1

EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.- A partir de la gráfica de f(x), calcula:

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx ��o 1

c)

� �xflimx ��o 1

d)

� �xflimx 5

e)�o

Ejercicio nº 2.- La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o3

c)

� �xflimx �o3

d)

� �xflimx 0

e)o

Ejercicio nº 3.- Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o2

c)

� �xflimx �o2

d)

� �xflimx 0

e)o

46

8Y

X

2

6 82�4 �2�8 �6�2

�4

�6

4

46

8

2

6 82 4�4 �2�8 �6�2

�4

�6

Y

X

46

8

2

6 82�4 �2�8 �6�2

�4

�6

4

Y

X

2

Ejercicio nº 4.- Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o3

c)

� �xflimx �o3

d)

� �xflimx 0

e)o

Ejercicio nº 5.- Sobre la gráfica de f(x), halla :

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o2

c)

� �xflimx �o2

d)

� �xflimx 0

e)o

Ejercicio nº 6.- Representa gráficamente los siguientes resultados:

� � �f �fo

xflimx

a)

� � �f �fo

xglimx

b)

Ejercicio nº 7.-

� � :que sabemos,31 función la Para

��

xx

xf

�f ��

�f ��

�o�o 31y

31

33 xx

limxx

limxx

Representa gráficamente estos dos límites.

46

8

2

�26 82 4�4 �2�8 �6

�4

�6

Y

X

46

8

2

6 82 4�4 �2�8 �6�2

�4

�6

Y

X

3

Ejercicio nº 8.- Representa gráficamente:

� � 1a) �fo

xflimx

� � 0b) �o

xglim1x

Ejercicio nº 9.- Representa los siguientes límites:

� � � � �f �f �� oo

xflimxflimxx 22

Ejercicio nº 10.- Representa en cada caso los siguientes resultados:

� � 2a) �fo

xflim x

� � �f �fo

xglimx

b)

Ejercicio nº 11.- Calcula:

� �22

3a) xlimx

��o � �xlim

x21b)

8��

�o xsenlim

x2

c)S

o

Ejercicio nº 12.- Halla los límites siguientes:

13 a) 22 ��

�o xx

xlimx

xlimx

36b)1

��o

xloglimx 1

c)o

Ejercicio nº 13.- Resuelve:

¸̧¹

·¨̈©

§��

o 42a)

32

2

xxlimx

1

23b) �

�o

x

xlim

xtglim

x4

c)S

o

4

Ejercicio nº 14.-

� � 3. en y 1 en 23

función la de límite el Calcula4

�� xxxx

xf

Ejercicio nº 15.- Calcula los siguientes límites:

324a) 23 ��o xx

limx

9b) 2

3�

oxlim

x

xcoslim

x 0c)

o

Ejercicio nº 16.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:

� �22 21

�

�o x

xlimx

Ejercicio nº 17.-

� � la Representa2. en )(de límite el calcula,65

1función la Dada 2 ��

� xxf

xxx

xf

información que obtengas. Ejercicio nº 18.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:

91

23 �o xlimx

Ejercicio nº 19.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:

xxx

limx 2

1220 �

�o

Ejercicio nº 20.- Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

� �

31�

x

xf

5

Ejercicio nº 21.-

funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula f�o�fo x x y representa la información que obtengas:

� �

3421 2 xx

xf��

Ejercicio nº 22.-

tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x �fo la información que obtengas:

� � 122

a)3

�� xx

xf

� �5

23b)32 xx

xf��

Ejercicio nº 23.- Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

� �42a) xxlimx

���fo

¸̧¹

·¨̈©

§��

�fox

xxlimx

223

b)23

Ejercicio nº 24.- Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

¸̧¹

·¨̈©

§��

�fox

xxlimx 43

a)2

¸̧¹

·¨̈©

§��

�fox

xxlimx 43

b)4

Ejercicio nº 25.- Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

� �24a) xlimx

��fo � �24b) xlim

x�

�fo Ejercicio nº 26.- Calcula y representa gráficamente la información obtenida

1243

2

2

1 ����

�o xxxx

limx

6

Ejercicio nº 27.- Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

13354

23

2

1 �����

o xxxxx

limx

Ejercicio nº 28.- Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

618122

2

2

3 ����

�o xxxx

limx

Ejercicio nº 29.- Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:

