspondientes valores que toma la función sean cada vez más grandes en valor absoluto pero negativos.

En el primer caso escribiremos ( )limx

f x→−

= + , y en el segundo ( )limx

f x→−

= − .

Veamos las cuatro situaciones gráficamente:

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6. Operaciones con límites de funciones

La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de cálculo de límites funcionales cuando la variable x

tiende a un punto a, pudiendo ser a un número real, + o – . Los recuadros sombreados corresponden a los casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Por esta razón, se llaman indeterminaciones y hay que resolverlas de forma particular.

( ) ( )( )lim f x g x+ ( ) ( )( )lim f x g x− ( ) ( )( )lim f x g x ( )

( )lim

f x

g x

( )lim f x L=

( )lim g x M= L M+ L M− L M

si 0L y 0M =

L M si 0M

0 0 si 0L M= =

( )lim f x = +

( )lim g x M= +

+ si 0M + si 0M

− si 0M − si 0M

( )lim f x = −

( )lim g x M= − −

− si 0M − si 0M

+ si 0M + si 0M

( )lim f x L=

( )lim g x = + + −

+ si 0L 0

− si 0L

( )lim f x L=

( )lim g x = − − +

− si 0L 0

+ si 0L

( )lim f x =

( )lim 0g x = ( ) 0

( )lim 0f x =

( )lim g x = ( )0 0

( )lim f x = +

( )lim g x = + + ( ) ( )+ − + +

+

+

( )lim f x = −

( )lim g x = − − ( ) ( )− − − +

−

−

( )lim f x = +

( )lim g x = − ( ) ( )+ + − + −

+

−

( )lim f x = −

( )lim g x = + ( ) ( )− + + − −

−

+

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En la siguiente tabla damos también el cálculo de límites para funciones potenciales y exponenciales.

( )lim 0f x =

( )lim g x M=

( )lim f x = +

( )lim g x M=

( )lim f x L=

( )lim g x = +

( )lim f x L=

( )lim g x = −

( )( )

limg x

f x

0 si 0M + si 0M + si 1L 0 si 1L

+ si 0M 0 si 0M 0 si 0 1L + si 0 1L

00 si 0M = ( )0

+ si 0M = 1+ si 1L= 1− si 1L=

Las indeterminaciones que aparecen en este epígrafe se pueden agrupar en los tipos siguientes:

Tipos Indeterminaciones Tipos Indeterminaciones

+

+

−

( ) ( )+ − +

−

− ( ) ( )− − −

+

− ( ) ( )+ + −

−

+ ( ) ( )− + +

0

( ) 0

00

00

( )0

0

0

0

0

0 ( )0

+

1

1+

1−

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7. Límites de funciones polinómicas y resolución de indeterminaciones

➢ Límites de funciones polinómicas

Una función se dice polinómica cuando está definida mediante un polinomio ( )p x , es decir, es una función

del tipo

( ) ( ) 1 2

1 2 1 0

n n

n nf x p x a x a x a x a x a−

−= = + + + + +

donde n es un número natural y na , 1na − ,…, 2a , 1a , 0a son números reales que reciben el nombre de

coeficientes del polinomio. Se llama grado del polinomio a la máxima potencia a que está elevada la

indeterminada x en el polinomio ( )p x y se escribe ( )grado p x . En nuestro caso ( )grado p x n= . A cada

uno de los sumandos del polinomio por separado: n

na x , 1

1

n

na x −

− ,…, 2

2a x , 1a x , 0a se les llama monomios. Al

monomio de mayor grado se le llama término general del polinomio. El coeficiente del monomio de mayor grado, o lo que es lo mismo, del término general del polinomio, recibe el nombre de coeficiente líder o coeficiente principal. El monomio de grado cero recibe el nombre de término independiente. En el caso de

nuestro polinomio o función polinómica tenemos que el término general es n

na x el coeficiente líder es na y

el término independiente es 0a .

Las funciones polinómicas siempre tienen límite cuando x tiende a un número real k y su límite coincide con el valor numérico del polinomio en x k= :

( )1 2 1 2

1 2 1 0 1 2 1 0lim n n n n

n n n nx k

a x a x a x a x a a k a k a k a k a− −

− −→

+ + + + + = + + + + +

Las funciones polinómicas, cuando x tiende a + o a − , se comportan del mismo modo que su término general.

( )1 2

1 2 1 0lim limn n n

n n nx x

a x a x a x a x a a x−

−→ →

+ + + + + =

➢ Límites de funciones racionales e irracionales

Una función recibe el nombre de racional si es cociente de dos funciones polinómicas, es decir, ( )( )

( )

p xf x

q x=

donde ( ) 1 2

1 2 1 0

n n

n np x a x a x a x a x a−

−= + + + + + y ( ) 1 2

1 2 1 0

m m

m mq x b x a x b x b x b−

−= + + + + + .

Las funciones racionales (siempre que no nos encontremos con alguna de las indeterminaciones definidas anteriormente) tienen límite cuando x tiende a un número real k y su límite coincide con el valor numérico de la función en x k= :

( )( )

( )

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

lim lim limn n

n n

m mx k x k x km m

p x a k a k a k a k af x

q x b k b k b k b k b

−

−

−→ → →−

+ + + + += =

+ + + + +

Por ejemplo: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 23 2

222

3 2 2 2 5 2 23 2 5 2 24 8 10 2 44 44lim

2 6 3 8 12 3 23 232 2 6 2 3x

x x x

x x→−

− − − + − −− + − − − − − −= = = =

− + − − − − −− − + − −.

Una función se dice que es irracional si es del tipo ( ) ( )rf x p x= , donde ( )p x es un polinomio, o bien es

del tipo ( )( )

( )

r

s

p xf x

q x= , donde ( )p x y ( )q x son polinomios. Para calcular el límite cuando x tiende a un

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número real k de una función irracional se procede de forma idéntica a como se calculan los límites cuando x tiende a k de una función polinómica o racional, es decir:

( ) ( )lim r r

x kp x p k

→= ;

( )

( )

( )

( )lim

r r

x k s s

p x p k

q x q k→=

Así, por ejemplo: 3 32 2 3

2

2 3 6 2 2 3 2 6 8 2lim

34 1 4 2 1 9x

x x

x→

− + − += = =

+ +.

➢ Resolución de indeterminaciones

Es posible que al querer calcular el límite cuando, o bien x tiende a un número real k , o x tiende a , nos encontremos con algún tipo de indeterminación. Estos casos se resuelven de forma puntual como se explica a continuación.

✓ Indeterminaciones del tipo

Aparecen al calcular límites de funciones racionales o irracionales cuando x tiende a + o a − . Se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del denominador o utilizando la siguiente expresión:

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

lim limn n n

n n n

m m mx xm m m

a x a x a x a x a a x

b x b x b x b x b b x

−

−

−→ →−

+ + + + +=

+ + + + +

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

lim lim

n n nr rn n n

m m mx xs sm m m

a x a x a x a x a a x

b x b x b x b x b b x

−

−

−→ →

−

+ + + + +=

+ + + + +

Es decir, el límite cuando x tiende a + o a − de una función racional o irracional coincide con el límite del cociente de los términos generales de los polinomios del numerador y del denominador, respectivamente.

En ambos casos el cálculo del límite requiere la simplificación de las expresiones n

n

m

m

a x

b x y

nrn

msm

a x

b xutilizando

las propiedades convenientes de las potencias y de los radicales. Veamos algunos ejemplos:

• 4 2 4

4 4

3 2 5 3 3lim Indeterminación lim

4 7 4 4x x

x x x

x x→+ →+

− + − − = = = − −

• 5 2 5

4 3 4

2 3 4 5 2lim Indeterminación lim lim 2

2 7 1x x x

x x x xx

x x x x→− →− →−

− + + − − = = = = − − + − + −

.

• 3 2 3

7 5 2 7 4

5 6 7 8 5 5 5lim Indeterminación lim lim 0

2 4 6 9 2 2x x x

x x x x

x x x x x→− →− →−

− − + = = = = = + − − +

.

• 3 33 2 3 3 3 3

24 4

5 3 2 5 5 5 5lim Indeterminación lim lim lim 0

2 22 7 1 2x x x x

x x x x

x xx x x→+ →+ →+ →+

+ − = = = = = = + − +

.

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✓ Indeterminaciones del tipo 0

0

Aparecen al calcular límites de funciones racionales o irracionales. En el primer caso se resuelve factorizando los polinomios del numerador y denominador mediante la regla de Ruffini. El segundo caso se resuelve multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.

Como ejemplo, resolvamos un par de límites donde aparece esta indeterminación:

• ( )( )

( )( )

( )2

22 2 2

2 2 4 2 2 42 8 0 2 4 8 8lim Indeterminación lim lim

2 0 2 1 1 2 1 3 3x x x

x xx x

x x x x x→− →− →−

+ − − −− − − = = = = = = + − + − − − − −

.