34

2

0 22

xxx

limx �o

Ejercicio nº 30.- Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

4242

2 ��

�o xx

limx

Ejercicio nº 31.- Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos

� �311a)x

limx ��fo

2

33b)x

xlimx

��fo

Ejercicio nº 32.- Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

� �3

2

213a)

x

xlimx �

��fo

12b) 2

3

��

�fo xx

limx

7

Ejercicio nº 33.- Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

4

4

342a)

xxx

limx �

���fo

32

2

1123b)

xxxx

limx ��

���fo

Ejercicio nº 34.-

, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla �fo�fo x x y representa los resultados que obtengas:

� �

� �312

x

xxf

�

�

Ejercicio nº 35.- Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

xx

limx 35

3a)��fo

xx

limx 35

3b)��fo

Continuidad Ejercicio nº 36.- A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

46

8

2

�26 82 4�4 �2�8 �6

�4�6

Y

X

11

SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.- A partir de la gráfica de f(x), calcula:

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx ��o 1

c)

� �xflimx ��o 1

d)

� �xflimx 5

e)�o

Solución:

� � �f �fo

xflimx

a)

� � �f �fo

xflimx

b)

� � 2 c)1

��oxflim

x � � 3 d)

1

��oxflim

x � � 0 e)

5

�oxflim

x Ejercicio nº 2.- La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o3

c)

� �xflimx �o3

d)

� �xflimx 0

e)o

Solución:

� � 0 a) �fo

xflimx

� � �f �fo

xflimx

b)

� � �f �oxflim

x 3 c)

� � �f

�oxflim

x 3 d)

� � 1 e)

0

oxflim

x

46

8Y

X

2

6 82�4 �2�8 �6�2

�4

�6

4

46

8

2

6 82 4�4 �2�8 �6�2

�4

�6

Y

X

12

Ejercicio nº 3.- Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o2

c)

� �xflimx �o2

d)

� �xflimx 0

e)o

Solución:

� � �f �fo

xflimx

a)

� � �f �fo

xflimx

b)

� � 2 c)2

�oxflim

x � � 4 d)

2

�oxflim

x � � 0 e)

0

oxflim

x Ejercicio nº 4.- Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o3

c)

� �xflimx �o3

d)

� �xflimx 0

e)o

Solución:

� � 0 a) �fo

xflimx

� � 0 b) �fo

xflimx

� � �f �oxflim

x 3 c)

� � �f

�oxflim

x 3 d)

� � 1 e)

0

oxflim

x

46

8

2

6 82�4 �2�8 �6�2

�4

�6

4

Y

X

46

8

2

�26 82 4�4 �2�8 �6

�4

�6

Y

X

13

Ejercicio nº 5.- Sobre la gráfica de f(x), halla :

� �xflim x �fo

a)

� �xflimx �fo

b)

� �xflimx �o2

c)

� �xflimx �o2

d)

� �xflimx 0

e)o

Solución:

� � 1 a) �fo

xflimx

� � 1 b) �fo

xflimx

� � �f �oxflim

x 2 c)

� � �f

�oxflim

x 2d)

� � 1 e)

0�

oxflim

x Ejercicio nº 6.- Representa gráficamente los siguientes resultados:

� � �f �fo

xflimx

a)

� � �f �fo

xglimx

b)

Solución: a)

b)

Ejercicio nº 7.-

� � :que sabemos,31 función la Para

��

xx

xf

�f ��

�f ��

�o�o 31y

31

33 xx

limxx

limxx

Representa gráficamente estos dos límites.