• ( )( )

( )( )( )( )2 2

2

20 0 0 2

4 2 4 20lim Indeterminación lim lim

04 2 4 2 4 2 4 2x x x

x x x x x xx x

x x x x→ → →

− + + − + +− = = = = + − + − + + + −

( )( ) ( )( )( )( )

2

0 0 0

4 2 1 4 20lim Indeterminación lim lim 1 4 2

0x x x

x x x x x xx x

x x→ → →

− + + − + + = = = = − + + =

( )( ) ( )0 1 0 4 2 1 2 2 1 4 4= − + + = − + = − = − .

Observa que para resolver esta indeterminación hemos transformado la función multiplicando el

numerador y el denominador por el conjugado de 4 2x+ − . Esta técnica se suele usar al calcular límites.

✓ Indeterminaciones del tipo 0

K

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones y se resuelven estudiando los límites laterales.

Por ejemplo:

• 3

5 8lim

3 0x

x

x→

+= =

−. Para saber si el límite es + o − . Estudiemos los límites laterales.

3

3

5lim

3

5lim

3

x

x

x

x

x

x

→

→

−

+

+ = −−

+ = +

−

no existe 3

5lim

3x

x

x→

+

−, pues la función tiende a − por la izquierda de 3 y a + por la

derecha de 3 . Lo único que podemos afirmar es que la recta 3x = es una asíntota vertical de la función

( )5

3

xf x

x

+=

−.

✓ Indeterminaciones del tipo 0

Este tipo de indeterminaciones se resuelve transformándolas en las del tipo

, o en las del tipo

0

0.

Veamos el siguiente ejemplo:

• ( ) 4 4

3 6 9lim 2 3 Indeterminación 0 lim Indeterminación

2 2x x

xx

x x→− →−

− − = = = = − −

24

6 6 6 6lim lim lim 0x x x

x x

x xx→− →− →−= = = = =

−.

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✓ Indeterminaciones del tipo −

Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. El primer caso se resuelve operando convenientemente, y el segundo caso se resuelve multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.

Resolvamos algunos ejemplos de este tipo de indeterminación:

• ( )2 2 2 211 1 1 1

lim Indeterminación lim lim lim1 1 1 1 1x x x x

x xx x x x x xx

x x x x x→+ →+ →+ →+

− + + + − + +− = − = − = = =

− − − − −

Indeterminación lim 1x

x

x→+

= = =

.

• ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

2 2

2

2

5 2 5 2lim 5 2 Indeterminación lim

5 2x x

x x x xx x

x x→+ →+

+ − + + + ++ − + = − = =

+ + +

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2 2

5 2 5 4 4 4 1lim lim lim Indeterminación

5 2 5 2 5 2x x x

x x x x x x

x x x x x x→+ →+ →+

+ − + + − − − − += = = = − =

+ + + + + + + + +

2

4 4 4lim lim lim 2

2x x x

x x x

x x xx x→+ →+ →+

− − −= = = = −

++.

➢ Una aplicación del cálculo de límites: asíntotas oblicuas

Dada una función :f A→ , hemos visto en un apartado anterior que la recta x a= es una asíntota vertical

de la función f si ( )limx a

f x→

= (se entiende que podemos tender al punto a por la izquierda o por la

derecha y que puede ser + o − ). También se vio que cuando ( )limx

f x a→

= , la recta y a= es una

asíntota horizontal de la función f (aquí también hemos de entender que puede ser + o − ).

De las asíntotas horizontales y verticales se suele decir también que la función presenta ramas infinitas horizontales y verticales.

Pero una función también puede dirigirse de manera ilimitada hacia una recta que no sea horizontal ni vertical, es decir, a una recta oblicua de la forma y mx n= + ( 0m ). En este caso diremos que la recta

y mx n= + es una asíntota oblicua de la función f . También se habla de que la función presenta ramas

infinitas oblicuas hiperbólicas.

La recta y mx n= + , con 0m , es una asíntota oblicua de la función f cuando al tender x a + o − , la

diferencia de ordenadas para una misma abscisa x , entre la función y la asíntota, tiende a cero. Es decir:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

lim 0 lim 0 lim limx x x x

f xf x mx n f x mx n f x mx n x m n

x→ → → →

− + = − − = − = − =

Para que el límite sea un número real n , ha de ocurrir obligatoriamente que ( )

lim 0x

f xm

x→

− =

(aparece

así en ( )

limx

f xx m

x→

−

la indeterminación 0 ), pues en otro caso sería claramente

( )limx

f xx m

x→

− =

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47

(lo cual es una contradicción pues n es un número real). Por tanto, ( )

limx

f xm

x→= . Es decir, la pendiente m

y la ordenada en el origen n de la asíntota oblicua y mx n= + se calculan del siguiente modo:

( )limx

f xm

x→= ; ( )( )lim

xn f x mx

→= −

Ejercicio resuelto

Determinar las asíntotas de la función ( )2 1

2

xf x

x

−=

−.

Solución

• Asíntotas verticales

Como es una función racional, sus asíntotas verticales serán los números reales que hagan cero el

denominador: 2 0 2x x− = = , ya que 2

2

1lim

2x

x

x→ −

−= −

− ;

2

2

1lim

2x

x

x→ +

−= +

−. Así pues 2x = es una

asíntota vertical.

• Asíntotas horizontales

2 21lim Indeterminación lim lim

2x x x

x xx

x x→+ →+ →+

− = = = = + −

.

2 21lim Indeterminación lim lim

2x x x

x xx

x x→− →− →−

− = = = = − −

.

Así pues, no hay asíntotas horizontales.

• Asíntotas oblicuas

2

2 2

2 2

1

( ) 12lim lim lim Indeterminación lim 12x x x x

x

f x x xxmx x x x x→ → → →

−

− −= = = = = = − .

( ) ( )2 2 21 1

lim ( ) lim Indeterminación lim2 2 2x x x

x xx xn f x mx x

x x x→ → →

− − −= − = − = − = − =

− − −

2 21 2 2 1 2lim lim Indeterminación lim 2

2 2 2x x x

x x x x x

x x x x→ → →

− − − = − = = = = − − −

.

De este modo la recta 2y mx n y x= + = + es una asíntota oblicua de la función f .

8. Funciones continuas

Una función es, en general, continua en un punto x a= cuando su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel en las cercanías de dicho punto.

A continuación, para ejemplificar este hecho, vamos a considerar las gráficas de cuatro funciones. La idea de función continua es muy fácil de percibir desde el punto de vista gráfico. Además, cuando una función no es continua lo puede ser de diferentes maneras.

3

Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

48

La función f se puede dibujar, en un entorno de 3x = , sin levantar el lápiz del papel. Esta función tiene

límite cuando x tiende a 3 y el valor de este límite coincide con el valor de la función en el punto 3x = . Por esta razón, decimos que esta función es continua en 3x = .

La función g no es continua en 1x = , pues, aunque existe el límite y la función está definida en 1x = , no

coinciden ambos valores. Digamos que la función tiene un “hueco”.

La función h no es continua en 2x = , pues no existe el límite cuando x tiende a 2 (por la izquierda tiene a

1 y por la derecha tiende a 3 ), aunque sí está definida en 2x = .

La función k no es continua en 3x = , pues no tiene límite finito cuando x tiende a 3 . Además, la función no está definida en 3x = .

Formalicemos la definición de continuidad de una función en un punto.

Una función f es continua en un punto de abscisa x a= si, y sólo si, se cumplen las tres condiciones

siguientes:

1. Existe el límite de f cuando x tiende al punto x a= .

2. La función está definida en x a= .

3. Los dos valores anteriores coinciden: ( ) ( )limx a

f x f a→

= .

4

3

1 1

2

3

4

2

3 2 1

2 1

;

2 1

1

2

3

4

no existe en

Tampoco existe

3 1 2

Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

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Ejercicio resuelto

Estudiar la continuidad de las funciones ( ) 3f x x= − y ( )

2 2 si 1

2 1 si 1 3

2 si 3

x x

g x x x

x

−

= +

.

Solución

Comencemos con la función f . Para ello definiremos adecuadamente la función:

( )( )

( )3 si 3 0 3 si 3 0

3 si 3 0 3 si 3 0

x x x xf x f x

x x x x

− − − − = =

− − − − + − .

La función es claramente continua en ( ) ( ),3 3,− + pues en estos intervalos se trata de funciones

polinómicas que son todas continuas. Estudiemos la continuidad en 3x = que es el punto crítico en el que la función cambia de estar definida de una forma a otra.