46

8

2

6 82 4�4 �2�8 �6�2

�4

�6

Y

X

14

Solución:

3

Ejercicio nº 8.- Representa gráficamente:

� � 1a) �fo

xflimx

� � 0b) �o

xglim1x

Solución: a)

1

o bien

1

b) Por ejemplo:

�1

Ejercicio nº 9.- Representa los siguientes límites:

� � � � �f �f �� oo

xflimxflimxx 22

Solución:

2

Ejercicio nº 10.- Representa en cada caso los siguientes resultados:

� � 2a) �fo

xflim x

� � �f �fo

xglimx

b)

15

Solución: a)

2

o bien

2

b)

Ejercicio nº 11.- Calcula:

� �22

3a) xlimx

��o � �xlim

x21b)

8��

�o xsenlim

x2

c)S

o

Solución:

� � 2553a) 22

2 �

�oxlim

x � � 54116121b)

8 � � ��

�oxlim

x

12

lim)2

o

SS

senxsencx

Ejercicio nº 12.- Halla los límites siguientes:

13 a) 22 ��

�o xx

xlimx

xlimx

36b)1

��o

xloglimx 1

c)o

Solución:

71

1241

13

22

�

���

��

�o xx

xlimx

a)

3936361

� ��o

xlimx

b)

011

o

logxloglimx

c)

16

Ejercicio nº 13.- Resuelve:

¸̧¹

·¨̈©

§��

o 42a)

32

2

xxlimx

1

23b) �

�o

x

xlim

xtglim

x4

c)S

o Solución:

02242

a)32

2 �� ¸

¸¹

·¨¨©

§��

o

xxlimx

3133b) 11

2 ��

�o

x

xlim

14

c)4

S

S

o

tgxtglimx

Ejercicio nº 14.-

� � 3. en y 1 en 23

función la de límite el Calcula4

�� xxxx

xf

Solución:

61

21

31

23

4

1 �

� ¸

¸¹

·¨¨©

§��

o

xxlimx

251

2327

23

4

3� �� ¸

¸¹

·¨¨©

§��

o

xxlimx

Ejercicio nº 15.- Calcula los siguientes límites:

324a) 23 ��o xx

limx

9b) 2

3�

oxlim

x

xcoslim

x 0c)

o

Solución:

92

184

3694

324 a) 23

��

��o xx

limx

00999 b) 2

3 � �

oxlim

x 10 c)

0

ocosxcoslim

x

17

Ejercicio nº 16.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:

� �22 21

�

�o x

xlimx

Solución:

� � � � � ��f

�

�

�

�

�

�ooo �� 222222 2

121

21

x

xlim

x

xlim

x

xlim

xxx

2

Ejercicio nº 17.-

� � la Representa2. en )(de límite el calcula,65

1función la Dada 2 ��

� xxf

xxx

xf

información que obtengas. Solución:

� �� �321

651

2 ���

��

�xx

xxx

x

Calculamos los límites laterales:

� �� � �f ��

��f

���

�� oo 651

321

222 xx

xlim

xxx

limxx

2

Ejercicio nº 18.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:

91

23 �o xlimx

Solución:

� �� �331

91

323 ��

� oo xxlim

xlim

xx Calculamos los límites laterales:

18

�f

��f

� �� oo 91

91

2323 xlim

xlim

xx

3

Ejercicio nº 19.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:

xxx

limx 2

1220 �

�o

Solución:

� �212

212

020 ��

�

�oo xx

xlim

xx

xlim

xx Calculamos los límites laterales:

�f �

��f

�

��� oo xx

xlim

xx

xlim

xx 212

212

2020

Ejercicio nº 20.- Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

� �

31�

x

xf

Solución:

303 � � xx Calculamos los límites laterales:

�f

��f

� �� oo 31

31

33 xlim

xlim

xx

3

19

Ejercicio nº 21.-

funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula f�o�fo x x y representa la información que obtengas:

� �

3421 2 xx

xf��

Solución:

�f ��

�f ��

�fo�fo 3421

3421 22 xx

limxx

limxx

Ejercicio nº 22.-

tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x �fo la información que obtengas:

� � 122

a)3

�� xx

xf

� �5

23b)32 xx

xf��

Solución:

�f ¸̧¹

·¨̈©

§��

�fo1

22a)

3xxlimx

�f ��

�fo 523b)