Si nos acercamos al punto 3x = por valores de x menores que 3 , entonces se tiene que

( ) ( )3 3

lim lim 3 3 3 0x x

f x x→ →− −

= − + = − + = . Si nos acercamos ahora al punto 3x = por valores de x mayores que

3 , tenemos que ( ) ( )3 3

lim lim 3 3 3 0x x

f x x→ →+ +

= − = − = . Por tanto, como existen los límites laterales y son iguales,

existe el límite de la función f en el punto 3x = y vale lo mismo que los laterales: ( ) ( )3 3

lim 0 limx x

f x f x→ →− +

= =

Esto quiere decir que existe ( )3

limx

f x→

y ( )3

lim 0x

f x→

= . Además, ( )3 0f = . Hemos demostrado por tanto que

( ) ( )3

lim 3 0x

f x f→

= = , por lo que la función es continua también en 3x = .

Para el estudio de la continuidad de la función g procedemos de forma similar. La función g es continua en

( ) ( ) ( ),1 1,3 3,− + puesto que en estos intervalos la función es o polinómica o constante y por tanto

continua. Estudiemos la continuidad en los puntos 1x = y 3x = que es donde la función cambia de estar definida de una forma a otra. Tenemos:

• ( ) ( )2

1 1

lim lim 2 1x x

g x x→ →− −

= − = − ; ( ) ( )1 1

lim lim 2 1 3x x

g x x→ →+ +

= + = . Es decir, los límites laterales existen, pero son

distintos, con lo que no existe ( )1

limx

g x→

y, por tanto, g no es continua en el punto 1x = .

• ( ) ( )3 3

lim lim 2 1 7x x

g x x→ →− −

= + = ; ( )3

lim 2x

g x→ −

= . Al igual que antes, los límites laterales existen, pero son

distintos, entonces no existe ( )3

limx

g x→

y, por tanto, g no es continua en el punto 3x = .

9. Discontinuidad de una función. Tipos

Una función que no es continua en un punto, decimos que es discontinua en dicho punto. Dependiendo de la condición o condiciones de continuidad que fallen, podemos clasificar las discontinuidades de la siguiente forma:

• Discontinuidad evitable. Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto de abscisa x a= cuando el límite de la función en x a= existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en

x a= . Es decir, existe ( )limx a

f x→

, pero ( ) ( )limx a

f x f a→

. Esta discontinuidad se evita redefiniendo la

función en x a= y haciendo que en este punto tome el valor del límite.

4

Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

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Por ejemplo, la función ( )

1 si 2

3 si 2

3 si 2

x x

f x x

x x

−

= =− +

tiene límite en el punto 2x = , ya que ( )2

lim 1x

f x→

=

(¡compruébalo!), pero no coincide con ( )2 3f = : ( ) ( )2

lim 1 3 2x

f x f→

= = . Para evitar la discontinuidad

bastaría redefinir f en el punto 2x = de la forma ( )2 1f = . En la representación gráfica de la función

ocurre que en el punto 2x = dicha gráfica presenta un “hueco” (véase la figura).

Además de la discontinuidad evitable existen otras dos que son no evitables. Estos dos casos tienen en común que la condición que falla es que no existe el límite de la función en el punto.

• Discontinuidad de salto finito. Una función presenta discontinuidad no evitable de salto finito en un

punto de abscisa x a= , cuando existen los límites laterales, son finitos y distintos: ( ) ( )lim limx a x a

f x f x→ →− +

Un buen ejemplo es la función g del ejercicio resuelto número 4, tanto en el punto 1x = , como en el

punto 3x = .

• Discontinuidad de salto infinito y discontinuidad esencial. Una función presenta discontinuidad no evitable de salto infinito en un punto de abscisa x a= , cuando uno de los límites laterales es + o − . Estos casos coinciden con aquellos en que la recta x a= es una asíntota vertical de la función. Por

ejemplo, la función ( )1

f xx

= presenta una discontinuidad no evitable de salto infinito en el punto 0x =

pues ( )0

limx

f x→ +

= + y ( )0

limx

f x→ −

= − . Obsérvese que 0x = (el eje Y ) es una asíntota vertical.

En el caso particular de que ambos límites sean o bien + , o bien − , la discontinuidad ya no se llama

de salto infinito, sino discontinuidad esencial. Esto ocurre por ejemplo con la función ( ) 2

1f x

x= , ya que

( ) ( )0 0

lim limx x

f x f x→ →+ −

= = + .

Para finalizar, se recomienda, tras realizar el estudio de la continuidad de una función, su visualización usando la aplicación desmos (desmos.com/calculator). De este modo podremos ver si el estudio que hemos hecho es correcto o no. En clase veremos la forma de hacer uso de esta aplicación para representar los distintos tipos de funciones que se vayan presentando. También es posible representar las asíntotas de la función y visualizar el límite tanto en un punto como en el infinito.

Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

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Ejercicios

1. Determina, si existen, las asíntotas de cada una de las siguientes funciones:

a) ( ) 2 1

xf x

x=

− ; b) ( )

2

2

xg x

x=

+ ; c) ( )

2

2

4

4

xh x

x

−=

+

2. Calcula los siguientes límites:

a) 4limx

x−

→+ ; b) 4lim 4

xx

→− ; c)

30

3limx x→ +

; d) 2

0lim

5x

x−

→ ; e)

5

0

lim3x

x

→ − ; f)

5

2limx x→−

; g)2

2 3lim

1 2x x x→+

−

+ + ;

h) lim 3 x

x

−

→+ ; i) lim 3 x

x

−

→− ; j)

2lim

3

x

x→+

; k) 3

2lim

2x

x

x→+ − ; l)

4

3

2 3 1lim

3x

x x

x→−

− −

+

3. Calcula los siguientes límites:

a) 2 2

22

4 4lim

1 2x

x x

x x x→

− +

+ − ; b) 2lim 4 5 (2 3)

xx x

→+

− − −

; c) 2

1

2 2lim

2 1x

x

x x→ −

−

− + ; d) lim

1x

x x

x→+

+

+

e) 21

2 2lim

1 1x

x x

x x→

+ − −

− − ; f)

2

2 4lim

2x

x

x→ +

−

− ; g)

2

1

1lim

3 2x

x

x→

−

+ − ; h)

2

2

5 3lim

7 3x

x

x→

+ −

+ − ; i) ( )lim 2 1

xx x

→+− −

4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) ( )5 si 0

5 si 0

xx

f x x

x

−

= =

; b) ( )2 1 si 2

1 si 2

x xg x

x x

− =

+ ;

c) ( )

2 9si 3

3

6 si 3

xx

h x x

x

−

= − =

; d) ( )2 1 si 1

3 si 1

x xp x

x

− −=

−

5. Calcula k en cada caso, de modo que las siguientes funciones sean continuas en todo .

a) ( )2

3 si 4

10 13 si 4

kx xf x

x x x

− =

− + − ; b) ( )

2si 2

2

si 2

xx

g x x

k x

+

= − =

;

c) ( )

1 si 0

si 0

31 si 0

2

x x

h x k x

x x

+

= = +

; d) ( ) 2

2 21

1

1

xsi x

p x x

k si x

+ −

= − = −

6. Estudia la continuidad de la función ( ) 2 6 5f x x x= − + .

7. Diseña y dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones: sea continua en todos los

puntos, sea una recta si 3x − , una parábola en el intervalo 3,3− y tienda a 0 cuando x →+ .

Unidad 4: Funciones. Límites y continuidad 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

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8. Calcula m , n , p , q para que la siguiente función sea continua en todo :

( )

2

3si 8

2 3 si 8 4

1si 4 2

si 2 4

si 4

xx

m x

f x x xn

px x

q x

−

− + − −

= − −

9. Obtén las asíntotas verticales y oblicuas de la función 3

2 1

xy

x=

−.

10. Dadas la siguientes funciones

( )

2

2 3 si 2

4si 2 0

2

si 0

x x

f x xx

x x

+ −

= − −

( ) 2

1 si 0

2 1 si 0 2

4si 2

x x

g x x x x

xx

+

= − +

estudiar su continuidad y representarlas gráficamente usando la aplicación desmos.

11. La energía que produce una placa solar en función del tiempo transcurrido desde que amanece, viene

descrita por la siguiente función ( x en horas; ( )f x en unidades de energía):

( )

2

2

10 si 0 8

1024si 8 12

x x x

f xx

x

−

=

Estudia la continuidad de f y represéntala gráficamente.

12. Calcula el límite de la función ( ) 2

3

5 6

xf x

x x

−=

− + cuando 0x→ , 2x→ , 3x→ , x →+ , x →− .

Representa gráficamente los resultados.

13. Sabiendo que la función ( )

2

2

4 3 si 1 0

si 01

x x x

f x x ax

x

− + −

= +

+

es continua en el intervalo ( )1,− + , halla

el valor de a .

14. Estudia la continuidad de ( )

23 si 1

2si 1

mx x

f xx

mx

−

=

según los distintos valores de m .