32 xxlimx

Ejercicio nº 23.-

20

Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

� �42a) xxlimx

���fo

¸̧¹

·¨̈©

§��

�fox

xxlimx

223

b)23

Solución:

� � �f ���fo

42a) xxlimx

�f ¸¸¹

·¨¨©

§��

�fox

xxlimbx

223

)23

Ejercicio nº 24.- Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

¸̧¹

·¨̈©

§��

�fox

xxlimx 43

a)2

¸̧¹

·¨̈©

§��

�fox

xxlimx 43

b)4

Solución:

�f ¸¸¹

·¨¨©

§��

�fox

xxlimx 43

a)2

�f ¸¸¹

·¨¨©

§��

�fox

xxlimx 43

b)4

21

Ejercicio nº 25.- Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

� �24a) xlimx

��fo � �24b) xlim

x�

�fo Solución:

� � �f ��fo

24a) xlimx

� � �f ��fo

24b) xlimx

Ejercicio nº 26.- Calcula y representa gráficamente la información obtenida

1243

2

2

1 ����

�o xxxx

limx

Solución:

� �� �� � 1

41

411243

1212

2

1 ��

�

��

��

���o�o�o xx

limx

xxlim

xx

xxlim

xxx

Calculamos los límites laterales:

�f

��

�f ��

�� �o�o 14

14

11 xx

limxx

limxx

�1

22

Ejercicio nº 27.- Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

13354

23

2

1 �����

o xxxxx

limx

Solución:

� �� �� �

� �� �

�f �

�

�

��

���

��ooo 213123

2

1 15

151

13354

x

xlim

x

xxlim

xxx

xxlim

xxx

1

Ejercicio nº 28.- Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

618122

2

2

3 ����

�o xxxx

limx

Solución:

� �� �� �

� �� � 0

232

2332

618122

3

2

32

2

3

��

��

�

��

���o�o�o x

xlim

xxx

limxx

xxlim

xxx

�3

Ejercicio nº 29.- Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:

34

2

0 22

xxx

limx �o

Solución:

� � � �22

22

22

03

2

034

2

0 �

�

� ooo xxlim

xx

xlim

xx

xlim

xxx

23

Calculamos los límites laterales:

� � � � �f �

�f � �� oo 2

22

200 xx

limxx

limxx

Ejercicio nº 30.- Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

4242

2 ��

�o xx

limx

Solución:

� �� �� � 2

24

22

2222

424

22

2

2�

�

�

���

��

�o�o�o

xlim

xxx

limxx

limxxx

�2

�2 Ejercicio nº 31.- Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos

� �311a)x

limx ��fo

2

33b)x

xlimx

��fo

Solución:

� �0

11a)

3

��fo xlimx

�f �

�fo 2

33b)x

xlimx

24

Ejercicio nº 32.- Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

� �3

2

213a)

x

xlimx �

��fo

12b) 2

3

��

�fo xx

limx

Solución:

� �0

213a)3

2

�

��fo x

xlimx

�f �

��fo 1

2b)2

3

x

xlimx

Ejercicio nº 33.- Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

4

4

342a)

xxx

limx �

���fo

32

2

1123b)

xxxx

limx ��

���fo

Solución:

31

31

342a)4

4

��

�

���fo x

xxlimx

25

1/3

01

123b)32

2

��

���fo xx

xxlimx

Ejercicio nº 34.-

, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla �fo�fo x x y representa los resultados que obtengas:

� �

� �312

x

xxf

�

�

Solución:

� � � �0

120

12

33

�

�

�

��fo�fo x

xlim

x

xlim

xx

Ejercicio nº 35.- Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

xx

limx 35

3a)��fo

xx

limx 35

3b)��fo

Solución:

133

353a) ��fo xx

limx

1

26

135

3b) ��fo xx

limx

1

Continuidad Ejercicio nº 36.- A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

46

8

2

�26 82 4�4 �2�8 �6

�4�6

Y

X

Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). Ejercicio nº 37.-

� � :xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

46

8Y

X

2

6 82�4 �2�8 �6�2

�4

�6

4